Método adição algébrica
Você pode resolver um sistema de equações com duas incógnitas jeitos diferentes- método gráfico ou método de substituição de variáveis.
Nesta lição, conheceremos outra maneira de resolver sistemas que você certamente gostará - este é o método de adição algébrica.
E de onde veio a ideia - colocar algo nos sistemas? Ao resolver sistemas problema principalé a presença de duas variáveis, porque não podemos resolver equações com duas variáveis. Assim, é necessário excluir um deles de alguma forma legal. e tal Meios legais são regras e propriedades matemáticas.
Uma dessas propriedades soa assim: a soma dos números opostos é zero. Isso significa que, se houver coeficientes opostos para uma das variáveis, sua soma será igual a zero e poderemos excluir essa variável da equação. É claro que não temos o direito de somar apenas os termos com a variável que precisamos. É necessário somar as equações como um todo, ou seja, adicione separadamente termos semelhantes no lado esquerdo e depois no lado direito. Como resultado, obteremos uma nova equação contendo apenas uma variável. Vamos dar uma olhada em exemplos específicos.
Vemos que na primeira equação existe uma variável y, e na segunda o número oposto é y. Portanto, esta equação pode ser resolvida pelo método da adição.
Uma das equações é deixada como está. Qualquer um que você mais gosta.
Mas a segunda equação será obtida somando essas duas equações termo a termo. Aqueles. Adicione 3x a 2x, adicione y a -y, adicione 8 a 7.
Obtemos um sistema de equações
A segunda equação deste sistema é uma equação simples com uma variável. A partir dele encontramos x \u003d 3. Substituindo o valor encontrado na primeira equação, encontramos y \u003d -1.
Resposta: (3; - 1).
Exemplo de projeto:
Resolva o sistema de equações por adição algébrica
Não há variáveis com coeficientes opostos neste sistema. Mas sabemos que ambos os lados da equação podem ser multiplicados pelo mesmo número. Vamos multiplicar a primeira equação do sistema por 2.
Então a primeira equação terá a forma:
Agora vemos que com a variável x existem coeficientes opostos. Assim, faremos o mesmo que no primeiro exemplo: deixaremos uma das equações inalterada. Por exemplo, 2y + 2x \u003d 10. E obtemos o segundo adicionando.
Agora temos um sistema de equações:
Encontramos facilmente a partir da segunda equação y = 1 e, em seguida, a partir da primeira equação x = 4.
Exemplo de projeto:
Vamos resumir:
Aprendemos a resolver sistemas de dois equações lineares com dois método desconhecido adição algébrica. Assim, agora conhecemos três métodos principais para resolver tais sistemas: o método gráfico, o método da mudança de variável e o método da adição. Quase qualquer sistema pode ser resolvido usando esses métodos. Em mais casos difíceis usando uma combinação desses métodos.
Lista de literatura usada:
O uso de equações é bastante difundido em nossas vidas. Eles são usados em muitos cálculos, construção de estruturas e até esportes. As equações são utilizadas pelo homem desde a antiguidade e desde então seu uso só aumentou. Somente resolvendo sistemas de equações de complexidade variável por conta própria, você aprenderá como determinar rapidamente os métodos para resolver qualquer sistema. Às vezes pode ser muito difícil resolver o sistema equações quadráticas. No entanto, o método mais comumente usado para resolver essas equações é o método de substituição/adição.
Suponha que nos seja dado o seguinte sistema de equações:
\[\left\(\begin(matrix) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(matrix)\right.\]
Vamos somar as equações do sistema:
\[\left\(\begin(matrix) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(matrix)\right.\]
Vamos resolver o sistema resultante:
\[\left\(\begin(matrix) x(x - y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(matrix)\right.\]
\[(x - y) = -1 \] ou \[(x - y) = 1\] - obtemos de 2 equações
Substitua em 1 equação 1 ou -1:
\ ou \
Como agora sabemos o valor de uma incógnita, podemos encontrar a segunda:
\[-3 - y= -1\] ou \
\ ou \
Resposta: \[(-3; -2); (3; 4)\]
Se você precisar resolver um sistema de 2 graus e 1 linear, a partir de um linear, você pode expressar 1 das variáveis e substituir esta equação em uma quadrática.
