O número r é chamado de posto da matriz A se:
1) a matriz A contém um menor não nulo de ordem r;
2) todos os menores de ordem (r + 1) e superiores, se existirem, são iguais a zero.
Caso contrário, o posto de uma matriz é a ordem mais alta de um menor diferente de zero.
Designações: rangA , r A ou r .
Segue da definição que r é um inteiro positivo. Para uma matriz nula, o posto é considerado zero.
Atribuição de serviço. A calculadora online foi projetada para encontrar classificação da matriz. A solução é salva em formato Word e Excel. veja exemplo de solução.
Instrução. Selecione a dimensão da matriz, clique em Avançar.
Definição . Seja dada uma matriz de posto r. Qualquer matriz menor que zero e de ordem r é chamada de básica, e as linhas e colunas de seus componentes são chamadas de linhas e colunas básicas.
De acordo com esta definição, a matriz A pode ter várias bases menores.
Classificação matriz de identidade E é igual a n (número de linhas).
Exemplo 1 . Dadas duas matrizes, e seus menores 
, 
. Qual deles pode ser tomado como base?
Solução. O menor M 1 =0, portanto não pode ser base para nenhuma das matrizes. Menor M 2 =-9≠0 e tem ordem 2, portanto pode ser tomada como matrizes base de A ou / e B, desde que tenham postos iguais a 2 . Como detB=0 (como um determinante com duas colunas proporcionais), então rangB=2 e M 2 podem ser considerados como a base menor da matriz B. O posto da matriz A é 3, devido ao fato de que detA=-27≠ 0 e, portanto, a ordem da base menor dessa matriz deve ser 3, ou seja, M 2 não é base da matriz A . Observe que a matriz A tem uma única base menor igual ao determinante da matriz A .
Teorema (sobre o menor básico).
Qualquer linha (coluna) de uma matriz é uma combinação linear de suas linhas básicas (colunas).
Consequências do teorema.
Exemplo 2 . Encontrar o posto de uma matriz 
.
Solução.
Com base na definição do posto de uma matriz, buscaremos um menor de ordem superior que seja diferente de zero. Primeiro, transformamos a matriz para mais à vista. Para fazer isso, multiplique a primeira linha da matriz por (-2) e some à segunda, depois multiplique por (-1) e some à terceira.
Para trabalhar com o conceito de posto de uma matriz, precisamos de informações do tópico "Complementos algébricos e menores. Tipos de menores e complementos algébricos" . Em primeiro lugar, isso diz respeito ao termo "matriz menor", pois determinaremos o posto de uma matriz precisamente por meio de menores.
Classificação da matriz nomeie a ordem máxima de seus menores, dentre os quais haja pelo menos um que não seja igual a zero.
matrizes equivalentes são matrizes cujos postos são iguais entre si.
Vamos explicar com mais detalhes. Suponha que haja pelo menos um entre os menores de segunda ordem que seja diferente de zero. E todos os menores, cuja ordem é superior a dois, são iguais a zero. Conclusão: o posto da matriz é 2. Ou, por exemplo, entre os menores da décima ordem existe pelo menos um que não é igual a zero. E todos os menores, cuja ordem é superior a 10, são iguais a zero. Conclusão: a classificação da matriz é 10.
O posto da matriz $A$ é denotado da seguinte forma: $\rang A$ ou $r(A)$. O posto da matriz zero $O$ é igual a zero, $\rang O=0$. Deixe-me lembrá-lo de que, para formar uma matriz menor, é necessário riscar linhas e colunas, mas é impossível riscar mais linhas e colunas do que a própria matriz contém. Por exemplo, se a matriz $F$ tiver tamanho $5\vezes 4$ (isto é, contém 5 linhas e 4 colunas), então a ordem máxima de seus menores é quatro. Não será mais possível formar menores de quinta ordem, pois exigirão 5 colunas (e nós temos apenas 4). Isso significa que o posto da matriz $F$ não pode ser maior que quatro, ou seja, $\tocou F≤4$.
De uma forma mais geral, o que foi dito acima significa que se a matriz contém $m$ linhas e $n$ colunas, então sua classificação não pode exceder o menor dos números $m$ e $n$, ou seja, $\rang A≤\min(m,n)$.
Em princípio, o método de encontrá-lo decorre da própria definição do posto. O processo de encontrar o posto de uma matriz por definição pode ser esquematicamente representado da seguinte forma:
Deixe-me explicar este diagrama com mais detalhes. Vamos começar a raciocinar desde o início, ou seja. com menores de primeira ordem de alguma matriz $A$.
