Sim, sim: a progressão aritmética não é um brinquedo para você :) Bem, amigos, se você está lendo este texto, então a evidência do limite interno me diz que você ainda não sabe o que é uma progressão aritmética, mas você realmente (não, assim: MUUUUITO!) quer saber. Portanto, não vou atormentá-lo com longas apresentações e imediatamente começarei a trabalhar.
Para começar, alguns exemplos. Considere vários conjuntos de números:
O que todos esses conjuntos têm em comum? À primeira vista, nada. Mas na verdade há algo. Nomeadamente: cada próximo elemento difere do anterior pelo mesmo número.
Julgue por si mesmo. O primeiro conjunto são apenas números consecutivos, cada um mais que o anterior. No segundo caso, a diferença entre os números adjacentes já é igual a cinco, mas essa diferença ainda é constante. No terceiro caso, existem raízes em geral. No entanto, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, enquanto $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ou seja, nesse caso, cada próximo elemento simplesmente aumenta em $\sqrt(2)$ (e não se assuste que esse número seja irracional).
Então: todas essas sequências são chamadas apenas de progressões aritméticas. Vamos dar uma definição estrita:
Definição. Uma sequência de números em que cada próximo difere do anterior exatamente na mesma quantidade é chamada de progressão aritmética. A própria quantidade pela qual os números diferem é chamada de diferença de progressão e é mais frequentemente indicada pela letra $d$.
Notação: $\left(((a)_(n)) \right)$ é a própria progressão, $d$ é sua diferença.
E apenas algumas observações importantes. Em primeiro lugar, a progressão é considerada apenas ordenadamente seqüência de números: eles podem ser lidos estritamente na ordem em que são escritos - e nada mais. Você não pode reorganizar ou trocar números.
Em segundo lugar, a própria sequência pode ser finita ou infinita. Por exemplo, o conjunto (1; 2; 3) é obviamente uma progressão aritmética finita. Mas se você escrever algo como (1; 2; 3; 4; ...) - isso já é uma progressão infinita. As reticências após os quatro, por assim dizer, sugerem que muitos números vão além. Infinitamente muitos, por exemplo. :)
Também gostaria de observar que as progressões estão aumentando e diminuindo. Já vimos crescentes - o mesmo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). Aqui estão alguns exemplos de progressões decrescentes:
Ok, ok: o último exemplo pode parecer muito complicado. Mas o resto, eu acho, você entende. Portanto, introduzimos novas definições:
Definição. Progressão aritmética chamado:
- aumentando se cada próximo elemento for maior que o anterior;
- decrescente, se, pelo contrário, cada elemento subsequente for menor que o anterior.
Além disso, existem as chamadas sequências "estacionárias" - elas consistem no mesmo número de repetição. Por exemplo, (3; 3; 3; ...).
Resta apenas uma pergunta: como distinguir uma progressão crescente de uma decrescente? Felizmente, tudo aqui depende apenas do sinal do número $d$, ou seja, diferenças de progressão:
Vamos tentar calcular a diferença $d$ para as três progressões decrescentes acima. Para fazer isso, basta pegar dois elementos adjacentes (por exemplo, o primeiro e o segundo) e subtrair do número à direita o número à esquerda. Isso parecerá assim:
Como você pode ver, nos três casos a diferença realmente acabou sendo negativa. E agora que descobrimos mais ou menos as definições, é hora de descobrir como as progressões são descritas e quais propriedades elas têm.
Como os elementos de nossas sequências não podem ser trocados, eles podem ser numerados:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \certo\)\]
Os elementos individuais deste conjunto são chamados membros da progressão. Eles são indicados dessa maneira com a ajuda de um número: o primeiro membro, o segundo membro e assim por diante.
Além disso, como já sabemos, os membros vizinhos da progressão estão relacionados pela fórmula:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Resumindo, para encontrar o $n$th termo da progressão, você precisa saber o $n-1$th termo e a diferença $d$. Essa fórmula é chamada de recorrente, porque com sua ajuda você pode encontrar qualquer número, conhecendo apenas o anterior (e, de fato, todos os anteriores). Isso é muito inconveniente, então existe uma fórmula mais complicada que reduz qualquer cálculo ao primeiro termo e à diferença:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Você provavelmente já se deparou com essa fórmula antes. Eles gostam de dar em todos os tipos de livros de referência e reshebniks. E em qualquer livro sensato de matemática, é um dos primeiros.
No entanto, sugiro que você pratique um pouco.
Tarefa número 1. Escreva os três primeiros termos da progressão aritmética $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.
Solução. Então, conhecemos o primeiro termo $((a)_(1))=8$ e a diferença de progressão $d=-5$. Vamos usar a fórmula dada e substituir $n=1$, $n=2$ e $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(alinhar)\]
Resposta: (8; 3; -2)
Isso é tudo! Observe que nossa progressão está diminuindo.
Claro, $n=1$ não poderia ter sido substituído - já conhecemos o primeiro termo. No entanto, substituindo a unidade, garantimos que, mesmo para o primeiro termo, nossa fórmula funciona. Em outros casos, tudo se resumia a uma aritmética banal.
Tarefa número 2. Escreva os três primeiros termos de uma progressão aritmética se seu sétimo termo for -40 e seu décimo sétimo termo for -50.
Solução. Escrevemos a condição do problema nos termos usuais:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \certo.\]
Coloquei o sinal do sistema porque esses requisitos devem ser atendidos simultaneamente. E agora notamos que se subtrairmos a primeira equação da segunda equação (temos o direito de fazer isso, porque temos um sistema), obtemos isso:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(alinhar)\]
Simples assim, encontramos a diferença de progressão! Resta substituir o número encontrado em qualquer uma das equações do sistema. Por exemplo, no primeiro:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriz)\]
Agora, conhecendo o primeiro termo e a diferença, resta encontrar o segundo e o terceiro termos:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(alinhar)\]
Preparar! Problema resolvido.
Resposta: (-34; -35; -36)
Observe uma propriedade curiosa da progressão que descobrimos: se pegarmos os termos $n$th e $m$th e subtraí-los um do outro, obtemos a diferença da progressão multiplicada pelo número $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Simples mas muito propriedade útil, que você definitivamente precisa conhecer - com sua ajuda, você pode acelerar significativamente a solução de muitos problemas em progressões. Aqui está um excelente exemplo disso:
Tarefa número 3. O quinto termo da progressão aritmética é 8,4, e seu décimo termo é 14,4. Encontre o décimo quinto termo dessa progressão.
