Na palestra, são estudados os LNDE - lineares não homogêneos equações diferenciais. A estrutura da solução geral, a solução do LNDE pelo método da variação de constantes arbitrárias, a solução do LNDE com coeficientes constantes e o lado direito de um formulário especial. As questões em consideração são usadas no estudo de oscilações forçadas em física, engenharia elétrica e eletrônica e na teoria do controle automático.
Considere primeiro uma equação linear não homogênea de ordem arbitrária:
Dada a notação, podemos escrever:
Nesse caso, assumiremos que os coeficientes e o lado direito dessa equação são contínuos em um determinado intervalo.
Teorema. A solução geral de uma equação diferencial linear não homogênea em algum domínio é a soma de qualquer uma de suas soluções e a solução geral da equação diferencial linear homogênea correspondente.
Prova. Seja Y uma solução de uma equação não homogênea.
Então, substituindo esta solução na equação original, obtemos a identidade:
Deixar 
- sistema fundamental soluções da equação linear homogênea 
. Então a solução geral da equação homogênea pode ser escrita como:
Em particular, para uma equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem, a estrutura da solução geral tem a forma:
Onde 
é o sistema fundamental de soluções da equação homogênea correspondente, e 
- qualquer solução particular da equação não homogênea.
Assim, para resolver uma equação diferencial não homogênea linear, é necessário encontrar uma solução geral da equação homogênea correspondente e, de alguma forma, encontrar uma solução particular equação não homogênea. Geralmente é encontrado por seleção. Os métodos de seleção de uma solução específica serão considerados nas questões a seguir.
2. Método de variação
Na prática, é conveniente aplicar o método de variação de constantes arbitrárias.
Para fazer isso, primeiro encontre a solução geral da equação homogênea correspondente na forma:
Em seguida, ajustando os coeficientes C eu funções de x, procura-se a solução da equação não homogênea:
Pode-se mostrar que para encontrar as funções C eu (x) você precisa resolver o sistema de equações:
Exemplo. resolva a equação 
Resolvemos uma equação linear homogênea 
A solução da equação não homogênea será:
Nós compomos um sistema de equações:
Vamos resolver este sistema:
Da relação encontramos a função Oh).
Agora encontramos B(x).
Substituímos os valores obtidos na fórmula para a solução geral da equação não homogênea:
Resposta final: 
De um modo geral, o método de variação de constantes arbitrárias é adequado para encontrar soluções para qualquer equação linear não homogênea. Mas desde encontrar o sistema fundamental de soluções da equação homogênea correspondente pode ser uma tarefa bastante difícil, este método é usado principalmente para equações não homogêneas com coeficientes constantes.
3. Equações com o lado direito de uma forma especial
Parece possível representar a forma de uma solução particular dependendo da forma do lado direito da equação não homogênea.
Existem os seguintes casos:
I. O lado direito da equação diferencial não homogênea linear tem a forma:
onde é um polinômio de grau m.
Então, uma solução particular é procurada na forma:
Aqui Q(x) é um polinômio de mesmo grau que P(x) , mas com coeficientes indefinidos, e r- um número que mostra quantas vezes o número é a raiz da equação característica para a equação diferencial homogênea linear correspondente.
Exemplo. resolva a equação 
.
Resolvemos a equação homogênea correspondente: 
Agora vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea original.
Vamos comparar o lado direito da equação com a forma do lado direito discutida acima.
Estamos procurando uma solução particular na forma: 
, Onde
Aqueles. 
Agora definimos os coeficientes desconhecidos MAS e NO.
Substitua uma solução particular em visão geral na equação diferencial não homogênea original.
Então, uma solução privada: 
Então a solução geral da equação diferencial não homogênea linear:
II. O lado direito da equação diferencial não homogênea linear tem a forma:
Aqui R 1 (X) e R 2 (X) são polinômios de grau m 1 e m 2 respectivamente.
Então a solução particular da equação não homogênea terá a forma:
onde número r mostra quantas vezes um número 
é a raiz da equação característica para a equação homogênea correspondente, e Q 1
(x)
e
Q 2
(x)
– polinômios de grau no máximo m, Onde m- o maior dos graus m 1
e m 2
.
