Com este programa matemático você pode resolver o sistema de dois equações lineares com duas variáveis, o método de substituição e o método de adição.
O programa não apenas dá a resposta para o problema, mas também leva solução detalhada com explicações das etapas de solução de duas maneiras: o método de substituição e o método de adição.
Este programa pode ser útil para alunos do ensino médio escolas de educação geral em preparação para trabalho de controle e exames, ao testar o conhecimento antes do exame, os pais controlam a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer isso o mais rápido possível? trabalho de casa matemática ou álgebra? Nesse caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.
Desta forma, você pode conduzir seu próprio treinamento e/ou o treinamento de seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto o nível de educação no campo das tarefas a serem resolvidas é aumentado.
Regras para inserir equações
Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.
Ao inserir equações você pode usar colchetes. Neste caso, as equações são primeiro simplificadas. As equações após simplificações devem ser lineares, ou seja, da forma ax+by+c=0 com a precisão da ordem dos elementos.
Por exemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2
Nas equações, você pode usar não apenas números inteiros, mas também números fracionários na forma de frações decimais e comuns.
Regras para inserir frações decimais.
Parte inteira e parte fracionária frações decimais podem ser separados por ponto ou vírgula.
Por exemplo: 2,1n + 3,5m = 55
Regras para inserir frações ordinárias.
Somente um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.
O denominador não pode ser negativo.
Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &
Exemplos.
-1&2/3a + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)
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A sequência de ações ao resolver um sistema de equações lineares pelo método de substituição:
1) expressar uma variável de alguma equação do sistema em função de outra;
2) substituir a expressão resultante em outra equação do sistema ao invés desta variável;
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$
Vamos expressar da primeira equação de y até x: y = 7-3x. Substituindo a expressão 7-3x em vez de y na segunda equação, obtemos o sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$
É fácil mostrar que o primeiro e o segundo sistema têm as mesmas soluções. No segundo sistema, a segunda equação contém apenas uma variável. Vamos resolver esta equação:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Substituindo o número 1 em vez de x na equação y=7-3x, encontramos o valor correspondente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Par (1;4) - solução do sistema
Sistemas de equações em duas variáveis que têm as mesmas soluções são chamados equivalente. Sistemas que não possuem soluções também são considerados equivalentes.
Considere outra maneira de resolver sistemas de equações lineares - o método da adição. Ao resolver sistemas desta forma, bem como ao resolver pelo método de substituição, passamos de um determinado sistema para outro sistema equivalente a ele, no qual uma das equações contém apenas uma variável.
A sequência de ações ao resolver um sistema de equações lineares pelo método de adição:
1) multiplicar as equações do sistema termo a termo, escolhendo fatores de forma que os coeficientes de uma das variáveis se tornem números opostos;
2) somar termo a termo as partes esquerda e direita das equações do sistema;
3) resolva a equação resultante com uma variável;
4) encontre o valor correspondente da segunda variável.
Exemplo. Vamos resolver o sistema de equações:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$
Nas equações desse sistema, os coeficientes de y são números opostos. Somando termo a termo as partes esquerda e direita das equações, obtemos uma equação com uma variável 3x=33. Vamos substituir uma das equações do sistema, por exemplo a primeira, pela equação 3x=33. Vamos pegar o sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$
Da equação 3x=33 descobrimos que x=11. Substituindo este valor de x na equação \(x-3y=38 \) obtemos uma equação com a variável y: \(11-3y=38 \). Vamos resolver esta equação:
\(-3y=27 \Seta para a direita y=-9 \)
Assim, encontramos a solução do sistema de equações somando: \(x=11; y=-9 \) ou \((11; -9) \)
Aproveitando o fato de que os coeficientes de y nas equações do sistema são números opostos, reduzimos sua solução à solução de um sistema equivalente (pela soma das duas partes de cada uma das equações do simema original), em que das equações contém apenas uma variável.
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O método de adição consiste em três etapas simples:
Se tudo for feito corretamente, na saída obteremos uma única equação com uma variável- Não será difícil de resolver. Resta apenas substituir a raiz encontrada no sistema original e obter a resposta final.
No entanto, na prática não é tão simples. Há várias razões para isso:
Para obter uma resposta a essas perguntas e, ao mesmo tempo, lidar com algumas sutilezas adicionais que muitos alunos “caem”, assista ao meu tutorial em vídeo:
Com esta lição, começamos uma série de palestras, dedicado a sistemas equações. E começaremos com os mais simples deles, ou seja, aqueles que contêm duas equações e duas variáveis. Cada um deles será linear.
