Equações quadráticas são estudadas na 8ª série, então não há nada complicado aqui. A capacidade de resolvê-los é essencial.
Uma equação quadrática é uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a , b e c são números arbitrários e a ≠ 0.
Antes de estudar métodos de solução específicos, notamos que todas as equações quadráticas podem ser divididas em três classes:
Esta é uma diferença importante entre equações quadráticas e lineares, onde a raiz sempre existe e é única. Como determinar quantas raízes uma equação tem? Há uma coisa maravilhosa para isso - discriminante.
Que seja dado Equação quadrática ax 2 + bx + c = 0. Então o discriminante é simplesmente o número D = b 2 − 4ac .
Esta fórmula deve ser conhecida de cor. De onde vem não é importante agora. Outra coisa é importante: pelo sinal do discriminante, você pode determinar quantas raízes tem uma equação quadrática. Nomeadamente:
Por favor, note: o discriminante indica o número de raízes, e não seus sinais, como por algum motivo muitas pessoas pensam. Dê uma olhada nos exemplos e você entenderá tudo sozinho:
Uma tarefa. Quantas raízes as equações quadráticas têm:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Escrevemos os coeficientes para a primeira equação e encontramos o discriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Então, o discriminante é positivo, então a equação tem duas raízes diferentes. Analisamos a segunda equação da mesma maneira:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
O discriminante é negativo, não há raízes. A última equação permanece:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
O discriminante é igual a zero - a raiz será um.
Observe que os coeficientes foram escritos para cada equação. Sim, é longo, sim, é tedioso - mas você não vai misturar as probabilidades e não cometer erros estúpidos. Escolha você mesmo: velocidade ou qualidade.
A propósito, se você “encher sua mão”, depois de um tempo você não precisará mais escrever todos os coeficientes. Você realizará tais operações em sua cabeça. A maioria das pessoas começa a fazer isso em algum lugar depois de 50-70 equações resolvidas - em geral, não muitas.
Agora vamos para a solução. Se o discriminante D > 0, as raízes podem ser encontradas usando as fórmulas:
A fórmula básica para as raízes de uma equação quadrática
Quando D = 0, você pode usar qualquer uma dessas fórmulas - você obtém o mesmo número, que será a resposta. Finalmente, se D.< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Primeira equação:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ a equação tem duas raízes. Vamos encontrá-los:
Segunda equação:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ a equação novamente tem duas raízes. Vamos encontrá-los
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(alinhar)\]
Por fim, a terceira equação:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ a equação tem uma raiz. Qualquer fórmula pode ser usada. Por exemplo, o primeiro:
Como você pode ver pelos exemplos, tudo é muito simples. Se você conhece as fórmulas e consegue contar, não haverá problemas. Na maioria das vezes, os erros ocorrem quando os coeficientes negativos são substituídos na fórmula. Aqui, novamente, a técnica descrita acima ajudará: olhe para a fórmula literalmente, pinte cada etapa - e se livre dos erros muito em breve.
Acontece que a equação quadrática é um pouco diferente do que é dado na definição. Por exemplo:
É fácil ver que um dos termos está faltando nessas equações. Essas equações quadráticas são ainda mais fáceis de resolver do que as padrão: elas nem precisam calcular o discriminante. Então vamos introduzir um novo conceito:
A equação ax 2 + bx + c = 0 é chamada de equação quadrática incompleta se b = 0 ou c = 0, ou seja. o coeficiente da variável x ou do elemento livre é igual a zero.
Obviamente, um caso muito difícil é possível quando ambos os coeficientes são iguais a zero: b \u003d c \u003d 0. Nesse caso, a equação assume a forma ax 2 \u003d 0. Obviamente, essa equação tem um único raiz: x \u003d 0.
