Nesta seção, vamos relembrar (ou estudar - como qualquer um gosta) as equações mais elementares. Então, o que é uma equação? Falando em termos humanos, isso é algum tipo de expressão matemática, onde há um sinal de igual e uma incógnita. O que geralmente é indicado pela letra "X". resolva a equaçãoé encontrar tais valores de x que, ao substituir em original expressão, nos dará a identidade correta. Deixe-me lembrá-lo que a identidade é uma expressão que não levanta dúvidas mesmo para uma pessoa que não está absolutamente sobrecarregada com o conhecimento matemático. Como 2=2, 0=0, ab=ab etc. Então, como você resolve equações? Vamos descobrir.
Existem todos os tipos de equações (eu fiquei surpreso, certo?). Mas toda a sua infinita variedade pode ser dividida em apenas quatro tipos.
4. Outro.)
Todo o resto, claro, acima de tudo, sim ...) Isso inclui cúbicos, exponenciais, logarítmicos, trigonométricos e todos os tipos de outros. Trabalharemos em estreita colaboração com eles nas seções relevantes.
Devo dizer imediatamente que às vezes as equações dos três primeiros tipos estão tão enroladas que você não as reconhece... Nada. Vamos aprender a desenvolvê-los.
E por que precisamos desses quatro tipos? E então o que equações lineares resolvido de uma forma quadrado outros racional fracionário - o terceiro, uma descanso não resolveu de jeito nenhum! Bem, não é que eles não decidam, eu ofendi a matemática em vão.) É só que eles têm suas próprias técnicas e métodos especiais.
Mas para qualquer (repito - para algum!) é uma base confiável e sem problemas para resolver. Funciona em todos os lugares e sempre. Esta base - Parece assustador, mas a coisa é muito simples. E muito (muito!) importante.
Na verdade, a solução da equação consiste nessas mesmas transformações. Em 99%. Responda a pergunta: " Como resolver equações?"mentira, apenas nessas transformações. A dica está clara?)
NO quaisquer equações para encontrar a incógnita, é necessário transformar e simplificar o exemplo original. Além disso, para que ao mudar aparência a essência da equação não mudou. Tais transformações são chamadas idêntico ou equivalente.
Observe que essas transformações são apenas para as equações. Em matemática, ainda existem transformações idênticas expressões. Este é outro tópico.
Agora vamos repetir tudo-tudo-tudo básico transformações idênticas de equações.
Básicos porque podem ser aplicados a algum equações - linear, quadrática, fracionária, trigonométrica, exponencial, logarítmica, etc. etc.
Primeira transformação idêntica: ambos os lados de qualquer equação podem ser adicionados (subtraídos) algum(mas o mesmo!) um número ou uma expressão (incluindo uma expressão com um desconhecido!). A essência da equação não muda.
A propósito, você usou constantemente essa transformação, você só pensou que estava transferindo alguns termos de uma parte da equação para outra com uma mudança de sinal. Modelo:
O assunto é familiar, movemos o empate para a direita e obtemos:
Na verdade você levado embora de ambos os lados da equação deuce. O resultado é o mesmo:
x+2 - 2 = 3 - 2
A transferência de termos para a esquerda-direita com uma mudança de sinal é simplesmente uma versão abreviada da primeira transformação idêntica. E por que precisamos de um conhecimento tão profundo? - você pergunta. Nada nas equações. Mova-o, pelo amor de Deus. Só não se esqueça de mudar o sinal. Mas nas desigualdades, o hábito da transferência pode levar a um beco sem saída....
Segunda transformação de identidade: ambos os lados da equação podem ser multiplicados (divididos) pelo mesmo diferente de zero número ou expressão. Uma limitação compreensível já aparece aqui: é estúpido multiplicar por zero, mas é impossível dividir. Essa é a transformação que você usa quando decide algo legal como
Compreensível, X= 2. Mas como você o encontrou? Seleção? Ou apenas aceso? Para não pegar e esperar por insights, você precisa entender que você está apenas dividir os dois lados da equação por 5. Ao dividir o lado esquerdo (5x), o cinco foi reduzido, deixando um X puro. Que é o que precisávamos. E ao dividir o lado direito de (10) por cinco, resultou, é claro, um empate.
