Passamos à consideração de equações diferenciais de segunda ordem e equações diferenciais de ordens superiores. Se você tem uma vaga ideia do que é uma equação diferencial (ou não entende nada), recomendo começar com a lição Equações diferenciais de primeira ordem. Exemplos de solução. Muitos dos princípios de solução e os conceitos básicos de difurantes de primeira ordem são automaticamente estendidos para equações diferenciais ordem superior, então é muito importante primeiro entender as equações de primeira ordem.
Muitos leitores podem ter um preconceito de que DE de 2ª, 3ª e outras ordens é algo muito difícil e inacessível para dominar. Isso não é verdade . Aprender a resolver difusas de ordem superior dificilmente é mais difícil do que os DEs de 1ª ordem “comuns”. E em alguns lugares é ainda mais fácil, já que o material do currículo escolar é utilizado ativamente nas decisões.
Mais popular equações diferenciais de segunda ordem. Em uma equação diferencial de segunda ordem necessariamente inclui a segunda derivada e não incluso
Deve-se notar que alguns dos bebês (e até todos de uma vez) podem estar faltando na equação, é importante que o pai esteja em casa. A equação diferencial de segunda ordem mais primitiva se parece com isso:
As equações diferenciais de terceira ordem em tarefas práticas são muito menos comuns, de acordo com minhas observações subjetivas em duma estadual eles obteriam cerca de 3-4% dos votos.
Em uma equação diferencial de terceira ordem necessariamente inclui a terceira derivada e não incluso derivadas de ordens superiores:
A equação diferencial mais simples de terceira ordem é a seguinte: - o pai está em casa, todos os filhos estão passeando.
Da mesma forma, equações diferenciais de 4ª, 5ª e ordens superiores podem ser definidas. Em problemas práticos, tais deslizamentos de DE são extremamente raros, no entanto, tentarei dar exemplos relevantes.
As equações diferenciais de ordem superior propostas em problemas práticos podem ser divididas em dois grupos principais.
1) O primeiro grupo - os chamados equações de ordem inferior. Voar em!
2) O segundo grupo - equações lineares ordens superiores com coeficientes constantes. Que vamos começar a considerar agora.
Na teoria e na prática, dois tipos de tais equações são distinguidos - equação homogênea e equação não homogênea.
DE homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes tem a seguinte forma: 
, onde e são constantes (números), e no lado direito - estritamente zero.
Como você pode ver, não há dificuldades especiais com equações homogêneas, o principal é que decidir corretamente Equação quadrática .
Às vezes, existem equações homogêneas não padronizadas, por exemplo, uma equação na forma 
, onde na segunda derivada existe alguma constante , diferente da unidade (e, claro, diferente de zero). O algoritmo da solução não muda em nada, deve-se compor calmamente a equação característica e encontrar suas raízes. Se a equação característica 
terá duas raízes reais diferentes, por exemplo: 
, então decisão comum escrito da maneira usual: 
.
Em alguns casos, devido a um erro de digitação na condição, podem surgir raízes “ruins”, algo como 
. O que fazer, a resposta terá que ser escrita assim:
Com raízes complexas conjugadas "ruins" como 
também não há problema, solução geral: 
Aquilo é, existe uma solução geral em qualquer caso. Porque qualquer equação quadrática tem duas raízes.
No parágrafo final, como prometi, vamos considerar brevemente:
Tudo é muito, muito parecido.
A equação linear homogênea de terceira ordem tem a seguinte forma:
, onde são constantes.
Para esta equação, você também precisa compor uma equação característica e encontrar suas raízes. A equação característica, como muitos já imaginaram, é assim: 
, e isso de qualquer forma Tem exatamente três raiz.
Sejam, por exemplo, todas as raízes reais e distintas: 
, então a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:
Se uma raiz é real e as outras duas são complexas conjugadas, então escrevemos a solução geral da seguinte forma:
um caso especial quando todas as três raízes são múltiplas (iguais). Vamos considerar o DE homogêneo mais simples de 3ª ordem com pai solitário: . A equação característica tem três raízes nulas coincidentes. Escrevemos a solução geral da seguinte forma:
Se a equação característica 
tem, por exemplo, três raízes múltiplas, então a solução geral, respectivamente, é:
Exemplo 9
Resolva uma equação diferencial homogênea de terceira ordem
Solução: Nós compomos e resolvemos a equação característica:
, - uma raiz real e duas raízes complexas conjugadas são obtidas.
Responda: decisão comum
Da mesma forma, podemos considerar uma equação linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes: , onde são constantes.
Este parágrafo irá considerar caso especial equações lineares de segunda ordem, quando os coeficientes da equação são constantes, ou seja, são números. Essas equações são chamadas de equações com coeficientes constantes. Este tipo de equação encontra uma aplicação particularmente ampla.
