Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss. Suponha que precisamos encontrar uma solução para o sistema de n equações lineares com n variáveis desconhecidas
cujo determinante da matriz principal é diferente de zero.
A essência do método Gauss consiste em eliminar sequencialmente variáveis desconhecidas: primeiro eliminando x 1 de todas as equações do sistema, a partir da segunda, é ainda excluído x 2 de todas as equações, começando pela terceira, e assim por diante, até que apenas a variável desconhecida permaneça na última equação x n. Este processo de transformação das equações do sistema para eliminação sequencial variáveis desconhecidas são chamadas método gaussiano direto. Depois de completar a progressão direta do método gaussiano, da última equação encontramos x n, usando este valor da penúltima equação calculamos xn-1, e assim por diante, a partir da primeira equação encontramos x 1. O processo de cálculo de variáveis desconhecidas ao passar da última equação do sistema para a primeira é denominado inverso do método gaussiano.
Descrevemos brevemente o algoritmo para eliminar variáveis desconhecidas.
Assumiremos isso, já que sempre podemos conseguir isso reorganizando as equações do sistema. Elimine a variável desconhecida x 1 de todas as equações do sistema, começando pela segunda. Para fazer isso, à segunda equação do sistema adicionamos a primeira, multiplicada por , à terceira equação adicionamos a primeira, multiplicada por , e assim por diante, para enésimoà equação adicionamos o primeiro, multiplicado por . O sistema de equações após tais transformações assumirá a forma
onde e 
.
Chegaríamos ao mesmo resultado se expressássemos x 1 através de outras variáveis desconhecidas na primeira equação do sistema e a expressão resultante foi substituída em todas as outras equações. Então a variável x 1 excluído de todas as equações, a partir da segunda.
A seguir, procedemos de forma semelhante, mas apenas com parte do sistema resultante, que está marcado na figura 
Para fazer isso, à terceira equação do sistema adicionamos a segunda, multiplicada por , à quarta equação adicionamos a segunda, multiplicada por , e assim por diante, para enésimoà equação adicionamos a segunda, multiplicada por . O sistema de equações após tais transformações assumirá a forma 
onde e 
. Então a variável x 2 excluído de todas as equações a partir da terceira.
Em seguida, procedemos à eliminação do desconhecido x 3, neste caso agimos de forma semelhante com a parte do sistema marcada na figura 
Então continuamos a progressão direta do método gaussiano até que o sistema tome a forma 
A partir deste momento iniciamos o inverso do método gaussiano: calculamos x n da última equação como, usando o valor obtido x n nós achamos xn-1 da penúltima equação, e assim por diante, encontramos x 1 da primeira equação.
Exemplo.
Resolver sistema de equações lineares 
Método de Gauss.
Desde o início dos séculos XVI-XVIII, os matemáticos começaram a estudar intensamente as funções, graças às quais muita coisa mudou em nossas vidas. A tecnologia informática simplesmente não existiria sem esse conhecimento. Vários conceitos, teoremas e técnicas de solução foram criados para resolver problemas complexos, equações lineares e funções. Um desses métodos e técnicas universais e racionais para resolver equações lineares e seus sistemas foi o método de Gauss. Matrizes, sua classificação, determinantes - tudo pode ser calculado sem o uso de operações complexas.
Em matemática existe o conceito de SLAE - um sistema de linear equações algébricas. Como ela é? Este é um conjunto de m equações com as n quantidades desconhecidas desejadas, geralmente denotadas como x, y, z ou x 1, x 2 ... x n ou outros símbolos. Resolver um determinado sistema usando o método gaussiano significa encontrar todas as incógnitas desconhecidas. Se um sistema tiver o mesmo número de incógnitas e equações, então ele é chamado de sistema de enésima ordem.
Nas instituições de ensino do ensino secundário, são estudados vários métodos para resolver tais sistemas. Na maioria das vezes isso equações simples, consistindo em duas incógnitas, portanto, qualquer método existente para encontrar uma resposta para elas não levará muito tempo. Isto pode ser como um método de substituição, quando outro é derivado de uma equação e substituído na original. Ou o método de subtração e adição termo a termo. Mas o método Gauss é considerado o mais fácil e universal. Torna possível resolver equações com qualquer número de incógnitas. Por que esta técnica específica é considerada racional? É simples. Método matricial O bom é que não há necessidade de reescrever símbolos desnecessários várias vezes na forma de incógnitas; basta realizar operações aritméticas sobre os coeficientes - e você obterá um resultado confiável.
A solução para SLAEs são os pontos de intersecção das retas nos gráficos das funções. Em nossa era da informática de alta tecnologia, as pessoas intimamente associadas ao desenvolvimento de jogos e outros programas precisam saber como resolver tais sistemas, o que representam e como verificar a exatidão do resultado resultante. Na maioria das vezes, os programadores desenvolvem programas especiais de cálculo de álgebra linear, que também incluem um sistema de equações lineares. O método Gauss permite calcular todas as soluções existentes. Outras fórmulas e técnicas simplificadas também são utilizadas.
Tal sistema só pode ser resolvido se for compatível. Para maior clareza, vamos representar o SLAE na forma Ax=b. Tem uma solução se rang(A) for igual a rang(A,b). Neste caso, (A,b) é uma matriz de forma estendida que pode ser obtida da matriz A reescrevendo-a com termos livres. Acontece que resolver equações lineares usando o método gaussiano é bastante fácil.
Talvez algumas das notações não sejam totalmente claras, por isso é necessário considerar tudo com um exemplo. Digamos que exista um sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Consiste em apenas duas equações, nas quais existem 2 incógnitas. O sistema terá solução somente se o posto de sua matriz for igual ao posto da matriz estendida. O que é classificação? Este é o número de linhas independentes do sistema. No nosso caso, a classificação da matriz é 2. A matriz A consistirá em coeficientes localizados próximos às incógnitas, e os coeficientes localizados atrás do sinal “=” também caberão na matriz estendida.
Com base no critério de compatibilidade de acordo com o comprovado teorema de Kronecker-Capelli, um sistema de equações algébricas lineares pode ser representado em forma de matriz. Usando o método da cascata gaussiana, você pode resolver a matriz e obter uma única resposta confiável para todo o sistema. Se a classificação de uma matriz ordinária for igual à classificação de sua matriz estendida, mas for menor que o número de incógnitas, então o sistema terá um número infinito de respostas.
Antes de prosseguir para a resolução de matrizes, você precisa saber quais ações podem ser executadas em seus elementos. Existem várias transformações elementares:
A essência da resolução de sistemas lineares homogêneos e equações não homogêneas O método gaussiano consiste em eliminar gradualmente as incógnitas. Digamos que temos um sistema de duas equações em que existem duas incógnitas. Para encontrá-los, você precisa verificar a compatibilidade do sistema. A equação é resolvida de forma muito simples pelo método de Gauss. É necessário anotar os coeficientes localizados próximos a cada incógnita em forma de matriz. Para resolver o sistema, você precisará escrever a matriz estendida. Se uma das equações contiver um número menor de incógnitas, então “0” deve ser colocado no lugar do elemento faltante. Todos os métodos de transformação conhecidos são aplicados à matriz: multiplicação, divisão por um número, adição dos elementos correspondentes da série entre si e outros. Acontece que em cada linha é necessário deixar uma variável com o valor “1”, o restante deve ser reduzido a zero. Para uma compreensão mais precisa, é necessário considerar o método de Gauss com exemplos.
