Continuamos a considerar sistemas equações lineares. Esta lição é a terceira sobre o tema. Se você tem uma vaga ideia do que é um sistema de equações lineares em geral, se sente como um bule de chá, recomendo começar com o básico na próxima página, é útil estudar a lição.
O método de Gauss é fácil! Por quê? O famoso matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss recebeu reconhecimento durante sua vida o maior matemático de todos os tempos, um gênio e até o apelido de "Rei da Matemática". E tudo engenhoso, como você sabe, é simples! A propósito, não apenas otários, mas também gênios caem no dinheiro - o retrato de Gauss foi exibido em uma nota de 10 marcos alemães (antes da introdução do euro), e Gauss ainda sorri misteriosamente para os alemães em selos postais comuns.
O método de Gauss é simples, pois basta o conhecimento de um aluno da quinta série para dominá-lo. Deve ser capaz de somar e multiplicar! Não é por acaso que o método de eliminação sucessiva de incógnitas é frequentemente considerado por professores em aulas eletivas de matemática. É um paradoxo, mas o método de Gauss causa as maiores dificuldades para os alunos. Nada surpreendente - é tudo sobre a metodologia, e tentarei contar de forma acessível sobre o algoritmo do método.
Primeiramente, sistematizamos um pouco o conhecimento sobre sistemas de equações lineares. Um sistema de equações lineares pode:
1) Ter única decisão. 2) Tenha infinitas soluções. 3) Não ter soluções (ser incompatível).
O método de Gauss é a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar uma solução algum sistemas de equações lineares. Como nos lembramos Regra de Cramer e método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. Um método exclusão sequencial desconhecido de qualquer forma nos leve à resposta! Nesta lição, voltaremos a considerar o método de Gauss para o caso nº 1 (única solução do sistema), um artigo é reservado para as situações dos pontos nº 2-3. Observo que o próprio algoritmo do método funciona da mesma maneira nos três casos.
De volta a o sistema mais simples da lição Como resolver um sistema de equações lineares? e resolva usando o método gaussiano.
O primeiro passo é escrever sistema de matriz estendida: . Por qual princípio os coeficientes são registrados, acho que todos podem ver. A linha vertical dentro da matriz não tem nenhum significado matemático - é apenas um rascunho para facilitar o design.
Referência : Eu recomendo lembrar termos álgebra Linear. Matriz do sistema é uma matriz composta apenas por coeficientes para incógnitas, neste exemplo, a matriz do sistema: . Matriz de sistema estendida é a mesma matriz do sistema mais uma coluna de membros livres, em este caso: . Qualquer uma das matrizes pode ser chamada simplesmente de matriz por brevidade.
Após a escrita da matriz estendida do sistema, é necessário realizar algumas ações com ela, que também são chamadas de transformações elementares.
Existem as seguintes transformações elementares:
1) Cordas matrizes posso reorganizar lugares. Por exemplo, na matriz em consideração, você pode reorganizar com segurança a primeira e a segunda linhas:
2) Se a matriz contém (ou apareceu) proporcional (como caso especial são as mesmas) strings, então segue excluir da matriz, todas essas linhas, exceto uma. Considere, por exemplo, a matriz 
. Nesta matriz, as três últimas linhas são proporcionais, então basta deixar apenas uma delas: 
.
3) Se uma linha zero apareceu na matriz durante as transformações, também segue excluir. Não vou desenhar, claro, a linha zero é a linha em que apenas zeros.
4) A linha da matriz pode ser multiplicar (dividir) para qualquer número diferente de zero. Considere, por exemplo, a matriz . Aqui é aconselhável dividir a primeira linha por -3 e multiplicar a segunda linha por 2: 
. Esta ação é muito útil, pois simplifica outras transformações da matriz.
5) Essa transformação causa mais dificuldades, mas na verdade também não há nada complicado. Para a linha da matriz, você pode adicione outra string multiplicada por um número, diferente de zero. Considere nossa matriz de estudo de caso: . Primeiro, descreverei a transformação em detalhes. Multiplique a primeira linha por -2: 
, e à segunda linha adicionamos a primeira linha multiplicada por -2: 
. Agora a primeira linha pode ser dividida "de volta" por -2: . Como você pode ver, a linha que é ADDED LI – não mudou. É sempre a linha é alterada, A QUAL ADICIONOU UT.
Na prática, é claro, eles não pintam com tantos detalhes, mas escrevem de forma mais curta: 
Mais uma vez: para a segunda linha adicionado a primeira linha multiplicado por -2. A linha geralmente é multiplicada oralmente ou em um rascunho, enquanto o curso mental dos cálculos é mais ou menos assim:
“Eu reescrevo a matriz e reescrevo a primeira linha: 
»
Primeira coluna primeiro. Abaixo eu preciso obter zero. Portanto, multiplico a unidade acima por -2: e adiciono a primeira à segunda linha: 2 + (-2) = 0. Escrevo o resultado na segunda linha: 
»
“Agora a segunda coluna. Acima de -1 vezes -2: . Eu adiciono o primeiro à segunda linha: 1 + 2 = 3. Eu escrevo o resultado na segunda linha: 
»
“E a terceira coluna. Acima de -5 vezes -2: . Adiciono a primeira linha à segunda linha: -7 + 10 = 3. Escrevo o resultado na segunda linha: 
»
Por favor, pense cuidadosamente sobre este exemplo e entenda o algoritmo de cálculo sequencial, se você entender isso, então o método de Gauss está praticamente "no seu bolso". Mas, claro, ainda estamos trabalhando nessa transformação.
Transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações
! ATENÇÃO: manipulações consideradas não pode usar, se lhe for oferecida uma tarefa em que as matrizes são dadas "por si mesmas". Por exemplo, com "clássico" matrizes em nenhum caso você deve reorganizar algo dentro das matrizes! Voltemos ao nosso sistema. Ela está praticamente quebrada em pedaços.
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e, usando transformações elementares, reduzi-la a visão escalonada:
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. E novamente: por que multiplicamos a primeira linha por -2? Para obter zero na parte inferior, o que significa livrar-se de uma variável na segunda linha.
(2) Divida a segunda linha por 3.
O propósito das transformações elementares
–
converta a matriz para a forma de passo: 
. No desenho da tarefa, eles enfatizam diretamente com um simples lápis"escada", e também circule os números que estão localizados nos "degraus". O termo "visão escalonada" em si não é inteiramente teórico; na literatura científica e educacional, é freqüentemente chamado de visão trapezoidal ou visão triangular.