Isso é tudo.
É engraçado, mas essas duas (apenas duas!) transformações idênticas são a base da solução todas as equações da matemática. Quão! Faz sentido olhar para exemplos do que e como, certo?)
Vamos começar com primeiro transformação idêntica. Mover esquerda-direita.
Um exemplo para os mais pequenos.)
Digamos que precisamos resolver a seguinte equação:
3-2x=5-3x
Vamos relembrar o feitiço: "com X - à esquerda, sem X - à direita!" Este feitiço é uma instrução para aplicar a primeira transformação de identidade.) Qual é a expressão com o x à direita? 3x? A resposta está errada! À nossa direita - 3x! Menos três x! Portanto, ao deslocar para a esquerda, o sinal mudará para um mais. Pegue:
3-2x+3x=5
Então, os Xs foram colocados juntos. Vamos fazer os números. Três à esquerda. Que sinal? A resposta "com nenhum" não é aceita!) Na frente do triplo, de fato, nada é desenhado. E isso significa que na frente do triplo está um mais. Então os matemáticos concordaram. Nada está escrito, então um mais. Portanto, o triplo será transferido para o lado direito com menos. Nós temos:
-2x+3x=5-3
Restam espaços vazios. À esquerda - dê os semelhantes, à direita - conte. A resposta é imediata:
Neste exemplo, uma transformação idêntica foi suficiente. O segundo não foi necessário. Bem, tudo bem.)
Um exemplo para os mais velhos.)
A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)
Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
você pode se familiarizar com funções e derivadas.
I. machado 2 \u003d 0 – incompleto Equação quadrática (b=0, c=0 ). Solução: x=0. Resposta: 0.
Resolva equações.
2x·(x+3)=6x-x2.
Solução. Expanda os colchetes multiplicando 2x para cada termo entre parênteses:
2x2 +6x=6x-x2; movendo os termos do lado direito para o lado esquerdo:
2x2 +6x-6x+x2=0; Aqui estão termos semelhantes:
3x 2 =0, portanto x=0.
Responda: 0.
II. ax2+bx=0 –incompleto Equação quadrática (s=0 ). Solução: x (ax+b)=0 → x 1 =0 ou ax+b=0 → x 2 =-b/a. Resposta: 0; -BA.
5x2 -26x=0.
Solução. Retire o fator comum X para colchetes:
x(5x-26)=0; cada fator pode ser zero:
x=0 ou 5x-26=0→ 5x=26, divide ambos os lados da igualdade por 5 e obtemos: x \u003d 5.2.
Responda: 0; 5,2.
Exemplo 3 64x+4x2=0.
Solução. Retire o fator comum 4x para colchetes:
4x(16+x)=0. Temos três fatores, 4≠0, portanto, ou x=0 ou 16+x=0. Da última igualdade obtemos x=-16.
Responda: -16; 0.
Exemplo 4(x-3) 2 +5x=9.
Solução. Aplicando a fórmula do quadrado da diferença de duas expressões, abra os colchetes:
x2-6x+9+5x=9; transforme na forma: x 2 -6x+9+5x-9=0; Aqui estão termos semelhantes:
x2-x=0; aguentar X fora dos colchetes, obtemos: x (x-1)=0. Daqui ou x=0 ou x-1=0→ x=1.
Responda: 0; 1.
III. ax2+c=0 –incompleto Equação quadrática (b=0 ); Solução: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.
Se um (-c/a)<0 , então não há raízes reais. Se um (-s/a)>0
Exemplo 5 x 2 -49=0.
Solução.
x 2 \u003d 49, daqui x=±7. Responda:-7; 7.
Exemplo 6 9x2-4=0.
Solução.
Muitas vezes você precisa encontrar a soma dos quadrados (x 1 2 +x 2 2) ou a soma dos cubos (x 1 3 +x 2 3) raízes Equação quadrática, menos frequentemente - a soma dos recíprocos dos quadrados das raízes ou a soma da aritmética raízes quadradas das raízes da equação quadrática:
O teorema de Vieta pode ajudar com isso:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Expressar Através dos p e q:
1) a soma dos quadrados das raízes da equação x2+px+q=0;
2) a soma dos cubos das raízes da equação x2+px+q=0.