Para começar, tomemos um sistema simples de equações algébricas, no qual haverá 2 incógnitas.
Vamos reescrevê-lo em uma matriz estendida.
Para resolver este sistema de equações lineares, são necessárias apenas duas operações. Precisamos trazer a matriz para a forma canônica para que haja unidades ao longo da diagonal principal. Assim, transferindo da forma matricial de volta para o sistema, obtemos as equações: 1x+0y=b1 e 0x+1y=b2, onde b1 e b2 são as respostas resultantes no processo de solução.
Como podemos ver, nosso sistema foi resolvido pelo método Jordan-Gauss. Nós o reescrevemos na forma exigida: x=-5, y=7.
Suponha que tenhamos um sistema mais complexo de equações lineares. O método gaussiano permite calcular a resposta mesmo para o sistema aparentemente mais confuso. Portanto, para se aprofundar na metodologia de cálculo, você pode passar para um exemplo mais complexo com três incógnitas.
Como no exemplo anterior, reescrevemos o sistema na forma de uma matriz estendida e começamos a trazê-lo à sua forma canônica.
Para resolver este sistema, você precisará realizar muito mais ações do que no exemplo anterior.
Como você pode ver, resolver equações usando o método Gauss é bastante simples.
Alguns sistemas de equações mais complexos podem ser resolvidos pelo método Gaussiano usando programas de computador. É necessário inserir os coeficientes das incógnitas nas células vazias existentes, e o próprio programa calculará passo a passo o resultado desejado, descrevendo detalhadamente cada ação.
Descrito abaixo instrução passo a passo soluções para este exemplo.
Na primeira etapa, coeficientes livres e números para incógnitas são inseridos em células vazias. Assim, obtemos a mesma matriz estendida que escrevemos manualmente.
E todas as operações aritméticas necessárias são realizadas para trazer a matriz estendida à sua forma canônica. É preciso entender que a resposta a um sistema de equações nem sempre são números inteiros. Às vezes, a solução pode vir de números fracionários.
O método Jordan-Gauss permite verificar a exatidão do resultado. Para saber se os coeficientes foram calculados corretamente, basta substituir o resultado no sistema de equações original. Lado esquerdo a equação deve corresponder ao lado direito atrás do sinal de igual. Se as respostas não corresponderem, será necessário recalcular o sistema ou tentar aplicar a ele outro método de resolução de SLAEs que você conhece, como substituição ou subtração e adição termo a termo. Afinal, a matemática é uma ciência que possui um grande número de métodos de solução diferentes. Mas lembre-se: o resultado deve ser sempre o mesmo, independentemente do método de solução utilizado.
Ao resolver sistemas lineares de equações, erros ocorrem com mais frequência, como a transferência incorreta de coeficientes para a forma de matriz. Existem sistemas em que faltam algumas incógnitas em uma das equações, então, ao transferir os dados para uma matriz estendida, elas podem ser perdidas; Como resultado, ao resolver este sistema, o resultado pode não corresponder ao real.
Outro grande erro pode ser escrever incorretamente o resultado final. É necessário entender claramente que o primeiro coeficiente corresponderá à primeira incógnita do sistema, o segundo - à segunda, e assim por diante.
O método de Gauss descreve detalhadamente a solução de equações lineares. Graças a ele é fácil realizar as operações necessárias e encontrar o resultado correto. Além disso, é uma ferramenta universal para encontrar uma resposta confiável para equações de qualquer complexidade. Talvez seja por isso que é tão frequentemente usado na resolução de SLAEs.
Neste artigo, o método é considerado um método para resolução de sistemas de equações lineares (SLAEs). O método é analítico, ou seja, permite escrever um algoritmo de solução em visão geral e, em seguida, substitua os valores de exemplos específicos. Ao contrário do método matricial ou das fórmulas de Cramer, ao resolver um sistema de equações lineares pelo método de Gauss, você também pode trabalhar com aquelas que possuem um número infinito de soluções. Ou eles não têm nada.
Primeiro, precisamos escrever nosso sistema de equações assim. Pegue o sistema:
Os coeficientes são escritos em forma de tabela e os termos livres são escritos em uma coluna separada à direita. A coluna com termos livres é separada por conveniência. A matriz que inclui esta coluna é chamada de estendida.
A seguir, a matriz principal com coeficientes deve ser reduzida a uma forma triangular superior. Este é o ponto principal da resolução do sistema pelo método gaussiano. Simplificando, após certas manipulações, a matriz deve parecer que sua parte inferior esquerda contém apenas zeros:
Então, se você escrever a nova matriz novamente como um sistema de equações, notará que a última linha já contém o valor de uma das raízes, que é então substituída na equação acima, outra raiz é encontrada e assim por diante.
Esta é uma descrição da solução pelo método gaussiano da forma mais linhas gerais. O que acontece se de repente o sistema não tiver solução? Ou existem infinitos deles? Para responder a estas e muitas outras questões, é necessário considerar separadamente todos os elementos utilizados na resolução do método gaussiano.
Nenhum significado oculto não na matriz. Esta é simplesmente uma maneira conveniente de registrar dados para operações subsequentes. Mesmo as crianças em idade escolar não precisam ter medo deles.
A matriz é sempre retangular, porque é mais conveniente. Mesmo no método de Gauss, onde tudo se resume a construir uma matriz de forma triangular, aparece um retângulo na entrada, apenas com zeros no local onde não há números. Zeros podem não ser escritos, mas estão implícitos.
A matriz tem um tamanho. Sua “largura” é o número de linhas (m), “comprimento” é o número de colunas (n). Então, o tamanho da matriz A (geralmente são usadas letras latinas maiúsculas para denotá-las) será denotado como A m×n. Se m=n, então esta matriz é quadrada e m=n é sua ordem. Conseqüentemente, qualquer elemento da matriz A pode ser denotado por seus números de linha e coluna: a xy; x - número da linha, alterações, y - número da coluna, alterações.
B não é o ponto principal da decisão. Em princípio, todas as operações podem ser realizadas diretamente com as próprias equações, mas a notação será muito mais complicada e será muito mais fácil se confundir nela.
A matriz também tem um determinante. Esta é uma característica muito importante. Não há necessidade de descobrir seu significado agora; você pode simplesmente mostrar como ele é calculado e depois dizer quais propriedades da matriz ele determina. A maneira mais fácil de encontrar o determinante é através das diagonais. Diagonais imaginárias são desenhadas na matriz; multiplicam-se os elementos localizados em cada um deles e, em seguida, somam-se os produtos resultantes: diagonais com inclinação para a direita - com sinal de mais, com inclinação para a esquerda - com sinal de menos.
É extremamente importante notar que o determinante só pode ser calculado para uma matriz quadrada. Para uma matriz retangular, você pode fazer o seguinte: escolher o menor entre o número de linhas e o número de colunas (seja k) e, em seguida, marcar aleatoriamente k colunas e k linhas na matriz. Os elementos localizados na intersecção das colunas e linhas selecionadas formarão um novo matriz quadrada. Se o determinante de tal matriz for um número diferente de zero, ele será chamado de base menor da matriz retangular original.
Antes de começar a resolver um sistema de equações usando o método gaussiano, não custa nada calcular o determinante. Se for zero, podemos dizer imediatamente que a matriz tem um número infinito de soluções ou nenhuma. Em um caso tão triste, você precisa ir mais longe e descobrir a classificação da matriz.
