Carl Friedrich Gauss, maior matemático por muito tempo hesitou, escolhendo entre filosofia e matemática. Talvez tenha sido precisamente essa mentalidade que lhe permitiu deixar um “legado” tão notável na ciência mundial. Em particular, ao criar o "Método Gauss" ...
Durante quase 4 anos, os artigos deste site trataram da educação escolar, principalmente do ponto de vista da filosofia, dos princípios da (des)compreensão introduzidos na mente das crianças. Está chegando a hora de mais detalhes, exemplos e métodos... Acredito que esta é exatamente a abordagem do familiar, confuso e importanteáreas da vida dá melhores resultados.
Nós, pessoas, somos projetados de tal maneira que não importa o quanto falemos sobre pensamento abstrato, Mas entendimento Sempre acontece através de exemplos. Se não houver exemplos, então é impossível compreender os princípios... Assim como é impossível chegar ao topo de uma montanha, exceto percorrendo toda a encosta desde o pé.
O mesmo acontece com a escola: por enquanto histórias vivas Não basta que continuemos instintivamente a considerá-lo um lugar onde as crianças são ensinadas a compreender.
Por exemplo, ensinar o método Gaussiano...
De imediato farei uma ressalva: o método de Gauss tem uma aplicação muito mais ampla, por exemplo, na resolução sistemas de equações lineares. O que falaremos acontece na 5ª série. Esse iniciado, tendo compreendido isso, fica muito mais fácil entender as “opções mais avançadas”. Neste artigo estamos falando sobre Método (método) de Gauss para encontrar a soma de uma série
Aqui está um exemplo que trouxe da escola filho mais novo, cursando a 5ª série em um ginásio de Moscou.
Professor de matemática usando quadro interativo (métodos modernos treinamento) mostrou às crianças uma apresentação da história da “criação do método” pelo pequeno Gauss.
O professor da escola chicoteou o pequeno Karl (um método ultrapassado, não usado nas escolas hoje em dia) porque ele
em vez de adicionar números sequencialmente de 1 a 100, encontre sua soma percebido que pares de números igualmente espaçados das bordas de uma progressão aritmética somam o mesmo número. por exemplo, 100 e 1, 99 e 2. Depois de contar o número desses pares, o pequeno Gauss resolveu quase instantaneamente o problema proposto pelo professor. Pelo que foi executado diante de um público atônito. Para que outros fossem desencorajados de pensar.
O que o pequeno Gauss fez? desenvolvido sentido numérico? Percebido algum recurso série numérica com passo constante (progressão aritmética). E exatamente isso mais tarde fez dele um grande cientista, quem sabe perceber, tendo sentimento, instinto de compreensão.
É por isso que a matemática é valiosa, desenvolvendo capacidade de ver geral em particular - pensamento abstrato. Portanto, a maioria dos pais e empregadores consideram instintivamente a matemática uma disciplina importante ...
“Então você precisa aprender matemática, porque ela coloca sua mente em ordem.
M.V.Lomonosov".
Porém, os seguidores daqueles que açoitaram os futuros gênios com varas transformaram o Método em algo oposto. Como disse meu supervisor há 35 anos: “A questão foi aprendida”. Ou como meu filho mais novo disse ontem sobre o método de Gauss: “Talvez não valha a pena fazer disso uma grande ciência, hein?”
As consequências da criatividade dos “cientistas” são visíveis no nível da matemática escolar atual, no nível do seu ensino e na compreensão da “Rainha das Ciências” pela maioria.
Porém, vamos continuar...
Um professor de matemática de um ginásio de Moscou, explicando o método Gauss segundo Vilenkin, complicou a tarefa.
E se a diferença (passo) de uma progressão aritmética não for um, mas outro número? Por exemplo, 20.
O problema que ele deu aos alunos da quinta série:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Antes de conhecer o método do ginásio, vamos dar uma olhada na Internet: como fazem os professores e tutores de matemática?..
Um conhecido tutor em seu canal no YOUTUBE apresenta o seguinte raciocínio:
"Vamos escrever os números de 1 a 100 da seguinte forma:
primeiro uma série de números de 1 a 50, e logo abaixo dela outra série de números de 50 a 100, mas na ordem inversa"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Observe: a soma de cada par de números das linhas superior e inferior é a mesma e é igual a 101! Vamos contar o número de pares, é 50 e multiplicar a soma de um par pelo número de pares! Voila: O a resposta está pronta!"