O que nos espera no final deste procedimento? É possível que entre os menores da ordem k haja pelo menos um diferente de zero, e todos os menores da (k + 1)ª ordem serão iguais a zero. Isso significa que k é a ordem máxima de menores entre os quais há pelo menos um que não é igual a zero, ou seja, a classificação será igual a k. A situação pode ser diferente: entre os menores da ordem k haverá pelo menos um que não é igual a zero, e os menores da ordem (k + 1) não podem ser formados. Nesse caso, o posto da matriz também é igual a k. Brevemente falando, a ordem do último menor não nulo composto e será igual ao posto da matriz.
Passemos a exemplos nos quais o processo de encontrar o posto de uma matriz por definição será ilustrado claramente. Mais uma vez, ressalto que nos exemplos deste tópico, encontraremos o posto de matrizes utilizando apenas a definição do posto. Outros métodos (cálculo do posto de uma matriz pelo método dos menores limítrofes, cálculo do posto de uma matriz pelo método das transformações elementares) são considerados nos tópicos seguintes.
A propósito, não é necessário iniciar o procedimento para encontrar a classificação dos menores da menor ordem, como foi feito nos exemplos nº 1 e nº 2. Você pode ir imediatamente para menores de ordens superiores (veja o exemplo nº 3).
Exemplo 1
Encontre o posto de uma matriz $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array)\right)$.
Esta matriz tem tamanho $3\times 5$, ou seja, contém três linhas e cinco colunas. Dos números 3 e 5, 3 é o mínimo, então o posto da matriz $A$ é no máximo 3, ou seja, $\classificação A≤ 3$. E essa desigualdade é óbvia, pois não podemos mais formar menores de quarta ordem - eles precisam de 4 linhas e nós temos apenas 3. Vamos prosseguir diretamente para o processo de encontrar o posto de uma determinada matriz.
Entre os menores de primeira ordem (ou seja, entre os elementos da matriz $A$) existem os diferentes de zero. Por exemplo, 5, -3, 2, 7. Em geral, não estamos interessados no número total de elementos diferentes de zero. Existe pelo menos um elemento diferente de zero - e isso é o suficiente. Como há pelo menos um diferente de zero entre os menores de primeira ordem, concluímos que $\rang A≥ 1$ e passamos a verificar os menores de segunda ordem.
Vamos começar explorando menores de segunda ordem. Por exemplo, na intersecção das linhas #1, #2 e colunas #1, #4 existem elementos do seguinte menor: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (array) \right| $. Para este determinante, todos os elementos da segunda coluna são iguais a zero, portanto o próprio determinante é igual a zero, ou seja, $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (veja a propriedade #3 na propriedade dos determinantes). Ou você pode simplesmente calcular esse determinante usando a fórmula nº 1 da seção sobre cálculo de determinantes de segunda e terceira ordem:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
O primeiro menor da segunda ordem que verificamos acabou sendo igual a zero. O que isso diz? Sobre a necessidade de verificar ainda menores de segunda ordem. Ou todos eles acabam sendo zero (e então a classificação será igual a 1), ou entre eles há pelo menos um menor diferente de zero. Vamos tentar fazer uma escolha melhor escrevendo um menor de segunda ordem cujos elementos estão localizados na interseção das linhas #1, #2 e das colunas #1 e #5: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array)\right|$. Vamos achar o valor desse menor de segunda ordem:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Este menor não é igual a zero. Conclusão: entre os menores de segunda ordem há pelo menos um diferente de zero. Daí $\rank A≥ 2$. É necessário proceder ao estudo dos menores de terceira ordem.
Se para a formação dos menores de terceira ordem escolhermos a coluna nº 2 ou a coluna nº 4, então tais menores serão iguais a zero (porque conterão uma coluna zero). Resta verificar apenas um menor da terceira ordem, cujos elementos estão localizados na interseção das colunas nº 1, nº 3, nº 5 e linhas nº 1, nº 2, nº 3. Vamos escrever este menor e encontrar seu valor:
$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
Assim, todos os menores de terceira ordem são iguais a zero. O último menor diferente de zero que compilamos era de segunda ordem. Conclusão: a ordem máxima de menores, entre os quais haja pelo menos um diferente de zero, é igual a 2. Portanto, $\rang A=2$.
Responda: $\posto A=2$.
Exemplo #2
Encontre o posto de uma matriz $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.
