Onde x* - uma das soluções do sistema não homogêneo (2) (por exemplo (4)), (E−A + A) forma o kernel (espaço zero) da matriz UMA.
Vamos fazer uma decomposição esquelética da matriz (E−A + A):
E−A + A=QS
Onde Q n×n−r- matriz de classificação (Q)=n−r, S n−r×n-matriz de classificação (S)=n−r.
Então (13) pode ser escrito na seguinte forma:
x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.
Onde k=Sz.
Então, procedimento geral de solução sistemas equações lineares usando uma matriz pseudo-inversa pode ser representada da seguinte forma:
x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.
A calculadora online permite encontrar a solução geral de um sistema de equações lineares com explicações detalhadas.
Sistemas de equações são amplamente utilizados na indústria econômica na modelagem matemática de vários processos. Por exemplo, ao resolver problemas de gestão e planejamento da produção, rotas logísticas (problema de transporte) ou colocação de equipamentos.
Os sistemas de equações são usados não apenas no campo da matemática, mas também na física, química e biologia, ao resolver problemas de encontrar o tamanho da população.
Um sistema de equações lineares é um termo para duas ou mais equações com várias variáveis para as quais é necessário encontrar uma solução comum. Tal sequência de números para os quais todas as equações se tornam verdadeiras igualdades ou provam que a sequência não existe.
Equações da forma ax+by=c são chamadas lineares. As designações x, y são as incógnitas, cujo valor deve ser encontrado, b, a são os coeficientes das variáveis, c é o termo livre da equação.
Resolver a equação traçando seu gráfico parecerá uma linha reta, todos os pontos dos quais são a solução do polinômio.
Os mais simples são exemplos de sistemas de equações lineares com duas variáveis X e Y.
F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, onde F1,2 são funções e (x, y) são variáveis de função.
Resolver um sistema de equações - significa encontrar tais valores (x, y) para os quais o sistema se torna uma verdadeira igualdade, ou estabelecer que não existem valores adequados de x e y.
Um par de valores (x, y), escrito como coordenadas de ponto, é chamado de solução para um sistema de equações lineares.
Se os sistemas têm uma solução comum ou não há solução, eles são chamados de equivalentes.
Sistemas homogêneos de equações lineares são sistemas cujo lado direito é igual a zero. Se a parte direita após o sinal de "igual" tiver um valor ou for expressa por uma função, esse sistema não é homogêneo.
O número de variáveis pode ser muito mais do que dois, então devemos falar sobre um exemplo de um sistema de equações lineares com três variáveis ou mais.
Diante dos sistemas, os escolares assumem que o número de equações deve necessariamente coincidir com o número de incógnitas, mas não é assim. O número de equações no sistema não depende das variáveis, pode haver um número arbitrariamente grande delas.
Não existe uma maneira analítica geral de resolver tais sistemas, todos os métodos são baseados em soluções numéricas. NO curso escolar matemática, métodos como permutação, adição algébrica, substituição, bem como gráficos e método matricial, solução pelo método de Gauss.
A principal tarefa no ensino de métodos de resolução é ensinar como analisar corretamente o sistema e encontrar o algoritmo de solução ideal para cada exemplo. O principal não é memorizar um sistema de regras e ações para cada método, mas entender os princípios de aplicação de um método específico.
Resolução de exemplos de sistemas de equações lineares da 7ª aula do programa Ensino Médio bastante simples e explicado em grande detalhe. Em qualquer livro de matemática, esta seção recebe atenção suficiente. A solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss e Cramer é estudada com mais detalhes nos primeiros cursos das instituições de ensino superior.
As ações do método de substituição visam expressar o valor de uma variável por meio da segunda. A expressão é substituída na equação restante e, em seguida, é reduzida a uma única forma de variável. A ação é repetida dependendo do número de incógnitas no sistema
Vamos dar um exemplo de um sistema de equações lineares da 7ª classe pelo método de substituição:
Como pode ser visto no exemplo, a variável x foi expressa através de F(X) = 7 + Y. A expressão resultante, substituída na 2ª equação do sistema no lugar de X, ajudou a obter uma variável Y na 2ª equação . Solução este exemplo não causa dificuldades e permite obter o valor Y. O último passo é verificar os valores recebidos.
Nem sempre é possível resolver um exemplo de sistema de equações lineares por substituição. As equações podem ser complexas e a expressão da variável em termos da segunda incógnita será muito complicada para cálculos posteriores. Quando há mais de 3 incógnitas no sistema, a solução de substituição também é impraticável.
Solução de um exemplo de um sistema de equações lineares não homogêneas:
Ao procurar uma solução para sistemas pelo método de adição, são realizadas a adição termo a termo e a multiplicação de equações por vários números. O objetivo final das operações matemáticas é uma equação com uma variável.
Para aplicativos este métodoé preciso prática e observação. Não é fácil resolver um sistema de equações lineares usando o método de adição com o número de variáveis 3 ou mais. A adição algébrica é útil quando as equações contêm frações e números decimais.
Algoritmo de ação da solução:
Uma nova variável pode ser introduzida se o sistema precisar encontrar uma solução para não mais que duas equações, o número de incógnitas também não deve ser maior que duas.
O método é usado para simplificar uma das equações introduzindo uma nova variável. A nova equação é resolvida em relação à incógnita inserida e o valor resultante é usado para determinar a variável original.
Pode-se ver pelo exemplo que ao introduzir uma nova variável t, foi possível reduzir a 1ª equação do sistema a um trinômio quadrado padrão. Você pode resolver um polinômio encontrando o discriminante.
É necessário encontrar o valor do discriminante usando a conhecida fórmula: D = b2 - 4*a*c, onde D é o discriminante desejado, b, a, c são os multiplicadores do polinômio. No exemplo dado, a=1, b=16, c=39, portanto D=100. Se o discriminante for maior que zero, então existem duas soluções: t = -b±√D / 2*a, se o discriminante for menor que zero, então há apenas uma solução: x= -b / 2*a.
A solução para os sistemas resultantes é encontrada pelo método de adição.
Adequado para sistemas com 3 equações. O método consiste em traçar gráficos de cada equação incluída no sistema no eixo de coordenadas. As coordenadas dos pontos de intersecção das curvas e serão solução comum sistemas.
O método gráfico tem várias nuances. Considere vários exemplos de resolução de sistemas de equações lineares de forma visual.
Como pode ser visto no exemplo, foram construídos dois pontos para cada linha, os valores da variável x foram escolhidos arbitrariamente: 0 e 3. Com base nos valores de x, foram encontrados os valores para y: 3 e 0. Pontos com coordenadas (0, 3) e (3, 0) foram marcados no gráfico e conectados por uma linha.
Os passos devem ser repetidos para a segunda equação. O ponto de intersecção das linhas é a solução do sistema.
No exemplo a seguir, é necessário encontrar uma solução gráfica para o sistema de equações lineares: 0,5x-y+2=0 e 0,5x-y-1=0.
Como pode ser visto no exemplo, o sistema não tem solução, porque os gráficos são paralelos e não se cruzam ao longo de todo o seu comprimento.
Os sistemas dos Exemplos 2 e 3 são semelhantes, mas quando construídos, torna-se óbvio que suas soluções são diferentes. Deve-se lembrar que nem sempre é possível dizer se o sistema tem solução ou não, é sempre necessário construir um grafo.
As matrizes são usadas para escrever brevemente um sistema de equações lineares. Uma matriz é um tipo especial de tabela preenchida com números. n*m tem n - linhas e m - colunas.
Uma matriz é quadrada quando o número de colunas e linhas é igual. Um vetor-matriz é uma matriz de coluna única com um número infinitamente possível de linhas. Uma matriz com unidades ao longo de uma das diagonais e outros elementos nulos é chamada identidade.
Uma matriz inversa é uma tal matriz, quando multiplicada pela qual a original se transforma em uma unidade, tal matriz existe apenas para o quadrado original.
No que diz respeito aos sistemas de equações, os coeficientes e membros livres das equações são escritos como números da matriz, uma equação é uma linha da matriz.
Uma linha da matriz é chamada diferente de zero se pelo menos um elemento da linha não for igual a zero. Portanto, se em qualquer uma das equações o número de variáveis for diferente, é necessário inserir zero no lugar da incógnita ausente.
As colunas da matriz devem corresponder estritamente às variáveis. Isso significa que os coeficientes da variável x só podem ser escritos em uma coluna, por exemplo na primeira, o coeficiente da incógnita y - apenas na segunda.
Ao multiplicar uma matriz, todos os elementos da matriz são sucessivamente multiplicados por um número.
A fórmula para encontrar a matriz inversa é bem simples: K -1 = 1 / |K|, onde K -1 é a matriz inversa e |K| - determinante matricial. |K| não deve ser igual a zero, então o sistema tem solução.
O determinante é facilmente calculado para uma matriz de dois por dois, bastando apenas multiplicar os elementos diagonalmente um pelo outro. Para a opção "três por três", existe uma fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Você pode usar a fórmula ou lembrar que precisa pegar um elemento de cada linha e de cada coluna para que os números de coluna e linha dos elementos não se repitam no produto.