“Se você não entendeu, não fique chateado!”, repetiu a professora três vezes durante a explicação. "Você fará esse método no 9º ano!"
Outro tutor, menos conhecido (a julgar pelo número de visualizações), adota uma abordagem mais científica, oferecendo um algoritmo de solução de 5 pontos que deve ser preenchido sequencialmente.
Para os não iniciados, 5 é um dos números de Fibonacci tradicionalmente considerados mágicos. Um método de 5 passos é sempre mais científico do que um método de 6 passos, por exemplo. ...E isso dificilmente é um acidente, muito provavelmente, o Autor é um adepto oculto da teoria de Fibonacci
Dana progressão aritmética: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Ao mesmo tempo, você precisa se lembrar mais uma regra : devemos adicionar um ao quociente resultante: caso contrário, obteremos um resultado menor em um que o número real de pares: 42 + 1 = 43.
Esta é a soma necessária da progressão aritmética de 4 a 256 com uma diferença de 6!
Veja como resolver o problema de encontrar a soma de uma série:
20+40+60+ ... +460+480+500
na 5ª série de um ginásio de Moscou, livro didático de Vilenkin (de acordo com meu filho).
Após a apresentação, o professor de matemática mostrou alguns exemplos usando o método gaussiano e deu à turma a tarefa de encontrar a soma dos números de uma série em incrementos de 20.
Isso exigia o seguinte:
Como você pode ver, isso é mais compacto e técnica eficaz: o número 3 também é membro da sequência de Fibonacci
O grande matemático certamente teria escolhido a filosofia se tivesse previsto em que seu “método” seria transformado por seus seguidores Professor de alemão, que açoitou Karl com varas. Ele teria visto o simbolismo, a espiral dialética e a imorredoura estupidez dos “professores”, tentando medir a harmonia do pensamento matemático vivo com a álgebra do mal-entendido ....
A propósito: você sabia. que o nosso sistema educativo está enraizado na escola alemã dos séculos XVIII e XIX?
Mas Gauss escolheu a matemática.
Qual é a essência do seu método?
EM simplificação. EM observando e compreendendo padrões simples de números. EM transformando a aritmética da escola seca em atividade interessante e emocionante , ativando no cérebro o desejo de continuar, em vez de bloquear atividades mentais de alto custo.
É possível usar uma das “modificações do método de Gauss” para calcular a soma dos números de uma progressão aritmética quase imediatamente? De acordo com os “algoritmos”, o pequeno Karl teria a garantia de evitar surras, desenvolver aversão à matemática e suprimir seus impulsos criativos pela raiz.
Por que o tutor aconselhou tão persistentemente os alunos do quinto ano a “não terem medo de mal-entendidos” do método, convencendo-os de que resolveriam “tais” problemas já no 9º ano? Ação psicologicamente analfabeta. Foi uma boa jogada observar: "Vê você já na 5ª série você pode resolva problemas que você só resolverá em 4 anos! Que ótimo sujeito você é!
Para usar o método Gaussiano, um nível de classe 3 é suficiente, quando as crianças normais já sabem somar, multiplicar e dividir números de 2 a 3 dígitos. Os problemas surgem devido à incapacidade dos professores adultos que estão “fora de sintonia” em explicar as coisas mais simples na linguagem humana normal, para não falar da matemática... Eles são incapazes de fazer com que as pessoas se interessem por matemática e desencorajam completamente mesmo aqueles que o são “ capaz."
Ou, como comentou meu filho: “fazer disso uma grande ciência”.
Minha esposa e eu explicamos esse “método” ao nosso filho, ao que parece, antes mesmo da escola...
“Olha, aqui estão os números de 1 a 100. O que você vê?”
A questão não é exatamente o que a criança vê. O truque é fazer com que ele olhe.