Nós temos matriz quadrada quarta ordem. Notamos desde já que o posto desta matriz não ultrapassa 4, ou seja, $\classificação A≤ 4$. Vamos começar a encontrar o posto de uma matriz.
Entre os menores de primeira ordem (ou seja, entre os elementos da matriz $A$) existe pelo menos um que não é igual a zero, portanto $\rang A≥ 1$. Passamos à verificação de menores de segunda ordem. Por exemplo, na interseção das linhas nº 2, nº 3 e colunas nº 1 e nº 2, obtemos o seguinte menor de segunda ordem: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Vamos calcular:
$$ \esquerda| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$
Entre os menores de segunda ordem, há pelo menos um que não é igual a zero, então $\rang A≥ 2$.
Passemos aos menores de terceira ordem. Vamos encontrar, por exemplo, um menor cujos elementos estão localizados na interseção das linhas nº 1, nº 3, nº 4 e colunas nº 1, nº 2, nº 4:
$$ \esquerda | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$
Como esse menor de terceira ordem acabou sendo igual a zero, é necessário investigar outro menor de terceira ordem. Ou todos eles serão iguais a zero (então a classificação será igual a 2), ou entre eles haverá pelo menos um que não seja igual a zero (então começaremos a estudar menores de quarta ordem). Considere um menor de terceira ordem cujos elementos estão localizados na interseção das linhas nº 2, nº 3, nº 4 e colunas nº 2, nº 3, nº 4:
$$ \esquerda| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$
Existe pelo menos um menor diferente de zero entre os menores de terceira ordem, então $\rang A≥ 3$. Passemos à verificação dos menores de quarta ordem.
Qualquer menor de quarta ordem está localizado na interseção de quatro linhas e quatro colunas da matriz $A$. Em outras palavras, o menor de quarta ordem é o determinante da matriz $A$, já que esta matriz contém apenas 4 linhas e 4 colunas. O determinante desta matriz foi calculado no exemplo nº 2 do tópico "Reduzindo a ordem do determinante. Decomposição do determinante em uma linha (coluna)" , então vamos apenas pegar o resultado final:
$$ \esquerda| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (matriz)\direita|=86. $$
Portanto, o menor de quarta ordem não é igual a zero. Não podemos mais formar menores de quinta ordem. Conclusão: a maior ordem de menores, entre os quais há pelo menos um diferente de zero, é 4. Resultado: $\rang A=4$.
Responda: $\classificação A=4$.
Exemplo #3
Encontre o posto de uma matriz $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end(array)\right)$.
Observe desde já que esta matriz contém 3 linhas e 4 colunas, portanto $\rang A≤ 3$. Nos exemplos anteriores, iniciamos o processo de encontrar o rank considerando menores de menor (primeira) ordem. Aqui tentaremos verificar imediatamente os menores da ordem mais alta possível. Para a matriz $A$, estes são menores de terceira ordem. Considere um menor de terceira ordem cujos elementos estão na interseção das linhas nº 1, nº 2, nº 3 e colunas nº 2, nº 3, nº 4:
$$ \esquerda| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$
Assim, a maior ordem dos menores, entre os quais existe pelo menos um que não é igual a zero, é 3. Portanto, o posto da matriz é 3, ou seja, $\classificação A=3$.
Responda: $\posto A=3$.
Em geral, encontrar o posto de uma matriz por definição é caso Geral a tarefa é bastante tediosa. Por exemplo, uma matriz $5\times 4$ relativamente pequena tem 60 menores de segunda ordem. E mesmo que 59 deles sejam iguais a zero, o 60º menor pode ser diferente de zero. Então você tem que explorar os menores de terceira ordem, dos quais esta matriz tem 40 peças. Normalmente, tenta-se usar métodos menos complicados, como o método dos menores limítrofes ou o método das transformações equivalentes.
Seja dada alguma matriz:
.
Selecione nesta matriz 
linhas arbitrárias e 
colunas arbitrárias 
. Então o determinante 
ª ordem, composta por elementos de matriz 
localizado na interseção das linhas e colunas selecionadas é chamado de menor 
-ésima matriz de ordem 
.
Definição 1.13. Classificação da matriz 
é a maior ordem do menor diferente de zero desta matriz.
Para calcular o posto de uma matriz, deve-se considerar todos os seus menores de menor ordem e, se pelo menos um deles for diferente de zero, proceder à consideração dos menores de maior ordem. Essa abordagem para determinar a classificação de uma matriz é chamada de método bordering (ou método bordering minors).
Tarefa 1.4. Pelo método dos menores limítrofes, determine o posto de uma matriz 
.