Existe algo como a classificação de uma matriz. Esta é a ordem máxima de seu determinante diferente de zero (se lembrarmos da base menor, podemos dizer que o posto de uma matriz é a ordem da base menor).
Com base na situação com classificação, o SLAE pode ser dividido em:
O método de Gauss é bom porque durante a solução permite obter ou uma prova inequívoca da inconsistência do sistema (sem calcular os determinantes de grandes matrizes), ou uma solução de forma geral para um sistema com um número infinito de soluções.
Antes de prosseguir diretamente para a resolução do sistema, você pode torná-lo menos complicado e mais conveniente para os cálculos. Isto é conseguido através de transformações elementares - tais que a sua implementação não altera em nada a resposta final. Deve-se notar que algumas das transformações elementares fornecidas são válidas apenas para matrizes cuja fonte foi o SLAE. Aqui está uma lista dessas transformações:
Para facilitar o entendimento, vale a pena detalhar esse processo passo a passo. Duas linhas são retiradas da matriz:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b2
Digamos que você precise somar o primeiro ao segundo, multiplicado pelo coeficiente "-2".
uma" 21 = uma 21 + -2×uma 11
uma" 22 = uma 22 + -2×uma 12
uma" 2n = uma 2n + -2×uma 1n
Em seguida, a segunda linha da matriz é substituída por uma nova e a primeira permanece inalterada.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Deve-se notar que o coeficiente de multiplicação pode ser selecionado de forma que, ao somar duas linhas, um dos elementos da nova linha seja igual a zero. Portanto, é possível obter uma equação em um sistema onde haverá uma incógnita a menos. E se você obtiver duas dessas equações, a operação poderá ser feita novamente e obter uma equação que conterá duas incógnitas a menos. E se cada vez que você transformar um coeficiente de todas as linhas que estão abaixo do original para zero, então você pode, como uma escada, descer até a parte inferior da matriz e obter uma equação com uma incógnita. Isso é chamado de resolução do sistema usando o método gaussiano.
Que haja um sistema. Tem m equações e n raízes desconhecidas. Você pode escrever da seguinte maneira:
A matriz principal é compilada a partir dos coeficientes do sistema. Uma coluna de termos livres é adicionada à matriz estendida e, por conveniência, separada por uma linha.
Agora a mesma série de transformações é executada, apenas a primeira e a terceira linhas estão envolvidas. Conseqüentemente, em cada etapa do algoritmo, o elemento 21 é substituído por 31. Aí tudo se repete para um 41, ... um m1. O resultado é uma matriz onde o primeiro elemento das linhas é zero. Agora você precisa esquecer a linha número um e executar o mesmo algoritmo, começando pela linha dois:
O algoritmo deve ser repetido até que o coeficiente k = (-a m,m-1 /a mm) apareça. Isto significa que em última vez o algoritmo foi executado apenas para a equação inferior. Agora a matriz se parece com um triângulo ou tem uma forma escalonada. Na linha inferior há a igualdade a mn × x n = b m. O coeficiente e o termo livre são conhecidos, e a raiz é expressa através deles: x n = b m /a mn. A raiz resultante é substituída na linha superior para encontrar x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. E assim por diante, por analogia: em cada linha seguinte há uma nova raiz e, chegando ao “topo” do sistema, você pode encontrar muitas soluções. Será o único.
Se em uma das linhas da matriz todos os elementos, exceto o termo livre, forem iguais a zero, então a equação correspondente a esta linha será semelhante a 0 = b. Não tem solução. E como tal equação está incluída no sistema, então o conjunto de soluções de todo o sistema é vazio, ou seja, é degenerado.
Pode acontecer que na matriz triangular dada não existam linhas com um elemento coeficiente da equação e um termo livre. Existem apenas linhas que, quando reescritas, pareceriam uma equação com duas ou mais variáveis. Isso significa que o sistema possui um número infinito de soluções. Neste caso, a resposta pode ser dada na forma de uma solução geral. Como fazer isso?
Todas as variáveis da matriz são divididas em básicas e livres. Os básicos são aqueles que ficam “na borda” das linhas da matriz escalonada. O resto é gratuito. Na solução geral, as variáveis básicas são escritas através de variáveis livres.
Por conveniência, a matriz é primeiro reescrita em um sistema de equações. Então, no último deles, onde exatamente resta apenas uma variável básica, ela fica de um lado e todo o resto é transferido para o outro. Isso é feito para cada equação com uma variável básica. Então, nas demais equações, sempre que possível, a expressão obtida para ela é substituída no lugar da variável básica. Se o resultado for novamente uma expressão contendo apenas uma variável básica, ele será novamente expresso a partir daí, e assim por diante, até que cada variável básica seja escrita como uma expressão com variáveis livres. É isso que é decisão comum SLAU.
Você também pode encontrar a solução básica do sistema - fornecer quaisquer valores às variáveis livres e, para este caso específico, calcular os valores das variáveis básicas. Há um número infinito de soluções particulares que podem ser dadas.
Aqui está um sistema de equações.
Por conveniência, é melhor criar imediatamente sua matriz
Sabe-se que quando resolvida pelo método gaussiano, a equação correspondente à primeira linha permanecerá inalterada ao final das transformações. Portanto, será mais lucrativo se o elemento superior esquerdo da matriz for o menor - então os primeiros elementos das linhas restantes após as operações serão zero. Isto significa que na matriz compilada será vantajoso colocar a segunda linha no lugar da primeira.
segunda linha: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
uma" 21 = uma 21 + k×uma 11 = 3 + (-3)×1 = 0
uma" 22 = uma 22 + k×uma 12 = -1 + (-3)×2 = -7
uma" 23 = uma 23 + k×uma 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
terceira linha: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
uma" 3 1 = uma 3 1 + k×uma 11 = 5 + (-5)×1 = 0
uma" 3 2 = uma 3 2 + k×uma 12 = 1 + (-5)×2 = -9
uma" 3 3 = uma 33 + k×uma 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Agora, para não se confundir, é preciso escrever uma matriz com os resultados intermediários das transformações.
Obviamente, tal matriz pode se tornar mais conveniente para a percepção usando certas operações. Por exemplo, você pode remover todos os “menos” da segunda linha multiplicando cada elemento por “-1”.
É importante notar também que na terceira linha todos os elementos são múltiplos de três. Então você pode encurtar a string por este número, multiplicando cada elemento por "-1/3" (menos - ao mesmo tempo, para remover valores negativos).
Parece muito melhor. Agora precisamos deixar a primeira linha de lado e trabalhar com a segunda e a terceira. A tarefa é somar a segunda linha à terceira linha, multiplicada por tal coeficiente que o elemento a 32 se torne igual a zero.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (se durante algumas transformações a resposta não for um número inteiro, é recomendável manter a precisão dos cálculos para sair é “como está”, na forma fração comum, e só então, quando as respostas forem recebidas, decidir se deve arredondar e converter para outra forma de gravação)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
A matriz é escrita novamente com novos valores.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Como você pode ver, a matriz resultante já possui uma forma escalonada. Portanto, não são necessárias transformações adicionais do sistema usando o método gaussiano. O que você pode fazer aqui é remover o coeficiente geral “-1/7” da terceira linha.
