Todo estudante sabe que o quadrado da hipotenusa é sempre igual à soma dos catetos, cada um dos quais é elevado ao quadrado. Essa afirmação é chamada de teorema de Pitágoras. É um dos teoremas mais famosos da trigonometria e da matemática em geral. Vamos considerá-lo com mais detalhes.
Antes de proceder à consideração do teorema de Pitágoras, em que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos ao quadrado, devemos considerar o conceito e as propriedades de um triângulo retângulo, para o qual o teorema é válido.
Um triângulo é uma figura plana com três ângulos e três lados. Um triângulo retângulo, como o próprio nome indica, tem um ângulo reto, ou seja, esse ângulo é 90º.
A partir de propriedades comuns para todos os triângulos sabe-se que a soma dos três ângulos desta figura é 180 o, o que significa que para um triângulo retângulo a soma de dois ângulos que não são retos é 180 o - 90 o = 90 o. Último fato significa que qualquer ângulo em um triângulo retângulo que não seja um ângulo reto sempre será menor que 90o.
O lado que está contra ângulo certo, é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados são os catetos do triângulo, podem ser iguais entre si ou podem diferir. Sabe-se da trigonometria que quanto maior o ângulo contra o qual o lado se encontra no triângulo, mais comprimento este lado. Isso significa que em um triângulo retângulo, a hipotenusa (oposta ao ângulo de 90º) sempre será maior do que qualquer um dos catetos (oposta aos ângulos< 90 o).
Este teorema afirma que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos, cada um dos quais é previamente elevado ao quadrado. Para escrever essa formulação matematicamente, considere um triângulo retângulo em que os lados a, b e c são os dois catetos e a hipotenusa, respectivamente. Nesse caso, o teorema, que é formulado como o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, pode ser representado pela seguinte fórmula: c 2 \u003d a 2 + b 2. A partir daqui, outras fórmulas importantes para a prática podem ser obtidas: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) e c \u003d √ (a 2 + b 2).
Observe que, no caso de um triângulo equilátero de ângulo reto, ou seja, a \u003d b, a redação: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos, cada um dos quais ao quadrado, é escrito matematicamente da seguinte forma: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2, da qual segue a igualdade: c = a√2.
O teorema de Pitágoras, que afirma que a soma dos catetos, cada um dos quais ao quadrado, é igual ao quadrado da hipotenusa, era conhecido muito antes de o famoso filósofo grego chamar a atenção para ele. Muitos papiros antigo Egito, bem como as tábuas de barro dos babilônios confirmam que esses povos usavam a propriedade notável dos lados de um triângulo retângulo. Por exemplo, uma das primeiras pirâmides egípcias, a pirâmide de Khafre, cuja construção remonta ao século 26 aC (2000 anos antes da vida de Pitágoras), foi construída com base no conhecimento da proporção de um triângulo retângulo 3x4x5.
Por que, então, o teorema agora tem o nome de um grego? A resposta é simples: Pitágoras é o primeiro a provar matematicamente esse teorema. As fontes escritas babilônicas e egípcias sobreviventes falam apenas de seu uso, mas não fornecem nenhuma prova matemática.
Acredita-se que Pitágoras provou o teorema em consideração usando as propriedades de triângulos semelhantes, que ele obteve desenhando uma altura em um triângulo retângulo de um ângulo de 90 o à hipotenusa.
Considere um problema simples: é necessário determinar o comprimento de uma escada inclinada L, se se sabe que ela tem uma altura H = 3 metros e a distância da parede contra a qual a escada repousa até o pé é P = 2,5 metros.
NO este caso H e P são os catetos e L é a hipotenusa. Como o comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das pernas, obtemos: L 2 \u003d H 2 + P 2, de onde L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2,5 2) \u003d 3,905 metros ou 3 m e 90, 5 cm
O potencial de criatividade geralmente é atribuído às humanidades, deixando a análise científica natural, a abordagem prática e a linguagem seca de fórmulas e números. A matemática não pode ser classificada como uma disciplina de humanidades. Mas sem criatividade na "rainha de todas as ciências", você não irá longe - as pessoas sabem disso há muito tempo. Desde o tempo de Pitágoras, por exemplo.
Os livros didáticos, infelizmente, geralmente não explicam que em matemática é importante não apenas empinar teoremas, axiomas e fórmulas. É importante compreender e sentir seus princípios fundamentais. E, ao mesmo tempo, tente libertar sua mente de clichês e verdades elementares - somente nessas condições nascem todas as grandes descobertas.
Tais descobertas incluem aquela que hoje conhecemos como o teorema de Pitágoras. Com sua ajuda, tentaremos mostrar que a matemática não apenas pode, mas deve ser divertida. E que esta aventura é adequada não apenas para nerds de óculos grossos, mas para todos que são fortes de mente e fortes de espírito.
Estritamente falando, embora o teorema seja chamado de "teorema de Pitágoras", o próprio Pitágoras não o descobriu. O triângulo retângulo e suas propriedades especiais foram estudados muito antes dele. Há dois pontos de vista polares sobre esta questão. De acordo com uma versão, Pitágoras foi o primeiro a encontrar uma prova completa do teorema. Segundo outro, a prova não é de autoria de Pitágoras.
Hoje você não pode mais verificar quem está certo e quem está errado. Sabe-se apenas que a prova de Pitágoras, se alguma vez existiu, não sobreviveu. No entanto, há sugestões de que a famosa prova dos Elementos de Euclides possa pertencer a Pitágoras, e Euclides apenas a registrou.
Também se sabe hoje que problemas sobre um triângulo retângulo são encontrados em fontes egípcias da época do faraó Amenemhet I, em tabuletas de argila babilônicas do reinado do rei Hamurabi, no antigo tratado indiano Sulva Sutra e na antiga obra chinesa Zhou -bi suan jin.