"Como você pode colocá-los juntos?" O filho percebeu que tais perguntas não são feitas “simplesmente assim” e é preciso olhar para a questão “de alguma forma diferente, diferente do que ele costuma fazer”
Não importa se a criança vê a solução imediatamente, é improvável. É importante que ele deixou de ter medo de olhar, ou como eu digo: “mudou a tarefa”. Este é o começo da jornada para a compreensão
“O que é mais fácil: somar, por exemplo, 5 e 6 ou 5 e 95?” Uma questão importante... Mas qualquer treinamento se resume a “guiar” uma pessoa para a “resposta” - de qualquer forma aceitável para ela.
Nesta fase já podem surgir palpites sobre como “economizar” nos cálculos.
Tudo o que fizemos foi sugerir: o método de contagem “frontal, linear” não é o único possível. Se uma criança entender isso, mais tarde ela apresentará muitos outros métodos desse tipo, porque é interessante!!! E ele definitivamente evitará “mal-entendidos” sobre a matemática e não sentirá nojo dela. Ele conseguiu a vitória!
Se criança descoberta que somar pares de números que somam cem é moleza, então "progressão aritmética com diferença 1"- uma coisa um tanto enfadonha e desinteressante para uma criança - de repente encontrei vida para ele . A ordem surgiu do caos e isso sempre causa entusiasmo: é assim que somos feitos!
Uma pergunta a ser respondida: por que, após o insight que uma criança recebeu, ela deveria ser novamente forçada a entrar na estrutura de algoritmos áridos, que também são funcionalmente inúteis neste caso?!
Por que forçar reescritas estúpidas? números sequenciais em um caderno: para que mesmo os capazes não tenham a menor chance de entender? Estatisticamente, é claro, mas a educação de massa é voltada para “estatísticas”...
E, no entanto, somar números que somam 100 é muito mais aceitável para a mente do que aqueles que somam 101...
O "Método Escolar Gauss" exige exatamente isto: dobrar sem pensar pares de números equidistantes do centro da progressão, Apesar de tudo.
E se você olhar?
Mesmo assim, o zero é a maior invenção da humanidade, que tem mais de 2.000 anos. E os professores de matemática continuam a ignorá-lo.
É muito mais fácil transformar uma série de números começando com 1 em uma série começando com 0. A soma não vai mudar, vai? Você precisa parar de “pensar nos livros didáticos” e começar a procurar... E veja que pares com soma de 101 podem ser completamente substituídos por pares com soma de 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Para ser sincero, ouvi falar dessa regra pela primeira vez com aquele tutor do YouTube...
O que ainda faço quando preciso determinar o número de membros de uma série?
Eu olho para a sequência:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
e quando estiver completamente cansado, passe para uma linha mais simples:
1, 2, 3, 4, 5
e eu pensei: se você subtrair um de 5, você obtém 4, mas estou absolutamente claro Eu vejo 5 números! Portanto, você precisa adicionar um! Sentido numérico desenvolvido em escola primária, sugere: mesmo que haja todo um Google de membros da série (10 elevado à centésima potência), o padrão permanecerá o mesmo.
Que diabos são as regras?..
Para que em alguns ou três anos você consiga preencher todo o espaço entre a testa e a nuca e parar de pensar? Como ganhar seu pão com manteiga? Afinal, estamos avançando em posições equilibradas para a era da economia digital!
Não foi à toa que postei uma captura de tela do caderno do meu filho...
"O que aconteceu na aula?"
“Bom, contei na hora, levantei a mão, mas ela não perguntou. Portanto, enquanto os outros contavam, comecei a fazer o dever de casa em russo para não perder tempo. Aí, quando os outros terminaram de escrever (? ??), ela me chamou para o quadro. Eu disse a resposta."
“Isso mesmo, me mostre como você resolveu”, disse a professora. Eu mostrei. Ela disse: “Errado, você precisa contar como eu mostrei!”
“Que bom que ela não deu nota ruim. E ela me fez escrever no caderno deles “o curso da solução” do jeito deles. Por que fazer disso uma grande ciência?..”
Pouco depois aquele incidente Carl Gauss experimentou um grande sentimento de respeito pelo professor de matemática da escola. Mas se ele soubesse como seguidores daquele professor distorcerá a própria essência do método... ele rugia de indignação e através organização mundial propriedade intelectual A OMPI conseguiu proibir o uso do seu bom nome nos livros escolares!..
O que erro principal abordagem escolar? Ou, como eu disse, um crime dos professores de matemática escolar contra as crianças?
