O produto de uma matriz e sua inversa é igual a. matemática superior

Encontre a definição de cada matriz 2x2. Cada elemento de qualquer matriz, incluindo a transposta, está associado a uma matriz 2x2 correspondente. Para encontrar uma matriz 2x2 que corresponda a um determinado elemento, risque a linha e a coluna em que esse elemento está localizado, ou seja, você precisa riscar cinco elementos da matriz 3x3 original. Quatro elementos que são elementos da matriz 2x2 correspondente permanecerão não riscados.

• Por exemplo, para encontrar a matriz 2x2 para o elemento localizado na interseção da segunda linha e da primeira coluna, risque os cinco elementos que estão na segunda linha e na primeira coluna. Os quatro elementos restantes são elementos da matriz 2x2 correspondente.
• Encontre o determinante de cada matriz 2x2. Para fazer isso, subtraia o produto dos elementos da diagonal secundária do produto dos elementos da diagonal principal (veja a figura).
• Informações detalhadas sobre matrizes 2x2 correspondentes a certos elementos de uma matriz 3x3 podem ser encontradas na Internet.

Crie uma matriz de cofatores. Registre os resultados obtidos anteriormente na forma de uma nova matriz de cofatores. Para fazer isso, escreva o determinante encontrado de cada matriz 2x2 onde o elemento correspondente da matriz 3x3 estava localizado. Por exemplo, se for considerada uma matriz 2x2 para o elemento (1,1), escreva seu determinante na posição (1,1). Em seguida, altere os sinais dos elementos correspondentes de acordo com um determinado padrão, mostrado na figura.

• Esquema de mudança de sinal: o sinal do primeiro elemento da primeira linha não muda; o sinal do segundo elemento da primeira linha é invertido; o sinal do terceiro elemento da primeira linha não muda, e assim linha por linha. Observe que os sinais "+" e "-", que são mostrados no diagrama (veja a figura), não indicam que o elemento correspondente será positivo ou negativo. NO este caso o sinal "+" indica que o sinal do elemento não muda, e o sinal "-" indica que o sinal do elemento mudou.
• Informações detalhadas sobre matrizes de cofatores podem ser encontradas na Internet.
• É assim que você encontra a matriz associada da matriz original. Às vezes é chamada de matriz conjugada complexa. Tal matriz é denotada como adj(M).

Divida cada elemento da matriz adjunta pelo determinante. O determinante da matriz M foi calculado logo no início para verificar se a matriz inversa existe. Agora divida cada elemento da matriz adjunta por este determinante. Registre o resultado de cada operação de divisão onde o elemento correspondente está localizado. Então você encontrará a matriz, o inverso do original.

• O determinante da matriz mostrada na figura é 1. Assim, aqui a matriz associada é a matriz inversa (porque dividir qualquer número por 1 não o altera).
• Em algumas fontes, a operação de divisão é substituída pela operação de multiplicação por 1/det(M). Nesse caso, o resultado final não muda.

Escreva a matriz inversa. Escreva os elementos localizados na metade direita da matriz grande como uma matriz separada, que é uma matriz inversa.

Insira a matriz original na memória da calculadora. Para fazer isso, clique no botão Matrix, se disponível. Para uma calculadora da Texas Instruments, pode ser necessário pressionar os botões 2º e Matrix.

Selecione o menu Editar. Faça isso usando os botões de seta ou o botão de função correspondente localizado na parte superior do teclado da calculadora (a localização do botão depende do modelo da calculadora).

Insira a designação da matriz. A maioria das calculadoras gráficas pode trabalhar com 3-10 matrizes, que podem ser denotadas letras A-J. Como regra geral, basta selecionar [A] para denotar a matriz original. Em seguida, pressione o botão Entrar.

Insira o tamanho da matriz. Este artigo fala sobre matrizes 3x3. Mas calculadoras gráficas podem trabalhar com matrizes tamanhos grandes. Insira o número de linhas, pressione o botão Enter, insira o número de colunas e pressione o botão Enter novamente.

