Vamos primeiro considerar o caso em que o número de equações é igual ao número de variáveis, ou seja, m = n. Então a matriz do sistema é quadrada e seu determinante é chamado de determinante do sistema.
Consideremos de forma geral o sistema de equações AX = B com não degenerado matriz quadrada R. Neste caso, há matriz inversa A-1. Vamos multiplicar ambos os lados por A -1 à esquerda. Obtemos A -1 AX \u003d A -1 B. A partir daqui EX \u003d A -1 B e
A última igualdade é uma fórmula matricial para encontrar soluções para tais sistemas de equações. O uso desta fórmula é chamado de método da matriz inversa
Por exemplo, vamos usar este método para resolver o seguinte sistema:
;
Ao final da solução do sistema, uma verificação pode ser feita substituindo os valores encontrados nas equações do sistema. Nesse caso, eles devem se transformar em verdadeiras igualdades.
Para este exemplo, vamos verificar:
Seja n=2:
Se ambas as partes da primeira equação forem multiplicadas por a 22 e ambas as partes da segunda por (-a 12), e as equações resultantes forem adicionadas, excluiremos a variável x 2 do sistema. Da mesma forma, você pode eliminar a variável x 1 (multiplicando ambos os lados da primeira equação por (-a 21) e ambos os lados da segunda por 11). Como resultado, obtemos o sistema:
A expressão entre parênteses é o determinante do sistema
Indicar
Então o sistema terá a forma:
Segue-se do sistema resultante que se o determinante do sistema for 0, então o sistema será consistente e definido. Sua solução única pode ser calculada pelas fórmulas:
Se = 0, a 1 0 e/ou 2 0, então as equações do sistema terão a forma 0*х 1 = 2 e/ou 0*х 1 = 2. Neste caso, o sistema será inconsistente.
No caso em que = 1 = 2 = 0, o sistema será consistente e indefinido (terá um número infinito de soluções), pois terá a forma:
Teorema de Cramer(omitimos a prova). Se o determinante da matriz do sistema n de equações não for igual a zero, então o sistema tem uma solução única, determinada pelas fórmulas:
,
onde j é o determinante da matriz obtida da matriz A substituindo a j-ésima coluna por uma coluna de termos livres.
As fórmulas acima são chamadas Fórmulas de Cramer.
Como exemplo, vamos usar este método para resolver um sistema que foi resolvido anteriormente usando o método da matriz inversa:
Desvantagens dos métodos considerados:
1) complexidade significativa (cálculo de determinantes e obtenção da matriz inversa);
2) escopo limitado (para sistemas com matriz quadrada).
Situações econômicas reais são muitas vezes modeladas por sistemas em que o número de equações e variáveis é bastante significativo e há mais equações do que variáveis, portanto, o método a seguir é mais comum na prática.
Este método é usado para resolver o sistema m equações lineares com n variáveis em visão geral. Sua essência está em aplicar um sistema de transformações equivalentes à matriz expandida, com a ajuda do qual o sistema de equações é transformado na forma quando suas soluções se tornam fáceis de encontrar (se houver).
Esta é uma visão na qual a parte superior esquerda da matriz do sistema será uma matriz escalonada. Isso é obtido usando as mesmas técnicas que foram usadas para obter uma matriz escalonada para determinar o posto. Neste caso, são aplicadas transformações elementares à matriz expandida, o que permitirá obter um sistema de equações equivalente. Depois disso, a matriz aumentada terá a forma:
A obtenção de tal matriz é chamada em linha reta Método de Gauss.
Encontrar os valores das variáveis do sistema de equações correspondente é chamado para trás Método de Gauss. Vamos considerá-lo.
Observe que as últimas (m – r) equações terão a forma:
Se pelo menos um dos números 
não for igual a zero, então a igualdade correspondente será falsa e todo o sistema será inconsistente.
Portanto, para qualquer sistema de articulação 
. Nesse caso, as últimas (m – r) equações para quaisquer valores das variáveis serão identidades 0 = 0, e podem ser ignoradas ao resolver o sistema (basta descartar as linhas correspondentes).
Depois disso, o sistema ficará assim:
Considere primeiro o caso em que r = n. Então o sistema terá a forma:
Da última equação do sistema pode-se encontrar exclusivamente x r .
Conhecendo x r , pode-se expressar exclusivamente x r -1 a partir dele. Então, da equação anterior, conhecendo x r e x r -1 , podemos expressar x r -2 e assim por diante. até x 1 .
Então, neste caso, o sistema será colaborativo e definitivo.
Agora considere o caso em que r
A partir desta equação, podemos expressar a variável básica x r em termos de não-básicas:
A penúltima equação ficará assim:
Substituindo a expressão resultante em vez de x r, será possível expressar a variável básica x r -1 por meio de variáveis não básicas. etc. para a variável x 1 . Para obter uma solução para o sistema, você pode igualar variáveis não básicas a valores arbitrários e depois calcular as variáveis básicas usando as fórmulas obtidas. Assim, neste caso, o sistema será consistente e indeterminado (terá um número infinito de soluções).