O que fazem os metodologistas escolares, cuja grande maioria não sabe pensar?
Eles criam métodos e algoritmos (veja). Esse uma reação defensiva que protege os professores das críticas (“Tudo é feito de acordo com...”) e as crianças da compreensão. E assim - da vontade de criticar os professores!(A segunda derivada da “sabedoria” burocrática, uma abordagem científica do problema). Uma pessoa que não compreende o significado preferirá culpar seu próprio mal-entendido, em vez de culpar a estupidez do sistema escolar.
É o que acontece: os pais culpam os filhos e os professores... fazem o mesmo com as crianças que “não entendem matemática!”
Você é esperto?
O que o pequeno Karl fez?
Uma abordagem completamente não convencional para uma tarefa estereotipada. Esta é a essência de Sua abordagem. Esse a principal coisa que deve ser ensinada na escola é pensar não com os livros didáticos, mas com a cabeça. Claro, há também um componente instrumental que pode ser utilizado... em busca de mais simples e métodos eficazes contas.
Na escola ensinam que o método de Gauss é
O que, se o número de elementos da série for ímpar, como no problema que foi atribuído ao meu filho?..
O "problema" é que neste caso você deve encontrar um número “extra” na série e adicione à soma dos pares. No nosso exemplo este número é 260.
Como detectar? Copiando todos os pares de números em um caderno!(É por isso que o professor fez as crianças fazerem esse trabalho estúpido de tentar ensinar "criatividade" usando o método Gaussiano... E é por isso que tal "método" é praticamente inaplicável a grandes séries de dados, E é por isso que é não o método gaussiano.)
O filho agiu de forma diferente.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Não é difícil, certo?
Mas, na prática, é ainda mais fácil, o que permite reservar 2 a 3 minutos para sensoriamento remoto em russo, enquanto o resto está “contando”. Além disso, mantém o número de etapas do método: 5, o que não permite que a abordagem seja criticada por não ser científica.
Obviamente esta abordagem é mais simples, rápida e universal, ao estilo do Método. Mas... a professora não só não a elogiou, mas também a obrigou a reescrever " no caminho certo"(ver imagem). Ou seja, ela fez uma tentativa desesperada de reprimir o impulso criativo e a capacidade de entender a matemática em sua raiz! Aparentemente, para que mais tarde pudesse ser contratada como tutora... Ela atacou a pessoa errada. ..
Tudo o que descrevi de forma tão longa e tediosa pode ser explicado a uma criança normal em no máximo meia hora. Junto com exemplos.
E de tal forma que ele nunca se esqueça disso.
E será passo para a compreensão...não apenas matemáticos.
Admita: quantas vezes na sua vida você somou usando o método gaussiano? E eu nunca fiz!
Mas instinto de compreensão, que se desenvolve (ou se extingue) no processo de aprendizagem métodos matemáticos na escola... Ah!.. Isso é realmente uma coisa insubstituível!
Especialmente na era da digitalização universal, na qual entrámos silenciosamente sob a liderança estrita do Partido e do Governo.
É injusto e errado atribuir toda a responsabilidade por este estilo de ensino exclusivamente aos professores das escolas. O sistema está em vigor.
Alguns os professores entendem o absurdo do que está acontecendo, mas o que fazer? Lei de Educação, Normas Educacionais Estaduais Federais, métodos, mapas tecnológicos lições... Tudo deve ser feito “de acordo e com base em” e tudo deve ser documentado. Afaste-se - ficou na fila para ser demitido. Não sejamos hipócritas: os salários dos professores de Moscou são muito bons... Se te demitirem, para onde ir?..
Portanto este site não sobre educação. Ele está prestes educação individual, apenas maneira possível saia da multidão geração Z ...
