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Então, o que são frações, tipos de frações, transformações - lembramos. Vamos abordar a questão principal.
O que você pode fazer com frações? Sim, tudo é igual aos números comuns. Adicionar, subtrair, multiplicar, dividir.
Todas essas ações com decimal operações com frações não são diferentes de operações com inteiros. Na verdade, é para isso que eles servem, decimal. A única coisa é que você precisa colocar a vírgula corretamente.
números mistos, como eu disse, são de pouca utilidade para a maioria das ações. Eles ainda precisam ser convertidos em frações ordinárias.
E aqui estão as ações com frações ordinárias será mais inteligente. E muito mais importante! Deixe-me lembrá-lo: todas as ações com expressões fracionárias com letras, senos, incógnitas e assim por diante não são diferentes das ações com frações comuns! As operações com frações ordinárias são a base de toda a álgebra. É por esta razão que vamos analisar toda essa aritmética em grande detalhe aqui.
Todos podem somar (subtrair) frações com os mesmos denominadores (eu realmente espero!). Bem, deixe-me lembrá-lo que estou completamente esquecido: ao adicionar (subtrair), o denominador não muda. Os numeradores são somados (subtraídos) para dar o numerador do resultado. Modelo:
Em suma, em visão geral:
E se os denominadores forem diferentes? Então, usando a propriedade principal da fração (aqui veio a calhar novamente!), fazemos os denominadores iguais! Por exemplo:
Aqui tivemos que fazer a fração 4/10 da fração 2/5. Apenas com o objetivo de tornar os denominadores iguais. Observo, por precaução, que 2/5 e 4/10 são a mesma fração! Apenas 2/5 é desconfortável para nós, e 4/10 não é nada.
A propósito, essa é a essência da resolução de qualquer tarefa em matemática. Quando estamos fora desconfortável expressões fazem o mesmo, mas mais conveniente para resolver.
Outro exemplo:
A situação é semelhante. Aqui fazemos 48 de 16. Por simples multiplicação por 3. Tudo está claro. Mas aqui nos deparamos com algo como:
Como ser?! É difícil fazer um nove de um sete! Mas somos espertos, conhecemos as regras! Vamos transformar todo fração de modo que os denominadores sejam iguais. Isso é chamado de "reduzir a um denominador comum":
Quão! Como eu sabia sobre 63? Muito simples! 63 é um número que é divisível por 7 e 9 ao mesmo tempo. Tal número sempre pode ser obtido multiplicando os denominadores. Se multiplicarmos algum número por 7, por exemplo, o resultado certamente será dividido por 7!
Se você precisar somar (subtrair) várias frações, não há necessidade de fazê-lo aos pares, passo a passo. Você só precisa encontrar o denominador que é comum a todas as frações e trazer cada fração para esse mesmo denominador. Por exemplo:
E qual será o denominador comum? Você pode, é claro, multiplicar 2, 4, 8 e 16. Obtemos 1024. Pesadelo. É mais fácil estimar que o número 16 é perfeitamente divisível por 2, 4 e 8. Portanto, é fácil obter desses números 16. Esse número será o denominador comum. Vamos transformar 1/2 em 16/8, 3/4 em 16/12 e assim por diante.
Aliás, se tomarmos 1024 como denominador comum, tudo dará certo também, no final tudo será reduzido. Só que nem todos chegarão a esse fim, por conta dos cálculos...
Resolva o exemplo você mesmo. Não é um logaritmo... Deve ser 29/16.
Então, com a adição (subtração) de frações fica claro, espero? Claro, é mais fácil trabalhar em uma versão reduzida, com multiplicadores adicionais. Mas esse prazer está disponível para aqueles que trabalharam honestamente nas séries mais baixas ... E não se esqueceram de nada.
E agora faremos as mesmas ações, mas não com frações, mas com expressões fracionárias. Novos rakes serão encontrados aqui, sim ...
Então, precisamos adicionar duas expressões fracionárias:
Precisamos igualar os denominadores. E só com a ajuda multiplicação! Então a propriedade principal da fração diz. Portanto, não posso adicionar um a x na primeira fração do denominador. (Mas isso seria bom!). Mas se você multiplicar os denominadores, veja, tudo vai crescer junto! Então anotamos, a linha da fração, deixamos um espaço vazio em cima, depois somamos, e escrevemos o produto dos denominadores abaixo, para não esquecer:
E, claro, não multiplicamos nada do lado direito, não abrimos colchetes! E agora, olhando para o denominador comum do lado direito, pensamos: para obter o denominador x (x + 1) na primeira fração, precisamos multiplicar o numerador e o denominador dessa fração por (x + 1) . E na segunda fração - x. Você consegue isso:
Observação! Os parênteses estão aqui! Este é o ancinho que muitos pisam. Não entre colchetes, é claro, mas sua ausência. Os parênteses aparecem porque multiplicamos o todo numerador e o todo denominador! E não suas peças individuais...