Insira cada elemento da matriz. Uma matriz será exibida na tela da calculadora. Se uma matriz já foi inserida na calculadora antes, ela aparecerá na tela. O cursor destacará o primeiro elemento da matriz. Insira o valor do primeiro elemento e pressione Enter. O cursor se moverá automaticamente para o próximo elemento da matriz.

matriz inversa para o dado, esta é uma matriz, multiplicação do original pelo qual dá a matriz identidade: Uma condição obrigatória e suficiente para a presença de uma matriz inversa é a desigualdade do determinante do original (que em por sua vez implica que a matriz deve ser quadrada). Se o determinante de uma matriz for igual a zero, então ela é chamada de degenerada e tal matriz não possui inversa. Na matemática avançada, as matrizes inversas têm importância e são usados ​​para resolver uma série de problemas. Por exemplo, em encontrando a matriz inversa construído método matricial soluções de sistemas de equações. Nosso site de serviço permite calcular matriz inversa online dois métodos: o método de Gauss-Jordan e usando a matriz de adições algébricas. A primeira implica um grande número de transformações elementares dentro da matriz, a segunda - o cálculo das adições determinantes e algébricas a todos os elementos. Para calcular o determinante de uma matriz online, você pode usar nosso outro serviço - Calcular o determinante de uma matriz online

Encontre a matriz inversa no site

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Definição 1: Uma matriz é dita degenerada se seu determinante é zero.

Definição 2: Uma matriz é dita não singular se seu determinante não for igual a zero.

A matriz "A" é chamada matriz inversa, se a condição A*A-1 = A-1 *A = E ( matriz de identidade).

Uma matriz quadrada é invertível apenas se for não singular.

Esquema para calcular a matriz inversa:

1) Calcule o determinante da matriz "A" se ∆ A = 0, então a matriz inversa não existe.

2) Encontre tudo adições algébricas matriz "A".

3) Compor uma matriz de adições algébricas (Aij )

4) Transponha a matriz de complementos algébricos (Aij )T

5) Multiplique a matriz transposta pelo recíproco do determinante desta matriz.

6) Execute uma verificação:

À primeira vista pode parecer difícil, mas na verdade tudo é muito simples. Todas as soluções são baseadas em operações aritméticas simples, o principal na hora de resolver é não se confundir com os sinais "-" e "+", e não perdê-los.

E agora vamos resolver uma tarefa prática junto com você calculando a matriz inversa.

Tarefa: encontre a matriz inversa "A", mostrada na figura abaixo:

1. A primeira coisa a fazer é encontrar o determinante da matriz "A":

Explicação:

Simplificamos nosso determinante usando suas funções principais. Primeiro, adicionamos à 2ª e 3ª linha os elementos da primeira linha, multiplicados por um número.

Em segundo lugar, alteramos a 2ª e 3ª colunas do determinante e, de acordo com suas propriedades, alteramos o sinal na frente dele.

Em terceiro lugar, retiramos o fator comum (-1) da segunda linha, mudando assim o sinal novamente, e ele se tornou positivo. Também simplificamos a linha 3 da mesma forma que no início do exemplo.

Temos um determinante triangular, em que os elementos abaixo da diagonal são iguais a zero, e pela propriedade 7 é igual ao produto dos elementos da diagonal. Como resultado, obtivemos ∆ A = 26, portanto, a matriz inversa existe.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. O próximo passo é compilar uma matriz das adições resultantes:

5. Multiplicamos esta matriz pelo recíproco do determinante, ou seja, por 1/26:

6. Bem, agora só falta verificar:

Durante a verificação, recebemos uma matriz de identidade, portanto, a decisão foi tomada de forma absolutamente correta.

2 maneiras de calcular a matriz inversa.

1. Transformação elementar de matrizes

2. Matriz inversa através de um conversor elementar.

A transformação de matriz elementar inclui:

1. Multiplicando uma string por um número diferente de zero.

2. Somando a qualquer linha de outra linha, multiplicado por um número.

3. Trocando as linhas da matriz.

4. Aplicando uma cadeia de transformações elementares, obtemos outra matriz.

MAS -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. Um -1*A=E

Considere isso exemplo prático com números reais.