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Muitas vezes, os alunos acham difícil escolher um método para resolver sistemas de equações.
Neste artigo, consideraremos uma das maneiras de resolver sistemas - o método de substituição.
Se uma solução comum de duas equações for encontrada, diz-se que essas equações formam um sistema. Em um sistema de equações, cada incógnita representa o mesmo número em todas as equações. Para mostrar que essas equações formam um sistema, elas geralmente são escritas uma abaixo da outra e combinadas com um colchete, por exemplo
Notamos que para x = 15 e y = 5, ambas as equações do sistema estão corretas. Este par de números é a solução para o sistema de equações. Cada par de valores desconhecidos que satisfaz simultaneamente ambas as equações do sistema é chamado de solução do sistema.
Um sistema pode ter uma solução (como em nosso exemplo), infinitas soluções e nenhuma solução.
Como resolver sistemas usando o método de substituição? Se os coeficientes de alguma incógnita em ambas as equações forem iguais em valor absoluto (se não forem iguais, então igualamos), então, adicionando ambas as equações (ou subtraindo uma da outra), você pode obter uma equação com uma incógnita. Então resolvemos esta equação. Definimos uma incógnita. Substituímos o valor obtido da incógnita em uma das equações do sistema (na primeira ou na segunda). Encontramos outro desconhecido. Vejamos exemplos da aplicação deste método.
Exemplo 1 Resolver Sistema de Equações
Aqui os coeficientes em y são iguais em valor absoluto, mas opostos em sinal. Vamos tentar termo a termo para somar as equações do sistema.
O valor resultante x \u003d 4, substituímos em alguma equação do sistema (por exemplo, na primeira) e encontramos o valor de y:
2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.
Nosso sistema tem uma solução x = 4, y = 3. Ou a resposta pode ser escrita entre parênteses, como as coordenadas de um ponto, na primeira posição x, na segunda y.
Resposta: (4; 3)
Exemplo 2. Resolver um sistema de equações
Igualamos os coeficientes da variável x, para isso multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por (-2), obtemos
Tenha cuidado ao adicionar equações
Então y \u003d - 2. Substituímos o número (-2) em vez de y na primeira equação, obtemos
4x + 3 (-2) \u003d - 4. Resolvemos esta equação 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½.
Resposta: (1/2; - 2)
Exemplo 3 Resolver Sistema de Equações
Multiplique a primeira equação por (-2)
Resolvendo o sistema
obtemos 0 = - 13.
Não há sistema de solução, pois 0 não é igual a (-13).
Resposta: Não há soluções.
Exemplo 4 Resolver Sistema de Equações
Observe que todos os coeficientes da segunda equação são divisíveis por 3,
vamos dividir a segunda equação por três e obtemos um sistema que consiste em duas equações idênticas.
Este sistema tem infinitas soluções, pois a primeira e a segunda equações são iguais (obtemos apenas uma equação com duas variáveis). Como apresentar a solução deste sistema? Vamos expressar a variável y a partir da equação x + y = 5. Obtemos y = 5 - x.
Então responda será escrito assim: (x; 5-x), x é qualquer número.
Consideramos a solução de sistemas de equações pelo método da adição. Se você tiver alguma dúvida ou algo não estiver claro, inscreva-se em uma aula e resolveremos todos os problemas com você.
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Um sistema de equações lineares com duas incógnitas são duas ou mais equações lineares para as quais você precisa encontrar todas elas soluções gerais. Vamos considerar sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas. Forma geral um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas é mostrado na figura abaixo:
(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2
Aqui x e y são variáveis desconhecidas, a1, a2, b1, b2, c1, c2 são alguns números reais. Uma solução para um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas é um par de números (x, y) de modo que, se esses números forem substituídos nas equações do sistema, cada uma das equações do sistema se tornará uma verdadeira igualdade. Existem várias maneiras de resolver um sistema de equações lineares. Considere uma das maneiras de resolver um sistema de equações lineares, ou seja, o método da adição.