No numerador do lado direito, escrevemos a soma dos numeradores, tudo é como em frações numéricas, então abrimos os colchetes no numerador do lado direito, ou seja. multiplique tudo e dê like. Você não precisa abrir os colchetes nos denominadores, não precisa multiplicar nada! Em geral, nos denominadores (qualquer) o produto é sempre mais agradável! Nós temos:
Aqui temos a resposta. O processo parece longo e difícil, mas depende da prática. Resolva exemplos, acostume-se, tudo se tornará simples. Aqueles que dominaram as frações no tempo previsto, fazem todas essas operações com uma mão, na máquina!
E mais uma nota. Muitos lidam com frações, mas apegam-se a exemplos com todo números. Tipo: 2 + 1/2 + 3/4= ? Onde prender um deuce? Não há necessidade de prender em qualquer lugar, você precisa fazer uma fração de um deuce. Não é fácil, é muito simples! 2=2/1. Assim. Qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração. O numerador é o próprio número, o denominador é um. 7 é 7/1, 3 é 3/1 e assim por diante. É o mesmo com as letras. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, etc. E então trabalhamos com essas frações de acordo com todas as regras.
Bem, na adição - subtração de frações, o conhecimento foi atualizado. Transformações de frações de um tipo para outro - repetidas. Você também pode verificar. Vamos resolver um pouco?)
Calcular:
Respostas (em desordem):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Multiplicação / divisão de frações - na próxima lição. Há também tarefas para todas as ações com frações.
A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)
Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
você pode se familiarizar com funções e derivadas.
Formulação de Tarefas: Encontre o valor da expressão (ações com frações).
A tarefa faz parte do USE em matemática no nível básico para o 11º ano no número 1 (Ações com frações).
Vamos ver como esses problemas são resolvidos com exemplos.
Exemplo de tarefa 1:
Encontre o valor da expressão 5/4 + 7/6: 2/3.
Vamos calcular o valor da expressão. Para fazer isso, definimos a ordem das operações: primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração. E realizaremos as ações necessárias na ordem correta:
Resposta: 3
Exemplo de tarefa 2:
Encontre o valor da expressão (3,9 - 2,4) ∙ 8,2
Resposta: 12,3
Exemplo de tarefa 3:
Encontre o valor da expressão 27 ∙ (1/3 - 4/9 - 5/27).
Vamos calcular o valor da expressão. Para fazer isso, definimos a ordem das operações: primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração. Nesse caso, as ações entre colchetes são executadas antes das ações fora dos colchetes. E realizaremos as ações necessárias na ordem correta:
Resposta: -8
Exemplo de tarefa 4:
Encontre o valor da expressão 2,7 / (1,4 + 0,1)
Vamos calcular o valor da expressão. Para fazer isso, definimos a ordem das operações: primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração. Nesse caso, as ações entre colchetes são executadas antes das ações fora dos colchetes. E realizaremos as ações necessárias na ordem correta:
Resposta: 1,8
Exemplo de tarefa 5:
Encontre o valor da expressão 1 / (1/9 - 1/12).
Vamos calcular o valor da expressão. Para fazer isso, definimos a ordem das operações: primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração. Nesse caso, as ações entre colchetes são executadas antes das ações fora dos colchetes. E realizaremos as ações necessárias na ordem correta:
Resposta: 36
Exemplo de tarefa 6:
Encontre o valor da expressão (0,24 ∙ 10^6) / (0,6 ∙ 10^4).
Vamos calcular o valor da expressão. Para fazer isso, definimos a ordem das operações: primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração. Nesse caso, as ações entre colchetes são executadas antes das ações fora dos colchetes. E realizaremos as ações necessárias na ordem correta:
Resposta: 40
Exemplo de tarefa 7:
Encontre o valor da expressão (1,23 ∙ 45,7) / (12,3 ∙ 0,457).
Vamos calcular o valor da expressão. Para fazer isso, definimos a ordem das operações: primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração. Nesse caso, as ações entre colchetes são executadas antes das ações fora dos colchetes. E realizaremos as ações necessárias na ordem correta:
Resposta: 10
Exemplo de tarefa 8:
Encontre o valor da expressão (728^2 - 26^2): 754.
Vamos calcular o valor da expressão. Para fazer isso, definimos a ordem das operações: primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração. Nesse caso, as ações entre colchetes são executadas antes das ações fora dos colchetes. E realizaremos as ações necessárias na ordem correta. também em este caso Você precisa aplicar a fórmula da diferença de quadrados.
