As soluções de um sistema homogêneo têm as seguintes propriedades. Se o vetor = (α 1 , α 2 ,... ,α n) é uma solução para o sistema (15.14), então para qualquer número k vetor k = (kα 1 , ka 2 ,..., kα n) será a solução para este sistema. Se a solução para o sistema (15.14) é o vetor = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ n), então a soma + também será a solução deste sistema. Daí segue que qualquer combinação linear de soluções para um sistema homogêneo também é uma solução para este sistema.
Como sabemos da Seção 12.2, qualquer sistema n vetores tridimensionais, consistindo em mais de P vetores, é linearmente dependente. Assim, do conjunto de vetores de solução do sistema homogêneo (15.14) pode-se escolher uma base, ou seja, qualquer vetor solução do sistema dado será uma combinação linear dos vetores desta base. Qualquer base desse tipo é chamada sistema de decisão fundamental sistema homogêneo de equações lineares. O teorema a seguir é verdadeiro, que apresentamos sem demonstração.
TEOREMA 4. Se o posto r do sistema equações homogêneas (15.14) menor que o número de incógnitas n, então qualquer sistema fundamental de soluções do sistema (15.14) consiste em n - r soluções.
Vamos agora indicar um método para encontrar o sistema fundamental de soluções (FSR). Deixe o sistema de equações homogêneas (15.14) ter posto r< п. Então, como segue as regras de Cramer, as incógnitas básicas deste sistema x 1 , x 2 , … xr são expressos linearmente em termos de variáveis livres xr + 1 , x r + 2 , ..., xn:
Selecionamos soluções particulares do sistema homogêneo (15.14) de acordo com o seguinte princípio. Para encontrar o primeiro vetor solução 1, definimos xr + 1 = 1, xr + 2 = xr +3 = ... = xn= 0. Então encontramos a segunda solução 2: aceitamos xr+2 = 1 e o resto r- 1 variáveis livres são definidas como zero. Em outras palavras, atribuímos sequencialmente um único valor a cada variável livre, definindo o restante como zero. Assim, o sistema fundamental de soluções na forma vetorial, levando em conta o primeiro r variáveis de base (15.15) tem a forma
O FSR (15.16) é um dos conjuntos fundamentais de soluções para o sistema homogêneo (15.14).
Exemplo 1 Encontre uma solução e FSR de um sistema de equações homogêneas
Solução. Vamos resolver este sistema pelo método de Gauss. Como o número de equações do sistema é menor que o número de incógnitas, assumimos X 1 , x 2 , X 3 incógnitas básicas, e x 4 , X 5 , x 6 - variáveis livres. Vamos compor a matriz estendida do sistema e realizar as ações que compõem o curso direto do método.
O método gaussiano tem várias desvantagens: é impossível saber se o sistema é consistente ou não até que todas as transformações necessárias no método gaussiano tenham sido realizadas; o método gaussiano não é adequado para sistemas com coeficientes de letras.
Considere outros métodos para resolver sistemas de equações lineares. Esses métodos usam o conceito de posto de uma matriz e reduzem a solução de qualquer sistema comum para a solução de um sistema ao qual se aplica a regra de Cramer.
Exemplo 1 Achar decisão comum o seguinte sistema de equações lineares usando o sistema fundamental de soluções do sistema homogêneo reduzido e uma solução particular do sistema não homogêneo.
1. Fazemos uma matriz UMA e a matriz aumentada do sistema (1)
2. Explore o sistema (1) para compatibilidade. Para fazer isso, encontramos os postos das matrizes UMA e https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Se for o caso, o sistema (1) incompatível. Se conseguirmos isso , então este sistema é consistente e vamos resolvê-lo. (O estudo de consistência é baseado no teorema de Kronecker-Capelli).
uma. Nós achamos rA.
Encontrar rA, consideraremos sucessivamente menores não nulos da primeira, segunda, etc. ordens da matriz UMA e os menores que os cercam.
M1=1≠0 (1 é retirado do canto superior esquerdo da matriz MAS).
Limítrofe M1 a segunda linha e a segunda coluna desta matriz. 
. Continuamos na fronteira M1 a segunda linha e a terceira coluna..gif" width="37" height="20 src=">. Agora delimitamos o menor diferente de zero М2′ segunda ordem.
Nós temos: 
(porque as duas primeiras colunas são iguais)
(porque a segunda e terceira linhas são proporcionais).
Nós vemos que rA=2, e é a base menor da matriz UMA.
b. Nós achamos .
Menor suficientemente básico М2′ matrizes UMA borda com uma coluna de membros livres e todas as linhas (temos apenas a última linha).
. Segue-se disso que М3′′ permanece a base menor da matriz https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Porque М2′- base menor da matriz UMA sistemas (2) , então este sistema é equivalente ao sistema (3) , que consiste nas duas primeiras equações do sistema (2) (por М2′ está nas duas primeiras linhas da matriz A).