Agora está tudo lindo. Tudo o que resta fazer é escrever novamente a matriz na forma de um sistema de equações e calcular as raízes
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
O algoritmo pelo qual as raízes serão agora encontradas é chamado de movimento reverso no método gaussiano. A equação (3) contém o valor z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
E a primeira equação nos permite encontrar x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Temos o direito de chamar tal sistema de conjunto, e até de definitivo, ou seja, que possui uma solução única. A resposta está escrita da seguinte forma:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Foi analisada a variante de resolver um determinado sistema pelo método de Gauss, agora é necessário considerar o caso se o sistema for incerto, ou seja, podem ser encontradas infinitas soluções para ele;
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
A própria aparência do sistema já é alarmante, pois o número de incógnitas é n = 5, e o posto da matriz do sistema já é exatamente menor que esse número, pois o número de linhas é m = 4, ou seja, a ordem mais alta do quadrado determinante é 4. Isso significa que há um número infinito de soluções e você precisa procurar sua aparência geral. O método Gauss para equações lineares permite fazer isso.
Primeiro, como sempre, uma matriz estendida é compilada.
Segunda linha: coeficiente k = (-a 21 /a 11) = -3. Na terceira linha, o primeiro elemento está antes das transformações, então não precisa mexer em nada, precisa deixar como está. Quarta linha: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Multiplicando os elementos da primeira linha por cada um de seus coeficientes e adicionando-os às linhas necessárias, obtemos uma matriz com a seguinte forma:
Como você pode ver, a segunda, terceira e quarta linhas consistem em elementos proporcionais entre si. O segundo e o quarto são geralmente idênticos, então um deles pode ser removido imediatamente e o restante pode ser multiplicado pelo coeficiente “-1” e obter a linha número 3. E novamente, de duas linhas idênticas, deixe uma.
O resultado é uma matriz como esta. Embora o sistema ainda não tenha sido escrito, é necessário determinar aqui as variáveis básicas - aquelas que estão nos coeficientes a 11 = 1 e a 22 = 1, e as livres - todo o resto.
Na segunda equação existe apenas uma variável básica - x 2. Isso significa que pode ser expresso a partir daí escrevendo-o através das variáveis x 3 , x 4 , x 5 , que são gratuitas.
Substituímos a expressão resultante na primeira equação.
O resultado é uma equação na qual a única variável básica é x 1 . Vamos fazer o mesmo com x 2.
Todas as variáveis básicas, das quais existem duas, são expressas em termos de três variáveis livres, agora você pode escrever a resposta de forma geral.
Você também pode especificar uma das soluções específicas do sistema. Para tais casos, zeros são geralmente escolhidos como valores para variáveis livres. Então a resposta será:
16, 23, 0, 0, 0.
Resolver sistemas de equações incompatíveis usando o método Gauss é o mais rápido. Termina imediatamente assim que em uma das etapas for obtida uma equação que não tem solução. Ou seja, elimina-se a etapa de cálculo das raízes, bastante longa e tediosa. O seguinte sistema é considerado:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Como de costume, a matriz é compilada:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
E é reduzido a uma forma gradual:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Após a primeira transformação, a terceira linha contém uma equação da forma
sem solução. Conseqüentemente, o sistema é inconsistente e a resposta será o conjunto vazio.
Se você escolher qual método para resolver SLAEs no papel com uma caneta, o método discutido neste artigo parecerá o mais atraente. É muito mais difícil ficar confuso em transformações elementares do que se você tiver que procurar manualmente um determinante ou alguma matriz inversa complicada. Porém, se você utiliza programas para trabalhar com dados desse tipo, por exemplo, planilhas, verifica-se que tais programas já contêm algoritmos para cálculo dos principais parâmetros de matrizes - determinante, menores, inversos e assim por diante. E se você tem certeza de que a própria máquina calculará esses valores e não cometerá erros, é mais aconselhável usar método matricial ou fórmulas de Cramer, porque sua aplicação começa e termina com o cálculo de determinantes e matrizes inversas.
Como a solução gaussiana é um algoritmo e a matriz é na verdade um array bidimensional, ela pode ser usada em programação. Mas como o artigo se posiciona como um guia “para manequins”, deve-se dizer que o lugar mais fácil para colocar o método são planilhas, por exemplo, Excel. Novamente, qualquer SLAE inserido em uma tabela na forma de matriz será considerado pelo Excel como uma matriz bidimensional. E para operações com eles existem muitos comandos interessantes: adição (você só pode adicionar matrizes do mesmo tamanho!), multiplicação por um número, multiplicação de matrizes (também com certas restrições), encontrar as matrizes inversas e transpostas e, o mais importante , calculando o determinante. Se esta tarefa demorada for substituída por um único comando, é possível determinar a classificação da matriz com muito mais rapidez e, assim, estabelecer sua compatibilidade ou incompatibilidade.
Neste artigo, o método é considerado um método para resolução de sistemas de equações lineares (SLAEs). O método é analítico, ou seja, permite escrever um algoritmo de solução de forma geral e aí substituir valores de exemplos específicos. Ao contrário do método matricial ou das fórmulas de Cramer, ao resolver um sistema de equações lineares pelo método de Gauss, você também pode trabalhar com aquelas que possuem um número infinito de soluções. Ou eles não têm nada.
Primeiro, precisamos escrever nosso sistema de equações assim. Pegue o sistema:
Os coeficientes são escritos em forma de tabela e os termos livres são escritos em uma coluna separada à direita. A coluna com termos livres é separada por conveniência. A matriz que inclui esta coluna é chamada de estendida.
A seguir, a matriz principal com coeficientes deve ser reduzida a uma forma triangular superior. Este é o ponto principal da resolução do sistema pelo método gaussiano. Simplificando, após certas manipulações, a matriz deve parecer que sua parte inferior esquerda contém apenas zeros:
Então, se você escrever a nova matriz novamente como um sistema de equações, notará que a última linha já contém o valor de uma das raízes, que é então substituída na equação acima, outra raiz é encontrada e assim por diante.
Esta é uma descrição da solução pelo método gaussiano nos termos mais gerais. O que acontece se de repente o sistema não tiver solução? Ou existem infinitos deles? Para responder a estas e muitas outras questões, é necessário considerar separadamente todos os elementos utilizados na resolução do método gaussiano.
Não há significado oculto na matriz. Esta é simplesmente uma maneira conveniente de registrar dados para operações subsequentes. Mesmo as crianças em idade escolar não precisam ter medo deles.
A matriz é sempre retangular, porque é mais conveniente. Mesmo no método de Gauss, onde tudo se resume a construir uma matriz de forma triangular, aparece um retângulo na entrada, apenas com zeros no local onde não há números. Zeros podem não ser escritos, mas estão implícitos.
A matriz tem um tamanho. Sua “largura” é o número de linhas (m), “comprimento” é o número de colunas (n). Então, o tamanho da matriz A (geralmente são usadas letras latinas maiúsculas para denotá-las) será denotado como A m×n. Se m=n, então esta matriz é quadrada e m=n é sua ordem. Conseqüentemente, qualquer elemento da matriz A pode ser denotado por seus números de linha e coluna: a xy; x - número da linha, alterações, y - número da coluna, alterações.
B não é o ponto principal da decisão. Em princípio, todas as operações podem ser realizadas diretamente com as próprias equações, mas a notação será muito mais complicada e será muito mais fácil se confundir nela.
