Sistema m equações lineares com n incógnitas chamado de sistema da forma
Onde aij e b eu (eu=1,…,m; b=1,…,n) são alguns números conhecidos, e x 1 ,…,x n- desconhecido. Na notação dos coeficientes aij primeiro índice eu denota o número da equação, e o segundo jé o número da incógnita em que esse coeficiente se encontra.
Os coeficientes para as incógnitas serão escritos na forma de uma matriz , que chamaremos matriz do sistema.
Os números do lado direito das equações b 1 ,…, b m chamado membros livres.
Agregar n números c 1 ,…,c n chamado decisão deste sistema, se cada equação do sistema se tornar uma igualdade após a substituição de números nela c 1 ,…,c n em vez das incógnitas correspondentes x 1 ,…,x n.
Nossa tarefa será encontrar soluções para o sistema. Neste caso, podem surgir três situações:
Um sistema de equações lineares que tem pelo menos uma solução é chamado articulação. Caso contrário, ou seja se o sistema não tem soluções, então ele é chamado incompatível.
Considere maneiras de encontrar soluções para o sistema.
MÉTODO DE MATRIZ PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
As matrizes permitem escrever brevemente um sistema de equações lineares. Seja dado um sistema de 3 equações com três incógnitas:
Considere a matriz do sistema 
e colunas de matrizes de membros desconhecidos e livres 
Vamos encontrar o produto
Essa. como resultado do produto, obtemos os lados esquerdos das equações desse sistema. Então, usando a definição de igualdade de matrizes, esse sistema pode ser escrito como
ou mais curto UMA∙X=B.
Aqui matrizes UMA e B são conhecidos, e a matriz x desconhecido. Ela precisa ser encontrada, porque. seus elementos são a solução desse sistema. Esta equação é chamada equação matricial.
Seja o determinante da matriz diferente de zero | UMA| ≠ 0. Então equação matricial resolvido da seguinte forma. Multiplique ambos os lados da equação à esquerda pela matriz A-1, a inversa da matriz UMA: . Porque o A -1 A = E e E∙X=X, então obtemos a solução da equação matricial na forma X = A -1 B .
Observe que, como a matriz inversa só pode ser encontrada para matrizes quadradas, então método matricial apenas aqueles sistemas podem ser resolvidos em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. No entanto, a notação matricial do sistema também é possível no caso em que o número de equações não é igual ao número de incógnitas, então a matriz UMA não é quadrado e, portanto, é impossível encontrar uma solução para o sistema na forma X = A -1 B.
Exemplos. Resolver sistemas de equações.
REGRA DE CRAMER
Considere um sistema de 3 equações lineares com três incógnitas:
Determinante de terceira ordem correspondente à matriz do sistema, ou seja, composto de coeficientes em incógnitas,
chamado determinante do sistema.
Compomos mais três determinantes da seguinte forma: substituímos sucessivamente 1, 2 e 3 colunas no determinante D por uma coluna de membros livres
Então podemos provar o seguinte resultado.
Teorema (regra de Cramer). Se o determinante do sistema for Δ ≠ 0, então o sistema em questão tem uma e apenas uma solução, e
Prova. Então, considere um sistema de 3 equações com três incógnitas. Multiplique a 1ª equação do sistema pelo complemento algébrico A 11 elemento um 11, 2ª equação - em A21 e 3º - em A 31:
Vamos somar estas equações:
Considere cada um dos colchetes e o lado direito desta equação. Pelo teorema da expansão do determinante em termos dos elementos da 1ª coluna
Da mesma forma, pode-se mostrar que e .
Finalmente, é fácil ver que 
Assim, obtemos a igualdade: .
Consequentemente, .
As igualdades e são derivadas de forma semelhante, de onde segue a afirmação do teorema.
Assim, notamos que se o determinante do sistema for Δ ≠ 0, então o sistema tem única decisão e volta. Se o determinante do sistema for igual a zero, então o sistema tem um conjunto infinito de soluções ou não tem soluções, ou seja, incompatível.
Exemplos. Resolver um sistema de equações
MÉTODO GAUSS
Os métodos considerados anteriormente podem ser usados para resolver apenas os sistemas nos quais o número de equações coincide com o número de incógnitas e o determinante do sistema deve ser diferente de zero. O método gaussiano é mais universal e adequado para sistemas com qualquer número de equações. Consiste na eliminação sucessiva de incógnitas das equações do sistema.