Como você pode ver, o teorema de Pitágoras ocupa a mente dos matemáticos desde os tempos antigos. Aproximadamente 367 várias evidências que existem hoje servem como confirmação. Nenhum outro teorema pode competir com ele a esse respeito. Autores de evidências notáveis incluem Leonardo da Vinci e o 20º Presidente dos Estados Unidos, James Garfield. Tudo isso fala da extrema importância desse teorema para a matemática: a maioria dos teoremas da geometria são derivados dele ou, de uma forma ou de outra, relacionados a ele.
Os livros escolares fornecem principalmente provas algébricas. Mas a essência do teorema está na geometria, então vamos primeiro considerar as provas do famoso teorema que se baseiam nessa ciência.
Para a demonstração mais simples do teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, você precisa definir condições ideais: deixe o triângulo não apenas ser retângulo, mas também isósceles. Há razões para acreditar que foi esse triângulo que foi originalmente considerado pelos matemáticos antigos.
Declaração "um quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados construídos sobre seus catetos" pode ser ilustrado com o seguinte desenho:
Olhe para o triângulo retângulo isósceles ABC: Na hipotenusa AC, você pode construir um quadrado composto por quatro triângulos iguais ao ABC original. E sobre os catetos AB e BC construídos sobre um quadrado, cada um contendo dois triângulos semelhantes.
Aliás, esse desenho serviu de base para inúmeras anedotas e caricaturas dedicadas ao teorema de Pitágoras. Talvez o mais famoso seja "As calças pitagóricas são iguais em todas as direções":
Este método combina álgebra e geometria e pode ser visto como uma variante da antiga prova indiana do matemático Bhaskari.
Construir um triângulo retângulo com lados a, b e c(Figura 1). Em seguida, construa dois quadrados com lados iguais à soma dos comprimentos das duas pernas - (a+b). Em cada um dos quadrados, faça construções, como nas figuras 2 e 3.
No primeiro quadrado, construa quatro dos mesmos triângulos da Figura 1. Como resultado, dois quadrados são obtidos: um com lado a, o segundo com lado b.
No segundo quadrado, quatro triângulos semelhantes construídos formam um quadrado com um lado igual à hipotenusa c.
A soma das áreas dos quadrados construídos na Fig. 2 é igual à área do quadrado que construímos com o lado c na Fig. 3. Isso pode ser facilmente verificado calculando as áreas dos quadrados na Fig. 2 de acordo com a fórmula. E a área do quadrado inscrito na Figura 3. subtraindo as áreas de quatro triângulos retângulos iguais inscritos no quadrado da área de um quadrado grande com um lado (a+b).
Colocando tudo isso para baixo, temos: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Expanda os colchetes, faça todos os cálculos algébricos necessários e obtenha isso a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Ao mesmo tempo, a área do inscrito na Fig.3. quadrado também pode ser calculado usando a fórmula tradicional S=c2. Aqueles. a2+b2=c2 Você provou o teorema de Pitágoras.
A mesma antiga prova indiana é descrita no século XII no tratado “A Coroa do Conhecimento” (“Siddhanta Shiromani”), e como argumento principal o autor usa um apelo dirigido aos talentos matemáticos e poderes de observação dos alunos e seguidores: “Olha!”.
Mas vamos analisar essa prova com mais detalhes:
Dentro do quadrado, construa quatro triângulos retângulos conforme indicado no desenho. O lado do quadrado grande, que também é a hipotenusa, é denotado Com. Vamos chamar as pernas do triângulo uma e b. De acordo com o desenho, o lado do quadrado interno é (a-b).
Use a fórmula da área quadrada S=c2 para calcular a área do quadrado externo. E, ao mesmo tempo, calcule o mesmo valor adicionando a área do quadrado interno e a área de quatro triângulos retângulos: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Você pode usar as duas opções para calcular a área de um quadrado para garantir que elas dêem o mesmo resultado. E isso lhe dá o direito de escrever isso c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Como resultado da solução, você obterá a fórmula do teorema de Pitágoras c2=a2+b2. O teorema foi provado.
Esta curiosa evidência chinesa antiga foi chamada de "Cadeira da Noiva" - por causa da figura semelhante a uma cadeira que resulta de todas as construções:
Ele usa o desenho que já vimos na Figura 3 na segunda prova. E o quadrado interno com lado c é construído da mesma maneira que na antiga demonstração indiana dada acima.
Se você cortar mentalmente dois triângulos retângulos verdes do desenho na Fig. 1, movê-los para lados opostos do quadrado com lado c e anexar as hipotenusas às hipotenusas dos triângulos lilás, você obtém uma figura chamada "cadeira da noiva " (Figura 2). Para maior clareza, você pode fazer o mesmo com quadrados e triângulos de papel. Você verá que a "cadeira da noiva" é formada por dois quadrados: pequenos com um lado b e grande com um lado uma.
Essas construções permitiram que os antigos matemáticos chineses e nós que os seguimos chegássemos à conclusão de que c2=a2+b2.
Esta é outra maneira de encontrar uma solução para o teorema de Pitágoras com base na geometria. Chama-se Método Garfield.
Construir um triângulo retângulo abc. Precisamos provar que BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Para fazer isso, continue a perna CA e construir um segmento CD, que o igual à perna AB. Perpendicular Inferior DE ANÚNCIOS segmento de linha ED. Segmentos ED e CA são iguais. ligue os pontos E e NO, assim como E e A PARTIR DE e obter um desenho como a imagem abaixo:
Para provar a torre, recorremos novamente ao método que já testamos: encontramos a área da figura resultante de duas maneiras e igualamos as expressões entre si.
Encontrar a área de um polígono ABED pode ser feito somando as áreas dos três triângulos que o formam. E um deles URE, não é apenas retangular, mas também isósceles. Também não vamos esquecer que AB=CD, AC=ED e BC=CE- isso nos permitirá simplificar a gravação e não sobrecarregá-la. Então, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
Ao mesmo tempo, é óbvio que ABEDé um trapézio. Portanto, calculamos sua área usando a fórmula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Para nossos cálculos, é mais conveniente e claro representar o segmento DE ANÚNCIOS como a soma dos segmentos CA e CD.