Vamos considerar outros casos. Seja b \u003d 0, então obtemos uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c \u003d 0. Vamos transformá-la levemente:
Como a raiz quadrada aritmética existe apenas a partir de um número não negativo, a última igualdade só faz sentido quando (−c / a ) ≥ 0. Conclusão:
Como você pode ver, o discriminante não era necessário - não há cálculos complexos em equações quadráticas incompletas. Na verdade, nem é necessário lembrar a desigualdade (−c / a ) ≥ 0. Basta expressar o valor de x 2 e ver o que está do outro lado do sinal de igual. Se houver um número positivo, haverá duas raízes. Se negativo, não haverá raízes.
Agora vamos lidar com equações da forma ax 2 + bx = 0, nas quais o elemento livre é igual a zero. Tudo é simples aqui: sempre haverá duas raízes. Basta fatorar o polinômio:
Tirando o fator comum dos colchetesO produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero. É daí que vêm as raízes. Em conclusão, vamos analisar várias dessas equações:
Uma tarefa. Resolva equações do segundo grau:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Não há raízes, porque o quadrado não pode ser igual a um número negativo.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
1. Solução do sistema pelo método de substituição.
2. Solução do sistema por adição termo a termo (subtração) das equações do sistema.
Para resolver o sistema de equações método de substituição você precisa seguir um algoritmo simples:
1. Expressamos. De qualquer equação, expressamos uma variável.
2. Substituto. Substituímos em outra equação ao invés da variável expressa, o valor resultante.
3. Resolvemos a equação resultante com uma variável. Encontramos uma solução para o sistema.
Resolver sistema por adição termo a termo (subtração) precisar:
1. Selecione uma variável para a qual faremos os mesmos coeficientes.
2. Adicionamos ou subtraímos as equações, como resultado obtemos uma equação com uma variável.
3. Resolvemos a equação linear resultante. Encontramos uma solução para o sistema.
A solução do sistema são os pontos de interseção dos gráficos da função.
Vamos considerar em detalhes a solução de sistemas usando exemplos.
Exemplo 1:
2x+5y=1 (1 equação)
x-10y=3 (2ª equação)
1. Expresso
Pode-se ver que na segunda equação existe uma variável x com um coeficiente de 1, portanto, é mais fácil expressar a variável x a partir da segunda equação.
x=3+10y
2. Depois de expressar, substituímos 3 + 10y na primeira equação em vez da variável x.
2(3+10ano)+5ano=1
3. Resolvemos a equação resultante com uma variável.
2(3+10y)+5y=1 (colchetes abertos)
6+20anos+5anos=1
25 anos = 1-6
25ano=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
A solução do sistema de equações são os pontos de interseção dos gráficos, portanto, precisamos encontrar x e y, pois o ponto de interseção consiste em x e y. Vamos encontrar x, no primeiro parágrafo onde expressamos substituímos y ali.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
É costume escrever pontos em primeiro lugar, escrevemos a variável x e, em segundo lugar, a variável y.
Resposta: (1; -0,2)
Exemplo #2:
3x-2y=1 (1 equação)
2x-3y=-10 (2ª equação)
1. Selecione uma variável, digamos que selecionamos x. Na primeira equação, a variável x tem um coeficiente de 3, na segunda - 2. Precisamos tornar os coeficientes iguais, para isso temos o direito de multiplicar as equações ou dividir por qualquer número. Multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3 e obtemos um coeficiente total de 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Da primeira equação, subtraia a segunda para se livrar da variável x. Resolva a equação linear.
__6x-4y=2
5a=32 | :5
y=6,4
3. Encontre x. Substituímos o y encontrado em qualquer uma das equações, digamos na primeira equação.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
O ponto de interseção será x=4,6; y=6,4
Resposta: (4,6; 6,4)
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2. O campo de entrada de expressão destina-se a escrever a expressão a ser calculada. Deve-se notar aqui que os símbolos matemáticos usados na programas de computador, nem sempre coincidem com aqueles que costumamos usar no papel. Na visão geral de cada função da calculadora, você encontrará a designação correta para uma operação específica e exemplos de cálculos na calculadora. Nesta página abaixo está uma lista de todas as operações possíveis na calculadora, indicando também sua ortografia correta.