Solução. Como $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, e precisamos encontrar $((a)_(15))$, notamos o seguinte:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(alinhar)\]
Mas pela condição $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, então $5d=6$, de onde temos:
\[\begin(alinhar) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(alinhar)\]
Resposta: 20,4
Isso é tudo! Não precisávamos compor nenhum sistema de equações e calcular o primeiro termo e a diferença - tudo foi decidido em apenas algumas linhas.
Agora vamos considerar outro tipo de problema - a busca por membros negativos e positivos da progressão. Não é segredo que, se a progressão aumentar, enquanto seu primeiro termo for negativo, mais cedo ou mais tarde aparecerão termos positivos. E vice-versa: os termos de uma progressão decrescente mais cedo ou mais tarde se tornarão negativos.
Ao mesmo tempo, nem sempre é possível encontrar esse momento “na testa”, ordenando sequencialmente os elementos. Muitas vezes, os problemas são projetados de tal forma que, sem conhecer as fórmulas, os cálculos levariam várias folhas - simplesmente adormeceríamos até encontrar a resposta. Portanto, tentaremos resolver esses problemas de maneira mais rápida.
Tarefa número 4. Quantos termos negativos em uma progressão aritmética -38,5; -35,8; …?
Solução. Então, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, a partir do qual encontramos imediatamente a diferença:
Observe que a diferença é positiva, então a progressão é crescente. O primeiro termo é negativo, então, de fato, em algum momento, encontraremos números positivos. A única questão é quando isso vai acontecer.
Vamos tentar descobrir: até que horas (ou seja, até que horas número natural$n$) a negatividade dos termos é preservada:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \direito. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(alinhar)\]
A última linha precisa de esclarecimentos. Então sabemos que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Por outro lado, apenas valores inteiros do número nos servirão (além disso: $n\in \mathbb(N)$), então o maior número permitido é precisamente $n=15$, e em nenhum caso 16.
Tarefa número 5. Na progressão aritmética $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Encontre o número do primeiro termo positivo dessa progressão.
Este seria exatamente o mesmo problema que o anterior, mas não sabemos $((a)_(1))$. Mas os termos vizinhos são conhecidos: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, então podemos encontrar facilmente a diferença de progressão:
Além disso, vamos tentar expressar o quinto termo em termos do primeiro e a diferença usando a fórmula padrão:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(alinhar)\]
Agora vamos proceder por analogia com o problema anterior. Descobrimos em que ponto da nossa sequência os números positivos aparecerão:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(alinhar)\]
A solução inteira mínima desta desigualdade é o número 56.
Por favor, note que na última tarefa tudo foi reduzido a desigualdade estrita, então a opção $n=55$ não nos convém.
Agora que aprendemos a resolver problemas simples, vamos para os mais complexos. Mas primeiro, vamos aprender outra propriedade muito útil das progressões aritméticas, que nos poupará muito tempo e células desiguais no futuro. :)
Considere vários termos consecutivos da progressão aritmética crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Vamos tentar marcá-los em uma reta numérica:
Membros da progressão aritmética na reta numéricaObservei especificamente os membros arbitrários $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e não qualquer $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Porque a regra, que vou dizer agora, funciona da mesma forma para qualquer "segmento".
E a regra é muito simples. Vamos lembrar a fórmula recursiva e anotá-la para todos os membros marcados:
\[\begin(alinhar) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(alinhar)\]
No entanto, essas igualdades podem ser reescritas de maneira diferente:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(alinhar)\]
Bem, e daí? Mas o fato de os termos $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ estarem à mesma distância de $((a)_(n)) $ . E essa distância é igual a $d$. O mesmo pode ser dito sobre os termos $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - eles também são removidos de $((a)_(n) )$ pela mesma distância igual a $2d$. Você pode continuar indefinidamente, mas a imagem ilustra bem o significado
Os membros da progressão estão à mesma distância do centro O que isso significa para nós? Isso significa que você pode encontrar $((a)_(n))$ se os números vizinhos forem conhecidos:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Deduzimos uma afirmação magnífica: cada membro de uma progressão aritmética é igual à média aritmética dos membros vizinhos! Além disso, podemos desviar de nosso $((a)_(n))$ para a esquerda e para a direita não por um passo, mas por $k$ passos - e ainda assim a fórmula estará correta:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Aqueles. podemos encontrar facilmente $((a)_(150))$ se soubermos $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, porque $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À primeira vista, pode parecer que esse fato não nos dá nada de útil. No entanto, na prática, muitas tarefas são especialmente "aguçadas" para o uso da média aritmética. Dê uma olhada:
Tarefa número 6. Encontre todos os valores de $x$ de modo que os números $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ sejam membros consecutivos de uma progressão aritmética (em ordem especificada).
Solução. Como esses números são membros de uma progressão, a condição de média aritmética é satisfeita para eles: o elemento central $x+1$ pode ser expresso em termos de elementos vizinhos:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(alinhar)\]
Ficou clássico Equação quadrática. Suas raízes: $x=2$ e $x=-3$ são as respostas.
Resposta: -3; 2.
Tarefa número 7. Encontre os valores de $$ de forma que os números $-1;4-3;(()^(2))+1$ formem uma progressão aritmética (nessa ordem).
Solução. Novamente, expressamos o termo médio em termos da média aritmética dos termos vizinhos:
\[\begin(alinhar) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\direito.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(alinhar)\]
Outra equação quadrática. E novamente duas raízes: $x=6$ e $x=1$.
Resposta 1; 6.
Se, no processo de resolução de um problema, você obtiver alguns números brutais ou não tiver certeza absoluta da exatidão das respostas encontradas, há um truque maravilhoso que permite verificar: resolvemos o problema corretamente?
Digamos que no problema 6 obtivemos as respostas -3 e 2. Como podemos verificar se essas respostas estão corretas? Vamos apenas ligá-los na condição original e ver o que acontece. Deixe-me lembrá-lo de que temos três números ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), que devem formar uma progressão aritmética. Substitua $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(alinhar)\]
Temos os números -54; −2; 50 que diferem por 52 é, sem dúvida, uma progressão aritmética. A mesma coisa acontece para $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(alinhar)\]
Novamente uma progressão, mas com uma diferença de 27. Assim, o problema é resolvido corretamente. Quem quiser pode conferir a segunda tarefa por conta própria, mas logo digo: está tudo certo lá também.