Vamos escrever as duas formas de calcular a área de uma figura colocando um sinal de igual entre elas: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Usamos a igualdade de segmentos já conhecidos por nós e descritos acima para simplificar lado direito registros: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. E agora abrimos os colchetes e transformamos a igualdade: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Tendo terminado todas as transformações, obtemos exatamente o que precisamos: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Provamos o teorema.
Claro, esta lista de evidências está longe de ser completa. O teorema de Pitágoras também pode ser provado usando vetores, números complexos, equações diferenciais, estereometria, etc. E até físicos: se, por exemplo, o líquido for derramado em volumes quadrados e triangulares semelhantes aos mostrados nos desenhos. Derramando líquido, é possível provar a igualdade de áreas e o próprio teorema como resultado.
Esse tema é pouco ou pouco estudado no currículo escolar. Entretanto, é muito interessante e tem grande importância na geometria. As triplas pitagóricas são usadas para resolver muitos problemas matemáticos. A ideia deles pode ser útil para você na educação superior.
Então, o que são trigêmeos pitagóricos? Isso é o que eles chamam inteiros, coletados em três, a soma dos quadrados de dois dos quais é igual ao terceiro número no quadrado.
Os triplos pitagóricos podem ser:
Mesmo antes de nossa era, os antigos egípcios eram fascinados pela mania do número de trigêmeos pitagóricos: nas tarefas, eles consideravam um triângulo retângulo com lados de 3,4 e 5 unidades. A propósito, qualquer triângulo cujos lados são iguais aos números da tríplice pitagórica é, por padrão, retangular.
Exemplos de triplos pitagóricos: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20)), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) etc.
O teorema de Pitágoras encontra aplicação não apenas na matemática, mas também na arquitetura e construção, astronomia e até literatura.
Primeiro, sobre construção: o teorema de Pitágoras encontra ampla aplicação em problemas Niveis diferentes dificuldades. Por exemplo, olhe para a janela românica:
Vamos denotar a largura da janela como b, então o raio do grande semicírculo pode ser denotado como R e expressar através b: R=b/2. O raio de semicírculos menores também pode ser expresso em termos de b: r=b/4. Neste problema, estamos interessados no raio do círculo interno da janela (vamos chamá-lo de p).
O teorema de Pitágoras é útil para calcular R. Para fazer isso, usamos um triângulo retângulo, indicado por uma linha pontilhada na figura. A hipotenusa de um triângulo consiste em dois raios: b/4+p. Uma perna é um raio b/4, outro b/2-p. Usando o teorema de Pitágoras, escrevemos: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Em seguida, abrimos os colchetes e obtemos b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Vamos transformar essa expressão em pb/2=b 2 /4-pb. E então dividimos todos os termos em b, damos semelhantes para obter 3/2*p=b/4. E no final descobrimos que p=b/6- que é o que precisávamos.
Usando o teorema, você pode calcular o comprimento das vigas de um telhado de duas águas. Determine a altura da torre comunicações móveis necessário para que o sinal atinja um determinado localidade. E até mesmo instalar de forma estável árvore de Natal na praça da cidade. Como você pode ver, esse teorema não vive apenas nas páginas dos livros didáticos, mas muitas vezes é útil na vida real.
No que diz respeito à literatura, o teorema de Pitágoras inspirou escritores desde a antiguidade e continua a fazê-lo hoje. Por exemplo, o escritor alemão do século XIX Adelbert von Chamisso inspirou-se nela para escrever um soneto:
A luz da verdade não se dissipará tão cedo,
Mas, tendo brilhado, é improvável que se dissipe
E, como há milhares de anos,
Não causará dúvidas e disputas.
O mais sábio quando toca o olho
Luz da verdade, graças aos deuses;
E cem touros, esfaqueados, mentem -
O presente de retorno do sortudo Pitágoras.
Desde então, os touros têm rugido desesperadamente:
Para sempre despertou a tribo do touro
evento aqui mencionado.
Eles acham que está na hora
E novamente eles serão sacrificados
Algum grande teorema.
(traduzido por Victor Toporov)
E no século XX, o escritor soviético Yevgeny Veltistov em seu livro "As Aventuras da Eletrônica" dedicou um capítulo inteiro às provas do teorema de Pitágoras. E meio capítulo da história sobre o mundo bidimensional que poderia existir se o teorema de Pitágoras se tornasse a lei fundamental e até mesmo a religião de um único mundo. Seria muito mais fácil viver nele, mas também muito mais chato: por exemplo, ninguém lá entende o significado das palavras “redondo” e “fofo”.
E no livro “As Aventuras da Eletrônica”, o autor, pela boca da professora de matemática Taratara, diz: “O principal na matemática é o movimento do pensamento, as novas ideias”. É esse vôo criativo do pensamento que gera o teorema de Pitágoras - não é à toa que ele tem tantas provas diversas. Ajuda a ir além do habitual e olhar para as coisas familiares de uma nova maneira.
Este artigo foi criado para que você possa olhar além do currículo escolar em matemática e aprender não apenas aquelas provas do teorema de Pitágoras que são dadas nos livros didáticos "Geometria 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) e "Geometria 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), mas também outras formas curiosas de provar o famoso teorema. E veja também exemplos de como o teorema de Pitágoras pode ser aplicado na vida cotidiana.
Em primeiro lugar, essas informações permitirão que você obtenha pontuações mais altas nas aulas de matemática - informações sobre o assunto de fontes adicionais são sempre muito apreciadas.
Em segundo lugar, queríamos ajudá-lo a ter uma ideia de como a matemática ciência interessante. Certifique-se de exemplos concretos que sempre há espaço para a criatividade. Esperamos que o teorema de Pitágoras e este artigo o inspirem a fazer suas próprias pesquisas e descobertas emocionantes em matemática e outras ciências.
