Neste artigo, o método é considerado como uma forma de resolver sistemas de equações lineares (SLAE). O método é analítico, ou seja, permite escrever um algoritmo de solução em visão geral e, em seguida, substitua os valores de exemplos específicos lá. Ao contrário do método matricial ou das fórmulas de Cramer, ao resolver um sistema de equações lineares usando o método de Gauss, você também pode trabalhar com aquelas que possuem infinitas soluções. Ou eles não têm nada disso.
Primeiro você precisa escrever nosso sistema de equações em Parece assim. O sistema é tomado:
Os coeficientes são escritos na forma de uma tabela e à direita em uma coluna separada - membros livres. A coluna com membros livres é separada por conveniência.A matriz que inclui esta coluna é chamada estendida.
Além disso, a matriz principal com coeficientes deve ser reduzida à forma triangular superior. Este é o ponto principal de resolver o sistema pelo método de Gauss. Simplificando, após certas manipulações, a matriz deve ficar assim, de forma que haja apenas zeros em sua parte inferior esquerda:
Então, se você escrever a nova matriz novamente como um sistema de equações, notará que a última linha já contém o valor de uma das raízes, que é então substituída na equação acima, outra raiz é encontrada e assim por diante.
Esta descrição da solução pelo método de Gauss na forma mais em termos gerais. E o que acontece se de repente o sistema não tiver solução? Ou há um número infinito deles? Para responder a essas e muitas outras questões, é necessário considerar separadamente todos os elementos utilizados na solução pelo método de Gauss.
Nenhum significado oculto não na matriz. É apenas uma maneira conveniente de registrar dados para operações posteriores. Mesmo as crianças em idade escolar não devem ter medo deles.
A matriz é sempre retangular, porque é mais conveniente. Mesmo no método de Gauss, onde tudo se resume a construir uma matriz triangular, aparece um retângulo na entrada, apenas com zeros no lugar onde não há números. Zeros podem ser omitidos, mas estão implícitos.
A matriz tem um tamanho. Sua "largura" é o número de linhas (m), seu "comprimento" é o número de colunas (n). Em seguida, o tamanho da matriz A (letras latinas maiúsculas são geralmente usadas para sua designação) será denotado como A m×n . Se m=n, então esta matriz é quadrada e m=n é a sua ordem. Assim, qualquer elemento da matriz A pode ser denotado pelo número de sua linha e coluna: a xy ; x - número da linha, alterações, y - número da coluna, alterações.
B não é o ponto principal da solução. Em princípio, todas as operações podem ser realizadas diretamente com as próprias equações, mas a notação se tornará muito mais complicada e será muito mais fácil confundi-la.
A matriz também tem um determinante. Esta é uma característica muito importante. Descobrir seu significado agora não vale a pena, você pode simplesmente mostrar como ele é calculado e depois dizer quais propriedades da matriz ele determina. A maneira mais fácil de encontrar o determinante é através das diagonais. Diagonais imaginárias são desenhadas na matriz; os elementos localizados em cada um deles são multiplicados e, a seguir, somados os produtos resultantes: diagonais com inclinação para a direita - com sinal de "mais", com inclinação para a esquerda - com sinal de "menos".
É extremamente importante observar que o determinante só pode ser calculado para uma matriz quadrada. Para uma matriz retangular, você pode fazer o seguinte: escolha o menor entre o número de linhas e o número de colunas (que seja k) e marque aleatoriamente k colunas e k linhas na matriz. Os elementos localizados na interseção das colunas e linhas selecionadas formarão uma nova matriz quadrada. Se o determinante de tal matriz for um número diferente de zero, ele será chamado de base menor da matriz retangular original.
Antes de prosseguir com a solução do sistema de equações pelo método de Gauss, não custa nada calcular o determinante. Se for zero, podemos dizer imediatamente que a matriz tem um número infinito de soluções ou não há nenhuma. Em um caso tão triste, você precisa ir mais longe e descobrir a classificação da matriz.
Existe algo como o posto de uma matriz. Esta é a ordem máxima de seu determinante diferente de zero (lembrando da base menor, podemos dizer que o posto de uma matriz é a ordem da base menor).
De acordo com a situação do rank, o SLAE pode ser dividido em:
O método de Gauss é bom porque permite obter uma prova inequívoca da inconsistência do sistema (sem calcular os determinantes de grandes matrizes) ou uma solução geral para um sistema com um número infinito de soluções durante a solução.
Antes de prosseguir diretamente para a solução do sistema, é possível torná-lo menos trabalhoso e mais conveniente para os cálculos. Isso é alcançado por meio de transformações elementares - de modo que sua implementação não altere a resposta final de forma alguma. Deve-se notar que algumas das transformações elementares acima são válidas apenas para matrizes, cuja fonte foi precisamente o SLAE. Aqui está uma lista dessas transformações:
Para facilitar o entendimento, vale a pena desmontar esse processo passo a passo. Duas linhas são retiradas da matriz:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Suponha que você precise adicionar o primeiro ao segundo, multiplicado pelo coeficiente "-2".
a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11
a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12
a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n
Então, na matriz, a segunda linha é substituída por uma nova e a primeira permanece inalterada.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Deve-se notar que o fator de multiplicação pode ser escolhido de forma que, como resultado da adição de duas strings, um dos elementos da nova string seja igual a zero. Assim, é possível obter uma equação no sistema, onde haverá uma incógnita a menos. E se você obtiver duas dessas equações, a operação poderá ser feita novamente e obter uma equação que já conterá duas incógnitas a menos. E se cada vez que voltarmos a zero um coeficiente para todas as linhas menores que a original, podemos, como etapas, descer até o fundo da matriz e obter uma equação com uma incógnita. Isso é chamado de resolver o sistema usando o método gaussiano.
