O programa para resolver inequações lineares, quadradas e fracionárias não apenas dá a resposta para o problema, mas também leva solução detalhada com explicações, ou seja exibe o processo de resolução para verificar o conhecimento de matemática e / ou álgebra.
Além disso, se no processo de resolução de uma das inequações for necessário resolver, por exemplo, uma equação quadrática, sua solução detalhada também é exibida (está incluída no spoiler).
Este programa pode ser útil para estudantes do ensino médio em preparação para trabalho de controle, pais para controlar a solução de desigualdades por seus filhos.
Este programa pode ser útil para alunos do ensino médio na preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado, para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer isso o mais rápido possível? trabalho de casa matemática ou álgebra? Nesse caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.
Desta forma, você pode conduzir seu próprio treinamento e/ou o treinamento de seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto o nível de educação no campo das tarefas a serem resolvidas é aumentado.
Regras para inserir desigualdades
Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.
Os números podem ser inseridos como inteiros ou frações.
Além disso, os números fracionários podem ser inseridos não apenas na forma de um decimal, mas também na forma de uma fração comum.
Regras para inserir frações decimais.
Em frações decimais, a parte fracionária do inteiro pode ser separada por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo, você pode inserir decimais então: 2,5x - 3,5x^2
Regras para inserir frações ordinárias.
Somente um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.
O denominador não pode ser negativo.
Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &
Entrada: 3&1/3 - 5&6/5a +1/7a^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Parênteses podem ser usados ao inserir expressões. Nesse caso, ao resolver a inequação, as expressões são primeiro simplificadas.
Por exemplo: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Selecione sinal desejado desigualdades e insira polinômios nos campos abaixo.
Resolva o sistema de inequações Verificou-se que alguns scripts necessários para resolver esta tarefa não foram carregados e o programa pode não funcionar.
Você pode ter o AdBlock ativado.
Nesse caso, desative-o e atualize a página.
Porque Tem muita gente querendo resolver o problema, seu pedido está na fila.
Após alguns segundos, a solução aparecerá abaixo.
Espere, por favor seg...
Se você notei um erro na solução, então você pode escrever sobre isso no Formulário de Feedback.
Não esqueça indique qual tarefa você decide o que entre nos campos.
Nossos jogos, quebra-cabeças, emuladores:
Você conheceu o conceito de sistema na 7ª série e aprendeu a resolver sistemas de equações lineares com duas incógnitas. A seguir, serão considerados sistemas de desigualdades lineares com uma incógnita. Os conjuntos solução de sistemas de desigualdades podem ser escritos usando intervalos (intervalos, semi-intervalos, segmentos, raios). Você também aprenderá sobre a notação de intervalos numéricos.
Se nas desigualdades \(4x > 2000 \) e \(5x \leq 4000 \) o número desconhecido x é o mesmo, então essas desigualdades são consideradas juntas e dizem que formam um sistema de desigualdades: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$
A chave mostra que você precisa encontrar tais valores de x para os quais ambas as desigualdades do sistema se transformam em verdadeiras desigualdades numéricas. Este sistema é um exemplo de um sistema de desigualdades lineares com uma incógnita.
A solução de um sistema de desigualdades com uma incógnita é o valor da incógnita no qual todas as desigualdades do sistema se transformam em verdadeiras desigualdades numéricas. Resolver um sistema de desigualdades significa encontrar todas as soluções desse sistema ou estabelecer que não há nenhuma.
As desigualdades \(x \geq -2 \) e \(x \leq 3 \) podem ser escritas como uma dupla desigualdade: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Soluções para sistemas de inequações com uma incógnita são várias conjuntos de números. Esses conjuntos têm nomes. Assim, no eixo real, o conjunto dos números x tais que \(-2 \leq x \leq 3 \) é representado por um segmento com extremidades nos pontos -2 e 3.
| -2 | 3 |
Se \(a é um segmento e é denotado por [a; b]
Se \(um intervalo e denotado por (a; b)
Conjuntos de números \(x \) satisfazendo as desigualdades \(a \leq x por semi-intervalos e são denotados por [a; b) e (a; b] respectivamente
Segmentos, intervalos, meios-intervalos e raios são chamados intervalos numéricos.
Assim, intervalos numéricos podem ser especificados na forma de desigualdades.
Uma solução para uma desigualdade com duas incógnitas é um par de números (x; y) que transforma essa desigualdade em uma verdadeira desigualdade numérica. Resolver uma inequação significa encontrar o conjunto de todas as suas soluções. Assim, as soluções da inequação x > y serão, por exemplo, pares de números (5; 3), (-1; -1), pois \(5 \geq 3 \) e \(-1 \geq - 1\)
Você já aprendeu como resolver inequações lineares com uma incógnita. Saber o que são um sistema de inequações e uma solução do sistema. Portanto, o processo de resolução de sistemas de inequações com uma incógnita não causará nenhuma dificuldade.
E, no entanto, lembramos: para resolver um sistema de inequações, você precisa resolver cada inequação separadamente e, a seguir, encontrar a interseção dessas soluções.
Por exemplo, o sistema original de desigualdades foi reduzido à forma:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Para resolver este sistema de desigualdades, marque a solução de cada desigualdade no eixo real e encontre sua interseção:
| -2 | 3 |
A intersecção é o segmento [-2; 3] - esta é a solução do sistema original de desigualdades.