Conte-nos nos comentários se você achou as evidências apresentadas no artigo interessantes. Você achou essas informações úteis em seus estudos? Deixe-nos saber o que você pensa sobre o teorema de Pitágoras e este artigo - ficaremos felizes em discutir tudo isso com você.
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(de acordo com o Papiro 6619 do Museu de Berlim). De acordo com Cantor, os harpedonapts, ou "tensores de cordas", construíam ângulos retos usando triângulos retângulos com lados 3, 4 e 5.
É muito fácil reproduzir seu método de construção. Vamos pegar uma corda de 12 m de comprimento e amarrá-la ao longo de uma faixa colorida a uma distância de 3 m de uma extremidade e 4 metros da outra. Um ângulo reto será delimitado entre os lados de 3 e 4 metros de comprimento. Pode-se objetar aos Harpedonapts que seu método de construção se torna redundante se, por exemplo, for usado o quadrado de madeira usado por todos os carpinteiros. De fato, são conhecidos desenhos egípcios nos quais tal ferramenta é encontrada - por exemplo, desenhos representando uma oficina de carpintaria.
Um pouco mais se sabe sobre o teorema de Pitágoras entre os babilônios. Em um texto que remonta à época de Hamurabi, ou seja, a 2000 aC. e. , um cálculo aproximado da hipotenusa de um triângulo retângulo é dado. A partir disso, podemos concluir que na Mesopotâmia eles foram capazes de realizar cálculos com triângulos retângulos, pelo menos em alguns casos. Com base, por um lado, no nível atual de conhecimento da matemática egípcia e babilônica, e por outro lado, em um estudo crítico de fontes gregas, van der Waerden (um matemático holandês) concluiu que havia uma alta probabilidade de que o o teorema do quadrado da hipotenusa era conhecido na Índia já por volta do século 18 aC. e.
Por volta de 400 aC. e., de acordo com Proclo, Platão deu um método para encontrar triplos pitagóricos, combinando álgebra e geometria. Por volta de 300 aC. e. Os Elementos de Euclides contém a prova axiomática mais antiga do teorema de Pitágoras.
Formulação geométrica:
O teorema foi originalmente formulado da seguinte forma:
Formulação algébrica:
Ou seja, denotando o comprimento da hipotenusa do triângulo através, e os comprimentos dos catetos através de e:
Ambas as formulações do teorema são equivalentes, mas a segunda formulação é mais elementar, não requer o conceito de área. Ou seja, a segunda afirmação pode ser verificada sem saber nada sobre a área e medindo apenas os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras inverso:
Até o momento, 367 provas deste teorema foram registradas na literatura científica. Provavelmente, o teorema de Pitágoras é o único teorema com um número tão impressionante de provas. Tal variedade só pode ser explicada pelo significado fundamental do teorema para a geometria.
Claro, conceitualmente, todos eles podem ser divididos em um pequeno número de classes. As mais famosas são: provas de área, provas axiomáticas e exóticas (por exemplo, usando equações diferenciais).
A seguinte prova da formulação algébrica é a mais simples das provas construídas diretamente dos axiomas. Em particular, não utiliza o conceito de área da figura.
Deixar abc existe um triângulo retângulo C. Vamos desenhar uma altura de C e denote sua base por H. Triângulo ACH semelhante a um triângulo abc em dois cantos. Da mesma forma, o triângulo CBH semelhante abc. Apresentando a notação
Nós temos
O que é equivalente
Somando, obtemos
, que deveria ser provadoAs seguintes provas, apesar de sua aparente simplicidade, não são tão simples assim. Todos eles usam as propriedades da área, cuja demonstração é mais complicada do que a demonstração do próprio teorema de Pitágoras.
Q.E.D.
A ideia da prova de Euclides é a seguinte: vamos tentar provar que metade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das metades das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos, e depois as áreas dos catetos os quadrados grandes e dois pequenos são iguais.
Considere o desenho à esquerda. Construímos quadrados nos lados de um triângulo retângulo e desenhamos um raio s do vértice do ângulo reto C perpendicular à hipotenusa AB, ele corta o quadrado ABIK, construído na hipotenusa, em dois retângulos - BHJI e HAKJ , respectivamente. Acontece que as áreas desses retângulos são exatamente iguais às áreas dos quadrados construídos nas pernas correspondentes.
Vamos tentar provar que a área do quadrado DECA é igual à área do retângulo AHJK Para fazer isso, usamos uma observação auxiliar: A área de um triângulo com a mesma altura e base que o dado retângulo é igual à metade da área do retângulo dado. Isso é consequência de definir a área de um triângulo como metade do produto da base pela altura. Desta observação segue-se que a área do triângulo ACK é igual à área do triângulo AHK (não mostrado), que, por sua vez, é igual à metade da área do retângulo AHJK.
Vamos agora provar que a área do triângulo ACK também é igual a metade da área do quadrado DECA. A única coisa que precisa ser feita para isso é provar a igualdade dos triângulos ACK e BDA (já que a área do triângulo BDA é igual a metade da área do quadrado pela propriedade acima). Essa igualdade é óbvia: os triângulos são iguais em dois lados e o ângulo entre eles. Ou seja - AB = AK, AD = AC - a igualdade dos ângulos CAK e BAD é fácil de provar pelo método do movimento: vamos girar o triângulo CAK 90 ° no sentido anti-horário, então é óbvio que os lados correspondentes dos dois triângulos considerados coincidirão (devido ao fato de que o ângulo no vértice do quadrado é de 90°).
O argumento sobre a igualdade das áreas do quadrado BCFG e do retângulo BHJI é completamente análogo.
Assim, provamos que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. A ideia por trás dessa prova é ilustrada com a animação acima.
Os principais elementos da prova são a simetria e o movimento.
Considere o desenho, como pode ser visto pela simetria, o segmento corta o quadrado em duas partes idênticas (já que os triângulos e são iguais na construção).