Solução.
1) Expressão x 1 2 + x 2 2 obtido pelo quadrado de ambos os lados da equação x 1 + x 2 \u003d-p;
(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; abra os colchetes: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; expressamos a quantidade desejada: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Temos uma equação útil: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
2) Expressão x 1 3 + x 2 3 representar pela fórmula da soma dos cubos na forma:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q ).
Outra equação útil: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).
Exemplos.
3) x 2 -3x-4=0. Sem resolver a equação, calcule o valor da expressão x 1 2 + x 2 2.
Solução.
x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, e o trabalho x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dno exemplo 1) igualdade:
x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q. Nós temos -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Então x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
Responda: x 1 2 + x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0. Calcule: x 1 3 +x 2 3 .
Solução.
Pelo teorema de Vieta, a soma das raízes desta equação quadrática reduzida x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, e o trabalho x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-quatro. Vamos aplicar o que obtivemos ( no exemplo 2) igualdade: x 1 3 +x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.
Responda: x 1 3 + x 2 3 =32.
Pergunta: e se nos for dada uma equação quadrática não reduzida? Resposta: sempre pode ser “reduzido” dividindo termo por termo pelo primeiro coeficiente.
5) 2x2 -5x-7=0. Sem resolver, calcule: x 1 2 + x 2 2.
Solução. Nos é dada uma equação quadrática completa. Divida ambos os lados da equação por 2 (o primeiro coeficiente) e obtenha a seguinte equação quadrática: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.
Pelo teorema de Vieta, a soma das raízes é 2,5 ; o produto das raízes é -3,5 .
Resolvemos da mesma forma que um exemplo 3) usando a igualdade: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Responda: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0. Achar:
Vamos transformar esta igualdade e, substituindo a soma das raízes em termos do teorema de Vieta, -p, e o produto das raízes por q, obtemos outra fórmula útil. Ao derivar a fórmula, usamos a igualdade 1): x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
Em nosso exemplo x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Substitua esses valores na fórmula resultante:
7) x 2 -13x+36=0. Achar:
Vamos transformar essa soma e obter uma fórmula pela qual será possível encontrar a soma de raízes quadradas aritméticas a partir das raízes de uma equação quadrática.
Nós temos x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. Substitua esses valores na fórmula derivada:
Adendo : verifique sempre a possibilidade de encontrar as raízes de uma equação quadrática de forma adequada, pois 4 revisado fórmulas úteis permitem concluir rapidamente a tarefa, em primeiro lugar, nos casos em que o discriminante é um número “inconveniente”. Em todos os casos simples, encontre as raízes e opere sobre elas. Por exemplo, no último exemplo, selecionamos as raízes usando o teorema de Vieta: a soma das raízes deve ser igual a 13 , e o produto das raízes 36 . Quais são esses números? É claro, 4 e 9. Agora calcule a soma das raízes quadradas desses números: 2+3=5. É isso!
I. Teorema de Vieta para a equação quadrática reduzida.
A soma das raízes da equação quadrática reduzida x 2 +px+q=0é igual ao segundo coeficiente tirado de sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Encontre as raízes da equação quadrática dada usando o teorema de Vieta.
Exemplo 1) x 2 -x-30=0. Esta é a equação quadrática reduzida ( x 2 +px+q=0), o segundo coeficiente p=-1, e o termo livre q=-30. Primeiro, certifique-se de que a equação dada tenha raízes e que as raízes (se houver) serão expressas como números inteiros. Para isso, é suficiente que o discriminante seja o quadrado inteiro de um inteiro.
Encontrando o discriminante D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Agora, de acordo com o teorema de Vieta, a soma das raízes deve ser igual ao segundo coeficiente, tomado com o sinal oposto, ou seja, ( -p), e o produto é igual ao termo livre, ou seja. ( q). Então:
x1 + x2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Precisamos escolher esses dois números de modo que seu produto seja igual a -30 , e a soma é unidade. Esses são os números -5 e 6 . Resposta: -5; 6.