Tabela resumida de tipos de soluções particulares
para diferentes tipos de peças certas
|
O lado direito da equação diferencial |
equação característica |
Tipos de privado |
|
|
|
1. O número não é a raiz da equação característica |
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2. Número é a raiz da equação de multiplicidade característica |
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||
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1. Número |
|
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2. Número |
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||
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1. Números |
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||
|
2. Números |
|
||
|
1. Números | |||
|
2. Números |
Observe que, se o lado direito da equação for uma combinação de expressões da forma considerada acima, a solução será encontrada como uma combinação de soluções de equações auxiliares, cada uma com um lado direito correspondente à expressão incluída na combinação.
Aqueles. se a equação ficar assim: 
, então uma solução particular desta equação será 
Onde no 1
e no 2
são soluções particulares de equações auxiliares
e 
Para ilustrar, vamos resolver o exemplo acima de uma maneira diferente.
Exemplo. resolva a equação 
Representamos o lado direito da equação diferencial como a soma de duas funções f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- pecado x).
Nós compomos e resolvemos a equação característica:
Obtemos: I.e. 
Total: 
Aqueles. a solução particular desejada tem a forma: 
A solução geral da equação diferencial não homogênea:
Vamos considerar exemplos de aplicação dos métodos descritos.
Exemplo 1.. resolva a equação 
Vamos compor uma equação característica para a equação diferencial homogênea linear correspondente:
Agora encontramos uma solução particular da equação não homogênea na forma:
Vamos usar o método dos coeficientes indefinidos.
Substituindo na equação original, obtemos:
A solução particular se parece com: 
A solução geral da equação não homogênea linear: 
Exemplo. resolva a equação 
Equação característica:
A solução geral da equação homogênea: 
Solução particular da equação não homogênea: 
.
Encontramos as derivadas e as substituímos na equação não homogênea original:
Obtemos a solução geral da equação diferencial não homogênea:
Este artigo revela a questão da resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. A teoria será considerada junto com exemplos dos problemas dados. Para decifrar termos incompreensíveis, é necessário consultar o tópico das definições e conceitos básicos da teoria das equações diferenciais.
Considere uma equação diferencial linear (LDE) de segunda ordem com coeficientes constantes da forma y "" + p y " + q y \u003d f (x) , onde p e q são números arbitrários e a função existente f (x) é contínua no intervalo de integração x .
Passemos à formulação do teorema da solução geral para o LIDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
A solução geral, localizada no intervalo x, de uma equação diferencial não homogênea da forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) com coeficientes de integração contínua no intervalo x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) e uma função contínua f (x) é igual à soma da solução geral y 0 , que corresponde ao LODE, e alguma solução particular y ~ , onde a equação não homogênea original é y = y 0 +y~ .
Isso mostra que a solução dessa equação de segunda ordem tem a forma y = y 0 + y ~ . O algoritmo para encontrar y 0 é considerado no artigo sobre equações diferenciais homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Depois disso, deve-se proceder à definição de y ~ .
A escolha de uma solução particular para o LIDE depende do tipo de função disponível f(x) localizada no lado direito da equação. Para isso, é necessário considerar separadamente as soluções de equações diferenciais não homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Quando f (x) é considerado um polinômio do enésimo grau f (x) = P n (x) , segue-se que uma solução particular do LIDE é encontrada por uma fórmula da forma y ~ = Q n (x ) x γ , onde Q n ( x) é um polinômio de grau n, r é o número de raízes nulas da equação característica. O valor de y ~ é uma solução particular y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , então os coeficientes disponíveis, que são definidos pelo polinômio
Q n (x) , encontramos usando o método dos coeficientes indefinidos da igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplo 1
Calcule usando o teorema de Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Solução
Em outras palavras, é necessário passar para uma solução particular de uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y "" - 2 y " = x 2 + 1 , que satisfará as condições dadas y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
A solução geral de uma equação linear não homogênea é a soma da solução geral que corresponde à equação y 0 ou uma solução particular da equação não homogênea y ~ , ou seja, y = y 0 + y ~ .
Primeiro, vamos encontrar uma solução geral para o LNDE e depois uma particular.
Vamos prosseguir para encontrar y 0 . Escrever a equação característica ajudará a encontrar as raízes. nós entendemos isso
k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2
Descobrimos que as raízes são diferentes e reais. Portanto, escrevemos
y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.
Vamos encontrar y ~ . Pode-se ver que o lado direito dada equaçãoé um polinômio de segundo grau, então uma das raízes é igual a zero. A partir daqui, obtemos que uma solução particular para y ~ será
y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, onde os valores de A, B, C tome coeficientes indefinidos.