Considere novamente um sistema de três equações com três incógnitas:
.
Deixamos a primeira equação inalterada e da 2ª e 3ª excluímos os termos que contêm x 1. Para fazer isso, dividimos a segunda equação por uma 21 e multiplique por - uma 11 e depois some com a 1ª equação. Da mesma forma, dividimos a terceira equação em uma 31 e multiplique por - uma 11 e, em seguida, adicioná-lo ao primeiro. Como resultado, o sistema original terá a forma:
Agora, da última equação, eliminamos o termo que contém x2. Para fazer isso, divida a terceira equação por , multiplique por e some à segunda. Teremos então um sistema de equações:
Portanto, a partir da última equação, é fácil encontrar x 3, então da 2ª equação x2 e finalmente a partir do dia 1 - x 1.
Ao usar o método gaussiano, as equações podem ser trocadas, se necessário.
Muitas vezes, em vez de escrever novo sistema equações são limitadas a escrever a matriz estendida do sistema:
e depois trazê-lo para uma forma triangular ou diagonal usando transformações elementares.
Para transformações elementares matrizes incluem as seguintes transformações:
Exemplos: Resolver sistemas de equações usando o método de Gauss.
Assim, o sistema tem um número infinito de soluções.
Esta calculadora online resolve um sistema de equações lineares usando o método matricial. dado muito solução detalhada. Para resolver um sistema de equações lineares, selecione o número de variáveis. Escolha um método de cálculo matriz inversa. Em seguida, insira os dados nas células e clique no botão "Calcular".
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Instrução de entrada de dados. Os números são inseridos como números inteiros (exemplos: 487, 5, -7623, etc.), números decimais (por exemplo, 67., 102,54, etc.) ou frações. A fração deve ser digitada na forma a/b, onde a e b são números inteiros ou números decimais. Exemplos 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, etc.
Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Levando em conta a definição da matriz inversa, temos UMA −1 UMA=E, Onde Eé a matriz identidade. Portanto, (4) pode ser escrita da seguinte forma:
Assim, para resolver o sistema de equações lineares (1) (ou (2)), basta multiplicar a inversa para UMA matriz por vetor de restrição b.
Exemplo 1. Resolva o seguinte sistema de equações lineares usando o método matricial:
Vamos encontrar a inversa da matriz A pelo método de Jordan-Gauss. Do lado direito da matriz UMA escreva matriz de identidade:
Vamos excluir os elementos da 1ª coluna da matriz abaixo da diagonal principal. Para fazer isso, adicione as linhas 2,3 com a linha 1, multiplicada por -1/3, -1/3, respectivamente:
Vamos excluir os elementos da 2ª coluna da matriz abaixo da diagonal principal. Para fazer isso, some a linha 3 com a linha 2 multiplicada por -24/51:
Vamos excluir os elementos da 2ª coluna da matriz acima da diagonal principal. Para fazer isso, some a linha 1 com a linha 2, multiplicada por -3/17:
Separe o lado direito da matriz. A matriz resultante é a inversa de UMA :
Forma matricial de escrever um sistema de equações lineares: ax=b, Onde
Calcular todos os complementos algébricos da matriz UMA:
 ,
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 ,
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 ,
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 ,
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 ,
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 ,
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 ,
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 ,
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 .
|
A matriz inversa é calculada a partir da seguinte expressão.
método de matriz soluções SLAU usado para resolver sistemas de equações em que o número de equações corresponde ao número de incógnitas. O método é melhor usado para resolver sistemas de baixa ordem. O método matricial para resolução de sistemas de equações lineares baseia-se na aplicação das propriedades da multiplicação matricial.
Desta forma, em outras palavras método da matriz inversa, chamado assim, uma vez que a solução é reduzida à equação matricial usual, para cuja solução você precisa encontrar a matriz inversa.
Método de solução de matriz Um SLAE com um determinante maior ou menor que zero é o seguinte:
Suponha que exista um SLE (sistema de equações lineares) com n desconhecido (sobre um campo arbitrário):
Portanto, é fácil traduzi-lo em uma forma matricial:
AX=B, Onde UMAé a matriz principal do sistema, B e x- colunas de membros livres e soluções do sistema, respectivamente:
Multiplique esta equação matricial à esquerda por A-1- matriz inversa para matriz A: A −1 (AX)=A −1 B.