Como resultado de transformações elementares, obtivemos equivalente sistema original de equações:
Agora o sistema precisa ser "destorcido" na direção oposta - de baixo para cima, esse processo é chamado método de Gauss reverso.
Na equação inferior, já temos o resultado final: .
Considere a primeira equação do sistema e substitua nela o valor já conhecido de “y”:
Vamos considerar a situação mais comum, quando o método gaussiano é necessário para resolver um sistema de três equações lineares com três incógnitas.
Exemplo 1
Resolva o sistema de equações usando o método de Gauss: 
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema: 
Agora vou desenhar imediatamente o resultado ao qual chegaremos no decorrer da solução: 
E repito, nosso objetivo é trazer a matriz para uma forma escalonada usando transformações elementares. Por onde começar a agir?
Primeiro, olhe para o número superior esquerdo: 
Deveria estar quase sempre aqui unidade. De um modo geral, -1 (e às vezes outros números) também serve, mas de alguma forma tradicionalmente acontece que uma unidade é geralmente colocada lá. Como organizar uma unidade? Olhamos para a primeira coluna - temos uma unidade pronta! Transformação um: troque a primeira e a terceira linhas: 
Agora a primeira linha permanecerá inalterada até o final da solução. Agora tudo bem.
A unidade no canto superior esquerdo é organizada. Agora você precisa obter zeros nestes lugares: 
Os zeros são obtidos apenas com a ajuda de uma transformação "difícil". Primeiro, lidamos com a segunda linha (2, -1, 3, 13). O que precisa ser feito para obter zero na primeira posição? Precisar à segunda linha, adicione a primeira linha multiplicada por -2. Mentalmente ou em rascunho, multiplicamos a primeira linha por -2: (-2, -4, 2, -18). E realizamos consistentemente (novamente mentalmente ou em rascunho) adição, à segunda linha adicionamos a primeira linha, já multiplicada por -2:
O resultado é escrito na segunda linha: 
Da mesma forma, lidamos com a terceira linha (3, 2, -5, -1). Para obter zero na primeira posição, você precisa à terceira linha, adicione a primeira linha multiplicada por -3. Mentalmente ou em rascunho, multiplicamos a primeira linha por -3: (-3, -6, 3, -27). E à terceira linha adicionamos a primeira linha multiplicada por -3:
O resultado está escrito na terceira linha:
Na prática, essas ações geralmente são realizadas verbalmente e escritas em uma única etapa: 
Não há necessidade de contar tudo de uma vez e ao mesmo tempo. A ordem dos cálculos e "inserção" dos resultados consistente e geralmente assim: primeiro reescrevemos a primeira linha e nos bufamos silenciosamente - CONSISTENTEMENTE e COM CUIDADO:
E já considerei o curso mental dos próprios cálculos acima.
NO este exemplo isso é fácil de fazer, dividimos a segunda linha por -5 (já que todos os números ali são divisíveis por 5 sem deixar resto). Ao mesmo tempo, dividimos a terceira linha por -2, pois quanto menor o número, mais simples a solução:
No estágio final das transformações elementares, mais um zero deve ser obtido aqui: 
Por esta à terceira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -2:
Tente analisar você mesmo esta ação - multiplique mentalmente a segunda linha por -2 e faça a adição.
A última ação realizada é o penteado do resultado, divida a terceira linha por 3.
Como resultado de transformações elementares, foi obtido um sistema inicial equivalente de equações lineares: 
Legal.
Agora, o curso inverso do método gaussiano entra em ação. As equações "desenrolam" de baixo para cima.
Na terceira equação, já temos o resultado final:
Vejamos a segunda equação: . O significado de "z" já é conhecido, assim:
E por fim, a primeira equação: . "Y" e "Z" são conhecidos, o assunto é pequeno:
Responda: 
Como já foi repetidamente observado, para qualquer sistema de equações, é possível e necessário verificar a solução encontrada, felizmente, isso não é difícil e rápido.
Exemplo 2
Este é um exemplo de auto-resolução, uma amostra de acabamento e uma resposta no final da lição.
Deve-se notar que seu curso de ação pode não coincidir com o meu curso de ação, e esta é uma característica do método de Gauss. Mas as respostas devem ser as mesmas!
Exemplo 3
Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss 
Nós olhamos para o "degrau" superior esquerdo. Lá deveríamos ter uma unidade. O problema é que não há ninguém na primeira coluna, então nada pode ser resolvido reorganizando as linhas. Nesses casos, a unidade deve ser organizada usando uma transformação elementar. Isso geralmente pode ser feito de várias maneiras. Eu fiz isso: (1) À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por -1 e realizamos a soma da primeira e segunda linhas, enquanto a segunda linha não mudou.
Agora no canto superior esquerdo "menos um", o que nos convém perfeitamente. Quem quiser obter +1 pode realizar um gesto adicional: multiplique a primeira linha por -1 (mude seu sinal).
(2) A primeira linha multiplicada por 5 foi adicionada à segunda linha. A primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.
(3) A primeira linha foi multiplicada por -1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para a segunda posição, assim, na segunda “etapa, tínhamos a unidade desejada.
(4) A segunda linha multiplicada por 2 foi adicionada à terceira linha.
(5) A terceira linha foi dividida por 3.
Um mau sinal que indica um erro de cálculo (menos frequentemente um erro de digitação) é um resultado final “ruim”. Ou seja, se obtivermos algo como abaixo e, consequentemente, 
, então, com um alto grau de probabilidade, pode-se argumentar que um erro foi cometido durante as transformações elementares.
Cobramos o movimento reverso, no design de exemplos, o próprio sistema muitas vezes não é reescrito e as equações são “tiradas diretamente da matriz fornecida”. O movimento reverso, lembro a você, funciona de baixo para cima. Sim, aqui está um presente:
Responda: 
.
Exemplo 4
Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss 
Este é um exemplo de solução independente, é um pouco mais complicado. Tudo bem se alguém ficar confuso. Solução completa e amostra de design no final da lição. Sua solução pode ser diferente da minha.