3. Barra de ferramentas - são botões da calculadora que substituem a entrada manual de símbolos matemáticos indicando a operação correspondente. Alguns botões da calculadora (funções adicionais, conversor de unidades, solução de matrizes e equações, gráficos) complementam a barra de tarefas com novos campos onde são inseridos dados para um cálculo específico. O campo "Histórico" contém exemplos de escrita de expressões matemáticas, bem como suas últimas seis entradas.
Observe que quando você pressiona os botões para chamar funções adicionais, o conversor de valores, resolvendo matrizes e equações, plotando gráficos, todo o painel da calculadora se move para cima, cobrindo parte da tela. Preencha os campos obrigatórios e pressione a tecla "I" (destacada em vermelho na figura) para ver o display em tamanho real.
4. O teclado numérico contém números e sinais aritméticos. O botão "C" exclui toda a entrada no campo de entrada de expressão. Para excluir os caracteres um por um, você precisa usar a seta à direita da linha de entrada.
Tente sempre fechar colchetes no final de uma expressão. Para a maioria das operações, isso não é crítico, a calculadora online calculará tudo corretamente. No entanto, em alguns casos, erros são possíveis. Por exemplo, ao elevar para uma potência fracionária, colchetes não fechados farão com que o denominador da fração no expoente vá para o denominador da base. No display, o colchete de fechamento é indicado em cinza claro, devendo ser fechado quando a gravação for finalizada.
Chave | Símbolo | Operação |
---|---|---|
pi | pi | pi constante |
e | e | Número de Euler |
% | % | Por cento |
() | () | Abrir/Fechar Suportes |
, | , | Vírgula |
pecado | pecado(?) | Seno de um ângulo |
porque | porque(?) | Cosseno |
bronzeado | bronzeado(s) | Tangente |
sinh | sinh() | Seno hiperbólico |
dinheiro | cosh() | Cosseno hiperbólico |
tanh | tanh() | Tangente hiperbólica |
pecado-1 | como em() | Seno inverso |
cos-1 | acos() | cosseno inverso |
bronzeado-1 | numa() | tangente inversa |
sinh-1 | asinh() | Seno hiperbólico inverso |
cosh-1 | acosh() | Cosseno hiperbólico inverso |
tanh-1 | atanh() | Tangente hiperbólica inversa |
x2 | ^2 | Quadratura |
x 3 | ^3 | Cubo |
xy | ^ | Exponenciação |
10x | 10^() | Exponenciação na base 10 |
ex | exp() | Exponenciação do número de Euler |
vx | sqrt(x) | Raiz quadrada |
3vx | sqrt3(x) | raiz de 3º grau |
yvx | quadrado(x,y) | extração de raiz |
registrar 2x | log2(x) | logaritmo binário |
registro | log(x) | logaritmo decimal |
ln | log(x) | Logaritmo natural |
log yx | log(x,y) | Logaritmo |
I/II | Minimizar/Chamar funções adicionais | |
unidade | Conversor de unidades | |
matriz | matrizes | |
resolver | Equações e sistemas de equações | |
Plotagem | ||
Funções adicionais (chamada com a tecla II) | ||
mod | mod | Divisão com resto |
! | ! | Fatorial |
eu j | eu j | unidade imaginária |
Ré | Ré() | Seleção de toda a parte real |
Eu estou | Eu estou() | Exclusão da parte real |
|x| | abdômen() | O valor absoluto de um número |
Arg | argumento() | Argumento da função |
nCr | ncr() | Coeficiente binomial |
mdc | gcd() | GCD |
cm | lcm() | CON |
soma | soma() | O valor da soma de todas as soluções |
cara | fatorar() | Fatoração primária |
diferença | diff() | Diferenciação |
Grau | graus | |
Rad | radianos |