Inúmeros números diferentes nos cercam todos os dias. Certamente muitas pessoas pelo menos uma vez se perguntaram qual número é considerado o maior. Você pode simplesmente dizer a uma criança que isso é um milhão, mas os adultos estão bem cientes de que outros números seguem um milhão. Por exemplo, basta adicionar um ao número todas as vezes, e ele se tornará cada vez mais - isso acontece ad infinitum. Mas se você desmontar os números que têm nomes, poderá descobrir como é chamado o maior número do mundo.
Até o momento, existem 2 sistemas segundo os quais os nomes são dados aos números - americano e inglês. A primeira é bastante simples, e a segunda é a mais comum em todo o mundo. O americano permite que você dê nomes a números grandes assim: primeiro, o número ordinal em latim é indicado e, em seguida, o sufixo “million” é adicionado (a exceção aqui é um milhão, que significa mil). Este sistema é usado por americanos, franceses, canadenses e também é usado em nosso país.
O inglês é amplamente utilizado na Inglaterra e na Espanha. Segundo ele, os números são nomeados assim: o numeral em latim é “plus” com o sufixo “million”, e o próximo (mil vezes maior) número é “plus” “billion”. Por exemplo, um trilhão vem primeiro, seguido por um trilhão, um quatrilhão segue um quatrilhão e assim por diante.
Assim, o mesmo número em diferentes sistemas pode significar coisas diferentes, por exemplo, um bilhão americano no sistema inglês é chamado de bilhão.
Além dos números que são escritos de acordo com os sistemas conhecidos (dados acima), também existem os fora do sistema. Eles têm seus próprios nomes, que não incluem prefixos latinos.
Você pode começar sua consideração com um número chamado miríade. É definido como cem centenas (10000). Mas para o propósito pretendido, esta palavra não é usada, mas é usada como uma indicação de uma multidão inumerável. Até mesmo o dicionário de Dahl gentilmente fornecerá uma definição de tal número.
O próximo após a miríade é googol, denotando 10 elevado a 100. Pela primeira vez, esse nome foi usado em 1938 por um matemático americano E. Kasner, que observou que seu sobrinho surgiu com esse nome.
Google (motor de busca) recebeu seu nome em homenagem ao Google. Então 1 com um googol de zeros (1010100) é um googolplex - Kasner também criou esse nome.
Ainda maior que o googolplex é o número de Skewes (e elevado a e elevado a e79), proposto por Skuse ao provar a conjectura de Riemann sobre números primos (1933). Existe outro número de Skewes, mas é usado quando a hipótese de Rimmann é injusta. É bastante difícil dizer qual deles é maior, especialmente quando se trata de grandes graus. No entanto, esse número, apesar de sua “enormidade”, não pode ser considerado o maior de todos os que possuem nomes próprios.
E o líder entre os maiores números do mundo é o número de Graham (G64). Foi ele quem foi usado pela primeira vez para realizar provas em campo ciência matemática(1977).
Quando nós estamos falando sobre esse número, você precisa saber que não pode prescindir de um sistema especial de 64 níveis criado por Knuth - a razão para isso é a conexão do número G com hipercubos bicromáticos. Knuth inventou o supergrau e, para facilitar o registro, sugeriu usar as setas para cima. Então aprendemos como é chamado o maior número do mundo. Vale a pena notar que esse número G entrou nas páginas do famoso Livro de Registros.
É impossível responder a esta pergunta corretamente, pois a série numérica não tem limite superior. Assim, para qualquer número, basta adicionar um para obter um número ainda maior. Embora os próprios números sejam infinitos, eles não têm muitos nomes próprios, pois a maioria deles se contenta com nomes compostos de números menores. Assim, por exemplo, os números e têm seus próprios nomes "um" e "cem", e o nome do número já é composto ("cento e um"). É claro que no conjunto finito de números que a humanidade concedeu próprio nome deve ser algum número maior. Mas como se chama e a que equivale? Vamos tentar descobrir e, ao mesmo tempo, descobrir como os grandes números matemáticos chegaram.
Escala "curta" e "longa"
No sistema de Schücke, um número que estivesse entre um milhão e um bilhão não tinha nome próprio e era simplesmente chamado de "mil milhões", da mesma forma era chamado de "mil bilhões", - "mil trilhões", etc. Não era muito conveniente e, em 1549, o escritor e cientista francês Jacques Peletier du Mans (1517-1582) propôs nomear esses números "intermediários" usando os mesmos prefixos latinos, mas a terminação "-billion". Então, começou a ser chamado de "billion", - "billiard", - "trilliard", etc.
O sistema Shuquet-Peletier tornou-se gradualmente popular e foi usado em toda a Europa. No entanto, no século 17, surgiu um problema inesperado. Acontece que, por algum motivo, alguns cientistas começaram a se confundir e chamar o número não de “um bilhão” ou “mil milhões”, mas de “um bilhão”. Logo esse erro se espalhou rapidamente e surgiu uma situação paradoxal - "billion" tornou-se simultaneamente sinônimo de "billion" () e "million million" ().
Essa confusão continuou por muito tempo e levou ao fato de que nos EUA eles criaram seu próprio sistema de nomeação de grandes números. De acordo com o sistema americano, os nomes dos números são construídos da mesma forma que no sistema Schuke - o prefixo latino e a terminação "million". No entanto, esses números são diferentes. Se no sistema Schuecke os nomes com a terminação "million" recebiam números que eram potências de um milhão, então no sistema americano a terminação "-million" recebia as potências de mil. Ou seja, mil milhões () ficaram conhecidos como "bilhão", () - "trilhões", () - "quadrilhão", etc.