Porque A −1 A=E, significa, X=A −1 B. parte direita equação dá uma coluna de soluções para o sistema inicial. A condição para a aplicabilidade do método matricial é a não degenerescência da matriz UMA. Uma condição necessária e suficiente para isso é que o determinante da matriz UMA:
detA≠0.
Por sistema homogêneo de equações lineares, ou seja se vetor B=0, realizado regra reversa: no sistema AX=0é uma solução não trivial (ou seja, não igual a zero) somente quando detA=0. Essa conexão entre as soluções de sistemas homogêneos e não homogêneos de equações lineares é chamada alternativa a Fredholm.
Assim, a solução do SLAE pelo método matricial é feita conforme a fórmula 
. Ou, a solução SLAE é encontrada usando matriz inversa A-1.
Sabe-se que uma matriz quadrada MAS ordem n no n existe uma matriz inversa A-1 somente se seu determinante for diferente de zero. assim o sistema n linear equações algébricas Com n incógnitas são resolvidas pelo método matricial somente se o determinante da matriz principal do sistema não for igual a zero.
Apesar de existirem limitações à possibilidade de utilização de tal método e existirem dificuldades computacionais quando grandes valores coeficientes e sistemas de alta ordem, o método pode ser facilmente implementado em um computador.
Primeiro, vamos verificar se o determinante da matriz de coeficientes para SLAEs desconhecidos não é igual a zero.
Agora encontramos matriz de aliança , transponha-o e substitua-o na fórmula para determinar a matriz inversa.
Substituímos as variáveis na fórmula:
Agora encontramos as incógnitas multiplicando a matriz inversa e a coluna de termos livres.
Então, x=2; y=1; z=4.
Ao passar da forma usual de SLAE para a forma matricial, tome cuidado com a ordem das variáveis desconhecidas nas equações do sistema. Por exemplo:
NÃO escreva como:
É preciso, primeiro, ordenar as incógnitas em cada equação do sistema e só depois passar para a notação matricial:
Além disso, é preciso ter cuidado com a designação de variáveis desconhecidas, ao invés de x 1 , x 2 , …, x n pode haver outras letras. Por exemplo:
na forma matricial, escrevemos:
Usando o método matricial, é melhor resolver sistemas de equações lineares em que o número de equações coincide com o número de variáveis desconhecidas e o determinante da matriz principal do sistema não é igual a zero. Quando houver mais de 3 equações no sistema, será necessário mais esforço computacional para encontrar a matriz inversa, portanto, neste caso, é aconselhável usar o método de Gauss para resolver.
O método da matriz inversa é caso especial equação matricial
Resolva o sistema com o método matricial
Solução: Escrevemos o sistema em forma de matriz. Encontramos a solução do sistema pela fórmula (veja a última fórmula)
Encontramos a matriz inversa pela fórmula:
, onde é a matriz transposta dos complementos algébricos dos elementos correspondentes da matriz .
Primeiro, vamos lidar com o determinante:
Aqui o determinante é expandido pela primeira linha.
Atenção! Se, então a matriz inversa não existe, e é impossível resolver o sistema pelo método da matriz. Neste caso, o sistema é resolvido pelo método de eliminação de incógnitas (método de Gauss).
Agora você precisa calcular 9 menores e escrevê-los na matriz de menores 
Referência:É útil saber o significado de índices duplos em álgebra linear. O primeiro dígito é o número da linha na qual o elemento está localizado. O segundo dígito é o número da coluna na qual o elemento está localizado: 
Ou seja, um duplo subscrito indica que o elemento está na primeira linha, terceira coluna, enquanto, por exemplo, o elemento está na 3ª linha, 2ª coluna
No decorrer da resolução, é melhor descrever detalhadamente o cálculo dos menores, embora, com uma certa experiência, eles possam ser ajustados para contar com erros oralmente.
A ordem de cálculo dos menores não é absolutamente importante, aqui calculei da esquerda para a direita linha por linha. Foi possível calcular menores por colunas (isso é ainda mais conveniente).
Nesse caminho:
é a matriz de menores dos elementos correspondentes da matriz.
é a matriz de adições algébricas.
é a matriz transposta de adições algébricas.
Repito, os passos que realizamos foram analisados detalhadamente na aula. Como encontrar a matriz inversa?
