Linha através de dois pontos. Equação geral de uma reta. Casos particulares da equação geral de uma reta

Este artigo revela a derivação da equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados em sistema retangular coordenadas localizadas no plano. Derivamos a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados em um sistema de coordenadas retangulares. Mostraremos e resolveremos visualmente vários exemplos relacionados ao material abordado.

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Antes de obter a equação de uma reta que passa por dois pontos dados, é necessário atentar para alguns fatos. Existe um axioma que diz que através de dois pontos não coincidentes em um plano é possível traçar uma reta e apenas uma. Em outras palavras, dois pontos dados do plano são determinados por uma linha reta que passa por esses pontos.

Se o plano é dado pelo sistema de coordenadas retangulares Oxy, então qualquer linha reta representada nele corresponderá à equação da linha reta no plano. Há também uma conexão com o vetor diretor da reta, dados suficientes para elaborar a equação de uma reta que passa por dois pontos dados.

Considere um exemplo de resolução de um problema semelhante. É necessário compor a equação de uma reta a passando por dois pontos desencontrados M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) localizados no sistema de coordenadas cartesianas.

Na equação canônica de uma linha reta em um plano, tendo a forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , um sistema de coordenadas retangulares O x y é especificado com uma linha reta que se cruza com ela em um ponto com coordenadas M 1 (x 1, y 1) com um vetor guia a → = (a x , a y) .

É necessário compor a equação canônica da reta a, que passará por dois pontos de coordenadas M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) .

A reta a tem um vetor diretor M 1 M 2 → com coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pois intercepta os pontos M 1 e M 2. Obtivemos os dados necessários para transformar a equação canônica com as coordenadas do vetor de direção M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) e as coordenadas dos pontos M 1 sobre eles (x 1, y 1) e M 2 (x 2 , y 2). Obtemos uma equação da forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Considere a figura abaixo.

Após os cálculos, escrevemos as equações paramétricas de uma reta em um plano que passa por dois pontos com coordenadas M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) . Obtemos uma equação da forma x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ou x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Vejamos mais de perto alguns exemplos.

Exemplo 1

Escreva a equação de uma linha reta que passa por 2 pontos dados com coordenadas M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Solução

A equação canônica para uma linha reta que intercepta em dois pontos com coordenadas x 1 , y 1 e x 2 , y 2 assume a forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . De acordo com a condição do problema, temos que x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. É necessário substituir valores numéricos na equação x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . A partir daqui temos que a equação canônica terá a forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Resposta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Se for necessário resolver um problema com um tipo diferente de equação, para começar, você pode ir para o canônico, pois é mais fácil chegar a qualquer outro.

Exemplo 2

Componha a equação geral de uma linha reta que passa por pontos com coordenadas M 1 (1, 1) e M 2 (4, 2) no sistema de coordenadas O x y.

Solução

Primeiro você precisa escrever a equação canônica de uma dada reta que passa pelos dois pontos dados. Obtemos uma equação da forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Trazemos a equação canônica para a forma desejada, então obtemos:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Responda: x - 3 y + 2 = 0 .

Exemplos de tais tarefas foram considerados em livros escolares nas aulas de álgebra. As tarefas escolares diferiam porque a equação de uma linha reta com fator de inclinação, tendo a forma y = k x + b . Se você precisar encontrar o valor da inclinação ke o número b, no qual a equação y \u003d k x + b define uma linha no sistema O x y que passa pelos pontos M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) , onde x 1 ≠ x 2 . Quando x 1 = x 2 , então a inclinação assume o valor de infinito, e a linha M 1 M 2 é definida pelo geral equação incompleta da forma x - x 1 = 0 .

Porque os pontos M 1 e M 2 estão em uma linha reta, então suas coordenadas satisfazem a equação y 1 = k x 1 + b e y 2 = k x 2 + b. É necessário resolver o sistema de equações y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b em relação a ke b.

Para fazer isso, encontramos k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Com esses valores de k e b, a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados assume a seguinte forma y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Memorizar um número tão grande de fórmulas de uma só vez não funcionará. Para fazer isso, é necessário aumentar o número de repetições na resolução de problemas.

Exemplo 3

Escreva a equação de uma reta com inclinação que passa por pontos com coordenadas M 2 (2, 1) e y = k x + b.