O antigo sistema de nomeação de grandes números continuou a ser usado na conservadora Grã-Bretanha e começou a ser chamado de "britânico" em todo o mundo, apesar de ter sido inventado pelos franceses Shuquet e Peletier. No entanto, na década de 1970, o Reino Unido mudou oficialmente para o "sistema americano", o que levou ao fato de que se tornou estranho chamar um sistema de americano e outro de britânico. Como resultado, o sistema americano é agora comumente referido como a "escala curta" e o sistema britânico ou Chuquet-Peletier como a "escala longa".
Para não ficar confuso, vamos resumir o resultado intermediário:
| Nome do número | Valor na "escala curta" | Valor na "longa escala" |
| Milhão | ||
| Bilhão | ||
| Bilhão | ||
| de bilhar | - | |
| Trilhão | ||
| trilhão | - | |
| quatrilhão | ||
| quatrilhão | - | |
| Quintilhão | ||
| quintilhões | - | |
| Sextilhão | ||
| Sextilhão | - | |
| Septillion | ||
| Septilliard | - | |
| Octilhões | ||
| Octiliar | - | |
| Quintilhão | ||
| Não-bilhar | - | |
| Decilhão | ||
| Deciliard | - | |
| Vigintilhão | ||
| viginbilhões | - | |
| Centilhão | ||
| Centbilhão | - | |
| milhões | ||
| Milhares de dólares | - |
É curioso que no nosso país a transição final para a escala curta tenha ocorrido apenas na segunda metade do século XX. Assim, por exemplo, mesmo Yakov Isidorovich Perelman (1882-1942) em seu “Entertaining Arithmetic” menciona a existência paralela de duas escalas na URSS. A escala curta, segundo Perelman, era usada na vida cotidiana e em cálculos financeiros, e a longa era usada em livros científicos de astronomia e física. No entanto, agora é errado usar uma escala longa na Rússia, embora os números sejam grandes.
Mas voltando a encontrar o maior número. Após um decilhão, os nomes dos números são obtidos combinando prefixos. É assim que são obtidos números como undecilhão, duodecilhão, tredecilhão, quattordecilhão, quindecilhão, sexodecilhão, septemdecilhão, octodecilhão, novemdecilhão, etc. No entanto, esses nomes não nos interessam mais, pois concordamos em encontrar o maior número com seu próprio nome não composto.
Se nos voltarmos para a gramática latina, descobriremos que os romanos tinham apenas três nomes não compostos para números maiores que dez: viginti - "vinte", centum - "cem" e mille - "mil". Para números maiores que "mil", os romanos não tinham nomes próprios. Por exemplo, um milhão () Os romanos a chamavam de “decies centena milia”, ou seja, “dez vezes cem mil”. De acordo com a regra de Schuecke, esses três numerais latinos restantes nos dão nomes para números como "vigintillion", "centillion" e "milleillion".
Assim, descobrimos que na “escala curta” o número máximo que tem nome próprio e não é composto de números menores é “milhões” (). Se uma “longa escala” de números de nomenclatura fosse adotada na Rússia, o maior número com seu próprio nome seria “millionillion” ().
No entanto, existem nomes para números ainda maiores.
Números fora do sistema
Até o século XVII, a Rus' usava seu próprio sistema para nomear números. Dezenas de milhares foram chamados de "escuros", centenas de milhares foram chamados de "legiões", milhões foram chamados de "leodras", dezenas de milhões foram chamados de "corvos" e centenas de milhões foram chamados de "baralhos". Essa conta de até centenas de milhões foi chamada de “conta pequena”, e em alguns manuscritos os autores também consideraram a “conta grande”, na qual os mesmos nomes eram usados para grandes números, mas com significado diferente. Assim, "escuridão" não significava mais dez mil, mas mil mil () , "legião" - a escuridão daqueles () ; "leodr" - legião de legiões () , "corvo" - leodr leodrov (). "Deck" na grande conta eslava por algum motivo não foi chamado de "corvo dos corvos" () , mas apenas dez "corvos", isto é (ver tabela).
| Nome do número | Significado em "pequena contagem" | Significado na "grande conta" | Designação |
| Escuro | |||
| Legião | |||
| Leodr | |||
| Ravena (Corvo) | |||
| Área coberta | |||
| Escuridão de tópicos |  |
O nome para um número ainda maior que o googol surgiu em 1950 graças ao pai da ciência da computação, Claude Shannon (Claude Elwood Shannon, 1916–2001). Em seu artigo "Programming a Computer to Play Chess", ele tentou estimar o número de variantes possíveis de um jogo de xadrez. De acordo com ele, cada jogo dura uma média de lances, e em cada lance o jogador faz uma escolha média de opções, que corresponde (aproximadamente igual) às opções do jogo. Este trabalho tornou-se amplamente conhecido, e este número ficou conhecido como o "número de Shannon".
No conhecido tratado budista Jaina Sutra, que remonta a 100 aC, o número "asankheya" é encontrado igual a . Acredita-se que este número seja igual ao número de ciclos cósmicos necessários para alcançar o nirvana.
Milton Sirotta, de nove anos, entrou na história da matemática não apenas inventando o número googol, mas também sugerindo outro número ao mesmo tempo - “googolplex”, que é igual à potência de “googol”, ou seja, um com o googol de zeros.
Dois números maiores que o googolplex foram propostos pelo matemático sul-africano Stanley Skewes (1899-1988) ao provar a hipótese de Riemann. O primeiro número, que mais tarde veio a ser chamado de "primeiro número de Skews", é igual à potência à potência de , ou seja, . No entanto, o "segundo número de Skewes" é ainda maior e equivale a .
Obviamente, quanto mais graus no número de graus, mais difícil é escrever os números e entender seu significado ao ler. Além disso, é possível chegar a esses números (e eles, a propósito, já foram inventados), quando os graus dos graus simplesmente não cabem na página. Sim, que página! Eles não cabem nem em um livro do tamanho de todo o universo! Nesse caso, surge a questão de como anotar esses números. Felizmente, o problema pode ser resolvido e os matemáticos desenvolveram vários princípios para escrever esses números. É verdade que todos os matemáticos que perguntaram esse problema criaram sua própria maneira de escrever, o que levou à existência de várias maneiras não relacionadas de escrever números grandes - essas são as notações de Knuth, Conway, Steinhaus etc. com alguns deles.