Vamos encontrá-los a partir de uma igualdade da forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Então obtemos isso:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C" - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Igualando os coeficientes com os mesmos expoentes x , obtemos um sistema de expressões lineares - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Ao resolver de qualquer uma das maneiras, encontramos os coeficientes e escrevemos: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 e y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Esta entrada é chamada de solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea linear original com coeficientes constantes.
Para encontrar uma solução particular que satisfaça as condições y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , é necessário determinar os valores C1 e C2, com base em uma igualdade da forma y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Nós entendemos isso:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x" x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Trabalhamos com o sistema de equações resultante da forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , onde C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .
Aplicando o teorema de Cauchy, temos que
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Responda: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Quando a função f (x) é representada como um produto de um polinômio com grau n e um expoente f (x) = P n (x) e a x , daí obtemos que uma solução particular do LIDE de segunda ordem será uma equação da forma y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , onde Q n (x) é um polinômio do enésimo grau, e r é o número de raízes da equação característica igual a α .
Os coeficientes pertencentes a Q n (x) são encontrados pela igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplo 2
Encontre a solução geral de uma equação diferencial da forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Solução
Equação geral y = y 0 + y ~ . A equação indicada corresponde ao LOD y "" - 2 y " = 0. O exemplo anterior mostra que suas raízes são k1 = 0 e k 2 = 2 e y 0 = C 1 + C 2 e 2 x de acordo com a equação característica.
Pode-se ver que o lado direito da equação é x 2 + 1 · e x . A partir daqui, LNDE é encontrado por y ~ = e a x Q n (x) x γ , onde Q n (x) , que é um polinômio de segundo grau, onde α = 1 e r = 0 , porque a equação característica não tem raiz igual a 1. Daí conseguimos isso
y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .
A, B, C são coeficientes desconhecidos, que podem ser encontrados pela igualdade y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .
Percebido
y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Igualamos os indicadores com os mesmos coeficientes e obtemos o sistema equações lineares. A partir daqui encontramos A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Responda: pode-se ver que y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 é uma solução particular do LIDE, e y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3
Quando a função é escrita como f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sen β x , e A 1 e EM 1 são números, então uma equação da forma y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , onde A e B são considerados coeficientes indefinidos, e r o número de raízes complexas conjugadas relacionadas à equação característica, igual a ± i β . Nesse caso, a busca por coeficientes é realizada pela igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplo 3
Encontre a solução geral de uma equação diferencial da forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Solução
Antes de escrever a equação característica, encontramos y 0 . Então
k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i
Temos um par de raízes conjugadas complexas. Vamos transformar e obter:
y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sen (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sen (2 x)
As raízes da equação característica são consideradas um par conjugado ± 2 i , então f (x) = cos (2 x) + 3 sen (2 x) . Isso mostra que a busca por y ~ será feita a partir de y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Desconhecidos os coeficientes A e B serão buscados a partir de uma igualdade da forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Vamos transformar:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sen (2 x) x) " = = (- 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sen (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sen (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x)
Então se vê que
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sen (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sen (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sen (2 x) ⇔ - 4 A sen (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sen(2x)
É necessário igualar os coeficientes de senos e cossenos. Obtemos um sistema da forma:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Segue-se que y ~ = (A cos (2 x) + B sen (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sen (2 x) x .
Responda: a solução geral do LIDE original de segunda ordem com coeficientes constantes é considerada
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sen (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sen (2 x) x
Quando f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , então y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Temos que r é o número de pares complexos conjugados de raízes relacionados à equação característica, igual a α ± i β , onde P n (x) , Q k (x) , L m ( x e N m (x) são polinômios de grau n, k, m, onde m = m a x (n, k). Encontrando coeficientes L m (x) e N m (x)é produzido com base na igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplo 4
Encontre a solução geral y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Solução
Fica claro pela condição que
α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1
Então m = m a x (n , k) = 1 . Encontramos y 0 escrevendo primeiro a equação característica da forma:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Descobrimos que as raízes são reais e distintas. Portanto y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . A seguir, é necessário buscar uma solução geral baseada em uma equação não homogênea y ~ da forma
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x))
Sabe-se que A, B, C são coeficientes, r = 0, pois não há par de raízes conjugadas relacionadas à equação característica com α ± i β = 3 ± 5 · i . Esses coeficientes são encontrados a partir da igualdade resultante:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sen (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Encontrar a derivada e termos semelhantes dá
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sen (5 x) + 45 sen (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))
Depois de igualar os coeficientes, obtemos um sistema da forma
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
De tudo resulta que
y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)pecado(5x))
Responda: agora a solução geral da equação linear dada foi obtida:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Qualquer outro tipo de função f(x) para a solução fornece o algoritmo de solução:
Exemplo 5
Encontre a solução geral para y "" + 36 y = 24 sen (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .
Solução
Passamos a escrever a equação característica, tendo previamente escrito y 0 , y "" + 36 y = 0 . Vamos escrever e resolver:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sen (6 x)
Temos que o registro da solução geral da equação dada tomará a forma y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . É necessário passar à definição de funções derivadas C 1 (x) e C2(x) de acordo com o sistema de equações:
C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sen (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sen (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sen (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sen (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
É preciso tomar uma decisão sobre C1"(x) e C2" (x) usando qualquer método. Então escrevemos:
C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Cada uma das equações deve ser integrada. Então escrevemos as equações resultantes:
C 1 (x) = 1 3 sen (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sen ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sen (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 4
Segue que a solução geral terá a forma:
y = 1 3 sen (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sen (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 4 sen (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sen (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6x) + C4sin (6x)
Responda: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sen (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sen (6x)
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Equações diferenciais não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes |
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Estrutura da solução geral Uma equação linear não homogênea desse tipo tem a forma: Onde p, q− números constantes (que podem ser reais e complexos). Para cada uma dessas equações, pode-se escrever o correspondente equação homogênea:
Teorema: A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral y 0 (x) da equação homogênea correspondente e uma solução particular y 1 (x) da equação não homogênea:
Abaixo, consideramos dois métodos para resolver equações diferenciais não homogêneas. Método de Variação Constante Se a solução geral y 0 da equação homogênea associada é conhecido, então a solução geral da equação não homogênea pode ser encontrada usando método de variação constante. Deixe a solução geral de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem ter a forma: Em vez de permanente C 1 e C 2 vamos considerar as funções auxiliares C 1 (x) e C 2 (x). Procuraremos essas funções de modo que a solução satisfaz a equação não homogênea com o lado direito f(x). recursos desconhecidos C 1 (x) e C 2 (x) são determinados a partir do sistema de duas equações:
Método dos coeficientes indeterminados parte direita f(x) de uma equação diferencial não homogênea é frequentemente um polinômio, uma função exponencial ou trigonométrica ou alguma combinação dessas funções. Nesse caso, é mais conveniente encontrar uma solução usando método dos coeficientes incertos. Enfatizamos que este método funciona apenas para uma classe limitada de funções no lado direito, como  Em ambos os casos, a escolha de uma solução particular deve corresponder à estrutura do lado direito da equação diferencial não homogênea. No caso 1, se o número α na função exponencial coincide com a raiz da equação característica, então a solução particular conterá um fator adicional x s, Onde s− multiplicidade da raiz α na equação característica. No caso 2, se o número α + βi coincide com a raiz da equação característica, então a expressão para a solução particular conterá um fator adicional x. Coeficientes desconhecidos podem ser determinados substituindo a expressão encontrada por uma solução particular na equação diferencial não homogênea original. Princípio da superposição Se o lado direito da equação não homogênea é quantia várias funções da forma então a solução particular da equação diferencial também será a soma das soluções particulares construídas separadamente para cada termo do lado direito. |
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Exemplo 1 |
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Resolver equação diferencial e"" + e= pecado(2 x). Solução. Primeiro resolvemos a equação homogênea correspondente e"" + e= 0. Em este caso as raízes da equação característica são puramente imaginárias: Portanto, a solução geral da equação homogênea é dada por Voltemos novamente à equação não homogênea. Buscaremos sua solução na forma usando o método de variação de constantes. Funções C 1 (x) e C 2 (x) pode ser encontrado a partir do seguinte sistema de equações:
Expressamos a derivada C 1 " (x) da primeira equação:
Substituindo na segunda equação, encontramos a derivada C 2 " (x):
Daí segue que Integrando expressões para derivadas C 1 " (x) e C 2 " (x), Nós temos: Onde UMA 1 , UMA 2 − constantes de integração. Agora substituímos as funções encontradas C 1 (x) e C 2 (x) na fórmula de y 1 (x) e escreva a solução geral da equação não homogênea:
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Exemplo 2 |
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Encontre uma solução geral para a equação e"" + e" −6y = 36x. Solução. Vamos usar o método dos coeficientes indefinidos. O lado direito da equação dada é uma função linear f(x)= ax + b. Portanto, procuraremos uma solução particular na forma As derivadas são:
Substituindo isso na equação diferencial, temos:
A última equação é uma identidade, ou seja, é válida para todo x, então igualamos os coeficientes dos termos com as mesmas potências x no lado esquerdo e direito: Do sistema resultante encontramos: UMA = −6, B= −1. Como resultado, a solução particular é escrita na forma Agora vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea. Vamos calcular as raízes da equação característica auxiliar: Portanto, a solução geral da equação homogênea correspondente tem a forma: Assim, a solução geral da equação não homogênea original é expressa pela fórmula |
Integral geral de DE.