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Frações no ensino médio não são muito irritantes. Por enquanto. Até encontrar expoentes com expoentes racionais e logaritmos. E lá…. Você pressiona, pressiona a calculadora e mostra todo o placar completo de alguns números. Você tem que pensar com a cabeça, como na terceira série.
Vamos lidar com frações, finalmente! Bem, o quanto você pode se confundir neles!? Além disso, é tudo simples e lógico. Então, o que são frações?
As frações são de três tipos.
1. Frações comuns , por exemplo:
Às vezes, em vez de uma linha horizontal, eles colocam uma barra: 1/2, 3/4, 19/5, bem, e assim por diante. Aqui, muitas vezes usaremos essa grafia. O número superior é chamado numerador, mais baixo - denominador. Se você constantemente confunde esses nomes (acontece ...), diga a si mesmo a frase com a expressão: " Zzzzz lembrar! Zzzzz denominador - fora zzzz u!" Olha, tudo será lembrado.)
Um traço, que é horizontal, que é oblíquo, significa divisão número superior (numerador) para o número inferior (denominador). E é isso! Em vez de um traço, é bem possível colocar um sinal de divisão - dois pontos.
Quando a divisão é inteiramente possível, deve ser feita. Assim, em vez da fração "32/8" é muito mais agradável escrever o número "4". Aqueles. 32 é simplesmente dividido por 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Não estou falando da fração "4/1". Que também é apenas "4". E se não dividir completamente, deixamos como uma fração. Às vezes você tem que fazer o inverso. Faça uma fração de um número inteiro. Mas mais sobre isso mais tarde.
2. Decimais , por exemplo:
É neste formulário que será necessário anotar as respostas às tarefas "B".
3. números mistos , por exemplo:
Os números mistos praticamente não são usados no ensino médio. Para trabalhar com eles, eles devem ser convertidos em frações ordinárias. Mas você definitivamente precisa saber como fazê-lo! E então esse número aparecerá no quebra-cabeça e travará ... Do zero. Mas lembramos desse procedimento! Um pouco mais baixo.
Mais versátil frações comuns. Vamos começar com eles. A propósito, se houver todos os tipos de logaritmos, senos e outras letras na fração, isso não muda nada. No sentido de que tudo ações com expressões fracionárias não são diferentes de ações com frações comuns!
Então vamos! Em primeiro lugar, vou surpreendê-lo. Toda a variedade de transformações de fração é fornecida por uma única propriedade! Isso é o que é chamado propriedade básica de uma fração. Lembrar: Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados (divididos) pelo mesmo número, a fração não será alterada. Aqueles:
É claro que você pode escrever mais, até ficar com o rosto azul. Não deixe que senos e logaritmos o confunda, vamos lidar com eles mais adiante. A principal coisa a entender é que todas essas várias expressões são a mesma fração . 2/3.
E nós precisamos disso, todas essas transformações? E como! Agora você vai ver por si mesmo. Primeiro, vamos usar a propriedade básica de uma fração para abreviaturas de frações. Parece que a coisa é elementar. Dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número e pronto! É impossível dar errado! Mas... o homem é um ser criativo. Você pode cometer erros em todos os lugares! Especialmente se você tiver que reduzir não uma fração como 5/10, mas uma expressão fracionária com todos os tipos de letras.
Como reduzir frações de forma correta e rápida sem fazer trabalho desnecessário pode ser encontrado na seção especial 555.
Um aluno normal não se incomoda em dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (ou expressão)! Ele apenas risca tudo igual de cima e de baixo! Este é o lugar onde ele se esconde erro típico, erro de gravação se você quiser.
Por exemplo, você precisa simplificar a expressão:
Não há nada em que pensar, riscamos a letra "a" de cima e o deuce de baixo! Nós temos:
Está tudo correto. Mas realmente você compartilhou o todo numerador e o todo denominador "a". Se você está acostumado a apenas riscar, então, com pressa, você pode riscar o "a" na expressão
e obter novamente
O que seria categoricamente errado. Porque aqui o todo numerador em "a" já não compartilhado! Esta fração não pode ser reduzida. Aliás, tal abreviação é, hum... um sério desafio para o professor. Isso não é perdoado! Lembrar? Ao reduzir, é necessário dividir o todo numerador e o todo denominador!
Reduzir frações torna a vida muito mais fácil. Você obterá uma fração em algum lugar, por exemplo 375/1000. E como trabalhar com ela agora? Sem calculadora? Multiplique, digamos, some, quadrado!? E se você não for muito preguiçoso, mas cuidadosamente reduza em cinco, e até em cinco, e até... enquanto está sendo reduzido, em suma. Temos 3/8! Muito mais legal, certo?
