Os sistemas de equações são amplamente utilizados na indústria econômica na modelagem matemática de diversos processos. Por exemplo, ao resolver problemas de planejamento e gerenciamento de produção, rotas logísticas (problema de transporte) ou colocação de equipamentos.
Os sistemas de equações são usados não apenas no campo da matemática, mas também na física, química e biologia, ao resolver problemas de determinação do tamanho da população.
sistema equações lineares nomear duas ou mais equações com várias variáveis para as quais é necessário encontrar decisão comum. Tal sequência de números para a qual todas as equações se tornam verdadeiras igualdades ou provam que a sequência não existe.
As equações da forma ax+by=c são chamadas lineares. As designações x, y são as incógnitas, cujo valor deve ser encontrado, b, a são os coeficientes das variáveis, c é o termo livre da equação.
Resolver a equação plotando seu gráfico parecerá uma linha reta, todos os pontos dos quais são a solução do polinômio.
Os mais simples são exemplos de sistemas de equações lineares com duas variáveis X e Y.
F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, onde F1,2 são funções e (x, y) são variáveis de função.
Resolver um sistema de equações - significa encontrar tais valores (x, y) para os quais o sistema se torna uma verdadeira igualdade, ou estabelecer que não há valores adequados de x e y.
Um par de valores (x, y), escritos como coordenadas de pontos, é chamado de solução para um sistema de equações lineares.
Se os sistemas tiverem uma solução comum ou não houver solução, eles são chamados de equivalentes.
Sistemas homogêneos de equações lineares são sistemas cujo lado direito é igual a zero. Se a parte direita após o sinal de "igual" tiver um valor ou for expressa por uma função, tal sistema não é homogêneo.
O número de variáveis pode ser muito maior que dois, então devemos falar de um exemplo de sistema de equações lineares com três variáveis ou mais.
Diante dos sistemas, os alunos assumem que o número de equações deve necessariamente coincidir com o número de incógnitas, mas não é assim. O número de equações no sistema não depende das variáveis, pode haver um número arbitrariamente grande delas.
Não existe uma maneira analítica geral de resolver tais sistemas, todos os métodos são baseados em soluções numéricas. NO curso escolar matemática, métodos como permutação, adição algébrica, substituição, bem como métodos gráficos e método matricial, solução pelo método de Gauss.
A principal tarefa no ensino de métodos de resolução é ensinar como analisar corretamente o sistema e encontrar o algoritmo de solução ideal para cada exemplo. O principal não é memorizar um sistema de regras e ações para cada método, mas entender os princípios de aplicação de um determinado método.
Resolução de exemplos de sistemas de equações lineares da 7ª aula do programa Ensino Médio bastante simples e explicado em grande detalhe. Em qualquer livro didático de matemática, esta seção recebe atenção suficiente. A solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss e Cramer é estudada com mais detalhes nos primeiros cursos de instituições de ensino superior.
As ações do método de substituição visam expressar o valor de uma variável através da segunda. A expressão é substituída na equação restante e, em seguida, é reduzida a uma única forma de variável. A ação é repetida dependendo do número de incógnitas no sistema
Vamos dar um exemplo de um sistema de equações lineares da 7ª classe pelo método da substituição:
Como pode ser visto no exemplo, a variável x foi expressa através de F(X) = 7 + Y. A expressão resultante, substituída na 2ª equação do sistema no lugar de X, ajudou a obter uma variável Y na 2ª equação . A solução deste exemplo não causa dificuldades e permite obter o valor de Y. O último passo é verificar os valores obtidos.
Nem sempre é possível resolver um exemplo de sistema de equações lineares por substituição. As equações podem ser complexas e a expressão da variável em termos da segunda incógnita será muito incômoda para cálculos posteriores. Quando há mais de 3 incógnitas no sistema, a solução de substituição também é impraticável.
Solução de um exemplo de um sistema de equações não homogêneas lineares:
Ao procurar uma solução para sistemas pelo método de adição, a adição termo a termo e a multiplicação de equações por vários números são realizadas. O objetivo final das operações matemáticas é uma equação com uma variável.
Para aplicações este método requer prática e observação. Não é fácil resolver um sistema de equações lineares usando o método da adição com o número de variáveis 3 ou mais. A adição algébrica é útil quando as equações contêm frações e números decimais.
Algoritmo de ação da solução:
Uma nova variável pode ser introduzida se o sistema precisar encontrar uma solução para não mais que duas equações, o número de incógnitas também não deve ser maior que dois.
O método é usado para simplificar uma das equações, introduzindo uma nova variável. A nova equação é resolvida em relação à incógnita inserida e o valor resultante é usado para determinar a variável original.
Pode-se observar pelo exemplo que introduzindo uma nova variável t, foi possível reduzir a 1ª equação do sistema a um trinômio quadrado padrão. Você pode resolver um polinômio encontrando o discriminante.
É necessário encontrar o valor do discriminante usando a conhecida fórmula: D = b2 - 4*a*c, onde D é o discriminante desejado, b, a, c são os multiplicadores do polinômio. Em para este exemplo a=1, b=16, c=39, portanto D=100. Se o discriminante for maior que zero, então há duas soluções: t = -b±√D / 2*a, se o discriminante for menor que zero, então há apenas uma solução: x= -b / 2*a.
A solução para os sistemas resultantes é encontrada pelo método da adição.
Adequado para sistemas com 3 equações. O método consiste em plotar gráficos de cada equação incluída no sistema no eixo de coordenadas. As coordenadas dos pontos de interseção das curvas serão a solução geral do sistema.
O método gráfico tem várias nuances. Considere vários exemplos de resolução de sistemas de equações lineares de forma visual.
Como pode ser visto no exemplo, foram construídos dois pontos para cada linha, os valores da variável x foram escolhidos arbitrariamente: 0 e 3. Com base nos valores de x, foram encontrados os valores de y: 3 e 0. Pontos com coordenadas (0, 3) e (3, 0) foram marcados no gráfico e conectados por uma linha.
As etapas devem ser repetidas para a segunda equação. O ponto de interseção das retas é a solução do sistema.
No exemplo a seguir, é necessário encontrar uma solução gráfica para o sistema de equações lineares: 0,5x-y+2=0 e 0,5x-y-1=0.
Como pode ser visto no exemplo, o sistema não tem solução, pois os gráficos são paralelos e não se cruzam em todo o seu comprimento.