Que haja um sistema. Tem m equações e n raízes desconhecidas. Você pode escrever assim:
A matriz principal é compilada a partir dos coeficientes do sistema. Uma coluna de membros livres é adicionada à matriz estendida e separada por uma barra por conveniência.
Agora a mesma série de transformações é executada, apenas a primeira e a terceira linhas estão envolvidas. Assim, em cada passo do algoritmo, o elemento a 21 é substituído por a 31 . Então tudo se repete para um 41 , ... um m1 . O resultado é uma matriz onde o primeiro elemento nas linhas é igual a zero. Agora precisamos esquecer a linha número um e executar o mesmo algoritmo a partir da segunda linha:
O algoritmo deve ser repetido até que apareça o coeficiente k = (-a m,m-1 /a mm). Isso significa que em última vez o algoritmo foi realizado apenas para a equação inferior. Agora a matriz se parece com um triângulo ou tem uma forma escalonada. A linha inferior contém a igualdade a mn × x n = b m . O coeficiente e o termo livre são conhecidos, e a raiz é expressa por eles: x n = b m /a mn. A raiz resultante é substituída na linha superior para encontrar x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . E assim por diante por analogia: em cada linha seguinte há uma nova raiz e, tendo atingido o "topo" do sistema, você pode encontrar muitas soluções. Será o único.
Se em uma das linhas da matriz todos os elementos, exceto o termo livre, forem iguais a zero, a equação correspondente a essa linha parecerá 0 = b. Não tem solução. E como tal equação está incluída no sistema, então o conjunto de soluções de todo o sistema está vazio, ou seja, é degenerado.
Pode acontecer que na matriz triangular reduzida não haja linhas com um elemento - o coeficiente da equação e um - um membro livre. Existem apenas strings que, quando reescritas, pareceriam uma equação com duas ou mais variáveis. Isso significa que o sistema tem um número infinito de soluções. Nesse caso, a resposta pode ser dada na forma de uma solução geral. Como fazer isso?
Todas as variáveis na matriz são divididas em básicas e livres. Básico - são aqueles que ficam "na borda" das linhas da matriz escalonada. Os demais são gratuitos. NO decisão comum as variáveis básicas são escritas em termos das livres.
Por conveniência, a matriz é primeiro reescrita em um sistema de equações. Então, no último deles, onde exatamente apenas uma variável básica permaneceu, ela permanece de um lado e tudo o mais é transferido para o outro. Isso é feito para cada equação com uma variável básica. Então, nas demais equações, sempre que possível, ao invés da variável básica, a expressão obtida para ela é substituída. Se, como resultado, aparecer novamente uma expressão contendo apenas uma variável básica, ela é novamente expressa a partir daí e assim por diante, até que cada variável básica seja escrita como uma expressão com variáveis livres. Esta é a solução geral do SLAE.
Você também pode encontrar a solução básica do sistema - dê quaisquer valores às variáveis livres e, para este caso específico, calcule os valores das variáveis básicas. Existem infinitas soluções particulares.
Aqui está o sistema de equações.
Por conveniência, é melhor criar imediatamente sua matriz
Sabe-se que ao resolver pelo método de Gauss, a equação correspondente à primeira linha permanecerá inalterada ao final das transformações. Portanto, será mais lucrativo se o elemento superior esquerdo da matriz for o menor - então os primeiros elementos das linhas restantes após as operações serão zerados. Isso significa que na matriz compilada será vantajoso colocar a segunda no lugar da primeira linha.
segunda linha: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0
a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24
terceira linha: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57
Agora, para não se confundir, é preciso anotar a matriz com os resultados intermediários das transformações.
É óbvio que tal matriz pode se tornar mais conveniente para a percepção com a ajuda de algumas operações. Por exemplo, você pode remover todos os "menos" da segunda linha multiplicando cada elemento por "-1".
Também é importante notar que na terceira linha todos os elementos são múltiplos de três. Então você pode reduzir a string por este número, multiplicando cada elemento por "-1/3" (menos - ao mesmo tempo para remover valores negativos).
Parece muito mais legal. Agora precisamos deixar a primeira linha sozinha e trabalhar com a segunda e a terceira. A tarefa é somar a segunda linha à terceira linha, multiplicada por um coeficiente tal que o elemento a 32 se torne igual a zero.
k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 fração comum, e só então, quando as respostas forem recebidas, decidir se deseja arredondar e traduzir em outra forma de registro)
a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7
b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7
A matriz é escrita novamente com novos valores.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Como você pode ver, a matriz resultante já possui uma forma escalonada. Portanto, outras transformações do sistema pelo método de Gauss não são necessárias. O que pode ser feito aqui é remover o coeficiente geral "-1/7" da terceira linha.
Agora está tudo lindo. O ponto é pequeno - escreva a matriz novamente na forma de um sistema de equações e calcule as raízes
x + 2y + 4z = 12(1)
7a + 11z = 24 (2)
O algoritmo pelo qual as raízes serão agora encontradas é chamado de movimento reverso no método de Gauss. A equação (3) contém o valor de z:
y = (24 - 11 × (61/9))/7 = -65/9
E a primeira equação permite encontrar x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3
Temos o direito de chamar tal sistema de conjunto, e até definitivo, ou seja, ter uma solução única. A resposta é escrita da seguinte forma:
x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.
A variante de resolver um determinado sistema pelo método de Gauss foi analisada, agora é necessário considerar o caso se o sistema for indefinido, ou seja, infinitas soluções podem ser encontradas para ele.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
A própria forma do sistema já é alarmante, pois o número de incógnitas é n = 5, e a classificação da matriz do sistema já é exatamente menor que esse número, pois o número de linhas é m = 4, ou seja, a maior ordem do determinante quadrado é 4. Isso significa que há um número infinito de soluções e é necessário procurar sua forma geral. O método de Gauss para equações lineares torna possível fazer isso.