Outras notações
"em um triângulo" significa "",
"em um quadrado" significa "em triângulos",
"em um círculo" significa "em quadrados".
Explicando essa forma de escrever, Steinhaus apresenta o número "mega", igual em um círculo e mostra que é igual em um "quadrado" ou em triângulos. Para calculá-lo, você precisa elevá-lo a uma potência, elevar o número resultante a uma potência, depois aumentar o número resultante à potência do número resultante e assim por diante para aumentar a potência das vezes. Por exemplo, a calculadora no MS Windows não pode calcular devido ao estouro mesmo em dois triângulos. Aproximadamente este grande número é .
Tendo determinado o número "mega", Steinhaus convida os leitores a avaliar independentemente outro número - "medzon", igual em um círculo. Em outra edição do livro, Steinhaus, em vez da medzone, propõe estimar um número ainda maior - “megiston”, igual em um círculo. Seguindo Steinhaus, também recomendarei aos leitores que se afastem deste texto por um tempo e tentem escrever esses números usando poderes comuns para sentir sua gigantesca magnitude.
No entanto, existem nomes para números grandes. Assim, o matemático canadense Leo Moser (Leo Moser, 1921-1970) finalizou a notação Steinhaus, que era limitada pelo fato de que se fosse necessário escrever números muito maiores que um megiston, surgiriam dificuldades e inconvenientes, pois muitos círculos teriam que ser desenhados um dentro do outro. Moser sugeriu desenhar não círculos após quadrados, mas pentágonos, depois hexágonos e assim por diante. Ele também propôs uma notação formal para esses polígonos, para que os números pudessem ser escritos sem desenhar padrões complexos. A notação de Moser fica assim:
"triângulo" = = ;
"em um quadrado" = = "em triângulos" =;
"no pentágono" = = "nos quadrados" = ;
"em -gon" = = "em -gons" = .
Assim, de acordo com a notação de Moser, o "mega" Steinhausiano é escrito como , "medzon" como , e "megiston" como . Além disso, Leo Moser propôs chamar um polígono com o número de lados igual a mega - "megagon". E ofereceu um número « em um megagon", isto é. Este número ficou conhecido como o número de Moser, ou simplesmente como "moser".
Mas mesmo "moser" não é o maior número. Assim, o maior número já usado em uma prova matemática é o "número de Graham". Este número foi usado pela primeira vez pelo matemático americano Ronald Graham em 1977 ao provar uma estimativa na teoria de Ramsey, ou seja, ao calcular as dimensões de certos -dimensional hipercubos bicromáticos. O número de Graham ganhou fama somente após a história sobre ele no livro de 1989 de Martin Gardner "From Penrose Mosaics to Secure Ciphers".
Para explicar o quão grande é o número de Graham, é preciso explicar outra maneira de escrever números grandes, introduzida por Donald Knuth em 1976. O professor americano Donald Knuth surgiu com o conceito de supergrau, que ele propôs escrever com setas apontando para cima.
Operações aritméticas comuns - adição, multiplicação e exponenciação - naturalmente pode ser expandido em uma sequência de hiperoperadores como segue.
A multiplicação de números naturais pode ser definida através da operação repetida de adição (“adicionar cópias de um número”):
Por exemplo,
Elevar um número a uma potência pode ser definido como uma operação de multiplicação repetida ("multiplicar cópias de um número") e, na notação de Knuth, essa notação se parece com uma única seta apontando para cima:
Por exemplo,
Essa única seta para cima foi usada como um ícone de grau na linguagem de programação Algol.
Por exemplo,
Aqui e abaixo, a avaliação da expressão sempre vai da direita para a esquerda, também os operadores de seta de Knuth (assim como a operação de exponenciação) por definição têm associatividade à direita (ordenação da direita para a esquerda). De acordo com essa definição,
Isso já leva a números bastante grandes, mas a notação não termina aí. O operador de seta tripla é usado para escrever a exponenciação repetida do operador de seta dupla (também conhecido como "pentação"):
Em seguida, o operador "seta quádrupla":
etc. Regra geral operador "-EU arrow", de acordo com a associatividade à direita, continua à direita em uma série sequencial de operadores « flecha". Simbolicamente, isso pode ser escrito da seguinte forma,
Por exemplo:
A forma de notação é geralmente usada para escrever com setas.
Alguns números são tão grandes que até mesmo escrever com as setas de Knuth se torna muito complicado; neste caso, o uso do operador -seta é preferível (e também para uma descrição com número variável de setas), ou equivalente, aos hiperoperadores. Mas alguns números são tão grandes que mesmo essa notação não é suficiente. Por exemplo, o número de Graham.
Ao usar a notação de seta de Knuth, o número de Graham pode ser escrito como
Onde o número de setas em cada camada, começando do topo, é determinado pelo número na próxima camada, ou seja, onde , onde o sobrescrito na seta mostra o número total de setas. Ou seja, é calculado em etapas: na primeira etapa calculamos com quatro setas entre três, na segunda - com setas entre três, na terceira - com setas entre três e assim por diante; no final, calculamos a partir das setas entre os trigêmeos.
Isso pode ser escrito como , onde , onde o sobrescrito y denota iterações de função.
Se outros números com "nomes" puderem ser combinados com o número correspondente de objetos (por exemplo, o número de estrelas na parte visível do Universo é estimado em sextilhões - , e o número de átomos que compõem Terra tem a ordem de dodecallions), então o googol já é "virtual", sem falar no número de Graham. A escala do primeiro termo sozinho é tão grande que é quase impossível compreendê-lo, embora a notação acima seja relativamente fácil de entender. Embora - este seja apenas o número de torres nesta fórmula para , esse número já é muito mais quantidade Volumes de Planck (o menor possível volume físico) que estão contidos no universo observável (aproximadamente ). Após o primeiro membro, outro membro da sequência em rápido crescimento nos espera.