Resolver equação diferencial
Mas o engraçado é que a resposta já é conhecida: mais precisamente, devemos acrescentar também uma constante: a integral geral é uma solução da equação diferencial.
Método de variação de constantes arbitrárias. Exemplos de solução
O método de variação de constantes arbitrárias é usado para resolver equações diferenciais não homogêneas. Esta lição destina-se aos alunos que já são mais ou menos versados no assunto. Se você está apenas começando a se familiarizar com o controle remoto, ou seja, Se você é um bule, recomendo começar com a primeira lição: Equações diferenciais de primeira ordem. Exemplos de solução. E se você já está terminando, por favor, descarte a possível noção preconcebida de que o método é difícil. Porque ele é simples.
Em quais casos o método de variação de constantes arbitrárias é usado?
1) O método de variação de uma constante arbitrária pode ser usado para resolver linear não homogêneo DE de 1ª ordem. Como a equação é de primeira ordem, a constante (constante) também é uma.
2) O método de variação de constantes arbitrárias é usado para resolver algumas equações não homogêneas lineares de segunda ordem. Aqui, duas constantes (constantes) variam.
É lógico supor que a lição consistirá em dois parágrafos .... Escrevi esta proposta e, por cerca de 10 minutos, pensei dolorosamente em que outra porcaria inteligente adicionar para uma transição suave para exemplos práticos. Mas, por algum motivo, não há pensamentos depois das férias, embora pareça que não abusei de nada. Então, vamos pular direto para o primeiro parágrafo.
Método de variação constante arbitrária para uma equação linear não homogênea de primeira ordem
Antes de considerar o método de variação de uma constante arbitrária, é desejável estar familiarizado com o artigo Equações diferenciais lineares de primeira ordem. Nessa aula, praticamos primeira forma de resolver DE não homogêneo de 1ª ordem. Esta primeira solução, lembro-vos, chama-se método de substituição ou método de Bernoulli(não confundir com equação de Bernoulli!!!)
Vamos agora considerar segunda maneira de resolver– método de variação de uma constante arbitrária. Darei apenas três exemplos e os retirarei da lição acima. Por que tão poucos? Porque na verdade a solução da segunda forma será muito parecida com a solução da primeira forma. Além disso, de acordo com minhas observações, o método de variação de constantes arbitrárias é usado com menos frequência do que o método de substituição.
Exemplo 1
Encontre a solução geral da equação diferencial (Diffur do Exemplo No. 2 da lição DE linear não homogêneo de 1ª ordem)
Solução: Esta equação é linear não homogênea e tem uma forma familiar:
No primeiro estágio, é necessário resolver uma equação mais simples: ou seja, redefinimos estupidamente o lado direito - em vez disso, escrevemos zero. A equação que vou chamar equação auxiliar.
Neste exemplo, você precisa resolver a seguinte equação auxiliar:
Antes de nós equação separável, cuja solução (espero) não seja mais difícil para você:
Assim: é a solução geral da equação auxiliar .
Na segunda etapa substituir uma constante de alguns ainda função desconhecida que depende de "x":
Daí o nome do método - variamos a constante. Alternativamente, a constante pode ser alguma função que temos que encontrar agora.
NO original equação não homogênea, faremos a substituição:
Substituindo na equação:
momento de controle - os dois termos do lado esquerdo se cancelam. Se isso não acontecer, você deve procurar o erro acima.
Como resultado da substituição, obtém-se uma equação com variáveis separáveis. Separe variáveis e integre.
