Para dominar este parágrafo, você deve ser capaz de abrir os qualificadores "dois a dois" e "três a três". Se os qualificadores forem ruins, por favor, estude a lição Como calcular o determinante?
Primeiro consideramos a regra de Cramer em detalhes para um sistema de dois equações lineares com duas incógnitas. Pelo que? - Afinal o sistema mais simples pode ser resolvido pelo método escolar, por adição de termos!
O fato é que, às vezes, existe essa tarefa - resolver um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas usando as fórmulas de Cramer. Em segundo lugar, um exemplo mais simples ajudará você a entender como usar a regra de Cramer para mais caso difícil– sistemas de três equações com três incógnitas.
Além disso, existem sistemas de equações lineares com duas variáveis, que é aconselhável resolver exatamente de acordo com a regra de Cramer!
Considere o sistema de equações
Na primeira etapa, calculamos o determinante , é chamado o principal determinante do sistema.
Método de Gauss.
Se , então o sistema tem única decisão, e para encontrar as raízes temos que calcular mais dois determinantes:
e
Na prática, os qualificadores acima também podem ser denotados pela letra latina.
As raízes da equação são encontradas pelas fórmulas:
,
Exemplo 7
Resolver um sistema de equações lineares
Solução: Vemos que os coeficientes da equação são bastante grandes, no lado direito existem decimais com uma vírgula. A vírgula é um convidado bastante raro em tarefas práticas de matemática; tirei esse sistema de um problema econométrico.
Como resolver tal sistema? Você pode tentar expressar uma variável em termos de outra, mas, neste caso, certamente obterá frações extravagantes terríveis, com as quais é extremamente inconveniente trabalhar, e o design da solução parecerá horrível. Você pode multiplicar a segunda equação por 6 e subtrair termo por termo, mas as mesmas frações aparecerão aqui.
O que fazer? Nesses casos, as fórmulas de Cramer vêm em socorro.
;
;
Responda: ,
Ambas as raízes têm caudas infinitas e são encontradas aproximadamente, o que é bastante aceitável (e até mesmo lugar-comum) para problemas de econometria.
Comentários não são necessários aqui, pois a tarefa é resolvida de acordo com fórmulas prontas, porém, há uma ressalva. Ao usar este método, obrigatório O fragmento da atribuição é o seguinte fragmento: "para que o sistema tenha uma solução única". Caso contrário, o revisor pode puni-lo por desrespeitar o teorema de Cramer.
Não será supérfluo verificar, o que é conveniente fazer na calculadora: substituímos os valores aproximados no lado esquerdo de cada equação do sistema. Como resultado, com um pequeno erro, os números que estão do lado direito devem ser obtidos.
Exemplo 8
Expresse sua resposta em frações impróprias comuns. Faça uma verificação.
Este é um exemplo de solução independente (exemplo de design fino e resposta no final da lição).
Voltamo-nos para a consideração da regra de Cramer para um sistema de três equações com três incógnitas: 
Encontramos o principal determinante do sistema: 
Se , então o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente (não tem soluções). Nesse caso, a regra de Cramer não ajudará, você precisa usar o método de Gauss.
Se , então o sistema tem solução única, e para encontrar as raízes, devemos calcular mais três determinantes: 
, 
, 
E, finalmente, a resposta é calculada pelas fórmulas: 
Como você pode ver, o caso “três por três” não é fundamentalmente diferente do caso “dois por dois”, a coluna de termos livres “caminha” sequencialmente da esquerda para a direita ao longo das colunas do determinante principal.
Exemplo 9
Resolva o sistema usando as fórmulas de Cramer. 
Solução: Vamos resolver o sistema usando as fórmulas de Cramer. 
, então o sistema tem uma única solução.
Responda: 
.
Na verdade, não há nada de especial a comentar aqui novamente, tendo em vista que a decisão é feita de acordo com fórmulas prontas. Mas há algumas notas.
Acontece que, como resultado dos cálculos, são obtidas frações irredutíveis “ruins”, por exemplo: .
Eu recomendo o seguinte algoritmo de "tratamento". Se não houver computador disponível, fazemos o seguinte:
1) Pode haver um erro nos cálculos. Assim que você encontrar um tiro “ruim”, você deve verificar imediatamente se a condição é reescrita corretamente. Se a condição for reescrita sem erros, você precisará recalcular os determinantes usando a expansão em outra linha (coluna).