Existem números que são tão incrivelmente grandes que levaria o universo inteiro para anotá-los. Mas aqui está o que é realmente enlouquecedor... alguns desses números incompreensivelmente grandes são extremamente importantes para entender o mundo.
Quando digo "o maior número do universo", quero dizer realmente o maior significativo número, o número máximo possível que é útil de alguma forma. Existem muitos candidatos a este título, mas já aviso: há de fato o risco de que tentar entender tudo isso vai explodir sua mente. E além disso, com muita matemática, você se diverte pouco.
Googol e googolplex
Eduardo Kasner
Poderíamos começar com dois, provavelmente os maiores números que você já ouviu falar, e esses são de fato os dois maiores números que têm definições comumente aceitas em língua Inglesa. (Existe uma nomenclatura bastante precisa usada para números tão grandes quanto você gostaria, mas esses dois números não são encontrados atualmente em dicionários.) Google, desde que se tornou mundialmente famoso (embora com erros, observe. na verdade é googol) em a forma do Google, nasceu em 1920 como forma de fazer com que as crianças se interessassem por grandes números.
Para este fim, Edward Kasner (foto) levou seus dois sobrinhos, Milton e Edwin Sirott, em uma turnê em New Jersey Palisades. Convidou-os a terem alguma ideia, e então Milton, de nove anos, sugeriu “googol”. De onde ele tirou essa palavra é desconhecido, mas Kasner decidiu que 
ou um número em que cem zeros seguem o um será doravante chamado de googol.
Mas o jovem Milton não parou por aí, ele veio com um número ainda maior, o googolplex. É um número, de acordo com Milton, que tem primeiro 1 e depois tantos zeros quanto você puder escrever antes de se cansar. Embora essa ideia seja encantadora, Kasner decidiu que mais definição formal. Como ele explicou em seu livro de 1940, Mathematics and the Imagination, a definição de Milton deixa aberta a perigosa possibilidade de que um bobo da corte ocasional possa se tornar um matemático superior a Albert Einstein simplesmente porque ele tem mais resistência.
Então Kasner decidiu que o googolplex seria , ou 1, seguido por um googol de zeros. Caso contrário, e em uma notação semelhante àquela com que vamos lidar com outros números, diremos que o googolplex é . Para mostrar como isso é fascinante, Carl Sagan comentou uma vez que era fisicamente impossível escrever todos os zeros de um googolplex porque simplesmente não havia espaço suficiente no universo. Se você preencher todo o volume do universo observável pequenas partículas poeira com um tamanho de aproximadamente 1,5 mícrons, o número várias maneiras a localização dessas partículas será aproximadamente igual a um googolplex.
Linguisticamente falando, googol e googolplex são provavelmente os dois maiores números significativos (pelo menos em inglês), mas, como veremos agora, existem infinitas maneiras de definir “significação”.
Mundo real
Se falamos sobre o maior número significativo, há um argumento razoável de que isso realmente significa que você precisa encontrar o maior número com um valor que realmente existe no mundo. Podemos começar com a população humana atual, que atualmente é de cerca de 6.920 milhões. O PIB mundial em 2010 foi estimado em cerca de US$ 61.960 bilhões, mas ambos os números são pequenos em comparação com os cerca de 100 trilhões de células que compõem o corpo humano. Claro, nenhum desses números pode se comparar com o número total de partículas no universo, que geralmente é considerado cerca de , e esse número é tão grande que nossa linguagem não tem uma palavra para ele.
Podemos brincar um pouco com os sistemas de medição, tornando os números cada vez maiores. Assim, a massa do Sol em toneladas será menor do que em libras. Uma ótima maneira de fazer isso é usar as unidades de Planck, que são as menores medidas possíveis para as quais as leis da física ainda valem. Por exemplo, a idade do universo no tempo de Planck é de cerca de . Se voltarmos à primeira unidade de tempo Planck após o Big Bang, veremos que a densidade do Universo era então . Estamos cada vez mais, mas ainda nem chegamos a um googol.
O número mais alto com qualquer aplicativo do mundo real - ou, em este caso aplicação real em mundos - provavelmente, - uma das últimas estimativas do número de universos no multiverso. Esse número é tão grande que o cérebro humano será literalmente incapaz de perceber todos esses universos diferentes, já que o cérebro só é capaz de configurações grosseiras. Na verdade, esse número é provavelmente o maior número com algum significado prático, se você não levar em conta a ideia do multiverso como um todo. No entanto, ainda existem números muito maiores à espreita lá. Mas, para encontrá-los, devemos entrar no reino da matemática pura, e não um começo melhor do que os números primos.
primos de Mersenne
Parte da dificuldade é chegar a uma boa definição do que é um número “significativo”. Uma maneira é pensar em termos de primos e compostos. Um número primo, como você provavelmente se lembra da matemática escolar, é qualquer número natural (não igual a um) que é divisível apenas por si mesmo. Então, e são números primos, e e são números compostos. Isso significa que qualquer número composto pode eventualmente ser representado por seus divisores primos. Em certo sentido, o número é mais importante do que, digamos, porque não há como expressá-lo em termos do produto de números menores.
Obviamente podemos ir um pouco mais longe. , por exemplo, é na verdade apenas , o que significa que em um mundo hipotético onde nosso conhecimento de números é limitado a , um matemático ainda pode expressar . Mas o próximo número já é primo, o que significa que a única maneira de expressá-lo é saber diretamente sobre sua existência. Isso significa que os maiores números primos conhecidos desempenham um papel importante, mas, digamos, um googol - que em última análise é apenas uma coleção de números e , multiplicados juntos - na verdade não. E como os números primos são em sua maioria aleatórios, não há nenhuma maneira conhecida de prever que um número incrivelmente grande será realmente primo. Até hoje, descobrir novos números primos é uma tarefa difícil.