Agora escrevemos a matriz inversa:
Em nenhum caso entramos na matriz, isso complicará seriamente os cálculos posteriores. A divisão teria que ser realizada se todos os números da matriz fossem divisíveis por 60 sem deixar resto. Mas para adicionar um sinal de menos à matriz em este casoé muito necessário, ao contrário, simplificará novos cálculos.
Resta realizar a multiplicação de matrizes. Você pode aprender como multiplicar matrizes na lição Ações com matrizes. A propósito, existe exatamente o mesmo exemplo.
Observe que a divisão por 60 é feita último.
Às vezes, pode não ser completamente dividido, ou seja, pode obter frações "ruins". O que fazer nesses casos, já contei quando analisamos a regra de Cramer.
Responda: 
Exemplo 12
Resolva o sistema usando a matriz inversa. 
Este é um exemplo para auto-resolução (exemplo final e resposta no final da lição).
A maneira mais universal de resolver o sistema é método de eliminação de incógnitas (método de Gauss). Não é tão fácil explicar o algoritmo de forma acessível, mas eu tentei!.
Desejo-lhe sucesso!
Respostas:
Exemplo 3:
Exemplo 6:
Exemplo 8: , . Você pode visualizar ou baixar uma solução de exemplo para este exemplo (link abaixo).
Exemplos 10, 12: 
Continuamos a considerar sistemas de equações lineares. Esta lição é a terceira sobre o tema. Se você tem uma vaga ideia do que é um sistema de equações lineares em geral, se sente como um bule de chá, recomendo começar com o básico na página A seguir, é útil estudar a lição.
O método de Gauss é fácil! Por quê? O famoso matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss recebeu reconhecimento durante sua vida o maior matemático de todos os tempos, um gênio e até o apelido de "Rei da Matemática". E tudo engenhoso, como você sabe, é simples! A propósito, não apenas otários, mas também gênios caem no dinheiro - o retrato de Gauss foi exibido em uma nota de 10 marcos alemães (antes da introdução do euro), e Gauss ainda sorri misteriosamente para os alemães em selos postais comuns.
O método de Gauss é simples, pois basta o conhecimento de um aluno da quinta série para dominá-lo. Deve ser capaz de somar e multiplicar! Não é por acaso que o método exclusão sequencial professores desconhecidos são frequentemente considerados nas disciplinas eletivas de matemática da escola. É um paradoxo, mas o método de Gauss causa as maiores dificuldades para os alunos. Nada surpreendente - é tudo sobre a metodologia, e tentarei contar de forma acessível sobre o algoritmo do método.
Primeiramente, sistematizamos um pouco o conhecimento sobre sistemas de equações lineares. Um sistema de equações lineares pode:
1) Tenha uma solução única.
2) Tenha infinitas soluções.
3) Não ter soluções (ser incompatível).
O método de Gauss é a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar uma solução algum sistemas de equações lineares. Como nos lembramos Regra de Cramer e método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. Um método de eliminação sucessiva de incógnitas de qualquer forma nos leve à resposta! Nesta lição, voltaremos a considerar o método de Gauss para o caso nº 1 (a única solução do sistema), um artigo é reservado para as situações dos pontos nº 2-3. Observo que o próprio algoritmo do método funciona da mesma maneira nos três casos.
De volta a o sistema mais simples da lição Como resolver um sistema de equações lineares?
e resolva usando o método gaussiano.
O primeiro passo é escrever sistema de matriz estendida:
. Por qual princípio os coeficientes são registrados, acho que todos podem ver. A linha vertical dentro da matriz não tem nenhum significado matemático - é apenas um rascunho para facilitar o design.
Referência: Eu recomendo lembrartermos álgebra Linear.Matriz do sistema é uma matriz composta apenas pelos coeficientes das incógnitas, em este exemplo matriz do sistema: . Matriz de sistema estendida é a mesma matriz do sistema mais uma coluna de membros livres, neste caso: . Qualquer uma das matrizes pode ser chamada simplesmente de matriz por brevidade.
Depois que o sistema de matriz estendida é escrito, é necessário executar algumas ações com ele, também chamadas de transformações elementares.
Existem as seguintes transformações elementares:
1) Cordas matrizes pode ser reorganizado lugares. Por exemplo, na matriz em consideração, você pode reorganizar com segurança a primeira e a segunda linhas: 
2) Se houver (ou aparecer) linhas proporcionais (como um caso especial - idênticas) na matriz, segue-se excluir da matriz, todas essas linhas, exceto uma. Considere, por exemplo, a matriz 
. Nesta matriz, as três últimas linhas são proporcionais, então basta deixar apenas uma delas: 
.