.
Considere a fronteira de primeira ordem, por exemplo, 
. Então nos voltamos para a consideração de alguns limites de segunda ordem.
Por exemplo, 
.
Finalmente, vamos analisar a fronteira de terceira ordem.
.
Portanto, a ordem mais alta de um menor diferente de zero é 2, portanto 
.
Ao resolver o Problema 1.4, pode-se notar que as séries de menores limítrofes de segunda ordem são diferentes de zero. A este respeito, a seguinte noção ocorre.
Definição 1.14. O menor de base de uma matriz é qualquer menor diferente de zero cuja ordem é igual ao posto da matriz.
Teorema 1.2.(Teorema básico do menor). Linhas básicas (colunas básicas) são linearmente independentes.
Observe que as linhas (colunas) de uma matriz são linearmente dependentes se e somente se pelo menos uma delas puder ser representada como uma combinação linear das outras.
Teorema 1.3. O número de linhas da matriz linearmente independentes é igual ao número de colunas da matriz linearmente independentes e é igual ao posto da matriz.
Teorema 1.4.(Condição necessária e suficiente para que o determinante seja igual a zero). Para que o determinante 
-ésima ordem 
é igual a zero, é necessário e suficiente que suas linhas (colunas) sejam linearmente dependentes.
Calcular o posto de uma matriz com base em sua definição é muito complicado. Isso se torna especialmente importante para matrizes de alta ordem. Nesse sentido, na prática, o posto de uma matriz é calculado com base na aplicação dos Teoremas 10.2 - 10.4, bem como no uso dos conceitos de equivalência de matrizes e transformações elementares.
Definição 1.15. Duas matrizes 
e 
são chamados equivalentes se suas classificações forem iguais, ou seja, 
.
Se matrizes 
e 
são equivalentes, então marque 
.
Teorema 1.5. O posto de uma matriz não muda de transformações elementares.
Chamaremos as transformações elementares da matriz 
qualquer uma das seguintes ações na matriz:
Substituir linhas por colunas e colunas por linhas correspondentes;
Permutação de linhas de matrizes;
Riscando uma linha, cujos elementos são iguais a zero;
Multiplicar qualquer string por um número diferente de zero;
Adicionando aos elementos de uma linha os elementos correspondentes de outra linha multiplicados pelo mesmo número 
.
Corolário do Teorema 1.5. Se a matriz 
obtido da matriz 
usando um número finito de transformações elementares, então as matrizes 
e 
são equivalentes.
Ao calcular o posto de uma matriz, ela deve ser reduzida a uma forma trapezoidal usando um número finito de transformações elementares.
Definição 1.16. Chamaremos de trapézio tal forma de representação da matriz, quando no menor limítrofe ordem superior diferente de zero, todos os elementos abaixo da diagonal desaparecem. Por exemplo:
.
Aqui 
, elementos de matriz 
virar para zero. Então a forma de representação de tal matriz será trapezoidal.
Como regra, as matrizes são reduzidas a uma forma trapezoidal usando o algoritmo gaussiano. A ideia do algoritmo gaussiano é que, ao multiplicar os elementos da primeira linha da matriz pelos fatores correspondentes, eles conseguem que todos os elementos da primeira coluna localizados abaixo do elemento 
, passaria a zero. Então, multiplicando os elementos da segunda coluna pelos multiplicadores correspondentes, conseguimos que todos os elementos da segunda coluna localizados abaixo do elemento 
, passaria a zero. Além disso, proceda da mesma forma.
Tarefa 1.5. Determine o posto de uma matriz reduzindo-a a uma forma trapezoidal.
.
Para a conveniência de aplicar o algoritmo gaussiano, você pode trocar a primeira e a terceira linhas.
.
obviamente aqui 
. No entanto, para trazer o resultado para uma forma mais elegante, outras transformações nas colunas podem ser continuadas.
.
Definição. Classificação da matrizé o número máximo de linhas linearmente independentes consideradas como vetores.
Teorema 1 sobre o posto de uma matriz. Classificação da matrizé a ordem máxima de um menor não nulo de uma matriz.
Já discutimos o conceito de menor na lição sobre determinantes e agora vamos generalizá-lo. Vamos pegar algumas linhas e algumas colunas na matriz, e esse "algo" deve ser menor que o número de linhas e colunas da matriz, e para linhas e colunas esse "algo" deve ser o mesmo número. Então, na interseção de quantas linhas e quantas colunas haverá uma matriz de ordem menor que a nossa matriz original. O determinante desta matriz será um menor de ordem k se o "algo" mencionado (o número de linhas e colunas) for denotado por k.