Os sistemas dos Exemplos 2 e 3 são semelhantes, mas quando construídos, torna-se óbvio que suas soluções são diferentes. Vale lembrar que nem sempre é possível dizer se o sistema tem solução ou não, é sempre necessário construir um gráfico.
As matrizes são usadas para escrever brevemente um sistema de equações lineares. Uma matriz é um tipo especial de tabela preenchida com números. n*m tem n - linhas e m - colunas.
Uma matriz é quadrada quando o número de colunas e linhas é igual. Um vetor-matriz é uma matriz de coluna única com um número infinitamente possível de linhas. Uma matriz com unidades ao longo de uma das diagonais e outros elementos nulos é chamada de identidade.
Uma matriz inversa é tal matriz, quando multiplicada pela qual a original se transforma em uma unidade, tal matriz existe apenas para o quadrado original.
No que diz respeito aos sistemas de equações, os coeficientes e membros livres das equações são escritos como números da matriz, uma equação é uma linha da matriz.
Uma linha da matriz é chamada diferente de zero se pelo menos um elemento da linha não for igual a zero. Portanto, se em qualquer uma das equações o número de variáveis for diferente, é necessário inserir zero no lugar da incógnita ausente.
As colunas da matriz devem corresponder estritamente às variáveis. Isso significa que os coeficientes da variável x só podem ser escritos em uma coluna, por exemplo, a primeira, o coeficiente da incógnita y - apenas na segunda.
Ao multiplicar uma matriz, todos os elementos da matriz são multiplicados sucessivamente por um número.
A fórmula para encontrar a matriz inversa é bastante simples: K -1 = 1 / |K|, onde K -1 - matriz inversa, e |K| - determinante da matriz. |K| não deve ser igual a zero, então o sistema tem solução.
O determinante é facilmente calculado para uma matriz dois por dois, basta multiplicar os elementos na diagonal um pelo outro. Para a opção "três por três", existe a fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Você pode usar a fórmula ou lembrar que precisa pegar um elemento de cada linha e cada coluna para que os números de coluna e linha dos elementos não se repitam no produto.
O método matricial de encontrar uma solução torna possível reduzir as notações incômodas ao resolver sistemas com grande quantidade variáveis e equações.
No exemplo, a nm são os coeficientes das equações, a matriz é um vetor x n são as variáveis e b n são os termos livres.
NO matemática superior o método de Gauss é estudado em conjunto com o método de Cramer, e o processo de encontrar uma solução para sistemas é chamado de método de solução de Gauss-Cramer. Esses métodos são usados para encontrar variáveis do sistema com muitas equações lineares.
O método de Gauss é muito semelhante a soluções usando substituições e adição algébrica mas mais sistemático. No curso escolar, a solução Gaussiana é utilizada para sistemas de 3 e 4 equações. O objetivo do método é trazer o sistema para a forma de um trapézio invertido. Por transformações e substituições algébricas, o valor de uma variável é encontrado em uma das equações do sistema. A segunda equação é uma expressão com 2 incógnitas e 3 e 4 - com 3 e 4 variáveis, respectivamente.
Depois de trazer o sistema para a forma descrita, a solução adicional é reduzida à substituição sequencial de variáveis conhecidas nas equações do sistema.
Nos livros didáticos da 7ª série, um exemplo de solução gaussiana é descrito a seguir:
Como pode ser visto no exemplo, na etapa (3) foram obtidas duas equações 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. A solução de qualquer uma das equações permitirá que você descubra uma das variáveis x n.
O Teorema 5, mencionado no texto, afirma que se uma das equações do sistema for substituída por uma equivalente, o sistema resultante também será equivalente ao original.
O método de Gauss é difícil para os alunos entenderem ensino médio, mas é um dos mais maneiras interessantes desenvolver a engenhosidade das crianças matriculadas no programa de estudos avançados nas aulas de matemática e física.
Para facilitar o registro dos cálculos, costuma-se fazer o seguinte:
Os coeficientes da equação e os termos livres são escritos na forma de uma matriz, onde cada linha da matriz corresponde a uma das equações do sistema. separa o lado esquerdo da equação do lado direito. Os algarismos romanos denotam o número de equações no sistema.
Primeiro, eles anotam a matriz com a qual trabalhar, depois todas as ações realizadas com uma das linhas. A matriz resultante é escrita após o sinal de "seta" e continua a executar o necessário ações algébricas até que o resultado seja alcançado.
Como resultado, deve-se obter uma matriz na qual uma das diagonais é 1 e todos os outros coeficientes são iguais a zero, ou seja, a matriz é reduzida a uma única forma. Não devemos esquecer de fazer cálculos com os números de ambos os lados da equação.
Essa notação é menos incômoda e permite que você não se distraia listando inúmeras incógnitas.
A aplicação gratuita de qualquer método de solução exigirá cuidado e certa experiência. Nem todos os métodos são aplicados. Algumas formas de encontrar soluções são mais preferíveis em uma determinada área da atividade humana, enquanto outras existem para fins de aprendizado.
Como aparece de teorema de Cramer, ao resolver um sistema de equações lineares, três casos podem ocorrer:
Primeiro caso: o sistema de equações lineares tem única decisão
(o sistema é consistente e definido)
Segundo caso: o sistema de equações lineares tem um número infinito de soluções
(o sistema é consistente e indeterminado)
** 
,
Essa. os coeficientes das incógnitas e os termos livres são proporcionais.
Terceiro caso: o sistema de equações lineares não tem soluções
(sistema inconsistente)
Então o sistema m equações lineares com n variáveis é chamado incompatível se não tiver soluções, e articulação se tiver pelo menos uma solução. Um sistema conjunto de equações que tem apenas uma solução é chamado certo, e mais de um incerto.
Exemplos de resolução de sistemas de equações lineares pelo método de Cramer
Deixe o sistema
.
Baseado no teorema de Cramer
………….
,
Onde 
-
identificador do sistema. Os demais determinantes são obtidos substituindo a coluna pelos coeficientes da variável correspondente (desconhecida) com membros livres:
Exemplo 2
.
Portanto, o sistema é definido. Para encontrar sua solução, calculamos os determinantes
Pelas fórmulas de Cramer encontramos:
Assim, (1; 0; -1) é a única solução do sistema.
Para verificar as soluções dos sistemas de equações 3 X 3 e 4 X 4, você pode usar a calculadora online, método decisivo Kramer.
Se não houver variáveis \u200b\u200bno sistema de equações lineares em uma ou mais equações, então no determinante os elementos correspondentes a elas são iguais a zero! Este é o próximo exemplo.
