Verificamos que, no caso em que se sabe decisão comum linear equação homogênea, é possível encontrar a solução geral pelo método da variação de constantes arbitrárias equação não homogênea. No entanto, a questão de como encontrar a solução geral da equação homogênea permaneceu em aberto. Em um caso particular, quando na equação diferencial linear (3) todos os coeficientes p eu(x)= um eu - constantes, é resolvido de forma bastante simples, mesmo sem integração.
Considere uma equação diferencial homogênea linear com coeficientes constantes, ou seja, equações da forma
y (n) + um 1 y (n – 1) + ... um n – 1 y " + a n y = 0, (14)
Onde um eu- constantes (eu= 1, 2, ...,n).
Como se sabe, para uma equação linear homogênea de 1ª ordem, a solução é uma função da forma e kx . Buscaremos uma solução para a Eq. (14) na forma j (x) = e kx.
Vamos substituir na equação (14) a função j (x) e suas derivadas de ordem m (1 £ m£ n)j (m) (x) = k m e kx. Pegue
(k n + a 1 k n – 1 +… e n – 1 k + um n)ekx = 0,
mas e k x ¹ 0 para qualquer x, é por isso
k n + a 1 k n – 1 + ... um n – 1 k + a n = 0. (15)
A equação (15) é chamada equação característica, polinômio do lado esquerdo,- polinômio característico , suas raízes- raízes características equação diferencial (14).
Conclusão:
funçãoj (x) = e kx - solução da equação linear homogênea (14) se e somente se o número k - raiz da equação característica (15).
Assim, o processo de resolução da equação linear homogênea (14) se reduz à resolução da equação algébrica (15).
Existem vários casos de raízes características.
1.Todas as raízes da equação característica são reais e distintas.
Nesse caso n diferentes raízes características k 1 ,k 2 ,..., k n corresponde n diferentes soluções da equação homogênea (14)
Pode-se mostrar que essas soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um sistema fundamental de soluções. Assim, a solução geral da equação é a função
Onde A PARTIR DE 1 , C 2 , ..., ~n - constantes arbitrárias.
EXEMPLO 7. Encontre a solução geral da equação linear homogênea:
a) no¢ ¢ (x) - 6no¢ (x) + 8no(x) = 0, b) no¢ ¢ ¢ (x) + 2no¢ ¢ (x) - 3no¢ (x) = 0.
Solução. Vamos fazer uma equação característica. Para fazer isso, substituímos a derivada de ordem m funções y(x) no grau correspondente
k(no (m) (x) « k m),
enquanto a própria função no(x) como a derivada de ordem zero é substituída por k 0 = 1.
No caso (a), a equação característica tem a forma k 2 - 6k + 8 = 0. As raízes desta equação quadrática k 1 = 2,k 2 = 4. Como são reais e diferentes, a solução geral tem a forma j (x)= C 1 e 2x + de 2 e 4x.
Para o caso (b), a equação característica é a equação de terceiro grau k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Encontre as raízes desta equação:
k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,
t . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.
Essas raízes características correspondem ao sistema fundamental de soluções da equação diferencial:
j 1 (x)= e 0x = 1, j 2 (x) = e x, j 3 (x)= e - 3x .
j (x)= C 1 +C 2 e x + C 3 e - 3x .
II . Todas as raízes da equação característica são diferentes, mas algumas delas são complexas.
Todos os coeficientes da equação diferencial (14) e, conseqüentemente, de sua equação característica (15)- numeros reais, então se c entre as raízes características existe uma raiz complexa k 1 = a + ib, ou seja, sua raiz conjugada k 2 = ` k 1 = um- ib.primeira raiz k 1 corresponde à solução da equação diferencial (14)
j 1 (x)= e (a+ib)x = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)
(nós usamos a fórmula de Euler e i x = cosx + isinx). Da mesma forma, a raiz k 2 = um- ib corresponde decisão
j 2 (x)= e (a - -ib)x = e a x e - ib x= e machado(cosbx - isinbx).
Essas soluções são complexas. Para obter soluções reais deles, usamos as propriedades das soluções de uma equação linear homogênea (ver 13.2). Funções
são soluções reais da equação (14). Além disso, essas soluções são linearmente independentes. Assim, pode-se tirar a seguinte conclusão.
Regra 1.Um par de raízes complexas conjugadas a± ib da equação característica no FSR da equação linear homogênea (14) corresponde a duas soluções particulares reaise .
EXEMPLO 8. Encontre a solução geral da equação:
a) no¢ ¢ (x) - 2no ¢ (x) + 5no(x) = 0 ;b) no¢ ¢ ¢ (x) - no¢ ¢ (x) + 4no ¢ (x) - 4no(x) = 0.
Solução. No caso da equação (a), as raízes da equação característica k 2 - 2k + 5 = 0 são dois números complexos conjugados
k 1, 2 = .
Portanto, de acordo com a regra 1, correspondem a duas soluções reais linearmente independentes: e , e a solução geral da equação é a função
j (x)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x pecado 2x.
No caso (b), para encontrar as raízes da equação característica k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, fatoramos seu lado esquerdo:
k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.
Portanto, temos três raízes características: k 1 = 1,k2 , 3 = ± 2eu. Cornu k 1 corresponde decisão , e um par de raízes complexas conjugadas k 2, 3 = ± 2eu = 0 ± 2eu- duas soluções reais: e . Nós compomos a solução geral da equação:
j (x)= C 1 e x + C 2 porque 2x + C 3 pecado 2x.