Por exemplo, vamos resolver o sistema de equações:
O conjunto de variáveis básicas será chamado base sistemas. O conjunto de colunas de coeficientes para eles também será chamado base(colunas básicas), ou menor básico matrizes do sistema. Essa solução do sistema, na qual todas as variáveis não básicas são iguais a zero, será chamada solução básica.
No exemplo anterior, a solução básica será (4/5; -17/5; 0; 0) (variáveis x 3 e x 4 (c 1 e c 2) são definidas como zero, e as variáveis básicas x 1 e x 2 são calculados através deles). Para dar um exemplo de solução não básica, é necessário igualar x 3 e x 4 (c 1 e c 2) a números arbitrários que não são iguais a zero ao mesmo tempo, e calcular o resto das variáveis por meio de eles. Por exemplo, com c 1 = 1 e c 2 = 0, obtemos uma solução não básica - (4/5; -12/5; 1; 0). Por substituição, é fácil verificar que ambas as soluções estão corretas.
Obviamente, em um sistema indefinido de soluções não básicas, pode haver um número infinito de soluções. Quantas soluções básicas podem existir? Cada linha da matriz transformada deve corresponder a uma variável básica. No total, existem n variáveis no problema e r linhas básicas. Portanto, o número de conjuntos possíveis de variáveis básicas não pode exceder o número de combinações de n a 2 . Pode ser menos de 
, porque nem sempre é possível transformar o sistema de tal forma que esse conjunto específico de variáveis seja a base.
Que tipo é este? Esta é uma forma quando a matriz formada a partir das colunas dos coeficientes para essas variáveis será passo a passo e, neste caso, consistirá em linhas. Aqueles. o posto da matriz de coeficientes para essas variáveis deve ser igual a r. Não pode ser maior, pois o número de colunas é igual a r. Se for menor que r, isso indica uma dependência linear das colunas com variáveis. Essas colunas não podem formar uma base.
Vamos considerar que outras soluções básicas podem ser encontradas no exemplo acima. Para fazer isso, considere todas as combinações possíveis de quatro variáveis com duas básicas. Tais combinações irão 
, e um deles (x 1 e x 2) já foi considerado.
Vamos pegar as variáveis x 1 e x 3 . Encontre o posto da matriz de coeficientes para eles:
Como é igual a dois, eles podem ser básicos. Igualamos as variáveis não básicas x 2 e x 4 a zero: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Então, da fórmula x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 segue que x 1 \u003d 4/5, e da fórmula x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 segue que x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Assim, obtemos a solução básica (4/5; 0; 17/5; 0).
Da mesma forma, você pode obter soluções básicas para as variáveis básicas x 1 e x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 e x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 e x 4 - (0; 0; 9; 4).
As variáveis x 2 e x 3 neste exemplo não podem ser consideradas básicas, pois o posto da matriz correspondente é igual a um, ou seja, menos de dois:
.
Outra abordagem é possível determinar se é ou não possível formar uma base a partir de algumas variáveis. Ao resolver o exemplo, como resultado da transformação da matriz do sistema em uma forma escalonada, ela assumiu a forma:
Ao escolher pares de variáveis, foi possível calcular os menores correspondentes desta matriz. É fácil ver que para todos os pares, exceto para x 2 e x 3 , eles não são iguais a zero, ou seja, as colunas são linearmente independentes. E apenas para colunas com variáveis x 2 e x 3 
, que indica sua dependência linear.
Vamos considerar mais um exemplo. Vamos resolver o sistema de equações
Portanto, a equação correspondente à terceira linha da última matriz é inconsistente - levou à igualdade errada 0 = -1, portanto, esse sistema é inconsistente.
Método Jordan-Gauss 3 é um desenvolvimento do método gaussiano. Sua essência é que a matriz estendida do sistema é transformada na forma quando os coeficientes das variáveis formam uma matriz identidade até a permutação de linhas ou colunas 4 (onde é o posto da matriz do sistema).
Vamos resolver o sistema usando este método:
Considere a matriz aumentada do sistema:
Nesta matriz, selecionamos o elemento identidade. Por exemplo, o coeficiente em x 2 na terceira restrição é 5. Vamos garantir que nas linhas restantes nesta coluna haja zeros, ou seja, tornar a coluna única. No processo de transformações, chamaremos isso de colunapermissivo(principal, chave). A terceira restrição (a terceira corda) também será chamado permissivo. Eu mesmo elemento, que fica na interseção da linha e coluna de permissão (aqui é uma unidade), também é chamado permissivo.
A primeira linha agora contém o coeficiente (-1). Para obter zero em seu lugar, multiplique a terceira linha por (-1) e subtraia o resultado da primeira linha (ou seja, basta adicionar a primeira linha à terceira).
A segunda linha contém um coeficiente de 2. Para obter zero em seu lugar, multiplique a terceira linha por 2 e subtraia o resultado da primeira linha.