Exercício: Encontre a matriz inversa.

Solução:

Vamos checar:

Um pequeno esclarecimento sobre a solução:

Primeiro trocamos as linhas 1 e 2 da matriz, depois multiplicamos a primeira linha por (-1).

Depois disso, a primeira linha foi multiplicada por (-2) e somada à segunda linha da matriz. Em seguida, multiplicamos a 2ª linha por 1/4.

O estágio final da transformação foi a multiplicação da segunda linha por 2 e a adição da primeira. Como resultado, temos uma matriz identidade à esquerda, portanto, a matriz inversa é a matriz à direita.

Após a verificação, ficamos convencidos do acerto da decisão.

Como você pode ver, calcular a matriz inversa é muito simples.

Ao concluir esta palestra, também gostaria de dedicar algum tempo às propriedades de tal matriz.

matriz inversa

matriz inversa Chama-se uma matriz que, quando multiplicada tanto à direita quanto à esquerda por uma dada matriz, dá a matriz identidade.
Denote a matriz inversa à matriz MAS através de , então, de acordo com a definição, obtemos:

Onde Eé a matriz identidade.
matriz quadrada chamado não especial (não degenerado) se seu determinante não for igual a zero. Caso contrário, é chamado especial (degenerar) ou singular.

Existe um teorema: toda matriz não singular tem uma matriz inversa.

A operação de encontrar a matriz inversa é chamada apelo matrizes. Considere o algoritmo de inversão de matrizes. Seja dada uma matriz não singular n-ésima ordem:

onde Δ = det UMA ≠ 0.

Complemento de elemento algébrico matrizes n-ésima ordem MAS o determinante da matriz ( n–1)-ésima ordem obtida pela exclusão eu-ésima linha e j-ésima coluna da matriz MAS:

Vamos criar um chamado em anexo matriz:

onde estão os complementos algébricos dos elementos correspondentes da matriz MAS.
Observe que os complementos algébricos dos elementos linha da matriz MAS são colocados nas colunas correspondentes da matriz à , ou seja, a matriz é transposta simultaneamente.
Dividindo todos os elementos da matriz à em Δ - o valor do determinante da matriz MAS, obtemos a matriz inversa como resultado:

Notamos uma série de propriedades especiais da matriz inversa:
1) para uma dada matriz MAS sua matriz inversa é o único;
2) se existe uma matriz inversa , então reverso à direita e reverso esquerdo as matrizes coincidem com ele;
3) uma matriz quadrada especial (degenerada) não possui uma matriz inversa.

As principais propriedades da matriz inversa:
1) o determinante da matriz inversa e o determinante da matriz original são recíprocos;
2) matriz de produto inverso matrizes quadradasé igual ao produto das matrizes inversas dos fatores, tomadas na ordem inversa:

3) a matriz inversa transposta é igual à matriz inversa da matriz transposta dada:

EXEMPLO Calcule a matriz inversa da dada.

Semelhante aos inversos em muitas propriedades.

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Legendas

Propriedades da Matriz Inversa

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Onde det (\displaystyle\\det) denota um determinante.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) para duas matrizes quadradas invertíveis A (\displaystyle A) e B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Onde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) denota a matriz transposta.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) para qualquer coeficiente k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Se for necessário resolver um sistema de equações lineares , (b é um vetor diferente de zero) onde x (\displaystyle x)é o vetor desejado, e se A − 1 (\displaystyle A^(-1)) existe, então x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Caso contrário, ou a dimensão do espaço de solução é maior que zero ou não há nenhuma.

Formas de encontrar a matriz inversa

Se a matriz for invertível, para encontrar o inverso da matriz, você pode usar um dos seguintes métodos:

Métodos exatos (diretos)

Método Gauss-Jordan

Vamos pegar duas matrizes: ela mesma UMA e solteiro E. Vamos trazer a matriz UMAà matriz identidade pelo método Gauss-Jordan aplicando transformações em linhas (você também pode aplicar transformações em colunas, mas não em uma mistura). Depois de aplicar cada operação à primeira matriz, aplique a mesma operação à segunda. Terminada a redução da primeira matriz à forma identidade, a segunda matriz será igual a A-1.