III . Entre as raízes da equação característica existem múltiplos.
Deixar k 1 - raiz real da multiplicidade m equação característica (15), ou seja, entre as raízes existem m raízes iguais. Cada um deles corresponde à mesma solução da equação diferencial (14) No entanto, inclua m soluções iguais no FSR são impossíveis, pois constituem um sistema linearmente dependente de funções.
Pode-se mostrar que, no caso de uma raiz múltipla k 1 soluções da equação (14), além da função, são as funções
As funções são linearmente independentes em todo o eixo numérico, pois , ou seja, podem ser incluídas no FSR.
Regra 2 raiz característica real k 1 multiplicidades m em FSR corresponde m soluções:
Se um k 1 - raiz complexa de multiplicidade m equação característica (15), então existe uma raiz conjugada k 1 multiplicidades m. Por analogia, obtemos a seguinte regra.
Regra 3. Um par de raízes complexas conjugadas a± ib no FSR corresponde a 2m de soluções linearmente independentes reais:
, , ..., ,
, , ..., .
EXEMPLO 9. Encontre a solução geral da equação:
a) no¢ ¢ ¢ (x) + 3no¢ ¢ (x) + 3no¢ (x)+y ( x)= 0;b) 4(x) + 6no¢ ¢ (x) + 9no(x) = 0.
Solução. No caso (a), a equação característica tem a forma
k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
ou seja k =- 1 - multiplicidade raiz 3. Com base na regra 2, escrevemos a solução geral:
j (x)= C 1 +C 2 x + C 3 x 2 .
k 4 + 6k 2 + 9 = 0
ou então,
(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± eu .
Temos um par de raízes complexas conjugadas, cada uma de multiplicidade 2. De acordo com a Regra 3, a solução geral é escrita como
j (x)= C 1 +C 2 x + C 3 +C 4 x .
Segue-se do exposto que, para qualquer equação homogênea linear com coeficientes constantes, pode-se encontrar um sistema fundamental de soluções e formar uma solução geral. Portanto, a solução da equação não homogênea correspondente para qualquer função contínua f(x) no lado direito pode ser encontrado usando o método de variação de constantes arbitrárias (ver Seção 5.3).
Exemplo r10. Usando o método de variação, encontre a solução geral da equação não homogênea no¢ ¢ (x) - no¢ (x) - 6no(x) = x e 2x .
Solução. Primeiro, encontramos a solução geral da equação homogênea correspondente no¢ ¢ (x) - no¢ (x) - 6no(x) = 0. As raízes da equação característica k 2 - k- 6 = 0 são k 1 = 3,k 2 = - 2, um solução geral da equação homogênea - função ` no ( x) = C 1 e 3x +C 2 e - 2x .
Procuraremos uma solução para a equação não homogênea na forma
no( x) = A PARTIR DE 1 (x)e 3x +C 2 (x)e 2x . (*)
C[e 3x , e 2x ] = .
Vamos compor o sistema de equações (12) com relação às derivadas das funções desconhecidas A PARTIR DE ¢ 1 (x) e A PARTIR DE¢ 2 (x):
Integrando, encontramos A PARTIR DE 1 (x) e A PARTIR DE 2 (x):
Substituindo funções A PARTIR DE 1 (x) e A PARTIR DE 2 (x) à igualdade (*), obtemos a solução geral da equação no¢ ¢ (x) - no¢ (x) - 6no(x) = x e 2x :
Caso quando parte direita equação não homogênea linear com coeficientes constantes tem uma forma especial, uma solução particular da equação não homogênea pode ser encontrada sem recorrer ao método de variação de constantes arbitrárias.
Considere a equação com coeficientes constantes
y (n) + a 1 ano (n– 1) + ... um n – 1 ano " + a n y = f (x), (16)
f( x) = emachado(P n(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)
Onde P n(x) e Rm(x) - polinômios de grau n e m respectivamente.
Solução privada y*(x) da equação (16) é determinado pela fórmula
no* (x) = xse machado(Senhor(x)cosbx + Nr(x)sinbx), (18)
Onde Senhor(x) e N r(x) - polinômios de grau r = máx.(n, m) com coeficientes indeterminados , uma s igual à multiplicidade da raiz k 0 = a + ib polinômio característico da equação (16), embora seja assumido s= 0 se k 0 não é uma raiz característica.
Para formular uma solução particular usando a fórmula (18), precisamos encontrar quatro parâmetros - a, b, r e s. Os três primeiros são determinados a partir do lado direito da equação, com r- na verdade é o mais alto x encontrado no lado direito. Parâmetro sé encontrado comparando o número k 0 = a + ib e o conjunto de todas (levando em conta as multiplicidades) raízes características da equação (16) que são encontradas na solução da equação homogênea correspondente.
Consideremos casos particulares da forma da função (17):
1) em uma ¹ 0, b= 0f(x)= e ax P n(x);
2) quando uma= 0, b ¹ 0f(x)= P n(x) Comosbx + Rm(x)sinbx;
3) quando uma = 0, b = 0f(x)=Pn(x).