Solução

Para resolver o problema, usamos uma fórmula com uma inclinação que tem a forma y \u003d k x + b. Os coeficientes keb devem ter um valor tal que esta equação corresponda a uma linha reta que passa por dois pontos com coordenadas M 1 (- 7 , - 5) e M 2 (2 , 1) .

pontos M 1 e M 2 localizados em uma linha reta, então suas coordenadas devem inverter a equação y = k x + b a igualdade correta. Daqui temos que - 5 = k · (- 7) + b e 1 = k · 2 + b. Vamos combinar a equação no sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b e resolver.

Na substituição, obtemos que

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Agora os valores k = 2 3 e b = - 1 3 são substituídos na equação y = k x + b . Obtemos que a equação desejada passando pelos pontos dados será uma equação que tem a forma y = 2 3 x - 1 3 .

Essa forma de resolver predetermina o gasto um grande número Tempo. Existe uma maneira pela qual a tarefa é resolvida literalmente em duas etapas.

Escrevemos a equação canônica de uma linha reta que passa por M 2 (2, 1) e M 1 (- 7, - 5) , tendo a forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Agora vamos passar para a equação da inclinação. Obtemos que: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Resposta: y = 2 3 x - 1 3 .

Se em espaço tridimensional existe um sistema de coordenadas retangular O x y z com dois pontos dados não coincidentes com coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), uma linha reta M 1 M 2 passando por eles, você precisa obter a equação desta linha.

Nós temos isso equações canônicas da forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z e tipos paramétricos x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ são capazes de definir uma linha no sistema de coordenadas O x y z passando por pontos com coordenadas (x 1 , y 1 , z 1) com vetor de direção a → = (a x , a y , a z) .

Reta M 1 M 2 tem um vetor direcional da forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , onde a linha passa pelo ponto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), portanto, a equação canônica pode ser da forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, por sua vez, paramétrico x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ou x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Considere uma figura que mostra 2 pontos dados no espaço e a equação de uma linha reta.

Exemplo 4

Escreva a equação de uma linha reta definida em um sistema de coordenadas retangular O x y z do espaço tridimensional, passando pelos dois pontos dados com coordenadas M 1 (2, - 3, 0) e M 2 (1, - 3, - 5 ).

Solução

Precisamos encontrar a equação canônica. Porque nós estamos falando sobre o espaço tridimensional, o que significa que, quando uma linha reta passa por determinados pontos, a equação canônica desejada terá a forma x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - z 1 z 2 - z 1.

Por condição, temos que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Segue-se que as equações necessárias podem ser escritas da seguinte forma:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Resposta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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Neste artigo, consideraremos a equação geral de uma linha reta em um plano. Vamos dar exemplos da construção equação geral reta se dois pontos desta reta são conhecidos, ou se um ponto e o vetor normal desta reta são conhecidos. Vamos apresentar métodos para converter uma equação em visão geral em formas canônicas e paramétricas.

Seja dado um sistema de coordenadas retangulares cartesianas arbitrárias Oxi. Considere uma equação de primeiro grau ou equação linear:

Machado+Por+C=0,

(1)

Onde A, B, C são algumas constantes, e pelo menos um dos elementos UMA e B diferente de zero.

Mostraremos que uma equação linear no plano define uma linha reta. Vamos provar o seguinte teorema.

Teorema 1. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas arbitrárias em um plano, cada linha reta pode ser dada por uma equação linear. Por outro lado, cada equação linear (1) em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas arbitrárias no plano define uma linha reta.

Prova. Basta provar que a linha eué determinado por uma equação linear para qualquer sistema de coordenadas retangulares cartesianas, desde então será determinado por uma equação linear e para qualquer escolha de sistema de coordenadas retangulares cartesianas.

Seja uma linha reta no plano eu. Escolhemos um sistema de coordenadas para que o eixo Boi alinhado com a linha eu, e o eixo Oi era perpendicular a ela. Então a equação da reta eu terá a seguinte forma:

y=0.

(2)

Todos os pontos em uma linha eu irá satisfazer a equação linear (2), e todos os pontos fora desta linha reta não irão satisfazer a equação (2). A primeira parte do teorema está provada.