2) Se nenhum erro foi encontrado como resultado da verificação, provavelmente foi cometido um erro de digitação na condição da atribuição. Nesse caso, resolva a tarefa com calma e CUIDADOSAMENTE até o fim e, em seguida, certifique-se de verificar e lavrá-lo em cópia limpa após a decisão. Claro, verificar uma resposta fracionária é uma tarefa desagradável, mas será um argumento desarmante para o professor, que, bem, realmente gosta de colocar um sinal de menos para qualquer coisa ruim como. Como lidar com frações é detalhado na resposta do Exemplo 8.
Se você tiver um computador em mãos, use um programa automatizado para verificá-lo, que pode ser baixado gratuitamente logo no início da aula. A propósito, é mais vantajoso usar o programa na hora (mesmo antes de iniciar a solução), você verá imediatamente a etapa intermediária em que cometeu um erro! A mesma calculadora calcula automaticamente a solução do sistema usando o método matricial.
Segunda observação. De vez em quando existem sistemas em cujas equações faltam algumas variáveis, por exemplo: 
Aqui na primeira equação não tem variável, na segunda não tem variável. Nesses casos, é muito importante anotar correta e CUIDADOSAMENTE o determinante principal: 
– zeros são colocados no lugar de variáveis ausentes.
A propósito, é racional abrir determinantes com zeros na linha (coluna) em que o zero está localizado, pois há visivelmente menos cálculos.
Exemplo 10
Resolva o sistema usando as fórmulas de Cramer. 
Este é um exemplo para auto-resolução (exemplo final e resposta no final da lição).
Para o caso de um sistema de 4 equações com 4 incógnitas, as fórmulas de Cramer são escritas de acordo com princípios semelhantes. Você pode ver um exemplo ao vivo na lição Determinant Properties. Reduzindo a ordem do determinante - cinco determinantes de 4ª ordem são bastante solucionáveis. Embora a tarefa já lembre muito o sapato de um professor no peito de um aluno sortudo.
Método matriz inversaé, em essência, caso especial equação matricial(Veja o Exemplo No. 3 da lição especificada).
Para estudar esta seção, você precisa ser capaz de expandir os determinantes, encontrar a matriz inversa e realizar a multiplicação de matrizes. Links relevantes serão fornecidos à medida que a explicação avança.
Exemplo 11
Resolva o sistema com o método matricial 
Solução: Escrevemos o sistema em forma de matriz:
, Onde 
Por favor, olhe para o sistema de equações e as matrizes. Por qual princípio escrevemos elementos em matrizes, acho que todos entendem. O único comentário: se algumas variáveis estivessem faltando nas equações, então zeros teriam que ser colocados nos lugares correspondentes na matriz.
Encontramos a matriz inversa pela fórmula:
, onde é a matriz transposta dos complementos algébricos dos elementos correspondentes da matriz .
Primeiro, vamos lidar com o determinante:
Aqui o determinante é expandido pela primeira linha.
Atenção! Se , então a matriz inversa não existe e é impossível resolver o sistema pelo método da matriz. Neste caso, o sistema é resolvido pela eliminação de incógnitas (método de Gauss).
Agora você precisa calcular 9 menores e escrevê-los na matriz de menores 
Referência:É útil saber o significado de índices duplos em álgebra linear. O primeiro dígito é o número da linha na qual o elemento está localizado. O segundo dígito é o número da coluna na qual o elemento está localizado: 
Ou seja, um duplo subscrito indica que o elemento está na primeira linha, terceira coluna, enquanto, por exemplo, o elemento está na 3ª linha, 2ª coluna
No decorrer da resolução, é melhor descrever detalhadamente o cálculo dos menores, embora, com uma certa experiência, eles possam ser ajustados para contar com erros oralmente.
Com o número de equações igual ao número de incógnitas com o determinante principal da matriz, que não é igual a zero, os coeficientes do sistema (existe solução para essas equações e é apenas uma).
Teorema de Cramer.
Quando o determinante da matriz de um sistema quadrado é diferente de zero, então o sistema é compatível e tem uma solução e pode ser encontrado por fórmulas de Cramer:
onde Δ - determinante da matriz do sistema,
Δ eu- determinante da matriz do sistema, em que ao invés de eu a coluna é a coluna das partes certas.
