o calculadora online encontra uma solução para o sistema de equações lineares (SLE) pelo método de Gauss. dado solução detalhada. Para calcular, escolha o número de variáveis e o número de equações. Em seguida, insira os dados nas células e clique no botão "Calcular".
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O método de Gauss é um método de transição do sistema original de equações lineares (usando transformações equivalentes) para um sistema mais fácil de resolver do que o sistema original.
As transformações equivalentes do sistema de equações lineares são:
Considere um sistema de equações lineares:
| (1) |
Escrevemos o sistema (1) na forma matricial:
| ax=b | (2) |
 | (3) |
UMAé chamada de matriz de coeficientes do sistema, b − parte direita restrições x− vetor de variáveis a serem encontradas. Let rank( UMA)=p.
Transformações equivalentes não alteram o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz aumentada do sistema. O conjunto de soluções do sistema também não muda sob transformações equivalentes. A essência do método de Gauss é trazer a matriz de coeficientes UMA para diagonal ou escalonado.
Vamos construir a matriz estendida do sistema:
Na próxima etapa, redefinimos todos os elementos da coluna 2, abaixo do elemento. Se o elemento fornecido for nulo, essa linha será trocada pela linha situada abaixo da linha fornecida e com um elemento diferente de zero na segunda coluna. Em seguida, zeramos todos os elementos da coluna 2 abaixo do elemento principal uma 22. Para fazer isso, adicione linhas 3, ... m com a linha 2 multiplicada por − uma 32 /uma 22 , ..., −uma m2 / uma 22, respectivamente. Continuando o procedimento, obtemos uma matriz de forma diagonal ou escalonada. Deixe a matriz aumentada resultante se parecer com:
| (7) |
 |
Porque classificaçãoA=classificação(A|b), então o conjunto de soluções (7) é ( n-p) é uma variedade. Consequentemente n-p incógnitas podem ser escolhidas arbitrariamente. As incógnitas restantes do sistema (7) são calculadas como segue. Da última equação expressamos x p pelo resto das variáveis e inserir nas expressões anteriores. Em seguida, da penúltima equação, expressamos x p−1 pelo resto das variáveis e inserir nas expressões anteriores, etc. Considere o método de Gauss em exemplos concretos.
Exemplo 1. Encontrar decisão comum sistemas de equações lineares pelo método de Gauss:
denotar por uma elementos ij eu-ésima linha e j-ésima coluna.
uma onze . Para fazer isso, adicione as linhas 2,3 com a linha 1, multiplicada por -2/3, -1/2, respectivamente:
Tipo de registro da matriz: ax=b, Onde
denotar por uma elementos ij eu-ésima linha e j-ésima coluna.
Excluir os elementos da 1ª coluna da matriz abaixo do elemento uma onze . Para fazer isso, adicione as linhas 2,3 com a linha 1, multiplicada por -1/5, -6/5, respectivamente:
Dividimos cada linha da matriz pelo elemento líder correspondente (se o elemento líder existir):
Onde x 3 , x
Substituindo as expressões superiores nas inferiores, obtemos a solução.
Então a solução vetorial pode ser representada da seguinte forma:
 |
Onde x 3 , x 4 são números reais arbitrários.
Seja um sistema linear equações algébricas, que precisa ser resolvido (encontre os valores da incógnita хi que transformam cada equação do sistema em uma igualdade).
Sabemos que um sistema de equações algébricas lineares pode:
1) Não ter soluções (ser incompatível).
2) Tenha infinitas soluções.
3) Ter única decisão.
Como nos lembramos, a regra de Cramer e método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. método Gauss – a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar soluções para qualquer sistema de equações lineares, qual o Em todo caso nos leve à resposta! O algoritmo do método nos três casos funciona da mesma maneira. Se os métodos de Cramer e de matrizes exigem o conhecimento dos determinantes, a aplicação do método de Gauss requer apenas o conhecimento de operações aritméticas, o que o torna acessível até mesmo para alunos do ensino fundamental.
Transformações de matriz estendidas ( esta é a matriz do sistema - uma matriz composta apenas pelos coeficientes das incógnitas, mais uma coluna de termos livres) sistemas de equações algébricas lineares no método de Gauss:
1) Com troky matrizes posso reorganizar lugares.