Matemáticos Grécia antiga tinha um conceito de números primos pelo menos tão cedo quanto 500 aC, e 2000 anos depois as pessoas ainda sabiam o que eram números primos apenas até cerca de 750. Os pensadores de Euclides viram a possibilidade de simplificação, mas até o Renascimento, os matemáticos não conseguiam colocá-lo em prática. Esses números são conhecidos como números de Mersenne e são nomeados em homenagem à cientista francesa do século XVII, Marina Mersenne. A ideia é bastante simples: um número de Mersenne é qualquer número da forma . Então, por exemplo, e esse número é primo, o mesmo vale para .
Os primos de Mersenne são muito mais rápidos e fáceis de determinar do que qualquer outro tipo de primo, e os computadores têm trabalhado duro para encontrá-los nas últimas seis décadas. Até 1952, o maior número primo conhecido era um número — um número com dígitos. No mesmo ano, foi calculado em um computador que o número é primo, e esse número é composto por dígitos, o que o torna já muito maior que um googol.
Os computadores estão em busca desde então, e atualmente o número de Mersenne é o maior número primo, conhecido da humanidade. Descoberto em 2008, é um número com quase milhões de dígitos. Este é o maior número conhecido que não pode ser expresso em termos de números menores, e se você quiser ajudar a encontrar um número de Mersenne ainda maior, você (e seu computador) sempre podem participar da pesquisa em http://www.mersenne. org/.
Número de desvios
Stanley Skuse
Voltemos aos números primos. Como eu disse antes, eles se comportam fundamentalmente errado, o que significa que não há como prever qual será o próximo número primo. Os matemáticos foram forçados a recorrer a algumas medidas bastante fantásticas para encontrar alguma maneira de prever futuros primos, mesmo de maneira nebulosa. A mais bem-sucedida dessas tentativas é provavelmente a função do número primo, inventada no final do século 18 pelo lendário matemático Carl Friedrich Gauss.
Vou poupá-lo da matemática mais complicada - de qualquer forma, ainda temos muito por vir - mas a essência da função é esta: para qualquer número inteiro, é possível estimar quantos primos existem menos que . Por exemplo, se , a função prevê que deve haver números primos, se - números primos menores que , e se , então existem números menores que são primos.
O arranjo dos primos é de fato irregular e é apenas uma aproximação do número real de primos. Na verdade, sabemos que existem primos menores que , primos menores que , e primos menores que . É uma ótima estimativa, com certeza, mas é sempre apenas uma estimativa... e mais especificamente, uma estimativa de cima.
Em tudo casos conhecidos para , a função que encontra o número de primos exagera ligeiramente o número real de primos menor que . Os matemáticos já pensaram que esse sempre seria o caso, ad infinitum, e que isso certamente se aplica a alguns números inimaginavelmente grandes, mas em 1914 John Edensor Littlewood provou que, para algum número desconhecido e inimaginavelmente grande, essa função começará a produzir menos primos, e então alternará entre superestimação e subestimação um número infinito de vezes.
A caçada foi pelo ponto de partida das corridas, e foi aí que apareceu Stanley Skuse (ver foto). Em 1933, ele provou que o limite superior, quando uma função que aproxima o número de primos pela primeira vez dá um valor menor, é o número. É difícil entender verdadeiramente, mesmo no sentido mais abstrato, o que esse número realmente é e, desse ponto de vista, foi o maior número já usado em uma prova matemática séria. Desde então, os matemáticos conseguiram reduzir o limite superior a um número relativamente pequeno, mas o número original permaneceu conhecido como número de Skewes.
Então, quão grande é o número que torna até mesmo o poderoso anão googolplex? No The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells descreve uma maneira pela qual o matemático Hardy conseguiu entender o tamanho do número de Skewes:
"Hardy pensou que era 'o maior número que já serviu a qualquer propósito particular na matemática' e sugeriu que se o xadrez fosse jogado com todas as partículas do universo como peças, um movimento consistiria em trocar duas partículas, e o jogo pararia quando a mesma posição foi repetida uma terceira vez, então o número de todos os jogos possíveis seria igual ao número de Skuse''.
Uma última coisa antes de prosseguir: falamos sobre o menor dos dois números de Skewes. Há outro número de Skewes, que o matemático encontrou em 1955. O primeiro número é derivado com base em que a chamada Hipótese de Riemann é verdadeira - uma hipótese particularmente difícil em matemática que permanece não comprovada, muito útil quando se trata de números primos. No entanto, se a hipótese de Riemann for falsa, Skewes descobriu que o ponto inicial do salto aumenta para .
O problema da grandeza
Antes de chegarmos a um número que faça até o número de Skuse parecer minúsculo, precisamos falar um pouco sobre escala, porque senão não temos como estimar para onde estamos indo. Vamos pegar um número primeiro - é um número minúsculo, tão pequeno que as pessoas podem realmente ter uma compreensão intuitiva do que significa. São pouquíssimos os números que se encaixam nessa descrição, pois os números maiores que seis deixam de ser números separados e passam a ser "vários", "muitos", etc.
Agora vamos tomar , ou seja. . Embora não possamos intuitivamente, como fizemos para o número , descobrir o que é, imaginar o que é, é muito fácil. Até agora tudo está indo bem. Mas o que acontece se formos para ? Isso é igual a , ou . Estamos muito longe de poder imaginar esse valor, como qualquer outro muito grande - estamos perdendo a capacidade de compreender partes individuais em torno de um milhão. (Verdade, louco um grande número de Levaria tempo para realmente contar até um milhão de qualquer coisa, mas o ponto é que ainda somos capazes de perceber esse número.)