Considere a equação
onde os coeficientes são constantes. Assumindo que dividindo todos os termos da equação por e denotando
escrevemos esta equação na forma
Como se sabe, para encontrar a solução geral da equação linear equação homogênea de segunda ordem, basta conhecer seu sistema fundamental de soluções parciais. Vamos mostrar como o sistema fundamental de soluções particulares é encontrado para uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Procuraremos uma solução particular desta equação na forma
Diferenciando esta função duas vezes e substituindo as expressões por na Eq. (59), obtemos
Como , então, reduzindo por obtemos a equação
A partir dessa equação, são determinados os valores de k para os quais a função será uma solução para a equação (59).
A equação algébrica (61) para determinar o coeficiente k é chamada de equação característica da equação diferencial dada (59).
A equação característica é uma equação de segundo grau e, portanto, tem duas raízes. Essas raízes podem ser reais diferentes, reais e iguais ou complexos conjugados.
Consideremos a forma do sistema fundamental de soluções parciais em cada um desses casos.
1. As raízes da equação característica são reais e diferentes: . Neste caso, de acordo com a fórmula (60), encontramos duas soluções particulares:
Essas duas soluções particulares formam um sistema fundamental de soluções em todo o eixo numérico, pois o determinante de Wronsky nunca desaparece:
Portanto, a solução geral da equação de acordo com a fórmula (48) tem a forma
2. As raízes da equação característica são iguais: . Neste caso, ambas as raízes serão reais. Pela fórmula (60) obtemos apenas uma solução particular
Mostremos que a segunda solução particular, que junto com a primeira forma um sistema fundamental, tem a forma
Em primeiro lugar, verificamos que a função é uma solução da Eq. (59). Sério,
Mas , já que é a raiz da equação característica (61). Além disso, de acordo com o teorema de Vieta, portanto . Portanto, , ou seja, a função é de fato uma solução da Eq. (59).
Vamos agora mostrar que as soluções particulares encontradas formam um sistema fundamental de soluções. Sério,
Assim, neste caso a solução geral da equação linear homogênea tem a forma
3. As raízes da equação característica são complexas. Como você sabe, as raízes complexas de uma equação quadrática com coeficientes reais são números complexos conjugados, ou seja, eles têm a forma: . Neste caso, as soluções particulares da equação (59), de acordo com a fórmula (60), terão a forma:
Usando as fórmulas de Euler (ver Cap. XI, § 5 p. 3), as expressões para podem ser escritas na forma:
Essas soluções são complexas. Para obter soluções reais, considere as novas funções
Eles são combinações lineares de soluções e, portanto, são eles próprios soluções da equação (59) (ver § 3, item 2, teorema 1).
É fácil mostrar que o determinante de Wronsky para essas soluções é diferente de zero e, portanto, as soluções formam um sistema fundamental de soluções.
Assim, a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea no caso de raízes complexas da equação característica tem a forma
Em conclusão, damos uma tabela de fórmulas para a solução geral da equação (59) dependendo da forma das raízes da equação característica.
Equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem uma solução geral 
, Onde 
e 
soluções particulares linearmente independentes desta equação.
Forma geral de soluções de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes 
, depende das raízes da equação característica 
.
|
As raízes da característica equações |
Tipo de solução geral |
|
Raízes |
|
|
Raízes válido e idêntico |
|
|
raízes complexas |
Exemplo
Encontre a solução geral de equações diferenciais homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes:
1)
Solução:
.
Tendo resolvido, encontraremos as raízes 
,
válido e diferente. Portanto, a solução geral é: 
.
2)
Solução:
Vamos fazer a equação característica: 
.
Tendo resolvido, encontraremos as raízes 
válidos e idênticos. Portanto, a solução geral é: 
.
3)
Solução:
Vamos fazer a equação característica: 
.
Tendo resolvido, encontraremos as raízes 
complexo. Portanto, a solução geral é:
Equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma
Onde 
. (1)
A solução geral de uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem tem a forma 
, Onde 
é uma solução particular desta equação, é uma solução geral da equação homogênea correspondente, ou seja, equações.
Tipo de solução privada 
equação não homogênea(1) dependendo do lado direito 
:
|
parte direita |
Solução privada |
|
|
|
|
|
|
|
Onde |
|
|
Onde |
Considere diferentes tipos de lados direitos de uma equação diferencial linear não homogênea:
1.
, onde é um polinômio de grau 
. Então uma solução particular 
pode ser pesquisado no formulário 
, Onde 
, uma 
é o número de raízes da equação característica igual a zero.
Exemplo
Encontrar uma solução geral 
.
Solução:
.
B) Como o lado direito da equação é um polinômio de primeiro grau e nenhuma das raízes da equação característica 
diferente de zero ( 
), então procuramos uma solução particular na forma onde 
e 
são coeficientes desconhecidos. Diferenciando duas vezes 
e substituindo 
,
e 
na equação original, encontramos.