O resultado das transformações será:
Esta matriz mostra claramente que uma das duas primeiras restrições pode ser excluída (as linhas correspondentes são proporcionais, ou seja, essas equações seguem uma da outra). Vamos riscar o segundo:
Portanto, há duas equações no novo sistema. Uma única coluna (segundo) é recebida e a unidade aqui está na segunda linha. Lembremos que a variável básica x 2 corresponderá à segunda equação do novo sistema.
Vamos escolher uma variável básica para a primeira linha. Pode ser qualquer variável exceto x 3 (porque em x 3 a primeira restrição tem um coeficiente zero, ou seja, o conjunto de variáveis x 2 e x 3 não pode ser básico aqui). Você pode pegar a primeira ou quarta variável.
Vamos escolher x 1. Então o elemento de resolução será 5, e ambos os lados da equação de resolução terão que ser divididos por cinco para obter um na primeira coluna da primeira linha.
Vamos garantir que o restante das linhas (ou seja, a segunda linha) tenha zeros na primeira coluna. Como agora a segunda linha não é zero, mas 3, é necessário subtrair da segunda linha os elementos da primeira linha convertida, multiplicados por 3:
Uma solução básica pode ser extraída diretamente da matriz resultante igualando as variáveis não básicas a zero e as variáveis básicas aos termos livres nas equações correspondentes: (0,8; -3,4; 0; 0). Você também pode derivar fórmulas gerais que expressam variáveis básicas por meio de não básicas: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Essas fórmulas descrevem todo o conjunto infinito de soluções para o sistema (igualando x 3 e x 4 a números arbitrários, você pode calcular x 1 e x 2).
Observe que a essência das transformações em cada estágio do método Jordan-Gauss foi a seguinte:
1) a string permissiva foi dividida pelo elemento permissivo para obter uma unidade em seu lugar,
2) de todas as outras linhas, o poder de resolução transformado multiplicado pelo elemento que estava na linha dada na coluna de resolução foi subtraído para obter zero no lugar desse elemento.
Considere mais uma vez a matriz aumentada transformada do sistema:
Pode-se ver a partir desta entrada que o posto da matriz do sistema A é r.
No decorrer do raciocínio acima, estabelecemos que o sistema é consistente se e somente se 
. Isso significa que a matriz aumentada do sistema será semelhante a:
Descartando zero linhas, obtemos que o posto da matriz estendida do sistema também é igual a r.
Teorema de Kronecker-Capelli. Um sistema de equações lineares é consistente se e somente se o posto da matriz do sistema é igual ao posto da matriz estendida deste sistema.
Lembre-se de que o posto de uma matriz é igual ao número máximo de suas linhas linearmente independentes. Segue-se disso que, se o posto da matriz estendida for menor que o número de equações, as equações do sistema são linearmente dependentes e uma ou mais delas podem ser excluídas do sistema (porque são lineares combinação dos outros). O sistema de equações será linearmente independente apenas se o posto da matriz estendida for igual ao número de equações.
Além disso, para sistemas compatíveis de equações lineares, pode-se argumentar que, se o posto da matriz for igual ao número de variáveis, o sistema terá uma solução única e, se for menor que o número de variáveis, então o sistema é indefinido e tem infinitas soluções.
1Por exemplo, suponha que haja cinco linhas na matriz (a ordem inicial das linhas é 12345). Precisamos mudar a segunda linha e a quinta. Para que a segunda linha ocupe o lugar da quinta, para “mover” para baixo, alteramos sequencialmente as linhas adjacentes três vezes: a segunda e a terceira (13245), a segunda e a quarta (13425) e a segunda e a quinta ( 13452). Então, para que a quinta linha ocupe o lugar da segunda na matriz original, é necessário “deslocar” a quinta linha para cima em apenas duas mudanças consecutivas: a quinta e quarta linhas (13542) e a quinta e terceira (15342).
2Número de combinações de n a r 
chame o número de todos os diferentes subconjuntos de elementos r de um conjunto de n elementos (conjuntos diferentes são aqueles que têm uma composição diferente de elementos, a ordem de seleção não é importante). É calculado pela fórmula: 
. Lembre-se do significado do sinal “!” (fatorial): 
0!=1.)
3Como esse método é mais comum do que o método de Gauss discutido anteriormente e, em essência, é uma combinação do método de Gauss direto e reverso, às vezes também é chamado de método de Gauss, omitindo a primeira parte do nome.
4Por exemplo, 
.
5Se não houvesse unidades na matriz do sistema, então seria possível, por exemplo, dividir ambas as partes da primeira equação por dois, e então o primeiro coeficiente se tornaria a unidade; ou semelhante.
Sistemas de equações são amplamente utilizados na indústria econômica na modelagem matemática de vários processos. Por exemplo, ao resolver problemas de gestão e planejamento da produção, rotas logísticas (problema de transporte) ou colocação de equipamentos.
Os sistemas de equações são usados não apenas no campo da matemática, mas também na física, química e biologia, ao resolver problemas de encontrar o tamanho da população.