O método matricial de encontrar uma solução permite reduzir notações complicadas ao resolver sistemas com grande quantidade variáveis e equações.
No exemplo, a nm são os coeficientes das equações, a matriz é um vetor x n são as variáveis e b n são os termos livres.
NO matemática superior o método de Gauss é estudado em conjunto com o método de Cramer, e o processo de encontrar uma solução para sistemas é chamado de método de solução de Gauss-Cramer. Esses métodos são usados para encontrar variáveis do sistema com muitas equações lineares.
O método de Gauss é muito semelhante a soluções usando substituições e adição algébrica mas mais sistemática. No curso escolar, a solução gaussiana é usada para sistemas de 3 e 4 equações. O objetivo do método é trazer o sistema para a forma de um trapézio invertido. Por transformações e substituições algébricas, o valor de uma variável é encontrado em uma das equações do sistema. A segunda equação é uma expressão com 2 incógnitas e 3 e 4 - com 3 e 4 variáveis, respectivamente.
Depois de trazer o sistema para a forma descrita, a solução adicional é reduzida à substituição sequencial de variáveis conhecidas nas equações do sistema.
Nos livros escolares da 7ª série, um exemplo de solução gaussiana é descrito a seguir:
Como pode ser visto no exemplo, na etapa (3) foram obtidas duas equações 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. A solução de qualquer uma das equações permitirá que você descubra uma das variáveis x n.
O teorema 5, mencionado no texto, afirma que se uma das equações do sistema for substituída por uma equivalente, o sistema resultante também será equivalente ao original.
O método gaussiano é difícil para os alunos do ensino médio entenderem, mas é um dos mais maneiras interessantes desenvolver a engenhosidade das crianças matriculadas no programa de estudos avançados nas aulas de matemática e física.
Para facilitar o registro dos cálculos, é comum fazer o seguinte:
Coeficientes de equação e termos livres são escritos na forma de uma matriz, onde cada linha da matriz corresponde a uma das equações do sistema. separa o lado esquerdo da equação do lado direito. Os algarismos romanos denotam o número de equações no sistema.
Primeiro, eles escrevem a matriz com a qual trabalhar, depois todas as ações realizadas com uma das linhas. A matriz resultante é escrita após o sinal de "seta" e continua a realizar as operações algébricas necessárias até que o resultado seja alcançado.
Como resultado, deve-se obter uma matriz na qual uma das diagonais é 1 e todos os outros coeficientes são iguais a zero, ou seja, a matriz é reduzida a uma única forma. Não devemos esquecer de fazer cálculos com os números de ambos os lados da equação.
Essa notação é menos complicada e permite que você não se distraia listando inúmeras incógnitas.
A aplicação gratuita de qualquer método de solução exigirá cuidado e certa experiência. Nem todos os métodos são aplicados. Algumas formas de encontrar soluções são mais preferíveis em uma determinada área da atividade humana, enquanto outras existem para fins de aprendizado.
Solução de sistemas lineares equações algébricas(SLAE) é sem dúvida o tópico mais importante do curso de álgebra linear. Um grande número de problemas de todos os ramos da matemática são reduzidos a resolver sistemas de equações lineares. Esses fatores explicam o motivo da criação deste artigo. O material do artigo é selecionado e estruturado para que com sua ajuda você possa
Breve descrição do material do artigo.
Primeiro, damos todas as definições e conceitos necessários e introduzimos algumas notações.
Em seguida, consideramos métodos para resolver sistemas de equações algébricas lineares em que o número de equações é igual ao número de variáveis desconhecidas e que têm única decisão. Primeiro, vamos nos concentrar no método de Cramer, em segundo lugar, vamos mostrar o método matricial para resolver tais sistemas de equações, em terceiro lugar, vamos analisar o método de Gauss (o método exclusão sequencial variáveis desconhecidas). Para consolidar a teoria, com certeza resolveremos vários SLAEs jeitos diferentes.
Depois disso, passamos a resolver sistemas de equações algébricas lineares visão geral, em que o número de equações não coincide com o número de variáveis desconhecidas ou a matriz principal do sistema é degenerada. Formulamos o teorema de Kronecker-Capelli, que nos permite estabelecer a compatibilidade dos SLAEs. Analisemos a solução de sistemas (no caso de sua compatibilidade) usando o conceito de base menor de uma matriz. Também consideraremos o método de Gauss e descreveremos em detalhes as soluções dos exemplos.
Certifique-se de se debruçar sobre a estrutura da solução geral de sistemas homogêneos e não homogêneos de equações algébricas lineares. Vamos dar o conceito de sistema fundamental de soluções e mostrar como a solução geral do SLAE é escrita usando os vetores do sistema fundamental de soluções. Para uma melhor compreensão, vejamos alguns exemplos.
Em conclusão, consideramos sistemas de equações que são reduzidos a lineares, bem como vários problemas, na solução dos quais surgem SLAEs.
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Vamos considerar sistemas de p equações algébricas lineares com n variáveis desconhecidas (p pode ser igual a n ) da forma
Variáveis desconhecidas, - coeficientes (algumas reais ou números complexos), - membros livres (também números reais ou complexos).
Esta forma de SLAE é chamada coordenada.
NO forma de matriz este sistema de equações tem a forma ,
Onde 
- a matriz principal do sistema, - a coluna-matriz de variáveis desconhecidas, - a coluna-matriz de membros livres.
Se adicionarmos à matriz A como a (n + 1)-ésima coluna a coluna-matriz de termos livres, obtemos o chamado matriz expandida sistemas de equações lineares. Normalmente, a matriz aumentada é denotada pela letra T, e a coluna de membros livres é separada por uma linha vertical do restante das colunas, ou seja, 
Resolvendo um sistema de equações algébricas lineares chamado de conjunto de valores de variáveis desconhecidas, que transforma todas as equações do sistema em identidades. A equação da matriz para os valores dados das variáveis desconhecidas também se transforma em uma identidade.
Se um sistema de equações tem pelo menos uma solução, então ele é chamado articulação.
Se o sistema de equações não tem soluções, então ele é chamado incompatível.
Se um SLAE tem uma solução única, então é chamado certo; se houver mais de uma solução, então - incerto.
Se os termos livres de todas as equações do sistema são iguais a zero 
, então o sistema é chamado homogêneo, por outro lado - heterogêneo.
Se o número de equações do sistema for igual ao número de variáveis desconhecidas e o determinante de sua matriz principal não for igual a zero, chamaremos esses SLAEs elementar. Tais sistemas de equações têm uma solução única e, no caso de um sistema homogêneo, todas as variáveis desconhecidas são iguais a zero.
Começamos a estudar tais SLAEs em ensino médio. Ao resolvê-los, pegamos uma equação, expressamos uma variável desconhecida em termos de outras e a substituímos nas equações restantes, depois pegamos a próxima equação, expressamos a próxima variável desconhecida e a substituímos em outras equações, e assim por diante. Ou usaram o método de adição, ou seja, adicionaram duas ou mais equações para eliminar algumas variáveis desconhecidas. Não nos deteremos em detalhes sobre esses métodos, pois são essencialmente modificações do método de Gauss.
Os principais métodos de resolução de sistemas elementares de equações lineares são o método de Cramer, o método matricial e o método de Gauss. Vamos classificá-los.
Precisamos resolver um sistema de equações algébricas lineares 
em que o número de equações é igual ao número de variáveis desconhecidas e o determinante da matriz principal do sistema é diferente de zero, ou seja, .
Seja o determinante da matriz principal do sistema, e 
são determinantes de matrizes que são obtidas de A substituindo 1º, 2º, …, enésimo coluna respectivamente para a coluna de membros livres: 
Com tal notação, as variáveis desconhecidas são calculadas pelas fórmulas do método de Cramer como 
. É assim que a solução de um sistema de equações algébricas lineares é encontrada pelo método de Cramer.
Exemplo.
Método Cramer 
.
Solução.
A matriz principal do sistema tem a forma 
. Calcule seu determinante (se necessário, veja o artigo): 
Como o determinante da matriz principal do sistema é diferente de zero, o sistema tem uma solução única que pode ser encontrada pelo método de Cramer.
Componha e calcule os determinantes necessários 
(o determinante é obtido substituindo a primeira coluna da matriz A por uma coluna de membros livres, o determinante - substituindo a segunda coluna por uma coluna de membros livres, - substituindo a terceira coluna da matriz A por uma coluna de membros livres ): 
Encontrar variáveis desconhecidas usando fórmulas 
:
Responda:
A principal desvantagem do método de Cramer (se pode ser chamado de desvantagem) é a complexidade de calcular os determinantes quando o número de equações do sistema é maior que três.
Seja o sistema de equações algébricas lineares dado na forma matricial , onde a matriz A tem dimensão n por n e seu determinante é diferente de zero.
Como , então a matriz A é invertível, ou seja, existe uma matriz inversa . Se multiplicarmos ambas as partes da igualdade pela esquerda, obtemos uma fórmula para encontrar a matriz coluna de variáveis desconhecidas. Assim, obtivemos a solução do sistema de equações algébricas lineares pelo método matricial.