A propriedade básica de uma fração permite converter frações ordinárias em decimais e vice-versa sem calculadora! Isso é importante para o exame, certo?
É fácil com decimais. Como se ouve, assim se escreve! Digamos 0,25. É ponto zero, vinte e cinco centésimos. Então escrevemos: 25/100. Reduzimos (dividimos o numerador e o denominador por 25), obtemos a fração usual: 1/4. Tudo. Acontece, e nada é reduzido. Como 0,3. Isso é três décimos, ou seja. 3/10.
E se os inteiros forem diferentes de zero? Tudo bem. Escreva a fração inteira sem nenhuma vírgula no numerador e no denominador - o que é ouvido. Por exemplo: 3.17. Isso é três inteiros, dezessete centésimos. Escrevemos 317 no numerador e 100 no denominador, obtemos 317/100. Nada é reduzido, isso significa tudo. Esta é a resposta. Watson elementar! De todos os itens acima, uma conclusão útil: qualquer fração decimal pode ser convertida em uma fração comum .
Mas a conversão reversa, ordinária para decimal, alguns não podem prescindir de uma calculadora. Mas você deve! Como você vai anotar a resposta no exame!? Lemos cuidadosamente e dominamos este processo.
O que é uma fração decimal? Ela tem no denominador sempre vale 10 ou 100 ou 1000 ou 10000 e assim por diante. Se a sua fração habitual tiver esse denominador, não há problema. Por exemplo, 4/10 = 0,4. Ou 7/100 = 0,07. Ou 12/10 = 1,2. E se na resposta à tarefa da seção "B" resultou 1/2? O que vamos escrever em resposta? Decimais são obrigatórios...
Nós lembramos propriedade básica de uma fração ! A matemática permite que você multiplique favoravelmente o numerador e o denominador pelo mesmo número. Para qualquer um, aliás! Exceto zero, é claro. Vamos usar esse recurso a nosso favor! Pelo que o denominador pode ser multiplicado, ou seja, 2 para que se torne 10, ou 100, ou 1000 (menor é melhor, claro...)? 5, obviamente. Sinta-se à vontade para multiplicar o denominador (isto é nós necessário) por 5. Mas, então o numerador também deve ser multiplicado por 5. Isso já é Matemáticas demandas! Obtemos 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Isso é tudo.
No entanto, todos os tipos de denominadores se deparam. Por exemplo, a fração 3/16 cairá. Experimente, descubra o que multiplicar por 16 para obter 100 ou 1000... Não funciona? Então você pode simplesmente dividir 3 por 16. Na falta de calculadora, você terá que dividir em um canto, em um pedaço de papel, como ensinavam nas séries iniciais. Obtemos 0,1875.
E há alguns denominadores muito ruins. Por exemplo, a fração 1/3 não pode ser transformada em um bom decimal. Tanto em uma calculadora quanto em um pedaço de papel, obtemos 0,3333333 ... Isso significa que 1/3 em uma fração decimal exata não se traduz. Assim como 1/7, 5/6 e assim por diante. Muitos deles são intraduzíveis. Daí outra conclusão útil. Nem toda fração comum é convertida em decimal. !
Aliás, isso informação útil para autoteste. Na seção "B" em resposta, você precisa escrever uma fração decimal. E você tem, por exemplo, 4/3. Esta fração não é convertida para decimal. Isso significa que em algum lugar ao longo do caminho você cometeu um erro! Volte, verifique a solução.
Então, com frações ordinárias e decimais resolvidas. Resta lidar com números mistos. Para trabalhar com eles, todos eles precisam ser convertidos em frações comuns. Como fazer isso? Você pode pegar um aluno da sexta série e perguntar a ele. Mas nem sempre um aluno do sexto ano estará à mão... Teremos que fazer isso sozinhos. Isso não é difícil. Multiplique o denominador da parte fracionária pela parte inteira e some o numerador da parte fracionária. Este será o numerador fração ordinária. E o denominador? O denominador permanecerá o mesmo. Parece complicado, mas na verdade é bem simples. Vamos ver um exemplo.
Deixe no problema que você viu com horror o número:
Calmamente, sem pânico, a gente entende. A parte inteira é 1. Um. A parte fracionária é 3/7. Portanto, o denominador da parte fracionária é 7. Esse denominador será o denominador da fração ordinária. Contamos o numerador. Multiplicamos 7 por 1 (a parte inteira) e somamos 3 (o numerador da parte fracionária). Obtemos 10. Este será o numerador de uma fração ordinária. Isso é tudo. Parece ainda mais simples em notação matemática:
Claramente? Então garanta seu sucesso! Converter em frações comuns. Você deve obter 10/7, 7/2, 23/10 e 21/4.