1. Sistema linear equações algébricas
1.1 O conceito de um sistema de equações algébricas lineares
Um sistema de equações é uma condição que consiste na execução simultânea de diversas equações em relação a diversas variáveis. Um sistema de equações algébricas lineares (doravante denominado SLAE) contendo m equações en incógnitas é chamado de sistema da forma:
onde os números a ij são chamados de coeficientes do sistema, os números b i são chamados de termos livres, um ij E eu(i=1,…, m; b=1,…, n) representam alguns números conhecidos e x 1 ,…,xn- desconhecido. Na designação de coeficientes um ij o primeiro índice i denota o número da equação, e o segundo j é o número da incógnita em que se encontra esse coeficiente. Os números x n devem ser encontrados. É conveniente escrever tal sistema em uma forma matricial compacta: AX=B. Aqui A é a matriz de coeficientes do sistema, chamada de matriz principal;
– vetor coluna de incógnitas xj. O produto das matrizes A*X é definido, pois existem tantas colunas na matriz A quantas linhas na matriz X (n peças).
Expandido matriz do sistemaé chamada de matriz A do sistema, complementada por uma coluna de termos livres
1.2 Resolvendo um sistema de equações algébricas lineares
A solução de um sistema de equações é um conjunto ordenado de números (valores de variáveis), ao substituí-los em vez de variáveis, cada uma das equações do sistema se transforma em uma verdadeira igualdade.
Uma solução para um sistema são n valores das incógnitas x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, após a substituição das quais todas as equações do sistema se tornam igualdades verdadeiras. Qualquer solução do sistema pode ser escrita como uma matriz coluna
Um sistema de equações é dito consistente se tiver pelo menos uma solução, e inconsistente se não tiver nenhuma solução.
Um sistema consistente é dito determinado se tiver uma única solução, e indefinido se tiver mais de uma solução. Neste último caso, cada uma de suas soluções é chamada de solução particular do sistema. O conjunto de todas as soluções particulares é chamado de solução geral.
Resolver um sistema significa descobrir se ele é compatível ou inconsistente. Se o sistema for consistente, encontre-o decisão comum.
Dois sistemas são chamados de equivalentes (equivalentes) se tiverem a mesma solução geral. Em outras palavras, os sistemas são equivalentes se toda solução de um deles for solução do outro e vice-versa.
Uma transformação cuja aplicação transforma um sistema em um novo sistema equivalente ao original é chamada de transformação equivalente ou equivalente. Exemplos de transformações equivalentes incluem as seguintes transformações: troca de duas equações de um sistema, troca de duas incógnitas junto com os coeficientes de todas as equações, multiplicação de ambos os lados de qualquer equação de um sistema por um número diferente de zero.
Um sistema de equações lineares é chamado de homogêneo se todos os termos livres forem iguais a zero:
Um sistema homogêneo é sempre consistente, pois x1=x2=x3=…=xn=0 é uma solução do sistema. Esta solução é chamada zero ou trivial.
2. Método de eliminação gaussiana
2.1 A essência do método de eliminação gaussiana
O método clássico para resolver sistemas de equações algébricas lineares é o método eliminação sequencial desconhecido - Método gaussiano(também é chamado de método de eliminação gaussiana). Este é um método de eliminação sequencial de variáveis, quando, por meio de transformações elementares, um sistema de equações é reduzido a um sistema equivalente de forma escalonada (ou triangular), a partir do qual todas as outras variáveis são encontradas sequencialmente, começando pela última (por número) variáveis.
O processo de solução utilizando o método Gaussiano consiste em duas etapas: movimentos para frente e para trás.
1. Curso direto.
Na primeira etapa, realiza-se o chamado movimento direto, quando, por meio de transformações elementares ao longo das linhas, o sistema adquire uma forma escalonada ou triangular, ou se constata que o sistema é incompatível. Ou seja, entre os elementos da primeira coluna da matriz, selecione um diferente de zero, mova-o para a posição superior reorganizando as linhas e subtraia a primeira linha resultante das linhas restantes após o rearranjo, multiplicando-a por um valor igual à razão entre o primeiro elemento de cada uma dessas linhas e o primeiro elemento da primeira linha, zerando assim a coluna abaixo dela.
Após a conclusão dessas transformações, a primeira linha e a primeira coluna são riscadas mentalmente e continuadas até que reste uma matriz de tamanho zero. Se em alguma iteração não houver nenhum elemento diferente de zero entre os elementos da primeira coluna, vá para a próxima coluna e execute uma operação semelhante.
Na primeira fase (curso direto), o sistema é reduzido a uma forma escalonada (em particular, triangular).
O sistema abaixo possui uma forma escalonada:
,
Os coeficientes aii são chamados de elementos principais (líderes) do sistema.