2) se a matriz tem (ou tem) proporcional (como caso especial são as mesmas) strings, então segue excluir da matriz, todas essas linhas, exceto uma.
3) se uma linha zero apareceu na matriz durante as transformações, também segue excluir.
4) a linha da matriz pode multiplicar (dividir) a qualquer número diferente de zero.
5) para a linha da matriz, você pode adicione outra string multiplicada por um número, diferente de zero.
No método de Gauss, as transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações.
O método de Gauss consiste em duas etapas:
Para fazer isso, execute as seguintes etapas:
1) Consideremos a primeira equação de um sistema de equações algébricas lineares e o coeficiente em x 1 é igual a K. A segunda, terceira, etc. transformamos as equações da seguinte maneira: dividimos cada equação (coeficientes para incógnitas, incluindo termos livres) pelo coeficiente para incógnitas x 1, que está em cada equação, e multiplicamos por K. Depois disso, subtraia a primeira da segunda equação ( coeficientes para incógnitas e termos livres). Obtemos em x 1 na segunda equação o coeficiente 0. Da terceira equação transformada subtraímos a primeira equação, portanto, até que todas as equações, exceto a primeira, com desconhecido x 1, não tenham um coeficiente 0.
2) Passe para a próxima equação. Seja esta a segunda equação e o coeficiente em x 2 igual a M. Com todas as equações "subordinadas", procedemos conforme descrito acima. Assim, "sob" a incógnita x 2 em todas as equações serão zeros.
3) Passamos para a próxima equação e assim sucessivamente até restar uma última incógnita e um termo livre transformado.
Exemplo.
Resolvemos o sistema de equações lineares usando o método de Gauss, como alguns autores aconselham:
Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma escalonada:
Nós olhamos para o "degrau" superior esquerdo. Lá deveríamos ter uma unidade. O problema é que não há ninguém na primeira coluna, então nada pode ser resolvido reorganizando as linhas. Nesses casos, a unidade deve ser organizada usando uma transformação elementar. Isso geralmente pode ser feito de várias maneiras. Vamos fazer assim:
1 passo
. À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por -1 e realizamos a soma da primeira e segunda linhas, enquanto a segunda linha não mudou.
Agora no canto superior esquerdo "menos um", o que nos convém perfeitamente. Quem quiser obter +1 pode realizar uma ação adicional: multiplicar a primeira linha por -1 (mudar seu sinal).
2 passo . A primeira linha multiplicada por 5 foi adicionada à segunda linha.A primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.
3 passo . A primeira linha foi multiplicada por -1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para a segunda posição, assim, na segunda “etapa, tínhamos a unidade desejada.
4 passo . Na terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por 2.
5 passo . A terceira linha é dividida por 3.
Um sinal que indica um erro nos cálculos (menos frequentemente um erro de digitação) é um resultado final "ruim". Ou seja, se obtivermos algo como (0 0 11 | 23) abaixo e, consequentemente, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, então, com alto grau de probabilidade, podemos dizer que um erro foi cometido durante o ensino fundamental transformações.
Realizamos um movimento reverso, no design de exemplos, o próprio sistema muitas vezes não é reescrito e as equações são “tiradas diretamente da matriz fornecida”. O movimento inverso, lembro a você, funciona "de baixo para cima". NO este exemplo recebeu um presente:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, portanto x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1
Responda:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
Vamos resolver o mesmo sistema usando o algoritmo proposto. Nós temos
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Divida a segunda equação por 5 e a terceira por 3. Obtemos:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Multiplicando a segunda e a terceira equações por 4, obtemos:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Subtraindo a primeira equação da segunda e terceira equações, temos:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Divida a terceira equação por 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Multiplique a terceira equação por 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Subtraindo a segunda equação da terceira equação, obtemos a matriz aumentada “escalonada”:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Assim, como um erro acumulado no processo de cálculo, obtemos x 3 \u003d 0,96, ou aproximadamente 1.
x 2 \u003d 3 e x 1 \u003d -1.
Resolvendo dessa forma, você nunca ficará confuso nos cálculos e, apesar dos erros de cálculo, obterá o resultado.