Um sistema de equações lineares é um termo para duas ou mais equações com várias variáveis para as quais é necessário encontrar uma solução comum. Tal sequência de números para os quais todas as equações se tornam verdadeiras igualdades ou provam que a sequência não existe.
Equações da forma ax+by=c são chamadas lineares. As designações x, y são as incógnitas, cujo valor deve ser encontrado, b, a são os coeficientes das variáveis, c é o termo livre da equação.
Resolver a equação traçando seu gráfico parecerá uma linha reta, todos os pontos dos quais são a solução do polinômio.
Os mais simples são exemplos de sistemas de equações lineares com duas variáveis X e Y.
F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, onde F1,2 são funções e (x, y) são variáveis de função.
Resolver um sistema de equações - significa encontrar tais valores (x, y) para os quais o sistema se torna uma verdadeira igualdade, ou estabelecer que não existem valores adequados de x e y.
Um par de valores (x, y), escrito como coordenadas de ponto, é chamado de solução para um sistema de equações lineares.
Se os sistemas têm uma solução comum ou não há solução, eles são chamados de equivalentes.
Sistemas homogêneos de equações lineares são sistemas cujo lado direito é igual a zero. Se a parte direita após o sinal de "igual" tiver um valor ou for expressa por uma função, esse sistema não é homogêneo.
O número de variáveis pode ser muito mais do que dois, então devemos falar sobre um exemplo de um sistema de equações lineares com três variáveis ou mais.
Diante dos sistemas, os escolares assumem que o número de equações deve necessariamente coincidir com o número de incógnitas, mas não é assim. O número de equações no sistema não depende das variáveis, pode haver um número arbitrariamente grande delas.
Não existe uma maneira analítica geral de resolver tais sistemas, todos os métodos são baseados em soluções numéricas. O curso escolar de matemática descreve em detalhes métodos como permutação, adição algébrica, substituição, bem como o método gráfico e matricial, a solução pelo método de Gauss.
A principal tarefa no ensino de métodos de resolução é ensinar como analisar corretamente o sistema e encontrar o algoritmo de solução ideal para cada exemplo. O principal não é memorizar um sistema de regras e ações para cada método, mas entender os princípios de aplicação de um método específico.
A solução de exemplos de sistemas de equações lineares da 7ª série do programa escolar do ensino geral é bastante simples e explicada em grande detalhe. Em qualquer livro de matemática, esta seção recebe atenção suficiente. A solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss e Cramer é estudada com mais detalhes nos primeiros cursos das instituições de ensino superior.
As ações do método de substituição visam expressar o valor de uma variável por meio da segunda. A expressão é substituída na equação restante e, em seguida, é reduzida a uma única forma de variável. A ação é repetida dependendo do número de incógnitas no sistema
Vamos dar um exemplo de um sistema de equações lineares da 7ª classe pelo método de substituição:
Como pode ser visto no exemplo, a variável x foi expressa através de F(X) = 7 + Y. A expressão resultante, substituída na 2ª equação do sistema no lugar de X, ajudou a obter uma variável Y na 2ª equação . A solução deste exemplo não causa dificuldades e permite obter o valor de Y. O último passo é verificar os valores obtidos.
Nem sempre é possível resolver um exemplo de sistema de equações lineares por substituição. As equações podem ser complexas e a expressão da variável em termos da segunda incógnita será muito complicada para cálculos posteriores. Quando há mais de 3 incógnitas no sistema, a solução de substituição também é impraticável.
Solução de um exemplo de um sistema de equações lineares não homogêneas:
Ao procurar uma solução para sistemas pelo método de adição, são realizadas a adição termo a termo e a multiplicação de equações por vários números. O objetivo final das operações matemáticas é uma equação com uma variável.
As aplicações deste método requerem prática e observação. Não é fácil resolver um sistema de equações lineares usando o método de adição com o número de variáveis 3 ou mais. A adição algébrica é útil quando as equações contêm frações e números decimais.
Algoritmo de ação da solução:
Uma nova variável pode ser introduzida se o sistema precisar encontrar uma solução para não mais que duas equações, o número de incógnitas também não deve ser maior que duas.
O método é usado para simplificar uma das equações introduzindo uma nova variável. A nova equação é resolvida em relação à incógnita inserida e o valor resultante é usado para determinar a variável original.
Pode-se ver pelo exemplo que ao introduzir uma nova variável t, foi possível reduzir a 1ª equação do sistema a um trinômio quadrado padrão. Você pode resolver um polinômio encontrando o discriminante.
É necessário encontrar o valor do discriminante usando a conhecida fórmula: D = b2 - 4*a*c, onde D é o discriminante desejado, b, a, c são os multiplicadores do polinômio. No exemplo dado, a=1, b=16, c=39, portanto D=100. Se o discriminante for maior que zero, então existem duas soluções: t = -b±√D / 2*a, se o discriminante for menor que zero, então há apenas uma solução: x= -b / 2*a.
A solução para os sistemas resultantes é encontrada pelo método de adição.