Ao usar o método de Gauss, a primeira matriz será multiplicada da esquerda por uma das matrizes elementares Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvecção ou diagonal matriz com uns na diagonal principal, exceto para uma posição):

A segunda matriz depois de aplicar todas as operações será igual a Λ (\displaystyle\Lambda), ou seja, será o desejado. A complexidade do algoritmo - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Usando a matriz de adições algébricas

Matriz Matriz Inversa A (\displaystyle A), represente na forma

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Onde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matriz anexada;

A complexidade do algoritmo depende da complexidade do algoritmo para calcular o determinante O det e é igual a O(n²) O det .

Usando a decomposição LU/LUP

equação matricial A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) para matriz inversa X (\displaystyle X) pode ser visto como uma coleção n (\displaystyle n) sistemas da forma A x = b (\displaystyle Ax=b). denotar i (\displaystyle i)-ésima coluna da matriz X (\displaystyle X) Através dos X i (\displaystyle X_(i)); então A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),porque o i (\displaystyle i)-ésima coluna da matriz I n (\displaystyle I_(n))é o vetor unitário e i (\displaystyle e_(i)). em outras palavras, encontrar a matriz inversa se reduz a resolver n equações com a mesma matriz e lados direitos diferentes. Depois de executar a expansão LUP (tempo O(n³)), cada uma das n equações leva tempo O(n²) para ser resolvida, portanto, essa parte do trabalho também leva tempo O(n³).

Se a matriz A for não singular, podemos calcular a decomposição LUP para ela P A = LU (\displaystyle PA=LU). Deixar P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Então, a partir das propriedades da matriz inversa, podemos escrever: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Se multiplicarmos essa igualdade por U e L, podemos obter duas igualdades da forma U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) e D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). A primeira dessas igualdades é um sistema de n² equações lineares por n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) dos quais os lados direitos são conhecidos (a partir das propriedades das matrizes triangulares). O segundo também é um sistema de equações lineares n² para n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) dos quais os lados direitos são conhecidos (também pelas propriedades das matrizes triangulares). Juntos, eles formam um sistema de n² igualdades. Usando essas igualdades, podemos determinar recursivamente todos os n² elementos da matriz D. Então, da igualdade (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. obtemos a igualdade A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

No caso de usar a decomposição LU, nenhuma permutação das colunas da matriz D é necessária, mas a solução pode divergir mesmo que a matriz A seja não singular.

A complexidade do algoritmo é O(n³).

Métodos Iterativos

Métodos Schultz

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Estimativa de erro

Escolha da Aproximação Inicial

O problema de escolha da aproximação inicial nos processos de inversão iterativa de matrizes aqui considerados não nos permite tratá-los como métodos universais independentes que competem com métodos de inversão direta baseados, por exemplo, na decomposição LU de matrizes. Existem algumas recomendações para a escolha U 0 (\displaystyle U_(0)), garantindo o cumprimento da condição ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (o raio espectral da matriz é menor que a unidade), o que é necessário e suficiente para a convergência do processo. Porém, neste caso, primeiro, é necessário saber de cima a estimativa para o espectro da matriz invertível A ou a matriz A A T (\displaystyle AA^(T))(ou seja, se A é uma matriz definida positiva simétrica e ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), então você pode pegar U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Onde ; se A é uma matriz não singular arbitrária e ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), então suponha U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), onde também α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Claro, a situação pode ser simplificada e, usando o fato de que ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), colocar U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Em segundo lugar, com tal especificação da matriz inicial, não há garantia de que ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) será pequeno (talvez até ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), e uma alta ordem de taxa de convergência não será imediatamente aparente.

Exemplos

Matriz 2x2

A inversão de uma matriz 2x2 só é possível sob a condição de que a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).