A operação inversa - converter uma fração imprópria em um número misto - raramente é exigida no ensino médio. Bem, se... E se você - não no ensino médio - você pode dar uma olhada na Seção 555 especial. No mesmo lugar, a propósito, você aprenderá sobre frações impróprias.
Bem, quase tudo. Você se lembrou dos tipos de frações e entendeu Como as convertê-los de um tipo para outro. A questão permanece: Por quê faça isso? Onde e quando aplicar esse conhecimento profundo?
Eu respondo. Qualquer exemplo em si sugere as ações necessárias. Se, no exemplo, frações ordinárias, decimais e até mesmo números mistos forem misturados em um monte, traduzimos tudo em frações comuns. Sempre pode ser feito. Bem, se algo como 0,8 + 0,3 for escrito, então achamos que sim, sem nenhuma tradução. Por que precisamos de trabalho extra? Escolhemos a solução que é conveniente nós !
Se a tarefa for totalmente decimais, mas hum... alguns malvados, vão para os comuns, experimentem! Olha, vai ficar tudo bem. Por exemplo, você tem que elevar ao quadrado o número 0,125. Não é tão fácil se você não perdeu o hábito da calculadora! Você não apenas precisa multiplicar os números em uma coluna, mas também pensar onde inserir a vírgula! Certamente não funciona na minha mente! E se você for para uma fração ordinária?
0,125 = 125/1000. Reduzimos em 5 (isso é para começar). Temos 25/200. Mais uma vez em 5. Temos 5/40. Ah, está diminuindo! Voltar para 5! Temos 1/8. Esquadre facilmente (em sua mente!) e obtenha 1/64. Tudo!
Vamos resumir esta lição.
1. Existem três tipos de frações. Números ordinários, decimais e mistos.
2. Decimais e números mistos sempre podem ser convertidos em frações comuns. Tradução reversa nem sempre acessível.
3. A escolha do tipo de frações para trabalhar com a tarefa depende dessa mesma tarefa. Na presença de tipos diferentes frações em uma tarefa, a coisa mais confiável é mudar para frações comuns.
Agora você pode praticar. Primeiro, converta essas frações decimais em ordinárias:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Você deve obter respostas como esta (em uma bagunça!):
Sobre isso vamos terminar. Nesta lição, refrescamos nossa memória pontos chave por frações. Acontece, no entanto, que não há nada de especial para atualizar ...) Se alguém esqueceu completamente ou ainda não o dominou ... Esses podem ir para uma seção especial 555. Todos os fundamentos são detalhados lá. Muitos de repente compreender tudo estão começando. E eles resolvem frações na hora).
A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)
Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
você pode se familiarizar com funções e derivadas.
Portanto, se uma expressão numérica é composta por números e sinais +, −, · e:, então, da esquerda para a direita, você deve primeiro realizar a multiplicação e a divisão e depois a adição e a subtração, o que permitirá encontrar o valor desejado. valor da expressão.
Vejamos alguns exemplos para esclarecimento.
Exemplo.
Calcule o valor da expressão 14−2·15:6−3 .
Solução.
Para encontrar o valor de uma expressão, você precisa executar todas as ações especificadas nela de acordo com a ordem aceita de execução dessas ações. Primeiro, na ordem da esquerda para a direita, realizamos a multiplicação e a divisão, obtemos 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Agora, da esquerda para a direita, realizamos as ações restantes: 14−5−3=9−3=6 . Então encontramos o valor da expressão original, é igual a 6 .
Responda:
14−2 15:6−3=6 .
Exemplo.
Encontre o valor da expressão.
Solução.
NO este exemplo primeiro precisamos realizar a multiplicação 2 (−7) e a divisão com multiplicação na expressão. Lembrando como , encontramos 2 (−7)=−14 . E para realizar ações na expressão, primeiro 
, então 
, e execute: 
.
Substituímos os valores obtidos na expressão original: .
Mas e quando há uma expressão numérica sob o sinal da raiz? Para obter o valor de tal raiz, você deve primeiro encontrar o valor da expressão raiz, seguindo a ordem aceita de operações. Por exemplo, .
Em expressões numéricas, as raízes devem ser percebidas como alguns números, e é aconselhável substituir imediatamente as raízes por seus valores e, em seguida, encontrar o valor da expressão resultante sem raízes, realizando ações na sequência aceita.
Exemplo.
Encontre o valor da expressão com raízes.
Solução.
Primeiro, encontre o valor da raiz 
. Para fazer isso, primeiro calculamos o valor da expressão radical, temos −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. E em segundo lugar, encontramos o valor da raiz.
Agora vamos calcular o valor da segunda raiz da expressão original: .
Finalmente, podemos encontrar o valor da expressão original substituindo as raízes pelos seus valores: .