Quando o determinante do sistema é zero, então o sistema pode se tornar consistente ou inconsistente.
Este método é geralmente usado para pequenos sistemas com cálculos de volume e quando é necessário determinar 1 das incógnitas. A complexidade do método é que é necessário calcular muitos determinantes.
Existe um sistema de equações:
Um sistema de 3 equações pode ser resolvido pelo método de Cramer, que foi discutido acima para um sistema de 2 equações.
Compomos o determinante a partir dos coeficientes das incógnitas:
Isso vai qualificador do sistema. Quando D≠0, então o sistema é consistente. Agora vamos compor 3 determinantes adicionais:
,
,
Resolvemos o sistema por fórmulas de Cramer:
Exemplo 1.
Sistema dado:
Vamos resolvê-lo pelo método de Cramer.
Primeiro você precisa calcular o determinante da matriz do sistema:
Porque Δ≠0, portanto, pelo teorema de Cramer, o sistema é compatível e tem uma solução. Calculamos determinantes adicionais. O determinante Δ 1 é obtido do determinante Δ substituindo sua primeira coluna por uma coluna de coeficientes livres. Nós temos:
Da mesma forma, obtemos o determinante Δ 2 a partir do determinante da matriz do sistema, substituindo a segunda coluna por uma coluna de coeficientes livres:
O método de Cramer ou a chamada regra de Cramer é uma forma de procurar quantidades desconhecidas a partir de sistemas de equações. Só pode ser usado se o número de valores que você procura for equivalente ao número equações algébricas no sistema, ou seja, a matriz principal formada a partir do sistema deve ser quadrada e não conter linhas nulas, e também se seu determinante não deve ser zero.
Teorema 1
teorema de Cramer Se o determinante principal $D$ da matriz principal, compilado com base nos coeficientes das equações, não for igual a zero, então o sistema de equações é consistente e possui uma solução única. A solução de tal sistema é calculada usando as chamadas fórmulas de Cramer para resolver sistemas de equações lineares: $x_i = \frac(D_i)(D)$
A essência do método Cramer é a seguinte:
Para calcular o determinante de uma matriz com dimensão maior que 2 por 2, vários métodos podem ser usados:
Figura 1. Regra dos triângulos para cálculo do determinante pelo método de Cramer
Aplicamos o método de Cramer para um sistema de 2 equações e duas quantidades necessárias:
$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$
Vamos exibi-lo de forma expandida para conveniência:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Encontre o determinante da matriz principal, também chamado de determinante principal do sistema:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Se o determinante principal não for igual a zero, para resolver o slough pelo método de Cramer, é necessário calcular mais alguns determinantes de duas matrizes com as colunas da matriz principal substituídas por uma linha de termos livres:
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Agora vamos encontrar as incógnitas $x_1$ e $x_2$:
$x_1 = \frac(D_1)(D)$
$x_2 = \frac(D_2)(D)$
Exemplo 1
Método de Cramer para resolver um SLAE com uma matriz principal de 3ª ordem (3 x 3) e três desejadas.
Resolva o sistema de equações:
$\begin(cases) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$
Calculamos o determinante principal da matriz usando a regra acima no parágrafo número 1:
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - $64
E agora três outros determinantes:
$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - $ 296
$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $ 108
$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \u003d - $ 60
Vamos encontrar os valores necessários:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$
O método de Cramer é baseado no uso de determinantes na solução de sistemas de equações lineares. Isso acelera muito o processo de solução.
O método de Cramer pode ser usado para resolver um sistema de tantas equações lineares quantas forem as incógnitas em cada equação. Se o determinante do sistema não for igual a zero, o método de Cramer pode ser usado na solução; se for igual a zero, não pode. Além disso, o método de Cramer pode ser usado para resolver sistemas de equações lineares que possuem uma única solução.
Definição. O determinante, composto pelos coeficientes das incógnitas, é denominado determinante do sistema e é denotado por (delta).
Determinantes
são obtidos substituindo os coeficientes nas incógnitas correspondentes por termos livres:
;
.
teorema de Cramer. Se o determinante do sistema for diferente de zero, então o sistema de equações lineares tem uma única solução e a incógnita é igual à razão dos determinantes. O denominador é o determinante do sistema, e o numerador é o determinante obtido do determinante do sistema substituindo os coeficientes pelo desconhecido por termos livres. Este teorema vale para um sistema de equações lineares de qualquer ordem.