Definição. Menor ( r+1)-ésima ordem, dentro da qual se encontra o menor escolhido r-ésima ordem, é chamado de limítrofe para o menor dado.
Os dois métodos mais usados encontrando o posto de uma matriz. isto forma de marginalizar menores e método das transformações elementares(pelo método de Gauss).
O método de fazer fronteira com menores usa o seguinte teorema.
Teorema 2 sobre o posto de uma matriz. Se é possível compor um menor a partir dos elementos da matriz rª ordem, que não é igual a zero, então o posto da matriz é igual a r.
Com o método das transformações elementares, a seguinte propriedade é usada:
Se uma matriz trapezoidal equivalente à original for obtida por transformações elementares, então o posto desta matrizé o número de linhas nele, exceto para linhas que consistem inteiramente em zeros.
Um menor limítrofe é um menor de ordem superior em relação ao dado, se este menor de ordem superior contém o menor dado.
Por exemplo, dada a matriz
vamos pegar um menor
afiação serão tais menores:
Algoritmo para encontrar o posto de uma matriz próximo.
1. Encontramos menores de segunda ordem que não são iguais a zero. Se todos os menores de segunda ordem forem iguais a zero, então o posto da matriz será igual a um ( r =1 ).
2. Se existir pelo menos um menor de segunda ordem que não seja igual a zero, então compomos menores de terceira ordem limítrofes. Se todos os menores limítrofes de terceira ordem forem zero, o posto da matriz é dois ( r =2 ).
3. Se pelo menos um dos menores limítrofes de terceira ordem não for igual a zero, então compomos os menores limítrofes. Se todos os menores de quarta ordem adjacentes forem zero, o posto da matriz será três ( r =2 ).
4. Continue enquanto o tamanho da matriz permitir.
Exemplo 1 Encontrar o posto de uma matriz
.
Solução. Menor de segunda ordem 
.
Nós o enquadramos. Haverá quatro menores limítrofes:
,
,
Assim, todos os menores limítrofes de terceira ordem são iguais a zero, portanto, o posto desta matriz é dois ( r =2 ).
Exemplo 2 Encontrar o posto de uma matriz
Solução. O posto desta matriz é 1, pois todos os menores de segunda ordem desta matriz são iguais a zero (nisto, como nos casos de menores limítrofes nos próximos dois exemplos, queridos alunos são convidados a verificar por si mesmos, talvez usando as regras de cálculo dos determinantes), e entre os menores de primeira ordem , ou seja, entre os elementos da matriz, não são iguais a zero.
Exemplo 3 Encontrar o posto de uma matriz
Solução. O menor de segunda ordem desta matriz é, e todos os menores de terceira ordem desta matriz são zero. Portanto, o posto desta matriz é dois.
Exemplo 4 Encontrar o posto de uma matriz
Solução. O posto desta matriz é 3 porque o único menor de terceira ordem desta matriz é 3.
Já no Exemplo 1, pode-se ver que o problema de determinar o posto de uma matriz pelo método dos menores limítrofes requer o cálculo de um grande número de determinantes. Há, no entanto, uma maneira de reduzir a quantidade de computação ao mínimo. Este método é baseado no uso de transformações matriciais elementares e também é chamado de método de Gauss.
Transformações elementares de uma matriz significam as seguintes operações:
1) multiplicação de qualquer linha ou coluna da matriz por um número diferente de zero;
2) somar aos elementos de qualquer linha ou coluna da matriz os elementos correspondentes de outra linha ou coluna, multiplicados pelo mesmo número;
3) troca de duas linhas ou colunas de uma matriz;
4) remoção de linhas "nulas", ou seja, aquelas em que todos os elementos são iguais a zero;
5) exclusão de todas as linhas proporcionais, exceto uma.
Teorema. A transformação elementar não altera o posto da matriz. Em outras palavras, se usarmos transformações elementares da matriz UMA ir para a matriz B, então .
E considere também uma importante aplicação prática do tema: estudo do sistema equações lineares para compatibilidade.
A epígrafe humorística do artigo contém muita verdade. A própria palavra "classificação" geralmente está associada a algum tipo de hierarquia, na maioria das vezes com a escada da carreira. Quanto mais conhecimento, experiência, habilidades, conexões, etc., uma pessoa tem. - quanto maior for a sua posição e gama de oportunidades. Em termos juvenis, a classificação refere-se ao grau geral de "resistência".