Seja dado um sistema de coordenadas retangulares cartesianas e seja dada a equação linear (1), onde pelo menos um dos elementos UMA e B diferente de zero. Encontre o lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas satisfazem a equação (1). Uma vez que pelo menos um dos coeficientes UMA e Bé diferente de zero, então a equação (1) tem pelo menos uma solução M(x 0 ,y 0). (Por exemplo, quando UMA≠0, ponto M 0 (−C/A, 0) pertence ao lugar geométrico dos pontos dado). Substituindo essas coordenadas em (1) obtemos a identidade

Machado 0 +Por 0 +C=0.

(3)

Vamos subtrair a identidade (3) de (1):

UMA(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Obviamente, a equação (4) é equivalente à equação (1). Portanto, basta provar que (4) define alguma linha.

Como estamos considerando um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, segue da igualdade (4) que o vetor com componentes ( x−x 0 , a-a 0 ) é ortogonal ao vetor n com coordenadas ( A,B}.

Considere alguma linha eu passando pelo ponto M 0 (x 0 , y 0) e perpendicular ao vetor n(Figura 1). Deixe o ponto M(x,y) pertence à linha eu. Então o vetor com coordenadas x−x 0 , a-a 0 perpendicular n e a equação (4) é satisfeita (produto escalar de vetores n e igual a zero). Por outro lado, se o ponto M(x,y) não se encontra em uma linha eu, então o vetor com coordenadas x−x 0 , a-a 0 não é ortogonal ao vetor n e a equação (4) não é satisfeita. O teorema foi provado.

Prova. Como as linhas (5) e (6) definem a mesma linha, os vetores normais n 1 ={UMA 1 ,B 1) e n 2 ={UMA 2 ,B 2) são colineares. Uma vez que os vetores n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, então existe um número λ , o que n 2 =n 1 λ . Daí temos: UMA 2 =UMA 1 λ , B 2 =B 1 λ . Vamos provar isso C 2 =C 1 λ . É óbvio que as linhas coincidentes têm um ponto comum M 0 (x 0 , y 0). Multiplicando a equação (5) por λ e subtraindo a equação (6) dela temos:

Como as duas primeiras igualdades das expressões (7) são satisfeitas, então C 1 λ −C 2=0. Aqueles. C 2 =C 1 λ . A observação foi comprovada.

Observe que a equação (4) define a equação de uma linha reta que passa pelo ponto M 0 (x 0 , y 0) e tendo um vetor normal n={A,B). Portanto, se o vetor normal da reta e o ponto pertencente a essa reta são conhecidos, então a equação geral da reta pode ser construída usando a equação (4).

Exemplo 1. Uma linha passa por um ponto M=(4,−1) e tem um vetor normal n=(3, 5). Construir a equação geral de uma linha reta.

Solução. Nós temos: x 0 =4, y 0 =−1, UMA=3, B=5. Para construir a equação geral de uma reta, substituímos esses valores na equação (4):

Responda:

Vetor paralelo à linha eu e, portanto, é perpendicular ao vetor normal da linha eu. Vamos construir um vetor de linha normal eu, dado que produto escalar vetores n e é igual a zero. Podemos escrever, por exemplo, n={1,−3}.

Para construir a equação geral de uma linha reta, usamos a fórmula (4). Vamos substituir em (4) as coordenadas do ponto M 1 (também podemos tomar as coordenadas do ponto M 2) e o vetor normal n:

Substituindo as coordenadas do ponto M 1 e M 2 em (9) podemos ter certeza de que a reta dada pela equação (9) passa por esses pontos.

Responda:

Subtraia (10) de (1):

Obtivemos a equação canônica de uma linha reta. Vetor q={−B, UMA) é o vetor de direção da linha reta (12).

Veja transformação reversa.

Exemplo 3. Uma linha reta em um plano é representada pela seguinte equação geral:

Mova o segundo termo para a direita e divida ambos os lados da equação por 2 5.

Equação de uma linha que passa por um determinado ponto em uma determinada direção. Equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados. Ângulo entre duas linhas. Condição de paralelismo e perpendicularidade de duas linhas. Determinando o ponto de intersecção de duas linhas

1. Equação de uma linha que passa por um ponto dado UMA(x 1 , y 1) em uma determinada direção, determinada pela inclinação k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Esta equação define um lápis de linhas passando por um ponto UMA(x 1 , y 1), que é chamado de centro da viga.