3) Se uma linha zero apareceu na matriz durante as transformações, também segue excluir. Não vou desenhar, claro, a linha zero é a linha em que apenas zeros.
4) A linha da matriz pode ser multiplicar (dividir) para qualquer número diferente de zero. Considere, por exemplo, a matriz . Aqui é aconselhável dividir a primeira linha por -3 e multiplicar a segunda linha por 2: 
. Esta ação é muito útil, pois simplifica outras transformações da matriz.
5) Essa transformação causa mais dificuldades, mas na verdade também não há nada complicado. Para a linha da matriz, você pode adicione outra string multiplicada por um número, diferente de zero. Considere nossa matriz de estudo de caso: . Primeiro, descreverei a transformação em detalhes. Multiplique a primeira linha por -2: 
, e à segunda linha adicionamos a primeira linha multiplicada por -2: . Agora a primeira linha pode ser dividida "de volta" por -2: . Como você pode ver, a linha que é ADDED LI – não mudou. É sempre a linha é alterada, A QUAL ADICIONOU UT.
Na prática, é claro, eles não pintam com tantos detalhes, mas escrevem de forma mais curta: 
Mais uma vez: para a segunda linha adicionado a primeira linha multiplicado por -2. A linha geralmente é multiplicada oralmente ou em um rascunho, enquanto o curso mental dos cálculos é mais ou menos assim:
"Eu reescrevo a matriz e reescrevo a primeira linha:"
Primeira coluna primeiro. Abaixo eu preciso obter zero. Portanto, multiplico a unidade acima por -2: e adiciono a primeira à segunda linha: 2 + (-2) = 0. Escrevo o resultado na segunda linha: 
»
“Agora a segunda coluna. Acima de -1 vezes -2: . Adiciono o primeiro à segunda linha: 1 + 2 = 3. Escrevo o resultado na segunda linha: "
“E a terceira coluna. Acima de -5 vezes -2: . Adiciono a primeira linha à segunda linha: -7 + 10 = 3. Escrevo o resultado na segunda linha: »
Por favor, pense cuidadosamente sobre este exemplo e entenda o algoritmo de cálculo sequencial, se você entender isso, então o método de Gauss está praticamente "no seu bolso". Mas, claro, ainda estamos trabalhando nessa transformação.
Transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações
! ATENÇÃO: manipulações consideradas não pode usar, se lhe for oferecida uma tarefa em que as matrizes são dadas "por si mesmas". Por exemplo, com "clássico" matrizes em nenhum caso você deve reorganizar algo dentro das matrizes!
Voltemos ao nosso sistema. Ela está quase terminando.
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e, usando transformações elementares, reduzi-la a visão escalonada:
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A propósito, por que multiplicamos a primeira linha por -2? Para obter zero na parte inferior, o que significa livrar-se de uma variável na segunda linha.
(2) Divida a segunda linha por 3.
O propósito das transformações elementares–
converta a matriz para a forma de passo: 
. No desenho da tarefa, eles enfatizam diretamente com um simples lápis"escada", e também circule os números que estão localizados nos "degraus". O termo "visão escalonada" em si não é inteiramente teórico; na literatura científica e educacional, é freqüentemente chamado de visão trapezoidal ou visão triangular.
Como resultado de transformações elementares, obtivemos equivalente sistema original de equações:
Agora o sistema precisa ser "destorcido" em direção oposta de baixo para cima, esse processo é chamado método de Gauss reverso.
Na equação inferior, já temos o resultado final: .
Considere a primeira equação do sistema e substitua nela o valor já conhecido de “y”:
Vamos considerar a situação mais comum, quando o método gaussiano é necessário para resolver um sistema de três equações lineares com três incógnitas.
Exemplo 1
Resolva o sistema de equações usando o método de Gauss:
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
Agora vou desenhar imediatamente o resultado ao qual chegaremos no decorrer da solução:
E repito, nosso objetivo é trazer a matriz para uma forma escalonada usando transformações elementares. Por onde começar a agir?