(3)
Como o menor básico é https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Neste sistema, duas incógnitas livres ( x2 e x4 ). É por isso FSR sistemas (4) consiste em duas soluções. Para encontrá-los, atribuímos incógnitas livres a (4) valores primeiro x2=1 , x4=0 , e depois - x2=0 , x4=1 .
No x2=1 , x4=0 Nós temos:
.
Este sistema já possui a única coisa solução (pode ser encontrada pela regra de Cramer ou por qualquer outro método). Subtraindo a primeira equação da segunda equação, temos:
A decisão dela será x1= -1 , x3=0 . Dados os valores x2 e x4 , que demos, obtemos a primeira solução fundamental do sistema (2) : .
Agora colocamos (4) x2=0 , x4=1 . Nós temos:
.
Resolvemos este sistema usando o teorema de Cramer:
.
Obtemos a segunda solução fundamental do sistema (2) : .
Soluções β1 , β2 e fazer as pazes FSR sistemas (2) . Então sua solução geral será
γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Aqui C1 , C2 são constantes arbitrárias.
4. Encontre um privado solução sistema heterogêneo(1) . Como no parágrafo 3 , em vez do sistema (1) Considere o sistema equivalente (5) , que consiste nas duas primeiras equações do sistema (1) .
(5)
Transferimos as incógnitas livres para o lado direito x2 e x4.
(6)
Vamos dar desconhecidos gratuitos x2 e x4 valores arbitrários, por exemplo, x2=2 , x4=1 e ligá-los em (6) . Vamos pegar o sistema
Este sistema tem única decisão(porque seu determinante М2′0). Resolvendo (usando o teorema de Cramer ou o método de Gauss), obtemos x1=3 , x3=3 . Dados os valores das incógnitas livres x2 e x4 , Nós temos solução particular de um sistema não homogêneo(1)α1=(3,2,3,1).
5. Agora resta escrever solução geral α de um sistema não homogêneo(1) : é igual à soma decisão privada este sistema e solução geral de seu sistema homogêneo reduzido (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Isso significa: 
(7)
6. Exame. Para verificar se você resolveu o sistema corretamente (1) , precisamos de uma solução geral (7) substituir em (1) . Se cada equação se torna uma identidade ( C1 e C2 deve ser destruído), então a solução é encontrada corretamente.
Nós vamos substituir (7) por exemplo, apenas na última equação do sistema (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Obtemos: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Onde -1=-1. Temos uma identidade. Fazemos isso com todas as outras equações do sistema (1) .
Comente. A verificação geralmente é bastante complicada. Podemos recomendar a seguinte "verificação parcial": na solução geral do sistema (1) atribuir alguns valores a constantes arbitrárias e substituir a solução particular resultante apenas nas equações descartadas (ou seja, nas equações de (1) que não estão incluídos (5) ). Se você conseguir identidades, então provavelmente, solução do sistema (1) encontrado corretamente (mas tal verificação não dá uma garantia total de correção!). Por exemplo, se em (7) colocar C2=- 1 , C1=1, então temos: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Substituindo na última equação do sistema (1), temos: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ou seja, –1=–1. Temos uma identidade.
Exemplo 2 Encontrar uma solução geral para um sistema de equações lineares (1) , expressando as principais incógnitas em termos de livres.
Solução. Como em Exemplo 1, compor matrizes UMA e https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dessas matrizes. Agora deixamos apenas as equações do sistema (1) , cujos coeficientes estão incluídos neste menor básico (ou seja, temos as duas primeiras equações) e consideramos o sistema constituído por elas, que é equivalente ao sistema (1).
Vamos transferir as incógnitas livres para o lado direito dessas equações.
sistema (9) resolvemos pelo método gaussiano, considerando as partes certas como membros livres.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Opção 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opção 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opção 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opção 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" largura="195" altura="106">
Exemplo 1 . Encontre uma solução geral e algum sistema fundamental de soluções para o sistemaSolução encontrar com uma calculadora. O algoritmo de solução é o mesmo para sistemas de equações lineares não homogêneas.
Operando apenas com linhas, encontramos o posto da matriz, o menor básico; declaramos incógnitas dependentes e livres e encontramos a solução geral.
.
; .
, o segundo - 
.
Exemplo 2 . Encontre a solução geral e o sistema fundamental de soluções do sistema 
Solução.
,
segue que o posto da matriz é 3 e é igual ao número desconhecido. Isso significa que o sistema não possui incógnitas livres e, portanto, possui uma solução única - trivial.
Exercício . Explorar e resolver um sistema de equações lineares.
Exemplo 4
Exercício . Encontre soluções gerais e particulares para cada sistema.
Solução. Escrevemos a matriz principal do sistema:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x2 | x4 | x 3 | x5 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Uma tarefa . Encontre um conjunto fundamental de soluções para um sistema homogêneo de equações lineares.