2. Equação de uma linha reta que passa por dois pontos: UMA(x 1 , y 1) e B(x 2 , y 2) está escrito assim:

A inclinação de uma linha reta que passa por dois pontos dados é determinada pela fórmula

3. Ângulo entre linhas retas UMA e Bé o ângulo pelo qual a primeira linha reta deve ser girada UMA em torno do ponto de intersecção dessas linhas no sentido anti-horário até coincidir com a segunda linha B. Se duas linhas são dadas por equações de inclinação

y = k 1 x + B 1 ,

Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem

Ah + Wu + C = 0,

e as constantes A, B não são iguais a zero ao mesmo tempo. Essa equação de primeira ordem é chamada a equação geral de uma reta. Dependendo dos valores constante A, B e C, os seguintes casos especiais são possíveis:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - a linha passa pela origem

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - a linha reta coincide com o eixo Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - a linha reta coincide com o eixo Ox

A equação de uma reta pode ser representada em várias formas dependendo de quaisquer condições iniciais dadas.

Equação de uma linha reta por um ponto e um vetor normal

Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B) é perpendicular a uma linha, dado pela equação Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto A(1, 2) perpendicular a (3, -1).

Solução. Em A = 3 e B = -1, compomos a equação de uma linha reta: 3x - y + C = 0. Para encontrar o coeficiente C, substituímos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. 3 - 2 + C = 0, portanto, C = -1 . Total: a equação desejada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equação de uma reta que passa por dois pontos

Sejam dois pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2) no espaço, então a equação de uma linha reta que passa por esses pontos:

Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero. No plano, a equação da reta escrita acima é simplificada:

se x 1 ≠ x 2 e x = x 1 se x 1 = x 2.

Fração = k é chamada fator de inclinação direto.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).

Solução. Aplicando a fórmula acima, obtemos:

Equação de uma linha reta a partir de um ponto e uma inclinação

Se o total Ax + Wu + C = 0 levar à forma:

e designar , então a equação resultante é chamada equação de uma reta com inclinaçãok.

Equação de uma linha reta com um vetor ponto e direção

Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através do vetor normal, você pode inserir a atribuição de uma linha reta através de um ponto e um vetor direcionador de uma linha reta.

Definição. Cada vetor diferente de zero (α 1, α 2), cujos componentes satisfazem a condição A α 1 + B α 2 = 0, é chamado de vetor diretor da linha

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).

Solução. Procuraremos a equação da reta desejada na forma: Ax + By + C = 0. De acordo com a definição, os coeficientes devem satisfazer as condições:

1 * A + (-1) * B = 0, ou seja A = B

Então a equação de uma linha reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0. para x = 1, y = 2 obtemos C / A = -3, ou seja. equação desejada:

Equação de uma linha reta em segmentos

Se na equação geral da reta Ah + Wu + C = 0 C≠0, então, dividindo por –C, obtemos: ou

O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente umaé a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo x, e b- a coordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo Oy.

Exemplo. Dada a equação geral da reta x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta reta nos segmentos.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equação normal de uma reta

Se ambos os lados da equação Ax + Vy + C = 0 são multiplicados pelo número , que é chamado fator de normalização, então obtemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

equação normal de uma reta. O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Exemplo. Dada a equação geral da linha reta 12x - 5y - 65 \u003d 0. É necessário escrever tipos diferentes equações desta reta.

a equação desta reta em segmentos:

a equação desta linha com a inclinação: (dividir por 5)

; cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.

Deve-se notar que nem toda reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, retas paralelas aos eixos ou passando pela origem.

Exemplo. A linha reta corta segmentos positivos iguais nos eixos coordenados. Escreva a equação de uma reta se a área do triângulo formado por esses segmentos for 8 cm 2.

Solução. A equação da reta tem a forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Exemplo. Escreva a equação de uma reta que passa pelo ponto A (-2, -3) e pela origem.

Solução. A equação de uma reta tem a forma: , onde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ângulo entre linhas em um plano

Definição. Se duas linhas são dadas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , então o ângulo agudo entre essas linhas será definido como

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2 . Duas retas são perpendiculares se k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. As linhas retas Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelas quando os coeficientes A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB são proporcionais. Se também С 1 = λС, então as linhas coincidem. As coordenadas do ponto de interseção de duas retas são encontradas como solução para o sistema de equações dessas retas.