Exemplo 1 Resolva o sistema de equações lineares:
De acordo com teorema de Cramer temos:
Assim, a solução do sistema (2):
calculadora online, método decisivo Kramer.
Como aparece de teorema de Cramer, ao resolver um sistema de equações lineares, três casos podem ocorrer:
Primeiro caso: o sistema de equações lineares tem uma única solução
(o sistema é consistente e definido)
Segundo caso: o sistema de equações lineares tem um número infinito de soluções
(o sistema é consistente e indeterminado)
** 
,
Essa. os coeficientes das incógnitas e os termos livres são proporcionais.
Terceiro caso: o sistema de equações lineares não tem soluções
(sistema inconsistente)
Então o sistema m equações lineares com n variáveis é chamado incompatível se não tiver soluções, e articulação se tiver pelo menos uma solução. Um sistema conjunto de equações que tem apenas uma solução é chamado certo, e mais de um incerto.
Deixe o sistema
.
Baseado no teorema de Cramer
………….
,
Onde 
-
identificador do sistema. Os demais determinantes são obtidos substituindo a coluna pelos coeficientes da variável correspondente (desconhecida) com membros livres:
Exemplo 2
.
Portanto, o sistema é definido. Para encontrar sua solução, calculamos os determinantes
Pelas fórmulas de Cramer encontramos:
Assim, (1; 0; -1) é a única solução do sistema.
Para verificar as soluções dos sistemas de equações 3 X 3 e 4 X 4, você pode usar a calculadora online, o método de resolução Cramer.
Se não houver variáveis \u200b\u200bno sistema de equações lineares em uma ou mais equações, então no determinante os elementos correspondentes a elas são iguais a zero! Este é o próximo exemplo.
Exemplo 3 Resolva o sistema de equações lineares pelo método de Cramer:
.
Solução. Achamos o determinante do sistema:
Observe atentamente o sistema de equações e o determinante do sistema e repita a resposta à questão em que casos um ou mais elementos do determinante são iguais a zero. Assim, o determinante não é igual a zero, portanto, o sistema é definido. Para encontrar sua solução, calculamos os determinantes para as incógnitas
Pelas fórmulas de Cramer encontramos:
Assim, a solução do sistema é (2; -1; 1).
Para verificar as soluções dos sistemas de equações 3 X 3 e 4 X 4, você pode usar a calculadora online, o método de resolução Cramer.
Como já mencionado, se o determinante do sistema for igual a zero e os determinantes das incógnitas não forem iguais a zero, o sistema é inconsistente, ou seja, não possui soluções. Vamos ilustrar com o seguinte exemplo.
Exemplo 6 Resolva o sistema de equações lineares pelo método de Cramer:
Solução. Achamos o determinante do sistema:
O determinante do sistema é igual a zero, portanto, o sistema de equações lineares ou é inconsistente e definido, ou inconsistente, ou seja, não possui soluções. Para esclarecer, calculamos os determinantes para as incógnitas
Os determinantes das incógnitas não são iguais a zero, portanto, o sistema é inconsistente, ou seja, não possui soluções.
Para verificar as soluções dos sistemas de equações 3 X 3 e 4 X 4, você pode usar a calculadora online, o método de resolução Cramer.
Nos problemas de sistemas de equações lineares, também existem aqueles em que, além das letras que denotam variáveis, também existem outras letras. Essas letras representam algum número, na maioria das vezes um número real. Na prática, tais equações e sistemas de equações levam a problemas de busca propriedades comuns quaisquer fenômenos ou objetos. Ou seja, você inventou algum novo material ou um dispositivo, e para descrever suas propriedades, que são comuns independentemente do tamanho ou número de cópias, é necessário resolver um sistema de equações lineares, onde em vez de alguns coeficientes para variáveis existem letras. Você não precisa procurar muito por exemplos.
O próximo exemplo é para um problema semelhante, apenas o número de equações, variáveis e letras denotando algum número real aumenta.