Usando uma rotação anti-horária de 90 graus em torno do ponto, vemos a igualdade das figuras sombreadas e .
Agora está claro que a área da figura que sombreamos é igual à soma da metade das áreas dos pequenos quadrados (construídos nas pernas) e a área do triângulo original. Por outro lado, é igual à metade da área do quadrado grande (construído na hipotenusa) mais a área do triângulo original. Assim, metade da soma das áreas dos quadrados pequenos é igual à metade da área do quadrado grande e, portanto, a soma das áreas dos quadrados construídos sobre as pernas é igual à área do quadrado construído na hipotenusa.
A seguinte prova usando equações diferenciais é frequentemente atribuída ao famoso matemático inglês Hardy, que viveu na primeira metade do século XX.
Considerando o desenho mostrado na figura e observando a mudança de lado uma, podemos escrever a seguinte relação para incrementos laterais infinitesimais Com e uma(usando triângulos semelhantes):
Usando o método de separação de variáveis, encontramos
Uma expressão mais geral para alterar a hipotenusa no caso de incrementos de ambas as pernas
Integrando esta equação e usando as condições iniciais, obtemos
Assim, chegamos à resposta desejada
Como é fácil ver, a dependência quadrática na fórmula final aparece devido à proporcionalidade linear entre os lados do triângulo e os incrementos, enquanto a soma se deve às contribuições independentes do incremento de diferentes catetos.
Uma prova mais simples pode ser obtida se assumirmos que uma das pernas não sofre um incremento (neste caso, a perna). Então para a constante de integração temos
Generalização para triângulos semelhantes, área de figuras verdes A + B = área de azul C
Teorema de Pitágoras usando triângulos retângulos semelhantes
Uma generalização do teorema de Pitágoras foi feita por Euclides em seu trabalho Começos, expandindo as áreas dos quadrados nos lados para as áreas de formas geométricas semelhantes:
Se construirmos figuras geométricas semelhantes (ver geometria euclidiana) nos lados de um triângulo retângulo, a soma das duas figuras menores será igual à área da figura maior.
A ideia principal dessa generalização é que a área de tal figura geométrica é proporcional ao quadrado de qualquer um de seus dimensão linear e em particular o quadrado do comprimento de qualquer lado. Portanto, para figuras semelhantes com áreas UMA, B e C construído em lados com comprimento uma, b e c, temos:
Mas, de acordo com o teorema de Pitágoras, uma 2 + b 2 = c 2, então UMA + B = C.
Por outro lado, se pudermos provar que UMA + B = C para três figuras geométricas semelhantes sem usar o teorema de Pitágoras, então podemos provar o próprio teorema, movendo para direção oposta. Por exemplo, o triângulo central inicial pode ser reutilizado como um triângulo C na hipotenusa, e dois triângulos retângulos semelhantes ( UMA e B) construído nos outros dois lados, que são formados como resultado da divisão do triângulo central pela sua altura. A soma das duas áreas menores dos triângulos é então obviamente igual à área do terceiro, assim UMA + B = C e, seguindo as provas anteriores em ordem reversa, obtemos o teorema de Pitágoras a 2 + b 2 = c 2 .
O teorema de Pitágoras é caso especial teorema mais geral do cosseno, que relaciona os comprimentos dos lados em um triângulo arbitrário:
onde θ é o ângulo entre os lados uma e b.
Se θ é 90 graus então cos θ = 0 e a fórmula é simplificada para o teorema de Pitágoras usual.
Para qualquer canto escolhido de um triângulo arbitrário com lados a, b, c inscrevemos um triângulo isósceles de tal forma que ângulos iguais em sua base θ sejam iguais ao ângulo escolhido. Vamos supor que o ângulo escolhido θ está localizado em frente ao lado indicado c. Como resultado, obtivemos um triângulo ABD com ângulo θ, que está localizado em frente ao lado uma e festas r. O segundo triângulo é formado pelo ângulo θ, que é oposto ao lado b e festas Com grandes s, como mostrado na imagem. Thabit Ibn Qurra afirmou que os lados nestes três triângulos estão relacionados da seguinte forma:
À medida que o ângulo θ se aproxima de π/2, a base do triângulo isósceles diminui e os dois lados r e s se sobrepõem cada vez menos. Quando θ = π/2, ADB se transforma em um triângulo retângulo, r + s = c e obtemos o teorema de Pitágoras inicial.
Vejamos um dos argumentos. O triângulo ABC tem os mesmos ângulos que o triângulo ABD, mas na ordem inversa. (Os dois triângulos têm um ângulo comum no vértice B, ambos têm ângulo θ, e também têm o mesmo terceiro ângulo, pela soma dos ângulos do triângulo) Assim, ABC é semelhante à reflexão ABD do triângulo DBA, como mostrado na figura inferior. Vamos escrever a relação entre lados opostos e adjacente ao ângulo θ,
Assim é o reflexo de outro triângulo,
Multiplique as frações e some estas duas razões:
Q.E.D.
Generalização para triângulos arbitrários,
área de verde parcela = área azul
Prova da tese que na figura acima
Vamos fazer uma generalização adicional para triângulos não retangulares, usando paralelogramos em três lados em vez de quadrados. (os quadrados são um caso especial.) A figura superior mostra que, para um triângulo de ângulo agudo, a área do paralelogramo no lado maior é igual à soma dos paralelogramos nos outros dois lados, desde que o paralelogramo em o lado maior é construído como mostrado na figura (as dimensões marcadas com setas são as mesmas e determinam os lados do paralelogramo inferior). Esta substituição de quadrados por paralelogramos tem uma clara semelhança com o teorema de Pitágoras inicial e acredita-se que tenha sido formulado por Pappus de Alexandria em 4 EC. e.