Responda:
Muitas vezes, para tornar possível encontrar o valor de uma expressão com raízes, primeiro você precisa convertê-lo. Vamos mostrar uma solução de exemplo.
Exemplo.
Qual é o significado da expressão 
.
Solução.
Não podemos substituir a raiz de três pelo seu valor exato, o que não nos permite calcular o valor dessa expressão da maneira descrita acima. No entanto, podemos calcular o valor dessa expressão realizando transformações simples. Aplicável fórmula da diferença de quadrados: . Considerando , obtemos 
. Portanto, o valor da expressão original é 1 .
Responda:
.
Se a base e o expoente forem números, seu valor será calculado pela definição do grau, por exemplo, 3 2 =3 3=9 ou 8 −1 =1/8 . Há também entradas quando a base e/ou expoente são algumas expressões. Nesses casos, você precisa encontrar o valor da expressão na base, o valor da expressão no expoente e, em seguida, calcular o valor do próprio grau.
Exemplo.
Encontre o valor de uma expressão com potências da forma 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4.
Solução.
A expressão original tem duas potências 2 3 4−10 e (1−1/2) 3.5−2 1/4 . Seus valores devem ser calculados antes de realizar o restante das etapas.
Vamos começar com a potência 2 3·4−10 . Seu indicador contém uma expressão numérica, vamos calcular seu valor: 3·4−10=12−10=2 . Agora você pode encontrar o valor do próprio grau: 2 3 4−10 =2 2 =4 .
Existem expressões na base e expoente (1−1/2) 3,5−2 1/4, calculamos seus valores para encontrar o valor do grau posteriormente. Nós temos (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.
Agora voltamos à expressão original, substituímos os graus nela por seus valores e encontramos o valor da expressão que precisamos: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .
Responda:
2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 =6.
Vale ressaltar que há casos mais comuns em que é aconselhável realizar uma avaliação preliminar simplificação de expressão com potências na base .
Exemplo.
Encontrar o valor de uma expressão 
.
Solução.
A julgar pelos expoentes nesta expressão, valores exatos graus não podem ser obtidos. Vamos tentar simplificar a expressão original, talvez ajude a encontrar seu valor. Nós temos 
Responda:
.
Potências em expressões geralmente andam de mãos dadas com logaritmos, mas falaremos sobre encontrar os valores de expressões com logaritmos em uma delas.
Expressões numéricas em seu registro podem conter frações. Quando você deseja encontrar o valor de tal expressão, as frações que não sejam frações comuns devem ser substituídas por seus valores antes de realizar outras etapas.
O numerador e o denominador das frações (que são diferentes das frações comuns) podem conter alguns números e expressões. Para calcular o valor dessa fração, você precisa calcular o valor da expressão no numerador, calcular o valor da expressão no denominador e, em seguida, calcular o valor da própria fração. Esta ordem é explicada pelo fato de que a fração a/b, onde a e b são algumas expressões, é na verdade um quociente da forma (a):(b) , pois .
Vamos considerar uma solução de exemplo.
Exemplo.
Encontre o valor de uma expressão com frações 
.
Solução.
Na expressão numérica original, três frações 
e . Para encontrar o valor da expressão original, primeiro precisamos dessas frações e as substituimos por seus valores. Vamos fazer isso.
O numerador e o denominador de uma fração são números. Para encontrar o valor dessa fração, substituímos a barra fracionária por um sinal de divisão e executamos esta ação: 
.
O numerador da fração contém a expressão 7−2 3 , seu valor é fácil de encontrar: 7−2 3=7−6=1 . Nesse caminho, . Você pode prosseguir para encontrar o valor da terceira fração.
A terceira fração no numerador e denominador contém expressões numéricas, portanto, primeiro você precisa calcular seus valores, e isso permitirá encontrar o valor da própria fração. Nós temos 
.
Resta substituir os valores encontrados na expressão original e realizar as etapas restantes: .
Responda:
.
Muitas vezes, ao encontrar os valores de expressões com frações, é preciso realizar simplificação de expressões fracionárias, com base na realização de ações com frações e na redução de frações.
Exemplo.
Encontrar o valor de uma expressão 
.
Solução.
A raiz de cinco não é completamente extraída, então para encontrar o valor da expressão original, vamos simplificá-la primeiro. Por esta livrar-se da irracionalidade no denominador primeira fração: 
. Depois disso, a expressão original terá a forma 
. Depois de subtrair as frações, as raízes desaparecerão, o que nos permitirá encontrar o valor da expressão inicialmente dada:.
Responda:
.
Se a expressão numérica contiver , e se for possível eliminá-los, isso será feito antes de executar outras ações. Por exemplo, ao encontrar o valor da expressão log 2 4+2 3 , o logaritmo de log 2 4 é substituído por seu valor 2 , após o que o restante das operações é realizada na ordem usual, ou seja, log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .
Quando existem expressões numéricas sob o sinal do logaritmo e / ou em sua base, seus valores são encontrados primeiro, após o que o valor do logaritmo é calculado. Por exemplo, considere uma expressão com um logaritmo da forma 
. Na base do logaritmo e sob seu sinal estão as expressões numéricas, encontramos seus valores: . Agora encontramos o logaritmo, após o qual completamos os cálculos: .
Se os logaritmos não forem calculados exatamente, sua simplificação preliminar usando . Nesse caso, você precisa ter um bom domínio do material do artigo. transformação de expressões logarítmicas.
Exemplo.
Encontre o valor de uma expressão com logaritmos 
.
Solução.
Vamos começar calculando log 2 (log 2 256) . Como 256=2 8 , então log 2 256=8 , portanto log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 =3.
Logaritmos log 6 2 e log 6 3 podem ser agrupados. A soma dos logaritmos log 6 2+log 6 3 é igual ao logaritmo do produto log 6 (2 3) , então log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.
Agora vamos lidar com frações. Para começar, reescreveremos a base do logaritmo no denominador como uma fração ordinária como 1/5, após o que usaremos as propriedades dos logaritmos, o que nos permitirá obter o valor da fração: 
.
Resta apenas substituir os resultados obtidos na expressão original e terminar de encontrar seu valor: 
Responda:
Quando uma expressão numérica contém ou etc., seus valores são calculados antes de realizar outras ações. Se sob o signo funções trigonométricas Se houver expressões numéricas, seus valores são calculados primeiro, após o que são encontrados os valores das funções trigonométricas.
Exemplo.
Encontrar o valor de uma expressão 
.
Solução.
Voltando ao artigo, obtemos 
e cosπ=−1 . Substituímos esses valores na expressão original, ela assume a forma 
. Para encontrar seu valor, primeiro você precisa realizar a exponenciação e, em seguida, concluir os cálculos: .
Responda:
.
Deve-se notar que o cálculo dos valores das expressões com senos, cossenos, etc. muitas vezes requer prévia transformações de expressões trigonométricas.
Exemplo.
Qual é o valor da expressão trigonométrica 
.
Solução.
Vamos transformar a expressão original usando , neste caso precisamos da fórmula do cosseno do ângulo duplo e da fórmula do cosseno da soma: 
As transformações feitas nos ajudaram a encontrar o valor da expressão.
Responda:
.
NO caso Geral uma expressão numérica pode conter raízes, graus, frações e quaisquer funções e colchetes. Encontrar os valores de tais expressões consiste em realizar as seguintes ações:
As ações acima são realizadas até que o resultado final seja obtido.
Exemplo.
Encontrar o valor de uma expressão 
.
Solução.
A forma desta expressão é bastante complicada. Nesta expressão, vemos uma fração, raízes, graus, seno e logaritmo. Como encontrar o seu significado?
Movendo-se ao longo do registro da esquerda para a direita, encontramos uma fração da forma 
. Sabemos que ao lidar com frações tipo complexo, precisamos calcular separadamente o valor do numerador, separadamente - o denominador e, finalmente, encontrar o valor da fração.
No numerador temos uma raiz da forma 
. Para determinar seu valor, você deve primeiro calcular o valor da expressão radical 
. Há um seno aqui. Podemos encontrar seu valor somente depois de calcular o valor da expressão 
. Isto é o que podemos fazer: . Então de onde e 
.
Com o denominador, tudo é simples: .
Nesse caminho, 
.
Depois de substituir esse resultado na expressão original, ele assumirá a forma . A expressão resultante contém o grau. Para encontrar seu valor, primeiro você precisa encontrar o valor do indicador, temos 
.
Então, .
Responda:
.
Se não for possível calcular os valores exatos das raízes, graus, etc., você pode tentar se livrar deles usando qualquer transformação e depois voltar a calcular o valor de acordo com o esquema especificado.
Calcular os valores de expressões numéricas requer consistência e precisão. Sim, é necessário respeitar a sequência de ações registrada nos parágrafos anteriores, mas isso não deve ser feito de forma cega e mecânica. Com isso queremos dizer que muitas vezes é possível racionalizar o processo de encontrar o valor de uma expressão. Por exemplo, algumas propriedades de ações com números permitem acelerar e simplificar significativamente a localização do valor de uma expressão.
Por exemplo, conhecemos esta propriedade da multiplicação: se um dos fatores do produto é zero, então o valor do produto é zero. Usando esta propriedade, podemos dizer imediatamente que o valor da expressão 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) é zero. Se seguíssemos a ordem padrão das operações, primeiro teríamos que calcular os valores de expressões complicadas entre colchetes, e isso levaria muito tempo e o resultado ainda seria zero.