Primeiro, como de costume, a matriz aumentada é compilada.
Segunda linha: coeficiente k = (-a 21 / a 11) = -3. Na terceira linha, o primeiro elemento está antes das transformações, então não precisa mexer em nada, precisa deixar como está. Quarta linha: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Multiplicando os elementos da primeira linha por cada um de seus coeficientes e adicionando-os às linhas desejadas, obtemos uma matriz da seguinte forma:
Como você pode ver, a segunda, terceira e quarta linhas consistem em elementos proporcionais entre si. O segundo e o quarto são geralmente iguais, então um deles pode ser removido imediatamente e o restante multiplicado pelo coeficiente "-1" e obter a linha número 3. E, novamente, deixe uma das duas linhas idênticas.
Descobriu-se tal matriz. O sistema ainda não foi escrito, é necessário determinar aqui as variáveis básicas - posicionadas nos coeficientes a 11 \u003d 1 e 22 \u003d 1, e livre - todo o resto.
A segunda equação tem apenas uma variável básica - x 2 . Daí, pode-se expressar a partir daí, escrevendo pelas variáveis x 3 , x 4 , x 5 , que são livres.
Substituímos a expressão resultante na primeira equação.
Descobriu-se uma equação na qual a única variável básica é x 1. Vamos fazer o mesmo com x 2 .
Todas as variáveis básicas, das quais existem duas, são expressas em termos de três livres, agora você pode escrever a resposta de forma geral.
Você também pode especificar uma das soluções particulares do sistema. Para tais casos, via de regra, zeros são escolhidos como valores para variáveis livres. Então a resposta será:
16, 23, 0, 0, 0.
A solução de sistemas inconsistentes de equações pelo método de Gauss é a mais rápida. Termina assim que em uma das etapas for obtida uma equação sem solução. Ou seja, a fase de cálculo das raízes, que é bastante longa e monótona, desaparece. O seguinte sistema é considerado:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Como de costume, a matriz é compilada:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
E é reduzido a uma forma escalonada:
k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Após a primeira transformação, a terceira linha contém equação da forma
não tendo solução. Portanto, o sistema é inconsistente e a resposta é o conjunto vazio.
Se você escolher qual método resolver o SLAE no papel com uma caneta, o método considerado neste artigo parecerá o mais atraente. Em transformações elementares, é muito mais difícil ficar confuso do que acontece se você tiver que procurar manualmente o determinante ou alguma matriz inversa complicada. No entanto, se você usar programas para trabalhar com dados desse tipo, por exemplo, planilhas, esses programas já contêm algoritmos para calcular os principais parâmetros das matrizes - determinante, menores, inversa e assim por diante. E se você tem certeza de que a própria máquina calculará esses valores e não cometerá erros, é mais conveniente usar o método matricial ou as fórmulas de Cramer, pois sua aplicação começa e termina com o cálculo dos determinantes e matrizes inversas.
Como a solução gaussiana é um algoritmo e a matriz é, na verdade, um array bidimensional, ela pode ser usada na programação. Mas como o artigo se posiciona como um guia "para leigos", vale dizer que o lugar mais fácil de colocar o método são as planilhas, por exemplo, o Excel. Novamente, qualquer SLAE inserido em uma tabela na forma de uma matriz será considerado pelo Excel como um array bidimensional. E para operações com eles, existem muitos comandos legais: adição (você só pode adicionar matrizes do mesmo tamanho!), Multiplicação por um número, multiplicação de matrizes (também com certas restrições), localização de matrizes inversas e transpostas e, o mais importante , calculando o determinante. Se essa tarefa demorada for substituída por um único comando, é muito mais rápido determinar o posto de uma matriz e, portanto, estabelecer sua compatibilidade ou inconsistência.
Seja um sistema linear equações algébricas, que precisa ser resolvido (encontre os valores da incógnita хi que transformam cada equação do sistema em uma igualdade).
Sabemos que um sistema de equações algébricas lineares pode:
1) Não ter soluções (ser incompatível).
2) Tenha infinitas soluções.
3) Tenha uma solução única.
Como lembramos, a regra de Cramer e o método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. método Gauss – a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar soluções para qualquer sistema de equações lineares, qual o Em todo caso nos leve à resposta! O algoritmo do método nos três casos funciona da mesma maneira. Se os métodos de Cramer e de matrizes exigem o conhecimento dos determinantes, a aplicação do método de Gauss requer apenas o conhecimento de operações aritméticas, o que o torna acessível até mesmo para alunos do ensino fundamental.
Transformações de matriz estendidas ( esta é a matriz do sistema - uma matriz composta apenas pelos coeficientes das incógnitas, mais uma coluna de termos livres) sistemas de equações algébricas lineares no método de Gauss:
1) Com troky matrizes posso reorganizar lugares.
2) se a matriz tem (ou tem) proporcional (como caso especial são as mesmas) strings, então segue excluir da matriz, todas essas linhas, exceto uma.
3) se uma linha zero apareceu na matriz durante as transformações, também segue excluir.
4) a linha da matriz pode multiplicar (dividir) a qualquer número diferente de zero.
5) para a linha da matriz, você pode adicione outra string multiplicada por um número, diferente de zero.
No método de Gauss, as transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações.
O método de Gauss consiste em duas etapas:
Para fazer isso, execute as seguintes etapas:
1) Consideremos a primeira equação de um sistema de equações algébricas lineares e o coeficiente em x 1 é igual a K. A segunda, terceira, etc. transformamos as equações da seguinte maneira: dividimos cada equação (coeficientes para incógnitas, incluindo termos livres) pelo coeficiente para incógnitas x 1, que está em cada equação, e multiplicamos por K. Depois disso, subtraia a primeira da segunda equação ( coeficientes para incógnitas e termos livres). Obtemos em x 1 na segunda equação o coeficiente 0. Da terceira equação transformada subtraímos a primeira equação, portanto, até que todas as equações, exceto a primeira, com desconhecido x 1, não tenham um coeficiente 0.