Exemplo 8 Resolva o sistema de equações lineares pelo método de Cramer:
Solução. Achamos o determinante do sistema:
Encontrar determinantes para incógnitas
Deixe o sistema de equações lineares conter tantas equações quanto o número de variáveis independentes, ou seja, tem a forma
Tais sistemas de equações lineares são chamados quadráticos. O determinante composto pelos coeficientes das variáveis independentes do sistema (1.5) é chamado de determinante principal do sistema. Vamos denotá-lo com a letra grega D. Assim,
. (1.6)
Se no determinante principal um arbitrário ( j th) coluna, substitua-a pela coluna de membros livres do sistema (1.5), então podemos obter mais n determinantes auxiliares:
(j = 1, 2, …, n). (1.7)
regra de Cramer resolver sistemas quadráticos de equações lineares é o seguinte. Se o determinante principal D do sistema (1.5) for diferente de zero, então o sistema tem uma solução única, que pode ser encontrada pelas fórmulas:
(1.8)
Exemplo 1.5. Resolva o sistema de equações usando o método de Cramer
.
Vamos calcular o principal determinante do sistema:
Desde D¹0, o sistema possui uma única solução que pode ser encontrada pelas fórmulas (1.8):
Nesse caminho,
1. Multiplicação de uma matriz por um número. A operação de multiplicar uma matriz por um número é definida como segue.
2. Para multiplicar uma matriz por um número, você precisa multiplicar todos os seus elementos por esse número. Aquilo é
. (1.9)
Exemplo 1.6. 
.
Esta operação é introduzida apenas para matrizes de mesma ordem.
Para somar duas matrizes, é necessário somar os elementos correspondentes da outra matriz aos elementos de uma matriz:
(1.10)
A operação de adição de matrizes tem as propriedades de associatividade e comutatividade.
Exemplo 1.7. 
.
Se o número de colunas da matriz MAS corresponde ao número de linhas da matriz NO, então para tais matrizes a operação de multiplicação é introduzida:
2 
Assim, ao multiplicar a matriz MAS dimensões m´ n para matriz NO dimensões n´ k obtemos uma matriz A PARTIR DE dimensões m´ k. Neste caso, os elementos da matriz A PARTIR DE são calculados de acordo com as seguintes fórmulas:
Problema 1.8. Encontre, se possível, o produto de matrizes AB e BA:
Solução. 1) Para encontrar um trabalho AB, você precisa de linhas de matriz UMA multiplique pelas colunas da matriz B:
2) Arte BA não existe, porque o número de colunas da matriz B não corresponde ao número de linhas da matriz UMA.
Matriz UMA- 1 é chamado o inverso de uma matriz quadrada MAS se a igualdade valer:
por onde EU denotado matriz de identidade a mesma ordem da matriz MAS:
.
Para que uma matriz quadrada tenha uma inversa, é necessário e suficiente que seu determinante seja diferente de zero. A matriz inversa é encontrada pela fórmula:
, (1.13)
Onde A ij - adições algébricas aos elementos aij matrizes MAS(observe que as adições algébricas às linhas da matriz MAS são dispostos na matriz inversa na forma de colunas correspondentes).
Exemplo 1.9. Encontrar matriz inversa UMA- 1 para matriz
.
Encontramos a matriz inversa pela fórmula (1.13), que para o caso n= 3 parece:
.
vamos encontrar det UMA = | UMA| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Como o determinante da matriz original é diferente de zero, a matriz inversa existe.
1) Encontre adições algébricas A ij:
Para a conveniência de encontrar a matriz inversa, colocamos as adições algébricas às linhas da matriz original nas colunas correspondentes.
A partir das adições algébricas obtidas, compomos uma nova matriz e a dividimos pelo determinante det UMA. Assim, obteremos a matriz inversa:
Sistemas quadráticos de equações lineares com um determinante principal diferente de zero podem ser resolvidos usando uma matriz inversa. Para isso, o sistema (1.5) é escrito na forma matricial:
Onde 
Multiplicando ambos os lados da igualdade (1,14) à esquerda por UMA- 1 , obtemos a solução do sistema:
, Onde
Assim, para encontrar uma solução para um sistema quadrado, você precisa encontrar a matriz inversa da matriz principal do sistema e multiplicá-la à direita pela matriz coluna de termos livres.
Problema 1.10. Resolver um sistema de equações lineares
usando uma matriz inversa.