Sistemas é um material da 7ª série, mas esta lição também será útil para alunos do ensino médio que desejam aprimorar seus conhecimentos sobre esse tópico.
Em geral, existem dois métodos para resolver esses sistemas:
Hoje vamos lidar com o primeiro método - usaremos o método de subtração e adição. Mas para isso você precisa entender o seguinte fato: uma vez que você tenha duas ou mais equações, você pode pegar duas delas e adicioná-las. Eles são adicionados termo a termo, ou seja, "Xs" são adicionados a "Xs" e outros semelhantes são dados;
O resultado de tais maquinações será uma nova equação, que, se tiver raízes, certamente estará entre as raízes da equação original. Portanto, nossa tarefa é fazer a subtração ou adição de forma que $x$ ou $y$ desapareçam.
Como conseguir isso e qual ferramenta usar para isso - falaremos sobre isso agora.
Então, estamos aprendendo a aplicar o método da adição usando o exemplo de duas expressões simples.
\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]
Observe que $y$ tem um coeficiente de $-4$ na primeira equação e $+4$ na segunda. Eles são mutuamente opostos, então é lógico supor que, se os somarmos, na quantidade resultante, os “jogos” se aniquilarão mutuamente. Somamos e obtemos:
Resolvemos a construção mais simples:
Ótimo, encontramos o X. O que fazer com ele agora? Podemos substituí-lo em qualquer uma das equações. Vamos colocá-lo no primeiro:
\[-4a=12\esquerda| :\esquerda(-4 \direita) \direita.\]
Resposta: $\esquerda(2;-3\direita)$.
\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]
Aqui, a situação é completamente semelhante, apenas com os Xs. Vamos juntá-los:
Temos a equação linear mais simples, vamos resolvê-la:
Agora vamos achar $x$:
Resposta: $\esquerda(-3;3\direita)$.
Assim, acabamos de resolver dois sistemas simples de equações lineares usando o método da adição. Mais uma vez os pontos principais:
Nos problemas a seguir, consideraremos a técnica de subtração quando os coeficientes não forem opostos.
\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]
Observe que não há coeficientes opostos aqui, mas sim idênticos. Portanto, subtraímos a segunda equação da primeira equação:
Agora substituímos o valor de $x$ em qualquer uma das equações do sistema. Vamos primeiro:
Resposta: $\esquerda(2;5\direita)$.
\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]
Vemos novamente o mesmo coeficiente $5$ para $x$ na primeira e segunda equações. Portanto, é lógico supor que você precisa subtrair o segundo da primeira equação:
Calculamos uma variável. Agora vamos encontrar o segundo, por exemplo, substituindo o valor de $y$ na segunda construção:
Resposta: $\esquerda(-3;-2 \direita)$.
Então, o que vemos? Em essência, o esquema não é diferente da solução dos sistemas anteriores. A única diferença é que não adicionamos equações, mas as subtraímos. Estamos fazendo subtração algébrica.
Em outras palavras, assim que você vê um sistema que consiste em duas equações com duas incógnitas, a primeira coisa que você precisa observar são os coeficientes. Se forem iguais em qualquer lugar, as equações são subtraídas e, se forem opostas, aplica-se o método da adição. Isso sempre é feito para que uma delas desapareça, e na equação final que sobrar após a subtração, restaria apenas uma variável.
Claro, isso não é tudo. Agora vamos considerar sistemas nos quais as equações são geralmente inconsistentes. Aqueles. não há tais variáveis neles que seriam iguais ou opostas. Nesse caso, para resolver tais sistemas, é utilizada uma técnica adicional, a saber, a multiplicação de cada uma das equações por um coeficiente especial. Como encontrá-lo e como resolver esses sistemas em geral, agora falaremos sobre isso.
\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]
Vemos que nem para $x$ nem para $y$ os coeficientes não são apenas mutuamente opostos, mas em geral eles não se correlacionam de forma alguma com outra equação. Esses coeficientes não desaparecerão de forma alguma, mesmo se adicionarmos ou subtrairmos as equações umas das outras. Portanto, é necessário aplicar a multiplicação. Vamos tentar nos livrar da variável $y$. Para fazer isso, multiplicamos a primeira equação pelo coeficiente de $y$ da segunda equação e a segunda equação pelo coeficiente de $y$ da primeira equação, sem alterar o sinal. Multiplicamos e obtemos um novo sistema:
\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]
Vejamos: para $y$, coeficientes opostos. Em tal situação, é necessário aplicar o método de adição. Vamos adicionar:
Agora precisamos encontrar $y$. Para fazer isso, substitua $x$ na primeira expressão:
\[-9a=18\esquerda| :\esquerda(-9 \direita) \direita.\]
Resposta: $\esquerda(4;-2\direita)$.