E nossos irmãos matemáticos vivem pelos mesmos princípios. Vamos dar um passeio arbitrário matrizes zero:
Vamos pensar se na matriz apenas zeros, então de que classificação podemos falar? Todos estão familiarizados com a expressão informal "zero total". Na sociedade matrix, tudo é exatamente igual:
Classificação da matriz zeroqualquer tamanho é zero.
Observação : a matriz zero é denotada pela letra grega "theta"
A fim de entender melhor o posto da matriz, a seguir vou me basear nos materiais geometria analítica. Considere zero vetor nosso espaço tridimensional, que não define uma direção específica e é inútil para construir base afim. Do ponto de vista algébrico, as coordenadas de um dado vetor são escritas em matriz"um por três" e lógico (no sentido geométrico especificado) suponha que o posto desta matriz seja zero.
Agora vamos ver alguns diferente de zero vetores coluna e vetores linha:
Cada instância tem pelo menos um elemento não nulo, e isso é alguma coisa!
A classificação de qualquer vetor linha diferente de zero (vetor coluna) é igual a um
E de um modo geral - se na matriz tamanhos arbitrários tem pelo menos um elemento diferente de zero, então sua classificação não menos unidades.
Os vetores algébricos de linha e coluna são abstratos até certo ponto, então vamos voltar à associação geométrica. diferente de zero vetor define uma direção bem definida no espaço e é adequado para a construção base, portanto, o posto da matriz será considerado igual a um.
Referencial Teórico : em álgebra linear, um vetor é um elemento de um espaço vetorial (definido por 8 axiomas), que, em particular, pode ser uma linha ordenada (ou coluna) de números reais com as operações de adição e multiplicação definidas para eles por número real. Com mais informação detalhada sobre vetores pode ser encontrado no artigo transformações lineares.
linearmente dependente(expressos um através do outro). Do ponto de vista geométrico, a segunda linha contém as coordenadas do vetor colinear 
, que não avançou a matéria na construção base tridimensional, sendo redundante nesse sentido. Assim, o posto desta matriz também é igual a um.
Reescrevemos as coordenadas dos vetores em colunas ( transpor a matriz):
O que mudou em termos de classificação? Nada. As colunas são proporcionais, o que significa que a classificação é igual a um. A propósito, observe que todas as três linhas também são proporcionais. Eles podem ser identificados com as coordenadas três vetores colineares do plano, dos quais apenas umútil para construir uma base "plana". E isso está de acordo com nosso senso geométrico de classificação.
Uma declaração importante segue do exemplo acima:
O posto de uma matriz por linhas é igual ao posto de uma matriz por colunas. Já comentei um pouco sobre isso na aula sobre eficácia métodos para calcular o determinante.
Observação : dependência linear de linhas leva a dependência linear de colunas (e vice-versa). Mas, para economizar tempo e por hábito, quase sempre falarei sobre a dependência linear das cordas.
Vamos continuar a treinar nosso amado animal de estimação. Adicione as coordenadas de outro vetor colinear à matriz na terceira linha 
:
Ele nos ajudou a construir uma base tridimensional? Claro que não. Todos os três vetores caminham para frente e para trás ao longo do mesmo caminho, e a classificação da matriz é uma. Você pode pegar quantos vetores colineares quiser, digamos 100, colocar suas coordenadas em uma matriz de 100 por 3, e a classificação de tal arranha-céu ainda permanecerá uma.
Vamos nos familiarizar com a matriz cujas linhas Linearmente independente. Um par de vetores não colineares é adequado para construir uma base tridimensional. A classificação desta matriz é dois.
Qual é o posto da matriz? As linhas não parecem ser proporcionais... então, em teoria, três. No entanto, o posto dessa matriz também é igual a dois. Adicionei as duas primeiras linhas e anotei o resultado na parte inferior, ou seja, expresso linearmente terceira linha através das duas primeiras. Geometricamente, as linhas da matriz correspondem às coordenadas de três vetores coplanares, e entre este triplo há um par de camaradas não colineares.
Como você pode ver dependência linear na matriz considerada não é óbvia, e hoje vamos apenas aprender como trazê-la “para a água limpa”.
Acho que muitas pessoas adivinham qual é o posto de uma matriz!
Considere uma matriz cujas linhas Linearmente independente. Formulário de vetores base afim, e a classificação desta matriz é três.
Como você sabe, qualquer quarto, quinto, décimo vetor do espaço tridimensional será expresso linearmente em termos de vetores de base. Portanto, se qualquer número de linhas for adicionado à matriz, sua classificação ainda serão três.