No entanto, embora não possamos imaginar, somos pelo menos capazes de compreender em termos gerais, que é de 7600 bilhões, talvez comparando com algo como o PIB dos EUA. Passamos da intuição para a representação e para a mera compreensão, mas pelo menos ainda temos alguma lacuna em nossa compreensão do que é um número. Isso está prestes a mudar à medida que avançamos mais um degrau na escada.
Para fazer isso, precisamos mudar para a notação introduzida por Donald Knuth, conhecida como notação de seta. Essas notações podem ser escritas como . Quando então vamos para , o número que obtemos será . Isso é igual a onde está o total de trigêmeos. Agora superamos vasta e verdadeiramente todos os outros números já mencionados. Afinal, mesmo o maior deles tinha apenas três ou quatro membros na série do índice. Por exemplo, mesmo o super número de Skuse é "apenas" - mesmo com o fato de que tanto a base quanto os expoentes são muito maiores que , ainda não é absolutamente nada comparado ao tamanho da torre numérica com bilhões de membros.
Obviamente, não há como compreender números tão grandes... e ainda assim, o processo pelo qual eles são criados ainda pode ser entendido. Não conseguimos entender o número real dado pela torre de poderes, que é um bilhão de triplos, mas basicamente podemos imaginar uma torre assim com muitos membros, e um supercomputador realmente decente será capaz de armazenar essas torres na memória, mesmo que não podem calcular seus valores reais.
Está ficando cada vez mais abstrato, mas só vai piorar. Você pode pensar que uma torre de poderes cujo comprimento do expoente é (além disso, em uma versão anterior deste post eu cometi exatamente esse erro), mas é apenas . Em outras palavras, imagine que você tem a capacidade de calcular o valor exato de uma torre de energia de triplos, que é composta por elementos, e aí você pega esse valor e cria uma nova torre com tantos nela... isso dá .
Repita este processo com cada número sucessivo ( Nota começando da direita) até fazer isso uma vez e, finalmente, você obtém . Este é um número que é simplesmente incrivelmente grande, mas pelo menos os passos para obtê-lo parecem claros se tudo for feito muito lentamente. Não podemos mais entender os números ou imaginar o procedimento pelo qual eles são obtidos, mas pelo menos podemos entender o algoritmo básico, apenas em um tempo suficientemente longo.
Agora vamos preparar a mente para realmente explodi-la.
Número de Graham (Graham)
Ronald Graham
É assim que você obtém o número de Graham, que está no Guinness Book of World Records como o maior número já usado em uma prova matemática. É absolutamente impossível imaginar o quão grande é, e é tão difícil explicar exatamente o que é. Basicamente, o número de Graham entra em jogo quando se trata de hipercubos, que são formas geométricas teóricas com mais de três dimensões. O matemático Ronald Graham (ver foto) queria descobrir qual era o menor número de dimensões que manteria certas propriedades de um hipercubo estável. (Desculpe por essa explicação vaga, mas tenho certeza de que todos precisamos de pelo menos dois graus de matemática para torná-la mais precisa.)
Em qualquer caso, o número de Graham é uma estimativa superior desse número mínimo de dimensões. Então, quão grande é esse limite superior? Vamos voltar a um número tão grande que podemos entender o algoritmo para obtê-lo vagamente. Agora, em vez de apenas pular mais um nível para , contaremos o número que tem setas entre o primeiro e o último triplo. Agora estamos muito além da menor compreensão do que é esse número ou mesmo do que precisa ser feito para calculá-lo.
Agora repita este processo vezes ( Nota em cada passo seguinte, escrevemos o número de setas, igual ao número obtido no passo anterior).
Este, senhoras e senhores, é o número de Graham, que está cerca de uma ordem de grandeza acima do ponto de compreensão humano. É um número muito maior do que qualquer número que você possa imaginar - é muito maior do que qualquer infinito que você possa imaginar - simplesmente desafia até mesmo a descrição mais abstrata.
Mas aqui está a coisa estranha. Uma vez que o número de Graham é basicamente apenas tripletos multiplicados, conhecemos algumas de suas propriedades sem realmente calculá-las. Não podemos representar o número de Graham em qualquer notação com a qual estejamos familiarizados, mesmo se usássemos o universo inteiro para escrevê-lo, mas posso dar a você os últimos doze dígitos do número de Graham agora: . E isso não é tudo: sabemos pelo menos os últimos dígitos do número de Graham.
Claro, vale a pena lembrar que esse número é apenas um limite superior no problema original de Graham. É possível que o número real de medições necessárias para cumprir a propriedade desejada seja muito, muito menor. Na verdade, desde a década de 1980, a maioria dos especialistas acredita que existem apenas seis dimensões - um número tão pequeno que podemos entendê-lo em um nível intuitivo. O limite inferior foi aumentado para , mas ainda há uma chance muito boa de que a solução para o problema de Graham não esteja perto de um número tão grande quanto o de Graham.
Ao infinito
Então existem números maiores que o número de Graham? Há, claro, para começar, há o número de Graham. Relativo número significativo... bem, existem algumas áreas diabolicamente difíceis da matemática (em particular, a área conhecida como combinatória) e da ciência da computação, nas quais existem números ainda maiores que o número de Graham. Mas quase chegamos ao limite do que espero poder explicar com razoabilidade. Para aqueles que são imprudentes o suficiente para ir ainda mais longe, a leitura adicional é oferecida por sua conta e risco.
Bem, agora uma citação incrível que é atribuída a Douglas Ray ( Nota Para ser honesto, parece muito engraçado:
“Vejo aglomerados de números vagos espreitando lá fora no escuro, atrás do pequeno ponto de luz que a vela mental emite. Eles sussurram um para o outro; falando sobre quem sabe o quê. Talvez eles não gostem muito de nós por capturarmos seus irmãos mais novos com nossas mentes. Ou talvez eles apenas levem um modo de vida numérico inequívoco, lá fora, além de nossa compreensão.''