Adequado para sistemas com 3 equações. O método consiste em traçar gráficos de cada equação incluída no sistema no eixo de coordenadas. As coordenadas dos pontos de intersecção das curvas serão a solução geral do sistema.
O método gráfico tem várias nuances. Considere vários exemplos de resolução de sistemas de equações lineares de forma visual.
Como pode ser visto no exemplo, foram construídos dois pontos para cada linha, os valores da variável x foram escolhidos arbitrariamente: 0 e 3. Com base nos valores de x, foram encontrados os valores para y: 3 e 0. Pontos com coordenadas (0, 3) e (3, 0) foram marcados no gráfico e conectados por uma linha.
Os passos devem ser repetidos para a segunda equação. O ponto de intersecção das linhas é a solução do sistema.
No exemplo a seguir, é necessário encontrar uma solução gráfica para o sistema de equações lineares: 0,5x-y+2=0 e 0,5x-y-1=0.
Como pode ser visto no exemplo, o sistema não tem solução, porque os gráficos são paralelos e não se cruzam ao longo de todo o seu comprimento.
Os sistemas dos Exemplos 2 e 3 são semelhantes, mas quando construídos, torna-se óbvio que suas soluções são diferentes. Deve-se lembrar que nem sempre é possível dizer se o sistema tem solução ou não, é sempre necessário construir um grafo.
As matrizes são usadas para escrever brevemente um sistema de equações lineares. Uma matriz é um tipo especial de tabela preenchida com números. n*m tem n - linhas e m - colunas.
Uma matriz é quadrada quando o número de colunas e linhas é igual. Um vetor-matriz é uma matriz de coluna única com um número infinitamente possível de linhas. Uma matriz com unidades ao longo de uma das diagonais e outros elementos nulos é chamada identidade.
Uma matriz inversa é uma tal matriz, quando multiplicada pela qual a original se transforma em uma unidade, tal matriz existe apenas para o quadrado original.
No que diz respeito aos sistemas de equações, os coeficientes e membros livres das equações são escritos como números da matriz, uma equação é uma linha da matriz.
Uma linha da matriz é chamada diferente de zero se pelo menos um elemento da linha não for igual a zero. Portanto, se em qualquer uma das equações o número de variáveis for diferente, é necessário inserir zero no lugar da incógnita ausente.
As colunas da matriz devem corresponder estritamente às variáveis. Isso significa que os coeficientes da variável x só podem ser escritos em uma coluna, por exemplo na primeira, o coeficiente da incógnita y - apenas na segunda.
Ao multiplicar uma matriz, todos os elementos da matriz são sucessivamente multiplicados por um número.
A fórmula para encontrar a matriz inversa é bem simples: K -1 = 1 / |K|, onde K -1 é a matriz inversa e |K| - determinante matricial. |K| não deve ser igual a zero, então o sistema tem solução.
O determinante é facilmente calculado para uma matriz de dois por dois, bastando apenas multiplicar os elementos diagonalmente um pelo outro. Para a opção "três por três", existe uma fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Você pode usar a fórmula ou lembrar que precisa pegar um elemento de cada linha e de cada coluna para que os números de coluna e linha dos elementos não se repitam no produto.
O método matricial de encontrar uma solução permite reduzir entradas complicadas ao resolver sistemas com um grande número de variáveis e equações.
No exemplo, a nm são os coeficientes das equações, a matriz é um vetor x n são as variáveis e b n são os termos livres.
Na matemática superior, o método de Gauss é estudado em conjunto com o método de Cramer, e o processo de encontrar uma solução para sistemas é chamado de método de resolução de Gauss-Cramer. Esses métodos são usados para encontrar as variáveis de sistemas com um grande número de equações lineares.
O método gaussiano é muito semelhante às soluções de substituição e adição algébrica, mas é mais sistemático. No curso escolar, a solução gaussiana é usada para sistemas de 3 e 4 equações. O objetivo do método é trazer o sistema para a forma de um trapézio invertido. Por transformações e substituições algébricas, o valor de uma variável é encontrado em uma das equações do sistema. A segunda equação é uma expressão com 2 incógnitas e 3 e 4 - com 3 e 4 variáveis, respectivamente.
Depois de trazer o sistema para a forma descrita, a solução adicional é reduzida à substituição sequencial de variáveis conhecidas nas equações do sistema.
Nos livros escolares da 7ª série, um exemplo de solução gaussiana é descrito a seguir:
Como pode ser visto no exemplo, na etapa (3) foram obtidas duas equações 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. A solução de qualquer uma das equações permitirá que você descubra uma das variáveis x n.
O teorema 5, mencionado no texto, afirma que se uma das equações do sistema for substituída por uma equivalente, o sistema resultante também será equivalente ao original.
O método gaussiano é difícil de entender para os alunos do ensino médio, mas é uma das maneiras mais interessantes de desenvolver a engenhosidade das crianças que estudam no programa de estudos avançados nas aulas de matemática e física.