Que bênção, os expoentes também estão diminuindo:
Adicionamos uma constante “normal” à função encontrada:
Na fase final, recordamos a nossa substituição:
Função acabada de encontrar!
Então a solução geral é:
Responda: decisão comum: 
Se você imprimir as duas soluções, notará facilmente que em ambos os casos encontramos as mesmas integrais. A única diferença está no algoritmo da solução.
Agora algo mais complicado, vou comentar também o segundo exemplo:
Exemplo 2
Encontre a solução geral da equação diferencial (Diffur do Exemplo No. 8 da lição DE linear não homogêneo de 1ª ordem)
Solução: Vamos trazer a equação para a forma:
Defina o lado direito como zero e resolva a equação auxiliar:
Separe variáveis e integre: Solução geral da equação auxiliar:
Na equação não homogênea, faremos a substituição:
De acordo com a regra de diferenciação do produto:
Substitua e na equação não homogênea original:
Os dois termos do lado esquerdo se anulam, o que significa que estamos no caminho certo: 
Integramos por partes. Uma letra saborosa da fórmula de integração por partes já está envolvida na solução, então usamos, por exemplo, as letras "a" e "be":
Eventualmente:
Agora vamos ver a substituição:
Responda: decisão comum:
Método de variação de constantes arbitrárias para uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Muitas vezes ouvimos a opinião de que o método de variação de constantes arbitrárias para uma equação de segunda ordem não é uma coisa fácil. Mas acho o seguinte: muito provavelmente, o método parece difícil para muitos, já que não é tão comum. Mas, na realidade, não há dificuldades particulares - o curso da decisão é claro, transparente e compreensível. E bonito.
Para dominar o método, é desejável ser capaz de resolver equações não homogêneas de segunda ordem selecionando uma solução particular de acordo com a forma do lado direito. Este método discutido em detalhes no artigo. DE não homogêneo de 2ª ordem. Lembramos que uma equação não homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma:
O método de seleção, considerado na lição anterior, funciona apenas em um número limitado de casos, quando polinômios, expoentes, senos e cossenos estão do lado direito. Mas o que fazer quando à direita, por exemplo, uma fração, logaritmo, tangente? Em tal situação, o método de variação de constantes vem em socorro.
Exemplo 4
Encontre a solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem 
Solução: Há uma fração no lado direito desta equação, então podemos dizer imediatamente que o método de selecionar uma solução particular não funciona. Usamos o método de variação de constantes arbitrárias.
Nada pressagia uma tempestade, o início da solução é bastante comum:
Vamos encontrar decisão comum relevante homogêneo equações:
Nós compomos e resolvemos a equação característica: 
– raízes complexas conjugadas são obtidas, então a solução geral é:
Preste atenção ao registro da solução geral - se houver colchetes, abra-os.
Agora fazemos quase o mesmo truque da equação de primeira ordem: variamos as constantes , substituindo-as por funções desconhecidas . Aquilo é, solução geral do não homogêneo Procuraremos equações na forma:
Onde - ainda funções desconhecidas.
Parece um aterro sanitário lixo doméstico, mas agora vamos classificar tudo.
Derivadas de funções agem como incógnitas. Nosso objetivo é encontrar derivadas, e as derivadas encontradas devem satisfazer a primeira e a segunda equações do sistema.
De onde vêm os "jogos"? A cegonha os traz. Olhamos para a solução geral obtida anteriormente e escrevemos:
Vamos encontrar derivadas:
Lidou com o lado esquerdo. O que está à direita?
é o lado direito da equação original, neste caso:
Fundamentos da resolução de equações diferenciais não homogêneas lineares de segunda ordem (LNDE-2) com coeficientes constantes (PC)
Um CLDE de segunda ordem com coeficientes constantes $p$ e $q$ tem a forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, onde $f\left( x \right)$ é uma função contínua.
As duas afirmações a seguir são verdadeiras com relação ao 2º LNDE com PC.
Suponha que alguma função $U$ seja uma solução particular arbitrária de uma equação diferencial não homogênea. Vamos também assumir que alguma função $Y$ é uma solução geral (OR) da equação diferencial homogênea linear correspondente (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Então o OR de LHDE-2 é igual à soma dos valores privados e decisões comuns, ou seja, $y=U+Y$.