Na última parte, consideramos algumas características do algoritmo de Gauss. A primeira característica é que às vezes faltam algumas variáveis nas equações do sistema, por exemplo: 
Como escrever corretamente a matriz aumentada do sistema? Eu já falei sobre esse momento na aula. Regra de Cramer. método de matriz. Na matriz expandida do sistema, colocamos zeros no lugar das variáveis que faltam: 
A propósito, é bastante exemplo fácil, pois já existe um zero na primeira coluna e há menos transformações elementares a serem realizadas.
A segunda característica é esta. Em todos os exemplos considerados, colocamos –1 ou +1 nos “degraus”. Pode haver outros números? Em alguns casos, eles podem. Considere o sistema: 
.
Aqui no "degrau" superior esquerdo, temos um deuce. Mas notamos o fato de que todos os números da primeira coluna são divisíveis por 2 sem resto - e outros dois e seis. E o deuce no canto superior esquerdo nos convém! Na primeira etapa, você precisa realizar as seguintes transformações: somar a primeira linha multiplicada por -1 à segunda linha; à terceira linha, adicione a primeira linha multiplicada por -3. Assim, obteremos os zeros desejados na primeira coluna.
Ou outro exemplo hipotético: 
. Aqui, o triplo no segundo “degrau” também nos convém, já que 12 (o lugar onde precisamos obter o zero) é divisível por 3 sem resto. É necessário realizar a seguinte transformação: à terceira linha, adicionar a segunda linha, multiplicada por -4, como resultado, obteremos o zero de que precisamos.
O método de Gauss é universal, mas há uma peculiaridade. Aprenda com confiança a resolver sistemas por outros métodos (método de Cramer, método matricial) pode ser literalmente a primeira vez - existe um algoritmo muito rigoroso. Mas, para se sentir confiante no método de Gauss, você deve “encher a mão” e resolver pelo menos 5 a 10 dez sistemas. Portanto, a princípio pode haver confusão, erros de cálculo, e não há nada de incomum ou trágico nisso.
chuvoso clima de outono fora da janela ... Portanto, para todos, um exemplo mais complexo para uma solução independente:
Exemplo 5
Resolva um sistema de 4 equações lineares com quatro incógnitas usando o método de Gauss. 
Tal tarefa na prática não é tão rara. Acho que mesmo um bule que estudou esta página em detalhes entende o algoritmo para resolver esse sistema intuitivamente. Basicamente o mesmo - apenas mais ação.
Os casos em que o sistema não possui soluções (inconsistentes) ou possui infinitas soluções são considerados na lição. Sistemas incompatíveis e sistemas com uma solução comum. Lá você pode corrigir o algoritmo considerado do método de Gauss.
Desejo-lhe sucesso!
Soluções e respostas:
Exemplo 2:
Solução
:
Vamos escrever a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazê-la para uma forma escalonada.
Transformações elementares realizadas:
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1.
Atenção!
Aqui pode ser tentador subtrair a primeira da terceira linha, eu não recomendo subtrair - o risco de erro aumenta muito. Nós apenas dobramos!
(2) O sinal da segunda linha foi alterado (multiplicado por -1). A segunda e terceira linhas foram trocadas.
Nota
que nas “etapas” ficamos satisfeitos não só com um, mas também com -1, o que é ainda mais conveniente.
(3) À terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por 5.
(4) O sinal da segunda linha foi alterado (multiplicado por -1). A terceira linha foi dividida por 14.
Movimento reverso:
Responda
:
.
Exemplo 4:
Solução
:
Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma escalonada:
Conversões realizadas: (1) A segunda linha foi adicionada à primeira linha. Assim, a unidade desejada é organizada no “degrau” superior esquerdo. (2) A primeira linha multiplicada por 7 foi adicionada à segunda linha.A primeira linha multiplicada por 6 foi adicionada à terceira linha.
Com o segundo "passo" tudo é pior , os "candidatos" são os números 17 e 23, e precisamos de um ou -1. As transformações (3) e (4) visarão obter a unidade desejada (3) A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1. (4) A terceira linha, multiplicada por -3, foi adicionada à segunda linha. A coisa necessária na segunda etapa é recebida . (5) À terceira linha acrescente a segunda, multiplicada por 6. (6) A segunda linha foi multiplicada por -1, a terceira linha foi dividida por -83.
Movimento reverso:
Responda :
Exemplo 5:
Solução
:
Vamos escrever a matriz do sistema e, usando transformações elementares, trazê-la para uma forma escalonada:
Conversões realizadas: (1) A primeira e segunda linhas foram trocadas. (2) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à quarta linha, multiplicada por -3. (3) A segunda linha multiplicada por 4 foi adicionada à terceira linha, a segunda linha multiplicada por -1 foi adicionada à quarta linha. (4) O sinal da segunda linha foi alterado. A quarta linha foi dividida por 3 e colocada no lugar da terceira linha. (5) A terceira linha foi adicionada à quarta linha, multiplicada por -5.
Movimento reverso:
Responda :
Um dos métodos universais e eficazes para resolver sistemas algébricos lineares é método Gauss , consistindo na eliminação sucessiva de incógnitas.
Lembre-se de que os dois sistemas são chamados equivalente (equivalente) se os conjuntos de suas soluções forem iguais. Em outras palavras, os sistemas são equivalentes se toda solução para um deles é uma solução para o outro, e vice-versa. Sistemas equivalentes são obtidos com transformações elementares equações do sistema:
multiplicar ambos os lados da equação por um número diferente de zero;
adicionar a alguma equação as partes correspondentes de outra equação, multiplicada por um número diferente de zero;
permutação de duas equações.
Deixe o sistema de equações
O processo de resolução deste sistema pelo método de Gauss consiste em duas etapas. No primeiro estágio (para frente), o sistema é reduzido por meio de transformações elementares a pisou , ou triangular mente, e no segundo estágio (movimento reverso) há um sequencial, a partir da última variável, a definição de incógnitas do sistema de etapas resultante.
Suponhamos que o coeficiente desse sistema 
, caso contrário, no sistema, a primeira linha pode ser trocada por qualquer outra linha, de modo que o coeficiente em 
era diferente de zero.
Vamos transformar o sistema, eliminando o desconhecido 
em todas as equações, exceto na primeira. Para fazer isso, multiplique ambos os lados da primeira equação por 
e some termo a termo com a segunda equação do sistema. Em seguida, multiplique ambos os lados da primeira equação por 
e adicioná-lo à terceira equação do sistema. Continuando este processo, obtemos um sistema equivalente
Aqui 
são os novos valores dos coeficientes e termos livres, que são obtidos após a primeira etapa.