Para facilitar o registro dos cálculos, é comum fazer o seguinte:
Coeficientes de equação e termos livres são escritos na forma de uma matriz, onde cada linha da matriz corresponde a uma das equações do sistema. separa o lado esquerdo da equação do lado direito. Os algarismos romanos denotam o número de equações no sistema.
Primeiro, eles escrevem a matriz com a qual trabalhar, depois todas as ações realizadas com uma das linhas. A matriz resultante é escrita após o sinal de "seta" e continua a realizar as operações algébricas necessárias até que o resultado seja alcançado.
Como resultado, deve-se obter uma matriz na qual uma das diagonais é 1 e todos os outros coeficientes são iguais a zero, ou seja, a matriz é reduzida a uma única forma. Não devemos esquecer de fazer cálculos com os números de ambos os lados da equação.
Essa notação é menos complicada e permite que você não se distraia listando inúmeras incógnitas.
A aplicação gratuita de qualquer método de solução exigirá cuidado e certa experiência. Nem todos os métodos são aplicados. Algumas formas de encontrar soluções são mais preferíveis em uma determinada área da atividade humana, enquanto outras existem para fins de aprendizado.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
I. Apresentação do problema.
II. Compatibilidade de sistemas homogêneos e heterogêneos.
III. Sistema t equações com t desconhecido. Regra de Cramer.
4. Método matricial para resolução de sistemas de equações.
V. Método de Gauss.
I. Apresentação do problema.
chamado de sistema m equações lineares com n desconhecido 
. Os coeficientes das equações deste sistema são escritos na forma de uma matriz
chamado matriz do sistema (1).
Os números do lado direito das equações formam coluna de membros gratuitos {B}:
.
Se a coluna ( B}={0 ), então o sistema de equações é chamado homogêneo. Caso contrário, quando ( B}≠{0 ) - sistema heterogêneo.
O sistema de equações lineares (1) pode ser escrito na forma matricial
[UMA]{x}={B}. (2)
Aqui 
- coluna de incógnitas.
Resolver o sistema de equações (1) significa encontrar o conjunto n
números 
tal que ao substituir no sistema (1) em vez de desconhecido 
cada equação do sistema torna-se uma identidade. Números 
são chamados de solução do sistema de equações.
,
pode ter um número infinito de soluções
ou não tem nenhuma solução
.
Sistemas de equações que não têm soluções são chamados incompatível. Se um sistema de equações tem pelo menos uma solução, então ele é chamado articulação. O sistema de equações é chamado certo se tem uma solução única, e incerto se tiver um número infinito de soluções.
II. Compatibilidade de sistemas homogêneos e heterogêneos.
A condição de compatibilidade para o sistema de equações lineares (1) é formulada em Teorema de Kronecker-Capelli: um sistema de equações lineares tem pelo menos uma solução se e somente se o posto da matriz do sistema é igual ao posto da matriz estendida: 
.
A matriz estendida do sistema é a matriz obtida da matriz do sistema atribuindo-lhe à direita uma coluna de membros livres:
.
Se Rg UMA
Sistemas homogêneos de equações lineares de acordo com o teorema de Kronecker-Capelli são sempre compatíveis. Considere o caso de um sistema homogêneo em que o número de equações é igual ao número de incógnitas, ou seja, m=n. Se o determinante da matriz de tal sistema não for igual a zero, ou seja, 
, o sistema homogêneo tem uma solução única, que é trivial (zero). Sistemas homogêneos têm um número infinito de soluções se houver equações linearmente dependentes entre as equações do sistema, ou seja, 
.
Exemplo. Considere um sistema homogêneo de três equações lineares com três incógnitas:
e examinar a questão do número de suas soluções. Cada uma das equações pode ser considerada como a equação do plano que passa pela origem ( D=0 ). O sistema de equações tem uma solução única quando todos os três planos se cruzam em um ponto. Além disso, seus vetores normais são não coplanares e, portanto, a condição
.
A solução do sistema neste caso x=0, y=0, z=0 .
Se pelo menos dois dos três planos, por exemplo, o primeiro e o segundo, são paralelos, ou seja, , então o determinante da matriz do sistema é igual a zero, e o sistema tem um número infinito de soluções. Além disso, as soluções serão as coordenadas x, y, z todos os pontos de uma linha
Se todos os três planos coincidem, então o sistema de equações se reduz a uma equação
,
e a solução serão as coordenadas de todos os pontos situados neste plano.
Ao estudar sistemas não homogêneos de equações lineares, a questão da compatibilidade é resolvida usando o teorema de Kronecker-Capelli. Se o número de equações em tal sistema é igual ao número de incógnitas, então o sistema tem uma solução única se seu determinante não for igual a zero. Caso contrário, o sistema é inconsistente ou tem um número infinito de soluções.
Exemplo. Estudamos o sistema não homogêneo de duas equações com duas incógnitas
.
,
. Neste caso, o posto da matriz do sistema é 1:Rg UMA=1
, Porque 
,
enquanto o posto da matriz aumentada 
é igual a dois, pois para ele o menor de segunda ordem contendo a terceira coluna pode ser escolhido como o menor de base.