(se a11=0, reorganize as linhas da matriz de modo que a 11 não era igual a 0. Isso é sempre possível, pois caso contrário a matriz contém uma coluna zero, seu determinante é igual a zero e o sistema é inconsistente).Vamos transformar o sistema eliminando a incógnita x1 em todas as equações, exceto a primeira (usando transformações elementares do sistema). Para fazer isso, multiplique ambos os lados da primeira equação por
e somar termo a termo com a segunda equação do sistema (ou da segunda equação subtrair termo a termo pela primeira, multiplicado por ). Em seguida, multiplicamos ambos os lados da primeira equação por e os somamos à terceira equação do sistema (ou da terceira subtraímos a primeira multiplicada por ). Assim, multiplicamos sequencialmente a primeira linha por um número e adicionamos a eu a linha, para eu= 2, 3, …,n.Continuando este processo, obtemos um sistema equivalente:
– novos valores de coeficientes para incógnitas e termos livres nas últimas equações m-1 do sistema, que são determinados pelas fórmulas: Assim, na primeira etapa, todos os coeficientes situados sob o primeiro elemento principal a 11 são destruídos
0, na segunda etapa os elementos situados sob o segundo elemento principal a 22 (1) são destruídos (se 22 (1) 0), etc. Continuando este processo, finalmente, na etapa (m-1), reduzimos o sistema original a um sistema triangular.Se, no processo de redução do sistema a uma forma escalonada, aparecerem equações zero, ou seja, igualdades da forma 0=0, elas são descartadas. Se uma equação da forma aparecer
então isso indica a incompatibilidade do sistema. É aqui que termina a progressão direta do método de Gauss.
2. Curso reverso.
Na segunda etapa, é realizado o chamado movimento reverso, cuja essência é expressar todas as variáveis básicas resultantes em termos de variáveis não básicas e construir sistema fundamental soluções, ou, se todas as variáveis forem básicas, expresse numericamente a solução única do sistema de equações lineares.
Este procedimento começa com a última equação, a partir da qual é expressa a variável básica correspondente (só há uma) e substituída nas equações anteriores, e assim sucessivamente, subindo os “degraus”.
Cada linha corresponde exatamente a uma variável de base, portanto, em cada passo, exceto o último (mais alto), a situação repete exatamente o caso da última linha.
Nota: na prática é mais conveniente trabalhar não com o sistema, mas com sua matriz estendida, realizando todas as transformações elementares em suas linhas. É conveniente que o coeficiente a11 seja igual a 1 (reorganize as equações ou divida ambos os lados da equação por a11).
Nesta seção há três vários exemplos Vamos mostrar como o método gaussiano pode resolver o SLAE.
Exemplo 1. Resolva um SLAE de 3ª ordem.
Vamos redefinir os coeficientes em
na segunda e terceira linhas. Para fazer isso, multiplique-os por 2/3 e 1, respectivamente, e adicione-os à primeira linha:
Uma das maneiras mais simples de resolver um sistema de equações lineares é uma técnica baseada no cálculo de determinantes ( Regra de Cramer). A sua vantagem é que permite registar imediatamente a solução, sendo especialmente cómodo nos casos em que os coeficientes do sistema não são números, mas sim alguns parâmetros. Sua desvantagem é a complexidade dos cálculos no caso de um grande número de equações, além disso, a regra de Cramer não é diretamente aplicável a sistemas em que o número de equações não coincide com o número de incógnitas. Nesses casos, geralmente é usado Método gaussiano.
Sistemas de equações lineares com o mesmo conjunto de soluções são chamados equivalente. Obviamente, muitas soluções sistema linear não muda se alguma equação for trocada, ou se uma das equações for multiplicada por algum número diferente de zero, ou se uma equação for adicionada a outra.
Método Gaussiano (método de eliminação sequencial de incógnitas) é que com a ajuda de transformações elementares o sistema é reduzido a um sistema equivalente do tipo degrau. Primeiro, usando a 1ª equação, eliminamos x 1 de todas as equações subsequentes do sistema. Então, usando a 2ª equação, eliminamos x 2 da 3ª e todas as equações subsequentes. Esse processo, chamado método gaussiano direto, continua até que reste apenas uma incógnita no lado esquerdo da última equação x n. Depois disso está feito inverso do método gaussiano– resolvendo a última equação, encontramos x n; depois disso, usando este valor, a partir da penúltima equação calculamos x n–1, etc. Encontramos o último x 1 da primeira equação.