Da mesma forma, considerando o elemento principal 
, exclua o desconhecido 
de todas as equações do sistema, exceto a primeira e a segunda. Continuamos esse processo o maior tempo possível, como resultado, obtemos um sistema de etapas
,
Onde 
,
,…,
- os principais elementos do sistema 
.
Se no processo de levar o sistema a uma forma escalonada, aparecerem equações, ou seja, igualdades da forma 
, eles são descartados, pois qualquer conjunto de números os satisfaz 
. Se em 
vai aparecer equação da forma, que não possui soluções, isso indica a inconsistência do sistema.
No curso reverso, a primeira incógnita é expressa a partir da última equação do sistema de etapas transformadas 
através de todas as outras incógnitas 
quem é chamado gratuitamente
.
Então a expressão variável 
da última equação do sistema é substituída na penúltima equação e a variável é expressa a partir dela 
. As variáveis são definidas de maneira semelhante 
. Variáveis 
, expressos em termos de variáveis livres, são chamados básico
(dependente). Como resultado, obtém-se a solução geral do sistema de equações lineares.
Encontrar decisão privada
sistemas, livre desconhecido 
na solução geral, valores arbitrários são atribuídos e os valores das variáveis são calculados 
.
É tecnicamente mais conveniente submeter as transformações elementares não às equações do sistema, mas à matriz estendida do sistema
.
O método de Gauss é um método universal que permite resolver não apenas sistemas quadrados, mas também retangulares nos quais o número de incógnitas 
não é igual ao número de equações 
.
A vantagem desse método também reside no fato de que, no processo de resolução, examinamos simultaneamente o sistema quanto à compatibilidade, pois, tendo reduzido a matriz aumentada 
para a forma escalonada, é fácil determinar os postos da matriz 
e matriz estendida 
e aplicar o teorema de Kronecker-Capelli
.
Exemplo 2.1 Resolva o sistema usando o método de Gauss
Solução. Número de equações 
e o número de incógnitas 
.
Vamos compor a matriz estendida do sistema atribuindo à direita da matriz de coeficientes 
coluna de membros gratuitos 
.
Vamos trazer a matriz 
para uma forma triangular; para fazer isso, obteremos "0" abaixo dos elementos na diagonal principal usando transformações elementares.
Para obter "0" na segunda posição da primeira coluna, multiplique a primeira linha por (-1) e adicione à segunda linha.
Escrevemos essa transformação como um número (-1) na primeira linha e a denotamos por uma seta que vai da primeira à segunda linha.
Para obter "0" na terceira posição da primeira coluna, multiplique a primeira linha por (-3) e adicione à terceira linha; Vamos mostrar esta ação com uma seta indo da primeira linha para a terceira.
.
Na matriz resultante, escrita em segundo lugar na cadeia de matrizes, obtemos "0" na segunda coluna da terceira posição. Para fazer isso, multiplique a segunda linha por (-4) e adicione à terceira. Na matriz resultante, multiplicamos a segunda linha por (-1) e dividimos a terceira linha por (-8). Todos os elementos desta matriz que estão abaixo dos elementos diagonais são zeros.
Porque , o sistema é colaborativo e específico.
O sistema de equações correspondente à última matriz tem uma forma triangular:
Da última (terceira) equação 
. Substitua na segunda equação e obtenha 
.
Substituto 
e 
na primeira equação, encontramos 
.
O método de Gauss é fácil! Por quê? O famoso matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss, durante sua vida, recebeu o reconhecimento como o maior matemático de todos os tempos, um gênio, e até o apelido de "Rei da Matemática". E tudo engenhoso, como você sabe, é simples! A propósito, não apenas otários, mas também gênios caem no dinheiro - o retrato de Gauss foi exibido em uma nota de 10 marcos alemães (antes da introdução do euro), e Gauss ainda sorri misteriosamente para os alemães em selos postais comuns.
O método de Gauss é simples, pois basta o conhecimento de um aluno da quinta série para dominá-lo. Deve ser capaz de somar e multiplicar! Não é por acaso que o método de eliminação sucessiva de incógnitas é frequentemente considerado por professores em aulas eletivas de matemática. É um paradoxo, mas o método de Gauss causa as maiores dificuldades para os alunos. Nada surpreendente - é tudo sobre a metodologia, e tentarei contar de forma acessível sobre o algoritmo do método.
Primeiramente, sistematizamos um pouco o conhecimento sobre sistemas de equações lineares. Um sistema de equações lineares pode:
1) Tenha uma solução única.
2) Tenha infinitas soluções.
3) Não ter soluções (ser incompatível).
O método de Gauss é a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar uma solução algum sistemas de equações lineares. Como nos lembramos Regra de Cramer e método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. Um método de eliminação sucessiva de incógnitas de qualquer forma nos leve à resposta! Nesta lição, voltaremos a considerar o método de Gauss para o caso nº 1 (única solução do sistema), o artigo é reservado para as situações dos pontos nº 2-3. Observo que o próprio algoritmo do método funciona da mesma maneira nos três casos.
Vamos voltar ao sistema mais simples da lição Como resolver um sistema de equações lineares?
e resolva usando o método gaussiano.
O primeiro passo é escrever sistema de matriz estendida:
. Por qual princípio os coeficientes são registrados, acho que todos podem ver. A linha vertical dentro da matriz não tem nenhum significado matemático - é apenas um rascunho para facilitar o design.
Referência :Eu recomendo lembrar termosálgebra Linear. Matriz do sistemaé uma matriz composta apenas por coeficientes de incógnitas, neste exemplo, a matriz do sistema: . Matriz de sistema estendidaé a mesma matriz do sistema mais uma coluna de termos livres, neste caso: . Qualquer uma das matrizes pode ser chamada simplesmente de matriz por brevidade.
Após a escrita da matriz estendida do sistema, é necessário realizar algumas ações com ela, que também são chamadas de transformações elementares.
Existem as seguintes transformações elementares:
1) Cordas matrizes posso reorganizar lugares. Por exemplo, na matriz em consideração, você pode reorganizar com segurança a primeira e a segunda linhas: 
2) Se houver (ou aparecer) linhas proporcionais (como um caso especial - idênticas) na matriz, segue-se excluir da matriz, todas essas linhas, exceto uma. Considere, por exemplo, a matriz 
. Nesta matriz, as três últimas linhas são proporcionais, então basta deixar apenas uma delas: 
.