2) Passe para a próxima equação. Seja esta a segunda equação e o coeficiente em x 2 igual a M. Com todas as equações "subordinadas", procedemos conforme descrito acima. Assim, "sob" a incógnita x 2 em todas as equações serão zeros.
3) Passamos para a próxima equação e assim sucessivamente até restar uma última incógnita e um termo livre transformado.
Exemplo.
Resolvemos o sistema de equações lineares usando o método de Gauss, como alguns autores aconselham:
Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma escalonada:
Nós olhamos para o "degrau" superior esquerdo. Lá deveríamos ter uma unidade. O problema é que não há ninguém na primeira coluna, então nada pode ser resolvido reorganizando as linhas. Nesses casos, a unidade deve ser organizada usando uma transformação elementar. Isso geralmente pode ser feito de várias maneiras. Vamos fazer assim:
1 passo
. À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por -1 e realizamos a soma da primeira e segunda linhas, enquanto a segunda linha não mudou.
Agora no canto superior esquerdo "menos um", o que nos convém perfeitamente. Quem quiser obter +1 pode realizar uma ação adicional: multiplicar a primeira linha por -1 (mudar seu sinal).
2 passo . A primeira linha multiplicada por 5 foi adicionada à segunda linha.A primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.
3 passo . A primeira linha foi multiplicada por -1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para a segunda posição, assim, na segunda “etapa, tínhamos a unidade desejada.
4 passo . Na terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por 2.
5 passo . A terceira linha é dividida por 3.
Um sinal que indica um erro nos cálculos (menos frequentemente um erro de digitação) é um resultado final "ruim". Ou seja, se obtivermos algo como (0 0 11 | 23) abaixo e, consequentemente, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, então, com alto grau de probabilidade, podemos dizer que um erro foi cometido durante o ensino fundamental transformações.
Realizamos um movimento reverso, no design de exemplos, o próprio sistema muitas vezes não é reescrito e as equações são “tiradas diretamente da matriz fornecida”. O movimento inverso, lembro a você, funciona "de baixo para cima". NO este exemplo recebeu um presente:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, portanto x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1
Responda:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
Vamos resolver o mesmo sistema usando o algoritmo proposto. Nós temos
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Divida a segunda equação por 5 e a terceira por 3. Obtemos:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Multiplicando a segunda e a terceira equações por 4, obtemos:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Subtraindo a primeira equação da segunda e terceira equações, temos:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Divida a terceira equação por 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Multiplique a terceira equação por 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Subtraindo a segunda equação da terceira equação, obtemos a matriz aumentada “escalonada”:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Assim, como um erro acumulado no processo de cálculo, obtemos x 3 \u003d 0,96, ou aproximadamente 1.
x 2 \u003d 3 e x 1 \u003d -1.
Resolvendo dessa forma, você nunca ficará confuso nos cálculos e, apesar dos erros de cálculo, obterá o resultado.
Este método de resolver um sistema de equações algébricas lineares é fácil de programar e não leva em conta características específicas coeficientes para incógnitas, porque na prática (em cálculos econômicos e técnicos) é preciso lidar com coeficientes não inteiros.
Desejo-lhe sucesso! Vejo você na aula! Tutor Dmitry Aistrakhanov.
site, com cópia total ou parcial do material, é necessário um link para a fonte.
Hoje lidamos com o método de Gauss para resolver sistemas de equações algébricas lineares. Você pode ler sobre o que são esses sistemas no artigo anterior dedicado a resolver o mesmo SLAE pelo método de Cramer. O método Gauss não requer nenhum conhecimento específico, apenas cuidado e consistência são necessários. Apesar de, do ponto de vista da matemática, a preparação escolar ser suficiente para sua aplicação, o domínio desse método muitas vezes causa dificuldades aos alunos. Neste artigo, vamos tentar reduzi-los a nada!
M método Gaussé o método mais universal para resolver o SLAE (com exceção de sistemas muito grandes). Ao contrário do discutido anteriormente, é adequado não apenas para sistemas que possuem uma única solução, mas também para sistemas que possuem um número infinito de soluções. Existem três opções aqui.
Então, temos um sistema (que tenha uma solução), e vamos resolvê-lo usando o método gaussiano. Como funciona?
O método gaussiano consiste em duas etapas - direta e inversa.
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema. Para fazer isso, adicionamos uma coluna de membros livres à matriz principal.
Toda a essência do método gaussiano é reduzir essa matriz a uma forma escalonada (ou, como dizem, triangular) por meio de transformações elementares. Nesta forma, deve haver apenas zeros abaixo (ou acima) da diagonal principal da matriz.
O que pode ser feito:
Após transformarmos o sistema desta forma, uma incógnita xn torna-se conhecido e ordem reversa encontre todas as incógnitas restantes substituindo os x já conhecidos nas equações do sistema, até o primeiro.
Quando a Internet está sempre à mão, você pode resolver o sistema de equações usando o método de Gauss conectados . Tudo o que você precisa fazer é inserir as probabilidades na calculadora online. Mas você deve admitir, é muito mais agradável perceber que o exemplo não foi resolvido programa de computador mas com seu próprio cérebro.