Solução. Escrevemos o sistema em forma de matriz: ,
Onde 
é a matriz principal do sistema, é a coluna de incógnitas e é a coluna de membros livres. Como o principal determinante do sistema 
, então a matriz principal do sistema MAS tem uma matriz inversa MAS-1 . Para encontrar a matriz inversa MAS-1 , calcule os complementos algébricos para todos os elementos da matriz MAS:
A partir dos números obtidos, compomos uma matriz (além disso, adições algébricas às linhas da matriz MAS escreva nas colunas apropriadas) e divida pelo determinante D. Assim, encontramos a matriz inversa:
A solução do sistema é encontrada pela fórmula (1.15):
Nesse caminho,
Seja dado um sistema arbitrário (não necessariamente quadrado) de equações lineares:
(1.16)
É necessário encontrar uma solução para o sistema, ou seja, tal conjunto de variáveis que satisfaz todas as igualdades do sistema (1.16). NO caso Geral O sistema (1.16) pode ter não apenas uma solução, mas também um número infinito de soluções. Também pode não ter nenhuma solução.
Na resolução de tais problemas, o conhecido curso escolar o método de eliminação de incógnitas, também chamado de método de eliminações ordinárias de Jordan. essência este método reside no fato de que em uma das equações do sistema (1.16) uma das variáveis é expressa em termos de outras variáveis. Então esta variável é substituída em outras equações do sistema. O resultado é um sistema que contém uma equação e uma variável a menos que o sistema original. A equação a partir da qual a variável foi expressa é lembrada.
Este processo é repetido até que uma última equação permaneça no sistema. No processo de eliminação de incógnitas, algumas equações podem se transformar em verdadeiras identidades, por exemplo. Tais equações são excluídas do sistema, pois são válidas para quaisquer valores das variáveis e, portanto, não afetam a solução do sistema. Se, no processo de eliminação de incógnitas, pelo menos uma equação se tornar uma igualdade que não pode ser satisfeita para nenhum valor das variáveis (por exemplo, ), concluímos que o sistema não tem solução.
Se no decorrer da resolução de equações inconsistentes não surgiram, então uma das variáveis restantes nela encontra-se da última equação. Se apenas uma variável permanecer na última equação, ela será expressa como um número. Se outras variáveis permanecerem na última equação, então elas são consideradas parâmetros, e a variável expressa através delas será uma função desses parâmetros. Em seguida, é feito o chamado "movimento reverso". A variável encontrada é substituída na última equação memorizada e a segunda variável é encontrada. Em seguida, as duas variáveis encontradas são substituídas na penúltima equação memorizada e a terceira variável é encontrada, e assim sucessivamente, até a primeira equação memorizada.
Como resultado, obtemos a solução do sistema. Esta solução será a única se as variáveis encontradas forem números. Se a primeira variável encontrada e depois todas as outras dependerem dos parâmetros, o sistema terá um número infinito de soluções (cada conjunto de parâmetros corresponde a uma nova solução). As fórmulas que permitem encontrar uma solução para o sistema dependendo de um determinado conjunto de parâmetros são chamadas de solução geral do sistema.
Exemplo 1.11.
x
Depois de memorizar a primeira equação 
e trazendo termos semelhantes na segunda e terceira equações, chegamos ao sistema:
Expressar y da segunda equação e substitua na primeira equação:
Lembre-se da segunda equação, e da primeira encontramos z:
Fazendo o movimento inverso, encontramos sucessivamente y e z. Para fazer isso, primeiro substituímos na última equação memorizada , da qual encontramos y:
.
Então nós substituímos e na primeira equação memorizada de onde encontramos x:
Problema 1.12. Resolva um sistema de equações lineares eliminando incógnitas:
. (1.17)
Solução. Vamos expressar a variável da primeira equação x e substitua na segunda e terceira equações:
.
Lembre-se da primeira equação 
Nesse sistema, a primeira e a segunda equações se contradizem. De fato, expressando y 
, obtemos que 14 = 17. Essa igualdade não é satisfeita, para quaisquer valores das variáveis x, y, e z. Consequentemente, o sistema (1.17) é inconsistente, ou seja, não tem solução.
Os leitores são convidados a verificar independentemente que o determinante principal do sistema original (1.17) é igual a zero.
Considere um sistema que difere do sistema (1.17) por apenas um termo livre.