3) Se uma linha zero apareceu na matriz durante as transformações, também segue excluir. Não vou desenhar, claro, a linha zero é a linha em que apenas zeros.
4) A linha da matriz pode ser multiplicar (dividir) para qualquer número diferente de zero. Considere, por exemplo, a matriz . Aqui é aconselhável dividir a primeira linha por -3 e multiplicar a segunda linha por 2: 
. Esta ação é muito útil, pois simplifica outras transformações da matriz.
5) Essa transformação causa mais dificuldades, mas na verdade também não há nada complicado. Para a linha da matriz, você pode adicione outra string multiplicada por um número, diferente de zero. Considere nossa matriz a partir de um exemplo prático: . Primeiro, descreverei a transformação em detalhes. Multiplique a primeira linha por -2: 
, e à segunda linha adicionamos a primeira linha multiplicada por -2: 
. Agora a primeira linha pode ser dividida "de volta" por -2: . Como você pode ver, a linha que é ADDED LI – não mudou. É sempre a linha é alterada, A QUAL ADICIONOU UT.
Na prática, é claro, eles não pintam com tantos detalhes, mas escrevem de forma mais curta: 
Mais uma vez: para a segunda linha adicionado a primeira linha multiplicado por -2. A linha geralmente é multiplicada oralmente ou em um rascunho, enquanto o curso mental dos cálculos é mais ou menos assim:
“Eu reescrevo a matriz e reescrevo a primeira linha: 
»
Primeira coluna primeiro. Abaixo eu preciso obter zero. Portanto, multiplico a unidade acima por -2: e adiciono a primeira à segunda linha: 2 + (-2) = 0. Escrevo o resultado na segunda linha: 
»
“Agora a segunda coluna. Acima de -1 vezes -2: . Eu adiciono o primeiro à segunda linha: 1 + 2 = 3. Eu escrevo o resultado na segunda linha: 
»
“E a terceira coluna. Acima de -5 vezes -2: . Adiciono a primeira linha à segunda linha: -7 + 10 = 3. Escrevo o resultado na segunda linha: 
»
Por favor, pense cuidadosamente sobre este exemplo e entenda o algoritmo de cálculo sequencial, se você entender isso, então o método de Gauss está praticamente "no seu bolso". Mas, claro, ainda estamos trabalhando nessa transformação.
Transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações
! ATENÇÃO: manipulações consideradas não pode usar, se lhe for oferecida uma tarefa em que as matrizes são dadas "por si mesmas". Por exemplo, com "clássico" matrizes em nenhum caso você deve reorganizar algo dentro das matrizes!
Voltemos ao nosso sistema. Ela está praticamente quebrada em pedaços.
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e, usando transformações elementares, reduzi-la a visão escalonada:
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. E novamente: por que multiplicamos a primeira linha por -2? Para obter zero na parte inferior, o que significa livrar-se de uma variável na segunda linha.
(2) Divida a segunda linha por 3.
O propósito das transformações elementares –
converta a matriz para a forma de passo: 
. No desenho da tarefa, eles desenham diretamente a “escada” com um simples lápis, e também circulam os números que estão localizados nos “degraus”. O termo "visão escalonada" em si não é inteiramente teórico; na literatura científica e educacional, é freqüentemente chamado de visão trapezoidal ou visão triangular.
Como resultado de transformações elementares, obtivemos equivalente sistema original de equações:
Agora o sistema precisa ser "destorcido" em direção oposta de baixo para cima, esse processo é chamado método de Gauss reverso.
Na equação inferior, já temos o resultado final: .
Considere a primeira equação do sistema e substitua nela o valor já conhecido de “y”:
Vamos considerar a situação mais comum, quando o método gaussiano é necessário para resolver um sistema de três equações lineares com três incógnitas.
Exemplo 1
Resolva o sistema de equações usando o método de Gauss: 
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema: 
Agora vou desenhar imediatamente o resultado ao qual chegaremos no decorrer da solução: 
E repito, nosso objetivo é trazer a matriz para uma forma escalonada usando transformações elementares. Por onde começar a agir?
Primeiro, olhe para o número superior esquerdo: 
Deveria estar quase sempre aqui unidade. De um modo geral, -1 (e às vezes outros números) também serve, mas de alguma forma tradicionalmente acontece que uma unidade é geralmente colocada lá. Como organizar uma unidade? Olhamos para a primeira coluna - temos uma unidade pronta! Transformação um: troque a primeira e a terceira linhas: 
Agora a primeira linha permanecerá inalterada até o final da solução. Agora tudo bem.
A unidade no canto superior esquerdo é organizada. Agora você precisa obter zeros nestes lugares: 
Os zeros são obtidos apenas com a ajuda de uma transformação "difícil". Primeiro, lidamos com a segunda linha (2, -1, 3, 13). O que precisa ser feito para obter zero na primeira posição? Precisar à segunda linha, adicione a primeira linha multiplicada por -2. Mentalmente ou em rascunho, multiplicamos a primeira linha por -2: (-2, -4, 2, -18). E realizamos consistentemente (novamente mentalmente ou em rascunho) adição, à segunda linha adicionamos a primeira linha, já multiplicada por -2:
O resultado é escrito na segunda linha: 
Da mesma forma, lidamos com a terceira linha (3, 2, -5, -1). Para obter zero na primeira posição, você precisa à terceira linha, adicione a primeira linha multiplicada por -3. Mentalmente ou em rascunho, multiplicamos a primeira linha por -3: (-3, -6, 3, -27). E à terceira linha adicionamos a primeira linha multiplicada por -3:
O resultado está escrito na terceira linha:
Na prática, essas ações geralmente são realizadas verbalmente e escritas em uma única etapa: 
Não há necessidade de contar tudo de uma vez e ao mesmo tempo. A ordem dos cálculos e "inserção" dos resultados consistente e geralmente assim: primeiro reescrevemos a primeira linha e nos bufamos silenciosamente - CONSISTENTEMENTE e COM CUIDADO:
E já considerei o curso mental dos próprios cálculos acima.
Neste exemplo, isso é fácil de fazer, dividimos a segunda linha por -5 (já que todos os números ali são divisíveis por 5 sem deixar resto). Ao mesmo tempo, dividimos a terceira linha por -2, pois quanto menor o número, mais simples a solução:
No estágio final das transformações elementares, mais um zero deve ser obtido aqui: 
Por esta à terceira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -2:
Tente analisar você mesmo esta ação - multiplique mentalmente a segunda linha por -2 e faça a adição.