Exemplo 2) x 2 +6x+8=0. Temos a equação quadrática reduzida com o segundo coeficiente p=6 e membro livre q=8. Certifique-se de que existem raízes inteiras. Vamos encontrar o discriminante D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . O discriminante D 1 é o quadrado perfeito do número 1 , então as raízes desta equação são números inteiros. Escolhemos as raízes de acordo com o teorema de Vieta: a soma das raízes é igual a –p=-6, e o produto das raízes é q=8. Esses são os números -4 e -2 .
Na verdade: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Resposta: -4; -2.
Exemplo 3) x 2 +2x-4=0. Nesta equação quadrática reduzida, o segundo coeficiente p=2, e o termo livre q=-4. Vamos encontrar o discriminante D1, pois o segundo coeficiente é um número par. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. O discriminante não é um quadrado perfeito de um número, então fazemos conclusão: as raízes desta equação não são inteiras e não podem ser encontradas usando o teorema de Vieta. Então, resolvemos essa equação, como de costume, de acordo com as fórmulas (em este caso fórmulas). Nós temos:
Exemplo 4). Escreva uma equação quadrática usando suas raízes se x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
Solução. A equação desejada será escrita na forma: x 2 +px+q=0, além disso, com base no teorema de Vieta –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Então a equação terá a forma: x2 +3x-28=0.
Exemplo 5). Escreva uma equação quadrática usando suas raízes se:
II. Teorema de Vieta para a equação quadrática completa ax2+bx+c=0.
A soma das raízes é menos b dividido por uma, o produto das raízes é Com dividido por uma:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
Exemplo 6). Encontre a soma das raízes de uma equação quadrática 2x2 -7x-11=0.
Solução.
Estamos convencidos de que esta equação terá raízes. Para fazer isso, basta escrever uma expressão para o discriminante e, sem calculá-la, apenas certifique-se de que o discriminante seja maior que zero. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . E agora vamos usar teorema Vieta para equações quadráticas completas.
x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.
Exemplo 7). Encontre o produto das raízes de uma equação quadrática 3x2 +8x-21=0.
Solução.
Vamos encontrar o discriminante D1, uma vez que o segundo coeficiente ( 8 ) é um número par. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . A equação quadrática tem 2 raiz, de acordo com o teorema de Vieta, o produto das raízes x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0é uma equação quadrática geral
Discriminante D=b2 - 4ac.
Se um D>0, então temos duas raízes reais:
Se um D=0, então temos uma única raiz (ou duas raízes iguais) x=-b/(2a).
Se D<0, то действительных корней нет.
Exemplo 1) 2x2 +5x-3=0.
Solução. uma=2; b=5; c=-3.
D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 raízes reais.
4x2 +21x+5=0.
Solução. uma=4; b=21; c=5.
D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 raízes reais.
II. ax2+bx+c=0 – equação quadrática especial por um segundo mesmo
coeficiente b
Exemplo 3) 3x2 -10x+3=0.
Solução. uma=3; b\u003d -10 (número par); c=3.
Exemplo 4) 5x2-14x-3=0.
Solução. uma=5; b= -14 (número par); c=-3.
Exemplo 5) 71x2 +144x+4=0.
Solução. uma=71; b=144 (número par); c=4.
Exemplo 6) 9x 2 -30x+25=0.
Solução. uma=9; b\u003d -30 (número par); c=25.
III. ax2+bx+c=0 – Equação quadrática tipo privado, desde que: a-b+c=0.
A primeira raiz é sempre menos um, e a segunda raiz é menos Com dividido por uma:
x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.
Exemplo 7) 2x2+9x+7=0.
Solução. uma=2; b=9; c=7. Vamos verificar a igualdade: a-b+c=0. Nós temos: 2-9+7=0 .
Então x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3,5. Responda: -1; -3,5.
4. ax2+bx+c=0 – equação quadrática de uma forma particular sob a condição : a+b+c=0.
A primeira raiz é sempre igual a um, e a segunda raiz é igual a Com dividido por uma:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c/a.
Exemplo 8) 2x2 -9x+7=0.