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]
Novamente, os coeficientes para nenhuma das variáveis são consistentes. Vamos multiplicar pelos coeficientes em $y$:
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]
\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]
Nosso novo sistemaé equivalente ao anterior, mas os coeficientes em $y$ são mutuamente opostos e, portanto, é fácil aplicar o método de adição aqui:
Agora encontre $y$ substituindo $x$ na primeira equação:
Resposta: $\esquerda(-2;1\direita)$.
A regra principal aqui é a seguinte: sempre multiplique apenas por números positivos - isso o salvará de erros estúpidos e ofensivos associados à mudança de sinais. Em geral, o esquema de solução é bastante simples:
Mas mesmo um algoritmo tão simples tem suas próprias sutilezas, por exemplo, os coeficientes de $x$ ou $y$ podem ser frações e outros números "feios". Agora vamos considerar esses casos separadamente, porque neles você pode agir de uma maneira ligeiramente diferente do que de acordo com o algoritmo padrão.
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]
Primeiro, observe que a segunda equação contém frações. Mas observe que você pode dividir $ 4 $ por $ 0,8 $. Recebemos $ 5 $. Vamos multiplicar a segunda equação por $5$:
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]
Subtraímos as equações umas das outras:
$n$ encontramos, agora calculamos $m$:
Resposta: $n=-4;m=5$
\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ certo.\]
Aqui, como no sistema anterior, existem coeficientes fracionários, porém, para nenhuma das variáveis, os coeficientes não se ajustam um ao outro por um número inteiro de vezes. Portanto, usamos o algoritmo padrão. Livrar-se de $p$:
\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]
Vamos usar o método de subtração:
Vamos encontrar $p$ substituindo $k$ na segunda construção:
Resposta: $p=-4;k=-2$.
Isso é tudo otimização. Na primeira equação, não multiplicamos por nada, e a segunda equação foi multiplicada por $ 5$. Como resultado, obtivemos uma equação consistente e uniforme para a primeira variável. No segundo sistema, agimos de acordo com o algoritmo padrão.
Mas como encontrar os números pelos quais você precisa multiplicar as equações? Afinal, se multiplicarmos por números fracionários, obtemos novas frações. Portanto, as frações devem ser multiplicadas por um número que dê um novo inteiro, e depois disso, as variáveis devem ser multiplicadas por coeficientes, seguindo o algoritmo padrão.
Em conclusão, gostaria de chamar a atenção para o formato do registro de resposta. Como eu já disse, como aqui não temos $x$ e $y$ aqui, mas sim outros valores, usamos uma notação não padronizada da forma:
Como um toque final no tutorial em vídeo de hoje, vamos ver alguns sistemas realmente complexos. A sua complexidade consistirá no facto de conterem variáveis tanto à esquerda como à direita. Portanto, para resolvê-los, teremos que aplicar o pré-processamento.
\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]
Cada equação carrega uma certa complexidade. Portanto, com cada expressão, vamos fazer como em uma construção linear normal.
No total, obtemos o sistema final, que é equivalente ao original:
\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Vejamos os coeficientes de $y$: $3$ cabe em $6$ duas vezes, então multiplicamos a primeira equação por $2$:
\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Os coeficientes de $y$ agora são iguais, então subtraímos o segundo da primeira equação: $$
Agora vamos achar $y$:
Resposta: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]
Vamos transformar a primeira expressão:
Vamos tratar do segundo:
\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
No total, nosso sistema inicial terá a seguinte forma:
\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Olhando para os coeficientes de $a$, vemos que a primeira equação precisa ser multiplicada por $2$:
\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Subtraímos a segunda da primeira construção:
Agora encontre $a$:
Resposta: $\esquerda(a=\frac(1)(2);b=0 \direita)$.
Isso é tudo. Espero que este tutorial em vídeo o ajude a entender este tópico difícil, ou seja, resolver sistemas de equações lineares simples. Ainda haverá muito mais lições sobre este tópico: analisaremos exemplos mais complexos, onde haverá mais variáveis e as próprias equações já serão não lineares. Vejo você em breve!