Tópico da lição: Resolvendo um sistema de inequações lineares com uma variável
A data: _______________
Classe: 6a, 6b, 6c
Tipo de aula: aprendizagem de material novo e consolidação primária.
Objetivo Didático: criar condições para entender e entender o bloco de novas informações educacionais.
Objetivos: 1) Educacional: introduzir conceitos: solução de sistemas de inequações, sistemas de inequações equivalentes e suas propriedades; ensinar como aplicar esses conceitos ao resolver os sistemas mais simples de desigualdades com uma variável.
2) Desenvolvendo: promover o desenvolvimento de elementos de atividade criativa e independente dos alunos; desenvolver a fala, a capacidade de pensar, analisar, resumir, expressar os pensamentos de forma clara, concisa.
3) Educacional: fomentando uma atitude respeitosa uns para com os outros e uma atitude responsável para com o trabalho educativo.
Tarefas:
repetir a teoria sobre o tema das desigualdades numéricas e lacunas numéricas;
dê um exemplo de um problema que é resolvido por um sistema de desigualdades;
considere exemplos de resolução de sistemas de inequações;
fazer trabalho independente.
Formas de organização aprendendo atividades: - frontal - coletivo - individual.
Métodos: explicativo - ilustrativo.
Plano de aula:
1. Momento organizacional, motivação, estabelecimento de metas
2. Atualizando o estudo do tema
3. Aprender novo material
4. Fixação primária e aplicação de novo material
5. Execução trabalho independente
7. Resumindo a lição. Reflexão.
Durante as aulas:
1. Momento organizacional
A desigualdade pode ser uma boa ajudante. Você só precisa saber quando pedir ajuda. A linguagem das desigualdades é freqüentemente usada para formular problemas em muitas aplicações da matemática. Por exemplo, muitos problemas econômicos são reduzidos ao estudo de sistemas de desigualdades lineares. Portanto, é importante ser capaz de resolver sistemas de inequações. O que significa “resolver o sistema de inequações”? É isso que abordaremos na lição de hoje.
2. Atualização do conhecimento.
trabalho oral com a classe três alunos trabalham em cartões individuais.
Para repetir a teoria do tópico "Desigualdades e suas propriedades", realizaremos testes, seguidos de um teste e uma conversa sobre a teoria deste tópico. Cada tarefa de teste envolve a resposta "Sim" - uma figura, "Não" - uma figura ____
Como resultado do teste, alguma figura deve ser obtida.
(responda: ).
Estabeleça uma correspondência entre a desigualdade e uma lacuna numérica
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
"A matemática nos ensina a superar as dificuldades e corrigir nossos próprios erros." Encontre um erro na resolução da inequação, explique por que o erro foi cometido, anote a solução correta em seu caderno.
2x<8-6
x>-1
3. Aprender novos materiais.
Como você acha que se chama a solução de um sistema de inequações?
(A solução de um sistema de desigualdades com uma variável é o valor da variável para o qual cada uma das desigualdades do sistema é verdadeira)
O que significa "Resolver um sistema de inequações"?
(Resolver um sistema de inequações significa encontrar todas as suas soluções ou provar que não há soluções)
O que deve ser feito para responder à pergunta "O número dado é
uma solução para um sistema de desigualdades?
(Substitua este número em ambas as desigualdades do sistema, se forem obtidas desigualdades corretas, então o número dado é uma solução para o sistema de desigualdades, se forem obtidas desigualdades incorretas, então o número dado não é uma solução para o sistema de desigualdades)
Formule um algoritmo para resolver sistemas de inequações
1. Resolva cada desigualdade do sistema.
2. Desenhe graficamente as soluções de cada inequação na linha de coordenadas.
3. Encontre a interseção de soluções de inequações na linha de coordenadas.
4. Escreva a resposta como um intervalo numérico.
Considere exemplos:
Responda: 
Resposta: sem solução
4. Corrigindo o tópico.
Trabalhando com o livro didático nº 1016, nº 1018, nº 1022
5. Trabalho independente por opções (Tarefas de cartões para alunos nas mesas)
Trabalho independente
Opção 1
Resolva o sistema de inequações:
O tópico da lição é "Resolvendo desigualdades e seus sistemas" (matemática 9ª série)
Tipo de aula: aula de sistematização e generalização de conhecimentos e habilidades
Tecnologia da aula: tecnologia de desenvolvimento pensamento crítico, aprendizagem diferenciada, tecnologias TIC
O propósito da lição: repetir e sistematizar o conhecimento sobre as propriedades das desigualdades e métodos para resolvê-las, criar condições para a formação de habilidades para aplicar esse conhecimento na resolução de problemas padronizados e criativos.
Tarefas.
Educacional:
promover o desenvolvimento das habilidades dos alunos para resumir os conhecimentos adquiridos, para analisar, sintetizar, comparar, tirar as conclusões necessárias
organizar as atividades dos alunos para aplicar os conhecimentos adquiridos na prática
promover o desenvolvimento de habilidades para aplicar os conhecimentos adquiridos em condições não padronizadas
Em desenvolvimento:
continuar moldando pensamento lógico, atenção e memória;
melhorar as habilidades de análise, sistematização, generalização;
criar condições que garantam a formação de habilidades de autocontrole nos alunos;
promover a aquisição das competências necessárias para atividades de aprendizagem autónoma.