Em geral, enquanto resolvíamos as últimas tarefas, nos deparamos com outra fato interessante, que também precisa ser lembrado:
Se três números são tais que o segundo é a média do primeiro e do último, então esses números formam uma progressão aritmética.
No futuro, entender essa afirmação nos permitirá literalmente “construir” as progressões necessárias com base na condição do problema. Mas antes de nos engajarmos em tal “construção”, devemos atentar para mais um fato, que decorre diretamente do que já foi considerado.
Vamos voltar para a reta numérica novamente. Notamos lá vários membros da progressão, entre os quais, talvez. vale muitos outros membros:
6 elementos marcados na reta numéricaVamos tentar expressar a "cauda esquerda" em termos de $((a)_(n))$ e $d$, e a "cauda direita" em termos de $((a)_(k))$ e $ d$. É muito simples:
\[\begin(alinhar) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(alinhar)\]
Agora observe que as seguintes somas são iguais:
\[\begin(alinhar) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(alinhar)\]
Simplificando, se considerarmos como início dois elementos da progressão, que no total são iguais a algum número $S$, e então começarmos a caminhar desses elementos em direções opostas (um em direção ao outro ou vice-versa para nos afastarmos), então as somas dos elementos em que tropeçaremos também serão iguais$S$. Isso pode ser melhor representado graficamente:
Os mesmos recuos dão somas iguais Compreensão este fato nos permitirá resolver problemas fundamentalmente mais alto nível complexidade do que os discutidos acima. Por exemplo, estes:
Tarefa número 8. Determine a diferença de uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 66, e o produto do segundo e décimo segundo termos é o menor possível.
Solução. Vamos anotar tudo o que sabemos:
\[\begin(alinhar) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(alinhar)\]
Então, não sabemos a diferença da progressão $d$. Na verdade, toda a solução será construída em torno da diferença, já que o produto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ pode ser reescrito da seguinte forma:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(alinhar)\]
Para aqueles no tanque: tirei o fator comum 11 do segundo suporte. Assim, o produto desejado é uma função quadrática em relação à variável $d$. Portanto, considere a função $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - seu gráfico será uma parábola com ramificações para cima, porque se abrirmos os colchetes, teremos:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Como você pode ver, o coeficiente com o termo mais alto é 11 - este é um número positivo, então estamos realmente lidando com uma parábola com ramificações para cima:
cronograma função quadrática- parábola
Atenção: esta parábola toma seu valor mínimo em seu vértice com a abcissa $((d)_(0))$. Claro, podemos calcular esta abcissa usando esquema padrão(há uma fórmula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mas seria muito mais razoável notar que o vértice desejado está no eixo de simetria do parábola, então o ponto $((d) _(0))$ é equidistante das raízes da equação $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(alinhar) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(alinhar)\]
Por isso não tive pressa de abrir os colchetes: na forma original, as raízes eram muito, muito fáceis de encontrar. Portanto, a abcissa é igual à média aritmética dos números −66 e −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
O que nos dá o número descoberto? Com ele, o produto necessário assume o menor valor (a propósito, não calculamos $((y)_(\min ))$ - isso não é exigido de nós). Ao mesmo tempo, esse número é a diferença da progressão inicial, ou seja, encontramos a resposta. :)
Resposta: -36
Tarefa número 9. Insira três números entre os números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ de forma que junto com os números dados eles formem uma progressão aritmética.
Solução. Na verdade, precisamos fazer uma sequência de cinco números, com o primeiro e o último número já conhecidos. Denote os números ausentes pelas variáveis $x$, $y$ e $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Observe que o número $y$ é o "meio" da nossa sequência - é equidistante dos números $x$ e $z$, e dos números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se dos números $x$ e $z$ estivermos este momento não podemos obter $y$, então a situação é diferente com as extremidades da progressão. Lembre-se da média aritmética:
Agora, conhecendo $y$, encontraremos os números restantes. Observe que $x$ está entre $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ recém encontrado. É por isso
Argumentando de forma semelhante, encontramos o número restante:
Preparar! Encontramos os três números. Vamos escrevê-los na resposta na ordem em que devem ser inseridos entre os números originais.
Resposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Tarefa número 10. Entre os números 2 e 42, insira vários números que, juntamente com os números dados, formam uma progressão aritmética, se for conhecido que a soma do primeiro, segundo e último dos números inseridos é 56.
Solução. Uma tarefa ainda mais difícil, que, no entanto, é resolvida da mesma maneira que as anteriores - através da média aritmética. O problema é que não sabemos exatamente quantos números inserir. Portanto, por definição, assumimos que após a inserção haverá exatamente $n$ números, sendo que o primeiro deles é 2 e o último é 42. Nesse caso, a progressão aritmética desejada pode ser representada como:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \direito\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Observe, no entanto, que os números $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ são obtidos dos números 2 e 42 posicionados nas bordas um passo em direção ao outro , ou seja. para o centro da sequência. E isso significa que
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Mas então a expressão acima pode ser reescrita assim:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(alinhar)\]
Conhecendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, podemos facilmente encontrar a diferença de progressão:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Seta para a direita d=5. \\ \end(alinhar)\]
Resta apenas encontrar os membros restantes:
\[\begin(alinhar) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(alinhar)\]
Assim, já no 9º passo chegaremos ao extremo esquerdo da sequência - o número 42. No total, apenas 7 números tiveram de ser inseridos: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Resposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Para concluir, gostaria de considerar algumas tarefas simples. Bem, tão simples: para a maioria dos alunos que estudam matemática na escola e não leram o que está escrito acima, essas tarefas podem parecer um gesto. No entanto, são precisamente essas tarefas que aparecem no OGE e no USE em matemática, por isso recomendo que você se familiarize com elas.
Tarefa número 11. A equipe produziu 62 peças em janeiro e, em cada mês subsequente, produziu 14 peças a mais do que no anterior. Quantas peças a brigada produziu em novembro?