Problema 1.13. Resolva um sistema de equações lineares eliminando incógnitas:
. (1.18)
Solução. Como antes, expressamos a variável da primeira equação x e substitua na segunda e terceira equações:
.
Lembre-se da primeira equação e apresentamos termos semelhantes na segunda e terceira equações. Chegamos ao sistema:
expressando y da primeira equação e substituindo na segunda equação , obtemos a identidade 14 = 14, que não afeta a solução do sistema e, portanto, pode ser excluída do sistema.
Na última igualdade memorizada, a variável z será considerado como um parâmetro. Nós acreditamos . Então
Substituto y e z na primeira igualdade memorizada e encontre x:
.
Assim, o sistema (1.18) tem um conjunto infinito de soluções, e qualquer solução pode ser encontrada a partir das fórmulas (1.19) escolhendo um valor arbitrário do parâmetro t:
(1.19)
Assim, as soluções do sistema, por exemplo, são os seguintes conjuntos de variáveis (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. As fórmulas (1.19) expressam a solução geral (qualquer) do sistema (1.18 ).
No caso em que o sistema original (1.16) possui um grande número de equações e incógnitas, o método especificado de eliminações jordanianas comuns parece complicado. No entanto, não é. É suficiente derivar um algoritmo para recalcular os coeficientes do sistema em uma etapa em visão geral e formalize a solução do problema na forma de tabelas especiais de Jordan.
Seja dado um sistema de formas lineares (equações):
, (1.20)
Onde xj- variáveis independentes (desejadas), aij- coeficientes constantes
(eu = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Partes certas do sistema e eu (eu = 1, 2,…, m) podem ser variáveis (dependentes) e constantes. É necessário encontrar soluções para este sistema eliminando incógnitas.
Consideremos a seguinte operação, doravante referida como "uma etapa das exceções ordinárias de Jordan". De um arbitrário ( r th) igualdade, expressamos uma variável arbitrária ( xs) e substitua em todas as outras igualdades. Claro, isso só é possível se um rs¹ 0. Coeficiente um rsé chamado de elemento de resolução (às vezes orientador ou principal).
Teremos o seguinte sistema:
. (1.21)
A partir de sª igualdade do sistema (1.21), encontraremos posteriormente a variável xs(após outras variáveis serem encontradas). S A linha é lembrada e posteriormente excluída do sistema. O sistema restante conterá uma equação e uma variável independente a menos que o sistema original.
Calculemos os coeficientes do sistema resultante (1.21) em função dos coeficientes do sistema original (1.20). Vamos começar com rª equação, que, após expressar a variável xs pelo resto das variáveis ficará assim:
Assim, os novos coeficientes r a equação é calculada pelas seguintes fórmulas:
(1.23)
Vamos agora calcular os novos coeficientes b ij(eu¹ r) de uma equação arbitrária. Para fazer isso, substituímos a variável expressa em (1.22) xs dentro eu a equação do sistema (1.20):
Depois de trazer os termos semelhantes, obtemos:
(1.24)
Da igualdade (1.24) obtemos fórmulas pelas quais os demais coeficientes do sistema (1.21) são calculados (com exceção de rª equação):
(1.25)
A transformação de sistemas de equações lineares pelo método de eliminações jordanianas ordinárias é apresentada na forma de tabelas (matrizes). Essas tabelas são chamadas de "tabelas Jordan".
Assim, o problema (1.20) está associado à seguinte tabela de Jordan:
Tabela 1.1
| x 1 | x 2 | … | xj | … | xs | … | x n | |
| y 1 = | uma 11 | uma 12 | uma 1j | uma 1s | uma 1n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| e eu= | um eu 1 | um eu 2 | aij | um é | um em | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| er= | um r 1 | um r 2 | um rj | um rs | um rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n= | sou 1 | sou 2 | um mj | uma senhora | amn |
A tabela 1.1 de Jordan contém a coluna principal esquerda, na qual são escritas as partes direitas do sistema (1.20), e a linha superior superior, na qual são escritas as variáveis independentes.