A matriz também tem um determinante. Esta é uma característica muito importante. Não há necessidade de descobrir seu significado agora; você pode simplesmente mostrar como ele é calculado e depois dizer quais propriedades da matriz ele determina. A maneira mais fácil de encontrar o determinante é através das diagonais. Diagonais imaginárias são desenhadas na matriz; multiplicam-se os elementos localizados em cada um deles e, em seguida, somam-se os produtos resultantes: diagonais com inclinação para a direita - com sinal de mais, com inclinação para a esquerda - com sinal de menos.
É extremamente importante notar que o determinante só pode ser calculado para uma matriz quadrada. Para uma matriz retangular, você pode fazer o seguinte: escolher o menor entre o número de linhas e o número de colunas (seja k) e, em seguida, marcar aleatoriamente k colunas e k linhas na matriz. Os elementos na intersecção das colunas e linhas selecionadas formarão uma nova matriz quadrada. Se o determinante de tal matriz for um número diferente de zero, ele será chamado de base menor da matriz retangular original.
Antes de começar a resolver um sistema de equações usando o método gaussiano, não custa nada calcular o determinante. Se for zero, podemos dizer imediatamente que a matriz tem um número infinito de soluções ou nenhuma. Em um caso tão triste, você precisa ir mais longe e descobrir a classificação da matriz.
Existe algo como a classificação de uma matriz. Esta é a ordem máxima de seu determinante diferente de zero (se lembrarmos da base menor, podemos dizer que o posto de uma matriz é a ordem da base menor).
Com base na situação com classificação, o SLAE pode ser dividido em:
O método de Gauss é bom porque durante a solução permite obter ou uma prova inequívoca da inconsistência do sistema (sem calcular os determinantes de grandes matrizes), ou uma solução de forma geral para um sistema com um número infinito de soluções.
Antes de prosseguir diretamente para a resolução do sistema, você pode torná-lo menos complicado e mais conveniente para os cálculos. Isto é conseguido através de transformações elementares - tais que a sua implementação não altera em nada a resposta final. Deve-se notar que algumas das transformações elementares fornecidas são válidas apenas para matrizes cuja fonte foi o SLAE. Aqui está uma lista dessas transformações:
Para facilitar o entendimento, vale a pena detalhar esse processo passo a passo. Duas linhas são retiradas da matriz:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b2
Digamos que você precise somar o primeiro ao segundo, multiplicado pelo coeficiente "-2".
uma" 21 = uma 21 + -2×uma 11
uma" 22 = uma 22 + -2×uma 12
uma" 2n = uma 2n + -2×uma 1n
Em seguida, a segunda linha da matriz é substituída por uma nova e a primeira permanece inalterada.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Deve-se notar que o coeficiente de multiplicação pode ser selecionado de forma que, ao somar duas linhas, um dos elementos da nova linha seja igual a zero. Portanto, é possível obter uma equação em um sistema onde haverá uma incógnita a menos. E se você obtiver duas dessas equações, a operação poderá ser feita novamente e obter uma equação que conterá duas incógnitas a menos. E se cada vez que você transformar um coeficiente de todas as linhas que estão abaixo do original para zero, então você pode, como uma escada, descer até a parte inferior da matriz e obter uma equação com uma incógnita. Isso é chamado de resolução do sistema usando o método gaussiano.
Que haja um sistema. Tem m equações e n raízes desconhecidas. Você pode escrever da seguinte maneira:
A matriz principal é compilada a partir dos coeficientes do sistema. Uma coluna de termos livres é adicionada à matriz estendida e, por conveniência, separada por uma linha.
Agora a mesma série de transformações é executada, apenas a primeira e a terceira linhas estão envolvidas. Conseqüentemente, em cada etapa do algoritmo, o elemento 21 é substituído por 31. Aí tudo se repete para um 41, ... um m1. O resultado é uma matriz onde o primeiro elemento das linhas é zero. Agora você precisa esquecer a linha número um e executar o mesmo algoritmo, começando pela linha dois:
O algoritmo deve ser repetido até que o coeficiente k = (-a m,m-1 /a mm) apareça. Isso significa que a última vez que o algoritmo foi executado foi apenas para a equação inferior. Agora a matriz se parece com um triângulo ou tem uma forma escalonada. Na linha inferior há a igualdade a mn × x n = b m. O coeficiente e o termo livre são conhecidos, e a raiz é expressa através deles: x n = b m /a mn. A raiz resultante é substituída na linha superior para encontrar x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. E assim por diante, por analogia: em cada linha seguinte há uma nova raiz e, chegando ao “topo” do sistema, você pode encontrar muitas soluções. Será o único.
Se em uma das linhas da matriz todos os elementos, exceto o termo livre, forem iguais a zero, então a equação correspondente a esta linha será semelhante a 0 = b. Não tem solução. E como tal equação está incluída no sistema, então o conjunto de soluções de todo o sistema é vazio, ou seja, é degenerado.
Pode acontecer que na matriz triangular dada não existam linhas com um elemento coeficiente da equação e um termo livre. Existem apenas linhas que, quando reescritas, pareceriam uma equação com duas ou mais variáveis. Isso significa que o sistema possui um número infinito de soluções. Neste caso, a resposta pode ser dada na forma de uma solução geral. Como fazer isso?
Todas as variáveis da matriz são divididas em básicas e livres. Os básicos são aqueles que ficam “na borda” das linhas da matriz escalonada. O resto é gratuito. Na solução geral, as variáveis básicas são escritas através de variáveis livres.
Por conveniência, a matriz é primeiro reescrita em um sistema de equações. Então, no último deles, onde exatamente resta apenas uma variável básica, ela fica de um lado e todo o resto é transferido para o outro. Isso é feito para cada equação com uma variável básica. Então, nas demais equações, sempre que possível, a expressão obtida para ela é substituída no lugar da variável básica. Se o resultado for novamente uma expressão contendo apenas uma variável básica, ele será novamente expresso a partir daí, e assim por diante, até que cada variável básica seja escrita como uma expressão com variáveis livres. Esta é a solução geral do SLAE.
Você também pode encontrar a solução básica do sistema - fornecer quaisquer valores às variáveis livres e, para este caso específico, calcular os valores das variáveis básicas. Há um número infinito de soluções particulares que podem ser dadas.
Aqui está um sistema de equações.
Por conveniência, é melhor criar imediatamente sua matriz
Sabe-se que quando resolvida pelo método gaussiano, a equação correspondente à primeira linha permanecerá inalterada ao final das transformações. Portanto, será mais lucrativo se o elemento superior esquerdo da matriz for o menor - então os primeiros elementos das linhas restantes após as operações serão zero. Isto significa que na matriz compilada será vantajoso colocar a segunda linha no lugar da primeira.
segunda linha: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
uma" 21 = uma 21 + k×uma 11 = 3 + (-3)×1 = 0
uma" 22 = uma 22 + k×uma 12 = -1 + (-3)×2 = -7
uma" 23 = uma 23 + k×uma 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
terceira linha: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
uma" 3 1 = uma 3 1 + k×uma 11 = 5 + (-5)×1 = 0
uma" 3 2 = uma 3 2 + k×uma 12 = 1 + (-5)×2 = -9
uma" 3 3 = uma 33 + k×uma 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Agora, para não se confundir, é preciso escrever uma matriz com os resultados intermediários das transformações.