E agora - um exemplo, para que tudo fique claro e compreensível. Seja dado um sistema de equações lineares, e é necessário resolvê-lo pelo método de Gauss:
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada:
Agora vamos dar uma olhada nas transformações. Lembre-se de que precisamos obter uma forma triangular da matriz. Multiplique a 1ª linha por (3). Multiplique a 2ª linha por (-1). Vamos adicionar a 2ª linha à 1ª e obter:
Em seguida, multiplique a 3ª linha por (-1). Vamos adicionar a 3ª linha à 2ª:
Multiplique a 1ª linha por (6). Multiplique a 2ª carreira por (13). Vamos adicionar a 2ª linha à 1ª:
Voila - o sistema é trazido para o formulário apropriado. Resta encontrar as incógnitas:
O sistema neste exemplo tem uma solução única. Consideraremos a solução de sistemas com um conjunto infinito de soluções em um artigo separado. Talvez a princípio você não saiba por onde começar com as transformações de matriz, mas após a prática apropriada, você colocará as mãos nele e clicará no Gaussian SLAE como nozes. E se de repente você se deparar com um SLAU, que acaba sendo um osso duro de roer, entre em contato com nossos autores! você pode deixar um aplicativo na Correspondência. Juntos resolveremos qualquer problema!
Continuamos a considerar sistemas de equações lineares. Esta lição é a terceira sobre o tema. Se você tem uma vaga ideia do que é um sistema de equações lineares em geral, se sente como um bule de chá, recomendo começar com o básico na próxima página, é útil estudar a lição.
O método de Gauss é fácil! Por quê? O famoso matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss recebeu reconhecimento durante sua vida o maior matemático de todos os tempos, um gênio e até o apelido de "Rei da Matemática". E tudo engenhoso, como você sabe, é simples! A propósito, não apenas otários, mas também gênios caem no dinheiro - o retrato de Gauss foi exibido em uma nota de 10 marcos alemães (antes da introdução do euro), e Gauss ainda sorri misteriosamente para os alemães em selos postais comuns.
O método de Gauss é simples, pois basta o conhecimento de um aluno da quinta série para dominá-lo. Deve ser capaz de somar e multiplicar! Não é por acaso que o método de eliminação sucessiva de incógnitas é frequentemente considerado por professores em aulas eletivas de matemática. É um paradoxo, mas o método de Gauss causa as maiores dificuldades para os alunos. Nada surpreendente - é tudo sobre a metodologia, e tentarei contar de forma acessível sobre o algoritmo do método.
Primeiramente, sistematizamos um pouco o conhecimento sobre sistemas de equações lineares. Um sistema de equações lineares pode:
1) Tenha uma solução única. 2) Tenha infinitas soluções. 3) Não ter soluções (ser incompatível).
O método de Gauss é a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar uma solução algum sistemas de equações lineares. Como nos lembramos Regra de Cramer e método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. Um método de eliminação sucessiva de incógnitas de qualquer forma nos leve à resposta! Nesta lição, voltaremos a considerar o método de Gauss para o caso nº 1 (a única solução do sistema), um artigo é reservado para as situações dos pontos nº 2-3. Observo que o próprio algoritmo do método funciona da mesma maneira nos três casos.
De volta a o sistema mais simples da lição Como resolver um sistema de equações lineares? e resolva usando o método gaussiano.
O primeiro passo é escrever sistema de matriz estendida: . Por qual princípio os coeficientes são registrados, acho que todos podem ver. A linha vertical dentro da matriz não tem nenhum significado matemático - é apenas um rascunho para facilitar o design.
Referência : Eu recomendo lembrar termos álgebra Linear. Matriz do sistema é uma matriz composta apenas por coeficientes para incógnitas, neste exemplo, a matriz do sistema: . Matriz de sistema estendida é a mesma matriz do sistema mais uma coluna de membros livres, neste caso: . Qualquer uma das matrizes pode ser chamada simplesmente de matriz por brevidade.
Após a escrita da matriz estendida do sistema, é necessário realizar algumas ações com ela, que também são chamadas de transformações elementares.
Existem as seguintes transformações elementares:
1) Cordas matrizes posso reorganizar lugares. Por exemplo, na matriz em consideração, você pode reorganizar com segurança a primeira e a segunda linhas: 
2) Se houver (ou aparecer) linhas proporcionais (como um caso especial - idênticas) na matriz, segue-se excluir da matriz, todas essas linhas, exceto uma. Considere, por exemplo, a matriz 
. Nesta matriz, as três últimas linhas são proporcionais, então basta deixar apenas uma delas: 
.
3) Se uma linha zero apareceu na matriz durante as transformações, também segue excluir. Não vou desenhar, claro, a linha zero é a linha em que apenas zeros.
4) A linha da matriz pode ser multiplicar (dividir) para qualquer número diferente de zero. Considere, por exemplo, a matriz . Aqui é aconselhável dividir a primeira linha por -3 e multiplicar a segunda linha por 2: 
. Esta ação é muito útil, pois simplifica outras transformações da matriz.
5) Essa transformação causa mais dificuldades, mas na verdade também não há nada complicado. Para a linha da matriz, você pode adicione outra string multiplicada por um número, diferente de zero. Considere nossa matriz de estudo de caso: . Primeiro, descreverei a transformação em detalhes. Multiplique a primeira linha por -2: 
, e à segunda linha adicionamos a primeira linha multiplicada por -2: 
. Agora a primeira linha pode ser dividida "de volta" por -2: . Como você pode ver, a linha que é ADDED LI – não mudou. É sempre a linha é alterada, A QUAL ADICIONOU UT.
Na prática, é claro, eles não pintam com tantos detalhes, mas escrevem de forma mais curta: 
Mais uma vez: para a segunda linha adicionado a primeira linha multiplicado por -2. A linha geralmente é multiplicada oralmente ou em um rascunho, enquanto o curso mental dos cálculos é mais ou menos assim:
“Eu reescrevo a matriz e reescrevo a primeira linha: 
»
Primeira coluna primeiro. Abaixo eu preciso obter zero. Portanto, multiplico a unidade acima por -2: e adiciono a primeira à segunda linha: 2 + (-2) = 0. Escrevo o resultado na segunda linha: 
»
“Agora a segunda coluna. Acima de -1 vezes -2: . Eu adiciono o primeiro à segunda linha: 1 + 2 = 3. Eu escrevo o resultado na segunda linha: 
»
“E a terceira coluna. Acima de -5 vezes -2: . Adiciono a primeira linha à segunda linha: -7 + 10 = 3. Escrevo o resultado na segunda linha: 
»
Por favor, pense cuidadosamente sobre este exemplo e entenda o algoritmo de cálculo sequencial, se você entender isso, então o método de Gauss está praticamente "no seu bolso". Mas, claro, ainda estamos trabalhando nessa transformação.
Transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações
! ATENÇÃO: manipulações consideradas não pode usar, se lhe for oferecida uma tarefa em que as matrizes são dadas "por si mesmas". Por exemplo, com "clássico" matrizes em nenhum caso você deve reorganizar algo dentro das matrizes! Voltemos ao nosso sistema. Ela está praticamente quebrada em pedaços.
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e, usando transformações elementares, reduzi-la a visão escalonada:
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. E novamente: por que multiplicamos a primeira linha por -2? Para obter zero na parte inferior, o que significa livrar-se de uma variável na segunda linha.
(2) Divida a segunda linha por 3.
O propósito das transformações elementares
–
converta a matriz para a forma de passo: 
. No desenho da tarefa, eles desenham diretamente a “escada” com um simples lápis, e também circulam os números que estão localizados nos “degraus”. O termo "visão escalonada" em si não é inteiramente teórico; na literatura científica e educacional, é freqüentemente chamado de visão trapezoidal ou visão triangular.
Como resultado de transformações elementares, obtivemos equivalente sistema original de equações:
Agora o sistema precisa ser "destorcido" na direção oposta - de baixo para cima, esse processo é chamado método de Gauss reverso.
Na equação inferior, já temos o resultado final: .
Considere a primeira equação do sistema e substitua nela o valor já conhecido de “y”:
Vamos considerar a situação mais comum, quando o método gaussiano é necessário para resolver um sistema de três equações lineares com três incógnitas.
Exemplo 1
Resolva o sistema de equações usando o método de Gauss: 
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema: 
Agora vou desenhar imediatamente o resultado ao qual chegaremos no decorrer da solução: 
E repito, nosso objetivo é trazer a matriz para uma forma escalonada usando transformações elementares. Por onde começar a agir?
Primeiro, olhe para o número superior esquerdo: 
Deveria estar quase sempre aqui unidade. De um modo geral, -1 (e às vezes outros números) também serve, mas de alguma forma tradicionalmente acontece que uma unidade é geralmente colocada lá. Como organizar uma unidade? Olhamos para a primeira coluna - temos uma unidade pronta! Transformação um: troque a primeira e a terceira linhas: 
Agora a primeira linha permanecerá inalterada até o final da solução. Agora tudo bem.
A unidade no canto superior esquerdo é organizada. Agora você precisa obter zeros nestes lugares: 
Os zeros são obtidos apenas com a ajuda de uma transformação "difícil". Primeiro, lidamos com a segunda linha (2, -1, 3, 13). O que precisa ser feito para obter zero na primeira posição? Precisar à segunda linha, adicione a primeira linha multiplicada por -2. Mentalmente ou em rascunho, multiplicamos a primeira linha por -2: (-2, -4, 2, -18). E realizamos consistentemente (novamente mentalmente ou em rascunho) adição, à segunda linha adicionamos a primeira linha, já multiplicada por -2:
O resultado é escrito na segunda linha: 
Da mesma forma, lidamos com a terceira linha (3, 2, -5, -1). Para obter zero na primeira posição, você precisa à terceira linha, adicione a primeira linha multiplicada por -3. Mentalmente ou em rascunho, multiplicamos a primeira linha por -3: (-3, -6, 3, -27). E à terceira linha adicionamos a primeira linha multiplicada por -3:
O resultado está escrito na terceira linha:
Na prática, essas ações geralmente são realizadas verbalmente e escritas em uma única etapa: 
Não há necessidade de contar tudo de uma vez e ao mesmo tempo. A ordem dos cálculos e "inserção" dos resultados consistente e geralmente assim: primeiro reescrevemos a primeira linha e nos bufamos silenciosamente - CONSISTENTEMENTE e COM CUIDADO:
E já considerei o curso mental dos próprios cálculos acima.
Neste exemplo, isso é fácil de fazer, dividimos a segunda linha por -5 (já que todos os números ali são divisíveis por 5 sem deixar resto). Ao mesmo tempo, dividimos a terceira linha por -2, pois quanto menor o número, mais simples a solução:
No estágio final das transformações elementares, mais um zero deve ser obtido aqui: 
Por esta à terceira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -2:
Tente analisar você mesmo esta ação - multiplique mentalmente a segunda linha por -2 e faça a adição.
A última ação realizada é o penteado do resultado, divida a terceira linha por 3.
Como resultado de transformações elementares, foi obtido um sistema inicial equivalente de equações lineares: 
Legal.
Agora, o curso inverso do método gaussiano entra em ação. As equações "desenrolam" de baixo para cima.
Na terceira equação, já temos o resultado final:
Vejamos a segunda equação: . O significado de "z" já é conhecido, assim:
E por fim, a primeira equação: . "Y" e "Z" são conhecidos, o assunto é pequeno:
Responda: 
Como já foi repetidamente observado, para qualquer sistema de equações, é possível e necessário verificar a solução encontrada, felizmente, isso não é difícil e rápido.
Exemplo 2
Este é um exemplo de auto-resolução, uma amostra de acabamento e uma resposta no final da lição.
Deve-se notar que seu curso de ação pode não coincidir com o meu curso de ação, e esta é uma característica do método de Gauss. Mas as respostas devem ser as mesmas!