A última ação realizada é o penteado do resultado, divida a terceira linha por 3.
Como resultado de transformações elementares, foi obtido um sistema inicial equivalente de equações lineares: 
Legal.
Agora, o curso inverso do método gaussiano entra em ação. As equações "desenrolam" de baixo para cima.
Na terceira equação, já temos o resultado final:
Vejamos a segunda equação: . O significado de "z" já é conhecido, assim:
E por fim, a primeira equação: . "Y" e "Z" são conhecidos, o assunto é pequeno:
Responda: 
Como já foi repetidamente observado, para qualquer sistema de equações, é possível e necessário verificar a solução encontrada, felizmente, isso não é difícil e rápido.
Exemplo 2
Este é um exemplo de auto-resolução, uma amostra de acabamento e uma resposta no final da lição.
Deve-se notar que seu curso de ação pode não coincidir com o meu curso de ação, e esta é uma característica do método de Gauss. Mas as respostas devem ser as mesmas!
Exemplo 3
Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss 
Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma escalonada:
Nós olhamos para o "degrau" superior esquerdo. Lá deveríamos ter uma unidade. O problema é que não há ninguém na primeira coluna, então nada pode ser resolvido reorganizando as linhas. Nesses casos, a unidade deve ser organizada usando uma transformação elementar. Isso geralmente pode ser feito de várias maneiras. Eu fiz isso:
(1) À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por -1 e realizamos a soma da primeira e segunda linhas, enquanto a segunda linha não mudou.
Agora no canto superior esquerdo "menos um", o que nos convém perfeitamente. Quem quiser obter +1 pode realizar um gesto adicional: multiplique a primeira linha por -1 (mude seu sinal).
(2) A primeira linha multiplicada por 5 foi adicionada à segunda linha. A primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.
(3) A primeira linha foi multiplicada por -1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para a segunda posição, assim, na segunda “etapa, tínhamos a unidade desejada.
(4) A segunda linha multiplicada por 2 foi adicionada à terceira linha.
(5) A terceira linha foi dividida por 3.
Um mau sinal que indica um erro de cálculo (menos frequentemente um erro de digitação) é um resultado final “ruim”. Ou seja, se obtivermos algo como abaixo e, consequentemente, 
, então, com um alto grau de probabilidade, pode-se argumentar que um erro foi cometido durante as transformações elementares.
Cobramos o movimento reverso, no design de exemplos, o próprio sistema muitas vezes não é reescrito e as equações são “tiradas diretamente da matriz fornecida”. O movimento reverso, lembro a você, funciona de baixo para cima. Sim, aqui está um presente:
Responda: 
.
Exemplo 4
Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss 
Este é um exemplo de solução independente, é um pouco mais complicado. Tudo bem se alguém ficar confuso. Solução completa e amostra de design no final da lição. Sua solução pode ser diferente da minha.
Na última parte, consideramos algumas características do algoritmo de Gauss.
A primeira característica é que às vezes faltam algumas variáveis nas equações do sistema, por exemplo: 
Como escrever corretamente a matriz aumentada do sistema? Eu já falei sobre esse momento na aula. Regra de Cramer. método de matriz. Na matriz expandida do sistema, colocamos zeros no lugar das variáveis que faltam: 
A propósito, este é um exemplo bastante fácil, pois já existe um zero na primeira coluna e há menos transformações elementares a serem executadas.
A segunda característica é esta. Em todos os exemplos considerados, colocamos –1 ou +1 nos “degraus”. Pode haver outros números? Em alguns casos, eles podem. Considere o sistema: 
.
Aqui no "degrau" superior esquerdo, temos um deuce. Mas notamos o fato de que todos os números da primeira coluna são divisíveis por 2 sem resto - e outros dois e seis. E o deuce no canto superior esquerdo nos convém! Na primeira etapa, você precisa realizar as seguintes transformações: somar a primeira linha multiplicada por -1 à segunda linha; à terceira linha, adicione a primeira linha multiplicada por -3. Assim, obteremos os zeros desejados na primeira coluna.
Ou outro exemplo hipotético: 
. Aqui, o triplo no segundo “degrau” também nos convém, já que 12 (o lugar onde precisamos obter o zero) é divisível por 3 sem resto. É necessário realizar a seguinte transformação: à terceira linha, adicionar a segunda linha, multiplicada por -4, como resultado, obteremos o zero de que precisamos.
O método de Gauss é universal, mas há uma peculiaridade. Você pode aprender com confiança como resolver sistemas por outros métodos (método de Cramer, método de matriz) literalmente desde a primeira vez - existe um algoritmo muito rígido. Mas, para se sentir confiante no método de Gauss, você deve “encher a mão” e resolver pelo menos 5 a 10 sistemas. Portanto, a princípio pode haver confusão, erros de cálculo, e não há nada de incomum ou trágico nisso.
Tempo chuvoso de outono fora da janela ... Portanto, para todos, um exemplo mais complexo para uma solução independente:
Exemplo 5
Resolva um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas usando o método de Gauss. 
Tal tarefa na prática não é tão rara. Acho que mesmo um bule que estudou esta página em detalhes entende o algoritmo para resolver esse sistema intuitivamente. Basicamente o mesmo - apenas mais ação.
Os casos em que o sistema não possui soluções (inconsistentes) ou possui infinitas soluções são considerados na lição Sistemas incompatíveis e sistemas com solução geral. Lá você pode corrigir o algoritmo considerado do método de Gauss.
Desejo-lhe sucesso!
Soluções e respostas:
Exemplo 2: Solução
:
Vamos escrever a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazê-la para uma forma escalonada.
Transformações elementares realizadas:
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1. Atenção! Aqui pode ser tentador subtrair a primeira da terceira linha, eu não recomendo subtrair - o risco de erro aumenta muito. Nós apenas dobramos!
(2) O sinal da segunda linha foi alterado (multiplicado por -1). A segunda e terceira linhas foram trocadas. Nota que nas “etapas” ficamos satisfeitos não só com um, mas também com -1, o que é ainda mais conveniente.
(3) À terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por 5.
(4) O sinal da segunda linha foi alterado (multiplicado por -1). A terceira linha foi dividida por 14.
Movimento reverso:
Responda: 
.