Obviamente, tal matriz pode se tornar mais conveniente para a percepção usando certas operações. Por exemplo, você pode remover todos os “menos” da segunda linha multiplicando cada elemento por “-1”.
É importante notar também que na terceira linha todos os elementos são múltiplos de três. Então você pode encurtar a string por este número, multiplicando cada elemento por "-1/3" (menos - ao mesmo tempo, para remover valores negativos).
Parece muito melhor. Agora precisamos deixar a primeira linha de lado e trabalhar com a segunda e a terceira. A tarefa é somar a segunda linha à terceira linha, multiplicada por tal coeficiente que o elemento a 32 se torne igual a zero.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (se durante algumas transformações a resposta não for um número inteiro, é recomendável manter a precisão dos cálculos para sair é “como está”, na forma de frações ordinárias, e só então, quando as respostas forem recebidas, decida se deve arredondar e converter para outra forma de gravação)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
A matriz é escrita novamente com novos valores.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Como você pode ver, a matriz resultante já possui uma forma escalonada. Portanto, não são necessárias transformações adicionais do sistema usando o método gaussiano. O que você pode fazer aqui é remover o coeficiente geral “-1/7” da terceira linha.
Agora está tudo lindo. Tudo o que resta fazer é escrever novamente a matriz na forma de um sistema de equações e calcular as raízes
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
O algoritmo pelo qual as raízes serão agora encontradas é chamado de movimento reverso no método gaussiano. A equação (3) contém o valor z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
E a primeira equação nos permite encontrar x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Temos o direito de chamar tal sistema de conjunto, e até de definitivo, ou seja, que possui uma solução única. A resposta está escrita da seguinte forma:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Foi analisada a variante de resolver um determinado sistema pelo método de Gauss, agora é necessário considerar o caso se o sistema for incerto, ou seja, podem ser encontradas infinitas soluções para ele;
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
A própria aparência do sistema já é alarmante, pois o número de incógnitas é n = 5, e o posto da matriz do sistema já é exatamente menor que esse número, pois o número de linhas é m = 4, ou seja, a ordem mais alta do quadrado determinante é 4. Isso significa que há um número infinito de soluções e você precisa procurar sua aparência geral. O método Gauss para equações lineares permite fazer isso.
Primeiro, como sempre, uma matriz estendida é compilada.
Segunda linha: coeficiente k = (-a 21 /a 11) = -3. Na terceira linha, o primeiro elemento está antes das transformações, então não precisa mexer em nada, precisa deixar como está. Quarta linha: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Multiplicando os elementos da primeira linha por cada um de seus coeficientes e adicionando-os às linhas necessárias, obtemos uma matriz com a seguinte forma:
Como você pode ver, a segunda, terceira e quarta linhas consistem em elementos proporcionais entre si. O segundo e o quarto são geralmente idênticos, então um deles pode ser removido imediatamente e o restante pode ser multiplicado pelo coeficiente “-1” e obter a linha número 3. E novamente, de duas linhas idênticas, deixe uma.
O resultado é uma matriz como esta. Embora o sistema ainda não tenha sido escrito, é necessário determinar aqui as variáveis básicas - aquelas que estão nos coeficientes a 11 = 1 e a 22 = 1, e as livres - todo o resto.
Na segunda equação existe apenas uma variável básica - x 2. Isso significa que pode ser expresso a partir daí escrevendo-o através das variáveis x 3 , x 4 , x 5 , que são gratuitas.
Substituímos a expressão resultante na primeira equação.
O resultado é uma equação na qual a única variável básica é x 1 . Vamos fazer o mesmo com x 2.
Todas as variáveis básicas, das quais existem duas, são expressas em termos de três variáveis livres, agora você pode escrever a resposta de forma geral.
Você também pode especificar uma das soluções específicas do sistema. Para tais casos, zeros são geralmente escolhidos como valores para variáveis livres. Então a resposta será:
16, 23, 0, 0, 0.
Resolver sistemas de equações incompatíveis usando o método Gauss é o mais rápido. Termina imediatamente assim que em uma das etapas for obtida uma equação que não tem solução. Ou seja, elimina-se a etapa de cálculo das raízes, bastante longa e tediosa. O seguinte sistema é considerado:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Como de costume, a matriz é compilada:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
E é reduzido a uma forma gradual:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Após a primeira transformação, a terceira linha contém uma equação da forma
sem solução. Conseqüentemente, o sistema é inconsistente e a resposta será o conjunto vazio.
Se você escolher qual método para resolver SLAEs no papel com uma caneta, o método discutido neste artigo parecerá o mais atraente. É muito mais difícil ficar confuso em transformações elementares do que se você tiver que procurar manualmente um determinante ou alguma matriz inversa complicada. Porém, se você utiliza programas para trabalhar com dados desse tipo, por exemplo, planilhas, verifica-se que tais programas já contêm algoritmos para cálculo dos principais parâmetros de matrizes - determinante, menores, inversos e assim por diante. E se você tem certeza de que a própria máquina calculará esses valores e não cometerá erros, é mais aconselhável utilizar o método matricial ou as fórmulas de Cramer, pois sua aplicação começa e termina com o cálculo de determinantes e matrizes inversas .
Como a solução gaussiana é um algoritmo e a matriz é na verdade um array bidimensional, ela pode ser usada em programação. Mas como o artigo se posiciona como um guia “para manequins”, deve-se dizer que o lugar mais fácil para colocar o método são planilhas, por exemplo, Excel. Novamente, qualquer SLAE inserido em uma tabela na forma de matriz será considerado pelo Excel como uma matriz bidimensional. E para operações com eles existem muitos comandos interessantes: adição (você só pode adicionar matrizes do mesmo tamanho!), multiplicação por um número, multiplicação de matrizes (também com certas restrições), encontrar as matrizes inversas e transpostas e, o mais importante , calculando o determinante. Se esta tarefa demorada for substituída por um único comando, é possível determinar a classificação da matriz com muito mais rapidez e, assim, estabelecer sua compatibilidade ou incompatibilidade.
Carl Friedrich Gauss, maior matemático por muito tempo hesitou, escolhendo entre filosofia e matemática. Talvez tenha sido precisamente essa mentalidade que lhe permitiu deixar um “legado” tão notável na ciência mundial. Em particular, ao criar o "Método Gauss" ...
Durante quase 4 anos, os artigos deste site trataram da educação escolar, principalmente do ponto de vista da filosofia, dos princípios da (des)compreensão introduzidos na mente das crianças. Está chegando a hora de mais detalhes, exemplos e métodos... Acredito que esta é exatamente a abordagem do familiar, confuso e importanteáreas da vida dá melhores resultados.
Nós, pessoas, somos projetados de tal maneira que não importa o quanto falemos sobre pensamento abstrato, Mas entendimento Sempre acontece através de exemplos. Se não houver exemplos, então é impossível compreender os princípios... Assim como é impossível chegar ao topo de uma montanha, exceto percorrendo toda a encosta desde o pé.
O mesmo acontece com a escola: por enquanto histórias vivas Não basta que continuemos instintivamente a considerá-lo um lugar onde as crianças são ensinadas a compreender.
Por exemplo, ensinar o método gaussiano...