Este método de resolver um sistema de equações algébricas lineares é fácil de programar e não leva em conta características específicas coeficientes para incógnitas, porque na prática (em cálculos econômicos e técnicos) é preciso lidar com coeficientes não inteiros.
Desejo-lhe sucesso! Vejo você na aula! Tutor.
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Aqui você pode resolver um sistema de equações lineares gratuitamente método Gauss on-line tamanhos grandes em números complexos com uma solução muito detalhada. Nossa calculadora pode resolver online tanto o sistema usual definido quanto o indefinido de equações lineares usando o método Gaussiano, que tem um número infinito de soluções. Neste caso, na resposta você receberá a dependência de algumas variáveis através de outras, livres. Você também pode verificar a compatibilidade do sistema de equações online usando a solução gaussiana.
Ao resolver um sistema de equações lineares método online Gauss executa as seguintes etapas.
Para entender melhor como o algoritmo gaussiano funciona online, insira qualquer exemplo, selecione "solução muito detalhada" e veja sua solução online.
Neste artigo, o método é considerado como uma forma de resolver sistemas de equações lineares (SLAE). O método é analítico, ou seja, permite escrever um algoritmo de solução em visão geral e, em seguida, substitua os valores de exemplos específicos lá. Ao contrário do método matricial ou das fórmulas de Cramer, ao resolver um sistema de equações lineares usando o método de Gauss, você também pode trabalhar com aquelas que possuem infinitas soluções. Ou eles não têm nada disso.
Primeiro você precisa escrever nosso sistema de equações em Parece assim. O sistema é tomado:
Os coeficientes são escritos na forma de uma tabela e à direita em uma coluna separada - membros livres. A coluna com membros livres é separada por conveniência.A matriz que inclui esta coluna é chamada estendida.
Além disso, a matriz principal com coeficientes deve ser reduzida à forma triangular superior. Este é o ponto principal de resolver o sistema pelo método de Gauss. Simplificando, após certas manipulações, a matriz deve ficar assim, de forma que haja apenas zeros em sua parte inferior esquerda:
Então, se você escrever a nova matriz novamente como um sistema de equações, notará que a última linha já contém o valor de uma das raízes, que é então substituída na equação acima, outra raiz é encontrada e assim por diante.
Esta descrição da solução pelo método de Gauss na forma mais em termos gerais. E o que acontece se de repente o sistema não tiver solução? Ou há um número infinito deles? Para responder a essas e muitas outras questões, é necessário considerar separadamente todos os elementos utilizados na solução pelo método de Gauss.
Nenhum significado oculto não na matriz. É apenas uma maneira conveniente de registrar dados para operações posteriores. Mesmo as crianças em idade escolar não devem ter medo deles.
A matriz é sempre retangular, porque é mais conveniente. Mesmo no método de Gauss, onde tudo se resume a construir uma matriz triangular, aparece um retângulo na entrada, apenas com zeros no lugar onde não há números. Zeros podem ser omitidos, mas estão implícitos.
A matriz tem um tamanho. Sua "largura" é o número de linhas (m), seu "comprimento" é o número de colunas (n). Em seguida, o tamanho da matriz A (letras latinas maiúsculas são geralmente usadas para sua designação) será denotado como A m×n . Se m=n, então esta matriz é quadrada e m=n é a sua ordem. Assim, qualquer elemento da matriz A pode ser denotado pelo número de sua linha e coluna: a xy ; x - número da linha, alterações, y - número da coluna, alterações.
B não é o ponto principal da solução. Em princípio, todas as operações podem ser realizadas diretamente com as próprias equações, mas a notação se tornará muito mais complicada e será muito mais fácil confundi-la.
A matriz também tem um determinante. Esta é uma característica muito importante. Descobrir seu significado agora não vale a pena, você pode simplesmente mostrar como ele é calculado e depois dizer quais propriedades da matriz ele determina. A maneira mais fácil de encontrar o determinante é através das diagonais. Diagonais imaginárias são desenhadas na matriz; os elementos localizados em cada um deles são multiplicados e, a seguir, somados os produtos resultantes: diagonais com inclinação para a direita - com sinal de "mais", com inclinação para a esquerda - com sinal de "menos".