Educacional:
cultivar disciplina e compostura, responsabilidade, independência, atitude crítica consigo mesmo, atenção.
Resultados educacionais planejados.
Pessoal: atitude responsável em relação à aprendizagem e competência comunicativa na comunicação e cooperação com os pares no processo atividades educacionais.
Cognitivo: a capacidade de definir conceitos, criar generalizações, escolher de forma independente os fundamentos e critérios de classificação, construir raciocínio lógico, tirar conclusões;
Regulatório: a capacidade de identificar potenciais dificuldades na resolução de uma tarefa educacional e cognitiva e encontrar meios para eliminá-las, para avaliar suas realizações
Comunicativo: a capacidade de expressar julgamentos usando termos e conceitos matemáticos, formular perguntas e respostas no decorrer da tarefa, compartilhar conhecimento entre os membros do grupo para tomar decisões conjuntas eficazes.
Termos básicos, conceitos: desigualdade linear, desigualdade quadrática, sistema de desigualdades.
Equipamento
Projetor, laptop do professor, vários netbooks para os alunos;
Apresentação;
Cartões com conhecimentos e habilidades básicas sobre o tema da aula (Apêndice 1);
Cartões com trabalho independente (Anexo 2).
Plano de aula
| durante as aulas |
|||
| Fases tecnológicas. Alvo. | atividade do professor | atividades estudantis | |
| Componente introdutório-motivacional |
|||
| 1.Organizacional Alvo: preparação psicológicaà comunicação. | Olá. É bom ver todos vocês. Sentar-se. Verifique se está tudo pronto para a aula. Se estiver tudo bem, então olhe para mim. | Olá. Verifique os acessórios. Preparando-se para o trabalho. | Pessoal. Atitude responsável para o ensino é formada. |
| 2.Atualização de conhecimento (2 min) Objetivo: identificar lacunas individuais no conhecimento sobre o tema | O tópico de nossa lição é "Resolvendo inequações com uma variável e seus sistemas". (slide 1) Aqui está uma lista de conhecimentos básicos e habilidades sobre o tema. Avalie seus conhecimentos e habilidades. Organize os ícones apropriados. (slide 2) | Avalie seus próprios conhecimentos e habilidades. (Anexo 1) | Regulatório Autoavaliação de seus conhecimentos e habilidades |
| 3.Motivação (2 minutos) Finalidade: fornecer atividades para determinar os objetivos da aula . | Nos trabalhos do OGE em matemática, várias questões tanto da primeira como da segunda parte determinam a capacidade de resolução de inequações. O que precisamos repetir na lição para lidar com essas tarefas com sucesso? | Discuta, faça perguntas para repetição. | Cognitivo. Identificar e formular um objetivo cognitivo. |
| Estágio de reflexão (componente de conteúdo) |
|||
| 4. Autoavaliação e escolha da trajetória (1-2 minutos) | Dependendo de como você avaliou seus conhecimentos e habilidades no tópico, escolha a forma de trabalho da lição. Você pode trabalhar com toda a turma comigo. Você pode trabalhar individualmente em netbooks, seguindo meu conselho, ou em duplas, ajudando-se mutuamente. | Determinado com um caminho de aprendizagem individual. Troque se necessário. | Regulatório identificar potenciais dificuldades na resolução de tarefas educativas e cognitivas e encontrar meios para eliminá-las |
| 5-7 Trabalho em duplas ou individualmente (25 min) | O professor aconselha os alunos a trabalhar de forma independente. | Os alunos que conhecem bem o tópico trabalham individualmente ou em pares com uma apresentação (slides 4-10) Executam tarefas (slides 6.9). | cognitivo a capacidade de definir conceitos, criar generalizações, construir uma cadeia lógica Regulatório a capacidade de determinar ações de acordo com a tarefa educacional e cognitiva Comunicativo a capacidade de organizar a cooperação educacional e atividades conjuntas, trabalhar com uma fonte de informação Pessoal atitude responsável em relação à aprendizagem, prontidão e capacidade de autodesenvolvimento e autoeducação |
| 5. Solução de inequações lineares. (10 minutos) | Que propriedades de inequações usamos para resolvê-las? Você consegue distinguir entre desigualdades lineares e quadráticas e seus sistemas? (slide 5) Como resolver uma inequação linear? Execute a solução. (slide 6) O professor acompanha a decisão na lousa. Verifique se a solução está correta. | Eles nomeiam as propriedades das desigualdades, após responder ou em caso de dificuldade, o professor abre o slide 4. são chamados recursos desigualdades. Usando as propriedades das desigualdades. Um aluno resolve a inequação nº 1 no quadro-negro. As demais estão em cadernos, seguindo a decisão do réu. As desigualdades nº 2 e 3 são realizadas independentemente. Verifique com a resposta preparada. | cognitivo Comunicativo |