A figura inferior mostra o progresso da prova. Vamos olhar para o lado esquerdo do triângulo. O paralelogramo verde esquerdo tem a mesma área que o lado esquerdo do paralelogramo azul porque eles têm a mesma base b e altura h. Além disso, a caixa verde esquerda tem a mesma área que a caixa verde esquerda na imagem superior porque elas têm uma base comum (a caixa superior lado esquerdo triângulo) e a altura total perpendicular a esse lado do triângulo. Argumentando de forma semelhante para o lado direito do triângulo, provamos que o paralelogramo inferior tem a mesma área que os dois paralelogramos verdes.
O teorema de Pitágoras é usado para encontrar a distância entre dois pontos em um sistema de coordenadas cartesianas, e este teorema é verdadeiro para todas as coordenadas verdadeiras: distância s entre dois pontos ( a, b) e ( cd) é igual a
Não há problemas com a fórmula se os números complexos forem tratados como vetores com componentes reais x + eu s = (x, y). . Por exemplo, a distância s entre 0 + 1 eu e 1 + 0 eu calcular como módulo de vetor (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), ou
No entanto, para operações com vetores de coordenadas complexas, é necessário fazer um certo aprimoramento na fórmula pitagórica. Distância entre pontos com números complexos (uma, b) e ( c, d); uma, b, c, e d tudo complexo, formulamos usando valores absolutos. Distância s com base na diferença vetorial (uma − c, b − d) da seguinte forma: deixe a diferença uma − c = p+ eu q, Onde pé a parte real da diferença, qé a parte imaginária, e i = √(−1). Da mesma forma, deixe b − d = r+ eu s. Então:
onde é o conjugado complexo de . Por exemplo, a distância entre os pontos (uma, b) = (0, 1) e (c, d) = (eu, 0) , calcule a diferença (uma − c, b − d) = (−eu, 1) e o resultado seria 0 se os conjugados complexos não fossem usados. Portanto, usando a fórmula melhorada, obtemos
O módulo é definido assim:
Uma generalização significativa do teorema de Pitágoras para o espaço tridimensional é o teorema de de Gua, em homenagem a J.-P. de Gua: se um tetraedro tem um ângulo reto (como em um cubo), então o quadrado da área da face oposta ao ângulo reto é igual à soma dos quadrados das áreas das outras três faces. Esta conclusão pode ser resumida como " n teorema de Pitágoras bidimensional":
Teorema de Pitágoras espaço tridimensional conecta a diagonal AD com três lados.
Outra generalização: O teorema de Pitágoras pode ser aplicado à estereometria da seguinte forma. Considerar cubóide, como mostrado na imagem. Encontre o comprimento da diagonal BD usando o teorema de Pitágoras:
onde três lados formam um triângulo retângulo. Use a diagonal horizontal BD e a aresta vertical AB para encontrar o comprimento da diagonal AD, novamente usando o teorema de Pitágoras:
ou, se tudo estiver escrito em uma equação:
Este resultado é uma expressão 3D para determinar a magnitude do vetor v(diagonal AD) expresso em termos de seus componentes perpendiculares ( v k) (três lados mutuamente perpendiculares):
Esta equação pode ser vista como uma generalização do teorema de Pitágoras para um espaço multidimensional. No entanto, o resultado na verdade nada mais é do que a aplicação repetida do teorema de Pitágoras a uma sequência de triângulos retângulos em planos sucessivamente perpendiculares.
No caso de um sistema ortogonal de vetores, ocorre uma igualdade, que também é chamada de teorema de Pitágoras:
Se - estas são projeções do vetor nos eixos coordenados, então esta fórmula coincide com a distância euclidiana - e significa que o comprimento do vetor é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados de seus componentes.
O análogo dessa igualdade no caso de um sistema infinito de vetores é chamado de igualdade de Parseval.
O teorema de Pitágoras é derivado dos axiomas da geometria euclidiana e, de fato, não é válido para a geometria não euclidiana, na forma em que está escrito acima. (Ou seja, o teorema de Pitágoras acaba sendo uma espécie de equivalente ao postulado do paralelismo de Euclides) Em outras palavras, na geometria não-euclidiana, a razão entre os lados do triângulo será necessariamente de uma forma diferente do teorema de Pitágoras . Por exemplo, na geometria esférica, todos os três lados de um triângulo retângulo (digamos uma, b e c) que limitam o oitante (um oitavo) da esfera unitária têm comprimento π/2, o que contradiz o teorema de Pitágoras porque uma 2 + b 2 ≠ c 2 .
Considere aqui dois casos de geometria não-euclidiana - geometria esférica e hiperbólica; em ambos os casos, quanto ao espaço euclidiano para triângulos retângulos, o resultado que substitui o teorema de Pitágoras segue do teorema do cosseno.
No entanto, o teorema de Pitágoras permanece válido para a geometria hiperbólica e elíptica se o requisito de que o triângulo é retângulo é substituído pela condição de que a soma de dois ângulos do triângulo deve ser igual ao terceiro, digamos UMA+B = C. Então a razão entre os lados fica assim: a soma das áreas dos círculos com diâmetros uma e b igual à área de um círculo com um diâmetro c.
Para qualquer triângulo retângulo em uma esfera com raio R(por exemplo, se o ângulo γ no triângulo for reto) com lados uma, b, c a relação entre as partes ficará assim:
Essa igualdade pode ser derivada como um caso especial teorema do cosseno esférico, que é válido para todos os triângulos esféricos:
onde cosh é o cosseno hiperbólico. Esta fórmula é um caso especial do teorema do cosseno hiperbólico, que é válido para todos os triângulos:
onde γ é o ângulo cujo vértice é oposto ao lado c.