Também é conveniente usar a propriedade de subtração números iguais: se você subtrair um número igual de um número, o resultado será zero. Esta propriedade pode ser considerada de forma mais ampla: a diferença de duas expressões numéricas idênticas é igual a zero. Por exemplo, sem calcular o valor das expressões entre colchetes, você pode encontrar o valor da expressão (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), é igual a zero, pois a expressão original é a diferença de expressões idênticas.
Transformações idênticas podem contribuir para o cálculo racional dos valores das expressões. Por exemplo, um agrupamento de termos e fatores pode ser útil, mas não menos frequente é a remoção do fator comum dos colchetes. Portanto, o valor da expressão 53 5+53 7−53 11+5 é muito fácil de encontrar depois de tirar o fator 53 dos colchetes: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. O cálculo direto levaria muito mais tempo.
Na conclusão deste parágrafo, vamos prestar atenção à abordagem racional para calcular os valores das expressões com frações - os mesmos fatores no numerador e denominador da fração são reduzidos. Por exemplo, reduzindo as mesmas expressões no numerador e denominador de uma fração 
permite que você encontre imediatamente seu valor, que é 1/2.
O valor de uma expressão literal e uma expressão com variáveis é encontrado para valores específicos de letras e variáveis. Aquilo é, nós estamos falando sobre encontrar o valor de uma expressão literal para determinados valores de letras ou sobre encontrar o valor de uma expressão com variáveis para valores de variáveis selecionados.
regra encontrar o valor de uma expressão literal ou uma expressão com variáveis para determinados valores de letras ou valores selecionados de variáveis é o seguinte: na expressão original, você precisa substituir os valores dados de letras ou variáveis, e calcular o valor da expressão numérica resultante, é o valor desejado.
Exemplo.
Calcule o valor da expressão 0,5 x−y para x=2,4 e y=5.
Solução.
Para encontrar o valor necessário da expressão, primeiro você precisa substituir esses valores de variáveis na expressão original e, em seguida, realizar as seguintes ações: 0,5 2,4−5=1,2−5=−3,8 .
Responda:
−3,8 .
Em conclusão, notamos que às vezes a transformação de expressões literais e expressões com variáveis permite obter seus valores, independentemente dos valores de letras e variáveis. Por exemplo, a expressão x+3−x pode ser simplificada para se tornar 3 . A partir disso, podemos concluir que o valor da expressão x + 3 - x é igual a 3 para quaisquer valores da variável x de seu intervalo de valores aceitáveis \u200b\u200b(ODZ) . Outro exemplo: o valor da expressão é 1 para todos os valores positivos de x , então a área valores permitidos a variável x na expressão original é o conjunto de números positivos, e a igualdade ocorre nesta área.
Bibliografia.
Neste artigo, um tutor de matemática e física fala sobre como realizar operações elementares com frações ordinárias: adição e subtração, multiplicação e divisão. Aprenda a representar um número misto como uma fração imprópria e vice-versa, e como reduzir frações.
Lembre-se que denominador frações é chamado o número que é de baixo, uma numerador- o número que acima de da linha fracionária. Por exemplo, em uma fração, o número é o numerador e o número é o denominador.
denominador comumé o menor número possível que é divisível tanto pelo denominador da primeira fração quanto pelo denominador da segunda fração.
Exemplo 1. Adicione duas frações: .
Vamos usar o algoritmo descrito acima:
1) O menor número que é divisível tanto pelo denominador da primeira fração quanto pelo denominador da segunda fração é . Este número será o denominador comum. Agora você precisa trazer as duas frações para um denominador comum.
2) Some as frações resultantes: 
.
Em outras palavras, para todos numeros reais, , , , a igualdade é verdadeira:
Exemplo 2. Multiplicar frações: .
Para resolver este problema, usamos a fórmula acima: 
.
Em outras palavras, para todos os números reais , , , , , a igualdade é verdadeira:
Exemplo 3. Dividir frações: .
Para resolver este problema, usamos a fórmula acima: 
.
Agora vamos descobrir o que fazer se você quiser realizar qualquer operação com frações representadas como números mistos. Nesse caso, primeiro você precisa representar os números mistos como frações impróprias e, em seguida, realizar a operação necessária.
Lembre-se que errado Uma fração é chamada se o numerador for maior ou igual ao denominador.
Lembre-se também de que um número misto tem partes fracionadas e parte inteira. Por exemplo, a parte fracionária de um número misto é , e a parte inteira é .
Exemplo 4. Expresse o número misto como uma fração imprópria.
Vamos usar o algoritmo acima: 
.
Exemplo 5. Expresse a fração imprópria como um número misto.