Observação 1. Se P n (x) º 0 ou R m (x)º 0, então o lado direito da equação f(x) = e ax P n (x)с osbx ou f(x) = e ax R m (x)sinbx, ou seja, contém apenas uma das funções - cosseno ou seno. Mas na notação de uma solução particular, ambos devem estar presentes, pois, de acordo com a fórmula (18), cada um deles é multiplicado por um polinômio com coeficientes indefinidos de mesmo grau r = max(n, m).
Exemplo 11. Determinar a forma de uma solução particular para uma equação linear homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes, se o lado direito da equação for conhecido f(x) = e x(2xcos 3x +(x 2 + 1)pecado 3x) e as raízes da equação característica:
uma ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;
b ) k 1, 2 = 1 ± 3eu,k 3, 4 = ± 1;
dentro ) k 1, 2 = 1 ± 3eu,k 3, 4 = 1 ± 3eu.
Solução. No lado direito, descobrimos que na solução particular no*(x), que é determinado pela fórmula (18), parâmetros: uma= 1, b= 3, r= 2. Eles permanecem os mesmos para todos os três casos, daí o número k 0 , que especifica o último parâmetro s fórmula (18) é igual a k 0 = 1+ 3eu. No caso (a) não há número entre as raízes características k 0 = 1 + 3eu, significa, s= 0, e a solução particular tem a forma
y*(x) = x 0 e x(M 2 (x)porque 3x + N 2 (x)pecado 3x) =
= ex( (Machado 2 + Bx + C)porque 3x +(UMA 1 x 2 +B 1 x + C 1)pecado 3x.
No caso (b) o número k 0 = 1 + 3eu ocorre apenas uma vez entre as raízes características, o que significa que s= 1 e
y*(x) = x e x((Machado 2 + Bx + C)porque 3x +(UMA 1 x 2 +B 1 x + C 1)pecado 3x.
Para o caso (c) temos s= 2 e
y*(x) = x 2 e x((Machado 2 + Bx + C)porque 3x +(A 1 x 2 +B 1 x + C 1)pecado 3x.
No exemplo 11, existem dois polinômios do 2º grau com coeficientes indeterminados no registro da solução particular. Para encontrar uma solução, você precisa determinar os valores numéricos desses coeficientes. Vamos formular uma regra geral.
Para determinar os coeficientes desconhecidos de polinômios Senhor(x) e N r(x) a igualdade (17) é diferenciada o número necessário de vezes, a função é substituída y*(x) e suas derivadas na equação (16). Comparando suas partes esquerda e direita, obtemos o sistema equações algébricas encontrar coeficientes.
Exemplo 12. Encontre uma solução para a equação no¢ ¢ (x) - no¢ (x) - 6no(x) = xe 2x, tendo determinado uma solução particular da equação não homogênea pela forma do lado direito.
Solução. A solução geral da equação não homogênea tem a forma
no( x) = ` no(x)+s*(x),
Onde ` no ( x) - a solução geral da equação homogênea correspondente, e y*(x) - uma solução particular de uma equação não homogênea.
Primeiro resolvemos a equação homogênea no¢ ¢ (x) - no¢ (x) - 6no(x) = 0. Sua equação característica k 2 - k- 6 = 0 tem duas raízes k 1 = 3,k 2 = - 2, Consequentemente, ` no ( x) = C 1 e 3x +C 2 e - 2x .
Usamos a fórmula (18) para determinar o tipo de solução particular no*(x). Função f(x) = xe 2x representa caso especial(a) fórmulas (17), enquanto um = 2,b= 0 e r= 1, ou seja k 0 = 2 + 0eu = 2. Comparando com as raízes características, concluímos que s= 0. Substituindo os valores de todos os parâmetros na fórmula (18), temos y*(x) = (Ah + B)e 2x .
Para encontrar valores MAS e NO, encontre as derivadas de primeira e segunda ordem da função y*(x) = (Ah + B)e 2x :
y*¢ (x)= Ae 2x + 2(Ah + B)e 2x = (2Ah + A + 2B)e 2x,
y*¢ ¢ (x) = 2ae 2x + 2(2Ah + A + 2B)e 2x = (4Ah + 4A+ 4B)e 2x .
Depois de substituir a função y*(x) e suas derivadas na equação temos
(4Ah + 4A+ 4B)e 2x - (2Ah + A + 2B)e 2x - 6(Ah + B)e 2x =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.
Assim, uma solução particular da equação não homogênea tem a forma
y*(x) = (- 1/4x- 3/16)e 2x ,
e a solução geral - no ( x) = C 1 e 3x +C 2 e - 2x + (- 1/4x- 3/16)e 2x .
Observação 2.No caso em que o problema de Cauchy para uma equação não homogênea é colocado, deve-se primeiro encontrar uma solução geral para a equação
no( x) = ,
tendo determinado todos os valores numéricos dos coeficientes em no*(x). Em seguida, use as condições iniciais e, substituindo-as na solução geral (e não na y*(x)), encontre os valores das constantes C eu.
Exemplo 13. Encontre uma solução para o problema de Cauchy:
no¢ ¢ (x) - no¢ (x) - 6no(x) = xe 2x ,y(0) = 0, você ¢ (x) = 0.