Exemplo.
Resolver Sistema de Equações Lineares método matricial.
Solução.
Vamos reescrever o sistema de equações na forma matricial: 
Porque
então o SLAE pode ser resolvido pelo método matricial. Usando a matriz inversa, a solução para este sistema pode ser encontrada como 
.
Vamos construir uma matriz inversa usando uma matriz de complementos algébricos dos elementos da matriz A (se necessário, veja o artigo): 
Resta calcular - a matriz de variáveis desconhecidas multiplicando a matriz inversa 
na coluna-matriz de membros livres (se necessário, veja o artigo): 
Responda:
ou em outra notação x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
O principal problema em encontrar uma solução para sistemas de equações algébricas lineares pelo método matricial é a complexidade de encontrar a matriz inversa, especialmente para matrizes quadradas ordem superior ao terceiro.
Suponha que precisamos encontrar uma solução para um sistema de n equações lineares com n variáveis desconhecidas 
cujo determinante da matriz principal é diferente de zero.
A essência do método de Gauss consiste na exclusão sucessiva de variáveis desconhecidas: primeiro, x 1 é excluído de todas as equações do sistema, a partir da segunda, depois x 2 é excluído de todas as equações, a partir da terceira, e assim sucessivamente, até que apenas a variável desconhecida x n permanece na última equação. Tal processo de transformação das equações do sistema para eliminação sucessiva de variáveis desconhecidas é chamado método de Gauss direto. Após a conclusão da execução do método gaussiano, x n é encontrado a partir da última equação, x n-1 é calculado a partir da penúltima equação usando este valor, e assim por diante, x 1 é encontrado a partir da primeira equação. O processo de calcular variáveis desconhecidas ao passar da última equação do sistema para a primeira é chamado método de Gauss reverso.
Vamos descrever brevemente o algoritmo para eliminar variáveis desconhecidas.
Vamos supor que , já que sempre podemos conseguir isso reorganizando as equações do sistema. Excluímos a variável desconhecida x 1 de todas as equações do sistema, começando pela segunda. Para fazer isso, adicione a primeira equação multiplicada por à segunda equação do sistema, adicione a primeira multiplicada por à terceira equação e assim por diante, adicione a primeira multiplicada por à enésima equação. O sistema de equações após tais transformações terá a forma 
onde um 
.
Chegaríamos ao mesmo resultado se expressássemos x 1 em termos de outras variáveis desconhecidas na primeira equação do sistema e substituíssemos a expressão resultante em todas as outras equações. Assim, a variável x 1 é excluída de todas as equações, a partir da segunda.
Em seguida, agimos de forma semelhante, mas apenas com uma parte do sistema resultante, que está marcado na figura 
Para fazer isso, adicione o segundo multiplicado por à terceira equação do sistema, adicione o segundo multiplicado por à quarta equação e assim por diante, adicione o segundo multiplicado por à enésima equação. O sistema de equações após tais transformações terá a forma 
onde um 
. Assim, a variável x 2 é excluída de todas as equações, a partir da terceira.
Em seguida, procedemos à eliminação da incógnita x 3, agindo de forma semelhante com a parte do sistema marcada na figura 
Então continuamos o curso direto do método de Gauss até que o sistema tome a forma 
A partir deste momento, começamos o curso inverso do método de Gauss: calculamos x n da última equação como , usando o valor obtido x n encontramos x n-1 da penúltima equação, e assim por diante, encontramos x 1 da primeira equação.
Exemplo.
Resolver Sistema de Equações Lineares Método Gaussiano.
Solução.
Vamos excluir a variável desconhecida x 1 da segunda e terceira equações do sistema. Para fazer isso, para ambas as partes da segunda e terceira equações, adicionamos as partes correspondentes da primeira equação, multiplicadas por e por, respectivamente: 
Agora excluímos x 2 da terceira equação adicionando às suas partes esquerda e direita as partes esquerda e direita da segunda equação, multiplicadas por: 
Com isso, o curso direto do método de Gauss é concluído, começamos o curso reverso.
Da última equação do sistema de equações resultante, encontramos x 3: 
Da segunda equação obtemos .
Da primeira equação encontramos a variável desconhecida restante e isso completa o curso inverso do método de Gauss.
Responda:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
NO caso Geral o número de equações do sistema p não corresponde ao número de variáveis desconhecidas n:
Esses SLAEs podem não ter soluções, ter uma única solução ou ter infinitas soluções. Esta afirmação também se aplica a sistemas de equações cuja matriz principal é quadrada e degenerada.
Antes de encontrar uma solução para um sistema de equações lineares, é necessário estabelecer sua compatibilidade. A resposta à pergunta quando o SLAE é compatível e quando é incompatível, dá Teorema de Kronecker-Capelli:
para que um sistema de p equações com n incógnitas (p pode ser igual a n) seja consistente, é necessário e suficiente que o posto da matriz principal do sistema seja igual a classificação matriz aumentada, ou seja, Rank(A)=Rank(T) .
Consideremos como exemplo a aplicação do teorema de Kronecker-Cappelli para determinar a compatibilidade de um sistema de equações lineares.
Exemplo.
Descubra se o sistema de equações lineares tem 
soluções.
Solução.
. Usemos o método de fazer fronteira com menores. Menor de segunda ordem 
diferente de zero. Vamos examinar os menores de terceira ordem que o cercam: 
Como todos os menores de terceira ordem limítrofes são iguais a zero, o posto da matriz principal é dois.
Por sua vez, o posto da matriz aumentada 
é igual a três, pois o menor de terceira ordem 
diferente de zero.
Nesse caminho, Rang(A) , portanto, de acordo com o teorema de Kronecker-Capelli, podemos concluir que o sistema original de equações lineares é inconsistente.
Responda:
Não há sistema de solução.
Assim, aprendemos a estabelecer a inconsistência do sistema usando o teorema de Kronecker-Capelli.
Mas como encontrar a solução do SLAE se sua compatibilidade for estabelecida?
Para fazer isso, precisamos do conceito de base menor de uma matriz e do teorema sobre o posto de uma matriz.
O menor de maior ordem da matriz A, diferente de zero, é chamado básico.
Segue da definição da base menor que sua ordem é igual ao posto da matriz. Para uma matriz A diferente de zero, pode haver vários menores básicos; sempre há um menor básico.
Por exemplo, considere a matriz 
.
Todos os menores de terceira ordem desta matriz são iguais a zero, pois os elementos da terceira linha desta matriz são a soma dos elementos correspondentes da primeira e segunda linhas.
Os seguintes menores de segunda ordem são básicos, pois são diferentes de zero 
Menores 
não são básicos, pois são iguais a zero.
Teorema do posto matricial.
Se o posto de uma matriz de ordem p por n é r, então todos os elementos das linhas (e colunas) da matriz que não formam a base menor escolhida são expressos linearmente em termos dos elementos correspondentes das linhas (e colunas) ) que formam a base menor.
O que o teorema do posto matricial nos dá?
Se, pelo teorema de Kronecker-Capelli, estabelecemos a compatibilidade do sistema, então escolhemos qualquer menor básico da matriz principal do sistema (sua ordem é igual a r) e excluímos do sistema todas as equações que não formam o menor básico escolhido. O SLAE obtido desta forma será equivalente ao original, pois as equações descartadas ainda são redundantes (de acordo com o teorema do posto da matriz, elas são uma combinação linear das equações restantes).
Como resultado, após descartar as equações excessivas do sistema, dois casos são possíveis.
Se o número de equações r no sistema resultante for igual ao número de variáveis desconhecidas, então ele será definitivo e a única solução pode ser encontrada pelo método de Cramer, pelo método matricial ou pelo método de Gauss.
Exemplo.
.
Solução.
Rank da matriz principal do sistema 
é igual a dois, pois o menor de segunda ordem 
diferente de zero. Classificação da matriz estendida 
também é igual a dois, pois o único menor de terceira ordem é igual a zero 
e o menor de segunda ordem considerado acima é diferente de zero. Com base no teorema de Kronecker-Capelli, pode-se afirmar a compatibilidade do sistema original de equações lineares, pois Rank(A)=Rank(T)=2 .
Como base menor, tomamos . É formado pelos coeficientes da primeira e segunda equações: 
A terceira equação do sistema não participa da formação do menor básico, então a excluímos do sistema com base no teorema do posto da matriz: 
Assim, obtivemos um sistema elementar de equações algébricas lineares. Vamos resolvê-lo pelo método de Cramer: 
Responda:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Se o número de equações r no SLAE resultante for menor que o número de variáveis desconhecidas n , deixamos os termos que formam o menor básico nas partes esquerdas das equações e transferimos os termos restantes para as partes direitas das equações do sistema de sinal oposto.
As variáveis desconhecidas (existem r delas) que permanecem nos lados esquerdos das equações são chamadas a Principal.
Variáveis desconhecidas (existem n - r delas) que acabaram no lado direito são chamadas gratuitamente.