É extremamente importante observar que o determinante só pode ser calculado para uma matriz quadrada. Para uma matriz retangular, você pode fazer o seguinte: escolha o menor entre o número de linhas e o número de colunas (que seja k) e marque aleatoriamente k colunas e k linhas na matriz. Os elementos localizados na interseção das colunas e linhas selecionadas formarão uma nova matriz quadrada. Se o determinante de tal matriz for um número diferente de zero, ele será chamado de base menor da matriz retangular original.
Antes de prosseguir com a solução do sistema de equações pelo método de Gauss, não custa nada calcular o determinante. Se for zero, podemos dizer imediatamente que a matriz tem um número infinito de soluções ou não há nenhuma. Em um caso tão triste, você precisa ir mais longe e descobrir a classificação da matriz.
Existe algo como o posto de uma matriz. Esta é a ordem máxima de seu determinante diferente de zero (lembrando da base menor, podemos dizer que o posto de uma matriz é a ordem da base menor).
De acordo com a situação do rank, o SLAE pode ser dividido em:
O método de Gauss é bom porque permite obter uma prova inequívoca da inconsistência do sistema (sem calcular os determinantes de grandes matrizes) ou uma solução geral para um sistema com um número infinito de soluções durante a solução.
Antes de prosseguir diretamente para a solução do sistema, é possível torná-lo menos trabalhoso e mais conveniente para os cálculos. Isso é alcançado por meio de transformações elementares - de modo que sua implementação não altere a resposta final de forma alguma. Deve-se notar que algumas das transformações elementares acima são válidas apenas para matrizes, cuja fonte foi precisamente o SLAE. Aqui está uma lista dessas transformações:
Para facilitar o entendimento, vale a pena desmontar esse processo passo a passo. Duas linhas são retiradas da matriz:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Suponha que você precise adicionar o primeiro ao segundo, multiplicado pelo coeficiente "-2".
a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11
a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12
a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n
Então, na matriz, a segunda linha é substituída por uma nova e a primeira permanece inalterada.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Deve-se notar que o fator de multiplicação pode ser escolhido de forma que, como resultado da adição de duas strings, um dos elementos da nova string seja igual a zero. Assim, é possível obter uma equação no sistema, onde haverá uma incógnita a menos. E se você obtiver duas dessas equações, a operação poderá ser feita novamente e obter uma equação que já conterá duas incógnitas a menos. E se cada vez que voltarmos a zero um coeficiente para todas as linhas menores que a original, podemos, como etapas, descer até o fundo da matriz e obter uma equação com uma incógnita. Isso é chamado de resolver o sistema usando o método gaussiano.
Que haja um sistema. Tem m equações e n raízes desconhecidas. Você pode escrever assim:
A matriz principal é compilada a partir dos coeficientes do sistema. Uma coluna de membros livres é adicionada à matriz estendida e separada por uma barra por conveniência.
Agora a mesma série de transformações é executada, apenas a primeira e a terceira linhas estão envolvidas. Assim, em cada passo do algoritmo, o elemento a 21 é substituído por a 31 . Então tudo se repete para um 41 , ... um m1 . O resultado é uma matriz onde o primeiro elemento nas linhas é igual a zero. Agora precisamos esquecer a linha número um e executar o mesmo algoritmo a partir da segunda linha:
O algoritmo deve ser repetido até que apareça o coeficiente k = (-a m,m-1 /a mm). Isso significa que em última vez o algoritmo foi realizado apenas para a equação inferior. Agora a matriz se parece com um triângulo ou tem uma forma escalonada. A linha inferior contém a igualdade a mn × x n = b m . O coeficiente e o termo livre são conhecidos, e a raiz é expressa por eles: x n = b m /a mn. A raiz resultante é substituída na linha superior para encontrar x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . E assim por diante por analogia: em cada linha seguinte há uma nova raiz e, tendo atingido o "topo" do sistema, você pode encontrar muitas soluções. Será o único.
Se em uma das linhas da matriz todos os elementos, exceto o termo livre, forem iguais a zero, a equação correspondente a essa linha parecerá 0 = b. Não tem solução. E como tal equação está incluída no sistema, então o conjunto de soluções de todo o sistema está vazio, ou seja, é degenerado.