Equação de uma linha que passa por um ponto dado perpendicular a uma linha dada

Definição. A linha que passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y \u003d kx + b é representada pela equação:

Distância do ponto à linha

Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for fornecido, a distância até a linha Ax + Vy + C \u003d 0 será definida como

Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular baixada do ponto M até a reta dada. Então a distância entre os pontos M e M 1:

(1)

As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicular a uma linha reta dada. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, temos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Exemplo. Determine o ângulo entre as linhas: y = -3 x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π/4.

Exemplo. Mostre que as retas 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 são perpendiculares.

Solução. Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, portanto, as linhas são perpendiculares.

Exemplo. Os vértices do triângulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) são dados. Encontre a equação para a altura tirada do vértice C.

Solução. Encontramos a equação do lado AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

A equação de altura desejada é: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Então y = . Porque a altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação: onde b = 17. Total: .

Resposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Equação de uma linha em um plano.

Como se sabe, qualquer ponto no plano é determinado por duas coordenadas em algum sistema de coordenadas. Os sistemas de coordenadas podem ser diferentes dependendo da escolha da base e da origem.

Definição. Equação de linhaé a relação y = f(x) entre as coordenadas dos pontos que compõem esta reta.

Observe que a equação da reta pode ser expressa de forma paramétrica, ou seja, cada coordenada de cada ponto é expressa através de algum parâmetro independente t.

Um exemplo típico é a trajetória de um ponto em movimento. Neste caso, o tempo desempenha o papel de parâmetro.

Equação de uma linha reta em um plano.

Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem

Ah + Wu + C = 0,

além disso, as constantes A, B não são iguais a zero ao mesmo tempo, ou seja, A 2 + B 2  0. Esta equação de primeira ordem é chamada a equação geral de uma reta.

Dependendo dos valores das constantes A, B e C, os seguintes casos especiais são possíveis:

C \u003d 0, A  0, B  0 - a linha passa pela origem

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - a linha reta coincide com o eixo Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - a linha reta coincide com o eixo Ox

A equação de uma linha reta pode ser apresentada de várias formas, dependendo de quaisquer condições iniciais dadas.

Equação de uma reta por um ponto e um vetor normal.

Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B) é perpendicular à linha dada pela equação Ax + By + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto A (1, 2) perpendicular ao vetor (3, -1).

Vamos compor em A \u003d 3 e B \u003d -1 a equação da linha reta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar o coeficiente C, substituímos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante.

Obtemos: 3 - 2 + C \u003d 0, portanto C \u003d -1.

Total: a equação desejada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equação de uma linha reta que passa por dois pontos.

Sejam dois pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2) no espaço, então a equação de uma linha reta que passa por esses pontos:

Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero.

Em um plano, a equação de uma linha reta escrita acima é simplificada:

se x 1  x 2 e x \u003d x 1, se x 1 \u003d x 2.

Fração
=k é chamado fator de inclinação direto.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).

Aplicando a fórmula acima, obtemos:

Equação de uma linha reta por um ponto e uma inclinação.

Se a equação geral da reta Ax + Vy + C = 0 levar à forma:

e designar
, então a equação resultante é chamada equação de uma reta com inclinaçãok.

A equação de uma linha reta em um ponto e um vetor diretor.

Definição. Todo vetor diferente de zero ( 1 ,  2), cujos componentes satisfazem a condição A 1 + B 2 = 0 é chamado de vetor diretor da linha

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com um vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).

Procuraremos a equação da reta desejada na forma: Ax + By + C = 0. De acordo com a definição, os coeficientes devem satisfazer as condições:

1A + (-1)B = 0, ou seja A = B

Então a equação de uma reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C/A = 0.

em x = 1, y = 2 obtemos С/A = -3, ou seja equação desejada:

Equação de uma linha reta em segmentos.

Se na equação geral da reta Ah + Wu + C = 0 C 0, então, dividindo por –C, obtemos:
ou

, Onde

Exemplo. Dada a equação geral da reta x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta reta nos segmentos.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Equação normal de uma reta.