Solução. uma=2; b=-9; c=7. Vamos verificar a igualdade: a+b+c=0. Nós temos: 2-9+7=0 .
Então x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3.5. Responda: 1; 3,5.
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1. Solução do sistema pelo método de substituição.
2. Solução do sistema por adição termo a termo (subtração) das equações do sistema.
Para resolver o sistema de equações método de substituição você precisa seguir um algoritmo simples:
1. Expressamos. De qualquer equação, expressamos uma variável.
2. Substituto. Substituímos em outra equação ao invés da variável expressa, o valor resultante.
3. Resolvemos a equação resultante com uma variável. Encontramos uma solução para o sistema.
Resolver sistema por adição termo a termo (subtração) precisar:
1. Selecione uma variável para a qual faremos os mesmos coeficientes.
2. Adicionamos ou subtraímos as equações, como resultado obtemos uma equação com uma variável.
3. Resolvemos a equação linear resultante. Encontramos uma solução para o sistema.
A solução do sistema são os pontos de interseção dos gráficos da função.
Vamos considerar em detalhes a solução de sistemas usando exemplos.
Exemplo 1:
2x+5y=1 (1 equação)
x-10y=3 (2ª equação)
1. Expresso
Pode-se ver que na segunda equação existe uma variável x com um coeficiente de 1, portanto, é mais fácil expressar a variável x a partir da segunda equação.
x=3+10y
2. Depois de expressar, substituímos 3 + 10y na primeira equação em vez da variável x.
2(3+10ano)+5ano=1
3. Resolvemos a equação resultante com uma variável.
2(3+10y)+5y=1 (colchetes abertos)
6+20anos+5anos=1
25 anos = 1-6
25ano=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
A solução do sistema de equações são os pontos de interseção dos gráficos, portanto, precisamos encontrar x e y, pois o ponto de interseção consiste em x e y. Vamos encontrar x, no primeiro parágrafo onde expressamos substituímos y ali.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
É costume escrever pontos em primeiro lugar, escrevemos a variável x e, em segundo lugar, a variável y.
Resposta: (1; -0,2)
Exemplo #2:
3x-2y=1 (1 equação)
2x-3y=-10 (2ª equação)
1. Selecione uma variável, digamos que selecionamos x. Na primeira equação, a variável x tem um coeficiente de 3, na segunda - 2. Precisamos tornar os coeficientes iguais, para isso temos o direito de multiplicar as equações ou dividir por qualquer número. Multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3 e obtemos um coeficiente total de 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Da primeira equação, subtraia a segunda para se livrar da variável x. Resolva a equação linear.
__6x-4y=2
5a=32 | :5
y=6,4
3. Encontre x. Substituímos o y encontrado em qualquer uma das equações, digamos na primeira equação.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
O ponto de interseção será x=4,6; y=6,4
Resposta: (4,6; 6,4)
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No curso de matemática da 7ª série, eles se encontram pela primeira vez com equações com duas variáveis, mas eles são estudados apenas no contexto de sistemas de equações com duas incógnitas. É por isso que vários problemas ficam fora de vista, nos quais certas condições são introduzidas nos coeficientes da equação que os limitam. Além disso, métodos para resolver problemas como “Resolver uma equação em números naturais ou inteiros” também são ignorados, embora problemas desse tipo sejam encontrados cada vez com mais frequência nos materiais do USE e nos exames de admissão.
Qual equação será chamada de equação com duas variáveis?
Assim, por exemplo, as equações 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 ou xy = 12 são equações de duas variáveis.
Considere a equação 2x - y = 1. Ela se transforma em uma verdadeira igualdade em x = 2 e y = 3, então esse par de valores variáveis é a solução para a equação em consideração.
Assim, a solução de qualquer equação com duas variáveis é o conjunto de pares ordenados (x; y), os valores das variáveis que essa equação transforma em uma verdadeira igualdade numérica.