Exemplo 3 Resolva o sistema de equações lineares pelo método de Cramer:
.
Solução. Achamos o determinante do sistema:
Observe atentamente o sistema de equações e o determinante do sistema e repita a resposta à questão em que casos um ou mais elementos do determinante são iguais a zero. Assim, o determinante não é igual a zero, portanto, o sistema é definido. Para encontrar sua solução, calculamos os determinantes para as incógnitas
Pelas fórmulas de Cramer encontramos:
Assim, a solução do sistema é (2; -1; 1).
6. Sistema geral linear equações algébricas. Método de Gauss.
Como lembramos, a regra de Cramer e o método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. método Gauss – a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar soluções para qualquer sistema de equações lineares, qual o Em todo caso nos leve à resposta! O algoritmo do método nos três casos funciona da mesma maneira. Se os métodos de Cramer e de matriz exigem conhecimento de determinantes, a aplicação do método de Gauss requer conhecimento apenas de operações aritméticas, o que o torna acessível até mesmo para crianças em idade escolar escola primaria.
Primeiramente, sistematizamos um pouco o conhecimento sobre sistemas de equações lineares. Um sistema de equações lineares pode:
1) Tenha uma solução única.
2) Tenha infinitas soluções.
3) Não ter soluções (ser incompatível).
O método de Gauss é a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar uma solução algum sistemas de equações lineares. Como nos lembramos Regra de Cramer e método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. Um método exclusão sequencial desconhecido de qualquer forma nos leve à resposta! Nesta lição, voltaremos a considerar o método de Gauss para o caso nº 1 (única solução do sistema), o artigo é reservado para as situações dos pontos nº 2-3. Observo que o próprio algoritmo do método funciona da mesma maneira nos três casos.
De volta a o sistema mais simples da lição Como resolver um sistema de equações lineares?
e resolva usando o método gaussiano.
O primeiro passo é escrever sistema de matriz estendida:
. Por qual princípio os coeficientes são registrados, acho que todos podem ver. A linha vertical dentro da matriz não tem nenhum significado matemático - é apenas um rascunho para facilitar o design.
Referência:Eu recomendo lembrar termosálgebra Linear. Matriz do sistemaé uma matriz composta apenas por coeficientes de incógnitas, neste exemplo, a matriz do sistema: . Matriz de sistema estendidaé a mesma matriz do sistema mais uma coluna de membros livres, em este caso: . Qualquer uma das matrizes pode ser chamada simplesmente de matriz por brevidade.
Após a escrita da matriz estendida do sistema, é necessário realizar algumas ações com ela, que também são chamadas de transformações elementares.
Existem as seguintes transformações elementares:
1) Cordas matrizes pode ser reorganizado lugares. Por exemplo, na matriz em consideração, você pode reorganizar com segurança a primeira e a segunda linhas: 
2) Se a matriz contém (ou apareceu) proporcional (como caso especial são as mesmas) strings, então segue excluir da matriz, todas essas linhas, exceto uma. Considere, por exemplo, a matriz 
. Nesta matriz, as três últimas linhas são proporcionais, então basta deixar apenas uma delas: 
.
3) Se uma linha zero apareceu na matriz durante as transformações, também segue excluir. Não vou desenhar, claro, a linha zero é a linha em que apenas zeros.
4) A linha da matriz pode ser multiplicar (dividir) para qualquer número diferente de zero. Considere, por exemplo, a matriz . Aqui é aconselhável dividir a primeira linha por -3 e multiplicar a segunda linha por 2: 
. Esta ação é muito útil, pois simplifica outras transformações da matriz.
5) Essa transformação causa mais dificuldades, mas na verdade também não há nada complicado. Para a linha da matriz, você pode adicione outra string multiplicada por um número, diferente de zero. Considere nossa matriz de estudo de caso: . Primeiro, descreverei a transformação em detalhes. Multiplique a primeira linha por -2: 
, e à segunda linha adicionamos a primeira linha multiplicada por -2: 
. Agora a primeira linha pode ser dividida "de volta" por -2: . Como você pode ver, a linha que é ADDED LI – não mudou. É sempre a linha é alterada, A QUAL ADICIONOU UT.
Na prática, é claro, eles não pintam com tantos detalhes, mas escrevem de forma mais curta: 
Mais uma vez: para a segunda linha adicionado a primeira linha multiplicado por -2. A linha geralmente é multiplicada oralmente ou em um rascunho, enquanto o curso mental dos cálculos é mais ou menos assim:
“Eu reescrevo a matriz e reescrevo a primeira linha: 
»
Primeira coluna primeiro. Abaixo eu preciso obter zero. Portanto, multiplico a unidade acima por -2: e adiciono a primeira à segunda linha: 2 + (-2) = 0. Escrevo o resultado na segunda linha: 
»
“Agora a segunda coluna. Acima de -1 vezes -2: . Eu adiciono o primeiro à segunda linha: 1 + 2 = 3. Eu escrevo o resultado na segunda linha: 
»
“E a terceira coluna. Acima de -5 vezes -2: . Adiciono a primeira linha à segunda linha: -7 + 10 = 3. Escrevo o resultado na segunda linha: »
Por favor, pense cuidadosamente sobre este exemplo e entenda o algoritmo de cálculo sequencial, se você entender isso, então o método de Gauss está praticamente "no seu bolso". Mas, claro, ainda estamos trabalhando nessa transformação.
Transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações
! ATENÇÃO: manipulações consideradas não pode usar, se lhe for oferecida uma tarefa em que as matrizes são dadas "por si mesmas". Por exemplo, com "clássico" matrizes em nenhum caso você deve reorganizar algo dentro das matrizes!
Voltemos ao nosso sistema. Ela está praticamente quebrada em pedaços.
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e, usando transformações elementares, reduzi-la a visão escalonada:
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. E novamente: por que multiplicamos a primeira linha por -2? Para obter zero na parte inferior, o que significa livrar-se de uma variável na segunda linha.
(2) Divida a segunda linha por 3.
O propósito das transformações elementares –
converta a matriz para a forma de passo: 
. No desenho da tarefa, eles enfatizam diretamente com um simples lápis"escada", e também circule os números que estão localizados nos "degraus". O termo "visão escalonada" em si não é inteiramente teórico; na literatura científica e educacional, é freqüentemente chamado de visão trapezoidal ou visão triangular.
Como resultado de transformações elementares, obtivemos equivalente sistema original de equações:
Agora o sistema precisa ser "destorcido" em direção oposta de baixo para cima, esse processo é chamado método de Gauss reverso.