Pode acontecer que na matriz triangular reduzida não haja linhas com um elemento - o coeficiente da equação e um - um membro livre. Existem apenas strings que, quando reescritas, pareceriam uma equação com duas ou mais variáveis. Isso significa que o sistema tem um número infinito de soluções. Nesse caso, a resposta pode ser dada na forma de uma solução geral. Como fazer isso?
Todas as variáveis na matriz são divididas em básicas e livres. Básico - são aqueles que ficam "na borda" das linhas da matriz escalonada. Os demais são gratuitos. Na solução geral, as variáveis básicas são escritas em função das livres.
Por conveniência, a matriz é primeiro reescrita em um sistema de equações. Então, no último deles, onde exatamente apenas uma variável básica permaneceu, ela permanece de um lado e tudo o mais é transferido para o outro. Isso é feito para cada equação com uma variável básica. Então, nas demais equações, sempre que possível, ao invés da variável básica, a expressão obtida para ela é substituída. Se, como resultado, aparecer novamente uma expressão contendo apenas uma variável básica, ela é novamente expressa a partir daí e assim por diante, até que cada variável básica seja escrita como uma expressão com variáveis livres. Esta é a solução geral do SLAE.
Você também pode encontrar a solução básica do sistema - dê quaisquer valores às variáveis livres e, para este caso específico, calcule os valores das variáveis básicas. Existem infinitas soluções particulares.
Aqui está o sistema de equações.
Por conveniência, é melhor criar imediatamente sua matriz
Sabe-se que ao resolver pelo método de Gauss, a equação correspondente à primeira linha permanecerá inalterada ao final das transformações. Portanto, será mais lucrativo se o elemento superior esquerdo da matriz for o menor - então os primeiros elementos das linhas restantes após as operações serão zerados. Isso significa que na matriz compilada será vantajoso colocar a segunda no lugar da primeira linha.
segunda linha: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0
a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24
terceira linha: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57
Agora, para não se confundir, é preciso anotar a matriz com os resultados intermediários das transformações.
É óbvio que tal matriz pode se tornar mais conveniente para a percepção com a ajuda de algumas operações. Por exemplo, você pode remover todos os "menos" da segunda linha multiplicando cada elemento por "-1".
Também é importante notar que na terceira linha todos os elementos são múltiplos de três. Então você pode reduzir a string por este número, multiplicando cada elemento por "-1/3" (menos - ao mesmo tempo para remover valores negativos).
Parece muito mais legal. Agora precisamos deixar a primeira linha sozinha e trabalhar com a segunda e a terceira. A tarefa é somar a segunda linha à terceira linha, multiplicada por um coeficiente tal que o elemento a 32 se torne igual a zero.
k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 fração comum, e só então, quando as respostas forem recebidas, decidir se deseja arredondar e traduzir em outra forma de registro)
a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7
b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7
A matriz é escrita novamente com novos valores.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Como você pode ver, a matriz resultante já possui uma forma escalonada. Portanto, outras transformações do sistema pelo método de Gauss não são necessárias. O que pode ser feito aqui é remover o coeficiente geral "-1/7" da terceira linha.
Agora está tudo lindo. O ponto é pequeno - escreva a matriz novamente na forma de um sistema de equações e calcule as raízes
x + 2y + 4z = 12(1)
7a + 11z = 24 (2)
O algoritmo pelo qual as raízes serão agora encontradas é chamado de movimento reverso no método de Gauss. A equação (3) contém o valor de z:
y = (24 - 11 × (61/9))/7 = -65/9
E a primeira equação permite encontrar x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3
Temos o direito de chamar tal sistema de conjunto, e até definitivo, ou seja, ter uma solução única. A resposta é escrita da seguinte forma:
x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.
A variante de resolver um determinado sistema pelo método de Gauss foi analisada, agora é necessário considerar o caso se o sistema for indefinido, ou seja, infinitas soluções podem ser encontradas para ele.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
A própria forma do sistema já é alarmante, pois o número de incógnitas é n = 5, e a classificação da matriz do sistema já é exatamente menor que esse número, pois o número de linhas é m = 4, ou seja, a maior ordem do determinante quadrado é 4. Isso significa que há um número infinito de soluções e é necessário procurar sua forma geral. O método de Gauss para equações lineares torna possível fazer isso.
Primeiro, como de costume, a matriz aumentada é compilada.