| 6. Solução de inequações quadráticas. (10 minutos) | Como resolver a desigualdade? O que é essa desigualdade? Que métodos são usados para resolver inequações quadráticas? Relembre o método da parábola (slide 7) O professor relembra os passos para resolver uma inequação. O método do intervalo é usado para resolver desigualdades de segundo ou mais altos graus. (slide 8) Para resolver desigualdades quadráticas, você pode escolher um método conveniente para você. Resolver desigualdades. (slide 9). O professor monitora o andamento da solução, relembra formas de resolver problemas incompletos equações quadráticas. O professor aconselha os alunos a trabalharem individualmente. | Responda: Desigualdade quadrada resolvemos pelo método da parábola ou pelo método do intervalo. Os alunos seguem a decisão sobre a apresentação. No quadro-negro, os alunos se revezam resolvendo as inequações nº 1 e 2. Verifique com a resposta. (para resolver o nervo-va nº 2, você precisa se lembrar da maneira de resolver equações quadráticas incompletas). A desigualdade nº 3 é resolvida independentemente, verificada com a resposta. | cognitivo a capacidade de definir conceitos, criar generalizações, construir raciocínio de padrões gerais para soluções particulares Comunicativo capacidade de apresentar oralmente e escrita plano detalhado da própria atividade; |
| 7. Resolução de sistemas de inequações (4-5 minutos) | Lembre-se das etapas envolvidas na solução de um sistema de inequações. Resolva o sistema (Slide 10) | Nomeie as etapas da solução O aluno decide no quadro-negro, verifica com a solução no slide. | |
| Estágio reflexivo-avaliativo |
|||
| 8. Controle e verificação de conhecimento (10 minutos) Objetivo: identificar a qualidade de assimilação do material. | Vamos testar seus conhecimentos sobre o tema. Resolva tarefas por conta própria. O professor verifica o resultado de acordo com as respostas preparadas. | Realizar trabalho independente em opções (Apêndice 2) Depois de terminar o trabalho, o aluno relata isso ao professor. O aluno determina sua nota de acordo com os critérios (slide 11). Após a conclusão bem-sucedida do trabalho, ele pode prosseguir para uma tarefa adicional (slide 11) | Cognitivo. Construir cadeias lógicas de raciocínio. |
| 9. Reflexão (2 min) Objetivo: forma-se uma autoavaliação adequada das próprias capacidades e habilidades, vantagens e limitações | Há melhora nos resultados? Se ainda tiver dúvidas, consulte o livro didático em casa (p. 120) | Eles avaliam seus próprios conhecimentos e habilidades na mesma folha de papel (Apêndice 1). Compare com a auto-estima no início da aula, tire conclusões. | Regulatório Autoavaliação de suas realizações |
| 10. Lição de casa (2 min) Finalidade: consolidação do material estudado. | Determine a lição de casa com base nos resultados do trabalho independente (slide 13) | Determinar e registrar uma tarefa individual | Cognitivo. Construir cadeias lógicas de raciocínio. Produzir análise e transformação da informação. |
Lista de literatura usada: Álgebra. Livro didático para o 9º ano. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Iluminismo, 2014
Instituição de ensino orçamentária municipal
"Média escola compreensiva №26
com estudo aprofundado de assuntos individuais "
cidade de Nizhnekamsk, República do Tartaristão
Resumo da aula de matemática
na 8ª série
Resolvendo desigualdades com uma variável
e seus sistemas
preparado
professor de matemática
primeiro categoria de qualificação
Kungurova Gulnaz Rafaelovna
Nizhnekamsk 2014
plano geral lição
Professor: Kungurova G.R.
assunto: matemática
Tópico: "Solução de inequações lineares com uma variável e seus sistemas."
Nota: 8B
Data: 10/04/2014
Tipo de aula: aula de generalização e sistematização do material estudado.
O objetivo da lição: consolidação de habilidades práticas e habilidades na resolução de inequações com uma variável e seus sistemas, inequações contendo uma variável sob o signo do módulo.
Lições objetivas:
Tutoriais:
generalização e sistematização do conhecimento dos alunos sobre como resolver inequações com uma variável;
extensão do tipo de desigualdades: desigualdades duplas, desigualdades contendo uma variável sob o signo do módulo, sistemas de desigualdades;
estabelecimento de conexão interdisciplinar entre matemática, língua russa, química.
Em desenvolvimento:
ativação da atenção, atividade mental, desenvolvimento da fala matemática, interesse cognitivo entre os alunos;
domínio dos métodos e critérios de autoavaliação e autocontrolo.
Educacional:
educação de independência, precisão, capacidade de trabalhar em equipe
Os principais métodos usados na lição: comunicativo, explicativo-ilustrativo, reprodutivo, método de controle programado.
Equipamento:
um computador
apresentação de computador
monoblocos (realizando um teste online individual)
apostilas (tarefas individuais de vários níveis);
planilhas de autocontrole;
Plano de aula:
1. Momento organizacional.
4. Trabalho independente
5. Reflexão
6. Os resultados da lição.
Durante as aulas:
1. Momento organizacional.
(O professor informa aos alunos as metas e os objetivos da aula.).
Hoje enfrentamos uma tarefa muito importante. Devemos resumir este tópico. Mais uma vez, será necessário resolver questões teóricas com muito cuidado, fazer cálculos, considerar a aplicação prática deste tópico em nosso Vida cotidiana. E nunca devemos esquecer como raciocinamos, analisamos, construímos cadeias lógicas. Nosso discurso deve ser sempre alfabetizado e correto.