Exemplo 4: Solução
:
Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma escalonada:
Conversões realizadas:
(1) A segunda linha foi adicionada à primeira linha. Assim, a unidade desejada é organizada no “degrau” superior esquerdo.
(2) A primeira linha multiplicada por 7 foi adicionada à segunda linha.A primeira linha multiplicada por 6 foi adicionada à terceira linha.
Com o segundo "passo" tudo é pior , os "candidatos" são os números 17 e 23, e precisamos de um ou -1. As transformações (3) e (4) visarão obter a unidade desejada
(3) A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1.
(4) A terceira linha, multiplicada por -3, foi adicionada à segunda linha.
(3) A segunda linha multiplicada por 4 foi adicionada à terceira linha, a segunda linha multiplicada por -1 foi adicionada à quarta linha.
(4) O sinal da segunda linha foi alterado. A quarta linha foi dividida por 3 e colocada no lugar da terceira linha.
(5) A terceira linha foi adicionada à quarta linha, multiplicada por -5.
Movimento reverso:
Desde o início dos séculos XVI-XVIII, os matemáticos começaram a estudar intensivamente as funções, graças às quais tanta coisa mudou em nossas vidas. A tecnologia de computador sem esse conhecimento simplesmente não existiria. Para resolver problemas complexos, equações lineares e funções, vários conceitos, teoremas e técnicas de solução foram criados. Um desses métodos e técnicas universais e racionais para resolver equações lineares e seus sistemas foi o método de Gauss. Matrizes, sua classificação, determinante - tudo pode ser calculado sem o uso de operações complexas.
Em matemática, existe o conceito de SLAE - um sistema de equações algébricas. O que ela representa? Este é um conjunto de m equações com as n incógnitas necessárias, geralmente denotadas como x, y, z ou x 1 , x 2 ... x n ou outros símbolos. Resolver este sistema pelo método gaussiano significa encontrar todas as incógnitas desconhecidas. Se um sistema tem o mesmo número de incógnitas e equações, ele é chamado de sistema de ordem n.
Nas instituições de ensino de ensino médio, vários métodos de resolução de tais sistemas estão sendo estudados. Na maioria das vezes, essas são equações simples que consistem em duas incógnitas; portanto, qualquer método existente para encontrar a resposta para elas não levará muito tempo. Pode ser como um método de substituição, quando outra equação é derivada de uma equação e substituída na original. Ou subtração e adição termo a termo. Mas o método de Gauss é considerado o mais fácil e universal. Permite resolver equações com qualquer número de incógnitas. Por que essa técnica é considerada racional? Tudo é simples. método de matriz o bom é que aqui não é necessário reescrever caracteres desnecessários várias vezes na forma de incógnitas, basta fazer operações aritméticas nos coeficientes - e você obterá um resultado confiável.
A solução do SLAE são os pontos de interseção das retas nos gráficos das funções. Em nossa era de alta tecnologia, as pessoas que estão intimamente envolvidas no desenvolvimento de jogos e outros programas precisam saber como resolver esses sistemas, o que eles representam e como verificar a exatidão do resultado resultante. Na maioria das vezes, os programadores desenvolvem calculadoras de álgebra linear especiais, incluindo um sistema de equações lineares. O método de Gauss permite calcular todas as soluções existentes. Outras fórmulas e técnicas simplificadas também são usadas.
Tal sistema só pode ser resolvido se for compatível. Para maior clareza, apresentamos o SLAE na forma Ax=b. Tem uma solução se rang(A) é igual a rang(A,b). Nesse caso, (A,b) é uma matriz de forma estendida que pode ser obtida da matriz A reescrevendo-a com termos livres. Acontece que resolver equações lineares usando o método gaussiano é bastante fácil.
Talvez alguma notação não esteja totalmente clara, então é necessário considerar tudo com um exemplo. Digamos que existe um sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Consiste em apenas duas equações nas quais existem 2 incógnitas. O sistema terá solução somente se o posto de sua matriz for igual ao posto da matriz aumentada. O que é uma classificação? Este é o número de linhas independentes do sistema. Em nosso caso, a classificação da matriz é 2. A matriz A consistirá nos coeficientes localizados próximos às incógnitas, e os coeficientes atrás do sinal “=” também caberão na matriz expandida.
Com base no critério de compatibilidade de acordo com o comprovado teorema de Kronecker-Capelli, o sistema de equações algébricas lineares pode ser representado na forma de matriz. Usando o método da cascata gaussiana, você pode resolver a matriz e obter a única resposta confiável para todo o sistema. Se a classificação de uma matriz comum for igual à classificação de sua matriz estendida, mas menor que o número de incógnitas, o sistema terá um número infinito de respostas.
Antes de passar para a resolução de matrizes, é necessário saber quais ações podem ser realizadas em seus elementos. Existem várias transformações elementares:
A essência de resolver sistemas lineares homogêneos e equações não homogêneas O método gaussiano é eliminar gradualmente as incógnitas. Digamos que temos um sistema de duas equações em que existem duas incógnitas. Para encontrá-los, você precisa verificar a compatibilidade do sistema. A equação Gaussiana é resolvida de forma muito simples. É necessário escrever os coeficientes localizados perto de cada incógnita em uma forma de matriz. Para resolver o sistema, você precisa escrever a matriz aumentada. Se uma das equações contiver um número menor de incógnitas, então "0" deve ser colocado no lugar do elemento que falta. Todos os métodos de transformação conhecidos são aplicados à matriz: multiplicação, divisão por um número, adição dos elementos correspondentes das linhas entre si e outros. Acontece que em cada linha é necessário deixar uma variável com o valor "1", o restante deve ser reduzido a zero. Para um entendimento mais preciso, é necessário considerar o método de Gauss com exemplos.
Para começar, vamos pegar um sistema simples de equações algébricas, no qual haverá 2 incógnitas.
Vamos reescrever em uma matriz aumentada.
Para resolver este sistema de equações lineares, apenas duas operações são necessárias. Precisamos trazer a matriz para a forma canônica para que haja unidades ao longo da diagonal principal. Assim, traduzindo da forma matricial de volta para o sistema, obtemos as equações: 1x+0y=b1 e 0x+1y=b2, onde b1 e b2 são as respostas obtidas no processo de resolução.
Como você pode ver, nosso sistema é resolvido pelo método de Jordan-Gauss. Nós o reescrevemos na forma exigida: x=-5, y=7.