Segunda linha: coeficiente k = (-a 21 / a 11) = -3. Na terceira linha, o primeiro elemento está antes das transformações, então não precisa mexer em nada, precisa deixar como está. Quarta linha: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Multiplicando os elementos da primeira linha por cada um de seus coeficientes e adicionando-os às linhas desejadas, obtemos uma matriz da seguinte forma:
Como você pode ver, a segunda, terceira e quarta linhas consistem em elementos proporcionais entre si. O segundo e o quarto são geralmente iguais, então um deles pode ser removido imediatamente e o restante multiplicado pelo coeficiente "-1" e obter a linha número 3. E, novamente, deixe uma das duas linhas idênticas.
Descobriu-se tal matriz. O sistema ainda não foi escrito, é necessário determinar aqui as variáveis básicas - posicionadas nos coeficientes a 11 \u003d 1 e 22 \u003d 1, e livre - todo o resto.
A segunda equação tem apenas uma variável básica - x 2 . Daí, pode-se expressar a partir daí, escrevendo pelas variáveis x 3 , x 4 , x 5 , que são livres.
Substituímos a expressão resultante na primeira equação.
Descobriu-se uma equação na qual a única variável básica é x 1. Vamos fazer o mesmo com x 2 .
Todas as variáveis básicas, das quais existem duas, são expressas em termos de três livres, agora você pode escrever a resposta de forma geral.
Você também pode especificar uma das soluções particulares do sistema. Para tais casos, via de regra, zeros são escolhidos como valores para variáveis livres. Então a resposta será:
16, 23, 0, 0, 0.
A solução de sistemas inconsistentes de equações pelo método de Gauss é a mais rápida. Termina assim que em uma das etapas for obtida uma equação sem solução. Ou seja, a fase de cálculo das raízes, que é bastante longa e monótona, desaparece. O seguinte sistema é considerado:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Como de costume, a matriz é compilada:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
E é reduzido a uma forma escalonada:
k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Após a primeira transformação, a terceira linha contém uma equação da forma
não tendo solução. Portanto, o sistema é inconsistente e a resposta é o conjunto vazio.
Se você escolher qual método resolver o SLAE no papel com uma caneta, o método considerado neste artigo parecerá o mais atraente. Em transformações elementares, é muito mais difícil ficar confuso do que acontece se você tiver que procurar manualmente o determinante ou alguma matriz inversa complicada. No entanto, se você usar programas para trabalhar com dados desse tipo, por exemplo, planilhas, esses programas já contêm algoritmos para calcular os principais parâmetros das matrizes - determinante, menores, inversa e assim por diante. E se você tem certeza de que a própria máquina calculará esses valores e não cometerá erros, é mais conveniente usar o método matricial ou as fórmulas de Cramer, pois sua aplicação começa e termina com o cálculo dos determinantes e matrizes inversas.
Como a solução gaussiana é um algoritmo e a matriz é, na verdade, um array bidimensional, ela pode ser usada na programação. Mas como o artigo se posiciona como um guia "para leigos", vale dizer que o lugar mais fácil de colocar o método são as planilhas, por exemplo, o Excel. Novamente, qualquer SLAE inserido em uma tabela na forma de uma matriz será considerado pelo Excel como um array bidimensional. E para operações com eles, existem muitos comandos legais: adição (você só pode adicionar matrizes do mesmo tamanho!), Multiplicação por um número, multiplicação de matrizes (também com certas restrições), localização de matrizes inversas e transpostas e, o mais importante , calculando o determinante. Se essa tarefa demorada for substituída por um único comando, é muito mais rápido determinar o posto de uma matriz e, portanto, estabelecer sua compatibilidade ou inconsistência.
Uma das maneiras mais simples de resolver um sistema de equações lineares é um método baseado no cálculo dos determinantes ( regra de Cramer). Sua vantagem é que permite registrar imediatamente a solução, é especialmente conveniente nos casos em que os coeficientes do sistema não são números, mas algum tipo de parâmetro. Sua desvantagem é a complexidade dos cálculos no caso de um grande número de equações; além disso, a regra de Cramer não é aplicável diretamente a sistemas nos quais o número de equações não coincide com o número de incógnitas. Nesses casos, costuma-se usar método Gauss.