Onde g eu jé chamado de tensor métrico. Pode ser uma função de posição. Tais espaços curvilíneos incluem geometria Riemanniana como exemplo geral. Esta formulação também é adequada para o espaço euclidiano ao usar coordenadas curvilíneas. Por exemplo, para coordenadas polares:
O teorema de Pitágoras conecta duas expressões para a magnitude de um produto vetorial. Uma abordagem para definir um produto vetorial requer que ele satisfaça a equação:
esta fórmula usa o produto escalar. O lado direito da equação é chamado de determinante de Gram para uma e b, que é igual à área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Com base neste requisito, bem como no requisito de que o produto vetorial seja perpendicular às suas componentes uma e b segue-se que, exceto para os casos triviais de espaço 0 e 1-dimensional, o produto vetorial é definido apenas em três e sete dimensões. Usamos a definição de ângulo em n espaço dimensional:
esta propriedade do produto vetorial dá seu valor na seguinte forma:
Através dos fundamentos identidade trigonométrica Pitágoras, temos uma forma diferente de escrever seu valor:
Uma abordagem alternativa para definir um produto cruzado usa uma expressão para sua magnitude. Então, argumentando em ordem inversa, obtemos uma conexão com produto escalar:
Nível médio
Nos problemas, um ângulo reto não é necessário - o inferior esquerdo, então você precisa aprender a reconhecer um triângulo retângulo nesta forma,
e em tal
e em tal 
O que é bom sobre um triângulo retângulo? Bem... em primeiro lugar, há especiais belos nomes para seus lados.
Atenção ao desenho!
Lembre-se e não confunda: pernas - duas, e a hipotenusa - apenas uma(o único, único e mais longo)!
Bem, discutimos os nomes, agora o mais importante: o teorema de Pitágoras.
Este teorema é a chave para resolver muitos problemas envolvendo um triângulo retângulo. Foi comprovado por Pitágoras em tempos completamente imemoriais e, desde então, trouxe muitos benefícios a quem o conhece. E a melhor coisa sobre ela é que ela é simples.
Então, Teorema de Pitágoras:
Você se lembra da piada: “Calças pitagóricas são iguais em todos os lados!”?
Vamos desenhar essas calças bem pitagóricas e olhar para elas. 
Parece mesmo um short? Bem, em que lados e onde eles são iguais? Por que e de onde veio a piada? E este chiste está ligado precisamente ao teorema de Pitágoras, mais precisamente à forma como o próprio Pitágoras formulou o seu teorema. E ele formulou assim:
"Soma área de praças, construído sobre as pernas, é igual a área quadrada construída sobre a hipotenusa.
Não soa um pouco diferente, não é? E assim, quando Pitágoras desenhou a afirmação de seu teorema, surgiu exatamente essa imagem.
Nesta imagem, a soma das áreas dos quadrados pequenos é igual à área do quadrado grande. E para que as crianças se lembrem melhor que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, alguém espirituoso inventou essa piada sobre as calças pitagóricas.
Por que estamos formulando agora o teorema de Pitágoras
Pitágoras sofria e falava de praças?
Você vê, nos tempos antigos não havia... álgebra! Não havia sinais e assim por diante. Não havia inscrições. Você pode imaginar o quão terrível foi para os pobres alunos antigos memorizarem tudo com palavras??! E podemos ficar contentes por termos uma formulação simples do teorema de Pitágoras. Vamos repetir novamente para lembrar melhor:
Agora deve ser fácil:
| O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. |
Bem, o teorema mais importante sobre um triângulo retângulo foi discutido. Se você está interessado em como isso é provado, leia os próximos níveis da teoria e agora vamos avançar... para a floresta escura... da trigonometria! Às terríveis palavras seno, cosseno, tangente e cotangente.
Na verdade, nem tudo é tão assustador. Claro, a definição "real" de seno, cosseno, tangente e cotangente deve ser analisada no artigo. Mas você realmente não quer, não é? Podemos nos alegrar: para resolver problemas sobre um triângulo retângulo, você pode simplesmente preencher as seguintes coisas simples:
Por que é tudo sobre o canto? Onde é o canto? Para entender isso, você precisa saber como as afirmações de 1 a 4 são escritas em palavras. Veja, entenda e lembre-se!
1.
Na verdade soa assim:
E o ângulo? Existe uma perna oposta ao canto, ou seja, a perna oposta (para o canto)? Claro que tem! Isso é um cateto!
Mas e o ângulo? Olhe atentamente. Qual perna é adjacente ao canto? Claro, o gato. Então, para o ângulo, a perna é adjacente, e
E agora, atenção! Veja o que temos:
Veja que ótimo:
Agora vamos passar para tangente e cotangente.
Como colocar isso em palavras agora? Qual é a perna em relação ao canto? Oposto, é claro - "está" em frente ao canto. E o cateto? Ao lado da esquina. Então o que conseguimos?
Viu como o numerador e o denominador estão invertidos?
E agora novamente os cantos e fiz a troca:
Vamos escrever brevemente o que aprendemos.
 |
Teorema de Pitágoras: |
O principal teorema do triângulo retângulo é o teorema de Pitágoras.
A propósito, você se lembra bem do que são as pernas e a hipotenusa? Se não, então olhe para a imagem - atualize seu conhecimento
É possível que você já tenha usado o teorema de Pitágoras muitas vezes, mas você já se perguntou por que esse teorema é verdadeiro. Como você provaria isso? Vamos fazer como os gregos antigos. Vamos desenhar um quadrado com um lado.
Você vê como habilmente dividimos seus lados em segmentos de comprimentos e!
Agora vamos conectar os pontos marcados
Aqui, no entanto, notamos outra coisa, mas você mesmo olha para a foto e pensa no porquê.
Qual é a área do quadrado maior? Corretamente, . E a área menor? É claro, . A área total dos quatro cantos permanece. Imagine que pegamos dois deles e nos encostamos um no outro com hipotenusas. O que aconteceu? Dois retângulos. Assim, a área de "estacas" é igual.
Vamos juntar tudo agora.
Vamos transformar:
Então visitamos Pitágoras - provamos seu teorema de uma maneira antiga.
Para um triângulo retângulo, valem as seguintes relações:
O seno de um ângulo agudo é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa
O cosseno de um ângulo agudo é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
A tangente de um ângulo agudo é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
A cotangente de um ângulo agudo é igual à razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto.