Agora assumimos que as variáveis desconhecidas livres podem assumir valores arbitrários, enquanto as r variáveis desconhecidas principais serão expressas em termos das variáveis desconhecidas livres de uma forma única. Sua expressão pode ser encontrada resolvendo o SLAE resultante pelo método de Cramer, pelo método da matriz ou pelo método de Gauss.
Vamos dar um exemplo.
Exemplo.
Resolva o sistema de equações algébricas lineares 
.
Solução.
Encontre o posto da matriz principal do sistema 
pelo método dos menores limítrofes. Tomemos um 1 1 = 1 como um menor de primeira ordem diferente de zero. Vamos começar a procurar um menor de segunda ordem diferente de zero em torno deste menor: 
Então encontramos um menor não nulo de segunda ordem. Vamos começar a procurar por um menor limítrofe diferente de zero da terceira ordem: 
Assim, a classificação da matriz principal é três. O posto da matriz aumentada também é igual a três, ou seja, o sistema é consistente.
O menor não nulo de terceira ordem encontrado será considerado o básico.
Para maior clareza, mostramos os elementos que formam a base menor: 
Deixamos os termos que participam do menor básico no lado esquerdo das equações do sistema e transferimos o resto de sinais opostos para o lado direito: 
Damos variáveis desconhecidas livres x 2 e x 5 valores arbitrários, ou seja, tomamos 
, onde são números arbitrários. Neste caso, o SLAE assume a forma 
Resolvemos o sistema elementar de equações algébricas lineares obtido pelo método de Cramer: 
Consequentemente, .
Na resposta, não se esqueça de indicar variáveis desconhecidas livres.
Responda:
Onde estão os números arbitrários.
Resumir.
Para resolver um sistema de equações algébricas lineares de forma geral, primeiro descobrimos sua compatibilidade usando o teorema de Kronecker-Capelli. Se o posto da matriz principal não for igual ao posto da matriz estendida, concluímos que o sistema é inconsistente.
Se o posto da matriz principal for igual ao posto da matriz estendida, escolhemos o menor básico e descartamos as equações do sistema que não participam da formação do menor básico escolhido.
Se a ordem da base menor é igual ao número variáveis desconhecidas, então o SLAE tem uma solução única que pode ser encontrada por qualquer método conhecido por nós.
Se a ordem da base menor for menor que o número de variáveis desconhecidas, deixamos os termos com as principais variáveis desconhecidas no lado esquerdo das equações do sistema, transferimos os termos restantes para o lado direito e atribuímos valores arbitrários para as variáveis desconhecidas livres. A partir do sistema de equações lineares resultantes, encontramos as principais variáveis desconhecidas pelo método de Cramer, pelo método matricial ou pelo método de Gauss.
Usando o método de Gauss, pode-se resolver sistemas de equações algébricas lineares de qualquer tipo sem sua investigação preliminar de compatibilidade. O processo de eliminação sucessiva de variáveis desconhecidas permite tirar uma conclusão sobre a compatibilidade e inconsistência do SLAE e, caso exista uma solução, permite encontrá-la.
Do ponto de vista do trabalho computacional, o método gaussiano é preferível.
Assista descrição detalhada e exemplos analisados no artigo Método de Gauss para resolver sistemas de equações algébricas lineares de forma geral.
Nesta seção, focaremos em sistemas conjuntos homogêneos e não homogêneos de equações algébricas lineares que possuem um número infinito de soluções.
Vamos lidar primeiro com sistemas homogêneos.
Sistema de decisão fundamental Um sistema homogêneo de p equações algébricas lineares com n variáveis desconhecidas é um conjunto de (n – r) soluções linearmente independentes desse sistema, onde r é a ordem da base menor da matriz principal do sistema.
Se designarmos soluções linearmente independentes de um SLAE homogêneo como X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) são colunas de matrizes de dimensão n por 1 ), então a solução geral deste sistema homogêneo é representada como uma combinação linear de vetores do sistema fundamental de soluções com arbitrário coeficientes constantesС 1 , С 2 , …, С (n-r) , ou seja, .
O que significa o termo solução geral de um sistema homogêneo de equações algébricas lineares (oroslau)?
O significado é simples: a fórmula especifica todas as soluções possíveis para o SLAE original, ou seja, tomando qualquer conjunto de valores de constantes arbitrárias C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , de acordo com a fórmula que obterá uma das soluções do SLAE homogêneo original.
Assim, se encontrarmos sistema fundamental soluções, então podemos definir todas as soluções deste SLAE homogêneo como .
Vamos mostrar o processo de construção de um sistema fundamental de soluções para um SLAE homogêneo.
Escolhemos a menor básica do sistema de equações lineares original, excluímos todas as outras equações do sistema e transferimos para o lado direito das equações do sistema com sinais opostos todos os termos contendo variáveis desconhecidas livres. Vamos dar às variáveis desconhecidas livres os valores 1,0,0,…,0 e calcular as principais incógnitas resolvendo o sistema elementar de equações lineares resultante de qualquer maneira, por exemplo, pelo método de Cramer. Assim, X(1) será obtido - a primeira solução do sistema fundamental. Se dermos às incógnitas livres os valores 0,1,0,0,…,0 e calcularmos as incógnitas principais, obtemos X (2) . E assim por diante. Se dermos às variáveis desconhecidas livres os valores 0,0,…,0,1 e calcularmos as principais incógnitas, obtemos X (n-r) . Assim será construído o sistema fundamental de soluções do SLAE homogêneo e sua solução geral pode ser escrita na forma .
Para sistemas não homogêneos de equações algébricas lineares, a solução geral é representada como
Vejamos exemplos.
Exemplo.
Encontre o sistema fundamental de soluções e a solução geral de um sistema homogêneo de equações algébricas lineares 
.
Solução.
O posto da matriz principal de sistemas homogêneos de equações lineares é sempre igual ao posto da matriz estendida. Vamos encontrar o posto da matriz principal pelo método de franjas menores. Como um menor não nulo de primeira ordem, tomamos o elemento a 1 1 = 9 da matriz principal do sistema. Encontre o menor não-zero limítrofe de segunda ordem: 
Encontra-se um menor de segunda ordem, diferente de zero. Vamos percorrer os menores de terceira ordem que o circundam em busca de um diferente de zero: 
Todos os menores limítrofes da terceira ordem são iguais a zero, portanto, o posto da matriz principal e estendida é dois. Vamos pegar o menor básico. Para maior clareza, notamos os elementos do sistema que o formam: 
A terceira equação do SLAE original não participa da formação do menor básico, portanto, pode ser excluída: 
Deixamos os termos que contêm as principais incógnitas no lado direito das equações e transferimos os termos com incógnitas livres para o lado direito:
Vamos construir um sistema fundamental de soluções para o sistema homogêneo original de equações lineares. O sistema fundamental de soluções deste SLAE consiste em duas soluções, pois o SLAE original contém quatro variáveis desconhecidas, e a ordem de sua menor básica é duas. Para encontrar X (1), damos às variáveis desconhecidas livres os valores x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, então encontramos as principais incógnitas do sistema de equações 
.
O sistema é chamado articulação, ou solucionável se tiver pelo menos uma solução. O sistema é chamado incompatível, ou insolúvel se não tiver soluções.
SLAE definido, indefinido.
Se um SLAE tem uma solução e é único, então ele é chamado certo e se a solução não for única, então incerto.
EQUAÇÕES DE MATRIZ
As matrizes permitem escrever brevemente um sistema de equações lineares. Seja um sistema de 3 equações com três incógnitas:
Considere a matriz do sistema 
e colunas de matriz de membros desconhecidos e livres 
Vamos encontrar o produto 
Essa. como resultado do produto, obtemos os lados esquerdos das equações deste sistema. Então, usando a definição de igualdade de matrizes, esse sistema pode ser escrito como
ou mais curto UMA∙X=B.
Aqui matrizes UMA e B são conhecidos, e a matriz X desconhecido. Ela precisa ser encontrada, porque. seus elementos são a solução deste sistema. Essa equação é chamada equação matricial.
Seja o determinante da matriz diferente de zero | UMA| ≠ 0. Então a equação da matriz é resolvida como segue. Multiplique ambos os lados da equação à esquerda pela matriz A-1, o inverso da matriz UMA: . Porque o A -1 A = E e E∙X=X, então obtemos a solução equação matricial Como X = A -1 B .
Observe que, como a matriz inversa só pode ser encontrada para matrizes quadradas, o método das matrizes só pode resolver os sistemas em que o número de equações é o mesmo que o número de incógnitas.
Fórmulas de Cramer
O método de Cramer é que encontramos sucessivamente identificador do sistema mestre, ou seja determinante da matriz A: D = det (a i j) e n determinantes auxiliares Di (i= ), que são obtidos a partir do determinante D substituindo a i-ésima coluna por uma coluna de membros livres.
As fórmulas de Cramer se parecem com: D × x i = D i (i = ).
Daí segue a regra de Cramer, que dá uma resposta exaustiva à questão da compatibilidade do sistema: se o determinante principal do sistema for diferente de zero, então o sistema tem uma solução única, determinada pelas fórmulas: x i = D i / D.