É conveniente realizar transformações gaussianas realizando transformações não com as próprias equações, mas com as matrizes de seus coeficientes. Considere a matriz:
chamado matriz estendida do sistema, pois, além da matriz principal do sistema, inclui uma coluna de termos livres. O método gaussiano baseia-se na redução da matriz principal do sistema a uma forma triangular (ou trapezoidal no caso de sistemas não quadrados) utilizando transformações elementares de linha (!) da matriz estendida do sistema.
Exemplo 5.1. Resolva o sistema usando o método gaussiano:
Solução. Vamos escrever a matriz estendida do sistema e, utilizando a primeira linha, em seguida zeraremos os demais elementos:
obtemos zeros na 2ª, 3ª e 4ª linhas da primeira coluna:
Agora precisamos que todos os elementos da segunda coluna abaixo da 2ª linha sejam iguais a zero. Para fazer isso, você pode multiplicar a segunda linha por –4/7 e adicioná-la à terceira linha. Porém, para não tratar de frações, vamos criar uma unidade na 2ª linha da segunda coluna e apenas
Agora, para obter uma matriz triangular, você precisa zerar o elemento da quarta linha da 3ª coluna, para isso você pode multiplicar a terceira linha por 8/54 e adicioná-la à quarta. Porém, para não lidar com frações, trocaremos a 3ª e a 4ª linhas e a 3ª e a 4ª colunas e só depois zeraremos o elemento especificado. Observe que ao reorganizar as colunas, as variáveis correspondentes trocam de lugar e isso deve ser lembrado; outras transformações elementares com colunas (adição e multiplicação por um número) não podem ser realizadas!
A última matriz simplificada corresponde a um sistema de equações equivalente ao original:
A partir daqui, usando o inverso do método gaussiano, encontramos na quarta equação x 3 = –1; do terceiro x 4 = –2, do segundo x 2 = 2 e da primeira equação x 1 = 1. Na forma de matriz, a resposta é escrita como
Consideramos o caso quando o sistema é definido, ou seja, quando há apenas uma solução. Vamos ver o que acontece se o sistema for inconsistente ou incerto.
Exemplo 5.2. Explore o sistema usando o método gaussiano:
Solução. Escrevemos e transformamos a matriz estendida do sistema
Escrevemos um sistema simplificado de equações:
Aqui, na última equação, verifica-se que 0=4, ou seja, contradição. Consequentemente, o sistema não tem solução, ou seja, ela incompatível. à
Exemplo 5.3. Explore e resolva o sistema usando o método Gaussiano:
Solução. Escrevemos e transformamos a matriz estendida do sistema:
Como resultado das transformações, a última linha contém apenas zeros. Isso significa que o número de equações diminuiu em um:
Assim, após simplificações, restam duas equações e quatro incógnitas, ou seja, dois "extras" desconhecidos. Que sejam "supérfluos", ou, como dizem, variáveis livres, vai x 3 e x 4. Então
Acreditar x 3 = 2a E x 4 = b, Nós temos x 2 = 1–a E x 1 = 2b–a; ou em forma de matriz
Uma solução escrita desta forma é chamada em geral, porque, dando parâmetros a E b Significados diferentes, é possível descrever todas as soluções possíveis do sistema. a
Seja o sistema dado, ∆≠0. (1)A essência do método de Gauss é transformar (1) em um sistema com matriz triangular, a partir do qual os valores de todas as incógnitas são obtidos sequencialmente (ao contrário). Vamos considerar um dos esquemas computacionais. Este circuito é chamado de circuito de divisão única. Então, vamos dar uma olhada neste diagrama. Deixe 11 ≠0 (elemento líder) dividir a primeira equação por 11. Nós temos
(2)
Utilizando a equação (2), é fácil eliminar as incógnitas x 1 das demais equações do sistema (para isso basta subtrair a equação (2) de cada equação, previamente multiplicada pelo coeficiente correspondente para x 1) , ou seja, na primeira etapa obtemos
.