E mais uma vez, tudo isso em forma de prato:
É muito confortável!
I. Em duas pernas
II. Por perna e hipotenusa
III. Por hipotenusa e ângulo agudo
4. Ao longo da perna e ângulo agudo
a) 
b) 
Atenção! Aqui é muito importante que as pernas sejam "correspondentes". Por exemplo, se for assim:
ENTÃO OS TRIÂNGULOS NÃO SÃO IGUAIS, apesar de terem um ângulo agudo idêntico.
Preciso em ambos os triângulos a perna era adjacente, ou em ambos - oposta.
Você já reparou como os sinais de igualdade de triângulos retângulos diferem dos sinais usuais de igualdade de triângulos? Veja o tópico “e preste atenção ao fato de que, para a igualdade de triângulos “comuns”, você precisa da igualdade de seus três elementos: dois lados e um ângulo entre eles, dois ângulos e um lado entre eles ou três lados. Mas para a igualdade de triângulos retângulos, apenas dois elementos correspondentes são suficientes. É ótimo, certo?
Aproximadamente a mesma situação com sinais de semelhança de triângulos retângulos.
I. Canto agudo
II. Em duas pernas
III. Por perna e hipotenusa
Por que é tão?
Considere um retângulo inteiro em vez de um triângulo retângulo.
Vamos desenhar uma diagonal e considerar um ponto - o ponto de intersecção das diagonais. O que você sabe sobre as diagonais de um retângulo?
E o que se segue disso?
Então aconteceu que
Lembre-se deste fato! Ajuda muito!
O que é ainda mais surpreendente é que o inverso também é verdadeiro.
Que bem pode ser ganho com o fato de que a mediana desenhada para a hipotenusa é igual à metade da hipotenusa? Vamos olhar para a imagem
Olhe atentamente. Temos: , ou seja, as distâncias do ponto aos três vértices do triângulo acabaram sendo iguais. Mas em um triângulo há apenas um ponto, as distâncias a partir das quais todos os três vértices do triângulo são iguais, e este é o CENTRO DO CIRCO descrito. Então o que aconteceu?
Então vamos começar com este "além disso...".
Vejamos i.
Mas em triângulos semelhantes todos os ângulos são iguais!
O mesmo pode ser dito sobre e
Agora vamos desenhar juntos:
Que utilidade pode ser tirada dessa semelhança "tripla".
Bem, por exemplo - duas fórmulas para a altura de um triângulo retângulo.
Escrevemos as relações das partes correspondentes:
Para encontrar a altura, resolvemos a proporção e obtemos primeira fórmula "Altura em um triângulo retângulo":
Então, vamos aplicar a semelhança: .
O que vai acontecer agora?
Novamente resolvemos a proporção e obtemos a segunda fórmula:
Ambas as fórmulas devem ser lembradas muito bem e aquela que for mais conveniente de aplicar. Vamos escrevê-los novamente.
Teorema de Pitágoras:
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:.
Sinais de igualdade de triângulos retângulos:
Sinais de semelhança de triângulos retângulos:
Seno, cosseno, tangente, cotangente em um triângulo retângulo
Altura de um triângulo retângulo: ou.
Em um triângulo retângulo, a mediana traçada a partir do vértice do ângulo reto é igual à metade da hipotenusa: .
Área de um triângulo retângulo:
teorema de Pitágoras
Da mesma forma, o triângulo CBH é semelhante ao ABC. Apresentando a notação 
1. Organize quatro triângulos retângulos iguais conforme mostrado na figura. 
A ideia da prova de Euclides é a seguinte: vamos tentar provar que metade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das metades das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos, e depois as áreas dos catetos os quadrados grandes e dois pequenos são iguais. Considere o desenho à esquerda. Construímos quadrados nos lados de um triângulo retângulo e desenhamos um raio s do vértice do ângulo reto C perpendicular à hipotenusa AB, ele corta o quadrado ABIK, construído na hipotenusa, em dois retângulos - BHJI e HAKJ , respectivamente. Acontece que as áreas desses retângulos são exatamente iguais às áreas dos quadrados construídos nas pernas correspondentes. Vamos tentar provar que a área do quadrado DECA é igual à área do retângulo AHJK Para fazer isso, usamos uma observação auxiliar: A área de um triângulo com a mesma altura e base que o dado retângulo é igual à metade da área do retângulo dado. Isso é consequência de definir a área de um triângulo como metade do produto da base pela altura. Desta observação segue-se que a área do triângulo ACK é igual à área do triângulo AHK (não mostrado), que, por sua vez, é igual à metade da área do retângulo AHJK. Vamos agora provar que a área do triângulo ACK também é igual a metade da área do quadrado DECA. A única coisa que precisa ser feita para isso é provar a igualdade dos triângulos ACK e BDA (já que a área do triângulo BDA é igual a metade da área do quadrado pela propriedade acima). Essa igualdade é óbvia, os triângulos são iguais em dois lados e o ângulo entre eles. A saber - AB = AK, AD = AC - a igualdade dos ângulos CAK e BAD é fácil de provar pelo método do movimento: vamos girar o triângulo CAK 90 ° no sentido anti-horário, então é óbvio que os lados correspondentes dos dois triângulos em consideração serão coincidem (devido ao fato de que o ângulo no vértice do quadrado é de 90°). O argumento sobre a igualdade das áreas do quadrado BCFG e do retângulo BHJI é completamente análogo. Assim, provamos que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. 
Considere o desenho, como pode ser visto pela simetria, o segmento CI corta o quadrado ABHJ em duas partes idênticas (já que os triângulos ABC e JHI são iguais na construção). Usando uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário, vemos a igualdade das figuras sombreadas CAJI e GDAB. Agora está claro que a área da figura sombreada por nós é igual à soma da metade das áreas dos quadrados construídos nas pernas e a área do triângulo original. Por outro lado, é igual à metade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa, mais a área do triângulo original. O último passo da prova é deixado para o leitor.