Se o lado direito do LIDE de 2ª ordem for a soma das funções, ou seja, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, então primeiro você pode encontrar o PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ que correspondem a cada das funções $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, e depois disso escreva o LNDE-2 PD como $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Obviamente, a forma de um ou outro PD $U$ de um determinado LNDE-2 depende da forma específica de seu lado direito $f\left(x\right)$. Os casos mais simples de busca pelo PD do LNDE-2 são formulados como as quatro regras a seguir.
Regra número 1.
O lado direito do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, onde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ou seja, é chamado de polinômio de grau $n$. Então seu PR $U$ é procurado na forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, onde $Q_(n) \left(x\right)$ é outro polinômio do mesmo grau que $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ é o número de raízes zero da equação característica do LODE-2 correspondente. Os coeficientes do polinômio $Q_(n) \left(x\right)$ são encontrados pelo método dos coeficientes indefinidos (NC).
Regra número 2.
O lado direito do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, onde $P_(n) \left( x\right)$ é um polinômio de grau $n$. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, onde $Q_(n ) \ left(x\right)$ é outro polinômio do mesmo grau que $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente igual a $\alfa$. Os coeficientes do polinômio $Q_(n) \left(x\right)$ são encontrados pelo método NK.
Regra número 3.
A parte direita do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, onde $a$, $b$ e $\beta $ são números conhecidos. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, onde $A$ e $B$ são coeficientes desconhecidos, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente igual a $i\cdot \beta $. Os coeficientes $A$ e $B$ são encontrados pelo método NDT.
Regra número 4.
O lado direito do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, onde $P_(n) \left(x\right)$ é um polinômio de grau $ n$, e $P_(m) \left(x\right)$ é um polinômio de grau $m$. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, onde $Q_(s) \left(x\right) $ e $ R_(s) \left(x\right)$ são polinômios de grau $s$, o número $s$ é o máximo de dois números $n$ e $m$, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente, igual a $\alpha +i\cdot \beta $. Os coeficientes dos polinômios $Q_(s) \left(x\right)$ e $R_(s) \left(x\right)$ são encontrados pelo método NK.
O método NK consiste na aplicação da seguinte regra. Para encontrar os coeficientes desconhecidos do polinômio, que fazem parte da solução particular da equação diferencial não homogênea LNDE-2, é necessário:
Exemplo 1
Tarefa: encontre o OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Encontre também o PR , satisfazendo as condições iniciais $y=6$ para $x=0$ e $y"=1$ para $x=0$.
Escreva o LODA-2 correspondente: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Equação característica: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. As raízes da equação característica: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Essas raízes são reais e distintas. Assim, o OR do LODE-2 correspondente tem a forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
A parte direita deste LNDE-2 tem a forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. É necessário considerar o coeficiente do expoente do expoente $\alpha =3$. Este coeficiente não coincide com nenhuma das raízes da equação característica. Portanto, o PR deste LNDE-2 tem a forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Procuraremos os coeficientes $A$, $B$ usando o método NK.
Encontramos a primeira derivada do CR:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\direita)\cdot e^(3\cdot x) .$
Encontramos a segunda derivada do CR:
$U""=\esquerda(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\direita)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\esquerda(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Substituímos as funções $U""$, $U"$ e $U$ em vez de $y""$, $y"$ e $y$ no dado LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ao mesmo tempo, como o expoente $e^(3\cdot x) $ está incluído como um fator em todos os componentes, então pode ser omitido.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\direita)=36\cdot x+12.$
Realizamos ações no lado esquerdo da igualdade resultante:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Usamos o método NC. Obtemos um sistema de equações lineares com duas incógnitas:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
A solução deste sistema é: $A=-2$, $B=-1$.
O CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para o nosso problema se parece com isto: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.
O OR $y=Y+U$ para o nosso problema é assim: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ esquerda(-2\cdot x-1\direita)\cdot e^(3\cdot x) $.
Para buscar uma PD que satisfaça as condições iniciais dadas, encontramos a derivada $y"$ OR:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Substituímos em $y$ e $y"$ as condições iniciais $y=6$ por $x=0$ e $y"=1$ por $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Temos um sistema de equações:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Nós resolvemos. Encontramos $C_(1) $ usando a fórmula de Cramer, e $C_(2) $ é determinado a partir da primeira equação:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Assim, o PD desta equação diferencial é: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.
não é uma raiz da equação característica
é a raiz da equação de multiplicidade característica 
são as raízes da equação de multiplicidade característica 
não são raízes da equação de multiplicidade característica 
são as raízes da equação de multiplicidade característica 