Cada um de vocês tem uma folha de autocontrole em sua mesa. Ao longo da lição, não se esqueça de marcar com um sinal "+" sua contribuição para esta lição.
A professora passa o dever de casa, comentando:
№1026(a,b), nº 1019(c,d); adicionalmente - nº 1046 (a)
2. Atualização de conhecimento, habilidades, habilidades
1) Antes de começarmos a realizar tarefas práticas, vamos nos voltar para a teoria.
O professor anuncia o início da definição e os alunos devem completar a redação
a) Uma desigualdade com uma variável é uma desigualdade da forma ax>b, ax<в;
b) Resolver uma inequação significa encontrar todas as suas soluções ou provar que não há soluções;
c) A solução de uma desigualdade com uma variável é o valor da variável que a torna uma verdadeira desigualdade;
d) As desigualdades são ditas equivalentes se tiverem o mesmo conjunto de soluções. Se eles não têm soluções, eles também são chamados de equivalentes
2) No quadro, desigualdades com uma variável, dispostas em uma coluna. E ao lado dela, em outra coluna, estão inscritas suas soluções na forma de intervalos numéricos. A tarefa dos alunos é estabelecer uma correspondência entre as desigualdades e as lacunas correspondentes.
Estabeleça uma correspondência entre desigualdades e intervalos numéricos:
1. 3x > 6 a) (-∞ ; - 0,2]
2. -5x ≥ 1 b) (- ∞ ; 15)
3. 4x > 3 c) (2; + ∞)
4. 0,2x< 3 г) (0,75; + ∞)
3) Trabalho prático em um caderno de autoteste.
No quadro-negro, os alunos escrevem uma desigualdade linear com uma variável. Após completar qual dos alunos expressa sua decisão e corrige os erros cometidos)
Resolva a desigualdade:
4 (2x - 1) - 3 (x + 6) > x;
8x - 4 - 3x - 18 > x;
8x - 3x - x\u003e 4 + 18;
4x > 22;
x > 5,5.
Responda. (5,5 ; +∞)
3. Uso pratico desigualdades na vida cotidiana (experiência química)
Desigualdades em nossas vidas diárias podem ser bons ajudantes. E além disso, é claro, existe um vínculo inextricável entre as disciplinas escolares. A matemática anda lado a lado não apenas com a língua russa, mas também com a química.
(Em cada mesa existe uma escala de referência para pH, variando de 0 a 12)
Se o valor for 0 ≤ pH< 7, то среда кислая;
se pH = 7, então o meio é neutro;
se o indicador for 7< pH ≤ 12, то среда щелочная
O professor coloca 3 soluções incolores em diferentes tubos de ensaio. A partir do curso de química, os alunos são solicitados a lembrar os tipos de meio de solução (ácido, neutro, alcalino). Além disso, empiricamente, envolvendo os alunos, o ambiente de cada uma das três soluções é determinado. Para fazer isso, um indicador universal é abaixado em cada solução. Acontece o seguinte: cada indicador é pintado na cor correspondente. E de acordo com o esquema de cores, graças à escala de referência, os alunos definem o ambiente para cada uma das soluções propostas.
Conclusão:
1 indicador fica vermelho, valor 0 ≤ pH< 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке
2 o indicador ficou verde, pH = 7, o que significa que o meio da segunda solução é neutro, ou seja, tínhamos água no tubo de ensaio 2
3 indicador ficou azul, indicador 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь
Conhecendo os limites do indicador de pH, você pode determinar o nível de acidez do solo, sabão e muitos cosméticos.
Atualização contínua de conhecimentos, competências e habilidades.
1) Mais uma vez, o professor começa a formular definições e os alunos devem completá-las
Continuar definições:
a) Resolver um sistema de inequações lineares significa encontrar todas as suas soluções ou provar que não há nenhuma
b) A solução de um sistema de desigualdades com uma variável é o valor da variável para a qual cada uma das desigualdades é verdadeira
c) Para resolver um sistema de inequações com uma variável, você precisa encontrar uma solução para cada inequação e encontrar a interseção desses intervalos
A professora volta a lembrar aos alunos que a capacidade de resolver inequações lineares com uma variável e seus sistemas é a base, a base para que inequações mais complexas sejam estudadas nas séries anteriores. A base do conhecimento está sendo lançada, cuja força será confirmada no OGE em matemática após a 9ª série.
Os alunos escrevem em cadernos para resolver sistemas de inequações lineares com uma variável. (2 alunos completam essas tarefas no quadro, explicam sua solução, expressam as propriedades das inequações usadas na solução de sistemas).
№1012(d). Resolver o sistema de desigualdades lineares
0,3x+1< 0,4х-2;
1,5x-3 > 1,3x-1. Responda. (30; +∞).
№1028(g). Resolva uma desigualdade dupla e indique todos os inteiros que são sua solução
1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0
2) Resolução de inequações contendo uma variável sob o sinal do módulo.
A prática mostra que as desigualdades que contêm uma variável sob o sinal do módulo causam ansiedade e dúvidas nos alunos. E muitas vezes os alunos simplesmente não aceitam essas desigualdades. E a razão para isso é uma base mal construída. O professor configura os alunos para que eles trabalhem sobre si mesmos em tempo hábil, aprendam consistentemente todas as etapas para o cumprimento bem-sucedido dessas desigualdades.