O uso de equações é bastante difundido em nossas vidas. Eles são usados em muitos cálculos, construção de estruturas e até esportes. As equações são utilizadas pelo homem desde a antiguidade e desde então seu uso só aumentou. Somente resolvendo sistemas de equações de complexidade variável por conta própria, você aprenderá como determinar rapidamente os métodos para resolver qualquer sistema. Às vezes pode ser muito difícil resolver o sistema equações quadráticas. No entanto, o método mais comumente usado para resolver essas equações é o método de substituição/adição.
Suponha que nos seja dado o seguinte sistema de equações:
\[\left\(\begin(matrix) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(matrix)\right.\]
Vamos somar as equações do sistema:
\[\left\(\begin(matrix) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(matrix)\right.\]
Vamos resolver o sistema resultante:
\[\left\(\begin(matrix) x(x - y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(matrix)\right.\]
\[(x - y) = -1 \] ou \[(x - y) = 1\] - obtemos de 2 equações
Substitua em 1 equação 1 ou -1:
\ ou \
Como agora sabemos o valor de uma incógnita, podemos encontrar a segunda:
\[-3 - y= -1\] ou \
\ ou \
Resposta: \[(-3; -2); (3; 4)\]
Se você precisar resolver um sistema de 2 graus e 1 linear, a partir de um linear, você pode expressar 1 das variáveis e substituir esta equação em uma quadrática.
Você pode resolver o sistema de equações online em nosso site https: // site. O solucionador online gratuito resolverá a equação online qualquer complexidade em segundos. Tudo o que você precisa fazer é inserir seus dados no solucionador. Você também pode assistir às instruções em vídeo e aprender como resolver a equação em nosso site. E se você tiver alguma dúvida, pode perguntar em nosso grupo Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Junte-se ao nosso grupo, estamos sempre felizes em ajudá-lo.
Muitas vezes, os alunos acham difícil escolher um método para resolver sistemas de equações.
Neste artigo, consideraremos uma das maneiras de resolver sistemas - o método de substituição.
Se encontrado decisão comum duas equações, então dizemos que essas equações formam um sistema. Em um sistema de equações, cada incógnita representa o mesmo número em todas as equações. Para mostrar que essas equações formam um sistema, elas geralmente são escritas uma abaixo da outra e combinadas com um colchete, por exemplo
Notamos que para x = 15 e y = 5, ambas as equações do sistema estão corretas. Este par de números é a solução para o sistema de equações. Cada par de valores desconhecidos que satisfaz simultaneamente ambas as equações do sistema é chamado de solução do sistema.
Um sistema pode ter uma solução (como em nosso exemplo), infinitas soluções e nenhuma solução.
Como resolver sistemas usando o método de substituição? Se os coeficientes de alguma incógnita em ambas as equações forem iguais em valor absoluto (se não forem iguais, então igualamos), então, adicionando ambas as equações (ou subtraindo uma da outra), você pode obter uma equação com uma incógnita. Então resolvemos esta equação. Definimos uma incógnita. Substituímos o valor obtido da incógnita em uma das equações do sistema (na primeira ou na segunda). Encontramos outro desconhecido. Vejamos exemplos da aplicação deste método.
Exemplo 1 Resolver Sistema de Equações
Aqui os coeficientes em y são iguais em valor absoluto, mas opostos em sinal. Vamos tentar termo a termo para somar as equações do sistema.
O valor resultante x \u003d 4, substituímos em alguma equação do sistema (por exemplo, na primeira) e encontramos o valor de y:
2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.
Nosso sistema tem uma solução x = 4, y = 3. Ou a resposta pode ser escrita entre parênteses, como as coordenadas de um ponto, na primeira posição x, na segunda y.
Resposta: (4; 3)
Exemplo 2. Resolver um sistema de equações
Igualamos os coeficientes da variável x, para isso multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por (-2), obtemos
Tenha cuidado ao adicionar equações
Então y \u003d - 2. Substituímos o número (-2) em vez de y na primeira equação, obtemos
4x + 3 (-2) \u003d - 4. Resolvemos esta equação 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½.
Resposta: (1/2; - 2)
Exemplo 3 Resolver Sistema de Equações
Multiplique a primeira equação por (-2)
Resolvendo o sistema
obtemos 0 = - 13.
Não há sistema de solução, pois 0 não é igual a (-13).
Resposta: Não há soluções.
Exemplo 4 Resolver Sistema de Equações
Observe que todos os coeficientes da segunda equação são divisíveis por 3,
vamos dividir a segunda equação por três e obtemos um sistema que consiste em duas equações idênticas.
Este sistema tem infinitas soluções, pois a primeira e a segunda equações são iguais (obtemos apenas uma equação com duas variáveis). Como apresentar a solução deste sistema? Vamos expressar a variável y a partir da equação x + y = 5. Obtemos y = 5 - x.