Se o determinante principal do sistema D e todos os determinantes auxiliares D i = 0 (i= ), então o sistema tem um número infinito de soluções. Se o determinante principal do sistema D = 0, e pelo menos um determinante auxiliar for diferente de zero, então o sistema é inconsistente.
Teorema (regra de Cramer): Se o determinante do sistema é Δ ≠ 0, então o sistema em consideração tem uma e apenas uma solução, e 
Demonstração: Então, considere um sistema de 3 equações com três incógnitas. Multiplique a 1ª equação do sistema por adição algébrica A 11 elemento um 11, 2ª equação - em A21 e 3º - em A 31:
Vamos adicionar essas equações:
Considere cada um dos colchetes e lado direito esta equação. De acordo com o teorema da expansão do determinante em função dos elementos da 1ª coluna.
Da mesma forma, pode-se mostrar que e .
Finalmente, é fácil ver que 
Assim, obtemos a igualdade: . Consequentemente, .
As igualdades e são derivadas de forma semelhante, de onde segue a afirmação do teorema.
Teorema de Kronecker-Capelli.
Um sistema de equações lineares é consistente se e somente se o posto da matriz do sistema for igual ao posto da matriz aumentada.
Prova: Ele se divide em duas etapas.
1. Deixe o sistema ter uma solução. Vamos mostrar isso.
Seja o conjunto de números 
é a solução do sistema. Denote pela -ésima coluna da matriz , 
. Então , ou seja, a coluna de termos livres é uma combinação linear das colunas da matriz . Deixar . Vamos fingir que 
. Então por 
. Escolhemos no menor básico. Ele tem ordem. A coluna de membros livres deve passar por este menor, caso contrário será a base menor da matriz. A coluna de termos livres em menor é uma combinação linear das colunas da matriz. Em virtude das propriedades do determinante , onde é o determinante que se obtém do menor substituindo a coluna de termos livres pela coluna . Se a coluna passou pelo menor M, então em , haverá duas colunas idênticas e, portanto, . Se a coluna não passou pela menor, ela diferirá da menor de ordem r + 1 da matriz apenas pela ordem das colunas. Desde então . Assim, o que contraria a definição de uma base menor. Portanto, a suposição de que , é falsa.
2. Deixe . Vamos mostrar que o sistema tem solução. Desde , então a base menor da matriz é a base menor da matriz . Deixe as colunas passarem pelo menor 
. Então, pelo teorema da base menor em uma matriz, a coluna de termos livres é uma combinação linear das colunas indicadas:
| (1) |
Definimos , , , , e tomamos as incógnitas restantes iguais a zero. Então para esses valores obtemos
Em virtude da igualdade (1) . A última igualdade significa que o conjunto de números 
é a solução do sistema. A existência de uma solução é provada.
No sistema discutido acima 
, e o sistema é consistente. No sistema , , e o sistema é inconsistente.
Nota: Embora o teorema de Kronecker-Capelli permita determinar se o sistema é consistente, é pouco utilizado, principalmente em estudos teóricos. A razão é que os cálculos realizados ao encontrar o posto de uma matriz são basicamente os mesmos que os cálculos ao encontrar uma solução para o sistema. Portanto, geralmente em vez de encontrar e , procura-se uma solução para o sistema. Se puder ser encontrado, então aprendemos que o sistema é consistente e simultaneamente obtemos sua solução. Se uma solução não pode ser encontrada, então concluímos que o sistema é inconsistente.
Algoritmo para encontrar soluções para um sistema arbitrário de equações lineares (método de Gauss)
Seja dado um sistema de equações lineares com incógnitas. É necessário encontrar sua solução geral se for consistente, ou estabelecer sua inconsistência. O método que será apresentado nesta seção é próximo ao método de cálculo do determinante e ao método de encontrar o posto de uma matriz. O algoritmo proposto é chamado Método de Gauss ou método de eliminação sucessiva de incógnitas.
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema
Chamamos as seguintes operações com matrizes de operações elementares:
1. permutação de linhas;
2. multiplicar uma string por um número diferente de zero;
3. adição de uma string com outra string multiplicada por um número.
Observe que ao resolver um sistema de equações, ao contrário de calcular o determinante e encontrar o posto, não se pode operar com colunas. Se o sistema de equações for restaurado a partir da matriz obtida da operação elementar, então novo sistema será igual ao original.
O objetivo do algoritmo é, aplicando uma sequência de operações elementares à matriz, garantir que cada linha, exceto talvez a primeira, comece com zeros, e o número de zeros até o primeiro elemento diferente de zero em cada próximo linha é maior do que na anterior.
O passo do algoritmo é o seguinte. Encontre a primeira coluna diferente de zero na matriz. Seja uma coluna com número . Encontramos um elemento diferente de zero e trocamos a linha com este elemento com a primeira linha. Para não acumular notação adicional, assumiremos que tal mudança de linhas na matriz já foi feita, ou seja, . Então à segunda linha somamos o primeiro multiplicado pelo número , à terceira linha somamos o primeiro multiplicado pelo número , etc. Como resultado, obtemos a matriz
(As primeiras colunas nulas geralmente estão ausentes.)
Se a matriz tiver uma linha com número k, na qual todos os elementos são iguais a zero, e , paramos a execução do algoritmo e concluímos que o sistema é inconsistente. De fato, restaurando o sistema de equações da matriz estendida, obtemos que a -ésima equação terá a forma 
Esta equação não satisfaz nenhum conjunto de números 
.
A matriz pode ser escrita como 
Com relação à matriz, realizamos a etapa descrita do algoritmo. Obtenha a matriz
Onde , . Esta matriz pode ser escrita novamente como
e o passo acima do algoritmo é novamente aplicado à matriz.
O processo para se após a execução do próximo passo a nova matriz reduzida consistir em apenas zeros ou se todas as linhas estiverem esgotadas. Observe que a conclusão sobre a incompatibilidade do sistema pode interromper o processo ainda mais cedo.
Se não reduzíssemos a matriz, no final chegaríamos a uma matriz da forma
Em seguida, é realizado o chamado passe reverso do método gaussiano. Com base na matriz, compomos um sistema de equações. No lado esquerdo, deixamos as incógnitas com números correspondentes aos primeiros elementos não nulos em cada linha, ou seja, . Notar que . As incógnitas restantes são transferidas para o lado direito. Considerando que as incógnitas do lado direito são algumas quantidades fixas, é fácil expressar as incógnitas do lado esquerdo em termos delas.
Agora, dando valores arbitrários para as incógnitas do lado direito e calculando os valores das variáveis do lado esquerdo, encontraremos várias soluções sistema original Ax=b. Para escrever a solução geral, é necessário denotar as incógnitas do lado direito em qualquer ordem por letras 
, incluindo aquelas incógnitas que não são explicitamente escritas no lado direito devido a coeficientes zero, e então a coluna de incógnitas pode ser escrita como uma coluna, onde cada elemento é uma combinação linear de valores arbitrários 
(em particular, apenas um valor arbitrário). Esta entrada será a solução geral do sistema.
Se o sistema for homogêneo, obtemos a solução geral do sistema homogêneo. Os coeficientes de , tomados em cada elemento da coluna da solução geral, comporão a primeira solução do sistema fundamental de soluções, os coeficientes de , a segunda solução e assim por diante.
Método 2: O sistema fundamental de soluções de um sistema homogêneo pode ser obtido de outra maneira. Para fazer isso, uma variável, transferida para o lado direito, deve receber o valor 1 e o restante - zeros. Calculando os valores das variáveis do lado esquerdo, obtemos uma solução do sistema fundamental. Atribuindo o valor 1 à outra variável do lado direito e zeros às outras, obtemos a segunda solução do sistema fundamental e assim por diante.
Definição: o sistema é chamado em conjunto th, se tiver pelo menos uma solução, e inconsistente - caso contrário, ou seja, no caso em que o sistema não possui soluções. A questão de saber se um sistema tem uma solução ou não está ligada não apenas à razão entre o número de equações e o número de incógnitas. Por exemplo, um sistema de três equações com duas incógnitas
 |
tem uma solução , e ainda tem infinitas soluções, mas um sistema de duas equações com três incógnitas.
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Este sistema é sempre consistente, pois tem uma solução trivial x 1 =…=x n =0
Para que existam soluções não triviais, é necessário e suficiente que
condições r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.
º O conjunto de soluções SLAE forma um espaço linear de dimensão (n-r). Isso significa que o produto de sua solução por um número, assim como a soma e a combinação linear de um número finito de suas soluções, são soluções desse sistema. O espaço de solução linear de qualquer SLAE é um subespaço do espaço R n .
Qualquer conjunto de (n-r) soluções linearmente independentes de um SLAE (que é uma base no espaço de solução) é chamado conjunto fundamental de soluções (FSR).
Sejam х 1 ,…,х r incógnitas básicas, х r +1 ,…,х n sejam incógnitas livres. Damos os seguintes valores para as variáveis livres por sua vez:
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Forma um espaço linear S (espaço de soluções), que é um subespaço em R n (n é o número de incógnitas), e dims=k=n-r, onde r é o posto do sistema. A base no espaço de soluções (x (1) ,…, x (k) ) é chamada de sistema fundamental de soluções, e a solução geral tem a forma:
X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R
Matemática superior » Sistemas de equações algébricas lineares » Termos básicos. Notação matricial.
Debaixo sistema de equações algébricas lineares(SLAE) implicam um sistema
\begin(equação) \left \( \begin(alinhado) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(aligned) \right.\end(equation)
Os parâmetros $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) são chamados coeficientes, e $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - membros gratuitos SLAU. Às vezes, para enfatizar o número de equações e incógnitas, eles dizem "$m\vezes n$ sistema de equações lineares" - indicando assim que o SLAE contém $m$ equações e $n$ incógnitas.
Se todos os termos livres $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), então o SLAE é chamado homogêneo. Se entre os membros livres houver pelo menos um diferente de zero, o SLAE é chamado heterogêneo.
Decisão SLAU(1) qualquer coleção ordenada de números ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) é chamada se os elementos desta coleção, substituídos em uma determinada ordem pelas incógnitas $x_1,x_2,\ldots,x_n$ , inverta cada equação SLAE em identidade.
Qualquer SLAE homogêneo tem pelo menos uma solução: zero(em uma terminologia diferente - trivial), ou seja, $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.
Se o SLAE (1) tiver pelo menos uma solução, é chamado articulação se não houver soluções, incompatível. Se um SLAE conjunto tem exatamente uma solução, é chamado certo, se um número infinito de soluções - incerto.
Exemplo 1
Considere SLAE
\begin(equação) \left \( \begin(alinhado) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5= 0.\\ \end(alinhado)\right.\end(equação)
Temos um sistema de equações algébricas lineares contendo $3$ equações e $5$ incógnitas: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Pode-se dizer que um sistema de equações lineares $3\times 5$ é dado.
Os coeficientes do sistema (2) são os números na frente das incógnitas. Por exemplo, na primeira equação esses números são: $3,-4,1,7,-1$. Os membros gratuitos do sistema são representados pelos números $11,-65,0$. Como entre os termos livres existe pelo menos um que não é igual a zero, então SLAE (2) é heterogêneo.
A coleção ordenada $(4;-11;5;-7;1)$ é a solução para este SLAE. Isso é fácil de verificar se você substituir $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ nas equações do sistema dado:
\begin(alinhado) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(alinhado)
Naturalmente, surge a questão de saber se a solução verificada é a única. A questão do número de soluções SLAE será discutida no tópico relevante.
Exemplo #2
Considere SLAE
\begin(equação) \left \( \begin(alinhado) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(alinhado) \right.\end(equação)
O sistema (3) é um SLAE contendo equações de $5$ e incógnitas de $3$: $x_1,x_2,x_3$. Como todos os termos livres deste sistema são iguais a zero, então SLAE (3) é homogêneo. É fácil verificar que a coleção $(0;0;0)$ é uma solução para o SLAE dado. Substituindo $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, por exemplo, na primeira equação do sistema (3), obtemos a igualdade correta: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$. A substituição em outras equações é feita de maneira semelhante.
Várias matrizes podem ser associadas a cada SLAE; além disso, o próprio SLAE pode ser escrito como uma equação matricial. Para SLAE (1), considere as seguintes matrizes:
A matriz $A$ é chamada matriz do sistema. Os elementos desta matriz são os coeficientes do SLAE dado.
A matriz $\widetilde(A)$ é chamada sistema de matriz expandida. É obtido adicionando à matriz do sistema uma coluna contendo membros livres $b_1,b_2,…,b_m$. Normalmente esta coluna é separada por uma linha vertical - para maior clareza.
A matriz coluna $B$ é chamada matriz de termos livres, e a matriz de colunas $X$ - matriz de incógnitas.
Usando a notação introduzida acima, SLAE (1) pode ser escrito na forma de uma equação matricial: $A\cdot X=B$.
Observação
As matrizes associadas ao sistema podem ser escritas de várias maneiras: tudo depende da ordem das variáveis e equações do SLAE considerado. Mas em qualquer caso, a ordem das incógnitas em cada equação de um determinado SLAE deve ser a mesma (veja o exemplo nº 4).
Exemplo #3
Escreva SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(aligned) \right.$ na forma de matriz e especifique a matriz aumentada do sistema.
Temos quatro incógnitas, que em cada equação seguem nesta ordem: $x_1,x_2,x_3,x_4$. A matriz de incógnitas será: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.
Os membros livres deste sistema são expressos pelos números $-5,0,-11$, portanto a matriz de membros livres tem a forma: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array )\right)$.
Vamos seguir para a compilação da matriz do sistema. A primeira linha desta matriz conterá os coeficientes da primeira equação: $2.3,-5.1$.
Na segunda linha escrevemos os coeficientes da segunda equação: $4,0,-1,0$. Neste caso, deve-se levar em consideração que os coeficientes do sistema com as variáveis $x_2$ e $x_4$ na segunda equação são iguais a zero (porque essas variáveis estão ausentes na segunda equação).
Na terceira linha da matriz do sistema, escrevemos os coeficientes da terceira equação: $0.14.8.1$. Levamos em conta a igualdade a zero do coeficiente na variável $x_1$ (esta variável está ausente na terceira equação). A matriz do sistema ficará assim:
$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$
Para tornar mais clara a relação entre a matriz do sistema e o próprio sistema, anotarei o SLAE fornecido e sua matriz do sistema lado a lado:
Em forma de matriz, o SLAE fornecido será semelhante a $A\cdot X=B$. Na entrada expandida:
$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array) \right) $$
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema. Para fazer isso, para a matriz do sistema $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ adiciona uma coluna de termos livres (ou seja, $-5,0,-11$). Obtemos: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(array) \right) $.
Exemplo #4
Escreva SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ na forma de matriz e especifique a matriz aumentada do sistema.
Como você pode ver, a ordem das incógnitas nas equações deste SLAE é diferente. Por exemplo, na segunda equação a ordem é: $a,y,c$, mas na terceira equação: $c,y,a$. Antes de escrever o SLAE em forma de matriz, a ordem das variáveis em todas as equações deve ser igual.
Você pode ordenar as variáveis nas equações de um determinado SLAE jeitos diferentes(o número de maneiras de organizar três variáveis é $3!=6$). Vou considerar duas maneiras de ordenar incógnitas.
Método número 1
Vamos introduzir a seguinte ordem: $c,y,a$. Vamos reescrever o sistema, colocando as incógnitas na ordem necessária: $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a= 25; \\ & -c+5a=-4.\end(alinhado)\right.$
Para maior clareza, escreverei o SLAE da seguinte forma: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ end(alinhado)\right.$
A matriz do sistema é: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( array) \direito) $. Matriz de membro livre: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Ao escrever a matriz de incógnitas, lembre-se da ordem das incógnitas: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Assim, a forma matricial do SLAE dado é a seguinte: $A\cdot X=B$. Expandido:
$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$
A matriz do sistema estendido é: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \right) $.
Método número 2
Vamos introduzir a seguinte ordem: $a,c,y$. Vamos reescrever o sistema, colocando as incógnitas na ordem necessária: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(alinhado)\right.$
Para maior clareza, escreverei o SLAE da seguinte forma: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ end(alinhado)\right.$
A matriz do sistema é: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( array)\right)$. Matriz de membro livre: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Ao escrever a matriz de incógnitas, lembre-se da ordem das incógnitas: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Assim, a forma matricial do SLAE dado é a seguinte: $A\cdot X=B$. Expandido:
$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$
A matriz do sistema estendido é: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(array) \right) $.
Como você pode ver, alterar a ordem das incógnitas é equivalente a reorganizar as colunas da matriz do sistema. Mas qualquer que seja esse arranjo de incógnitas, ele deve corresponder em todas as equações de um determinado SLAE.
Equações lineares- um tópico matemático relativamente simples, frequentemente encontrado em tarefas de álgebra.
Vamos descobrir o que é e como as equações lineares são resolvidas.
Usualmente, equação linearé uma equação da forma ax + c = 0, onde a e c são números arbitrários, ou coeficientes, e x é um número desconhecido.
Por exemplo, uma equação linear seria:
Resolver equações lineares é bastante fácil. Para isso, é utilizada uma técnica matemática, como transformação de identidade. Vamos descobrir o que é.
Seja ax + c = 10, onde a = 4, c = 2.
Assim, obtemos a equação 4x + 2 = 10.
Para resolvê-lo de maneira mais fácil e rápida, usaremos o primeiro método de transformação idêntica - ou seja, transferiremos todos os números para o lado direito da equação e deixaremos a incógnita 4x no lado esquerdo.
Pegue:
Assim, a equação é reduzida a um problema muito simples para iniciantes. Resta apenas usar o segundo método de transformação idêntica - deixando x no lado esquerdo da equação, transfira os números para o lado direito. Nós temos:
Exame:
4x + 2 = 10, onde x = 2.
A resposta está correta.