Se ambos os lados da equação Ax + Wy + C = 0 dividido pelo número
, que é chamado fator de normalização, então obtemos

xcos + ysin - p = 0 –

equação normal de uma reta.

O sinal  do fator de normalização deve ser escolhido de modo que С< 0.

p é o comprimento da perpendicular baixada da origem até a reta, e  é o ângulo formado por essa perpendicular com a direção positiva do eixo Ox.

Exemplo. Dada a equação geral da linha 12x - 5y - 65 = 0. É necessário escrever vários tipos de equações para esta linha.

a equação desta reta em segmentos:

a equação desta linha com a inclinação: (dividir por 5)

equação normal de uma reta:

; cos = 12/13; sen = -5/13; p=5.

Deve-se notar que nem toda reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, retas paralelas aos eixos ou passando pela origem.

Exemplo. A linha reta corta segmentos positivos iguais nos eixos coordenados. Escreva a equação de uma reta se a área do triângulo formado por esses segmentos for 8 cm 2.

A equação de uma reta tem a forma:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -quatro.

a = -4 não se enquadra na condição do problema.

Total:
ou x + y - 4 = 0.

Exemplo. Escreva a equação de uma reta que passa pelo ponto A (-2, -3) e pela origem.

A equação de uma reta tem a forma:
, onde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ângulo entre linhas em um plano.

Definição. Se duas linhas são dadas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , então o ângulo agudo entre essas linhas será definido como

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2 .

Duas retas são perpendiculares se k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Retas Ax + Vy + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 são paralelos quando os coeficientes A são proporcionais 1 =  A, B 1 =  B. Se também C 1 =  C, então as linhas coincidem.

As coordenadas do ponto de interseção de duas retas são encontradas como solução para o sistema de equações dessas retas.

Equação de uma linha que passa por um ponto dado

perpendicular a esta linha.

Definição. A linha que passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y \u003d kx + b é representada pela equação:

A distância de um ponto a uma linha.

Teorema. Se um ponto M(x 0 , e 0 ), então a distância para a linha Ax + Vy + C = 0 é definida como

Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular baixada do ponto M até a reta dada. Então a distância entre os pontos M e M 1:

As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicular a uma linha reta dada.

Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, temos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Exemplo. Determine o ângulo entre as linhas: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Exemplo. Mostre que as retas 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 são perpendiculares.

Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, portanto, as linhas são perpendiculares.

Exemplo. Os vértices do triângulo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) são dados. Encontre a equação para a altura tirada do vértice C.

Encontramos a equação do lado AB:
; 4x = 6a - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

A equação de altura desejada é: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b.

k = . Então y =
. Porque a altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação:
onde b = 17. Total:
.

Resposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Geometria analítica no espaço.

Equação de linha no espaço.

A equação de uma linha reta no espaço por um ponto e

vetor de direção.

Pegue uma linha arbitrária e um vetor (m, n, p) paralela à reta dada. Vetor chamado vetor de guia direto.

Vamos pegar dois pontos arbitrários M 0 (x 0 , y 0 , z 0) e M(x, y, z) na linha reta.

Vamos denotar os vetores de raio desses pontos como e , é óbvio que - =
.

Porque vetores
e são colineares, então a relação é verdadeira
= t, onde t é algum parâmetro.

No total, podemos escrever: = + t.

Porque esta equação é satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto na linha, então a equação resultante é equação paramétrica de uma reta.

Esta equação vetorial pode ser representada na forma de coordenadas:

Transformando esse sistema e equacionando os valores do parâmetro t, obtemos as equações canônicas de uma reta no espaço:

Definição. Cossenos de direção diretos são os cossenos de direção do vetor , que pode ser calculado pelas fórmulas:

;

.

Daqui temos: m: n: p = cos : cos : cos.

Os números m, n, p são chamados fatores de inclinação direto. Porque é um vetor diferente de zero, m, n e p não podem ser zero ao mesmo tempo, mas um ou dois desses números podem ser zero. Neste caso, na equação de uma reta, os numeradores correspondentes devem ser igualados a zero.

Equação de uma linha reta no espaço passando

através de dois pontos.

Se dois pontos arbitrários M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2) são marcados em uma linha reta no espaço, então as coordenadas desses pontos devem satisfazer a equação do linha reta obtida acima: