Na primeira parte, consideramos algum material teórico, o método de substituição, bem como o método de adição termo a termo de equações do sistema. A todos que chegaram ao site através desta página, recomendo que leiam a primeira parte. Talvez alguns visitantes achem o material muito simples, mas no decorrer da resolução de sistemas de equações lineares, fiz várias observações e conclusões muito importantes sobre a solução de problemas matemáticos em geral.
E agora vamos analisar a regra de Cramer, bem como a solução de um sistema de equações lineares usando matriz inversa(método matricial). Todos os materiais são apresentados de forma simples, detalhada e clara, quase todos os leitores poderão aprender a resolver sistemas usando os métodos acima.
Primeiro consideramos a regra de Cramer em detalhes para um sistema de duas equações lineares em duas incógnitas. Pelo que? - Afinal o sistema mais simples pode ser resolvido pelo método escolar, por adição de termo!
O fato é que, mesmo que às vezes, mas existe essa tarefa - resolver um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas usando as fórmulas de Cramer. Em segundo lugar, um exemplo mais simples ajudará você a entender como usar a regra de Cramer para mais caso difícil– sistemas de três equações com três incógnitas.
Além disso, existem sistemas de equações lineares com duas variáveis, que é aconselhável resolver exatamente de acordo com a regra de Cramer!
Considere o sistema de equações
Na primeira etapa, calculamos o determinante , ele é chamado o principal determinante do sistema.
Método de Gauss.
Se , então o sistema tem única decisão, e para encontrar as raízes temos que calcular mais dois determinantes:
e
Na prática, os qualificadores acima também podem ser indicados pela letra latina.
As raízes da equação são encontradas pelas fórmulas:
,
Exemplo 7
Resolver um sistema de equações lineares
Solução: Vemos que os coeficientes da equação são bastante grandes, no lado direito existem decimais com uma vírgula. A vírgula é um convidado bastante raro em tarefas práticas de matemática; eu tirei esse sistema de um problema econométrico.
Como resolver tal sistema? Você pode tentar expressar uma variável em termos de outra, mas neste caso você certamente obterá frações extravagantes terríveis, que são extremamente inconvenientes de se trabalhar, e o design da solução parecerá horrível. Você pode multiplicar a segunda equação por 6 e subtrair termo por termo, mas as mesmas frações aparecerão aqui.
O que fazer? Nesses casos, as fórmulas de Cramer vêm em socorro.
;
;
Responda: ,
Ambas as raízes têm caudas infinitas e são encontradas aproximadamente, o que é bastante aceitável (e até comum) para problemas de econometria.
Comentários não são necessários aqui, pois a tarefa é resolvida de acordo com fórmulas prontas, no entanto, há uma ressalva. Ao usar este método, obrigatório O fragmento da atribuição é o seguinte fragmento: "então o sistema tem uma solução única". Caso contrário, o revisor pode puni-lo por desrespeitar o teorema de Cramer.
Não será supérfluo verificar, o que é conveniente realizar em uma calculadora: substituímos os valores aproximados no lado esquerdo de cada equação do sistema. Como resultado, com um pequeno erro, os números que estão do lado direito devem ser obtidos.
Exemplo 8
Expresse sua resposta em frações impróprias ordinárias. Faça uma verificação.
Este é um exemplo para uma solução independente (exemplo de design fino e resposta no final da lição).
Voltamos à consideração da regra de Cramer para um sistema de três equações com três incógnitas: 
Encontramos o principal determinante do sistema: 
Se , então o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente (não tem soluções). Nesse caso, a regra de Cramer não ajudará, você precisa usar o método de Gauss.
Se , então o sistema tem uma solução única, e para encontrar as raízes, devemos calcular mais três determinantes: 
, 
, 
E, finalmente, a resposta é calculada pelas fórmulas: 
Como você pode ver, o caso “três por três” não é fundamentalmente diferente do caso “dois por dois”, a coluna de termos livres sequencialmente “caminha” da esquerda para a direita ao longo das colunas do determinante principal.
Exemplo 9
Resolva o sistema usando as fórmulas de Cramer. 
Solução: Vamos resolver o sistema usando as fórmulas de Cramer. 
, então o sistema tem uma solução única.
Responda: 
.
Na verdade, não há nada de especial para comentar aqui novamente, tendo em vista que a decisão é tomada de acordo com fórmulas prontas. Mas há algumas notas.
Acontece que, como resultado dos cálculos, são obtidas frações irredutíveis “ruins”, por exemplo: .
Eu recomendo o seguinte algoritmo de "tratamento". Se não houver computador em mãos, fazemos o seguinte:
1) Pode haver um erro nos cálculos. Assim que você encontrar um tiro “ruim”, você deve verificar imediatamente se é a condição reescrita corretamente. Se a condição for reescrita sem erros, você precisará recalcular os determinantes usando a expansão em outra linha (coluna).
2) Se nenhum erro foi encontrado como resultado da verificação, provavelmente foi cometido um erro de digitação na condição da atribuição. Neste caso, resolva a tarefa com calma e CUIDADOSAMENTE até o fim, e então certifique-se de verificar e redigi-lo em uma cópia limpa após a decisão. Claro que checar uma resposta fracionária é uma tarefa desagradável, mas será um argumento desarmante para o professor, que, bem, gosta muito de colocar um menos para qualquer coisa ruim como. Como lidar com frações é detalhado na resposta do Exemplo 8.
Se você tiver um computador à mão, use um programa automatizado para verificá-lo, que pode ser baixado gratuitamente no início da aula. A propósito, é mais vantajoso usar o programa imediatamente (mesmo antes de iniciar a solução), você verá imediatamente a etapa intermediária em que cometeu um erro! A mesma calculadora calcula automaticamente a solução do sistema método matricial.
Segunda observação. De tempos em tempos existem sistemas nas equações dos quais algumas variáveis estão faltando, por exemplo: 
Aqui na primeira equação não há variável, na segunda não há variável. Nesses casos, é muito importante anotar correta e CUIDADOSAMENTE o principal determinante: 
– zeros são colocados no lugar de variáveis ausentes.
A propósito, é racional abrir determinantes com zeros na linha (coluna) em que o zero está localizado, pois há visivelmente menos cálculos.
Exemplo 10
Resolva o sistema usando as fórmulas de Cramer. 
Este é um exemplo de auto-resolução (amostra final e resposta no final da lição).
Para o caso de um sistema de 4 equações com 4 incógnitas, as fórmulas de Cramer são escritas de acordo com princípios semelhantes. Você pode ver um exemplo ao vivo na lição Propriedades do Determinante. Reduzindo a ordem do determinante - cinco determinantes de 4ª ordem são bastante solúveis. Embora a tarefa já lembra muito o sapato de um professor no peito de um aluno sortudo.
O método da matriz inversa é essencialmente caso especial equação matricial(Veja o Exemplo nº 3 da lição especificada).
Para estudar esta seção, você precisa ser capaz de expandir os determinantes, encontrar a matriz inversa e realizar a multiplicação de matrizes. Links relevantes serão fornecidos à medida que a explicação progride.
Exemplo 11
Resolva o sistema com o método matricial 
Solução: Escrevemos o sistema na forma matricial:
, Onde 
Observe o sistema de equações e as matrizes. Por qual princípio escrevemos elementos em matrizes, acho que todos entendem. O único comentário: se algumas variáveis estivessem faltando nas equações, então os zeros teriam que ser colocados nos lugares correspondentes na matriz.
Encontramos a matriz inversa pela fórmula:
, onde é a matriz transposta de complementos algébricos dos elementos correspondentes da matriz .
Primeiro, vamos lidar com o determinante:
Aqui o determinante é expandido pela primeira linha.
Atenção! Se , então a matriz inversa não existe e é impossível resolver o sistema pelo método das matrizes. Neste caso, o sistema é resolvido pela eliminação de incógnitas (método de Gauss).
Agora você precisa calcular 9 menores e escrevê-los na matriz de menores 
Referência:É útil saber o significado de subscritos duplos em álgebra linear. O primeiro dígito é o número da linha na qual o elemento está localizado. O segundo dígito é o número da coluna na qual o elemento está localizado: 
Ou seja, um subscrito duplo indica que o elemento está na primeira linha, terceira coluna, enquanto, por exemplo, o elemento está na 3ª linha, 2ª coluna
Deixe o sistema de equações lineares conter tantas equações quanto o número de variáveis independentes, ou seja, tem a forma
Tais sistemas de equações lineares são chamados de quadráticos. O determinante composto pelos coeficientes das variáveis independentes do sistema (1.5) é denominado determinante principal do sistema. Vamos denotar com a letra grega D. Assim,
. (1.6)
Se no determinante principal um arbitrário ( j th) coluna, substitua-a pela coluna de membros livres do sistema (1.5), então podemos obter mais n determinantes auxiliares:
(j = 1, 2, …, n). (1.7)
Regra de Cramer a resolução de sistemas quadráticos de equações lineares é a seguinte. Se o determinante principal D do sistema (1.5) for diferente de zero, então o sistema tem uma solução única, que pode ser encontrada pelas fórmulas:
(1.8)
Exemplo 1.5. Resolva o sistema de equações usando o método de Cramer
.
Vamos calcular o principal determinante do sistema:
Desde D¹0, o sistema tem uma solução única que pode ser encontrada usando as fórmulas (1.8):
Nesse caminho,
1. Multiplicação de uma matriz por um número. A operação de multiplicar uma matriz por um número é definida como segue.
2. Para multiplicar uma matriz por um número, você precisa multiplicar todos os seus elementos por esse número. Aquilo é
. (1.9)
Exemplo 1.6. 
.
Esta operação é introduzida apenas para matrizes da mesma ordem.
Para adicionar duas matrizes, é necessário adicionar os elementos correspondentes da outra matriz aos elementos de uma matriz:
(1.10)
A operação de adição de matrizes tem as propriedades de associatividade e comutatividade.
Exemplo 1.7. 
.
Se o número de colunas da matriz MAS corresponde ao número de linhas da matriz NO, então para tais matrizes a operação de multiplicação é introduzida:
2 
Assim, ao multiplicar a matriz MAS dimensões m´ n para matriz NO dimensões n´ k obtemos uma matriz A PARTIR DE dimensões m´ k. Neste caso, os elementos da matriz A PARTIR DE são calculados de acordo com as seguintes fórmulas:
Problema 1.8. Encontre, se possível, o produto de matrizes AB e BA:
Solução. 1) Para encontrar um trabalho AB, você precisa de linhas de matriz UMA multiplicar por colunas da matriz B:
2) Obra BA não existe, pois o número de colunas da matriz B não corresponde ao número de linhas da matriz UMA.
Matriz UMA- 1 é chamado de inversa de uma matriz quadrada MAS se a igualdade vale:
por onde EU denotado matriz de identidade mesma ordem da matriz MAS:
.
Para que uma matriz quadrada tenha uma inversa, é necessário e suficiente que seu determinante seja diferente de zero. A matriz inversa é encontrada pela fórmula:
, (1.13)
Onde A ij - adições algébricas aos elementos aij matrizes MAS(note que as adições algébricas às linhas da matriz MAS estão dispostos na matriz inversa na forma de colunas correspondentes).
Exemplo 1.9. Encontrar matriz inversa UMA- 1 para matriz
.
Encontramos a matriz inversa pela fórmula (1.13), que para o caso n= 3 parece:
.
Vamos encontrar det UMA = | UMA| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Como o determinante da matriz original é diferente de zero, então existe a matriz inversa.
1) Encontre adições algébricas A ij:
Para a conveniência de encontrar a matriz inversa, colocamos as adições algébricas às linhas da matriz original nas colunas correspondentes.
A partir das adições algébricas obtidas, compomos uma nova matriz e a dividimos pelo determinante det UMA. Assim, obteremos a matriz inversa:
Sistemas quadráticos de equações lineares com determinante principal diferente de zero podem ser resolvidos usando uma matriz inversa. Para isso, o sistema (1.5) é escrito na forma matricial:
Onde 
Multiplicando ambos os lados da igualdade (1,14) à esquerda por UMA- 1, obtemos a solução do sistema:
, Onde
Assim, para encontrar uma solução sistema quadrado, você precisa encontrar a matriz inversa da matriz principal do sistema e multiplicá-la à direita pela matriz coluna de membros livres.
Problema 1.10. Resolver um sistema de equações lineares
usando uma matriz inversa.
Solução. Escrevemos o sistema na forma matricial: ,
Onde 
é a matriz principal do sistema, é a coluna de incógnitas e é a coluna de membros livres. Como o principal determinante do sistema 
, então a matriz principal do sistema MAS tem uma matriz inversa MAS-1 . Para encontrar a matriz inversa MAS-1 , calcule os complementos algébricos para todos os elementos da matriz MAS:
A partir dos números obtidos compomos uma matriz (além disso, adições algébricas às linhas da matriz MAS escreva nas colunas apropriadas) e divida-o pelo determinante D. Assim, encontramos a matriz inversa:
A solução do sistema é encontrada pela fórmula (1.15):
Nesse caminho,
Seja um sistema arbitrário (não necessariamente quadrado) de equações lineares:
(1.16)
É necessário encontrar uma solução para o sistema, ou seja, tal conjunto de variáveis que satisfaz todas as igualdades do sistema (1.16). NO caso Geral sistema (1.16) pode ter não apenas uma solução, mas também um número infinito de soluções. Também pode não ter nenhuma solução.
Para resolver esses problemas, o conhecido curso escolar o método de eliminação de incógnitas, que também é chamado de método de eliminações comuns de Jordan. essência este método reside no fato de que em uma das equações do sistema (1.16) uma das variáveis é expressa em termos de outras variáveis. Em seguida, essa variável é substituída em outras equações do sistema. O resultado é um sistema que contém uma equação e uma variável a menos que o sistema original. A equação a partir da qual a variável foi expressa é lembrada.
Este processo é repetido até que uma última equação permaneça no sistema. No processo de eliminação de incógnitas, algumas equações podem se transformar em verdadeiras identidades, por exemplo. Tais equações são excluídas do sistema, pois são válidas para quaisquer valores das variáveis e, portanto, não afetam a solução do sistema. Se, no processo de eliminação de incógnitas, pelo menos uma equação se tornar uma igualdade que não pode ser satisfeita para nenhum valor das variáveis (por exemplo, ), concluímos que o sistema não tem solução.
Se no decorrer da resolução de equações inconsistentes não surgirem, uma das variáveis restantes será encontrada na última equação. Se apenas uma variável permanecer na última equação, ela será expressa como um número. Se outras variáveis permanecerem na última equação, elas serão consideradas parâmetros, e a variável expressa por meio delas será uma função desses parâmetros. Em seguida, é feito o chamado "movimento reverso". A variável encontrada é substituída na última equação memorizada e a segunda variável é encontrada. Em seguida, as duas variáveis encontradas são substituídas na penúltima equação memorizada e a terceira variável é encontrada, e assim por diante, até a primeira equação memorizada.
Como resultado, obtemos a solução do sistema. Esta solução será a única se as variáveis encontradas forem números. Se a primeira variável encontrada, e depois todas as outras dependerem dos parâmetros, então o sistema terá um número infinito de soluções (cada conjunto de parâmetros corresponde a uma nova solução). As fórmulas que permitem encontrar uma solução para o sistema dependendo de um determinado conjunto de parâmetros são chamadas de solução geral do sistema.
Exemplo 1.11.
x
Depois de memorizar a primeira equação 
e trazendo termos semelhantes na segunda e terceira equações, chegamos ao sistema:
Expressar y da segunda equação e substitua na primeira equação:
Lembre-se da segunda equação, e da primeira encontramos z:
Fazendo o movimento inverso, encontramos sucessivamente y e z. Para fazer isso, primeiro substituímos na última equação memorizada , da qual encontramos y:
.
Então substituímos e na primeira equação memorizada de onde encontramos x:
Problema 1.12. Resolva um sistema de equações lineares eliminando incógnitas:
. (1.17)
Solução. Vamos expressar a variável da primeira equação x e substitua na segunda e terceira equações:
.
Lembre-se da primeira equação 
Nesse sistema, a primeira e a segunda equações se contradizem. De fato, expressando y 
, obtemos que 14 = 17. Esta igualdade não é satisfeita, para quaisquer valores das variáveis x, y, e z. Consequentemente, o sistema (1.17) é inconsistente, ou seja, não tem solução.
Os leitores são convidados a verificar de forma independente se o principal determinante do sistema original (1.17) é igual a zero.
Considere um sistema que difere do sistema (1.17) por apenas um termo livre.
Problema 1.13. Resolva um sistema de equações lineares eliminando incógnitas:
. (1.18)
Solução. Como antes, expressamos a variável da primeira equação x e substitua na segunda e terceira equações:
.
Lembre-se da primeira equação e apresentamos termos semelhantes na segunda e terceira equações. Chegamos ao sistema:
expressando y da primeira equação e substituindo na segunda equação , obtemos a identidade 14 = 14, que não afeta a solução do sistema e, portanto, pode ser excluída do sistema.
Na última igualdade memorizada, a variável z será considerado como parâmetro. Nós acreditamos . Então
Substituto y e z na primeira igualdade memorizada e encontre x:
.
Assim, o sistema (1.18) tem um conjunto infinito de soluções, e qualquer solução pode ser encontrada a partir das fórmulas (1.19) escolhendo um valor arbitrário do parâmetro t:
(1.19)
Assim, as soluções do sistema, por exemplo, são os seguintes conjuntos de variáveis (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. As fórmulas (1.19) expressam a solução geral (qualquer) do sistema (1.18 ).
No caso de o sistema original (1.16) possuir um grande número de equações e incógnitas, o método especificado de eliminações jordanianas comuns parece complicado. No entanto, não é. É suficiente derivar um algoritmo para recalcular os coeficientes do sistema em uma etapa visão geral e formalizar a solução do problema na forma de tabelas especiais de Jordan.
Seja um sistema de formas lineares (equações) dado:
, (1.20)
Onde xj- variáveis independentes (desejadas), aij- coeficientes constantes
(eu = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Partes certas do sistema eu (eu = 1, 2,…, m) podem ser variáveis (dependentes) e constantes. É necessário encontrar soluções para este sistema eliminando incógnitas.
Consideremos a seguinte operação, doravante denominada "um passo das exceções ordinárias da Jordânia". De um arbitrário ( r th) igualdade, expressamos uma variável arbitrária ( xs) e substituir em todas as outras igualdades. Claro que isso só é possível se a rs¹ 0. Coeficiente a rsé chamado de elemento de resolução (às vezes guia ou principal).
Teremos o seguinte sistema:
. (1.21)
A partir de sª igualdade do sistema (1.21), encontraremos posteriormente a variável xs(depois que outras variáveis são encontradas). S A linha th é lembrada e posteriormente excluída do sistema. O sistema restante conterá uma equação e uma variável independente a menos que o sistema original.
Vamos calcular os coeficientes do sistema resultante (1.21) em função dos coeficientes do sistema original (1.20). Vamos começar com rª equação, que, após expressar a variável xs através do resto das variáveis ficará assim:
Assim, os novos coeficientes rª equação são calculados pelas seguintes fórmulas:
(1.23)
Vamos agora calcular os novos coeficientes b ij(eu¹ r) de uma equação arbitrária. Para fazer isso, substituímos a variável expressa em (1.22) xs dentro euª equação do sistema (1.20):
Depois de trazer termos semelhantes, temos:
(1.24)
Da igualdade (1.24) obtemos fórmulas pelas quais os coeficientes restantes do sistema (1.21) são calculados (com exceção de rª equação):
(1.25)
A transformação de sistemas de equações lineares pelo método das eliminações jordanianas ordinárias é apresentada na forma de tabelas (matrizes). Essas tabelas são chamadas de "tabelas da Jordânia".
Assim, o problema (1.20) está associado à seguinte tabela de Jordan:
Tabela 1.1
| x 1 | x 2 | … | xj | … | xs | … | xn | |
| y 1 = | uma 11 | uma 12 | uma 1j | uma 1s | uma 1n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| eu= | um eu 1 | um eu 2 | aij | um é | um em | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y r= | um r 1 | um r 2 | um rj | a rs | um rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| s n= | sou 1 | sou 2 | um mj | um ms | amn |
A tabela Jordan 1.1 contém a coluna do cabeçalho esquerdo, na qual as partes direitas do sistema (1.20) são escritas, e a linha do cabeçalho superior, na qual as variáveis independentes são escritas.
Os demais elementos da tabela formam a matriz principal de coeficientes do sistema (1.20). Se multiplicarmos a matriz MAS para a matriz que consiste nos elementos da linha de cabeçalho superior, então obtemos a matriz que consiste nos elementos da coluna de cabeçalho esquerda. Ou seja, em essência, a tabela de Jordan é uma forma matricial de escrever um sistema de equações lineares: . Neste caso, a seguinte tabela de Jordan corresponde ao sistema (1.21):
Tabela 1.2
| x 1 | x 2 | … | xj | … | y r | … | xn | |
| y 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| eu = | b eu 1 | b eu 2 | b ij | b é | b em | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| xs = | br 1 | br 2 | b rj | brs | b rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| sn = | bm 1 | bm 2 | bmj | bm | bmn |
Elemento permissivo a rs destacaremos em negrito. Lembre-se de que, para implementar uma etapa das exceções de Jordan, o elemento de resolução deve ser diferente de zero. Uma linha da tabela que contém um elemento permissivo é chamada de linha permissiva. A coluna que contém o elemento enable é chamada de coluna enable. Ao passar de uma determinada tabela para a próxima tabela, uma variável ( xs) da linha de cabeçalho superior da tabela é movida para a coluna de cabeçalho esquerda e, inversamente, um dos membros livres do sistema ( y r) é movido da coluna de cabeçalho esquerda da tabela para a linha de cabeçalho superior.
Vamos descrever o algoritmo para recalcular os coeficientes ao passar da tabela Jordan (1.1) para a tabela (1.2), que segue das fórmulas (1.23) e (1.25).
1. O elemento de habilitação é substituído pelo número inverso:
2. Os elementos restantes da linha permissiva são divididos pelo elemento permissivo e mudam de sinal para o oposto: 
3. Os elementos restantes da coluna de habilitação são divididos no elemento de habilitação: 
4. Os elementos que não estão incluídos na linha de resolução e na coluna de resolução são recalculados de acordo com as fórmulas: 
A última fórmula é fácil de lembrar se você notar que os elementos que compõem a fração 
, estão na interseção eu-Óh, e r-ésimas linhas e jº e s-th colunas (linha de resolução, coluna de resolução e a linha e a coluna na interseção das quais o elemento a ser recalculado está localizado). Mais precisamente, ao memorizar a fórmula 
você pode usar o seguinte gráfico:
Executando a primeira etapa das exceções jordanianas, qualquer elemento da Tabela 1.3 localizado nas colunas x 1 ,…, x 5 (todos os elementos especificados não são iguais a zero). Você não deve selecionar apenas o elemento de habilitação na última coluna, porque precisa encontrar variáveis independentes x 1 ,…, x 5 . Escolhemos, por exemplo, o coeficiente 1 com uma variável x 3 na terceira linha da tabela 1.3 (o elemento de habilitação é mostrado em negrito). Ao passar para a tabela 1.4, a variável x O 3 da linha do cabeçalho superior é trocado pelo 0 constante da coluna do cabeçalho esquerdo (terceira linha). Ao mesmo tempo, a variável x 3 é expresso em termos das variáveis restantes.
corda x 3 (Tabela 1.4) pode, lembrado anteriormente, ser excluído da Tabela 1.4. A Tabela 1.4 também exclui a terceira coluna com zero na linha superior do cabeçalho. O ponto é que, independentemente dos coeficientes desta coluna b eu 3 todos os termos correspondentes a ele de cada equação 0 b eu 3 sistemas será igual a zero. Portanto, esses coeficientes não podem ser calculados. Eliminando uma variável x 3 e lembrando uma das equações, chegamos a um sistema correspondente à Tabela 1.4 (com a linha riscada x 3). Escolhendo na tabela 1.4 como elemento de resolução b 14 = -5, vá para a tabela 1.5. Na tabela 1.5, lembramos a primeira linha e a excluímos da tabela junto com a quarta coluna (com zero no topo).
Tabela 1.5 Tabela 1.6
Da última tabela 1.7 encontramos: x 1 = - 3 + 2x 5 .
Substituindo sequencialmente as variáveis já encontradas nas linhas memorizadas, encontramos as variáveis restantes:
Assim, o sistema tem um número infinito de soluções. variável x 5 , você pode atribuir valores arbitrários. Esta variável funciona como um parâmetro x 5 = t. Provamos a compatibilidade do sistema e descobrimos decisão comum:
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
Dando parâmetro t vários significados, obtemos um número infinito de soluções para o sistema original. Assim, por exemplo, a solução do sistema é o seguinte conjunto de variáveis (- 3; - 1; - 2; 4; 0).
Considere um sistema de 3 equações com três incógnitas
Usando determinantes de terceira ordem, a solução de tal sistema pode ser escrita da mesma forma que para um sistema de duas equações, ou seja,
(2.4)
se 0. Aqui
Isso é Regra de Cramer Resolvendo um sistema de três equações lineares em três incógnitas.
Exemplo 2.3. Resolva um sistema de equações lineares usando a regra de Cramer:
Solução . Encontrando o determinante da matriz principal do sistema
Como 0, então para encontrar uma solução para o sistema, você pode aplicar a regra de Cramer, mas primeiro calcule mais três determinantes:
Exame:
Portanto, a solução foi encontrada corretamente.
As regras de Cramer obtidas para sistemas lineares de 2ª e 3ª ordem sugerem que as mesmas regras podem ser formuladas para sistemas lineares de qualquer ordem. Realmente acontece
Teorema de Cramer. Sistema quadrático de equações lineares com um determinante diferente de zero da matriz principal do sistema (0) tem uma e apenas uma solução, e esta solução é calculada pelas fórmulas
(2.5)
Onde – determinante da matriz principal, eu – determinante da matriz, derivado do principal, substitutoeuª coluna coluna de membros livres.
Observe que se =0, a regra de Cramer não é aplicável. Isso significa que o sistema ou não tem nenhuma solução ou tem infinitas soluções.
Tendo formulado o teorema de Cramer, surge naturalmente a questão de calcular determinantes de ordem superior.
Menor adicional M eu j elemento uma eu jé chamado o determinante obtido a partir do dado, eliminando eu-ésima linha e j-ésima coluna. Adição algébrica UMA eu j elemento uma eu jé chamado o menor deste elemento, tomado com o sinal (-1) eu + j, ou seja UMA eu j = (–1) eu + j M eu j .
Por exemplo, vamos encontrar menores e complementos algébricos de elementos uma 23 e uma 31 determinantes
Nós temos
Usando o conceito de complemento algébrico, podemos formular o teorema da expansão determinanten-th ordem por linha ou coluna.
Teorema 2.1. Determinante da matrizUMAé igual à soma dos produtos de todos os elementos de alguma linha (ou coluna) e seus complementos algébricos:
(2.6)
Este teorema fundamenta um dos principais métodos de cálculo de determinantes, os chamados. método de redução de pedidos. Como resultado da expansão do determinante nª ordem em qualquer linha ou coluna, obtemos n determinantes ( n–1)-ésima ordem. Para ter menos determinantes, é aconselhável escolher a linha ou coluna que tem mais zeros. Na prática, a fórmula de expansão para o determinante é geralmente escrita como:
Essa. adições algébricas são escritas explicitamente em termos de menores.
Exemplos 2.4. Calcule os determinantes expandindo-os primeiro em qualquer linha ou coluna. Normalmente, nesses casos, escolha a coluna ou linha que possui mais zeros. A linha ou coluna selecionada será marcada com uma seta.
Expandindo o determinante em qualquer linha ou coluna, obtemos n determinantes ( n–1)-ésima ordem. Então cada um desses determinantes ( n–1)-ésima ordem também pode ser decomposta em uma soma de determinantes ( n–2)ª ordem. Continuando este processo, pode-se chegar aos determinantes de 1ª ordem, ou seja, aos elementos da matriz cujo determinante está sendo calculado. Assim, para calcular os determinantes de 2ª ordem, terá de calcular a soma de dois termos, para os determinantes de 3ª ordem - a soma de 6 termos, para os determinantes de 4ª ordem - 24 termos. O número de termos aumentará acentuadamente à medida que a ordem do determinante aumentar. Isso significa que o cálculo de determinantes de ordens muito altas torna-se uma tarefa bastante trabalhosa, além do poder de até mesmo um computador. No entanto, os determinantes podem ser calculados de outra maneira, usando as propriedades dos determinantes.
Propriedade 1 . O determinante não mudará se linhas e colunas forem trocadas nele, ou seja, ao transpor uma matriz:
.
Esta propriedade indica a igualdade de linhas e colunas do determinante. Em outras palavras, qualquer afirmação sobre as colunas de um determinante é verdadeira para suas linhas e vice-versa.
Propriedade 2 . O determinante muda de sinal quando duas linhas (colunas) são trocadas.
Consequência . Se o determinante tem duas linhas idênticas (colunas), então é igual a zero.
Propriedade 3 . O fator comum de todos os elementos em qualquer linha (coluna) pode ser retirado do sinal do determinante.
Por exemplo,
Consequência . Se todos os elementos de alguma linha (coluna) do determinante são iguais a zero, então o próprio determinante é igual a zero.
Propriedade 4 . O determinante não mudará se os elementos de uma linha (coluna) forem adicionados aos elementos de outra linha (coluna) multiplicados por algum número.
Por exemplo,
Propriedade 5 . O determinante do produto da matriz é igual ao produto dos determinantes da matriz:
Com o número de equações igual ao número de incógnitas com o determinante principal da matriz, que não é igual a zero, os coeficientes do sistema (existe uma solução para tais equações e é apenas uma).
Teorema de Cramer.
Quando o determinante da matriz de um sistema quadrado é diferente de zero, então o sistema é compatível e tem uma solução e pode ser encontrado por Fórmulas de Cramer:
onde Δ - determinante da matriz do sistema,
Δ eu- determinante da matriz do sistema, em que em vez de euª coluna é a coluna das partes direitas.
Quando o determinante do sistema é zero, então o sistema pode se tornar consistente ou inconsistente.
Este método é geralmente usado para pequenos sistemas com cálculos de volume e quando é necessário determinar 1 das incógnitas. A complexidade do método é que é necessário calcular muitos determinantes.
Existe um sistema de equações:
Um sistema de 3 equações pode ser resolvido pelo método de Cramer, que foi discutido acima para um sistema de 2 equações.
Compomos o determinante a partir dos coeficientes das incógnitas:
Isso vai qualificador do sistema. Quando D≠0, então o sistema é consistente. Agora vamos compor 3 determinantes adicionais:
,
,
Resolvemos o sistema por Fórmulas de Cramer:
Exemplo 1.
Sistema dado:
Vamos resolvê-lo pelo método de Cramer.
Primeiro você precisa calcular o determinante da matriz do sistema:
Porque Δ≠0, portanto, pelo teorema de Cramer, o sistema é compatível e tem uma solução. Calculamos determinantes adicionais. O determinante Δ 1 é obtido do determinante Δ substituindo sua primeira coluna por uma coluna de coeficientes livres. Nós temos:
Da mesma forma, obtemos o determinante Δ 2 do determinante da matriz do sistema, substituindo a segunda coluna por uma coluna de coeficientes livres:
O método de Cramer baseia-se no uso de determinantes na resolução de sistemas de equações lineares. Isso acelera muito o processo de solução.
O método de Cramer pode ser usado para resolver um sistema de tantas equações lineares quantas incógnitas em cada equação. Se o determinante do sistema não for igual a zero, então o método de Cramer pode ser usado na solução; se for igual a zero, então não pode. Além disso, o método de Cramer pode ser usado para resolver sistemas de equações lineares que possuem uma única solução.
Definição. O determinante, composto pelos coeficientes das incógnitas, é chamado de determinante do sistema e é denotado por (delta).
Determinantes
são obtidos substituindo os coeficientes nas incógnitas correspondentes por termos livres:
;
.
Teorema de Cramer. Se o determinante do sistema é diferente de zero, então o sistema de equações lineares tem uma única solução, e a incógnita é igual à razão dos determinantes. O denominador é o determinante do sistema e o numerador é o determinante obtido a partir do determinante do sistema substituindo os coeficientes pela incógnita por termos livres. Este teorema vale para um sistema de equações lineares de qualquer ordem.
Exemplo 1 Resolva o sistema de equações lineares:
De acordo com Teorema de Cramer temos:
Então, a solução do sistema (2):
calculadora online, método decisivo Kramer.
Como aparece de Teoremas de Cramer, ao resolver um sistema de equações lineares, três casos podem ocorrer:
Primeiro caso: o sistema de equações lineares tem uma única solução
(o sistema é consistente e definido)
Segundo caso: o sistema de equações lineares tem um número infinito de soluções
(o sistema é consistente e indeterminado)
** 
,
Essa. os coeficientes das incógnitas e os termos livres são proporcionais.
Terceiro caso: o sistema de equações lineares não tem soluções
(sistema inconsistente)
Então o sistema m equações lineares com n variáveis é chamado incompatível se não tiver soluções, e articulação se tiver pelo menos uma solução. sistema comum equações que têm apenas uma solução é chamada certo, e mais de um incerto.
Deixe o sistema
.
Baseado no teorema de Cramer
………….
,
Onde 
-
identificador do sistema. Os demais determinantes são obtidos substituindo a coluna pelos coeficientes da variável correspondente (desconhecida) com membros livres:
Exemplo 2
.
Portanto, o sistema é definitivo. Para encontrar sua solução, calculamos os determinantes
Pelas fórmulas de Cramer encontramos:
Então, (1; 0; -1) é a única solução para o sistema.
Para verificar as soluções dos sistemas de equações 3 X 3 e 4 X 4, você pode usar a calculadora online, o método de resolução Cramer.
Se não houver variáveis no sistema de equações lineares em uma ou mais equações, então no determinante os elementos correspondentes a elas são iguais a zero! Este é o próximo exemplo.
Exemplo 3 Resolva o sistema de equações lineares pelo método de Cramer:
.
Solução. Encontramos o determinante do sistema:
Observe atentamente o sistema de equações e o determinante do sistema e repita a resposta à pergunta em que casos um ou mais elementos do determinante são iguais a zero. Assim, o determinante não é igual a zero, portanto, o sistema é definido. Para encontrar sua solução, calculamos os determinantes para as incógnitas
Pelas fórmulas de Cramer encontramos:
Assim, a solução do sistema é (2; -1; 1).
Para verificar as soluções dos sistemas de equações 3 X 3 e 4 X 4, você pode usar a calculadora online, o método de resolução Cramer.
Como já mencionado, se o determinante do sistema for igual a zero, e os determinantes das incógnitas não forem iguais a zero, o sistema é inconsistente, ou seja, não tem soluções. Vamos ilustrar com o exemplo a seguir.
Exemplo 6 Resolva o sistema de equações lineares pelo método de Cramer:
Solução. Encontramos o determinante do sistema:
O determinante do sistema é igual a zero, portanto, o sistema de equações lineares ou é inconsistente e definido, ou inconsistente, ou seja, não tem soluções. Para esclarecer, calculamos os determinantes para as incógnitas
Os determinantes das incógnitas não são iguais a zero, portanto, o sistema é inconsistente, ou seja, não possui soluções.
Para verificar as soluções dos sistemas de equações 3 X 3 e 4 X 4, você pode usar a calculadora online, o método de resolução Cramer.
Nos problemas de sistemas de equações lineares, também existem aqueles em que, além das letras que denotam variáveis, existem também outras letras. Essas letras representam algum número, na maioria das vezes um número real. Na prática, tais equações e sistemas de equações levam a problemas de busca propriedades comuns quaisquer fenômenos ou objetos. Ou seja, você inventou alguma novo material ou um dispositivo, e para descrever suas propriedades, que são comuns independente do tamanho ou número de cópias, é necessário resolver um sistema de equações lineares, onde ao invés de alguns coeficientes para variáveis existem letras. Você não precisa procurar muito para obter exemplos.
O próximo exemplo é para um problema semelhante, apenas o número de equações, variáveis e letras que denotam algum número real aumenta.
Exemplo 8 Resolva o sistema de equações lineares pelo método de Cramer:
Solução. Encontramos o determinante do sistema:
Encontrando determinantes para incógnitas