Raciocínio semelhante pode ser feito para as matrizes tamanhos maiores(obviamente, já sem sentido geométrico).
Definição : classificação da matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes. Ou: o posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes. Sim, sempre combinam.
Uma orientação prática importante decorre do exposto acima: o posto de uma matriz não excede sua dimensão mínima. Por exemplo, na matriz 
quatro linhas e cinco colunas. A dimensão mínima é quatro, portanto, o posto desta matriz certamente não ultrapassará 4.
Notação: na teoria e na prática mundial não existe um padrão geralmente aceito para designar a classificação da matriz, o mais comum pode ser encontrado: - como dizem, um inglês escreve uma coisa, um alemão outra. Portanto, com base na conhecida anedota sobre o inferno americano e russo, vamos designar a classificação da matriz com uma palavra nativa. Por exemplo: . E se a matriz for "sem nome", da qual existem muitos, você pode simplesmente escrever .
Se nossa avó tivesse uma quinta coluna na matriz, então outra menor de 4ª ordem (“azul”, “framboesa” + 5ª coluna) deveria ter sido calculada.
Conclusão: a ordem máxima de um menor diferente de zero é três, então .
Talvez nem todos tenham compreendido totalmente essa frase: o menor de 4ª ordem é igual a zero, mas entre os menores de 3ª ordem havia um diferente de zero - portanto, a ordem máxima diferente de zero menor e igual a três.
Surge a pergunta: por que não calcular imediatamente o determinante? Bem, em primeiro lugar, na maioria das tarefas, a matriz não é quadrada e, em segundo lugar, mesmo que você obtenha um valor diferente de zero, a tarefa será rejeitada com alta probabilidade, pois geralmente implica um padrão "de baixo para cima" solução. E no exemplo considerado, o determinante nulo de 4ª ordem ainda nos permite afirmar que o posto da matriz é apenas inferior a quatro.
Devo admitir que eu mesmo criei o problema analisado para explicar melhor o método de fazer fronteira com menores. Na prática, tudo é mais simples:
Exemplo 2
Encontre o posto de uma matriz pelo método de franjas menores 
Solução e resposta no final da lição.
Quando o algoritmo está rodando mais rápido? Vamos voltar para a mesma matriz quatro por quatro 
. Obviamente, a solução será a mais curta no caso de "bom" menores de canto:
E, se , então , caso contrário - .
Pensar não é nada hipotético - há muitos exemplos em que tudo se limita apenas a menores angulares.
No entanto, em alguns casos, outro método é mais eficaz e preferível:
Esta seção destina-se a leitores que já estão familiarizados com método Gauss e pouco a pouco colocaram as mãos nele.
Do ponto de vista técnico, o método não é novo:
1) usando transformações elementares, trazemos a matriz para uma forma escalonada;
2) o posto da matriz é igual ao número de linhas.
É bem claro que usar o método de Gauss não altera a classificação da matriz, e a essência aqui é extremamente simples: de acordo com o algoritmo, no decorrer das transformações elementares, todas as linhas proporcionais desnecessárias (linearmente dependentes) são identificadas e removidas, resultando em um “resíduo seco” - o número máximo de retas linearmente independentes.
Vamos transformar a velha matriz familiar com as coordenadas de três vetores colineares: 
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha.
(2) As linhas zero são removidas.
Portanto, resta uma linha, portanto . Desnecessário dizer que isso é muito mais rápido do que calcular nove zeros menores de 2ª ordem e só então tirar uma conclusão.
Eu te lembro que em si matriz algébrica nada pode ser alterado e as transformações são realizadas apenas com o objetivo de descobrir a classificação! A propósito, vamos nos deter na questão novamente, por que não? Matriz de origem 
carrega informações que são fundamentalmente diferentes das informações de matriz e linha. Em alguns modelos matemáticos(sem exagero) a diferença de um número pode ser uma questão de vida ou morte. ... Lembrei-me dos professores de matemática das classes primária e secundária, que cortavam impiedosamente a nota em 1-2 pontos pela menor imprecisão ou desvio do algoritmo. E foi terrivelmente decepcionante quando, em vez dos "cinco" aparentemente garantidos, acabou "bom" ou ainda pior. O entendimento veio muito mais tarde - de que outra forma confiar a uma pessoa satélites, ogivas nucleares e usinas de energia? Mas não se preocupe, não trabalho nessas áreas =)
Vamos passar para tarefas mais significativas, onde, entre outras coisas, vamos nos familiarizar com importantes técnicas computacionais método Gauss:
Exemplo 3
Encontre o posto de uma matriz usando transformações elementares 
Solução: dada uma matriz de quatro por cinco, o que significa que sua classificação certamente não é maior que 4.