Na equação inferior, já temos o resultado final: .
Considere a primeira equação do sistema e substitua nela o valor já conhecido de “y”:
Vamos considerar a situação mais comum, quando o método gaussiano é necessário para resolver um sistema de três equações lineares com três incógnitas.
Exemplo 1
Resolva o sistema de equações usando o método de Gauss: 
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema: 
Agora vou desenhar imediatamente o resultado ao qual chegaremos no decorrer da solução: 
E repito, nosso objetivo é trazer a matriz para uma forma escalonada usando transformações elementares. Por onde começar a agir?
Primeiro, olhe para o número superior esquerdo: 
Deveria estar quase sempre aqui unidade. De um modo geral, -1 (e às vezes outros números) também serve, mas de alguma forma tradicionalmente acontece que uma unidade é geralmente colocada lá. Como organizar uma unidade? Olhamos para a primeira coluna - temos uma unidade pronta! Transformação um: troque a primeira e a terceira linhas: 
Agora a primeira linha permanecerá inalterada até o final da solução. Agora tudo bem.
A unidade no canto superior esquerdo é organizada. Agora você precisa obter zeros nestes lugares: 
Os zeros são obtidos apenas com a ajuda de uma transformação "difícil". Primeiro, lidamos com a segunda linha (2, -1, 3, 13). O que precisa ser feito para obter zero na primeira posição? Precisar à segunda linha, adicione a primeira linha multiplicada por -2. Mentalmente ou em rascunho, multiplicamos a primeira linha por -2: (-2, -4, 2, -18). E realizamos consistentemente (novamente mentalmente ou em rascunho) adição, à segunda linha adicionamos a primeira linha, já multiplicada por -2:
O resultado é escrito na segunda linha: 
Da mesma forma, lidamos com a terceira linha (3, 2, -5, -1). Para obter zero na primeira posição, você precisa à terceira linha, adicione a primeira linha multiplicada por -3. Mentalmente ou em rascunho, multiplicamos a primeira linha por -3: (-3, -6, 3, -27). E à terceira linha adicionamos a primeira linha multiplicada por -3:
O resultado está escrito na terceira linha:
Na prática, essas ações geralmente são realizadas verbalmente e escritas em uma única etapa: 
Não há necessidade de contar tudo de uma vez e ao mesmo tempo. A ordem dos cálculos e "inserção" dos resultados consistente e geralmente assim: primeiro reescrevemos a primeira linha e nos bufamos silenciosamente - CONSISTENTEMENTE e COM CUIDADO:
E já considerei o curso mental dos próprios cálculos acima.
Neste exemplo, isso é fácil de fazer, dividimos a segunda linha por -5 (já que todos os números ali são divisíveis por 5 sem deixar resto). Ao mesmo tempo, dividimos a terceira linha por -2, porque quanto menor o número, mais solução mais fácil:
No estágio final das transformações elementares, mais um zero deve ser obtido aqui: 
Por esta à terceira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -2:
Tente analisar você mesmo esta ação - multiplique mentalmente a segunda linha por -2 e faça a adição.
A última ação realizada é o penteado do resultado, divida a terceira linha por 3.
Como resultado de transformações elementares, foi obtido um sistema inicial equivalente de equações lineares: 
Legal.
Agora, o curso inverso do método gaussiano entra em ação. As equações "desenrolam" de baixo para cima.
Na terceira equação, já temos o resultado final:
Vejamos a segunda equação: . O significado de "z" já é conhecido, assim:
E por fim, a primeira equação: . "Y" e "Z" são conhecidos, o assunto é pequeno:
Responda: 
Como já foi repetidamente observado, para qualquer sistema de equações, é possível e necessário verificar a solução encontrada, felizmente, isso não é difícil e rápido.
Exemplo 2
Este é um exemplo de auto-resolução, uma amostra de acabamento e uma resposta no final da lição.
Deve-se notar que seu curso de ação pode não coincidir com o meu curso de ação, e esta é uma característica do método de Gauss. Mas as respostas devem ser as mesmas!
Exemplo 3
Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss 
Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma escalonada:
Nós olhamos para o "degrau" superior esquerdo. Lá deveríamos ter uma unidade. O problema é que não há ninguém na primeira coluna, então nada pode ser resolvido reorganizando as linhas. Nesses casos, a unidade deve ser organizada usando uma transformação elementar. Isso geralmente pode ser feito de várias maneiras. Eu fiz isso:
(1) À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por -1 e realizamos a soma da primeira e segunda linhas, enquanto a segunda linha não mudou.
Agora no canto superior esquerdo "menos um", o que nos convém perfeitamente. Quem quiser obter +1 pode realizar um gesto adicional: multiplique a primeira linha por -1 (mude seu sinal).
(2) A primeira linha multiplicada por 5 foi adicionada à segunda linha. A primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.
(3) A primeira linha foi multiplicada por -1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para a segunda posição, assim, na segunda “etapa, tínhamos a unidade desejada.
(4) A segunda linha multiplicada por 2 foi adicionada à terceira linha.
(5) A terceira linha foi dividida por 3.
Um mau sinal que indica um erro de cálculo (menos frequentemente um erro de digitação) é um resultado final “ruim”. Ou seja, se obtivermos algo como abaixo e, consequentemente, 
, então, com um alto grau de probabilidade, pode-se argumentar que um erro foi cometido durante as transformações elementares.
Cobramos o movimento reverso, no design de exemplos, o próprio sistema muitas vezes não é reescrito e as equações são “tiradas diretamente da matriz fornecida”. O movimento reverso, lembro a você, funciona de baixo para cima. Sim, aqui está um presente:
Responda: 
.
Exemplo 4
Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss 
Este é um exemplo de solução independente, é um pouco mais complicado. Tudo bem se alguém ficar confuso. Solução completa e amostra de design no final da lição. Sua solução pode ser diferente da minha.
Na última parte, consideramos algumas características do algoritmo de Gauss.
A primeira característica é que às vezes faltam algumas variáveis nas equações do sistema, por exemplo: 
Como escrever corretamente a matriz aumentada do sistema? Eu já falei sobre esse momento na aula. Regra de Cramer. método de matriz. Na matriz expandida do sistema, colocamos zeros no lugar das variáveis que faltam: 
A propósito, é bastante exemplo fácil, pois já existe um zero na primeira coluna e há menos transformações elementares a serem realizadas.