Em outras palavras, na etapa 1, cada elemento das linhas subsequentes, a partir da segunda, é igual à diferença entre o elemento original e o produto de sua “projeção” na primeira coluna e na primeira linha (transformada).
Em seguida, deixando a primeira equação sozinha, realizamos uma transformação semelhante nas demais equações do sistema obtidas na primeira etapa: selecionamos dentre elas a equação com o elemento líder e, com sua ajuda, excluímos x 2 do restante equações (etapa 2).
Após n etapas, em vez de (1), obtemos um sistema equivalente 
(3)
Assim, na primeira etapa obtemos um sistema triangular (3). Este estágio é chamado de golpe para frente.
Na segunda etapa (reversa), encontramos sequencialmente a partir de (3) os valores x n, x n -1, ..., x 1.
Vamos denotar a solução resultante como x 0 . Então a diferença ε=b-A x 0 chamado residual.
Se ε=0, então a solução encontrada x 0 está correta.
Os cálculos usando o método gaussiano são realizados em duas etapas:
Exemplo de solução usando o método Gaussiano
Vamos resolver o sistema: 
Para facilitar o cálculo, vamos trocar as linhas: 
Vamos multiplicar a 2ª linha por (2). Adicione a 3ª linha à 2ª 
Multiplique a 2ª linha por (-1). Adicione a 2ª linha à 1ª 
A partir da 1ª linha expressamos x 3:
A partir da 2ª linha expressamos x 2:
A partir da 3ª linha expressamos x 1: 
Um exemplo de solução usando o método Jordano-Gauss
Vamos resolver o mesmo SLAE usando o método Jordano-Gauss. 
Selecionaremos sequencialmente o elemento de resolução RE, que se encontra na diagonal principal da matriz.
O elemento de resolução é igual a (1).
NE = SE - (A*B)/RE
RE - elemento de resolução (1), A e B - elementos da matriz formando um retângulo com os elementos STE e RE.
Vamos apresentar o cálculo de cada elemento em forma de tabela:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Dois sistemas de equações lineares são chamados equivalentes se o conjunto de todas as suas soluções coincide.
As transformações elementares de um sistema de equações são:
- Excluindo equações triviais do sistema, ou seja, aqueles para os quais todos os coeficientes são iguais a zero;
- Multiplicar qualquer equação por um número diferente de zero;
- Adicionando a qualquer i-ésima equação qualquer j-ésima equação multiplicada por qualquer número.
Uma variável x i é chamada de livre se esta variável não for permitida, mas todo o sistema de equações for permitido.
Teorema. As transformações elementares transformam um sistema de equações em um sistema equivalente.
O significado do método gaussiano é transformar o sistema de equações original e obter um sistema equivalente resolvido ou inconsistente equivalente.
Portanto, o método gaussiano consiste nas seguintes etapas:
Como resultado, após alguns passos obteremos um sistema resolvido (possivelmente com variáveis livres) ou um sistema inconsistente. Os sistemas permitidos se enquadram em dois casos:
Isso é tudo! Sistema de equações lineares resolvido! Este é um algoritmo bastante simples e para dominá-lo você não precisa entrar em contato com um tutor de matemática superior. Vejamos um exemplo:
Tarefa. Resolva o sistema de equações:
Descrição das etapas:
Decisão comum sistema conjunto equações lineares são novo sistema, equivalente ao original, em que todas as variáveis permitidas são expressas em termos de variáveis livres.
Quando poderá ser necessária uma solução geral? Se você tiver que executar menos etapas do que k (k é quantas equações existem). No entanto, as razões pelas quais o processo termina em alguma etapa l< k , может быть две:
É importante compreender que o surgimento de uma equação inconsistente usando o método gaussiano é base suficiente para inconsistência. Ao mesmo tempo, notamos que, como resultado da l-ésima etapa, nenhuma equação trivial pode permanecer - todas elas são riscadas logo no processo.
Descrição das etapas:
Portanto, o sistema é inconsistente porque uma equação inconsistente foi descoberta.
Tarefa. Explore a compatibilidade e encontre uma solução geral para o sistema:
Descrição das etapas:
Assim, o sistema é consistente e indeterminado, pois existem duas variáveis permitidas (x 1 e x 2) e duas livres (x 3 e x 4).