Solução. Obviamente, o número de peças, pintadas por mês, será uma progressão aritmética crescente. E:
\[\begin(alinhar) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Novembro é o 11º mês do ano, então precisamos encontrar $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Portanto, 202 peças serão fabricadas em novembro.
Tarefa número 12. A oficina de encadernação encadernou 216 livros em janeiro, e a cada mês encadernou 4 livros a mais do que no mês anterior. Quantos livros a oficina encadernou em dezembro?
Solução. Tudo o mesmo:
$\begin(alinhar) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Dezembro é o último 12º mês do ano, então estamos procurando por $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Esta é a resposta - 260 livros serão encadernados em dezembro.
Bem, se você leu até aqui, apresso-me a parabenizá-lo: você concluiu com sucesso o “curso jovem lutador” em progressões aritméticas. Podemos passar com segurança para a próxima lição, onde estudaremos a fórmula da soma da progressão, bem como as consequências importantes e muito úteis dela.
Os problemas de progressão aritmética existem desde os tempos antigos. Eles apareceram e exigiram uma solução, porque tinham uma necessidade prática.
Assim, em um dos papiros do Egito Antigo, que possui conteúdo matemático - o papiro Rhind (século XIX aC) - contém a seguinte tarefa: dividir dez medidas de pão em dez pessoas, desde que a diferença entre cada uma delas seja uma oitavo de compasso.
E nas obras matemáticas dos antigos gregos existem teoremas elegantes relacionados à progressão aritmética. Assim, Gipsicles de Alexandria (século II, que ascendeu a muito tarefas interessantes e acrescentando o décimo quarto livro aos Elementos de Euclides, formulou a ideia: "Numa progressão aritmética com número par de membros, a soma dos membros da 2ª metade é maior que a soma dos membros da 1ª pelo quadrado de 1 /2 do número de membros."
A sequência an é denotada. Os números da sequência são chamados de seus membros e geralmente são denotados por letras com índices que indicam o número de série desse membro (a1, a2, a3 ... leia-se: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” e assim por diante).
A sequência pode ser infinita ou finita.
O que é uma progressão aritmética? Entende-se como obtido pela soma do termo anterior (n) com o mesmo número d, que é a diferença da progressão.
Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, então tal progressão é considerada crescente.
Uma progressão aritmética é dita finita se apenas alguns de seus primeiros termos são levados em conta. Em muito em grande número membros já é uma progressão infinita.
Qualquer progressão aritmética é dada pela seguinte fórmula:
an =kn+b, enquanto b e k são alguns números.
A afirmação, que é o oposto, é absolutamente verdadeira: se a sequência é dada por uma fórmula semelhante, então esta é exatamente uma progressão aritmética, que tem as propriedades:
A propriedade característica para quaisquer quatro números de uma progressão aritmética pode ser expressa pela fórmula an + am = ak + al se n + m = k + l (m, n, k são os números da progressão).
Em uma progressão aritmética, qualquer termo necessário (Nth) pode ser encontrado aplicando a seguinte fórmula:
Por exemplo: o primeiro termo (a1) em uma progressão aritmética é dado e é igual a três, e a diferença (d) é igual a quatro. Você precisa encontrar o quadragésimo quinto termo dessa progressão. a45 = 1+4(45-1)=177
A fórmula an = ak + d(n - k) nos permite determinar enésimo membro progressão aritmética através de qualquer um de seus k-ésimos termos, desde que seja conhecido.
A soma dos membros de uma progressão aritmética (assumindo os 1º n membros da progressão final) é calculada da seguinte forma:
Sn = (a1+an) n/2.
Se o 1º termo também for conhecido, outra fórmula é conveniente para o cálculo:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
A soma de uma progressão aritmética que contém n termos é calculada da seguinte forma:
A escolha das fórmulas para os cálculos depende das condições das tarefas e dos dados iniciais.
A série natural de quaisquer números como 1,2,3,...,n,... é o exemplo mais simples de uma progressão aritmética.
Além da progressão aritmética, existe também uma progressão geométrica, que possui propriedades e características próprias.
Primeiro nível
Então vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:
Você pode escrever qualquer número, e pode haver quantos quiser (no nosso caso, eles). Não importa quantos números escrevamos, sempre podemos dizer qual deles é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante até o último, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de uma sequência numérica:
Sequência numérica
Por exemplo, para nossa sequência:
O número atribuído é específico para apenas um número de sequência. Em outras palavras, não há números de três segundos na sequência. O segundo número (como o número -th) é sempre o mesmo.
O número com o número é chamado de -th membro da sequência.
Geralmente chamamos a sequência inteira de alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência - a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .
No nosso caso: 
Digamos que temos uma sequência numérica na qual a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.
Por exemplo: 
etc.
Essa sequência numérica é chamada de progressão aritmética.
O termo "progressão" foi introduzido pelo autor romano Boécio já no século VI e foi entendido em um sentido mais amplo como uma sequência numérica infinita. O nome "aritmética" foi transferido da teoria das proporções contínuas, na qual os antigos gregos estavam envolvidos.
Esta é uma sequência numérica, cada membro do qual é igual ao anterior, somado com o mesmo número. Esse número é chamado de diferença de uma progressão aritmética e é denotado.
Tente determinar quais sequências numéricas são uma progressão aritmética e quais não são:
a)
b)
c)
d)
Entendi? Compare nossas respostas:
É progressão aritmética - b, c.
não é progressão aritmética - a, d.
Vamos retornar à progressão dada () e tentar encontrar o valor de seu º membro. Existe dois maneira de encontrá-lo.
1. Método
Podemos somar ao valor anterior do número da progressão até chegarmos ao º termo da progressão. É bom que não tenhamos muito para resumir - apenas três valores:
Assim, o -ésimo membro da progressão aritmética descrita é igual a.
2 maneiras
E se precisássemos encontrar o valor do décimo termo da progressão? A soma nos levaria mais de uma hora, e não é fato que não teríamos cometido erros ao somar os números.
É claro que os matemáticos inventaram uma maneira pela qual você não precisa adicionar a diferença de uma progressão aritmética ao valor anterior. Olhe atentamente para a imagem desenhada ... Certamente você já notou um certo padrão, a saber:
Por exemplo, vamos ver o que compõe o valor do -th membro desta progressão aritmética: 
Em outras palavras:
Tente encontrar independentemente dessa maneira o valor de um membro dessa progressão aritmética.