Dados da matriz
Encontre: 1) aA - bB,
Solução: 1) Encontramos sequencialmente, usando as regras para multiplicar uma matriz por um número e adicionar matrizes ..
2. Encontre A*B se
Solução: Use a Regra de Multiplicação de Matrizes
Responda: 
3. Para uma dada matriz, encontre o menor M 31 e calcule o determinante.
Solução: Menor M 31 é o determinante da matriz que é obtida de A
depois de excluir a linha 3 e a coluna 1. Encontre
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Vamos transformar a matriz A sem alterar seu determinante (vamos fazer zeros na linha 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Agora calculamos o determinante da matriz A por expansão ao longo da linha 1
Resposta: M 31 = 0, detA = 0
Resolva usando o método de Gauss e o método de Cramer.
2 x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3 x 3 = 6
2x1 + x2 + 2x3 = 5
Solução: Vamos checar
Você pode usar o método de Cramer
Solução do sistema: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Aplicamos o método de Gauss.
Reduzimos a matriz estendida do sistema para uma forma triangular.
Para facilitar os cálculos, trocamos as linhas:
Multiplique a 2ª linha por (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) e adicione ao 3º:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Multiplique a 1ª linha por (k = -2 / 2 = -1 ) e adicione ao 2º:
Agora o sistema original pode ser escrito como:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
A partir da 2ª linha expressamos
A partir da 1ª linha expressamos
A solução é a mesma.
Resposta: (2; -5; 3)
Encontre a solução geral do sistema e FSR
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Solução: Aplique o método de Gauss. Reduzimos a matriz estendida do sistema para uma forma triangular.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Multiplique a 1ª linha por (-11). Multiplique a 2ª linha por (13). Vamos adicionar a 2ª linha à 1ª:
| -2 | -2 | -3 | ||
Multiplique a 2ª linha por (-5). Multiplique a 3ª linha por (11). Vamos adicionar a 3ª linha à 2ª:
Multiplique a 3ª linha por (-7). Multiplique a 4ª linha por (5). Vamos adicionar a 4ª linha à 3ª:
A segunda equação é uma combinação linear do resto
Encontre o posto da matriz.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
O menor selecionado tem a ordem mais alta (de todos os menores possíveis) e é diferente de zero (é igual ao produto dos elementos na diagonal recíproca), portanto rang(A) = 2.
Este menor é básico. Inclui coeficientes para desconhecidos x 1, x 2, o que significa que os desconhecidos x 1, x 2 são dependentes (básicos) e x 3, x 4, x 5 são livres.
O sistema com os coeficientes desta matriz é equivalente ao sistema original e tem a forma:
18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5
7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5
Pelo método de eliminação de incógnitas, encontramos decisão comum:
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
Encontramos o sistema fundamental de soluções (FSR), que consiste em (n-r) soluções. No nosso caso, n=5, r=2, portanto, o sistema fundamental de soluções consiste em 3 soluções, e essas soluções devem ser linearmente independentes.
Para que as linhas sejam linearmente independentes, é necessário e suficiente que o posto da matriz composta pelos elementos das linhas seja igual ao número de linhas, ou seja, 3.
Basta dar as incógnitas livres x 3 ,x 4 ,x 5 valores das linhas do determinante de 3ª ordem, diferente de zero, e calcular x 1 ,x 2 .
O determinante não nulo mais simples é a matriz identidade.
Mas aqui é mais conveniente tomar
Encontramos usando a solução geral:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ
I Decisão FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 º
Decisão FSR II: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 º
III decisão FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)
6. Dado: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Encontre: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Solução: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Resposta: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i
Atribuição de serviço. A calculadora online foi projetada para encontrar uma solução não trivial e fundamental para o SLAE. A solução resultante é salva em um arquivo do Word (veja o exemplo de solução).
Instrução. Selecione a dimensão da matriz:
Teorema. O sistema no caso m=n tem uma solução não trivial se e somente se o determinante deste sistema for igual a zero.
Teorema. Qualquer combinação linear de soluções para um sistema também é uma solução para esse sistema.
Definição. O conjunto de soluções de um sistema de equações lineares homogêneas é chamado sistema de decisão fundamental se esta coleção consiste em soluções linearmente independentes e qualquer solução do sistema é uma combinação linear dessas soluções.
Teorema. Se o posto r da matriz do sistema for menor que o número n de incógnitas, então existe um sistema fundamental de soluções que consiste em (n-r) soluções.
Exemplo. Encontre a base do sistema de vetores (a 1 , a 2 ,...,a m), classifique e expresse os vetores em termos da base. Se a 1 =(0,0,1,-1) e 2 =(1,1,2,0) e 3 =(1,1,1,1) e 4 =(3,2,1 ,4) , e 5 =(2,1,0,3).
Escrevemos a matriz principal do sistema:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