Há trabalho oral. (Pesquisa frontal)
Resolvendo desigualdades contendo uma variável sob o sinal do módulo:
1. O módulo do número x é a distância da origem ao ponto de coordenada x.
| 35 | = 35,
| - 17 | = 17,
| 0 | = 0
2. Resolva as inequações:
a) | x |< 3 . Ответ. (-3 ; 3)
b) | x | > 2 . Responda. (-∞; -2) U (2; +∞)
O progresso da solução dessas desigualdades é exibido na tela em detalhes e o algoritmo para resolver desigualdades contendo uma variável sob o sinal do módulo é falado.
4. Trabalho independente
A fim de controlar o grau de assimilação deste tópico, 4 alunos realizam os monoblocos e realizam testes online temáticos. Tempo de teste 15 minutos. Após a conclusão, um autoteste é realizado tanto em pontos quanto em termos percentuais.
O restante dos alunos em suas carteiras realiza trabalhos independentes e independentes.
Trabalho independente (tempo de execução 13min)
Opção 1
opção 2
1. Resolva as desigualdades:
a) 6+x< 3 - 2х;
b) 0,8(x-3) - 3,2 ≤ 0,3(2 - x).
3(x+1) - (x-2)< х,
2 > 5x - (2x-1) .
-6 < 5х - 1 < 5
quatro*. (Adicionalmente)
Resolva a desigualdade:
| 2- 2x | ≤ 1
1. Resolva as desigualdades:
a) 4+x< 1 - 2х;
b) 0,2 (3x - 4) - 1,6 ≥ 0,3 (4-3x).
2. Resolva o sistema de inequações:
2(x+3) - (x - 8)< 4,
6x > 3(x+1) -1.
3. Resolva a dupla desigualdade:
-1 < 3х - 1 < 2
quatro*. (Adicionalmente)
Resolva a desigualdade:
| 6x-1 | ≤ 1
Depois de concluir o trabalho independente, os alunos entregam os cadernos para verificação. Os alunos que trabalharam em monoblocos também entregam os cadernos ao professor para verificação.
5. Reflexão
O professor relembra aos alunos as fichas de autocontrolo, nas quais devem avaliar o seu trabalho com o sinal “+” ao longo da aula, nas suas várias fases.
Mas os alunos terão que fazer a avaliação principal de sua atividade apenas agora, depois de contar uma antiga parábola.
Parábola.
Um homem sábio estava caminhando e 3 pessoas caminhavam em sua direção. Sob o sol quente, eles carregavam carroças com pedras para construir o templo.
O sábio os parou e perguntou:
- O que você fez o dia todo?
- Carregava pedras amaldiçoadas - respondeu o primeiro.
“Fiz meu trabalho conscienciosamente”, respondeu o segundo.
- E participei da construção do templo - respondeu com orgulho o terceiro.
Nas folhas de autocontrole, no parágrafo nº 3, os alunos devem inserir uma frase que corresponda às suas ações nesta lição.
Folha de autocontrole __________________________________________
№ P / P
Etapas da lição
Avaliação de atividades educativas
Trabalho oral na aula
Parte prática:
Resolução de desigualdades com uma variável;
solução de sistemas de inequações;
solução de inequações duplas;
solução de desigualdades com sinal de módulo
Reflexão
Nos parágrafos 1 e 2, marque as respostas corretas na lição com um sinal “+”;
no parágrafo 3, avalie seu trabalho na lição de acordo com as instruções
6. Os resultados da lição.
O professor, resumindo a aula, registra os momentos de sucesso e os problemas nos quais o trabalho adicional deve ser feito.
Os alunos são convidados a avaliar o seu trabalho de acordo com as fichas de auto-controlo, e os alunos recebem mais uma nota com base nos resultados do trabalho independente.
Ao final da aula, a professora chama a atenção dos alunos para as palavras do cientista francês Blaise Pascal: “A grandeza de uma pessoa está em sua capacidade de pensar”.
Bibliografia:
1 . Álgebra. 8 ª série. Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.E. Neshkov, I.E. Feoktistov.-M.:
Mnemosine, 2012
2. Aula de Álgebra.8. Materiais didáticos. Diretrizes/ I.E. Feoktistov.
2ª edição., Ster.-M.: Mnemosyne, 2011
3. Materiais de controle e medição Álgebra: 8ª série / Compilado por L.I. Martyshova.-
M.: VAKO, 2010
Recursos da Internet:
1. O conceito de desigualdade com uma variável
2. Desigualdades equivalentes. Teoremas de equivalência para desigualdades
3. Resolvendo desigualdades com uma variável
4. Solução gráfica de inequações com uma variável
5. Desigualdades contendo uma variável sob o sinal do módulo
6. Principais descobertas
Desigualdades com uma variável
Ofertas 2 x + 7 > 10s, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 são chamadas desigualdades de variável única.