A segunda característica é esta. Em todos os exemplos considerados, colocamos –1 ou +1 nos “degraus”. Pode haver outros números? Em alguns casos, eles podem. Considere o sistema: 
.
Aqui no "degrau" superior esquerdo, temos um deuce. Mas notamos o fato de que todos os números da primeira coluna são divisíveis por 2 sem resto - e outros dois e seis. E o deuce no canto superior esquerdo nos convém! Na primeira etapa, você precisa realizar as seguintes transformações: somar a primeira linha multiplicada por -1 à segunda linha; à terceira linha, adicione a primeira linha multiplicada por -3. Assim, obteremos os zeros desejados na primeira coluna.
Ou outro exemplo hipotético: 
. Aqui, o triplo no segundo “degrau” também nos convém, já que 12 (o lugar onde precisamos obter o zero) é divisível por 3 sem resto. É necessário realizar a seguinte transformação: à terceira linha, adicionar a segunda linha, multiplicada por -4, como resultado, obteremos o zero de que precisamos.
O método de Gauss é universal, mas há uma peculiaridade. Aprenda com confiança a resolver sistemas por outros métodos (método de Cramer, método matricial) pode ser literalmente a primeira vez - existe um algoritmo muito rigoroso. Mas, para se sentir confiante no método de Gauss, você deve “encher a mão” e resolver pelo menos 5 a 10 sistemas. Portanto, a princípio pode haver confusão, erros de cálculo, e não há nada de incomum ou trágico nisso.
chuvoso clima de outono fora da janela ... Portanto, para todos, um exemplo mais complexo para uma solução independente:
Exemplo 5
Resolva um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas usando o método de Gauss. 
Tal tarefa na prática não é tão rara. Acho que mesmo um bule que estudou esta página em detalhes entende o algoritmo para resolver esse sistema intuitivamente. Basicamente o mesmo - apenas mais ação.
Os casos em que o sistema não possui soluções (inconsistentes) ou possui infinitas soluções são considerados na lição. Sistemas incompatíveis e sistemas com uma solução comum. Lá você pode corrigir o algoritmo considerado do método de Gauss.
Desejo-lhe sucesso!
Soluções e respostas:
Exemplo 2: Solução: Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e com a ajuda de transformações elementares vamos trazê-la para uma forma escalonada.
Transformações elementares realizadas:
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1. Atenção! Aqui pode ser tentador subtrair a primeira da terceira linha, eu não recomendo subtrair - o risco de erro aumenta muito. Nós apenas dobramos!
(2) O sinal da segunda linha foi alterado (multiplicado por -1). A segunda e terceira linhas foram trocadas. Nota que nas “etapas” ficamos satisfeitos não só com um, mas também com -1, o que é ainda mais conveniente.
(3) À terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por 5.
(4) O sinal da segunda linha foi alterado (multiplicado por -1). A terceira linha foi dividida por 14.
Movimento reverso:
Responda: 
.
Exemplo 4: Solução: Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e com a ajuda de transformações elementares trazemos para a forma de passo:
Conversões realizadas:
(1) A segunda linha foi adicionada à primeira linha. Assim, a unidade desejada é organizada no “degrau” superior esquerdo.
(2) A primeira linha multiplicada por 7 foi adicionada à segunda linha.A primeira linha multiplicada por 6 foi adicionada à terceira linha.
Com o segundo "passo" tudo é pior, os "candidatos" são os números 17 e 23, e precisamos de um ou -1. As transformações (3) e (4) visarão obter a unidade desejada
(3) A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1.
(4) A terceira linha, multiplicada por -3, foi adicionada à segunda linha.
A coisa necessária na segunda etapa é recebida
.
(5) À terceira linha acrescente a segunda, multiplicada por 6.
dentro das aulas método Gauss e Sistemas/sistemas incompatíveis com uma solução comum nós consideramos sistemas não homogêneos de equações lineares, Onde Membro grátis(geralmente à direita) pelo menos um das equações era diferente de zero.
E agora, depois de um bom aquecimento com classificação da matriz, continuaremos a polir a técnica transformações elementares no sistema homogêneo equações lineares.
De acordo com os primeiros parágrafos, o material pode parecer enfadonho e comum, mas essa impressão é enganosa. Além de um maior desenvolvimento de métodos técnicos, haverá muitos nova informação, portanto, tente não negligenciar os exemplos neste artigo.
Solução faça isso com uma calculadora. Escrevemos as matrizes estendida e principal: 
A matriz principal A é separada por uma linha pontilhada.De cima, escrevemos os sistemas desconhecidos, tendo em vista a possível permutação dos termos nas equações do sistema. Determinando o posto da matriz estendida, encontramos simultaneamente o posto da principal. Na matriz B, a primeira e a segunda colunas são proporcionais. Das duas colunas proporcionais, apenas uma pode cair no menor básico, então vamos mover, por exemplo, a primeira coluna além da linha tracejada com o sinal oposto. Para o sistema, isso significa mover membros de x 1 para lado direito equações. 
Nós trazemos a matriz para uma forma triangular. Trabalharemos apenas com linhas, pois multiplicar uma linha da matriz por um número diferente de zero e somar com outra linha do sistema significa multiplicar a equação pelo mesmo número e somar com outra equação, o que não altera a solução do sistema . Trabalhando com a primeira linha: multiplique a primeira linha da matriz por (-3) e adicione à segunda e terceira linhas sucessivamente. Em seguida, multiplicamos a primeira linha por (-2) e adicionamos à quarta. 
A segunda e a terceira linhas são proporcionais, portanto, uma delas, por exemplo, a segunda, pode ser riscada. Isso equivale a deletar a segunda equação do sistema, já que é consequência da terceira. 
Agora trabalhamos com a segunda linha: multiplique por (-1) e some com a terceira. 
O menor tracejado tem a ordem mais alta (de todos os menores possíveis) e é diferente de zero (é igual ao produto dos elementos na diagonal principal), e esse menor pertence tanto à matriz principal quanto à estendida, portanto rangA = rangB = 3 .
Menor 
é básico. Inclui coeficientes para incógnitas x 2, x 3, x 4, o que significa que as incógnitas x 2, x 3, x 4 são dependentes e x 1, x 5 são livres.
Transformamos a matriz, deixando apenas o menor básico à esquerda (que corresponde ao ponto 4 do algoritmo de solução acima). 