Primeiro, olhe para o número superior esquerdo: 
Deveria estar quase sempre aqui unidade. De um modo geral, -1 (e às vezes outros números) também serve, mas de alguma forma tradicionalmente acontece que uma unidade é geralmente colocada lá. Como organizar uma unidade? Olhamos para a primeira coluna - temos uma unidade pronta! Transformação um: troque a primeira e a terceira linhas: 
Agora a primeira linha permanecerá inalterada até o final da solução. Agora tudo bem.
A unidade no canto superior esquerdo é organizada. Agora você precisa obter zeros nestes lugares: 
Os zeros são obtidos apenas com a ajuda de uma transformação "difícil". Primeiro, lidamos com a segunda linha (2, -1, 3, 13). O que precisa ser feito para obter zero na primeira posição? Precisar à segunda linha, adicione a primeira linha multiplicada por -2. Mentalmente ou em rascunho, multiplicamos a primeira linha por -2: (-2, -4, 2, -18). E realizamos consistentemente (novamente mentalmente ou em rascunho) adição, à segunda linha adicionamos a primeira linha, já multiplicada por -2:
O resultado é escrito na segunda linha: 
Da mesma forma, lidamos com a terceira linha (3, 2, -5, -1). Para obter zero na primeira posição, você precisa à terceira linha, adicione a primeira linha multiplicada por -3. Mentalmente ou em rascunho, multiplicamos a primeira linha por -3: (-3, -6, 3, -27). E à terceira linha adicionamos a primeira linha multiplicada por -3:
O resultado está escrito na terceira linha:
Na prática, essas ações geralmente são realizadas verbalmente e escritas em uma única etapa: 
Não há necessidade de contar tudo de uma vez e ao mesmo tempo. A ordem dos cálculos e "inserção" dos resultados consistente e geralmente assim: primeiro reescrevemos a primeira linha e nos bufamos silenciosamente - CONSISTENTEMENTE e COM CUIDADO:
E já considerei o curso mental dos próprios cálculos acima.
Neste exemplo, isso é fácil de fazer, dividimos a segunda linha por -5 (já que todos os números ali são divisíveis por 5 sem deixar resto). Ao mesmo tempo, dividimos a terceira linha por -2, porque quanto menor o número, mais solução mais fácil:
No estágio final das transformações elementares, mais um zero deve ser obtido aqui: 
Por esta à terceira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -2:
Tente analisar você mesmo esta ação - multiplique mentalmente a segunda linha por -2 e faça a adição.
A última ação realizada é o penteado do resultado, divida a terceira linha por 3.
Como resultado de transformações elementares, foi obtido um sistema inicial equivalente de equações lineares: 
Legal.
Agora, o curso inverso do método gaussiano entra em ação. As equações "desenrolam" de baixo para cima.
Na terceira equação, já temos o resultado final:
Vejamos a segunda equação: . O significado de "z" já é conhecido, assim:
E por fim, a primeira equação: . "Y" e "Z" são conhecidos, o assunto é pequeno:
Responda: 
Como já foi repetidamente observado, para qualquer sistema de equações, é possível e necessário verificar a solução encontrada, felizmente, isso não é difícil e rápido.
Exemplo 2
Este é um exemplo de auto-resolução, uma amostra de acabamento e uma resposta no final da lição.
Deve-se notar que seu curso de ação pode não coincidir com o meu curso de ação, e esta é uma característica do método de Gauss. Mas as respostas devem ser as mesmas!
Exemplo 3
Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss
Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma escalonada:
Nós olhamos para o "degrau" superior esquerdo. Lá deveríamos ter uma unidade. O problema é que não há ninguém na primeira coluna, então nada pode ser resolvido reorganizando as linhas. Nesses casos, a unidade deve ser organizada usando uma transformação elementar. Isso geralmente pode ser feito de várias maneiras. Eu fiz isso: (1) À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por -1 e realizamos a soma da primeira e segunda linhas, enquanto a segunda linha não mudou.
Agora no canto superior esquerdo -1, o que nos convém muito bem. Quem quiser obter +1 pode realizar um gesto adicional: multiplique a primeira linha por -1 (mude seu sinal).
(2) A primeira linha multiplicada por 5 foi adicionada à segunda linha. A primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.
(3) A primeira linha foi multiplicada por -1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para a segunda posição, assim, na segunda “etapa, tínhamos a unidade desejada.
(4) A segunda linha multiplicada por 2 foi adicionada à terceira linha.
(5) A terceira linha foi dividida por 3.