NO visão geral Este conceito é definido da seguinte forma:
Definição. Sejam f(x) eg(x) duas expressões com variável x e domínio X. Então, uma desigualdade da forma f(x) > g(x) ou f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
valor variável x de muitos x, sob a qual a desigualdade se transforma em uma verdadeira desigualdade numérica, é chamada de decisão. Resolver uma inequação significa encontrar o conjunto de suas soluções.
Assim, resolvendo a desigualdade 2 x + 7 > 10 -x,x? Ré o número x= 5, já que 2 5 + 7 > 10 - 5 é uma verdadeira desigualdade numérica. E o conjunto de suas soluções é o intervalo (1, ∞), que se encontra realizando a transformação da inequação: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.
Desigualdades equivalentes. Teoremas de equivalência para desigualdades
O conceito de equivalência fundamenta a solução de desigualdades com uma variável.
Definição. Duas desigualdades são ditas equivalentes se seus conjuntos de soluções são iguais.
Por exemplo, desigualdades 2 x+ 7 > 10 e 2 x> 3 são equivalentes, pois seus conjuntos solução são iguais e representam o intervalo (2/3, ∞).
Os teoremas sobre a equivalência de desigualdades e suas consequências são semelhantes aos teoremas correspondentes sobre a equivalência de equações. Ao prová-los, as propriedades das verdadeiras desigualdades numéricas são usadas.
Teorema 3. Deixe a desigualdade f(x) > g(x) definido no conjunto x e h(x) é uma expressão definida no mesmo conjunto. Então as desigualdades f(x) > g(x) e f(x) + h(x) > g(x) + h(x) são equivalentes no conjunto x.
As consequências decorrem deste teorema, que são frequentemente usadas na resolução de desigualdades:
1) Se ambos os lados da desigualdade f(x) > g(x) adicionar o mesmo número d, então obtemos a desigualdade f(x) + d > g(x) + d, equivalente ao original.
2) Se algum termo (uma expressão numérica ou uma expressão com uma variável) for transferido de uma parte da desigualdade para outra, mudando o sinal do termo para o oposto, obtemos uma desigualdade equivalente à dada.
Teorema 4. Deixe a desigualdade f(x) > g(x) definido no conjunto x e h(x x de muitos x expressão h(x) assume valores positivos. Então as desigualdades f(x) > g(x) e f(x) h(x) > g(x) h(x) são equivalentes no conjunto x.
f(x) > g(x) multiplique pelo mesmo numero positivo d, então obtemos a desigualdade f(x) d > g(x) d, equivalente a este.
Teorema 5. Deixe a desigualdade f(x) > g(x) definido no conjunto x e h(x) é uma expressão definida no mesmo conjunto, e para todo x sua multidão x expressão h(x) assume valores negativos. Então as desigualdades f(x) > g(x) e f(x) h(x) > g(x) h(x) são equivalentes no conjunto x.
O corolário decorre deste teorema: se ambos os lados da desigualdade f(x) > g(x) multiplique pelo mesmo número negativo d e inverter o sinal de desigualdade, obtemos a desigualdade f(x) d > g(x) d, equivalente a este.
Resolvendo desigualdades com uma variável
Vamos resolver a desigualdade 5 x - 5 < 2х - 16, x? R, e justifique todas as transformações que faremos no processo de solução.
solução de desigualdade x < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5x - 5 < 2x + 16 é o intervalo (-∞, 7).
exercícios
1. Determine quais das seguintes entradas são desigualdades de variável única:
a) -12 - 7 x< 3x+8; d) 12 x + 3(x- 2);
b) 15( x+ 2)>4; e) 17-12 8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x2+ 3x-4> 0.
2. O número 3 é uma solução para a inequação? 6(2x + 7) < 15(x + 2), x? R? E o número 4,25?
3. Os seguintes pares de desigualdades são equivalentes no conjunto dos números reais:
a) -17 x< -51 и x > 3;
b) (3 x-1)/4 >0 e 3 x-1>0;
c) 6-5 x>-4 e x<2?
4. Qual das seguintes afirmações são verdadeiras:
a) -7 x < -28 => x>4;
b) x < 6 => x < 5;
dentro) x< 6 => x< 20?
5. Resolva a desigualdade 3( x - 2) - 4(x + 1) < 2(х - 3) - 2 e justifique todas as transformações que irá realizar neste caso.
6. Prove que a solução da desigualdade 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2x) é qualquer número real.
7. Provar que não existe número real, que seria uma solução para a desigualdade 3(2 - x) - 2 > 5 - 3x.
8. Um lado do triângulo mede 5 cm e o outro mede 8 cm. Qual pode ser o comprimento do terceiro lado se o perímetro do triângulo for:
a) menos de 22 cm;
b) mais de 17 cm?
SOLUÇÃO GRÁFICA DE DESIGUALDADES COM UMA VARIÁVEL. Para uma solução gráfica da desigualdade f(x) > g(x) precisa plotar gráficos de funções
y = f(x) = g(x) e escolha aqueles intervalos do eixo das abcissas, nos quais o gráfico da função y = f(x) localizado acima do gráfico da função y \u003d g(x).