No caso em consideração Rg UMA
Se as linhas coincidem, ou seja, , então o sistema de equações tem um número infinito de soluções: as coordenadas dos pontos na linha 
. Neste caso Rg UMA=
Rg UMA *
=1.
O sistema tem uma solução única quando as linhas não são paralelas, ou seja, 
. A solução deste sistema são as coordenadas do ponto de intersecção das linhas 
III. Sistemat equações comt desconhecido. Regra de Cramer.
Consideremos o caso mais simples, quando o número de equações do sistema é igual ao número de incógnitas, ou seja, m= n. Se o determinante da matriz do sistema for diferente de zero, a solução do sistema pode ser encontrada usando a regra de Cramer:
(3)
Aqui 
- determinante da matriz do sistema,
- determinante da matriz obtida de [ UMA] substituição euª coluna para a coluna de membros livres:
.
Exemplo. Resolva o sistema de equações pelo método de Cramer.
Solução :
1) encontre o determinante do sistema
2) encontre determinantes auxiliares
3) encontre uma solução para o sistema de acordo com a regra de Cramer:
O resultado da solução pode ser verificado substituindo no sistema de equações
Identidades corretas são obtidas.
4. Método matricial para resolução de sistemas de equações.
[UMA]{x}={B}
e multiplique as partes direita e esquerda da relação (2) da esquerda pela matriz [ UMA -1 ], inversa à matriz do sistema:
[UMA -1 ][UMA]{x}=[UMA -1 ]{B}. (2)
Por definição da matriz inversa, o produto [ UMA -1 ][UMA]=[E], e pelas propriedades da matriz identidade [ E]{x}={x). Então da relação (2") obtemos
{x}=[UMA -1 ]{B}. (4)
A relação (4) está subjacente ao método matricial para resolver sistemas de equações lineares: é necessário encontrar uma matriz inversa à matriz do sistema e multiplicar por ela o vetor coluna das partes certas do sistema.
Exemplo. Resolvemos o sistema de equações considerado no exemplo anterior pelo método matricial.
Matriz do Sistema 
seu determinante UMA==183
.
.Para encontrar a matriz [ UMA -1 ], encontre a matriz ligada a [ UMA]:
ou 
A fórmula para calcular a matriz inversa inclui 
, então
Agora podemos encontrar uma solução para o sistema
Então finalmente conseguimos 
.
V. Método de Gauss.
Com um grande número de incógnitas, a solução do sistema de equações pelo método de Cramer ou pelo método de matrizes está associada ao cálculo de determinantes de ordem superior ou à inversão de matrizes grandes. Esses procedimentos são muito trabalhosos mesmo para computadores modernos. Portanto, para resolver sistemas de um grande número de equações, o método de Gauss é mais usado.
O método de Gauss consiste na eliminação sucessiva de incógnitas por transformações elementares da matriz estendida do sistema. Transformações de matrizes elementares incluem permutação de linhas, adição de linhas, multiplicação de linhas por números diferentes de zero. Como resultado das transformações, é possível reduzir a matriz do sistema a uma triangular superior, na diagonal principal da qual existem unidades e abaixo da diagonal principal - zeros. Este é o movimento direto do método de Gauss. O curso inverso do método consiste na determinação direta das incógnitas, a partir da última.
Vamos ilustrar o método de Gauss no exemplo de resolução do sistema de equações
No primeiro passo do movimento para a frente, é assegurado que o coeficiente 
do sistema transformado tornou-se igual a 1
, e os coeficientes 
e 
virou zero. Para fazer isso, multiplique a primeira equação por 1/10
, multiplique a segunda equação por 10
e adicione à primeira, multiplique a terceira equação por -10/2
e adicione-o ao primeiro. Após essas transformações, obtemos
Na segunda etapa, garantimos que após as transformações o coeficiente 
ficou igual 1
, e o coeficiente 
. Para isso, dividimos a segunda equação por 42
, e multiplique a terceira equação por -42/27
e adicioná-lo ao segundo. Obtemos um sistema de equações
O terceiro passo é obter o coeficiente 
. Para isso, dividimos a terceira equação por (37 - 84/27)
; Nós temos
É aqui que termina o curso direto do método de Gauss, porque a matriz do sistema é reduzida à triangular superior:
Onde x* - uma das soluções do sistema não homogêneo (2) (por exemplo (4)), (E−A + A) forma o kernel (espaço zero) da matriz UMA.
Vamos fazer uma decomposição esquelética da matriz (E−A + A):
E−A + A=QS
Onde Q n×n−r- matriz de classificação (Q)=n−r, S n−r×n-matriz de classificação (S)=n−r.
Então (13) pode ser escrito na seguinte forma:
x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.
Onde k=Sz.
Então, procedimento geral de solução sistemas de equações lineares usando uma matriz pseudoinversa podem ser representados da seguinte forma:
x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.
A calculadora online permite encontrar a solução geral de um sistema de equações lineares com explicações detalhadas.