Calculado? Compare suas entradas com a resposta:
Preste atenção que você obteve exatamente o mesmo número do método anterior, quando somamos sucessivamente os membros de uma progressão aritmética ao valor anterior.
Vamos tentar "despersonalizar" esta fórmula - vamos trazê-la para Forma geral e pegue:
|
Equação de progressão aritmética. |
As progressões aritméticas são crescentes ou decrescentes.
Aumentando- progressões em que cada valor subsequente dos termos é maior que o anterior.
Por exemplo:
descendente- progressões em que cada valor subsequente dos termos é menor que o anterior.
Por exemplo:
A fórmula derivada é usada no cálculo de termos em termos crescentes e decrescentes de uma progressão aritmética.
Vamos conferir na prática.
Temos uma progressão aritmética composta pelos seguintes números:
Desde então:
Assim, ficamos convencidos de que a fórmula funciona tanto na progressão aritmética decrescente quanto na progressão aritmética crescente.
Tente encontrar os membros -th e -th dessa progressão aritmética por conta própria.
Vamos comparar os resultados:
Vamos complicar a tarefa - derivamos a propriedade de uma progressão aritmética.
Suponha que nos seja dada a seguinte condição:
- progressão aritmética, encontre o valor.
É fácil, você diz, e comece a contar de acordo com a fórmula que você já conhece:
Seja, a, então:
Absolutamente certo. Acontece que primeiro encontramos, depois adicionamos ao primeiro número e obtemos o que estamos procurando. Se a progressão é representada por pequenos valores, então não há nada complicado nisso, mas e se recebermos números na condição? Concordo, existe a possibilidade de cometer erros nos cálculos.
Agora pense, é possível resolver esse problema em uma etapa usando qualquer fórmula? Claro que sim, e vamos tentar trazê-lo agora.
Vamos denotar o termo desejado da progressão aritmética como conhecemos a fórmula para encontrá-lo - esta é a mesma fórmula que derivamos no início:
, então:
Vamos somar os membros anteriores e seguintes da progressão:
Acontece que a soma dos membros anteriores e subsequentes da progressão é duas vezes o valor do membro da progressão localizado entre eles. Em outras palavras, para encontrar o valor de um membro de progressão com valores anteriores e sucessivos conhecidos, é necessário somá-los e dividir por.
Isso mesmo, temos o mesmo número. Vamos corrigir o material. Calcule você mesmo o valor da progressão, porque não é nada difícil.
Bem feito! Você sabe quase tudo sobre progressão! Resta descobrir apenas uma fórmula, que, segundo a lenda, um dos maiores matemáticos de todos os tempos, o "rei dos matemáticos" - Karl Gauss, facilmente deduziu por si mesmo ...
Quando Carl Gauss tinha 9 anos, o professor, ocupado verificando o trabalho dos alunos de outras turmas, pediu a seguinte tarefa na aula: "Calcule a soma de todos os números naturais de até (de acordo com outras fontes até) inclusive. " Qual foi a surpresa do professor quando um de seus alunos (foi Karl Gauss) depois de um minuto deu a resposta correta para a tarefa, enquanto a maioria dos colegas do temerário após longos cálculos receberam o resultado errado ...
O jovem Carl Gauss notou um padrão que você pode notar facilmente.
Digamos que temos uma progressão aritmética que consiste em -ti membros: Precisamos encontrar a soma dos membros dados da progressão aritmética. Claro, podemos somar manualmente todos os valores, mas e se precisarmos encontrar a soma de seus termos na tarefa, como Gauss estava procurando?
Vamos descrever a progressão que nos foi dada. Observe atentamente os números destacados e tente realizar várias operações matemáticas com eles. 
Tentou? O que você notou? Corretamente! Suas somas são iguais
Agora responda, quantos desses pares haverá na progressão que nos foi dada? Claro, exatamente metade de todos os números, isso é.
Com base no fato de que a soma de dois termos de uma progressão aritmética é igual, e pares iguais semelhantes, obtemos que a soma total é igual a:
.
Assim, a fórmula para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:
Em alguns problemas, não sabemos o º termo, mas sabemos a diferença de progressão. Tente substituir na fórmula da soma, a fórmula do º membro.
O que você conseguiu?
Bem feito! Agora vamos voltar ao problema que foi dado a Carl Gauss: calcule por si mesmo qual é a soma dos números a partir do -th e a soma dos números a partir do -th.
Quanto você conseguiu?
Gauss descobriu que a soma dos termos é igual, e a soma dos termos. Foi assim que você decidiu?
De fato, a fórmula para a soma dos membros de uma progressão aritmética foi comprovada pelo antigo cientista grego Diofanto no século III e, durante todo esse tempo, pessoas espirituosas usaram as propriedades de uma progressão aritmética com força e principal.
Por exemplo, imagine Antigo Egito e o maior canteiro de obras da época - a construção de uma pirâmide... A figura mostra um lado dela. 
Onde está a progressão aqui, você diz? Olhe atentamente e encontre um padrão no número de blocos de areia em cada fileira da parede da pirâmide. 
Por que não uma progressão aritmética? Conte quantos blocos são necessários para construir uma parede se blocos de tijolos forem colocados na base. Espero que você não conte movendo o dedo pelo monitor, você se lembra da última fórmula e de tudo o que dissemos sobre progressão aritmética?
NO este caso a progressão fica assim:
Diferença de progressão aritmética.
O número de membros de uma progressão aritmética.
Vamos substituir nossos dados nas últimas fórmulas (contamos o número de blocos de 2 maneiras).
Método 1.
Método 2.
E agora você também pode calcular no monitor: compare os valores obtidoscom o número de blocos que estão em nossa pirâmide. Concordou? Muito bem, você dominou a soma dos º termos de uma progressão aritmética.
Claro, você não pode construir uma pirâmide a partir dos blocos da base, mas a partir de? Tente calcular quantos tijolos de areia são necessários para construir uma parede com essa condição.
Você conseguiu?
A resposta correta é blocos:
Tarefas:
Respostas:
Responda: Em duas semanas, Masha deve agachar uma vez por dia.
Os números contêm números ímpares.
Substituímos os dados disponíveis na fórmula:
Responda: A soma de todos os números ímpares contidos em é igual a.