Exemplo 3
Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss 
Nós olhamos para o "degrau" superior esquerdo. Lá deveríamos ter uma unidade. O problema é que não há ninguém na primeira coluna, então nada pode ser resolvido reorganizando as linhas. Nesses casos, a unidade deve ser organizada usando uma transformação elementar. Isso geralmente pode ser feito de várias maneiras. Eu fiz isso: (1) À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por -1 e realizamos a soma da primeira e segunda linhas, enquanto a segunda linha não mudou.
Agora no canto superior esquerdo "menos um", o que nos convém perfeitamente. Quem quiser obter +1 pode realizar um gesto adicional: multiplique a primeira linha por -1 (mude seu sinal).
(2) A primeira linha multiplicada por 5 foi adicionada à segunda linha. A primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.
(3) A primeira linha foi multiplicada por -1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para a segunda posição, assim, na segunda “etapa, tínhamos a unidade desejada.
(4) A segunda linha multiplicada por 2 foi adicionada à terceira linha.
(5) A terceira linha foi dividida por 3.
Um mau sinal que indica um erro de cálculo (menos frequentemente um erro de digitação) é um resultado final “ruim”. Ou seja, se obtivermos algo como abaixo e, consequentemente, 
, então, com um alto grau de probabilidade, pode-se argumentar que um erro foi cometido durante as transformações elementares.
Cobramos o movimento reverso, no design de exemplos, o próprio sistema muitas vezes não é reescrito e as equações são “tiradas diretamente da matriz fornecida”. O movimento reverso, lembro a você, funciona de baixo para cima. Sim, aqui está um presente:
Responda: 
.
Exemplo 4
Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss 
Este é um exemplo de solução independente, é um pouco mais complicado. Tudo bem se alguém ficar confuso. Solução completa e amostra de design no final da lição. Sua solução pode ser diferente da minha.
Na última parte, consideramos algumas características do algoritmo de Gauss. A primeira característica é que às vezes faltam algumas variáveis nas equações do sistema, por exemplo: 
Como escrever corretamente a matriz aumentada do sistema? Eu já falei sobre esse momento na aula. Regra de Cramer. método de matriz. Na matriz expandida do sistema, colocamos zeros no lugar das variáveis que faltam: 
A propósito, é bastante exemplo fácil, pois já existe um zero na primeira coluna e há menos transformações elementares a serem realizadas.
A segunda característica é esta. Em todos os exemplos considerados, colocamos –1 ou +1 nos “degraus”. Pode haver outros números? Em alguns casos, eles podem. Considere o sistema: 
.
Aqui no "degrau" superior esquerdo, temos um deuce. Mas notamos o fato de que todos os números da primeira coluna são divisíveis por 2 sem resto - e outros dois e seis. E o deuce no canto superior esquerdo nos convém! Na primeira etapa, você precisa realizar as seguintes transformações: somar a primeira linha multiplicada por -1 à segunda linha; à terceira linha, adicione a primeira linha multiplicada por -3. Assim, obteremos os zeros desejados na primeira coluna.
Ou outro exemplo hipotético: 
. Aqui, o triplo no segundo “degrau” também nos convém, já que 12 (o lugar onde precisamos obter o zero) é divisível por 3 sem resto. É necessário realizar a seguinte transformação: à terceira linha, adicionar a segunda linha, multiplicada por -4, como resultado, obteremos o zero de que precisamos.
O método de Gauss é universal, mas há uma peculiaridade. Aprenda com confiança a resolver sistemas por outros métodos (método de Cramer, método matricial) pode ser literalmente a primeira vez - existe um algoritmo muito rigoroso. Mas, para se sentir confiante no método de Gauss, você deve “encher a mão” e resolver pelo menos 5 a 10 dez sistemas. Portanto, a princípio pode haver confusão, erros de cálculo, e não há nada de incomum ou trágico nisso.
Tempo chuvoso de outono fora da janela .... Portanto, para todos, um exemplo mais complexo para uma solução independente:
Exemplo 5
Resolva um sistema de 4 equações lineares com quatro incógnitas usando o método de Gauss. 
Tal tarefa na prática não é tão rara. Acho que mesmo um bule que estudou esta página em detalhes entende o algoritmo para resolver esse sistema intuitivamente. Basicamente o mesmo - apenas mais ação.
Os casos em que o sistema não possui soluções (inconsistentes) ou possui infinitas soluções são considerados na lição. Sistemas incompatíveis e sistemas com uma solução comum. Lá você pode corrigir o algoritmo considerado do método de Gauss.
Desejo-lhe sucesso!
Soluções e respostas:
Exemplo 2:
Solução
:
Vamos escrever a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazê-la para uma forma escalonada.
Transformações elementares realizadas:
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1.
Atenção!
Aqui pode ser tentador subtrair a primeira da terceira linha, eu não recomendo subtrair - o risco de erro aumenta muito. Nós apenas dobramos!
(2) O sinal da segunda linha foi alterado (multiplicado por -1). A segunda e terceira linhas foram trocadas.
Nota
que nas “etapas” ficamos satisfeitos não só com um, mas também com -1, o que é ainda mais conveniente.
(3) À terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por 5.
(4) O sinal da segunda linha foi alterado (multiplicado por -1). A terceira linha foi dividida por 14.
Movimento reverso:
Responda
:
.
Exemplo 4:
Solução
:
Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma escalonada:
Conversões realizadas: (1) A segunda linha foi adicionada à primeira linha. Assim, a unidade desejada é organizada no “degrau” superior esquerdo. (2) A primeira linha multiplicada por 7 foi adicionada à segunda linha.A primeira linha multiplicada por 6 foi adicionada à terceira linha.
Com o segundo "passo" tudo é pior , os "candidatos" são os números 17 e 23, e precisamos de um ou -1. As transformações (3) e (4) visarão obter a unidade desejada (3) A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1. (4) A terceira linha, multiplicada por -3, foi adicionada à segunda linha. A coisa necessária na segunda etapa é recebida . (5) À terceira linha acrescente a segunda, multiplicada por 6. (6) A segunda linha foi multiplicada por -1, a terceira linha foi dividida por -83.