Ao resolver equações lineares com duas variáveis, o método de plotagem também é frequentemente usado. O fato é que uma equação da forma ax + wy + c \u003d 0, como regra, tem muitas soluções, porque muitos números se encaixam no lugar das variáveis e, em todos os casos, a equação permanece verdadeira.
Portanto, para facilitar a tarefa, é construído um gráfico de uma equação linear.
Para construí-lo, basta pegar um par de valores de variáveis - e, marcando-os com pontos no plano de coordenadas, desenhar uma linha reta através deles. Todos os pontos nesta linha serão variantes das variáveis em nossa equação.
Expressões, conversão de expressão
Expressões numéricas, literais e com variáveis em seu registro podem conter sinais de diversas operações aritméticas. Ao converter expressões e calcular os valores das expressões, as ações são executadas em uma determinada ordem, ou seja, você deve observar ordem de ações.
Neste artigo, descobriremos quais ações devem ser executadas primeiro e quais depois delas. Vamos começar com os casos mais simples, quando a expressão contém apenas números ou variáveis conectadas por mais, menos, multiplicar e dividir. A seguir, explicaremos qual ordem de execução das ações deve ser seguida nas expressões com colchetes. Finalmente, considere a sequência na qual as ações são executadas em expressões contendo potências, raízes e outras funções.
A escola oferece os seguintes uma regra que determina a ordem em que as ações são executadas em expressões sem parênteses:
A regra declarada é percebida com bastante naturalidade. A execução de ações em ordem da esquerda para a direita é explicada pelo fato de que é costume mantermos registros da esquerda para a direita. E o fato de a multiplicação e a divisão serem realizadas antes da adição e subtração é explicada pelo significado que essas ações carregam em si mesmas.
Vejamos alguns exemplos da aplicação desta regra. Por exemplo, usaremos as expressões numéricas mais simples para não nos distrairmos com os cálculos, mas para nos concentrarmos na ordem em que as ações são executadas.
Siga os passos 7−3+6.
A expressão original não contém parênteses, nem contém multiplicação e divisão. Portanto, devemos executar todas as ações na ordem da esquerda para a direita, ou seja, primeiro subtraímos 3 de 7, obtemos 4, depois adicionamos 6 à diferença resultante 4, obtemos 10.
Resumidamente, a solução pode ser escrita da seguinte forma: 7−3+6=4+6=10.
Indique a ordem em que as ações são executadas na expressão 6:2·8:3.
Para responder à pergunta do problema, vamos recorrer à regra que indica a ordem em que as ações são executadas em expressões sem colchetes. A expressão original contém apenas as operações de multiplicação e divisão, e de acordo com a regra, elas devem ser realizadas na ordem da esquerda para a direita.
Primeiro, divida 6 por 2, multiplique esse quociente por 8 e, finalmente, divida o resultado por 3.
Calcule o valor da expressão 17−5 6:3−2+4:2.
Primeiro, vamos determinar em que ordem as ações na expressão original devem ser executadas. Inclui multiplicação e divisão e adição e subtração.
Primeiro, da esquerda para a direita, você precisa realizar a multiplicação e a divisão. Então, multiplicamos 5 por 6, obtemos 30, dividimos este número por 3, obtemos 10. Agora dividimos 4 por 2, obtemos 2. Substituímos na expressão original em vez de 5 6: 3 o valor encontrado 10, e em vez de 4: 2 - o valor 2, temos 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Na expressão resultante, não há mais multiplicação e divisão, então resta realizar as ações restantes na ordem da esquerda para a direita: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.
17−5 6:3−2+4:2=7.
A princípio, para não confundir a ordem de execução das ações ao calcular o valor de uma expressão, é conveniente colocar números acima dos sinais das ações correspondentes à ordem em que são executadas. Para o exemplo anterior, ficaria assim: 
.
A mesma ordem de operações - primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração - deve ser seguida ao trabalhar com expressões literais.
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Em alguns livros didáticos de matemática, há uma divisão das operações aritméticas em operações de primeira e segunda etapas. Vamos lidar com isso.
Nestes termos, a regra do parágrafo anterior, que determina a ordem em que as ações são executadas, será escrita da seguinte forma: se a expressão não contiver colchetes, então, da esquerda para a direita, as ações da segunda etapa ( multiplicação e divisão) são realizadas primeiro, depois as ações do primeiro estágio (adição e subtração).
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As expressões geralmente contêm parênteses para indicar a ordem em que as ações devem ser executadas. Nesse caso uma regra que especifica a ordem em que as ações são executadas em expressões com colchetes, é formulado da seguinte forma: primeiro, as ações entre parênteses são executadas, enquanto a multiplicação e a divisão também são realizadas na ordem da esquerda para a direita, depois a adição e a subtração.
Assim, as expressões entre parênteses são consideradas como componentes da expressão original, e a ordem das ações já conhecidas por nós é preservada nelas. Considere as soluções dos exemplos para maior clareza.
Execute as etapas indicadas 5+(7−2 3) (6−4):2.
A expressão contém colchetes, então vamos primeiro realizar as operações nas expressões entre colchetes. Vamos começar com a expressão 7−2 3. Nela, você deve primeiro realizar a multiplicação, e só depois a subtração, temos 7−2 3=7−6=1. Passamos para a segunda expressão entre colchetes 6−4. Há apenas uma ação aqui - subtração, nós a executamos 6−4=2.
Substituímos os valores obtidos na expressão original: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. Na expressão resultante, primeiro realizamos a multiplicação e a divisão da esquerda para a direita, depois a subtração, obtemos 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6. Sobre isso, todas as ações são concluídas, aderimos à seguinte ordem de execução: 5+(7−2 3) (6−4):2.
Vamos escrever uma solução curta: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
5+(7−2 3)(6−4):2=6.
Acontece que uma expressão contém colchetes dentro de colchetes. Você não deve ter medo disso, você só precisa aplicar consistentemente a regra sonora para executar ações em expressões com colchetes. Vamos mostrar uma solução de exemplo.
Execute ações na expressão 4+(3+1+4 (2+3)).
Esta é uma expressão com colchetes, o que significa que a execução das ações deve começar com uma expressão entre colchetes, ou seja, com 3 + 1 + 4 (2 + 3).
Essa expressão também contém parênteses, portanto, primeiro você deve executar ações neles. Vamos fazer isso: 2+3=5. Substituindo o valor encontrado, obtemos 3+1+4 5. Nesta expressão, primeiro realizamos a multiplicação, depois a adição, temos 3+1+4 5=3+1+20=24. O valor inicial, após a substituição deste valor, assume a forma 4+24, e resta apenas completar as ações: 4+24=28.
4+(3+1+4 (2+3))=28.
Em geral, quando parênteses dentro de parênteses estão presentes em uma expressão, geralmente é conveniente começar com os parênteses internos e ir até os externos.
Por exemplo, digamos que precisamos realizar operações na expressão (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Primeiro, executamos ações entre colchetes internos, já que 4−6:2=4−3=1, depois disso a expressão original terá a forma (4+(4+1)−1)−1. Novamente, realizamos a ação nos colchetes internos, pois 4+1=5, chegamos à seguinte expressão (4+5−1)−1. Novamente, realizamos as ações entre parênteses: 4+5−1=8, enquanto chegamos à diferença 8−1, que é igual a 7.
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Se a expressão incluir potências, raízes, logaritmos, seno, cosseno, tangente e cotangente, bem como outras funções, seus valores serão calculados antes de realizar outras ações, levando em consideração as regras dos parágrafos anteriores que especificam o ordem em que as ações são executadas. Em outras palavras, as coisas listadas, grosso modo, podem ser consideradas entre colchetes, e sabemos que as ações entre colchetes são executadas primeiro.
Vamos considerar exemplos.
Execute as operações na expressão (3+1) 2+6 2:3−7.
Esta expressão contém uma potência de 6 2 , seu valor deve ser calculado antes de realizar o restante das etapas. Então, realizamos a exponenciação: 6 2 \u003d 36. Substituímos esse valor na expressão original, ele assumirá a forma (3+1) 2+36:3−7.
Então tudo fica claro: realizamos ações entre colchetes, após o que permanece uma expressão sem colchetes, na qual, da esquerda para a direita, primeiro realizamos multiplicação e divisão e depois adição e subtração. Temos (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.
(3+1) 2+6 2:3−7=13.
Outros, incluindo exemplos mais complexos de execução de ações em expressões com raízes, graus, etc., você pode ver no artigo calculando os valores das expressões.
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Ações do primeiro passo são chamados de adição e subtração, e multiplicação e divisão são chamados ações do segundo passo.
Escreva o sistema de equações algébricas lineares na forma geral
O que é uma solução SLAE?
A solução de um sistema de equações é um conjunto de n números,
Quando que é substituído no sistema, cada equação torna-se uma identidade.
Que sistema é chamado de conjunto (não-articulado)?
Um sistema de equações é dito consistente se tiver pelo menos uma solução.
Um sistema é chamado de inconsistente se não possui soluções.
Que sistema é chamado definido (indefinido)?
Um sistema conjunto é dito definido se tiver uma única solução.