Igualando os coeficientes nas mesmas potências 
em ambos os lados da equação 
,
, nós achamos 
,
. Assim, uma solução particular desta equação tem a forma 
, e sua solução geral.
2.
Deixar parte direita tem a forma 
, onde é um polinômio de grau 
. Então uma solução particular 
pode ser pesquisado no formulário 
, Onde 
é um polinômio de mesmo grau que 
, uma 
- um número indicando quantas vezes 
é a raiz da equação característica.
Exemplo
Encontrar uma solução geral 
.
Solução:
A) Encontre a solução geral da equação homogênea correspondente 
. Para fazer isso, escrevemos a equação característica 
. Vamos encontrar as raízes da última equação 
. Portanto, a solução geral da equação homogênea tem a forma 
.
equação característica 
, Onde 
é um coeficiente desconhecido. Diferenciando duas vezes 
e substituindo 
,
e 
na equação original, encontramos. Onde 
, isso é 
ou 
.
Assim, uma solução particular desta equação tem a forma 
, e sua solução geral 
.
3.
Deixe o lado direito parecer , onde 
e 
- números dados. Então uma solução particular 
pode ser pesquisado no formulário onde 
e 
são coeficientes desconhecidos, e 
é um número igual ao número de raízes da equação característica que coincide com 
. Se em uma expressão de função 
incluir pelo menos uma das funções 
ou 
, então em 
deve ser sempre inserido Ambas funções.
Exemplo
Encontre uma solução geral.
Solução:
A) Encontre a solução geral da equação homogênea correspondente 
. Para fazer isso, escrevemos a equação característica 
. Vamos encontrar as raízes da última equação 
. Portanto, a solução geral da equação homogênea tem a forma 
.
B) Como o lado direito da equação é uma função 
, então o número de controle desta equação, não coincide com as raízes 
equação característica 
. Então procuramos uma solução particular na forma
Onde 
e 
são coeficientes desconhecidos. Derivando duas vezes, obtemos. Substituindo 
,
e 
na equação original, encontramos
.
Juntando os termos semelhantes, obtemos
.
Igualamos os coeficientes em 
e 
nos lados direito e esquerdo da equação, respectivamente. Nós pegamos o sistema 
. Resolvendo, encontramos 
,
.
Assim, uma solução particular da equação diferencial original tem a forma .
A solução geral da equação diferencial original tem a forma .
Aqui aplicamos o método de variação das constantes de Lagrange para resolver equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem. Descrição detalhada este método para resolver equações de ordem arbitrária é apresentado na página
Solução de equações diferenciais lineares não homogêneas de ordem superior pelo método de Lagrange >>> .
Resolva uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes usando a variação das constantes de Lagrange:
(1)
Primeiro, resolvemos a equação diferencial homogênea:
(2)
Esta é uma equação de segunda ordem.
Resolvemos a equação quadrática:
.
Raízes múltiplas: . sistema fundamental soluções da equação (2) tem a forma:
(3)
.
Daí obtemos a solução geral da equação homogênea (2):
(4)
.
Variamos as constantes C 1
e C 2
. Ou seja, substituímos as constantes e em (4) por funções:
.
Estamos procurando uma solução para a equação original (1) na forma:
(5)
.
encontramos a derivada:
.
Conectamos as funções e a equação:
(6)
.
Então
.
Encontramos a segunda derivada:
.
Substituímos na equação original (1):
(1)
;
.
Como e satisfaz a equação homogênea (2), a soma dos termos em cada coluna das três últimas linhas é zero, e a equação anterior fica:
(7)
.
Aqui .
Juntamente com a equação (6), obtemos um sistema de equações para determinar as funções e :
(6)
:
(7)
.
Resolvemos o sistema de equações (6-7). Vamos escrever expressões para funções e:
.
Encontramos suas derivadas:
;
.
Resolvemos o sistema de equações (6-7) pelo método de Cramer. Calculamos o determinante da matriz do sistema:
.
Pelas fórmulas de Cramer encontramos:
;
.
Então, encontramos derivadas de funções:
;
.
Vamos integrar (ver Métodos de integração de raízes). Fazendo uma substituição
;
;
;
.
.
.
;
.
Resolva a equação diferencial pelo método da variação das constantes de Lagrange:
(8)
Resolvemos uma equação diferencial homogênea:
(9)
Procurando uma solução na forma . Nós compomos a equação característica:
Esta equação tem raízes complexas:
.
O sistema fundamental de soluções correspondentes a essas raízes tem a forma:
(10)
.
A solução geral da equação homogênea (9):
(11)
.
Agora variamos as constantes C 1
e C 2
. Ou seja, substituímos as constantes em (11) por funções:
.