Movimento reverso:
Responda :
Exemplo 5:
Solução
:
Vamos escrever a matriz do sistema e, usando transformações elementares, trazê-la para uma forma escalonada:
Conversões realizadas: (1) A primeira e segunda linhas foram trocadas. (2) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à quarta linha, multiplicada por -3. (3) A segunda linha multiplicada por 4 foi adicionada à terceira linha, a segunda linha multiplicada por -1 foi adicionada à quarta linha. (4) O sinal da segunda linha foi alterado. A quarta linha foi dividida por 3 e colocada no lugar da terceira linha. (5) A terceira linha foi adicionada à quarta linha, multiplicada por -5.
Movimento reverso:
Responda :
Um dos métodos universais e eficazes para resolver sistemas algébricos lineares é método Gauss , consistindo na eliminação sucessiva de incógnitas.
Lembre-se de que os dois sistemas são chamados equivalente (equivalente) se os conjuntos de suas soluções forem iguais. Em outras palavras, os sistemas são equivalentes se toda solução para um deles é uma solução para o outro, e vice-versa. Sistemas equivalentes são obtidos com transformações elementares equações do sistema:
multiplicar ambos os lados da equação por um número diferente de zero;
adicionar a alguma equação as partes correspondentes de outra equação, multiplicada por um número diferente de zero;
permutação de duas equações.
Deixe o sistema de equações
O processo de resolução deste sistema pelo método de Gauss consiste em duas etapas. No primeiro estágio (para frente), o sistema é reduzido por meio de transformações elementares a pisou , ou triangular mente, e no segundo estágio (movimento reverso) há uma sequencial, a partir da última variável, a definição de incógnitas do sistema de etapas resultante.
Suponhamos que o coeficiente desse sistema 
, caso contrário, no sistema, a primeira linha pode ser trocada por qualquer outra linha, de modo que o coeficiente em 
era diferente de zero.
Vamos transformar o sistema, eliminando o desconhecido 
em todas as equações, exceto na primeira. Para fazer isso, multiplique ambos os lados da primeira equação por 
e some termo a termo com a segunda equação do sistema. Em seguida, multiplique ambos os lados da primeira equação por 
e adicioná-lo à terceira equação do sistema. Continuando este processo, obtemos um sistema equivalente
Aqui 
são os novos valores dos coeficientes e termos livres, que são obtidos após a primeira etapa.
Da mesma forma, considerando o elemento principal 
, exclua o desconhecido 
de todas as equações do sistema, exceto a primeira e a segunda. Continuamos esse processo o maior tempo possível, como resultado, obtemos um sistema de etapas
,
Onde 
,
,…,
- os principais elementos do sistema 
.
Se no processo de levar o sistema a uma forma escalonada, aparecerem equações, ou seja, igualdades da forma 
, eles são descartados, pois qualquer conjunto de números os satisfaz 
. Se em 
aparece uma equação da forma que não tem soluções, isso indica a inconsistência do sistema.
No curso reverso, a primeira incógnita é expressa a partir da última equação do sistema de etapas transformadas 
através de todas as outras incógnitas 
quem é chamado gratuitamente
.
Então a expressão variável 
da última equação do sistema é substituída na penúltima equação e a variável é expressa a partir dela 
. As variáveis são definidas de maneira semelhante 
. Variáveis 
, expressos em termos de variáveis livres, são chamados básico
(dependente). Como resultado, obtém-se a solução geral do sistema de equações lineares.
Encontrar decisão privada
sistemas, livre desconhecido 
na solução geral, valores arbitrários são atribuídos e os valores das variáveis são calculados 
.
É tecnicamente mais conveniente submeter as transformações elementares não às equações do sistema, mas à matriz estendida do sistema
.
O método de Gauss é um método universal que permite resolver não apenas sistemas quadrados, mas também retangulares nos quais o número de incógnitas 
não é igual ao número de equações 
.
A vantagem desse método também reside no fato de que, no processo de resolução, examinamos simultaneamente o sistema quanto à compatibilidade, pois, tendo reduzido a matriz aumentada 
para a forma escalonada, é fácil determinar os postos da matriz 
e matriz estendida 
e aplicar o teorema de Kronecker-Capelli
.
Exemplo 2.1 Resolva o sistema usando o método de Gauss
Solução. Número de equações 
e o número de incógnitas 
.
Vamos compor a matriz estendida do sistema atribuindo à direita da matriz de coeficientes 
coluna de membros gratuitos 
.
Vamos trazer a matriz 
para uma forma triangular; para fazer isso, obteremos "0" abaixo dos elementos na diagonal principal usando transformações elementares.
Para obter "0" na segunda posição da primeira coluna, multiplique a primeira linha por (-1) e adicione à segunda linha.
Escrevemos essa transformação como um número (-1) na primeira linha e a denotamos por uma seta que vai da primeira à segunda linha.
Para obter "0" na terceira posição da primeira coluna, multiplique a primeira linha por (-3) e adicione à terceira linha; Vamos mostrar esta ação com uma seta indo da primeira linha para a terceira.
.
Na matriz resultante, escrita em segundo lugar na cadeia de matrizes, obtemos "0" na segunda coluna da terceira posição. Para fazer isso, multiplique a segunda linha por (-4) e adicione à terceira. Na matriz resultante, multiplicamos a segunda linha por (-1) e dividimos a terceira linha por (-8). Todos os elementos desta matriz que estão abaixo dos elementos diagonais são zeros.
Porque , o sistema é colaborativo e específico.
O sistema de equações correspondente à última matriz tem uma forma triangular:
Da última (terceira) equação 
. Substitua na segunda equação e obtenha 
.
Substituto 
e 
na primeira equação, encontramos 
.