Exemplo 17.8. Resolver Graficamente uma Inequação x 2- 4 > 3X.
| Y - x * - 4 |
Solução. Vamos construir gráficos de funções em um sistema de coordenadas
y \u003d x 2 - 4 e y= Zx (Fig. 17.5). Pode-se ver na figura que os gráficos das funções no= x 2- 4 está localizado acima do gráfico da função y \u003d 3 x no x< -1 e x > 4, ou seja o conjunto de soluções para a desigualdade original é o conjunto
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Resposta: xO(-oo; -1) e ( 4; +oo).
cronograma função quadrática no= ax 2 + bx + cé uma parábola com ramos apontando para cima se um > 0, e para baixo se uma< 0. Nesse caso, três casos são possíveis: a parábola intercepta o eixo Oh(ou seja, a equação ah 2+ bx+ c = 0 tem duas raízes diferentes); a parábola toca o eixo x(ou seja, a equação ax 2 + bx+ c = 0 tem uma raiz); a parábola não intercepta o eixo Oh(ou seja, a equação ah 2+ bx+ c = 0 não tem raízes). Assim, existem seis posições possíveis da parábola, que serve como gráfico da função y \u003d ah 2+b x + c(Fig. 17.6). Usando essas ilustrações, pode-se resolver inequações quadráticas.
Exemplo 17.9. Resolva a inequação: a) 2 x r+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Solução, a) A equação 2x 2 + 5x -3 \u003d 0 tem duas raízes: x, \u003d -3, x 2 = 0,5. Parábola servindo como um gráfico de uma função no= 2x2+ 5x -3, mostrado na fig. uma. Desigualdade 2x2+ 5x -3 > 0 é executado para esses valores X, para os quais os pontos da parábola estão acima do eixo Oh: será em x< х х ou quando x> x r> Essa. no x< -3 ou em x > 0,5. Portanto, o conjunto de soluções para a desigualdade original é o conjunto (- ¥; -3) e (0,5; + ¥).
b) Equação -Zx 2 + 2x- 6 = 0 não tem raízes reais. Parábola servindo como um gráfico de uma função no= - 3x 2 - 2x - 6 é mostrado na fig. 17.6 Desigualdade -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, para os quais os pontos da parábola estão abaixo do eixo Oh. Como toda a parábola está abaixo do eixo Oh, então o conjunto de soluções para a desigualdade original é o conjunto R .
DESIGUALDADES CONTENDO UMA VARIÁVEL SOB O SINAL DO MÓDULO. Ao resolver essas desigualdades, tenha em mente que:
|f(x) | =
f(x), E se f(x) ³ 0,
- f(x), E se f(x) < 0,
Ao mesmo tempo, a área valores permitidos as desigualdades devem ser divididas em intervalos, em cada um dos quais as expressões sob o sinal do módulo retêm seu sinal. Em seguida, expandindo os módulos (levando em consideração os sinais das expressões), você precisa resolver a desigualdade em cada intervalo e combinar as soluções resultantes em um conjunto de soluções para a desigualdade original.
Exemplo 17.10. Resolva a desigualdade:
|x -1| + |2-x| > 3+x.
Solução. Os pontos x = 1 e x = 2 dividem o eixo real (ODZ da desigualdade (17,9) em três intervalos: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Vamos resolver esta desigualdade em cada um deles. Se x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; assim |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Portanto, a desigualdade (17.9) assume a forma: 1- x + 2 - x > 3 + x, ou seja, x< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Se 1 £ x £.2, então x - 1 ³ 0 e 2 - x ³ 0; portanto | x-1| = x - 1, |2 - x| = 2 - x. .Então, existe um sistema:
x - 1 + 2 - x > 3 + x,
O sistema de desigualdades resultante não tem solução. Portanto, no intervalo [ 1; 2], o conjunto de soluções para a desigualdade (17.9) está vazio.
Se x > 2, então x - 1 > 0 e 2 - x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x - 2 > 3 + x,
x > 6 ou
Combinando as soluções encontradas em todas as partes da ODZ da desigualdade (17.9), obtemos sua solução - o conjunto (-¥; 0) È (6; + oo).
Às vezes é útil usar a interpretação geométrica do módulo de um número real, segundo a qual | um | significa a distância do ponto a da reta coordenada desde a origem O, e | a-b | significa a distância entre os pontos a e b na linha de coordenadas. Alternativamente, você pode usar o método de elevar ao quadrado ambos os lados da desigualdade.
Teorema 17.5. Se expressões f(x) e g(x) para qualquer x assume apenas valores não negativos, então as desigualdades f(x) > g(x) e f(x)² > g(x)² são equivalentes.
58. Principais conclusões § 12
Nesta seção, definimos os seguintes conceitos:
Expressão numérica;
O valor de uma expressão numérica;
Uma expressão que não faz sentido;
Expressão com variável(is);
Escopo de expressão;
expressões identicamente iguais;
Identidade;
Transformação de identidade de uma expressão;
Igualdade numérica;
Desigualdade numérica;
Equação com uma variável;
Raiz da equação;
O que significa resolver uma equação;
Equações Equivalentes;
Desigualdade com uma variável;
Solução da desigualdade;
O que significa resolver uma inequação;
Desigualdades equivalentes.
Além disso, consideramos teoremas sobre a equivalência de equações e desigualdades, que são a base para sua solução.
Conhecimento das definições de todos os conceitos e teoremas acima sobre a equivalência de equações e desigualdades - Condição necessaria estudo metodicamente competente com alunos mais jovens coisas algébricas.