Estamos procurando uma solução para a equação original (8) na forma:
(12)
.
Além disso, o curso da solução é o mesmo do exemplo 1. Chegamos ao seguinte sistema de equações para determinar as funções e :
(13)
:
(14)
.
Aqui .
Vamos resolver este sistema. Vamos escrever as expressões das funções e :
.
Da tabela de derivadas encontramos:
;
.
Resolvemos o sistema de equações (13-14) pelo método de Cramer. Determinante da matriz do sistema:
.
Pelas fórmulas de Cramer encontramos:
;
.
.
Desde , então o sinal do módulo sob o sinal do logaritmo pode ser omitido. Multiplique o numerador e o denominador por:
.
Então
.
Solução geral da equação original:
.
A equação
onde e são funções contínuas no intervalo é chamada de equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea, as funções e são seus coeficientes. Se neste intervalo, então a equação assume a forma:
e é chamada de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Se a equação (**) tiver os mesmos coeficientes e a equação (*), então ela é chamada de equação homogênea correspondente a uma equação não homogênea (*).
Deixe na equação linear
E são números reais constantes.
Buscaremos uma solução particular da equação na forma de uma função , onde é o real ou número complexo estar determinado. Derivando em relação a , obtemos:
Substituindo na equação diferencial original, obtemos:
Assim, considerando que , temos:
Essa equação é chamada de equação característica de uma equação diferencial linear homogênea. A equação característica também permite encontrar . Esta é uma equação de segundo grau, por isso tem duas raízes. Vamos denotá-los por e . Três casos são possíveis:
1) As raízes são reais e diferentes. Neste caso, a solução geral da equação é:
Exemplo 1
2) As raízes são reais e iguais. Neste caso, a solução geral da equação é:
Exemplo2
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A equação característica tem a forma:
Solução da equação característica:
Solução geral da equação diferencial original:
3) Raízes complexas. Neste caso, a solução geral da equação é:
Exemplo 3
A equação característica tem a forma:
Solução da equação característica:
Solução geral da equação diferencial original:
Consideremos agora a solução de alguns tipos de equações lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes
onde e são números reais constantes, é uma função contínua conhecida no intervalo . Para encontrar a solução geral de tal equação diferencial, é necessário conhecer a solução geral da equação diferencial homogênea correspondente e a solução particular. Vamos considerar alguns casos:
Também estamos procurando uma solução particular da equação diferencial na forma de um trinômio quadrado:
Se 0 é uma única raiz da equação característica, então
Se 0 é uma raiz dupla da equação característica, então
A situação é semelhante se é um polinômio de grau arbitrário
Exemplo 4
Resolvemos a equação homogênea correspondente.
Equação característica:
A solução geral da equação homogênea:
Vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Substituindo as derivadas encontradas na equação diferencial original, obtemos:
A solução particular desejada:
Solução geral da equação diferencial original:
Buscamos uma solução particular na forma , onde é um coeficiente indeterminado.
Substituindo e na equação diferencial original, obtemos uma identidade, da qual encontramos o coeficiente.
Se é a raiz da equação característica, procuramos uma solução particular da equação diferencial original na forma , quando é uma raiz simples e , quando é uma raiz dupla.
Exemplo 5
Equação característica:
A solução geral da equação diferencial homogênea correspondente é:
Vamos encontrar uma solução particular da equação diferencial não homogênea correspondente:
A solução geral da equação diferencial:
Neste caso, procuramos uma solução particular na forma de um binômio trigonométrico:
onde e são coeficientes incertos
Substituindo e na equação diferencial original, obtemos uma identidade, da qual encontramos os coeficientes.
Estas equações determinam os coeficientes e exceto para o caso quando (ou quando são as raízes da equação característica). Neste último caso, procuramos uma solução particular da equação diferencial na forma:
Exemplo6
Equação característica:
A solução geral da equação diferencial homogênea correspondente é:
Vamos encontrar uma solução particular da dif-equação não homogênea
Substituindo na equação diferencial original, obtemos:
Solução geral da equação diferencial original:
Convergência da série numérica
É dada uma definição de convergência de uma série e são considerados em detalhe problemas para o estudo da convergência de séries numéricas - critérios de comparação, critério de convergência de d'Alembert, critério de convergência de Cauchy e critério de convergência integral de Cauchy.
Convergência absoluta e condicional de uma série
A página trata de séries alternadas, sua convergência condicional e absoluta, o teste de convergência de Leibniz para séries alternadas - contém breve teoria sobre o tema e um exemplo de solução do problema.
e 
válido e variado
=
=
,
– polinômio de grau 
, Onde 
é o número de raízes da equação característica igual a zero.
, Onde 
=
é a raiz da equação característica.
- número, 
.
é o número de raízes da equação característica que coincide com 
.