Um sistema conjunto é chamado indeterminado se tiver mais de uma solução.
Forma matricial de escrever um sistema de equações
Classificação do sistema vetorial
O posto de um sistema de vetores é o número máximo de vetores linearmente independentes.
Rank da matriz e maneiras de encontrá-lo
Classificação da matriz- a maior das ordens dos menores desta matriz, cujo determinante é diferente de zero.
O primeiro método, o método de afiação, é o seguinte:
Se todos os menores forem de 1ª ordem, ou seja, elementos da matriz são iguais a zero, então r=0 .
Se pelo menos um dos menores de 1ª ordem não for igual a zero, e todos os menores de 2ª ordem forem iguais a zero, então r=1.
Se o menor de 2ª ordem for diferente de zero, investigamos os menores de 3ª ordem. Desta forma, o k-ésimo menor de ordem é encontrado e é verificado se os k+1-ésimo menores de ordem não são iguais a zero.
Se todos os k+1 menores de ordem são iguais a zero, então o posto da matriz é igual ao número k. Tais k+1 menores de ordem são normalmente encontrados por "borda" do k-ésimo menor de ordem.
O segundo método para determinar o posto de uma matriz é aplicar transformações elementares da matriz quando ela é elevada a uma forma diagonal. O posto de tal matriz é igual ao número de elementos diagonais diferentes de zero.
Solução geral de um sistema de equações lineares não homogéneo, suas propriedades.
Propriedade 1. A soma de qualquer solução para um sistema de equações lineares e qualquer solução para o sistema homogêneo correspondente é uma solução para o sistema de equações lineares.
Propriedade 2.
A diferença de quaisquer duas soluções de um sistema não homogêneo de equações lineares é uma solução do sistema homogêneo correspondente.
Método de Gauss para resolver SLAE
Subsequência:
1) uma matriz expandida do sistema de equações é compilada
2) com a ajuda de transformações elementares, a matriz é reduzida a uma forma de etapa
3) o posto da matriz estendida do sistema e o posto da matriz do sistema são determinados e o pacto de compatibilidade ou incompatibilidade do sistema é estabelecido
4) em caso de compatibilidade, o sistema de equações equivalente é escrito
5) a solução do sistema é encontrada. As principais variáveis são expressas em termos de
Teorema de Kronecker-Capelli
Teorema de Kronecker - Capelli- critério de compatibilidade do sistema de equações algébricas lineares:
Um sistema de equações algébricas lineares é consistente se e somente se o posto de sua matriz principal for igual ao posto de sua matriz estendida, e o sistema tiver uma solução única se o posto for igual ao número de incógnitas e um número infinito de soluções se o posto for menor que o número de incógnitas.
Para que um sistema linear seja consistente, é necessário e suficiente que o posto da matriz estendida desse sistema seja igual ao posto de sua matriz principal.
Quando o sistema não tem solução, quando tem uma única solução, tem muitas soluções?
Se o número de equações do sistema for igual ao número de variáveis desconhecidas e o determinante de sua matriz principal não for igual a zero, esses sistemas de equações terão uma solução única e, no caso de um sistema homogêneo, todas as incógnitas variáveis são iguais a zero.
Um sistema de equações lineares que tem pelo menos uma solução é chamado de compatível. Caso contrário, ou seja se o sistema não tem soluções, então é chamado de inconsistente.
equações lineares são chamadas consistentes se tiverem pelo menos uma solução e inconsistentes se não houver soluções. No exemplo 14 o sistema é compatível, a coluna é sua solução:
Esta solução também pode ser escrita sem matrizes: x = 2, y = 1.
Um sistema de equações será chamado indefinido se tiver mais de uma solução e definido se a solução for única.
Exemplo 15. O sistema é indeterminado. Por exemplo, ... são as suas soluções. O leitor pode encontrar muitas outras soluções para este sistema.
Vamos aprender como resolver sistemas de equações lineares primeiro em um caso particular. Um sistema de equações AX = B será chamado de Cramer se sua matriz principal A for quadrada e não degenerada. Em outras palavras, o número de incógnitas no sistema Crameriano coincide com o número de equações e |A| = 0.
Teorema 6 (regra de Cramer). O sistema de equações lineares de Cramer tem uma solução única dada pelas fórmulas:
onde Δ = |A| é o determinante da matriz principal, Δi é o determinante obtido de A substituindo a i-ésima coluna por uma coluna de termos livres.
Faremos a prova para n = 3, pois no caso geral os argumentos são semelhantes.
Então, existe um sistema Cramer:
Vamos primeiro supor que existe uma solução para o sistema, ou seja, existem
Vamos multiplicar o primeiro. igualdade no complemento algébrico do elemento aii, a segunda igualdade - em A2i, a terceira - em A3i e adicione as igualdades resultantes:
Sistema de equações lineares ~ Solução do sistema ~ Sistemas consistentes e inconsistentes ~ Sistema homogêneo ~ Consistência de um sistema homogêneo ~ Rank da matriz do sistema ~ Condição de compatibilidade não trivial ~ Sistema fundamental de soluções. Solução geral ~ Estudo de um sistema homogêneo
Considere o sistema m equações algébricas lineares em relação a n desconhecido
x 1 , x 2 , …, x n :
Decisão sistema é chamado de totalidade n valores desconhecidos
x 1 \u003d x’ 1, x 2 \u003d x’ 2, ..., x n \u003d x’ n,
após a substituição do qual todas as equações do sistema se transformam em identidades.
O sistema de equações lineares pode ser escrito na forma matricial:
Onde UMA- matriz do sistema, b- parte direita, x- solução desejada Ap - matriz expandida sistemas:
.
Um sistema que tem pelo menos uma solução é chamado articulação; sistema que não tem solução incompatível.
Um sistema homogêneo de equações lineares é um sistema cujo lado direito é igual a zero:
Visão matricial de um sistema homogêneo: ax=0.
Um sistema homogêneo é sempre consistente, pois qualquer sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução:
x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, ..., x n \u003d 0.
Se um sistema homogêneo tem uma solução única, então essa solução única é zero, e o sistema é chamado trivialmente comum. Se um sistema homogêneo tem mais de uma solução, então existem soluções diferentes de zero entre elas, e neste caso o sistema é chamado conjunta não trivial.
Ficou provado que em m=n para compatibilidade de sistema não trivial necessário e suficiente de modo que o determinante da matriz do sistema é igual a zero.
EXEMPLO 1. Compatibilidade não trivial de um sistema homogêneo de equações lineares com uma matriz quadrada.
Aplicando o algoritmo de eliminação gaussiana à matriz do sistema, reduzimos a matriz do sistema à forma de degrau
.
Número r linhas diferentes de zero na forma de etapa de uma matriz é chamada classificação da matriz, denotar
r=rg(A) ou r=Rg(A).
A afirmação a seguir é verdadeira.
Para que um sistema homogêneo seja não trivialmente consistente, é necessário e suficiente que o posto r matriz do sistema era menor que o número de incógnitas n.
EXEMPLO 2. Compatibilidade não trivial de um sistema homogêneo de três equações lineares com quatro incógnitas.
Se um sistema homogêneo é não trivialmente consistente, então ele tem um número infinito de soluções, e uma combinação linear de quaisquer soluções do sistema também é sua solução.
Está provado que entre o conjunto infinito de soluções de um sistema homogêneo, exatamente n-r soluções linearmente independentes.
Agregar n-r soluções linearmente independentes de um sistema homogêneo é chamado sistema de decisão fundamental. Qualquer solução do sistema é expressa linearmente em termos do sistema fundamental. Assim, se a classificação r matrizes UMA sistema linear homogêneo ax=0 menos incógnitas n e vetores
e 1 , e 2 , …, e n-r formam o seu sistema fundamental de soluções ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), então qualquer solução x sistemas ax=0 pode ser escrito na forma
x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,
Onde c 1 , c 2 , …, c n-r são constantes arbitrárias. A expressão escrita é chamada solução comum sistema homogêneo .
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sistema homogêneo significa estabelecer se é não trivialmente consistente, e se for, então encontre um sistema fundamental de soluções e escreva uma expressão para a solução geral do sistema.
Estudamos um sistema homogêneo pelo método de Gauss.
matriz do sistema homogêneo em estudo, cujo posto é r< n .
Tal matriz é reduzida pela eliminação de Gauss para a forma escalonada
.
O sistema equivalente correspondente tem a forma
A partir daqui é fácil obter expressões para variáveis x 1 , x 2 , …, x r Através dos x r+1 , x r+2 , …, x n. Variáveis
x 1 , x 2 , …, x r chamado variáveis básicas e variáveis x r+1 , x r+2 , …, x n - variáveis livres.
Transferindo as variáveis livres para o lado direito, obtemos as fórmulas
que determinam a solução global do sistema.
Vamos definir sucessivamente os valores das variáveis livres iguais a
e calcule os valores correspondentes das variáveis básicas. Recebido n-r soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um sistema fundamental de soluções do sistema homogêneo em estudo:
Investigação de um sistema homogêneo para compatibilidade pelo método de Gauss.