O sistema com coeficientes desta matriz é equivalente ao sistema original e tem a forma
Pelo método de eliminação de incógnitas, encontramos: 
, ,
Obtivemos relações expressando variáveis dependentes x 2, x 3, x 4 através de x 1 livre e x 5, ou seja, encontramos uma solução geral: 
Dando valores arbitrários às incógnitas livres, obtemos qualquer número de soluções particulares. Vamos encontrar duas soluções particulares:
1) seja x 1 = x 5 = 0, então x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) coloque x 1 = 1, x 5 = -1, então x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Assim, encontramos duas soluções: (0,1, -3,3,0) - uma solução, (1,4, -7,7, -1) - outra solução.
Exemplo 2. Investigue a compatibilidade, encontre uma solução geral e uma solução particular do sistema 
Solução. Vamos reorganizar a primeira e a segunda equações para ter uma unidade na primeira equação e escrever a matriz B. 
Obtemos zeros na quarta coluna, operando na primeira linha: 
Agora obtenha os zeros na terceira coluna usando a segunda linha: 
A terceira e a quarta linhas são proporcionais, portanto, uma delas pode ser riscada sem alterar a classificação:
Multiplique a terceira linha por (-2) e adicione à quarta: 
Vemos que os postos das matrizes principal e estendida são 4, e o posto coincide com o número de incógnitas, portanto, o sistema tem uma solução única:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.
Exemplo 3. Examine a compatibilidade do sistema e encontre uma solução, se houver. 
Solução. Compomos a matriz estendida do sistema. 
Reorganize as duas primeiras equações para que haja um 1 no canto superior esquerdo:
Multiplicando a primeira linha por (-1), adicionamos à terceira: 
Multiplique a segunda linha por (-2) e adicione à terceira: 
O sistema é inconsistente, pois a matriz principal recebeu uma linha composta por zeros, que é riscada quando o posto é encontrado, e a última linha permanece na matriz estendida, ou seja, r B > r A .
Exercício. Investigue este sistema de equações para compatibilidade e resolva-o por meio de cálculo matricial.
Solução
Exemplo. Provar a compatibilidade de um sistema de equações lineares e resolvê-lo de duas maneiras: 1) pelo método de Gauss; 2) Método de Cramer. (digite a resposta na forma: x1,x2,x3)
Solução :doc :doc :xls
Responda: 2,-1,3.
Exemplo. Um sistema de equações lineares é dado. Prove sua compatibilidade. Encontre uma solução geral do sistema e uma solução particular.
Solução
Responda: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Exercício. Encontrar soluções gerais e particulares para cada sistema.
Solução. Estudamos esse sistema usando o teorema de Kronecker-Capelli.
Escrevemos as matrizes estendida e principal:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Exercício. Resolva o sistema de equações.
Responda:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Dando valores arbitrários às incógnitas livres, obtemos qualquer número de soluções particulares. o sistema é incerto
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
I. Declaração do problema.
II. Compatibilidade de sistemas homogêneos e heterogêneos.
III. Sistema t equações com t desconhecido. Regra de Cramer.
4. Método matricial para resolução de sistemas de equações.
Método V. Gauss.
I. Declaração do problema.
chamou o sistema m equações lineares com n desconhecido 
. Os coeficientes das equações desse sistema são escritos na forma de uma matriz
chamado matriz do sistema (1).
Os números do lado direito das equações formam coluna de membros gratuitos {B}:
.
Se a coluna ( B}={0 ), então o sistema de equações é chamado homogêneo. Caso contrário, quando ( B}≠{0 ) - sistema heterogêneo.
O sistema de equações lineares (1) pode ser escrito na forma matricial
[UMA]{x}={B}. (2)
Aqui 
- coluna de incógnitas.
Resolver o sistema de equações (1) significa encontrar o conjunto n
números 
tal que ao substituir no sistema (1) em vez de desconhecido 
cada equação do sistema torna-se uma identidade. Números 
são chamados de solução do sistema de equações.
,
pode ter um número infinito de soluções
ou não tem solução alguma
.
Os sistemas de equações que não têm soluções são chamados incompatível. Se um sistema de equações tem pelo menos uma solução, então ele é chamado articulação. O sistema de equações é chamado certo se tem uma única solução, e incerto se tiver um número infinito de soluções.
II. Compatibilidade de sistemas homogêneos e heterogêneos.
A condição de compatibilidade para o sistema de equações lineares (1) é formulada em teorema de Kronecker-Capelli: um sistema de equações lineares tem pelo menos uma solução se e somente se o posto da matriz do sistema é igual ao posto da matriz estendida: 
.
A matriz estendida do sistema é a matriz obtida da matriz do sistema atribuindo-lhe à direita uma coluna de termos livres:
.
Se Rg UMA
Sistemas homogêneos de equações lineares de acordo com o teorema de Kronecker-Capelli são sempre compatíveis. Considere o caso de um sistema homogêneo no qual o número de equações é igual ao número de incógnitas, ou seja, m=n. Se o determinante da matriz de tal sistema não for igual a zero, ou seja, 
, o sistema homogêneo possui solução única, que é trivial (zero). Sistemas homogêneos têm um número infinito de soluções se houver equações linearmente dependentes entre as equações do sistema, ou seja, 
.
Exemplo. Considere um sistema homogêneo de três equações lineares com três incógnitas:
e examinar a questão do número de suas soluções. Cada uma das equações pode ser considerada como a equação do plano que passa pela origem ( D=0 ). O sistema de equações tem uma solução única quando todos os três planos se cruzam em um ponto. Além disso, seus vetores normais são não coplanares e, portanto, a condição
.
A solução do sistema neste caso x=0, y=0, z=0 .
Se pelo menos dois dos três planos, por exemplo, o primeiro e o segundo, forem paralelos, ou seja, , então o determinante da matriz do sistema é igual a zero e o sistema tem um número infinito de soluções. Além disso, as soluções serão as coordenadas x, y, z todos os pontos em uma linha
Se todos os três planos coincidem, então o sistema de equações se reduz a uma equação
,
e a solução serão as coordenadas de todos os pontos situados neste plano.
Ao estudar sistemas não homogêneos de equações lineares, a questão da compatibilidade é resolvida usando o teorema de Kronecker-Capelli. Se o número de equações em tal sistema for igual ao número de incógnitas, o sistema terá uma solução única se seu determinante não for igual a zero. Caso contrário, o sistema é inconsistente ou tem um número infinito de soluções.
Exemplo. Estudamos o sistema não homogêneo de duas equações com duas incógnitas
.