Deixe-me fazer uma reserva desde já: o método de Gauss tem uma aplicação muito mais ampla, por exemplo, na resolução sistemas de equações lineares. O que falaremos acontece na 5ª série. Esse iniciado, tendo compreendido isso, fica muito mais fácil entender as “opções mais avançadas”. Neste artigo estamos falando sobre Método (método) de Gauss para encontrar a soma de uma série
Aqui está um exemplo que trouxe da escola filho mais novo, cursando a 5ª série em um ginásio de Moscou.
Professor de matemática usando quadro interativo (métodos modernos treinamento) mostrou às crianças uma apresentação da história da “criação do método” pelo pequeno Gauss.
O professor da escola chicoteou o pequeno Karl (um método ultrapassado, não usado nas escolas hoje em dia) porque ele
em vez de adicionar números sequencialmente de 1 a 100, encontre sua soma percebido que pares de números igualmente espaçados das bordas de uma progressão aritmética somam o mesmo número. por exemplo, 100 e 1, 99 e 2. Depois de contar o número desses pares, o pequeno Gauss resolveu quase instantaneamente o problema proposto pelo professor. Pelo que foi executado diante de um público atônito. Para que outros fossem desencorajados de pensar.
O que o pequeno Gauss fez? desenvolvido sentido numérico? Percebido algum recurso série numérica com passo constante (progressão aritmética). E exatamente isso mais tarde fez dele um grande cientista, quem sabe perceber, tendo sentimento, instinto de compreensão.
É por isso que a matemática é valiosa, desenvolvendo capacidade de ver geral em particular - pensamento abstrato. Portanto, a maioria dos pais e empregadores consideram instintivamente a matemática uma disciplina importante ...
“A matemática deve então ser ensinada, porque põe a mente em ordem.
M.V.Lomonosov".
Porém, os seguidores daqueles que açoitaram os futuros gênios com varas transformaram o Método em algo oposto. Como disse meu supervisor há 35 anos: “A questão foi aprendida”. Ou como meu filho mais novo disse ontem sobre o método de Gauss: “Talvez não valha a pena fazer disso uma grande ciência, hein?”
As consequências da criatividade dos “cientistas” são visíveis no nível da matemática escolar atual, no nível do seu ensino e na compreensão da “Rainha das Ciências” pela maioria.
Porém, vamos continuar...
Um professor de matemática de um ginásio de Moscou, explicando o método Gauss segundo Vilenkin, complicou a tarefa.
E se a diferença (passo) de uma progressão aritmética não for um, mas outro número? Por exemplo, 20.
O problema que ele deu aos alunos da quinta série:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Antes de conhecer o método do ginásio, vamos dar uma olhada na Internet: como fazem os professores e tutores de matemática?..
Um conhecido tutor em seu canal no YOUTUBE apresenta o seguinte raciocínio:
"vamos escrever os números de 1 a 100 da seguinte forma:
primeiro uma série de números de 1 a 50, e logo abaixo dela outra série de números de 50 a 100, mas na ordem inversa"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Observe: a soma de cada par de números das linhas superior e inferior é a mesma e é igual a 101! Vamos contar o número de pares, é 50 e multiplicar a soma de um par pelo número de pares! Voila: O a resposta está pronta!"
“Se você não conseguiu entender, não fique chateado!”, repetiu a professora três vezes durante a explicação. "Você fará esse método no 9º ano!"
Outro tutor, menos conhecido (a julgar pelo número de visualizações), adota uma abordagem mais científica, oferecendo um algoritmo de solução de 5 pontos que deve ser preenchido sequencialmente.
Para os não iniciados, 5 é um dos números de Fibonacci tradicionalmente considerados mágicos. Um método de 5 passos é sempre mais científico do que um método de 6 passos, por exemplo. ...E isso dificilmente é um acidente, muito provavelmente, o Autor é um defensor oculto da teoria de Fibonacci
Dana progressão aritmética: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Ao mesmo tempo, você precisa se lembrar mais uma regra : devemos adicionar um ao quociente resultante: caso contrário, obteremos um resultado menor em um que o número real de pares: 42 + 1 = 43.
Esta é a soma necessária da progressão aritmética de 4 a 256 com uma diferença de 6!
Veja como resolver o problema de encontrar a soma de uma série:
20+40+60+ ... +460+480+500
na 5ª série de um ginásio de Moscou, livro didático de Vilenkin (de acordo com meu filho).
Após a apresentação, o professor de matemática mostrou alguns exemplos do método gaussiano e deu à turma a tarefa de encontrar a soma dos números de uma série em incrementos de 20.
Isso exigia o seguinte:
Como você pode ver, isso é mais compacto e técnica eficaz: o número 3 também é membro da sequência de Fibonacci
O grande matemático certamente teria escolhido a filosofia se tivesse previsto em que seu “método” seria transformado por seus seguidores Professor de alemão, que açoitou Karl com varas. Ele teria visto o simbolismo, a espiral dialética e a imorredoura estupidez dos “professores”, tentando medir a harmonia do pensamento matemático vivo com a álgebra da incompreensão ....
A propósito: você sabia. que o nosso sistema educativo está enraizado na escola alemã dos séculos XVIII e XIX?
Mas Gauss escolheu a matemática.
Qual é a essência do seu método?
EM simplificação. EM observando e compreendendo padrões simples de números. EM transformando a aritmética da escola seca em atividade interessante e emocionante , ativando no cérebro o desejo de continuar, em vez de bloquear atividades mentais de alto custo.
É possível usar uma das “modificações do método de Gauss” para calcular a soma dos números de uma progressão aritmética quase imediatamente? De acordo com os “algoritmos”, o pequeno Karl teria a garantia de evitar surras, desenvolver aversão à matemática e suprimir seus impulsos criativos pela raiz.
Por que o tutor aconselhou tão persistentemente os alunos do quinto ano a “não terem medo de mal-entendidos” do método, convencendo-os de que resolveriam “tais” problemas já no 9º ano? Ação psicologicamente analfabeta. Foi uma boa jogada observar: "Vê você já na 5ª série você pode resolva problemas que você só resolverá em 4 anos! Que ótimo sujeito você é!”
Para usar o método Gaussiano, o nível 3 é suficiente, quando as crianças normais já sabem somar, multiplicar e dividir números de 2 a 3 dígitos. Os problemas surgem devido à incapacidade dos professores adultos que estão “fora de sintonia” em explicar as coisas mais simples na linguagem humana normal, para não falar da matemática... Eles são incapazes de fazer com que as pessoas se interessem por matemática e desencorajam completamente mesmo aqueles que o são “ capaz."
Ou, como comentou meu filho: “fazer disso uma grande ciência”.
Minha esposa e eu explicamos esse “método” ao nosso filho, ao que parece, antes mesmo da escola...
“Olha, aqui estão os números de 1 a 100. O que você vê?”
A questão não é exatamente o que a criança vê. O truque é fazer com que ele olhe.
"Como você pode colocá-los juntos?" O filho percebeu que tais perguntas não são feitas “simplesmente assim” e é preciso olhar para a pergunta “de alguma forma diferente, diferente do que ele costuma fazer”
Não importa se a criança vê a solução imediatamente, é improvável. É importante que ele deixou de ter medo de olhar, ou como eu digo: “mudou a tarefa”. Este é o começo da jornada para a compreensão
“O que é mais fácil: somar, por exemplo, 5 e 6 ou 5 e 95?” Uma questão importante... Mas qualquer treinamento se resume a “guiar” uma pessoa para a “resposta” - de qualquer forma aceitável para ela.
Nesta fase já podem surgir palpites sobre como “economizar” nos cálculos.