Às vezes, pessoas que não estão relacionadas à matemática se perguntam: qual é o maior número? Por um lado, a resposta é óbvia - infinito. Os furos até esclarecerão que "mais infinito" ou "+∞" na notação dos matemáticos. Mas esta resposta não convencerá os mais corrosivos, especialmente porque este não é um número natural, mas uma abstração matemática. Mas tendo entendido bem a questão, eles podem abrir um problema interessante.
De fato, não há limite de tamanho neste caso, mas há um limite para a imaginação humana. Cada número tem um nome: dez, cem, bilhões, sextilhões e assim por diante. Mas onde termina a fantasia das pessoas?
Não confundir com marcas registradas da Google Corporation, embora tenham origem comum. Este número é escrito como 10100, ou seja, um seguido por uma cauda de cem zeros. É difícil imaginá-lo, mas foi usado ativamente na matemática.
É engraçado o que seu filho inventou - o sobrinho do matemático Edward Kasner. Em 1938, meu tio entreteve parentes mais jovens com discussões sobre números muito grandes. Para a indignação da criança, descobriu-se que um número tão maravilhoso não tinha nome e ele deu sua versão. Mais tarde, meu tio o inseriu em um de seus livros, e o termo pegou.
Teoricamente, um googol é um número natural, porque pode ser usado para contar. Isso é apenas quase ninguém tem paciência para contar até o fim. Portanto, apenas teoricamente.
Quanto ao nome da empresa Google, ocorreu um erro comum. O primeiro investidor e um dos cofundadores estava com pressa ao preencher o cheque, e errou a letra “O”, mas para descontá-lo, a empresa teve que ser registrada nessa grafia.
Este número é um derivado do googol, mas significativamente maior do que ele. O prefixo "plex" significa elevar dez à potência do número base, então guloplex é 10 à potência de 10 à potência de 100, ou 101000.
O número resultante excede o número de partículas no universo observável, que é estimado em cerca de 1080 graus. Mas isso não impediu os cientistas de aumentar o número simplesmente adicionando o prefixo "plex" a ele: googolplexplex, googolplexplexplex e assim por diante. E para matemáticos especialmente pervertidos, eles inventaram uma opção para aumentar sem repetição infinita do prefixo "plex" - eles simplesmente colocaram números gregos na frente dele: tetra (quatro), penta (cinco) e assim por diante, até deca (dez ). A última opção soa como um googoldekaplex e significa uma repetição cumulativa de dez vezes do procedimento para elevar o número 10 à potência de sua base. O principal é não imaginar o resultado. Você ainda não será capaz de perceber isso, mas é fácil ter um trauma na psique.
Personagens principais: Cooper, seu computador e um novo número primo
Há relativamente pouco tempo, cerca de um ano atrás, foi possível descobrir o próximo, 48º número de Mersen. No este momentoé o maior número primo do mundo. Lembre-se que os números primos são aqueles que só são divisíveis sem resto por 1 e por eles mesmos. Os exemplos mais simples são 3, 5, 7, 11, 13, 17 e assim por diante. O problema é que quanto mais longe na natureza, menos frequentemente esses números ocorrem. Mas o mais valioso é a descoberta de cada um. Por exemplo, um novo número primo consiste em 17.425.170 caracteres, se o representarmos na forma que estamos acostumados a sistema decimal acerto de contas. O anterior tinha cerca de 12 milhões de caracteres.
Foi descoberto pelo matemático americano Curtis Cooper, que pela terceira vez encantou a comunidade matemática com tal registro. Só para conferir o resultado dele e provar que esse número é mesmo primo, foram necessários 39 dias de seu trabalho. computador pessoal.
É assim que o número de Graham é escrito na notação de seta de Knuth. Como decifrá-lo, é difícil dizer sem ter uma completa ensino superior em matemática teórica. Também é impossível escrevê-lo na forma decimal a que estamos acostumados: o Universo observável simplesmente não é capaz de contê-lo. Esgrima grau por grau, como no caso dos googolplexes, também não é uma opção.
Boa fórmula, mas incompreensível
Então, por que precisamos desse número aparentemente inútil? Em primeiro lugar, para os curiosos, foi colocado no Guinness Book of Records, e isso já é muito. Em segundo lugar, foi usado para resolver um problema que faz parte do problema de Ramsey, que também é incompreensível, mas parece grave. Em terceiro lugar, este número é reconhecido como o maior já usado em matemática, e não em provas de piadas ou jogos intelectuais, mas para resolver um problema matemático muito específico.
Atenção! As seguintes informações são perigosas para você saúde mental! Ao lê-lo, você aceita a responsabilidade por todas as consequências!
Para aqueles que querem testar sua mente e meditar sobre o número de Graham, podemos tentar explicá-lo (mas apenas tente).
Imagine 33. É muito fácil - você obtém 3*3*3=27. E se agora aumentarmos três para esse número? Acontece que 3 3 elevado à 3ª potência, ou 3 27. Em notação decimal, isso é igual a 7.625.597.484.987. Muito, mas por enquanto pode ser entendido.
Na notação de seta de Knuth, esse número pode ser exibido de maneira um pouco mais simples - 33. Mas se você adicionar apenas uma seta, será mais difícil: 33, o que significa 33 elevado a 33 ou em notação de potência. Se expandido para notação decimal, obtemos 7.625.597.484.987 7.625.597.484.987 . Você ainda é capaz de seguir o pensamento?
Próximo passo: 33= 33 33 . Ou seja, você precisa calcular esse número selvagem da ação anterior e elevá-lo à mesma potência.
E 33 é apenas o primeiro dos 64 membros do número de Graham. Para obter a segunda, você precisa calcular o resultado dessa fórmula furiosa e substituir o número apropriado de setas no esquema 3(...)3. E assim por diante, mais 63 vezes.
Será que alguém além dele e uma dúzia de outros supermatemáticos conseguirão chegar pelo menos até o meio da sequência e não enlouquecer ao mesmo tempo?