Um mau sinal que indica um erro de cálculo (menos frequentemente um erro de digitação) é um resultado final “ruim”. Ou seja, se obtivermos algo como abaixo e, consequentemente, 
, então, com um alto grau de probabilidade, pode-se argumentar que um erro foi cometido durante as transformações elementares.
Cobramos o movimento reverso, no design de exemplos, o próprio sistema muitas vezes não é reescrito e as equações são “tiradas diretamente da matriz fornecida”. O movimento reverso, eu lembro, funciona de baixo para cima:
Sim, aqui está um presente:
Responda: 
.
Exemplo 4
Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss 
Este é um exemplo de solução independente, é um pouco mais complicado. Tudo bem se alguém ficar confuso. Solução completa e amostra de design no final da lição. Sua solução pode ser diferente da minha.
Na última parte, consideramos algumas características do algoritmo de Gauss.
A primeira característica é que às vezes faltam algumas variáveis nas equações do sistema, por exemplo: 
Como escrever corretamente a matriz aumentada do sistema? Eu já falei sobre esse momento na aula. Regra de Cramer. método de matriz. Na matriz expandida do sistema, colocamos zeros no lugar das variáveis que faltam: 
A propósito, é bastante exemplo fácil, pois já existe um zero na primeira coluna e há menos transformações elementares a serem realizadas.
A segunda característica é esta. Em todos os exemplos considerados, colocamos –1 ou +1 nos “degraus”. Pode haver outros números? Em alguns casos, eles podem. Considere o sistema: .
Aqui no "degrau" superior esquerdo, temos um deuce. Mas notamos o fato de que todos os números da primeira coluna são divisíveis por 2 sem resto - e outros dois e seis. E o deuce no canto superior esquerdo nos convém! Na primeira etapa, você precisa realizar as seguintes transformações: somar a primeira linha multiplicada por -1 à segunda linha; à terceira linha, adicione a primeira linha multiplicada por -3. Assim, obteremos os zeros desejados na primeira coluna.
Ou outro exemplo hipotético: 
. Aqui, o triplo no segundo “degrau” também nos convém, já que 12 (o lugar onde precisamos obter o zero) é divisível por 3 sem resto. É necessário realizar a seguinte transformação: à terceira linha, adicionar a segunda linha, multiplicada por -4, como resultado, obteremos o zero de que precisamos.
O método de Gauss é universal, mas há uma peculiaridade. Você pode aprender com confiança como resolver sistemas por outros métodos (método de Cramer, método de matriz) literalmente desde a primeira vez - existe um algoritmo muito rígido. Mas, para se sentir confiante no método de Gauss, você deve “encher a mão” e resolver pelo menos 5 a 10 dez sistemas. Portanto, a princípio pode haver confusão, erros de cálculo, e não há nada de incomum ou trágico nisso.
chuvoso clima de outono fora da janela ... Portanto, para todos, um exemplo mais complexo para uma solução independente:
Exemplo 5
Resolva um sistema de 4 equações lineares com quatro incógnitas usando o método de Gauss. 
Tal tarefa na prática não é tão rara. Acho que mesmo um bule que estudou esta página em detalhes entende o algoritmo para resolver esse sistema intuitivamente. Basicamente o mesmo - apenas mais ação.
Os casos em que o sistema não possui soluções (inconsistentes) ou possui infinitas soluções são considerados na lição. Sistemas incompatíveis e sistemas com uma solução comum. Lá você pode corrigir o algoritmo considerado do método de Gauss.
Desejo-lhe sucesso!
Soluções e respostas:
Exemplo 2: Vamos anotar a matriz aumentada do sistema e com a ajuda de transformações elementares trazemos para a forma escalonada.
Transformações elementares realizadas:
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1.Atenção!
Aqui pode ser tentador subtrair a primeira da terceira linha, eu não recomendo subtrair - o risco de erro aumenta muito. Nós apenas dobramos!
(2) O sinal da segunda linha foi alterado (multiplicado por -1). A segunda e terceira linhas foram trocadas.Nota
que nas “etapas” ficamos satisfeitos não só com um, mas também com -1, o que é ainda mais conveniente.
(3) À terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por 5.
(4) O sinal da segunda linha foi alterado (multiplicado por -1). A terceira linha foi dividida por 14.
Movimento reverso:
Responda: 
.
Exemplo 4: Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, a trazemos para uma forma escalonada:
Conversões realizadas:
(1) A segunda linha foi adicionada à primeira linha. Assim, a unidade desejada é organizada no “degrau” superior esquerdo.