Suponha que temos um sistema mais complexo de equações lineares. O método de Gauss torna possível calcular a resposta mesmo para o sistema aparentemente mais confuso. Portanto, para nos aprofundarmos na metodologia de cálculo, podemos passar para um exemplo mais complexo com três incógnitas.
Como no exemplo anterior, reescrevemos o sistema na forma de uma matriz expandida e começamos a trazê-lo para a forma canônica.
Para resolver este sistema, você precisará realizar muito mais ações do que no exemplo anterior.
Como você pode ver, a solução de equações pelo método de Gauss é bastante simples.
Alguns sistemas de equações mais complexos podem ser resolvidos pelo método Gaussiano usando programas de computador. É necessário inserir coeficientes para incógnitas nas células vazias existentes, e o programa calculará o resultado necessário passo a passo, descrevendo cada ação em detalhes.
Descrito abaixo instrução passo a passo soluções para este exemplo.
Na primeira etapa, coeficientes livres e números para incógnitas são inseridos em células vazias. Assim, obtemos a mesma matriz aumentada que escrevemos à mão.
E todas as operações aritméticas necessárias são realizadas para trazer a matriz estendida para a forma canônica. Deve ser entendido que a resposta para um sistema de equações nem sempre é números inteiros. Às vezes, a solução pode ser de números fracionários.
O método Jordan-Gauss permite verificar a exatidão do resultado. Para saber se os coeficientes foram calculados corretamente, basta substituir o resultado no sistema de equações original. Lado esquerdo da equação deve coincidir com o lado direito, que está atrás do sinal de igual. Se as respostas não corresponderem, você precisará recalcular o sistema ou tentar aplicar outro método de resolução de SLAE conhecido por você, como substituição ou subtração e adição termo a termo. Afinal, a matemática é uma ciência que possui um grande número de métodos diferentes de resolução. Mas lembre-se: o resultado deve ser sempre o mesmo, independentemente do método de solução usado.
Durante a solução de sistemas lineares de equações, ocorrem erros com mais frequência, como transferência incorreta de coeficientes para uma forma de matriz. Existem sistemas em que algumas incógnitas estão faltando em uma das equações, então, transferindo os dados para a matriz expandida, elas podem ser perdidas. Como resultado, ao resolver este sistema, o resultado pode não corresponder ao real.
Outro dos principais erros pode ser escrever incorretamente o resultado final. Deve ser claramente entendido que o primeiro coeficiente corresponderá ao primeiro desconhecido do sistema, o segundo - ao segundo e assim por diante.
O método de Gauss descreve em detalhes a solução de equações lineares. Graças a ele, é fácil realizar as operações necessárias e encontrar o resultado certo. Além disso, esta é uma ferramenta universal para encontrar uma resposta confiável para equações de qualquer complexidade. Talvez seja por isso que é tão usado na resolução de SLAE.
o calculadora online encontra uma solução para o sistema de equações lineares (SLE) pelo método de Gauss. dado solução detalhada. Para calcular, escolha o número de variáveis e o número de equações. Em seguida, insira os dados nas células e clique no botão "Calcular".
|
Representação numérica:
Inteiros e (ou) Frações comunsNúmero de dígitos após o separador decimal
×
Limpar todas as células?
Fechar Limpar
Instrução de entrada de dados. Os números são inseridos como números inteiros (exemplos: 487, 5, -7623, etc.), números decimais (por exemplo, 67., 102,54, etc.) ou frações. A fração deve ser digitada na forma a/b, onde a e b (b>0) são inteiros ou números decimais. Exemplos 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, etc.
O método de Gauss é um método de transição do sistema original de equações lineares (usando transformações equivalentes) para um sistema mais fácil de resolver do que o sistema original.
As transformações equivalentes do sistema de equações lineares são:
Considere um sistema de equações lineares:
| (1) |
Escrevemos o sistema (1) na forma matricial:
| ax=b | (2) |
  | (3) |
UMAé chamada de matriz de coeficientes do sistema, b − parte direita restrições x− vetor de variáveis a serem encontradas. Let rank( UMA)=p.
Transformações equivalentes não alteram o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz aumentada do sistema. O conjunto de soluções do sistema também não muda sob transformações equivalentes. A essência do método de Gauss é trazer a matriz de coeficientes UMA para diagonal ou escalonado.
Vamos construir a matriz estendida do sistema:
Na próxima etapa, redefinimos todos os elementos da coluna 2, abaixo do elemento. Se o elemento fornecido for nulo, essa linha será trocada pela linha situada abaixo da linha fornecida e com um elemento diferente de zero na segunda coluna. Em seguida, zeramos todos os elementos da coluna 2 abaixo do elemento principal uma 22. Para fazer isso, adicione linhas 3, ... m com a linha 2 multiplicada por − uma 32 /uma 22 , ..., −uma m2 / uma 22, respectivamente. Continuando o procedimento, obtemos uma matriz de forma diagonal ou escalonada. Deixe a matriz aumentada resultante se parecer com:
| (7) |
 |
Porque classificaçãoA=classificação(A|b), então o conjunto de soluções (7) é ( n-p) é uma variedade. Consequentemente n-p incógnitas podem ser escolhidas arbitrariamente. As incógnitas restantes do sistema (7) são calculadas como segue. Da última equação expressamos x p pelo resto das variáveis e inserir nas expressões anteriores. Em seguida, da penúltima equação, expressamos x p−1 pelo resto das variáveis e inserir nas expressões anteriores, etc. Considere o método de Gauss em exemplos específicos.
Exemplo 1. Encontre a solução geral de um sistema de equações lineares usando o método de Gauss:
denotar por uma elementos ij eu-ésima linha e j-ésima coluna.
uma onze . Para fazer isso, adicione as linhas 2,3 com a linha 1, multiplicada por -2/3, -1/2, respectivamente:
Tipo de registro da matriz: ax=b, Onde
denotar por uma elementos ij eu-ésima linha e j-ésima coluna.
Excluir os elementos da 1ª coluna da matriz abaixo do elemento uma onze . Para fazer isso, adicione as linhas 2,3 com a linha 1, multiplicada por -1/5, -6/5, respectivamente:
Dividimos cada linha da matriz pelo elemento líder correspondente (se o elemento líder existir):
Onde x 3 , x
Substituindo as expressões superiores nas inferiores, obtemos a solução.
Então a solução vetorial pode ser representada da seguinte forma:
 |
Onde x 3 , x 4 são números reais arbitrários.