Sistemas de equações lineares que têm o mesmo conjunto de soluções são chamados equivalente. É óbvio que o conjunto de soluções de um sistema linear não mudará se quaisquer equações forem trocadas, ou se uma das equações for multiplicada por algum número diferente de zero, ou se uma equação for adicionada a outra.
método Gauss (método exclusão sequencial desconhecido) reside no fato de que, com a ajuda de transformações elementares, o sistema é reduzido a um sistema stepwise equivalente. Primeiro, com a ajuda da 1ª equação, x 1 de todas as equações subseqüentes do sistema. Então, usando a 2ª equação, eliminamos x 2 da 3ª e todas as equações subsequentes. Este processo, chamado método direto de Gauss, continua até que apenas uma incógnita permaneça no lado esquerdo da última equação x n. Depois disso, é feito reverso gaussiano– resolvendo a última equação, encontramos x n; depois disso, usando esse valor, da penúltima equação calculamos x n-1 etc A última vez que encontramos x 1 da primeira equação.
É conveniente realizar transformações gaussianas realizando transformações não com as próprias equações, mas com as matrizes de seus coeficientes. Considere a matriz:
chamado estendido matriz do sistema, pois além da matriz principal do sistema, inclui uma coluna de membros livres. O método de Gauss baseia-se em trazer a matriz principal do sistema para uma forma triangular (ou forma trapezoidal no caso de sistemas não quadrados) usando transformações de linha elementares (!) da matriz estendida do sistema.
Exemplo 5.1. Resolva o sistema usando o método de Gauss:
Solução. Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e, usando a primeira linha, depois zeramos o resto dos elementos:
obtemos zeros na 2ª, 3ª e 4ª linhas da primeira coluna:
Agora precisamos que todos os elementos na segunda coluna abaixo da 2ª linha sejam iguais a zero. Para fazer isso, você pode multiplicar a segunda linha por -4/7 e adicionar à 3ª linha. Porém, para não tratar de frações, criaremos uma unidade na 2ª linha da segunda coluna e somente
Agora, para obter uma matriz triangular, você precisa zerar o elemento da quarta linha da 3ª coluna, para isso você pode multiplicar a terceira linha por 8/54 e somar com a quarta. No entanto, para não lidar com frações, trocaremos a 3ª e 4ª linhas e a 3ª e 4ª colunas, e somente depois redefiniremos o elemento especificado. Observe que quando as colunas são reorganizadas, as variáveis correspondentes são trocadas e isso deve ser lembrado; outras transformações elementares com colunas (adição e multiplicação por um número) não podem ser realizadas!
A última matriz simplificada corresponde a um sistema de equações equivalente ao original:
A partir daqui, usando o curso inverso do método de Gauss, encontramos a partir da quarta equação x 3 = -1; do terceiro x 4 = -2, a partir do segundo x 2 = 2 e da primeira equação x 1 = 1. Na forma de matriz, a resposta é escrita como
Consideramos o caso em que o sistema é definido, ou seja, quando há apenas uma solução. Vejamos o que acontece se o sistema for inconsistente ou indeterminado.
Exemplo 5.2. Explore o sistema usando o método gaussiano:
Solução. Escrevemos e transformamos a matriz aumentada do sistema
Escrevemos um sistema simplificado de equações:
Aqui, na última equação, descobriu-se que 0=4, ou seja, contradição. Portanto, o sistema não tem solução, ou seja, ela é incompatível. à
Exemplo 5.3. Explore e resolva o sistema usando o método gaussiano:
Solução. Escrevemos e transformamos a matriz estendida do sistema:
Como resultado das transformações, apenas zeros foram obtidos na última linha. Isso significa que o número de equações diminuiu em um:
Assim, após simplificações, restam duas equações e quatro incógnitas, ou seja, dois "extras" desconhecidos. Deixe "supérfluo", ou, como dizem, variáveis livres, vai x 3 e x quatro. Então
assumindo x 3 = 2uma e x 4 = b, Nós temos x 2 = 1–uma e x 1 = 2b–uma; ou em forma de matriz
Uma solução escrita dessa maneira é chamada em geral, já que, dando os parâmetros uma e b vários significados, é possível descrever todas as possíveis soluções do sistema. uma