Os demais elementos da tabela formam a matriz principal de coeficientes do sistema (1.20). Se multiplicarmos a matriz MASà matriz que consiste nos elementos da linha superior do cabeçalho, obtemos a matriz que consiste nos elementos da coluna esquerda do cabeçalho. Ou seja, em essência, a tabela de Jordan é uma forma matricial de escrever um sistema de equações lineares: . Neste caso, a seguinte tabela de Jordan corresponde ao sistema (1.21):
Tabela 1.2
| x 1 | x 2 | … | xj | … | er | … | x n | |
| y 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| e eu = | b eu 1 | b eu 2 | b ij | b é | b em | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| x s = | br 1 | br 2 | b rj | brs | b rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| s n = | b m 1 | b m 2 | bmj | b ms | bmn |
elemento permissivo um rs vamos destacar em negrito. Lembre-se de que, para implementar uma etapa das exceções de Jordan, o elemento de resolução deve ser diferente de zero. Uma linha da tabela contendo um elemento permissivo é chamada de linha permissiva. A coluna que contém o elemento enable é chamada de coluna enable. Ao passar de uma determinada tabela para a próxima tabela, uma variável ( xs) da linha de cabeçalho superior da tabela é movida para a coluna de cabeçalho esquerda e, inversamente, um dos membros livres do sistema ( er) é movido da coluna de cabeçalho esquerda da tabela para a linha de cabeçalho superior.
Vamos descrever o algoritmo para recalcular os coeficientes na passagem da tabela de Jordan (1.1) para a tabela (1.2), que segue das fórmulas (1.23) e (1.25).
1. O elemento de habilitação é substituído pelo número inverso:
2. Os restantes elementos da linha permissiva são divididos pelo elemento permissivo e mudam de sinal para o oposto: 
3. Os elementos restantes da coluna de habilitação são divididos no elemento de habilitação: 
4. Os elementos que não estão incluídos na linha de resolução e na coluna de resolução são recalculados de acordo com as fórmulas: 
A última fórmula é fácil de lembrar se você perceber que os elementos que compõem a fração 
, estão no cruzamento eu-Óh, e r-ésimas linhas e jº e s-ésimas colunas (resolvendo a linha, resolvendo a coluna e a linha e a coluna na interseção da qual o elemento a ser recalculado está localizado). Mais precisamente, ao memorizar a fórmula 
você pode usar o seguinte gráfico:
Realizando a primeira etapa das exceções jordanianas, qualquer elemento da Tabela 1.3 localizado nas colunas x 1 ,…, x 5 (todos os elementos especificados não são iguais a zero). Você não deve apenas selecionar o elemento de habilitação na última coluna, porque precisa encontrar variáveis independentes x 1 ,…, x 5 . Escolhemos, por exemplo, o coeficiente 1 com uma variável x 3 na terceira linha da tabela 1.3 (o elemento de habilitação é mostrado em negrito). Ao passar para a tabela 1.4, a variável x O 3 da linha superior do cabeçalho é trocado pelo 0 constante da coluna esquerda do cabeçalho (terceira linha). Ao mesmo tempo, a variável x 3 é expresso em termos das restantes variáveis.
corda x 3 (Tabela 1.4) pode, tendo previamente lembrado, ser excluído da Tabela 1.4. A Tabela 1.4 também exclui a terceira coluna com um zero na linha superior do cabeçalho. A questão é que independentemente dos coeficientes desta coluna b eu 3 todos os termos correspondentes a ele de cada equação 0 b eu 3 sistemas será igual a zero. Portanto, esses coeficientes não podem ser calculados. Eliminando uma variável x 3 e lembrando de uma das equações, chegamos a um sistema correspondente à Tabela 1.4 (com a linha riscada x 3). Escolhendo na tabela 1.4 como um elemento de resolução b 14 = -5, vá para a tabela 1.5. Na tabela 1.5, lembramos a primeira linha e a excluímos da tabela junto com a quarta coluna (com zero no topo).
Tabela 1.5 Tabela 1.6
Da última tabela 1.7 encontramos: x 1 = - 3 + 2x 5 .
Substituindo sequencialmente as variáveis já encontradas nas linhas memorizadas, encontramos as variáveis restantes:
Assim, o sistema tem um número infinito de soluções. variável x 5 , você pode atribuir valores arbitrários. Esta variável atua como um parâmetro x 5 = t. Provamos a compatibilidade do sistema e achamos decisão comum:
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
Dando parâmetro t vários significados, obtemos um número infinito de soluções para o sistema original. Assim, por exemplo, a solução do sistema é o seguinte conjunto de variáveis (- 3; - 1; - 2; 4; 0).