Solução. Solução geral desta equação
no(x) = C 1 e 3x +C 2 e - 2x + (- 1/4x- 3/16)e 2x
foi encontrado no Exemplo 12. Para encontrar uma solução particular que satisfaça as condições iniciais do problema de Cauchy dado, obtemos o sistema de equações
Resolvendo temos C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Portanto, a solução do problema de Cauchy é a função
no(x) = 1/8e 3x + 1/16e - 2x + (- 1/4x- 3/16)e 2x .
Observação 3(princípio da superposição). Se em uma equação linear L n[y(x)]= f(x), Onde f(x) = f 1 (x)+ f 2 (x) e y* 1 (x) - solução da equação L n[y(x)]= f 1 (x), uma y* 2 (x) - solução da equação L n[y(x)]= f 2 (x), então a função y*(x)= y* 1 (x)+s* 2 (x) é solução da equação L n[y(x)]= f(x).
EXEMPLO 14. Especifique o tipo de solução geral equação linear
no¢ ¢ (x) + 4no(x) = x + senx.
Solução. Solução geral da equação homogênea correspondente
` no(x) = C 1 porque 2x + C 2 pecado 2x,
uma vez que a equação característica k 2 + 4 = 0 tem raízes k 1, 2 = ± 2eu.O lado direito da equação não corresponde à fórmula (17), mas se introduzirmos a notação f 1 (x) = x, f 2 (x) = senx e use o princípio da superposição , então uma solução particular da equação não homogênea pode ser encontrada na forma y*(x)= y* 1 (x)+s* 2 (x), Onde y* 1 (x) - solução da equação no¢ ¢ (x) + 4no(x) = x, uma y* 2 (x) - solução da equação no¢ ¢ (x) + 4no(x) = sinx. Pela fórmula (18)
y* 1 (x) = Ax + B,y* 2 (x) = Ccosx + Dsinx.
Então uma solução particular
y*(x) \u003d Ax + B + Ccosx + Dsinx,
logo a solução geral tem a forma
no(x) = C 1 porque 2x + C 2 e - 2x +A x + B + Ccosx + Dsinx.
EXEMPLO 15. O circuito elétrico consiste em uma fonte de corrente conectada em série com fem e(t) = E pecadoW t, indutância eu e recipientes A PARTIR DE, e
Este artigo revela a questão da resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. A teoria será considerada junto com exemplos dos problemas dados. Para decifrar termos incompreensíveis, é necessário consultar o tópico das definições e conceitos básicos da teoria das equações diferenciais.
Considere uma equação diferencial linear (LDE) de segunda ordem com coeficientes constantes da forma y "" + p y " + q y \u003d f (x) , onde p e q são números arbitrários e a função existente f (x) é contínua no intervalo de integração x .
Passemos à formulação do teorema da solução geral para o LIDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
A solução geral, localizada no intervalo x, de uma equação diferencial não homogênea da forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) com coeficientes de integração contínua no intervalo x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) e uma função contínua f (x) é igual à soma da solução geral y 0 , que corresponde ao LODE, e alguma solução particular y ~ , onde a equação não homogênea original é y = y 0 +y~ .
Isso mostra que a solução dessa equação de segunda ordem tem a forma y = y 0 + y ~ . O algoritmo para encontrar y 0 é considerado no artigo sobre equações diferenciais homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Depois disso, deve-se proceder à definição de y ~ .
A escolha de uma solução particular para o LIDE depende do tipo de função disponível f(x) localizada no lado direito da equação. Para isso, é necessário considerar separadamente as soluções de equações diferenciais não homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Quando f (x) é considerado um polinômio do enésimo grau f (x) = P n (x) , segue-se que uma solução particular do LIDE é encontrada por uma fórmula da forma y ~ = Q n (x ) x γ , onde Q n ( x) é um polinômio de grau n, r é o número de raízes nulas da equação característica. O valor de y ~ é uma solução particular y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , então os coeficientes disponíveis, que são definidos pelo polinômio
Q n (x) , encontramos usando o método dos coeficientes indefinidos da igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplo 1
Calcule usando o teorema de Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Solução
Em outras palavras, é necessário passar para uma solução particular de uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y "" - 2 y " = x 2 + 1 , que satisfará as condições dadas y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
A solução geral de uma equação linear não homogênea é a soma da solução geral que corresponde à equação y 0 ou uma solução particular da equação não homogênea y ~ , ou seja, y = y 0 + y ~ .
Primeiro, vamos encontrar uma solução geral para o LNDE e depois uma particular.
Vamos prosseguir para encontrar y 0 . Escrever a equação característica ajudará a encontrar as raízes. nós entendemos isso
k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2
Descobrimos que as raízes são diferentes e reais. Portanto, escrevemos
y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.
Vamos encontrar y ~ . Pode-se ver que o lado direito dada equaçãoé um polinômio de segundo grau, então uma das raízes é igual a zero. A partir daqui, obtemos que uma solução particular para y ~ será
y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, onde os valores de A, B, C tome coeficientes indefinidos.
Vamos encontrá-los a partir de uma igualdade da forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Então obtemos isso:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C" - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Igualando os coeficientes com os mesmos expoentes x , obtemos um sistema de expressões lineares - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Ao resolver de qualquer uma das maneiras, encontramos os coeficientes e escrevemos: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 e y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Esta entrada é chamada de solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea linear original com coeficientes constantes.
Para encontrar uma solução particular que satisfaça as condições y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , é necessário determinar os valores C1 e C2, com base em uma igualdade da forma y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Nós entendemos isso:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x" x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Trabalhamos com o sistema de equações resultante da forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , onde C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .
Aplicando o teorema de Cauchy, temos que
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Responda: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Quando a função f (x) é representada como um produto de um polinômio com grau n e um expoente f (x) = P n (x) e a x , daí obtemos que uma solução particular do LIDE de segunda ordem será uma equação da forma y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , onde Q n (x) é um polinômio do enésimo grau, e r é o número de raízes da equação característica igual a α .
Os coeficientes pertencentes a Q n (x) são encontrados pela igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplo 2
Encontre a solução geral de uma equação diferencial da forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Solução
Equação geral y = y 0 + y ~ . A equação indicada corresponde ao LOD y "" - 2 y " = 0. O exemplo anterior mostra que suas raízes são k1 = 0 e k 2 = 2 e y 0 = C 1 + C 2 e 2 x de acordo com a equação característica.
Pode-se ver que o lado direito da equação é x 2 + 1 · e x . A partir daqui, LNDE é encontrado por y ~ = e a x Q n (x) x γ , onde Q n (x) , que é um polinômio de segundo grau, onde α = 1 e r = 0 , porque a equação característica não tem raiz igual a 1. Daí conseguimos isso
y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .
A, B, C são coeficientes desconhecidos, que podem ser encontrados pela igualdade y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .
Percebido
y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Igualamos os indicadores para os mesmos coeficientes e obtemos um sistema de equações lineares. A partir daqui encontramos A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Responda: pode-se ver que y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 é uma solução particular do LIDE, e y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3
Quando a função é escrita como f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sen β x , e A 1 e EM 1 são números, então uma equação da forma y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , onde A e B são considerados coeficientes indefinidos, e r o número de raízes complexas conjugadas relacionadas à equação característica, igual a ± i β . Nesse caso, a busca por coeficientes é realizada pela igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplo 3
Encontre a solução geral de uma equação diferencial da forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Solução
Antes de escrever a equação característica, encontramos y 0 . Então
k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i
Temos um par de raízes conjugadas complexas. Vamos transformar e obter:
y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sen (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sen (2 x)
As raízes da equação característica são consideradas um par conjugado ± 2 i , então f (x) = cos (2 x) + 3 sen (2 x) . Isso mostra que a busca por y ~ será feita a partir de y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Desconhecidos os coeficientes A e B serão buscados a partir de uma igualdade da forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Vamos transformar:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sen (2 x) x) " = = (- 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sen (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sen (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x)
Então se vê que
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sen (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sen (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sen (2 x) ⇔ - 4 A sen (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sen(2x)
É necessário igualar os coeficientes de senos e cossenos. Obtemos um sistema da forma:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Segue-se que y ~ = (A cos (2 x) + B sen (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sen (2 x) x .
Responda: a solução geral do LIDE original de segunda ordem com coeficientes constantes é considerada
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sen (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sen (2 x) x
Quando f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , então y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Temos que r é o número de pares complexos conjugados de raízes relacionados à equação característica, igual a α ± i β , onde P n (x) , Q k (x) , L m ( x e N m (x) são polinômios de grau n, k, m, onde m = m a x (n, k). Encontrando coeficientes L m (x) e N m (x)é produzido com base na igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplo 4
Encontre a solução geral y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Solução
Fica claro pela condição que
α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1
Então m = m a x (n , k) = 1 . Encontramos y 0 escrevendo primeiro a equação característica da forma:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Descobrimos que as raízes são reais e distintas. Portanto y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . A seguir, é necessário buscar uma solução geral baseada em uma equação não homogênea y ~ da forma
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x))
Sabe-se que A, B, C são coeficientes, r = 0, pois não há par de raízes conjugadas relacionadas à equação característica com α ± i β = 3 ± 5 · i . Esses coeficientes são encontrados a partir da igualdade resultante:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sen (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Encontrar a derivada e termos semelhantes dá
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sen (5 x) + 45 sen (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))
Depois de igualar os coeficientes, obtemos um sistema da forma
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
De tudo resulta que
y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)pecado(5x))
Responda: agora a solução geral da equação linear dada foi obtida:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Qualquer outro tipo de função f(x) para a solução fornece o algoritmo de solução:
Exemplo 5
Encontre a solução geral para y "" + 36 y = 24 sen (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .
Solução
Passamos a escrever a equação característica, tendo previamente escrito y 0 , y "" + 36 y = 0 . Vamos escrever e resolver:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sen (6 x)
Temos que o registro da solução geral da equação dada tomará a forma y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . É necessário passar à definição de funções derivadas C 1 (x) e C2(x) de acordo com o sistema de equações:
C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sen (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sen (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sen (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sen (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
É preciso tomar uma decisão sobre C1"(x) e C2" (x) usando qualquer método. Então escrevemos:
C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Cada uma das equações deve ser integrada. Então escrevemos as equações resultantes:
C 1 (x) = 1 3 sen (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sen ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sen (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 4
Segue que a solução geral terá a forma:
y = 1 3 sen (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sen (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 4 sen (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sen (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6x) + C4sin (6x)
Responda: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sen (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sen (6x)
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Fundamentos da resolução de equações diferenciais não homogêneas lineares de segunda ordem (LNDE-2) com coeficientes constantes (PC)
Um CLDE de segunda ordem com coeficientes constantes $p$ e $q$ tem a forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, onde $f\left( x \right)$ é uma função contínua.