Tudo o que fizemos foi sugerir: o método de contagem “frontal, linear” não é o único possível. Se uma criança entender isso, mais tarde ela apresentará muitos outros métodos desse tipo, é interessante!!! E ele definitivamente evitará “mal-entendidos” sobre a matemática e não sentirá nojo dela. Ele conseguiu a vitória!
Se criança descoberta que somar pares de números que somam cem é moleza, então "progressão aritmética com diferença 1"- uma coisa um tanto enfadonha e desinteressante para uma criança - de repente encontrei vida para ele . A ordem surgiu do caos e isso sempre causa entusiasmo: é assim que somos feitos!
Uma pergunta a ser respondida: por que, após o insight que uma criança recebeu, ela deveria ser novamente forçada a entrar na estrutura de algoritmos áridos, que também são funcionalmente inúteis neste caso?!
Por que forçar reescritas estúpidas? números sequenciais em um caderno: para que mesmo os capazes não tenham a menor chance de entender? Estatisticamente, é claro, mas a educação de massa é voltada para “estatísticas”...
E, no entanto, somar números que somam 100 é muito mais aceitável para a mente do que aqueles que somam 101...
O "Método Escolar Gauss" exige exatamente isto: dobrar sem pensar pares de números equidistantes do centro da progressão, Apesar de tudo.
E se você olhar?
Mesmo assim, o zero é a maior invenção da humanidade, que tem mais de 2.000 anos. E os professores de matemática continuam a ignorá-lo.
É muito mais fácil transformar uma série de números começando com 1 em uma série começando com 0. A soma não vai mudar, vai? Você precisa parar de “pensar nos livros didáticos” e começar a procurar... E veja que pares com soma de 101 podem ser completamente substituídos por pares com soma de 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Para ser honesto, ouvi falar dessa regra pela primeira vez com aquele tutor do YouTube...
O que ainda faço quando preciso determinar o número de membros de uma série?
Eu olho para a sequência:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
e quando estiver completamente cansado, passe para uma linha mais simples:
1, 2, 3, 4, 5
e eu pensei: se você subtrair um de 5, você obtém 4, mas estou absolutamente claro Eu vejo 5 números! Portanto, você precisa adicionar um! Sentido numérico desenvolvido em escola primária, sugere: mesmo que haja todo um Google de membros da série (10 elevado à centésima potência), o padrão permanecerá o mesmo.
Que diabos são as regras?..
Para que em alguns ou três anos você consiga preencher todo o espaço entre a testa e a nuca e parar de pensar? Como ganhar seu pão com manteiga? Afinal, estamos avançando em posições equilibradas para a era da economia digital!
Não foi à toa que postei uma captura de tela do caderno do meu filho...
"O que aconteceu na aula?"
“Bom, contei na hora, levantei a mão, mas ela não perguntou. Portanto, enquanto os outros contavam, comecei a fazer o dever de casa em russo para não perder tempo. ??), ela me chamou para o quadro eu disse a resposta."
“Isso mesmo, me mostre como você resolveu”, disse a professora. Eu mostrei. Ela disse: “Errado, você precisa contar como eu mostrei!”
“Que bom que ela não deu nota ruim. E ela me fez escrever no caderno deles “o curso da solução” do jeito deles?
Pouco depois aquele incidente Carl Gauss experimentou um grande sentimento de respeito pelo professor de matemática da escola. Mas se ele soubesse como seguidores daquele professor distorcerá a própria essência do método... ele rugia de indignação e através organização mundial propriedade intelectual A OMPI conseguiu proibir o uso do seu bom nome nos livros escolares!..
Em quê erro principal abordagem escolar? Ou, como eu disse, um crime dos professores de matemática contra as crianças?
O que fazem os metodologistas escolares, cuja grande maioria não sabe pensar?
Eles criam métodos e algoritmos (veja). Esse uma reação defensiva que protege os professores das críticas (“Tudo é feito de acordo com...”) e as crianças da compreensão. E assim - da vontade de criticar os professores!(A segunda derivada da “sabedoria” burocrática, uma abordagem científica do problema). Uma pessoa que não compreende o significado preferirá culpar seu próprio mal-entendido, em vez de culpar a estupidez do sistema escolar.
É o que acontece: os pais culpam os filhos e os professores... fazem o mesmo com as crianças que “não entendem matemática!”
Você é esperto?
O que o pequeno Karl fez?
Uma abordagem completamente não convencional para uma tarefa estereotipada. Esta é a essência de Sua abordagem. Esse a principal coisa que deve ser ensinada na escola é pensar não com os livros didáticos, mas com a cabeça. Claro que existe também uma componente instrumental que pode ser utilizada... em busca de mais simples e métodos eficazes contas.
Na escola ensinam que o método de Gauss é
O que, se o número de elementos da série for ímpar, como no problema que foi atribuído ao meu filho?..
O "problema" é que neste caso você deve encontrar um número “extra” na série e adicione à soma dos pares. No nosso exemplo este número é 260.
Como detectar? Copiando todos os pares de números em um caderno!(É por isso que o professor fez as crianças fazerem esse trabalho estúpido de tentar ensinar "criatividade" usando o método Gaussiano... E é por isso que tal "método" é praticamente inaplicável a grandes séries de dados, E é por isso que é não o método gaussiano.)
O filho agiu de forma diferente.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Não é difícil, certo?
Mas, na prática, é ainda mais fácil, o que permite reservar 2 a 3 minutos para sensoriamento remoto em russo, enquanto o resto está “contando”. Além disso, mantém o número de etapas do método: 5, o que não permite que a abordagem seja criticada por não ser científica.
Obviamente esta abordagem é mais simples, rápida e universal, ao estilo do Método. Mas... a professora não só não a elogiou, mas também a obrigou a reescrever " no caminho certo"(ver imagem). Ou seja, ela fez uma tentativa desesperada de reprimir o impulso criativo e a capacidade de entender a matemática em sua raiz! Aparentemente, para que mais tarde pudesse ser contratada como tutora... Ela atacou a pessoa errada. ..
Tudo o que descrevi de forma tão longa e tediosa pode ser explicado a uma criança normal em no máximo meia hora. Junto com exemplos.
E de tal forma que ele nunca se esqueça disso.
E será passo para a compreensão...não apenas matemáticos.
Admita: quantas vezes na sua vida você somou usando o método gaussiano? E eu nunca fiz!
Mas instinto de compreensão, que se desenvolve (ou se extingue) no processo de aprendizagem métodos matemáticos na escola... Ah!.. Isso é realmente uma coisa insubstituível!
Especialmente na era da digitalização universal, na qual entrámos silenciosamente sob a liderança estrita do Partido e do Governo.
É injusto e errado atribuir toda a responsabilidade por este estilo de ensino exclusivamente aos professores das escolas. O sistema está em vigor.
Alguns os professores entendem o absurdo do que está acontecendo, mas o que fazer? Lei de Educação, Normas Educacionais Estaduais Federais, métodos, mapas tecnológicos lições... Tudo deve ser feito “de acordo e com base em” e tudo deve ser documentado. Afaste-se - ficou na fila para ser demitido. Não sejamos hipócritas: os salários dos professores de Moscou são muito bons... Se te demitirem, para onde ir?..
Portanto este site não sobre educação. Ele está prestes educação individual, apenas maneira possível saia da multidão geração Z ...