Exemplo 1. Encontre uma solução geral e alguma solução particular do sistemaSolução fazê-lo com uma calculadora. Escrevemos as matrizes estendida e principal: 
A matriz principal A é separada por uma linha pontilhada.A partir de cima, escrevemos os sistemas desconhecidos, tendo em mente a possível permutação dos termos nas equações do sistema. Determinando o posto da matriz estendida, encontramos simultaneamente o posto da matriz principal. Na matriz B, a primeira e a segunda colunas são proporcionais. Das duas colunas proporcionais, apenas uma pode cair no menor básico, então vamos mover, por exemplo, a primeira coluna além da linha tracejada com o sinal oposto. Para o sistema, isso significa a transferência de termos de x 1 para o lado direito das equações. 
Trazemos a matriz para uma forma triangular. Trabalharemos apenas com linhas, pois multiplicar uma linha da matriz por um número diferente de zero e adicionar em outra linha para o sistema significa multiplicar a equação pelo mesmo número e adicioná-la a outra equação, o que não altera a solução do sistema . Trabalhando com a primeira linha: multiplique a primeira linha da matriz por (-3) e adicione à segunda e terceira linhas sucessivamente. Em seguida, multiplicamos a primeira linha por (-2) e adicionamos à quarta. 
A segunda e a terceira linhas são proporcionais, portanto, uma delas, por exemplo, a segunda, pode ser riscada. Isso equivale a deletar a segunda equação do sistema, pois ela é consequência da terceira. 
Agora trabalhamos com a segunda linha: multiplique por (-1) e adicione à terceira. 
O menor tracejado tem a ordem mais alta (de todos os menores possíveis) e é diferente de zero (é igual ao produto dos elementos na diagonal principal), e este menor pertence tanto à matriz principal quanto à estendida, portanto rangA = rangB = 3 .
Menor 
é básico. Inclui coeficientes para desconhecidos x 2, x 3, x 4, o que significa que os desconhecidos x 2, x 3, x 4 são dependentes e x 1, x 5 são livres.
Transformamos a matriz, deixando apenas o menor básico à esquerda (que corresponde ao ponto 4 do algoritmo de solução acima). 
O sistema com coeficientes desta matriz é equivalente ao sistema original e tem a forma
Pelo método de eliminação de incógnitas encontramos: 
, ,
Obtivemos relações expressando variáveis dependentes x 2, x 3, x 4 através de x 1 e x 5 livres, ou seja, encontramos uma solução geral: 
Dando valores arbitrários às incógnitas livres, obtemos qualquer número de soluções particulares. Vamos encontrar duas soluções particulares:
1) seja x 1 = x 5 = 0, então x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) coloque x 1 = 1, x 5 = -1, então x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Assim, encontramos duas soluções: (0,1, -3,3,0) - uma solução, (1,4, -7,7, -1) - outra solução.
Exemplo 2. Investigue a compatibilidade, encontre uma solução geral e uma particular do sistema 
Solução. Vamos reorganizar a primeira e a segunda equações para ter uma unidade na primeira equação e escrever a matriz B. 
Obtemos zeros na quarta coluna, operando na primeira linha: 
Agora pegue os zeros na terceira coluna usando a segunda linha: 
A terceira e quarta linhas são proporcionais, portanto, uma delas pode ser riscada sem alterar a classificação:
Multiplique a terceira linha por (-2) e adicione à quarta: 
Vemos que os postos das matrizes principal e estendida são 4, e o posto coincide com o número de incógnitas, portanto, o sistema tem uma solução única:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.
Exemplo 3. Examine o sistema quanto à compatibilidade e encontre uma solução, se existir. 
Solução. Compomos a matriz estendida do sistema. 
Reorganize as duas primeiras equações para que haja um 1 no canto superior esquerdo:
Multiplicando a primeira linha por (-1), adicionamos à terceira: 
Multiplique a segunda linha por (-2) e adicione à terceira: 
O sistema é inconsistente, pois a matriz principal recebeu uma linha composta por zeros, que é riscada quando o posto é encontrado, e a última linha permanece na matriz estendida, ou seja, r B > r A .
Exercício. Investigue este sistema de equações para compatibilidade e resolva-o por meio de cálculo matricial.
Solução
Exemplo. Prove a compatibilidade de um sistema de equações lineares e resolva-o de duas maneiras: 1) pelo método de Gauss; 2) Método de Cramer. (digite a resposta na forma: x1,x2,x3)
Solução :doc :doc :xls
Responda: 2,-1,3.
Exemplo. Um sistema de equações lineares é dado. Prove sua compatibilidade. Encontre uma solução geral do sistema e uma solução particular.
Solução
Responda: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Exercício. Encontre soluções gerais e particulares para cada sistema.
Solução. Estudamos este sistema usando o teorema de Kronecker-Capelli.
Escrevemos as matrizes estendida e principal:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Exercício. Resolva o sistema de equações.
Responda: x 2 = 2 - 1,67 x 3 + 0,67 x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Dando valores arbitrários às incógnitas livres, obtemos qualquer número de soluções particulares. O sistema é incerto