As duas afirmações a seguir são verdadeiras com relação ao 2º LNDE com PC.
Suponha que alguma função $U$ seja uma solução particular arbitrária de uma equação diferencial não homogênea. Vamos supor também que alguma função $Y$ é uma solução geral (OR) da equação diferencial homogênea linear correspondente (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Então o OR de LHDE-2 é igual à soma das soluções particulares e gerais indicadas, ou seja, $y=U+Y$.
Se o lado direito do LIDE de 2ª ordem for a soma das funções, ou seja, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, então primeiro você pode encontrar o PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ que correspondem a cada das funções $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, e depois disso escreva o LNDE-2 PD como $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Obviamente, a forma de um ou outro PD $U$ de um determinado LNDE-2 depende da forma específica de seu lado direito $f\left(x\right)$. Os casos mais simples de busca pelo PD do LNDE-2 são formulados como as quatro regras a seguir.
Regra número 1.
O lado direito do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, onde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ou seja, é chamado de polinômio de grau $n$. Então seu PR $U$ é procurado na forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, onde $Q_(n) \left(x\right)$ é outro polinômio do mesmo grau que $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ é o número de raízes zero da equação característica do LODE-2 correspondente. Os coeficientes do polinômio $Q_(n) \left(x\right)$ são encontrados pelo método dos coeficientes indefinidos (NC).
Regra número 2.
O lado direito do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, onde $P_(n) \left( x\right)$ é um polinômio de grau $n$. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, onde $Q_(n ) \ left(x\right)$ é outro polinômio do mesmo grau que $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente igual a $\alfa$. Os coeficientes do polinômio $Q_(n) \left(x\right)$ são encontrados pelo método NK.
Regra número 3.
A parte direita do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, onde $a$, $b$ e $\beta $ são números conhecidos. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, onde $A$ e $B$ são coeficientes desconhecidos, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente igual a $i\cdot \beta $. Os coeficientes $A$ e $B$ são encontrados pelo método NDT.
Regra número 4.
O lado direito do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, onde $P_(n) \left(x\right)$ é um polinômio de grau $ n$, e $P_(m) \left(x\right)$ é um polinômio de grau $m$. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, onde $Q_(s) \left(x\right) $ e $ R_(s) \left(x\right)$ são polinômios de grau $s$, o número $s$ é o máximo de dois números $n$ e $m$, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente, igual a $\alpha +i\cdot \beta $. Os coeficientes dos polinômios $Q_(s) \left(x\right)$ e $R_(s) \left(x\right)$ são encontrados pelo método NK.
O método NK consiste na aplicação da seguinte regra. Para encontrar os coeficientes desconhecidos do polinômio, que fazem parte da solução particular da equação diferencial não homogênea LNDE-2, é necessário:
Exemplo 1
Tarefa: encontre o OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Encontre também o PR , satisfazendo as condições iniciais $y=6$ para $x=0$ e $y"=1$ para $x=0$.
Escreva o LODA-2 correspondente: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Equação característica: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. As raízes da equação característica: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Essas raízes são reais e distintas. Assim, o OR do LODE-2 correspondente tem a forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
A parte direita deste LNDE-2 tem a forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. É necessário considerar o coeficiente do expoente do expoente $\alpha =3$. Este coeficiente não coincide com nenhuma das raízes da equação característica. Portanto, o PR deste LNDE-2 tem a forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Procuraremos os coeficientes $A$, $B$ usando o método NK.
Encontramos a primeira derivada do CR:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\direita)\cdot e^(3\cdot x) .$
Encontramos a segunda derivada do CR:
$U""=\esquerda(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\direita)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\esquerda(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Substituímos as funções $U""$, $U"$ e $U$ em vez de $y""$, $y"$ e $y$ no dado LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ao mesmo tempo, como o expoente $e^(3\cdot x) $ está incluído como um fator em todos os componentes, então pode ser omitido.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\direita)=36\cdot x+12.$
Realizamos ações no lado esquerdo da igualdade resultante:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Usamos o método NC. Obtemos um sistema de equações lineares com duas incógnitas:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
A solução deste sistema é: $A=-2$, $B=-1$.
O CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para o nosso problema se parece com isto: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.
O OR $y=Y+U$ para o nosso problema é assim: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ esquerda(-2\cdot x-1\direita)\cdot e^(3\cdot x) $.
Para buscar uma PD que satisfaça as condições iniciais dadas, encontramos a derivada $y"$ OR:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Substituímos em $y$ e $y"$ as condições iniciais $y=6$ por $x=0$ e $y"=1$ por $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Temos um sistema de equações:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Nós resolvemos. Encontramos $C_(1) $ usando a fórmula de Cramer, e $C_(2) $ é determinado a partir da primeira equação:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Assim, o PD desta equação diferencial é: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.
Instituição educacional "Estado da Bielorrússia
Academia Agrícola"
Departamento de Matemática Superior
Diretrizes
sobre o estudo do tema "Equações diferenciais lineares de segunda ordem" por alunos do departamento de contabilidade da forma de educação por correspondência (NISPO)
Gorki, 2013
Linear equações diferenciais
segunda ordem com constantecoeficientes
Equações diferenciais lineares homogêneas
Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é chamada de equação da forma
Essa. uma equação que contém a função desejada e suas derivadas apenas no primeiro grau e não contém seus produtos. nesta equação e 
são alguns números, e a função 
dado em algum intervalo 
.