Um algoritmo para resolver um sistema de equações lineares com dois métodos de adição desconhecidos.
1. Se necessário, por meio de transformações equivalentes, equalize os coeficientes de uma das variáveis desconhecidas em ambas as equações.
2. Adicionar ou subtrair as equações resultantes para obter uma equação linear com uma incógnita
3. Resolva a equação resultante com uma incógnita e encontre uma das variáveis.
4. Substitua a expressão resultante em qualquer uma das duas equações do sistema e resolva essa equação, obtendo assim a segunda variável.
5. Verifique a solução.
Para maior clareza, resolvemos o seguinte sistema de equações lineares com duas incógnitas pelo método da adição:
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Como nenhuma das variáveis tem os mesmos coeficientes, igualamos os coeficientes da variável y. Para fazer isso, multiplique a primeira equação por três e a segunda equação por dois.
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
Pegue seguinte sistema de equações:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Agora subtraia a primeira da segunda equação. Apresentamos os termos semelhantes e resolvemos a equação linear resultante.
10*x+6*a - (9*x+6*a) = 24-30; x=-6;
Substituímos o valor resultante na primeira equação do nosso sistema original e resolvemos a equação resultante.
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;
O resultado é um par de números x=6 e y=14. Estamos verificando. Fazemos uma substituição.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Como você pode ver, obtivemos duas igualdades verdadeiras, portanto, encontramos a solução certa.
Nesta lição, continuaremos a estudar o método de resolução de sistemas de equações, a saber: o método da adição algébrica. Primeiro, considere a aplicação desse método no exemplo de equações lineares e sua essência. Vamos também lembrar como equalizar coeficientes em equações. E resolveremos vários problemas na aplicação desse método.
Tópico: Sistemas de Equações
Lição: Método de adição algébrica
Considerar método de adição algébrica no exemplo de sistemas lineares.
Exemplo 1. Resolva o sistema
Se somarmos essas duas equações, os y se anularão, deixando a equação para x.
Se subtrairmos a segunda equação da primeira equação, x se cancelarão mutuamente e obteremos uma equação para y. Este é o significado do método da adição algébrica.
Resolvemos o sistema e lembramos do método da adição algébrica. Para repetir sua essência: podemos somar e subtrair equações, mas devemos garantir que obtemos uma equação com apenas uma incógnita.
Exemplo 2. Resolva o sistema
O termo está presente em ambas as equações, então o método de adição algébrica é conveniente. Subtraia a segunda da primeira equação.
Resposta: (2; -1).
Assim, depois de analisar o sistema de equações, pode-se ver que é conveniente para o método de adição algébrica e aplicá-lo.
Considere outro sistema linear.
Exemplo 3. Resolva o sistema
Queremos nos livrar de y, mas as duas equações têm coeficientes diferentes para y. Nós os igualamos, para isso multiplicamos a primeira equação por 3, a segunda - por 4.
Exemplo 4. Resolva o sistema 
Equalize os coeficientes em x
Você pode fazer isso de maneira diferente - equalize os coeficientes em y.
Resolvemos o sistema aplicando o método da adição algébrica duas vezes.
O método da adição algébrica também é aplicável na resolução de sistemas não lineares.
Exemplo 5. Resolva o sistema
Vamos somar essas equações e nos livraremos de y.
O mesmo sistema pode ser resolvido aplicando o método da adição algébrica duas vezes. Adicione e subtraia de uma equação a outra.
Exemplo 6. Resolva o sistema 
Responda: 
Exemplo 7. Resolva o sistema 
Usando o método da adição algébrica, nos livramos do termo xy. Multiplique a primeira equação por .
A primeira equação permanece inalterada, em vez da segunda escrevemos a soma algébrica.
Responda: 
Exemplo 8. Resolva o sistema
Multiplique a segunda equação por 2 para encontrar um quadrado perfeito.
Nossa tarefa foi reduzida a resolver quatro sistemas simples.
Consideramos o método de adição algébrica usando o exemplo de resolução de sistemas lineares e não lineares. Na próxima lição, vamos considerar o método de introdução de novas variáveis.
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