,
. Nesse caso, o posto da matriz do sistema é 1:Rg UMA=1
, Porque 
,
enquanto o posto da matriz aumentada 
é igual a dois, pois para ela pode-se escolher como menor de base o menor de segunda ordem que contém a terceira coluna.
No caso em consideração Rg UMA
Se as linhas coincidirem, ou seja, , então o sistema de equações tem um número infinito de soluções: as coordenadas dos pontos na reta 
. Neste caso Rg UMA=
Rg UMA *
=1.
O sistema tem uma solução única quando as linhas não são paralelas, ou seja, 
. A solução deste sistema são as coordenadas do ponto de interseção das retas 
III. Sistemat equações comt desconhecido. Regra de Cramer.
Consideremos o caso mais simples, quando o número de equações do sistema é igual ao número de incógnitas, ou seja, m= n. Se o determinante da matriz do sistema for diferente de zero, a solução do sistema pode ser encontrada usando a regra de Cramer:
(3)
Aqui 
- determinante da matriz do sistema,
- determinante da matriz obtida de [ UMA] substituição euª coluna para a coluna de membros livres:
.
Exemplo. Resolva o sistema de equações pelo método de Cramer.
Solução :
1) encontre o determinante do sistema
2) encontre determinantes auxiliares
3) encontre uma solução para o sistema de acordo com a regra de Cramer:
O resultado da solução pode ser verificado substituindo no sistema de equações
Identidades corretas são obtidas.
4. Método matricial para resolução de sistemas de equações.
[UMA]{x}={B}
e multiplique as partes direita e esquerda da relação (2) da esquerda pela matriz [ UMA -1 ], inversa à matriz do sistema:
[UMA -1 ][UMA]{x}=[UMA -1 ]{B}. (2)
Por definição da matriz inversa, o produto [ UMA -1 ][UMA]=[E], e pelas propriedades da matriz identidade [ E]{x}={x). Então da relação (2") obtemos
{x}=[UMA -1 ]{B}. (4)
A relação (4) fundamenta o método matricial para resolver sistemas de equações lineares: é necessário encontrar uma matriz inversa à matriz do sistema e multiplicar por ela o vetor coluna das partes direitas do sistema.
Exemplo. Resolvemos o sistema de equações considerado no exemplo anterior pelo método matricial.
Matriz do sistema 
seu determinante UMA==183
.
.Para encontrar a matriz [ UMA -1 ], encontre a matriz ligada a [ UMA]:
ou 
A fórmula para calcular a matriz inversa inclui 
, então
Agora podemos encontrar uma solução para o sistema
Então nós finalmente conseguimos 
.
Método V. Gauss.
Com um grande número de incógnitas, a solução do sistema de equações pelo método de Cramer ou pelo método das matrizes está associada ao cálculo de determinantes de alta ordem ou à inversão de grandes matrizes. Esses procedimentos são muito trabalhosos mesmo para computadores modernos. Portanto, para resolver sistemas de um grande número de equações, o método de Gauss é mais usado.
O método de Gauss consiste na eliminação sucessiva de incógnitas por transformações elementares da matriz estendida do sistema. Transformações elementares de matrizes incluem permutação de linhas, adição de linhas, multiplicação de linhas por números diferentes de zero. Como resultado das transformações, é possível reduzir a matriz do sistema a uma triangular superior, na diagonal principal da qual existem unidades e abaixo da diagonal principal - zeros. Este é o movimento direto do método de Gauss. O curso inverso do método consiste na determinação direta das incógnitas, começando pela última.
Vamos ilustrar o método de Gauss no exemplo de resolução do sistema de equações
No primeiro passo do movimento para frente, é assegurado que o coeficiente 
do sistema transformado tornou-se igual a 1
, e os coeficientes 
e 
virou para zero. Para fazer isso, multiplique a primeira equação por 1/10
, multiplique a segunda equação por 10
e adicionar ao primeiro, multiplique a terceira equação por -10/2
e adicioná-lo ao primeiro. Após essas transformações, obtemos
Na segunda etapa, garantimos que, após as transformações, o coeficiente 
tornou-se igual 1
, e o coeficiente 
. Para fazer isso, dividimos a segunda equação por 42
, e multiplique a terceira equação por -42/27
e adicioná-lo ao segundo. Obtemos um sistema de equações
O terceiro passo é obter o coeficiente 
. Para fazer isso, dividimos a terceira equação por (37 - 84/27)
; Nós temos
É aqui que termina o curso direto do método de Gauss, porque a matriz do sistema é reduzida à triangular superior:
Nesta lição, vamos considerar métodos para resolver um sistema de equações lineares. No curso da matemática superior, os sistemas de equações lineares devem ser resolvidos tanto na forma de tarefas separadas, por exemplo, "Resolva o sistema usando as fórmulas de Cramer", quanto durante a resolução de outros problemas. É preciso lidar com sistemas de equações lineares em quase todos os ramos da matemática superior.
Primeiro, um pouco de teoria. O que significa a palavra matemática "linear" neste caso? Isso significa que nas equações do sistema tudo variáveis estão incluídas no primeiro grau: sem coisas extravagantes como 
etc., que encantam apenas os participantes das olimpíadas matemáticas.
Na matemática superior, não apenas letras familiares desde a infância são usadas para designar variáveis.
Uma opção bastante popular são as variáveis com índices: .
Ou as letras iniciais do alfabeto latino, pequenas e grandes:
Não é tão raro encontrar letras gregas: - bem conhecido por muitos "alfa, beta, gama". E também um conjunto com índices, digamos, com a letra "mu":
O uso de um ou outro conjunto de letras depende do ramo da matemática superior em que nos deparamos com um sistema de equações lineares. Assim, por exemplo, em sistemas de equações lineares encontrados na resolução de integrais, equações diferenciais, é tradicionalmente comum usar a notação
Mas não importa como as variáveis são designadas, os princípios, métodos e métodos para resolver um sistema de equações lineares não mudam com isso. Assim, se você se deparar com algo terrível como, não se apresse em fechar o livro de problemas com medo, afinal, em vez disso, você pode desenhar o sol, em vez disso - um pássaro e, em vez disso - um rosto (de um professor). E, curiosamente, um sistema de equações lineares com essas notações também pode ser resolvido.
Algo que tenho uma premonição de que o artigo ficará bastante longo, portanto, um pequeno índice. Assim, o “debriefing” sequencial será o seguinte:
– Resolução de um sistema de equações lineares pelo método da substituição (“método escolar”);
– Solução do sistema pelo método de adição termo a termo (subtração) das equações do sistema;
– Solução do sistema pelas fórmulas de Cramer;
– Solução do sistema usando a matriz inversa;
– Solução do sistema pelo método de Gauss.