Responda: Há troncos na alvenaria.
Vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:
Você pode escrever qualquer número, e pode haver quantos você quiser. Mas você sempre pode dizer qual deles é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de uma sequência numérica.
Sequência numéricaé um conjunto de números, cada um dos quais pode receber um número único.
Em outras palavras, cada número pode ser associado a um determinado número natural, e apenas um. E não atribuiremos esse número a nenhum outro número deste conjunto.
O número com o número é chamado de -th membro da sequência.
Geralmente chamamos a sequência inteira de alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência - a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .
É muito conveniente que o -ésimo membro da sequência possa ser dado por alguma fórmula. Por exemplo, a fórmula
define a sequência:
E a fórmula é a seguinte sequência:
Por exemplo, uma progressão aritmética é uma sequência (o primeiro termo aqui é igual e a diferença). Ou (, diferença).
Chamamos de recorrente uma fórmula em que, para descobrir o -ésimo termo, você precisa conhecer o anterior ou vários anteriores:
Para encontrar, por exemplo, o º termo da progressão usando tal fórmula, temos que calcular os nove anteriores. Por exemplo, deixe. Então:
Bem, agora está claro qual é a fórmula?
Em cada linha, somamos, multiplicamos por algum número. Para que? Muito simples: este é o número do membro atual menos:
Muito mais confortável agora, certo? Verificamos:
Decida por si mesmo:
Em uma progressão aritmética, encontre a fórmula para o enésimo termo e encontre o centésimo termo.
Solução:
O primeiro membro é igual. e qual é a diferença? E aqui está o que:
(afinal, chama-se diferença porque é igual à diferença dos membros sucessivos da progressão).
Então a fórmula é:
Então o centésimo termo é:
Qual é a soma de todos os números naturais de a?
De acordo com a legenda, grande matemático Carl Gauss, sendo um menino de 9 anos, calculou esse valor em poucos minutos. Ele notou que a soma do primeiro e do último número é igual, a soma do segundo e do penúltimo é a mesma, a soma do terceiro e do 3º a partir do final é a mesma, e assim por diante. Quantos desses pares existem? Isso mesmo, exatamente metade do número de todos os números, isto é. Então,
A fórmula geral para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:
Exemplo:
Encontre a soma de todos números de dois dígitos, múltiplos.
Solução:
O primeiro número é este. Cada próximo é obtido adicionando um número ao anterior. Assim, os números que nos interessam formam uma progressão aritmética com o primeiro termo e a diferença.
A fórmula para o º termo desta progressão é:
Quantos termos estão na progressão se todos eles devem ter dois dígitos?
Muito fácil: .
O último termo da progressão será igual. Então a soma:
Responda: .
Agora decida você mesmo:
Respostas:
A raiz obviamente não se encaixa, então a resposta.
Vamos calcular a distância percorrida no último dia usando a fórmula do -th membro:
(km).
Responda:
Esta é uma sequência numérica em que a diferença entre os números adjacentes é a mesma e igual.
A progressão aritmética é crescente () e decrescente ().
Por exemplo:
é escrito como uma fórmula, onde é o número de números na progressão.
Fica fácil encontrar um membro da progressão se seus membros vizinhos forem conhecidos - onde está o número de números na progressão.
Existem duas maneiras de encontrar a soma:
Onde é o número de valores.
Onde é o número de valores.
Tipo de aula: aprendendo novos materiais.
Lições objetivas:
Tarefas:
Equipamento:
I. Atualização de conhecimentos básicos.
1. Trabalho independente em pares.
1ª opção:
Defina uma progressão aritmética. Escreva uma fórmula recursiva que defina uma progressão aritmética. Dê um exemplo de progressão aritmética e indique sua diferença.
2ª opção:
Escreva a fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética. Encontre o 100º termo de uma progressão aritmética ( um}: 2, 5, 8 …
Nesse momento, dois alunos lado reverso quadros preparam respostas para as mesmas perguntas.
Os alunos avaliam o trabalho do parceiro comparando-o com o quadro. (Os folhetos com as respostas são entregues).
2. Momento do jogo.
Exercício 1.
Professora. Eu concebi uma progressão aritmética. Faça-me apenas duas perguntas para que, após as respostas, você possa nomear rapidamente o 7º membro dessa progressão. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Perguntas dos alunos.
Se não houver mais perguntas, o professor pode estimulá-las - uma “proibição” de d (diferença), ou seja, não é permitido perguntar qual é a diferença. Você pode fazer perguntas: qual é o 6º termo da progressão e qual é o 8º termo da progressão?
Tarefa 2.
Há 20 números escritos no quadro: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
O professor fica de costas para o quadro-negro. Os alunos dizem o número do número, e o professor imediatamente liga para o próprio número. Explique como posso fazer?
O professor se lembra da fórmula do enésimo termo a n \u003d 3n - 2 e, substituindo os valores dados de n, encontra os valores correspondentes um .
II. Declaração da tarefa educativa.
Proponho resolver um antigo problema que remonta ao 2º milênio aC, encontrado em papiros egípcios.
Uma tarefa:“Diga-se a você: divida 10 medidas de cevada entre 10 pessoas, a diferença entre cada pessoa e seu vizinho é 1/8 da medida.”
Objetivo da lição- obter a dependência da soma dos termos da progressão em seu número, o primeiro termo e a diferença, e verificar se o problema foi resolvido corretamente nos tempos antigos.
Antes de derivar a fórmula, vamos ver como os antigos egípcios resolveram o problema.
E resolveram assim:
1) 10 medidas: 10 = 1 medida - share médio;
2) 1 medida ∙ = 2 medidas - dobrado média compartilhar.
dobrou média a parte é a soma das partes da 5ª e 6ª pessoa.
3) 2 medidas - 1/8 medida = 1 7/8 medidas - o dobro da proporção da quinta pessoa.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - a parte do quinto; e assim por diante, você pode encontrar a participação de cada pessoa anterior e posterior.
Obtemos a sequência:
III. A solução da tarefa.
1. Trabalhe em grupos
1º grupo: Encontre a soma de 20 números naturais consecutivos: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.
No geral 
II grupo: Encontre a soma dos números naturais de 1 a 100 (Legend of Little Gauss).