Então responda será escrito assim: (x; 5-x), x é qualquer número.
Consideramos a solução de sistemas de equações pelo método da adição. Se você tiver alguma dúvida ou algo não estiver claro, inscreva-se em uma aula e resolveremos todos os problemas com você.
blog.site, com cópia total ou parcial do material, é necessário o link da fonte.
Nesta lição, continuaremos a estudar o método de resolução de sistemas de equações, a saber: o método da adição algébrica. Primeiro, considere a aplicação desse método no exemplo de equações lineares e sua essência. Vamos também lembrar como equalizar coeficientes em equações. E resolveremos vários problemas na aplicação desse método.
Tópico: Sistemas de Equações
Lição: Método de adição algébrica
Considerar método de adição algébrica no exemplo de sistemas lineares.
Exemplo 1. Resolva o sistema
Se somarmos essas duas equações, os y se anularão, deixando a equação para x.
Se subtrairmos a segunda equação da primeira equação, x se cancelarão mutuamente e obteremos uma equação para y. Este é o significado do método da adição algébrica.
Resolvemos o sistema e lembramos do método da adição algébrica. Para repetir sua essência: podemos somar e subtrair equações, mas devemos garantir que obtemos uma equação com apenas uma incógnita.
Exemplo 2. Resolva o sistema
O termo está presente em ambas as equações, então o método de adição algébrica é conveniente. Subtraia a segunda da primeira equação.
Resposta: (2; -1).
Assim, depois de analisar o sistema de equações, pode-se ver que é conveniente para o método de adição algébrica e aplicá-lo.
Considere outro sistema linear.
Exemplo 3. Resolva o sistema
Queremos nos livrar de y, mas as duas equações têm coeficientes diferentes para y. Nós os igualamos, para isso multiplicamos a primeira equação por 3, a segunda - por 4.
Exemplo 4. Resolva o sistema 
Equalize os coeficientes em x
Você pode fazer isso de maneira diferente - equalize os coeficientes em y.
Resolvemos o sistema aplicando o método da adição algébrica duas vezes.
O método da adição algébrica também é aplicável na resolução de sistemas não lineares.
Exemplo 5. Resolva o sistema
Vamos somar essas equações e nos livraremos de y.
O mesmo sistema pode ser resolvido aplicando o método da adição algébrica duas vezes. Adicione e subtraia de uma equação a outra.
Exemplo 6. Resolva o sistema 
Responda: 
Exemplo 7. Resolva o sistema 
Usando o método da adição algébrica, nos livramos do termo xy. Multiplique a primeira equação por .
A primeira equação permanece inalterada, em vez da segunda escrevemos a soma algébrica.
Responda: 
Exemplo 8. Resolva o sistema
Multiplique a segunda equação por 2 para encontrar um quadrado perfeito.
Nossa tarefa foi reduzida a resolver quatro sistemas simples.
Consideramos o método de adição algébrica usando o exemplo de resolução de sistemas lineares e não lineares. Na próxima lição, vamos considerar o método de introdução de novas variáveis.
1. Mordkovich A. G. e outros Álgebra 9º ano: Proc. Para educação geral Instituições - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: il.
2. Mordkovich A. G. e outros Álgebra 9ª série: Livro de tarefas para alunos de instituições educacionais / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina e outros - 4ª ed. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: il.
3. Yu N. Makarychev, álgebra. 9º ano: livro didático. para alunos do ensino geral. instituições / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7ª ed., Rev. e adicional - M.: Mnemosyne, 2008.
4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin e Yu. V. Sidorov, Álgebra. 9º ano 16ª ed. - M., 2011. - 287 p.
5. Mordkovich A. G. Álgebra. 9º ano Às 14h, Parte 1. Livro didático para alunos de instituições educacionais / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12ª ed., apagado. — M.: 2010. — 224 p.: ill.
6. Álgebra. 9º ano Às 2 horas Parte 2. Livro de tarefas para alunos de instituições educacionais / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina e outros; Ed. A. G. Mordkovich. - 12ª ed., Rev. — M.: 2010.-223 p.: il.
1. Seção da faculdade. ru em matemática.
2. Projeto de Internet "Tarefas".
3. portal educacional"EU RESOLVEREI O USO".
1. Mordkovich A. G. e outros Álgebra 9ª série: Livro de tarefas para alunos de instituições educacionais / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina e outros - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: il. Nº 125 - 127.
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