(2) A primeira linha multiplicada por 7 foi adicionada à segunda linha.A primeira linha multiplicada por 6 foi adicionada à terceira linha.
Com o segundo "passo" tudo é pior , os "candidatos" são os números 17 e 23, e precisamos de um ou -1. As transformações (3) e (4) visarão obter a unidade desejada
(3) A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1.
(4) A terceira linha, multiplicada por -3, foi adicionada à segunda linha.
A coisa necessária na segunda etapa é recebida
.
(5) À terceira linha acrescente a segunda, multiplicada por 6.
(6) A segunda linha foi multiplicada por -1, a terceira linha foi dividida por -83..Obviamente, o plano é determinado unicamente por três pontos diferentes que não estão em uma linha reta. Portanto, as designações de planos de três letras são bastante populares - de acordo com os pontos pertencentes a eles, por exemplo; .Se membros gratuitos
As equações em geral, as equações algébricas lineares e seus sistemas, bem como os métodos para resolvê-los, ocupam um lugar especial na matemática, tanto teórica quanto aplicada.
Isso se deve ao fato de que a grande maioria dos problemas físicos, econômicos, técnicos e até pedagógicos podem ser descritos e resolvidos por meio de uma variedade de equações e seus sistemas. Recentemente, a modelagem matemática ganhou popularidade particular entre pesquisadores, cientistas e profissionais em quase todas as áreas temáticas, o que é explicado por suas vantagens óbvias sobre outros métodos bem conhecidos e comprovados para estudar objetos de várias naturezas, em particular, os chamados complexos sistemas. Existe uma grande variedade de diferentes definições de um modelo matemático dadas por cientistas em tempos diferentes, mas em nossa opinião, o mais bem sucedido é a seguinte declaração. Modelo matemáticoé uma ideia expressa por uma equação. Assim, a capacidade de compor e resolver equações e seus sistemas é uma característica integral de um especialista moderno.
Para resolver sistemas de equações algébricas lineares, os métodos mais utilizados são: Cramer, Jordan-Gauss e o método matricial.
Método de solução de matriz - um método de resolução de sistemas de equações algébricas lineares com um determinante diferente de zero usando uma matriz inversa.
Se escrevermos os coeficientes para valores desconhecidos xi na matriz A, coletarmos os valores desconhecidos no vetor da coluna X e os termos livres no vetor da coluna B, então o sistema de equações algébricas lineares pode ser escrito em a forma da seguinte equação matricial A X = B, que tem solução única somente quando o determinante da matriz A não é igual a zero. Neste caso, a solução do sistema de equações pode ser encontrada Da seguinte maneira x = UMA-1 · B, Onde UMA-1 - matriz inversa.
O método de solução de matriz é o seguinte.
Seja um sistema de equações lineares dado com n desconhecido:
Pode ser reescrito na forma matricial: MACHADO = B, Onde UMA- a matriz principal do sistema, B e x- colunas de membros livres e soluções do sistema, respectivamente:
Multiplique esta equação matricial à esquerda por UMA-1 - matriz inversa à matriz UMA: UMA -1 (MACHADO) = UMA -1 B
Porque UMA -1 UMA = E, Nós temos x= A -1 B. O lado direito desta equação dará uma coluna de soluções para o sistema original. Condição de aplicabilidade este método(assim como em geral a existência de uma solução não é sistema homogêneo equações lineares com número de equações, igual ao número incógnitas) é a não singularidade da matriz UMA. Uma condição necessária e suficiente para isso é que o determinante da matriz UMA: det UMA≠ 0.
Para um sistema homogêneo de equações lineares, isto é, quando o vetor B = 0 , na verdade a regra oposta: o sistema MACHADO = 0 tem uma solução não trivial (ou seja, diferente de zero) somente se det UMA= 0. Essa conexão entre as soluções de sistemas homogêneos e não homogêneos de equações lineares é chamada de alternativa de Fredholm.
Exemplo soluções de um sistema não homogêneo de equações algébricas lineares.
Certifiquemo-nos de que o determinante da matriz, composta pelos coeficientes das incógnitas do sistema de equações algébricas lineares, não é igual a zero.
O próximo passo é calcular os complementos algébricos para os elementos da matriz composta pelos coeficientes das incógnitas. Eles serão necessários para encontrar a matriz inversa.