S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050
Conclusão:
III grupo: Encontre a soma dos números naturais de 1 a 21.
Solução: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Conclusão:
Grupo IV: Encontre a soma dos números naturais de 1 a 101.
Conclusão:
Este método de resolução dos problemas considerados é chamado de “método de Gauss”.
2. Cada grupo apresenta a solução do problema no quadro.
3. Generalização das soluções propostas para uma progressão aritmética arbitrária:
a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Encontramos essa soma argumentando de forma semelhante:
4. Resolvemos a tarefa?(Sim.)
4. Compreensão primária e aplicação das fórmulas obtidas na resolução de problemas.
1. Verificando a solução de um problema antigo pela fórmula.
2. Aplicação da fórmula na resolução de vários problemas.
3. Exercícios para a formação da capacidade de aplicação da fórmula na resolução de problemas.
A) Nº 613
Dado :( e n) - progressão aritmética;
(a n): 1, 2, 3, ..., 1500
Achar: S 1500
Solução: , e 1 = 1, e 1500 = 1500,
B) Dado: ( e n) - progressão aritmética;
(e n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210
Achar: n
Solução:
V. Trabalho independente com verificação mútua.
Denis foi trabalhar como mensageiro. No primeiro mês, seu salário foi de 200 rublos, em cada mês subsequente aumentou em 30 rublos. Quanto ele ganhou em um ano?
Dado :( e n) - progressão aritmética;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Achar: S 12
Solução:
Resposta: Denis recebeu 4.380 rublos por ano.
VI. Instrução de lição de casa.
VII. Resumindo a lição.
1. Folha de pontuação
2. Continue as frases
3. Você consegue encontrar a soma dos números de 1 a 500? Qual método você usará para resolver esse problema?
Bibliografia.
1. Álgebra, 9º ano. Livro didático para instituições de ensino. Ed. G.V. Dorofeeva. Moscou: Iluminismo, 2009.
Se todo número natural n colocar na linha número real um , então eles dizem que dado sequência numérica :
uma 1 , uma 2 , uma 3 , . . . , um , . . . .
Assim, uma sequência numérica é uma função de um argumento natural.
Número uma 1 chamado o primeiro membro da sequência , número uma 2 — o segundo membro da sequência , número uma 3 — terceiro e assim por diante. Número um chamado enésimo membro sequências , e o número natural n — o número dele .
De dois membros vizinhos um e um +1 sequências de membros um +1 chamado subseqüente (em direção um ), uma um — anterior (em direção um +1 ).
Para especificar uma sequência, você deve especificar um método que permita localizar um membro de sequência com qualquer número.
Muitas vezes a sequência é dada com fórmulas de enésimo termo , ou seja, uma fórmula que permite determinar um membro de sequência por seu número.
Por exemplo,
a sequência de números ímpares positivos pode ser dada pela fórmula
um= 2n- 1,
e a sequência de alternância 1 e -1 - Fórmula
b n = (-1)n +1 . ◄
A sequência pode ser determinada fórmula recorrente, ou seja, uma fórmula que expressa qualquer membro da sequência, começando com alguns, passando pelos membros anteriores (um ou mais).
Por exemplo,
E se uma 1 = 1 , uma um +1 = um + 5
uma 1 = 1,
uma 2 = uma 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
uma 3 = uma 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
uma 4 = uma 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
uma 5 = uma 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Se um um 1= 1, um 2 = 1, um +2 = um + um +1 , então os primeiros sete membros da sequência numérica são definidos da seguinte forma:
um 1 = 1,
um 2 = 1,
um 3 = um 1 + um 2 = 1 + 1 = 2,
um 4 = um 2 + um 3 = 1 + 2 = 3,
um 5 = um 3 + um 4 = 2 + 3 = 5,
uma 6 = uma 4 + uma 5 = 3 + 5 = 8,
uma 7 = uma 5 + uma 6 = 5 + 8 = 13. ◄
As sequências podem ser final e sem fim .
A sequência é chamada final se tiver um número finito de membros. A sequência é chamada sem fim se tiver infinitos membros.
Por exemplo,
sequência de números naturais de dois algarismos:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Sequência de números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
sem fim. ◄
A sequência é chamada aumentando , se cada um de seus membros, a partir do segundo, for maior que o anterior.
A sequência é chamada minguante , se cada um dos seus membros, a partir do segundo, for inferior ao anterior.
Por exemplo,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . é uma sequência ascendente;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . é uma sequência descendente. ◄
Uma sequência cujos elementos não diminuem com o aumento do número, ou, inversamente, não aumentam, é chamada sequência monótona .
As sequências monotônicas, em particular, são sequências crescentes e sequências decrescentes.
Progressão aritmética uma sequência é chamada, cada membro do qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, ao qual o mesmo número é adicionado.
uma 1 , uma 2 , uma 3 , . . . , um, . . .
é uma progressão aritmética se para qualquer número natural n condição for atendida:
um +1 = um + d,
Onde d - algum número.
Assim, a diferença entre o próximo e os membros anteriores de uma dada progressão aritmética é sempre constante:
um 2 - uma 1 = um 3 - uma 2 = . . . = um +1 - um = d.
Número d chamado a diferença de uma progressão aritmética.
Para definir uma progressão aritmética, basta especificar seu primeiro termo e diferença.
Por exemplo,
E se uma 1 = 3, d = 4 , então os primeiros cinco termos da sequência são encontrados da seguinte forma:
um 1 =3,
um 2 = um 1 + d = 3 + 4 = 7,
um 3 = um 2 + d= 7 + 4 = 11,
um 4 = um 3 + d= 11 + 4 = 15,
uma 5 = uma 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Para uma progressão aritmética com o primeiro termo uma 1 e diferença d sua n
um = um 1 + (n- 1)d.
Por exemplo,
encontrar o trigésimo termo de uma progressão aritmética
1, 4, 7, 10, . . .
um 1 =1, d = 3,
um 30 = um 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
um n-1 = um 1 + (n- 2)d,
um= um 1 + (n- 1)d,
um +1 = uma 1 + nd,
então obviamente
| um=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética dos membros anteriores e posteriores.
os números a, b e c são membros consecutivos de alguma progressão aritmética se e somente se um deles for igual à média aritmética dos outros dois.