Se um 
no intervalo 
, então a equação (1) assume a forma
,
(2)
e ligou linear homogêneo . Caso contrário, a equação (1) é chamada linear não homogêneo .
Considere a função complexa
,
(3)
Onde 
e 
são funções reais. Se a função (3) é uma solução complexa da equação (2), então a parte real 
, e a parte imaginária 
soluções 
tomados separadamente são soluções da mesma equação homogênea. Assim, qualquer solução complexa da equação (2) gera duas soluções reais desta equação.
As soluções de uma equação linear homogênea têm as seguintes propriedades:
Se um 
é uma solução para a equação (2), então a função 
, Onde A PARTIR DE- uma constante arbitrária, também será solução da equação (2);
Se um 
e 
são soluções da equação (2), então a função 
também será uma solução para a equação (2);
Se um 
e 
são soluções da equação (2), então sua combinação linear 
também será uma solução para a equação (2), onde 
e 
são constantes arbitrárias.
Funções 
e 
chamado linearmente dependente
no intervalo 
se houver tais números 
e 
, que não são iguais a zero ao mesmo tempo, que neste intervalo a igualdade
Se a igualdade (4) vale apenas quando 
e 
, então as funções 
e 
chamado Linearmente independente
no intervalo 
.
Exemplo 1
. Funções 
e 
são linearmente dependentes, pois 
ao longo de toda a linha numérica. Neste exemplo 
.
Exemplo 2
. Funções 
e 
são linearmente independentes em qualquer intervalo, desde que a igualdade 
possível somente se e 
, e 
.
Construção de uma solução geral de um homogêneo linear
equações
Para encontrar uma solução geral para a equação (2), você precisa encontrar duas de suas soluções linearmente independentes 
e 
. Combinação linear dessas soluções 
, Onde 
e 
são constantes arbitrárias e darão a solução geral de uma equação linear homogênea.
Soluções linearmente independentes da Eq. (2) serão procuradas na forma
,
(5)
Onde 
- algum número. Então 
,
. Vamos substituir essas expressões na equação (2):
ou 
.
Porque 
, então 
. então a função 
será uma solução para a equação (2) se 
satisfará a equação
.
(6)
A equação (6) é chamada equação característica para a equação (2). Esta equação é uma equação quadrática algébrica.
Deixar 
e 
são as raízes desta equação. Eles podem ser reais e diferentes, ou complexos, ou reais e iguais. Vamos considerar esses casos.
Deixe as raízes 
e 
equações características são reais e distintas. Então as soluções da equação (2) serão as funções 
e 
. Essas soluções são linearmente independentes, pois a igualdade 
só pode ser realizada quando 
, e 
. Portanto, a solução geral da Eq. (2) tem a forma
,
Onde 
e 
são constantes arbitrárias.
Exemplo 3
.
Solução
. A equação característica para este diferencial será 
. resolvendo Equação quadrática, encontre suas raízes 
e 
. Funções 
e 
são soluções da equação diferencial. A solução geral desta equação tem a forma 
.
número complexo 
é chamada de expressão da forma 
, Onde 
e 
são números reais e 
é chamada de unidade imaginária. Se um 
, então o número 
é chamado puramente imaginário. Se 
, então o número 
é identificado com um número real 
.
Número 
é chamado de parte real do número complexo, e 
- a parte imaginária. Se dois números complexos diferem entre si apenas no sinal da parte imaginária, eles são chamados de conjugados: 
,
.
Exemplo 4
. Resolver uma equação quadrática 
.
Solução
. discriminante de equação 
. Então. Da mesma maneira, 
. Assim, esta equação quadrática tem raízes complexas conjugadas.
Sejam as raízes da equação característica complexas, ou seja, 
,
, Onde 
. As soluções para a equação (2) podem ser escritas como 
,
ou 
,
. De acordo com as fórmulas de Euler
,
.
Então ,. Como se sabe, se uma função complexa é uma solução de uma equação linear homogênea, então as soluções dessa equação são as partes real e imaginária dessa função. Assim, as soluções da equação (2) serão as funções 
e 
. Desde a igualdade
só pode ser executado se 
e 
, então essas soluções são linearmente independentes. Portanto, a solução geral da equação (2) tem a forma
Onde 
e 
são constantes arbitrárias.
Exemplo 5
. Encontre a solução geral da equação diferencial 
.
Solução
. A equação 
é característica para o diferencial dado. Resolvemos e obtemos raízes complexas 
,
. Funções 
e 
são soluções linearmente independentes da equação diferencial. A solução geral desta equação tem a forma.
Sejam as raízes da equação característica reais e iguais, ou seja, 
. Então as soluções da equação (2) são as funções 
e 
. Essas soluções são linearmente independentes, pois a expressão pode ser identicamente igual a zero somente quando 
e 
. Portanto, a solução geral da equação (2) tem a forma 
.
Exemplo 6
. Encontre a solução geral da equação diferencial 
.
Solução
. equação característica 
tem raízes iguais 
. Neste caso, as soluções linearmente independentes da equação diferencial são as funções 
e 
. A solução geral tem a forma 
.
Equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes
e lado direito especial
A solução geral da equação não homogênea linear (1) é igual à soma da solução geral 
equação homogênea correspondente e qualquer solução particular 
equação não homogênea: 
.
Em alguns casos, uma solução particular de uma equação não homogênea pode ser encontrada simplesmente pela forma do lado direito 
equações (1). Vamos considerar casos quando é possível.
Essa. o lado direito da equação não homogênea é um polinômio de grau m. Se um 
não é uma raiz da equação característica, então uma solução particular da equação não homogênea deve ser buscada na forma de um polinômio de grau m, ou seja
Chances 
são determinados no processo de encontrar uma solução particular.
Se 
é a raiz da equação característica, então uma solução particular da equação não homogênea deve ser procurada na forma
Exemplo 7
. Encontre a solução geral da equação diferencial 
.
Solução
. A equação homogênea correspondente para esta equação é 
. Sua equação característica 
tem raízes 
e 
. A solução geral da equação homogênea tem a forma 
.
Porque 
não é uma raiz da equação característica, então buscaremos uma solução particular da equação não homogênea na forma de uma função 
. Encontre as derivadas desta função 
,
e substitua-os nesta equação:
ou . Iguale os coeficientes em 
e membros gratuitos: 
Resolvendo este sistema, obtemos 
,
. Então uma solução particular da equação não homogênea tem a forma 
, e a solução geral desta equação não homogênea será a soma da solução geral da equação homogênea correspondente e a solução particular da equação não homogênea: 
.
Deixe a equação não homogênea ter a forma
Se um 
não é uma raiz da equação característica, então uma solução particular da equação não homogênea deve ser procurada na forma. Se 
é a raiz da equação de multiplicidade característica k
(k=1 ou k=2), então neste caso a solução particular da equação não homogênea terá a forma .
Exemplo 8
. Encontre a solução geral da equação diferencial 
.
Solução
. A equação característica para a equação homogênea correspondente tem a forma 
. suas raízes 
,
. Nesse caso, a solução geral da equação homogênea correspondente é escrita como 
.
Como o número 3 não é a raiz da equação característica, uma solução particular da equação não homogênea deve ser procurada na forma 
. Vamos encontrar derivadas de primeira e segunda ordem:,
Substituindo na equação diferencial: 
+
+,
+,.
Iguale os coeficientes em 
e membros gratuitos:
Daqui 
,
. Então uma solução particular desta equação tem a forma 
, e a solução geral
.
Método Lagrange de variação de constantes arbitrárias
O método de variação de constantes arbitrárias pode ser aplicado a qualquer equação linear não homogênea com coeficientes constantes, independentemente da forma do lado direito. Este método permite sempre encontrar uma solução geral para uma equação não homogênea se a solução geral da equação homogênea correspondente for conhecida.
Deixar 
e 
são soluções linearmente independentes da Eq. (2). Então a solução geral dessa equação é 
, Onde 
e 
são constantes arbitrárias. A essência do método de variação de constantes arbitrárias é que a solução geral da equação (1) é buscada na forma
Onde 
e 
- novos recursos desconhecidos a serem encontrados. Como existem duas funções desconhecidas, duas equações contendo essas funções são necessárias para encontrá-las. Essas duas equações formam o sistema
que é um sistema algébrico linear de equações em relação a 
e 
. Resolvendo este sistema, encontramos 
e 
. Integrando ambas as partes das igualdades obtidas, encontramos
e 
.
Substituindo essas expressões em (9), obtemos a solução geral da equação linear não homogênea (1).
Exemplo 9
. Encontre a solução geral da equação diferencial 
.
Solução.
A equação característica para a equação homogênea correspondente à equação diferencial dada é 
. Suas raízes são complexas 
,
. Porque 
e 
, então 
,
, e a solução geral da equação homogênea tem a forma Então a solução geral desta equação não homogênea será buscada na forma onde 
e 
- funções desconhecidas.
O sistema de equações para encontrar essas funções desconhecidas tem a forma
Resolvendo este sistema, encontramos 
,
. Então
,
. Vamos substituir as expressões obtidas na fórmula de solução geral:
Esta é a solução geral desta equação diferencial obtida pelo método de Lagrange.
Questões para o autocontrole do conhecimento
Qual equação diferencial é chamada de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes?
Qual equação diferencial linear é chamada de homogênea e qual é chamada de não homogênea?
Quais são as propriedades de uma equação linear homogênea?
Que equação é chamada de característica para uma equação diferencial linear e como ela é obtida?
De que forma a solução geral de uma equação diferencial homogênea linear com coeficientes constantes é escrita no caso de diferentes raízes da equação característica?
De que forma a solução geral de uma equação diferencial homogênea linear com coeficientes constantes é escrita no caso de raízes iguais da equação característica?
De que forma a solução geral de uma equação diferencial homogênea linear com coeficientes constantes é escrita no caso de raízes complexas da equação característica?
Como se escreve a solução geral de uma equação linear não homogênea?
De que forma uma solução particular de uma equação linear não homogênea é procurada se as raízes da equação característica são diferentes e não iguais a zero, e o lado direito da equação é um polinômio de grau m?
De que forma uma solução particular de uma equação linear não homogênea é procurada se houver um zero entre as raízes da equação característica e o lado direito da equação for um polinômio de grau m?
Qual é a essência do método de Lagrange?