Todos estão familiarizados com os sistemas de equações lineares do curso de matemática da escola. Na verdade, começamos com a repetição.
Esse método também pode ser chamado de "método escolar" ou método de eliminação de incógnitas. Falando figurativamente, também pode ser chamado de "método Gauss inacabado".
Exemplo 1
Aqui temos um sistema de duas equações com duas incógnitas. Observe que os termos livres (números 5 e 7) estão localizados no lado esquerdo da equação. De um modo geral, não importa onde eles estão, à esquerda ou à direita, é que em problemas de matemática superior eles geralmente estão localizados dessa maneira. E tal registro não deve ser confuso, se necessário, o sistema sempre pode ser escrito "como de costume":. Não se esqueça que ao transferir um termo de uma parte para outra, você precisa alterar seu sinal.
O que significa resolver um sistema de equações lineares? Resolver um sistema de equações significa encontrar o conjunto de suas soluções. A solução do sistema é um conjunto de valores de todas as variáveis incluídas nele, que transforma TODAS as equações do sistema em uma verdadeira igualdade. Além disso, o sistema pode ser incompatível (não tem soluções).Não se acanhe, esta é uma definição geral =) Teremos apenas um valor de "x" e um valor de "y", que satisfazem cada equação com-nós.
Existe um método gráfico para resolver o sistema, que pode ser encontrado na lição. Os problemas mais simples com uma linha reta. Aí eu falei sobre sentido geométrico sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas. Mas agora no quintal é a era da álgebra e números-números, ações-ações.
Nós decidimos: da primeira equação expressamos:
Substituímos a expressão resultante na segunda equação:
Abrimos os parênteses, damos termos semelhantes e encontramos o valor: 
A seguir, lembramos do que eles dançaram:
Já sabemos o valor, resta descobrir:
Responda:
Depois que QUALQUER sistema de equações for resolvido de QUALQUER maneira, recomendo fortemente verificar (oralmente, em rascunho ou calculadora). Felizmente, isso é feito de forma rápida e fácil.
1) Substitua a resposta encontrada na primeira equação:
- a igualdade correta é obtida.
2) Substituímos a resposta encontrada na segunda equação: 
- a igualdade correta é obtida.
Ou, para simplificar, "tudo se encaixou"
O método de solução considerado não é o único; da primeira equação foi possível expressar , mas não .
Você pode vice-versa - expressar algo da segunda equação e substituí-lo na primeira equação. A propósito, observe que a mais desvantajosa das quatro maneiras é expressar a partir da segunda equação:
Frações são obtidas, mas por que isso? Existe uma solução mais racional.
No entanto, em alguns casos, as frações ainda são indispensáveis. Nesse sentido, chamo a atenção para COMO escrevi a expressão. Não assim: e de forma alguma assim: 
.
Se em matemática superior você estiver lidando com números fracionários, tente realizar todos os cálculos em frações impróprias comuns.
Precisamente, não ou!
A vírgula só pode ser usada ocasionalmente, em particular se - esta é a resposta final para algum problema e nenhuma outra ação precisa ser executada com este número.
Muitos leitores provavelmente pensaram “por que uma explicação tão detalhada, como para uma aula de correção, e tudo está claro”. Nada disso, parece um exemplo escolar tão simples, mas quantas conclusões MUITO importantes! Aqui está mais um:
Qualquer tarefa deve ser esforçada para ser concluída da maneira mais racional.. Até porque economiza tempo e nervos, e também reduz a probabilidade de cometer um erro.
Se em uma tarefa de matemática superior você se deparar com um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, poderá sempre usar o método de substituição (a menos que seja indicado que o sistema precisa ser resolvido por outro método) ".
Além disso, em alguns casos, é aconselhável usar o método de substituição com um número maior de variáveis.
Exemplo 2
Resolver um sistema de equações lineares com três incógnitas
Um sistema semelhante de equações geralmente surge ao usar o chamado método de coeficientes indefinidos, quando encontramos a integral de uma função fracionária racional. O sistema em questão foi tirado por mim de lá.
Ao encontrar a integral - o objetivo velozes encontre os valores dos coeficientes e não seja sofisticado com as fórmulas de Cramer, o método da matriz inversa, etc. Portanto, neste caso, o método de substituição é apropriado.
Quando qualquer sistema de equações é dado, antes de mais nada é desejável descobrir, mas é possível de alguma forma simplificá-lo IMEDIATAMENTE? Analisando as equações do sistema, notamos que a segunda equação do sistema pode ser dividida por 2, o que fazemos:
Referência: um símbolo matemático significa "daqui segue-se isto", é freqüentemente usado durante a resolução de problemas.
Agora analisamos as equações, precisamos expressar alguma variável através do resto. Qual equação escolher? Você provavelmente já adivinhou que a maneira mais fácil de fazer isso é pegar a primeira equação do sistema:
Aqui, não importa qual variável expressar, pode-se expressar ou .
Em seguida, substituímos a expressão por na segunda e na terceira equações do sistema: 
Abra os colchetes e adicione os termos semelhantes: 
Dividimos a terceira equação por 2: 
Da segunda equação, expressamos e substituímos na terceira equação:
Quase tudo está pronto, da terceira equação encontramos:
Da segunda equação: 
Da primeira equação:
Confira: Substitua os valores encontrados das variáveis no lado esquerdo de cada equação do sistema:
1)
2)
3)
Os correspondentes lados direitos das equações são obtidos, de modo que a solução é encontrada corretamente.
Exemplo 3
Resolver um sistema de equações lineares com 4 incógnitas
Este é um exemplo de auto-resolução (resposta no final da lição).
Ao resolver sistemas de equações lineares, deve-se tentar usar não o “método escolar”, mas o método de adição (subtração) termo a termo das equações do sistema. Por quê? Isso economiza tempo e simplifica os cálculos, porém, agora ficará mais claro.
Exemplo 4
Resolva o sistema de equações lineares: 
Peguei o mesmo sistema do primeiro exemplo.
Analisando o sistema de equações, notamos que os coeficientes da variável são idênticos em valor absoluto e opostos em sinal (–1 e 1). Nesta situação, as equações podem ser adicionadas termo a termo: 
As ações circuladas em vermelho são executadas MENTALMENTE.
Como você pode ver, como resultado da adição termo a termo, perdemos a variável . Isso, de fato, é a essência do método é se livrar de uma das variáveis.