Por exemplo,
um = 2n- 7 , é uma progressão aritmética.
Vamos usar a afirmação acima. Nós temos:
um = 2n- 7,
um n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
um n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Consequentemente,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = um,
|
| 2
| 2
|
◄
Observe que n -th membro de uma progressão aritmética pode ser encontrado não apenas através uma 1 , mas também qualquer anterior a k
um = a k + (n- k)d.
Por exemplo,
por uma 5 pode ser escrito
um 5 = um 1 + 4d,
um 5 = um 2 + 3d,
um 5 = um 3 + 2d,
um 5 = um 4 + d. ◄
um = um n-k + kd,
um = um n+k - kd,
então obviamente
| um=
| uma n-k
+ um n+k
|
| 2
|
qualquer membro de uma progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à metade da soma dos membros dessa progressão aritmética igualmente espaçados dele.
Além disso, para qualquer progressão aritmética, a igualdade é verdadeira:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Por exemplo,
em progressão aritmética
1) uma 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (uma 9 + uma 11 )/2;
2) 28 = um 10 = um 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) um 10= 28 = (19 + 37)/2 = (um 7 + um 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Porque
um 2 + um 12= 4 + 34 = 38,
um 5 + um 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ um,
primeiro n membros de uma progressão aritmética é igual ao produto da metade da soma dos termos extremos pelo número de termos:
Disto, em particular, segue-se que se for necessário somar os termos
a k, a k +1 , . . . , um,
então a fórmula anterior mantém sua estrutura:
Por exemplo,
em progressão aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Se for dada uma progressão aritmética, então as quantidades uma 1 , um, d, n eS n ligados por duas fórmulas:
Portanto, se os valores de três dessas quantidades forem fornecidos, os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Uma progressão aritmética é uma sequência monotônica. Em que:
progressão geométrica uma sequência é chamada, cada termo do qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
é uma progressão geométrica se para qualquer número natural n condição for atendida:
b n +1 = b n · q,
Onde q ≠ 0 - algum número.
Assim, a razão do próximo termo desta progressão geométrica para o anterior é um número constante:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Número q chamado denominador de uma progressão geométrica.
Para definir uma progressão geométrica, basta especificar seu primeiro termo e denominador.
Por exemplo,
E se b 1 = 1, q = -3 , então os primeiros cinco termos da sequência são encontrados da seguinte forma:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 e denominador q sua n -th termo pode ser encontrado pela fórmula:
b n = b 1 · q n -1 .
Por exemplo,
encontrar o sétimo termo de uma progressão geométrica 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
então obviamente
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
cada membro da progressão geométrica, a partir do segundo, é igual à média geométrica (proporcional) dos membros anteriores e posteriores.
Como a recíproca também é verdadeira, vale a seguinte afirmação:
os números a, b e c são membros consecutivos de alguma progressão geométrica se e somente se o quadrado de um deles é igual ao produto dos outros dois, ou seja, um dos números é a média geométrica dos outros dois.
Por exemplo,
Vamos provar que a sequência dada pela fórmula b n= -3 2 n , é uma progressão geométrica. Vamos usar a afirmação acima. Nós temos:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Consequentemente,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
o que comprova a afirmação requerida. ◄
Observe que n termo de uma progressão geométrica pode ser encontrado não apenas b 1 , mas também qualquer termo anterior bk , para o qual basta usar a fórmula
b n = bk · q n - k.
Por exemplo,
por b 5 pode ser escrito
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = bk · q n - k,
b n = b n - k · q,
então obviamente
b n 2 = b n - k· b n + k
o quadrado de qualquer membro de uma progressão geométrica, a partir do segundo, é igual ao produto dos membros dessa progressão equidistantes dele.
Além disso, para qualquer progressão geométrica, a igualdade é verdadeira:
bm· b n= bk· bl,
m+ n= k+ eu.
Por exemplo,
exponencialmente
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , Porque
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
primeiro n membros de uma progressão geométrica com denominador q ≠ 0 calculado pela fórmula:
E quando q = 1 - de acordo com a fórmula
S n= n.b. 1
Observe que, se precisarmos somar os termos
bk, bk +1 , . . . , b n,
então a fórmula é usada:
| S n- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + b n = bk · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Por exemplo,
exponencialmente 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Se for dada uma progressão geométrica, então as quantidades b 1 , b n, q, n e S n ligados por duas fórmulas:
Portanto, se os valores de quaisquer três dessas quantidades forem fornecidos, os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Para uma progressão geométrica com o primeiro termo b 1 e denominador q acontece o seguinte propriedades de monotonicidade :
b 1 > 0 e q> 1;
b 1 < 0 e 0 < q< 1;
b 1 > 0 e 0 < q< 1;
b 1 < 0 e q> 1.
Se um q< 0 , então a progressão geométrica é de sinal alternado: seus termos ímpares têm o mesmo sinal que seu primeiro termo, e os termos pares têm o sinal oposto. É claro que uma progressão geométrica alternada não é monótona.
Produto de primeira n Os termos de uma progressão geométrica podem ser calculados pela fórmula:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Por exemplo,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progressão geométrica infinitamente decrescente é chamada de progressão geométrica infinita cujo módulo do denominador é menor que 1 , isso é
|q| < 1 .
Observe que uma progressão geométrica infinitamente decrescente pode não ser uma sequência decrescente. Isso se encaixa no caso
1 < q< 0 .
Com tal denominador, a sequência é de sinal alternado. Por exemplo,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente nomeie o número ao qual a soma do primeiro n termos da progressão com um aumento ilimitado no número n . Este número é sempre finito e é expresso pela fórmula
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Por exemplo,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Aritmética e progressão geométrica estão intimamente relacionados. Vamos considerar apenas dois exemplos.
uma 1 , uma 2 , uma 3 , . . . d , então
BA 1 , BA 2 , BA 3 , . . . bd .
Por exemplo,
1, 3, 5, . . . - progressão aritmética com diferença 2 e
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . é uma progressão geométrica com denominador 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . é uma progressão geométrica com denominador q , então
registrar a b 1, registrar a b 2, registrar a b 3, . . . - progressão aritmética com diferença registrar umq .
Por exemplo,
2, 12, 72, . . . é uma progressão geométrica com denominador 6 e
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progressão aritmética com diferença lg 6 . ◄