Você entendeu alguma coisa? Nós não somos. Mas que emoção!
Por que os maiores números são necessários? É difícil para o leigo entender e perceber isso. Mas alguns especialistas com a ajuda deles conseguem apresentar novos brinquedos tecnológicos aos habitantes: telefones, computadores, tablets. Os habitantes da cidade também não são capazes de entender como eles funcionam, mas ficam felizes em usá-los para seu próprio entretenimento. E todo mundo está feliz: os habitantes da cidade recebem seus brinquedos, "supernerds" - a oportunidade de jogar seus jogos mentais por um longo tempo.
O mundo da ciência é simplesmente incrível com seu conhecimento. No entanto, mesmo a pessoa mais brilhante do mundo não será capaz de compreendê-los todos. Mas você precisa se esforçar para isso. É por isso que neste artigo quero descobrir o que é, o maior número.
Em primeiro lugar, deve-se dizer que existem dois sistemas para nomear números no mundo: americano e inglês. Dependendo disso, o mesmo número pode ser chamado de maneira diferente, embora tenham o mesmo significado. E no início é necessário lidar com essas nuances para evitar incertezas e confusões.
Será interessante que esse sistema seja usado não apenas na América e no Canadá, mas também na Rússia. Além disso, ela tem seu próprio nome científico: sistema de nomeação de números em escala curta. Como os números grandes são chamados neste sistema? Bem, o segredo é bem simples. No início, haverá um número ordinal latino, após o qual o conhecido sufixo “-million” será simplesmente adicionado. O seguinte fato será interessante: na tradução do latim, o número "million" pode ser traduzido como "milhares". Os seguintes números pertencem ao sistema americano: um trilhão é 10 12, um quintilhão é 10 18, um octilhão é 10 27, etc. Também será fácil descobrir quantos zeros estão escritos no número. Para isso você precisa saber uma fórmula simples: 3 * x + 3 (onde "x" na fórmula é um numeral latino).
No entanto, apesar da simplicidade do sistema americano, o mundo ainda é mais comum sistema inglês, que é um sistema para nomear números com uma escala longa. Desde 1948, é usado em países como França, Grã-Bretanha, Espanha, bem como em países - ex-colônias da Inglaterra e Espanha. A construção dos números aqui também é bastante simples: o sufixo “-million” é adicionado à designação latina. Além disso, se o número for 1000 vezes maior, o sufixo "-billion" já será adicionado. Como você pode descobrir o número de zeros escondidos em um número?
Nesta fase, por exemplo, podemos considerar como os mesmos números serão chamados, mas em uma escala diferente.
Você pode ver facilmente que o mesmo nome em sistemas diferentes significa números diferentes. Como um trilhão. Portanto, considerando o número, você ainda precisa descobrir primeiro de acordo com qual sistema está escrito.
Vale ressaltar que, além dos números do sistema, existem também os números fora do sistema. Talvez entre eles o maior número foi perdido? Vale a pena investigar isso.
No entanto, ainda vale dizer que não há limite para a perfeição. E muitos cientistas acreditaram e ainda acreditam que o maior número ainda não foi encontrado. E, claro, a honra de fazer isso caberá a eles. sobre este projeto muito tempo um cientista americano do Missouri trabalhou, seu trabalho foi coroado de sucesso. Em 25 de janeiro de 2012, ele encontrou o novo maior número do mundo, que consiste em dezessete milhões de dígitos (que é o 49º número de Mersenne). Nota: até então, o maior número era o encontrado pelo computador em 2008, tinha 12 mil dígitos e era assim: 2 43112609 - 1.
Vale dizer que isso foi confirmado por pesquisadores científicos. Esse número passou por três níveis de verificação por três cientistas em computadores diferentes, o que levou 39 dias. No entanto, essas não são as primeiras conquistas dessa busca por um cientista americano. Anteriormente, ele já havia aberto os maiores números. Isso aconteceu em 2005 e 2006. Em 2008, o computador interrompeu a série de vitórias de Curtis Cooper, mas em 2012 ele recuperou a palma da mão e o merecido título de descobridor.
Como tudo isso acontece, como os cientistas encontram os maiores números? Então, hoje a maior parte do trabalho para eles é feito por um computador. Neste caso, Cooper usou computação distribuída. O que isto significa? Esses cálculos são realizados por programas instalados nos computadores dos internautas que voluntariamente decidiram participar do estudo. Como parte deste projeto, foram identificados 14 números de Mersenne, em homenagem ao matemático francês (são números primos divisíveis apenas por eles mesmos e por um). Na forma de uma fórmula, fica assim: M n = 2 n - 1 ("n" nesta fórmula é um número natural).
Pode ocorrer pergunta lógica: o que faz os cientistas trabalharem nessa direção? Então, isso, é claro, é o entusiasmo e o desejo de ser um pioneiro. No entanto, mesmo aqui há bônus: Curtis Cooper recebeu um prêmio em dinheiro de US $ 3.000 por sua ideia. Mas isso não é tudo. O Electronic Frontier Special Fund (abreviação: EFF) incentiva essas buscas e promete conceder imediatamente prêmios em dinheiro de US$ 150.000 e US$ 250.000 para aqueles que enviarem 100 milhões e um bilhão de números primos para consideração. Portanto, não há dúvida de que um grande número de cientistas em todo o mundo está trabalhando nessa direção hoje.
Então, qual é o maior número hoje? No momento, foi encontrado por um cientista americano da Universidade de Missouri, Curtis Cooper, que pode ser escrito assim: 2 57885161 - 1. Além disso, é também o 48º número do matemático francês Mersenne. Mas vale dizer que essas buscas não podem ter fim. E não é surpreendente se, depois de um certo tempo, os cientistas nos fornecerem o próximo maior número recém-descoberto do mundo para consideração. Não há dúvida de que isso acontecerá em um futuro muito próximo.