Uma equação com duas incógnitas pode:
a) tem uma solução. Por exemplo, a equação x 2 + 5y 2 = 0 tem única decisão (0; 0);
b) tem várias soluções. Por exemplo, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 tem 4 soluções: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
dentro) não tem soluções. Por exemplo, a equação x 2 + y 2 + 1 = 0 não tem soluções;
G) tem infinitas soluções. Por exemplo, x + y = 3. As soluções para esta equação serão números cuja soma é 3. O conjunto de soluções para esta equação pode ser escrito como (k; 3 - k), onde k é qualquer número real.
Os principais métodos para resolver equações com duas variáveis são métodos baseados em expressões de fatoração, destacando o quadrado completo, usando as propriedades de uma equação quadrática, expressões limitadas e métodos de avaliação. A equação, via de regra, é transformada em uma forma a partir da qual se pode obter um sistema para encontrar incógnitas.
Fatoração
Exemplo 1
Resolva a equação: xy - 2 = 2x - y.
Solução.
Agrupamos os termos para efeito de fatoração:
(xy + y) - (2x + 2) = 0. Retire o fator comum de cada colchete:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 2) = 0. Temos:
y = 2, x é qualquer número real ou x = -1, y é qualquer número real.
Nesse caminho, a resposta é todos os pares da forma (x; 2), x € R e (-1; y), y € R.
Igualdade a zero de números não negativos
Exemplo 2
Resolva a equação: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Solução.
Agrupamento:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Agora cada parêntese pode ser reduzido usando a fórmula da diferença quadrada.
(3x - 2) 2 + (2a - 3) 2 = 0.
A soma de duas expressões não negativas é zero somente se 3x - 2 = 0 e 2y - 3 = 0.
Então x = 2/3 e y = 3/2.
Resposta: (2/3; 3/2).
Método de avaliação
Exemplo 3
Resolva a equação: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
Solução.
Em cada colchete, selecione o quadrado completo:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Estimativa 
o significado das expressões entre parênteses.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 e (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, então o lado esquerdo da equação é sempre pelo menos 2. A igualdade é possível se:
(x + 1) 2 + 1 = 1 e (y - 2) 2 + 2 = 2, então x = -1, y = 2.
Resposta: (-1; 2).
Vamos nos familiarizar com outro método para resolver equações com duas variáveis do segundo grau. Este método é que a equação é considerada como quadrado em relação a alguma variável.
Exemplo 4
Resolva a equação: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.
Solução.
Vamos resolver a equação como quadrática em relação a x. Vamos encontrar o discriminante:
D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . A equação terá solução somente quando D = 0, ou seja, se y = 4. Substituímos o valor de y na equação original e descobrimos que x = 3.
Resposta: (3; 4).
Muitas vezes em equações com duas incógnitas indicam restrições de variáveis.
Exemplo 5
Resolva a equação em números inteiros: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Solução.
Vamos reescrever a equação como x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Parte direita a equação resultante, quando dividida por 5, dá um resto de 2. Portanto, x 2 não é divisível por 5. Mas o quadrado de um número que não é divisível por 5 dá um resto de 1 ou 4. Assim, a igualdade é impossível e não há soluções.
Resposta: sem raízes.
Exemplo 6
Resolva a equação: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
Solução.
Vamos selecionar os quadrados completos em cada colchete:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. O lado esquerdo da equação é sempre maior ou igual a 3. A igualdade é possível se |x| – 2 = 0 ey + 3 = 0. Assim, x = ± 2, y = -3.
Resposta: (2; -3) e (-2; -3).
Exemplo 7
Para cada par de inteiros negativos (x; y) satisfazendo a equação
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calcule a soma (x + y). Responda a menor quantidade.
Solução.
Selecione quadrados completos:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Como xey são inteiros, seus quadrados também são inteiros. A soma dos quadrados de dois inteiros, igual a 37, obtemos se somarmos 1 + 36. Portanto:
(x - y) 2 = 36 e (y + 2) 2 = 1 
(x - y) 2 = 1 e (y + 2) 2 = 36.
Resolvendo esses sistemas e levando em conta que x e y são negativos, encontramos as soluções: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Resposta: -17.
Não se desespere se tiver dificuldades ao resolver equações com duas incógnitas. Com um pouco de prática, você será capaz de dominar qualquer equação.
Você tem alguma pergunta? Não sabe resolver equações com duas variáveis?
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