Na primeira coluna, não há 1 ou -1, portanto, etapas adicionais são necessárias para obter pelo menos uma unidade. Ao longo de toda a existência do site, repetidamente me perguntam: “É possível reorganizar as colunas durante as transformações elementares?”. Aqui - reorganizei a primeira ou a segunda coluna e está tudo bem! Na maioria das tarefas onde método Gauss, as colunas podem realmente ser reorganizadas. MAS NÃO. E a questão nem é uma possível confusão com variáveis, a questão é que no curso clássico matemática superior essa ação tradicionalmente não é considerada, portanto, tal reverência será vista de forma MUITO torta (ou até forçada a refazer tudo).
O segundo ponto diz respeito aos números. No decurso da decisão, é útil orientar-se pela seguinte regra prática: transformações elementares devem, se possível, reduzir os números da matriz. Com efeito, é muito mais fácil trabalhar com um-dois-três do que, por exemplo, com 23, 45 e 97. E a primeira ação visa não só obter uma unidade na primeira coluna, mas também eliminar os números 7 e 11.
Primeiro a solução completa, depois os comentários: 
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -3. E para a pilha: a 1ª linha, multiplicada por -1, foi adicionada à 4ª linha.
(2) As últimas três linhas são proporcionais. Excluídas a 3ª e 4ª linhas, a segunda linha foi movida para o primeiro lugar.
(3) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -3.
A matriz reduzida a uma forma escalonada tem duas linhas.
Responda:
Agora é sua vez de torturar a matriz quatro por quatro:
Exemplo 4
Encontre o posto de uma matriz usando o método gaussiano 
eu te lembro que método Gauss não implica rigidez inequívoca, e sua solução provavelmente será diferente da minha solução. Uma breve amostra da tarefa no final da lição.
Na prática, muitas vezes não é dito qual método deve ser usado para encontrar a classificação. Em tal situação, deve-se analisar a condição - para algumas matrizes é mais racional realizar a solução por meio de menores, enquanto para outras é muito mais lucrativo aplicar transformações elementares:
Exemplo 5
Encontrar o posto de uma matriz 
Solução: a primeira maneira de alguma forma desaparece imediatamente =)
Um pouco mais alto, aconselhei não mexer nas colunas da matriz, mas quando houver coluna zero, ou colunas proporcionais / correspondentes, ainda vale a pena amputar: 
(1) A quinta coluna é zero, nós a removemos da matriz. Assim, o posto da matriz é no máximo quatro. A primeira linha é multiplicada por -1. Esse é outro recurso característico do método gaussiano, que torna a seguinte ação um passeio agradável:
(2) A todas as linhas, começando pela segunda, foi acrescentada a primeira linha.
(3) A primeira linha foi multiplicada por -1, a terceira linha foi dividida por 2, a quarta linha foi dividida por 3. A segunda linha multiplicada por -1 foi adicionada à quinta linha.
(4) A terceira linha foi adicionada à quinta linha, multiplicada por -2.
(5) As duas últimas linhas são proporcionais, excluímos a quinta.
O resultado são 4 linhas.
Responda:
Edifício padrão de cinco andares para auto-exploração:
Exemplo 6
Encontrar o posto de uma matriz
Solução curta e resposta no final da lição.
Deve-se notar que a frase "classificação da matriz" não é tão comum na prática e, na maioria dos problemas, você pode passar sem ela. Mas há uma tarefa em que o conceito em consideração é o principal. ator, e no final do artigo veremos esta aplicação prática:
Muitas vezes, além de resolver sistemas de equações lineares de acordo com a condição, é necessário primeiro examiná-la quanto à compatibilidade, ou seja, provar que existe alguma solução. Um papel fundamental nesta verificação é desempenhado por teorema de Kronecker-Capelli, que formularei na forma necessária:
Se classificar matrizes do sistema igual a classificação sistema de matriz aumentada, então o sistema é consistente e, se o número fornecido coincidir com o número de incógnitas, a solução é única.
Assim, para estudar a compatibilidade do sistema, é necessário verificar a igualdade 
, Onde - matriz do sistema(lembre-se da terminologia da lição método Gauss), uma - sistema de matriz aumentada(ou seja, matriz com coeficientes em variáveis + coluna de termos livres).
