Forma geral de uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem. Equações diferenciais não homogêneas de segunda ordem

Fundamentos da resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem (LNDU-2) com coeficientes constantes(PC)

Um LDDE de 2ª ordem com coeficientes constantes $p$ e $q$ tem a forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, onde $f\left(x \right)$ é uma função contínua.

Com relação ao LNDU 2 com PC, as duas afirmações a seguir são verdadeiras.

Suponhamos que alguma função $U$ seja uma solução parcial arbitrária de uma equação diferencial não homogênea. Suponhamos também que alguma função $Y$ seja a solução geral (GS) da equação diferencial homogênea linear correspondente (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Então o GR de LHDE-2 é igual à soma das soluções privada e geral indicadas, ou seja, $y=U+Y$.

Se o lado direito de um LMDE de 2ª ordem é uma soma de funções, ou seja, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, então primeiro podemos encontrar as PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ que correspondem para cada uma das funções $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, e depois disso escreva o CR LNDU-2 na forma $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Solução de LPDE de 2ª ordem com PC

É óbvio que o tipo de um ou outro PD $U$ de um determinado LNDU-2 depende da forma específica do seu lado direito $f\left(x\right)$. Os casos mais simples de busca por PD LNDU-2 são formulados na forma das quatro regras a seguir.

Regra 1.

O lado direito do LNDU-2 tem a forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, onde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ou seja, é chamado de polinômio de grau $n$. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, onde $Q_(n) \left(x\right)$ é outro polinômio desse mesmo grau que $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente que são iguais a zero. Os coeficientes do polinômio $Q_(n) \left(x\right)$ são encontrados pelo método dos coeficientes indefinidos (UK).

Regra nº 2.

O lado direito do LNDU-2 tem a forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, onde $P_(n) \left( x\right)$ é um polinômio de grau $n$. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, onde $Q_(n ) \ left(x\right)$ é outro polinômio do mesmo grau que $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente igual a $\alfa $. Os coeficientes do polinômio $Q_(n) \left(x\right)$ são encontrados pelo método NC.

Regra nº 3.

O lado direito do LNDU-2 tem a forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, onde $a$, $b$ e $\beta$ são números conhecidos. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, onde $A$ e $B$ são coeficientes desconhecidos, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente, igual a $i\cdot \beta$. Os coeficientes $A$ e $B$ são encontrados usando o método não destrutivo.

Regra nº 4.

O lado direito do LNDU-2 tem a forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, onde $P_(n) \left(x\right)$ é um polinômio de grau $ n$, e $P_(m) \left(x\right)$ é um polinômio de grau $m$. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, onde $Q_(s) \left(x\right)$ e $ R_(s) \left(x\right)$ são polinômios de grau $s$, o número $s$ é o máximo de dois números $n$ e $m$, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente, igual a $\alpha +i\cdot \beta $. Os coeficientes dos polinômios $Q_(s) \left(x\right)$ e $R_(s) \left(x\right)$ são encontrados pelo método NC.

O método NK consiste na aplicação da seguinte regra. Para encontrar os coeficientes desconhecidos do polinômio que fazem parte da solução parcial da equação diferencial não homogênea LNDU-2, é necessário:

substitua o PD $U$ escrito em visão geral, à esquerda do LNDU-2;
no lado esquerdo do LNDU-2, realizar simplificações e agrupar termos com as mesmas potências $x$;
na identidade resultante, iguale os coeficientes dos termos com as mesmas potências $x$ dos lados esquerdo e direito;
resolver o sistema resultante equações lineares em relação a coeficientes desconhecidos.

Exemplo 1

Tarefa: encontrar OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Encontre também PD , satisfazendo as condições iniciais $y=6$ para $x=0$ e $y"=1$ para $x=0$.

Anotamos o LOD-2 correspondente: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Equação característica: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. As raízes da equação característica são: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Essas raízes são válidas e distintas. Assim, o OR do LODE-2 correspondente tem a forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

O lado direito deste LNDU-2 tem a forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. É necessário considerar o coeficiente do expoente $\alpha =3$. Este coeficiente não coincide com nenhuma das raízes da equação característica. Portanto, o PD deste LNDU-2 tem a forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Procuraremos os coeficientes $A$, $B$ usando o método NC.

Encontramos a primeira derivada da República Tcheca:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Encontramos a segunda derivada da República Tcheca:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\esquerda(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Substituímos as funções $U""$, $U"$ e $U$ em vez de $y""$, $y"$ e $y$ no NLDE-2 fornecido $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Além disso, como o expoente $e^(3\cdot x)$ é incluído como um fator em todos os componentes, então pode ser omitido. Obtemos:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cponto x+B\direita)=36\cponto x+12.$

Realizamos as ações no lado esquerdo da igualdade resultante:

$-18\cponto A\cponto x+3\cponto A-18\cponto B=36\cponto x+12.$

Usamos o método END. Obtemos um sistema de equações lineares com duas incógnitas:

$-18\cponto A=36;$

$3\cponto A-18\cponto B=12.$

A solução para este sistema é: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para o nosso problema é assim: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

O OR $y=Y+U$ para o nosso problema é assim: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \esquerda(-2\cdot x-1\direita)\cdot e^(3\cdot x) $.

Para procurar um PD que satisfaça as condições iniciais dadas, encontramos a derivada $y"$ do OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Substituímos em $y$ e $y"$ as condições iniciais $y=6$ para $x=0$ e $y"=1$ para $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cponto C_(1) +6\cponto C_(2) -2-3=-3\cponto C_(1) +6\cponto C_(2) -5.$

Recebemos um sistema de equações:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cponto C_(1) +6\cponto C_(2) =6,$

Vamos resolver isso. Encontramos $C_(1) $ usando a fórmula de Cramer, e $C_(2) $ determinamos a partir da primeira equação:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ começar(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cponto 6-\esquerda(-3\direita)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3,$

Assim, a PD desta equação diferencial tem a forma: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Heterogêneo equações diferenciais segunda ordem com coeficientes constantes

Estrutura da solução geral

Uma equação linear não homogênea deste tipo tem a forma:

Onde p, q− números constantes (que podem ser reais ou complexos). Para cada uma dessas equações podemos escrever a correspondente equação homogênea:

Teorema: A solução geral não é equação homogêneaé a soma da solução geral sim 0 (x) da equação homogênea correspondente e solução particular sim 1 (x) equação não homogênea:

A seguir consideraremos duas maneiras de resolver equações diferenciais não homogêneas.

Método de variação de constantes

Se decisão comum sim 0 da equação homogênea associada é conhecido, então a solução geral equação não homogênea pode ser encontrado usando método de variação constante. Deixe a solução geral de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem ter a forma:

Em vez de permanente C 1 e C 2 consideraremos funções auxiliares C 1 (x) E C 2 (x). Procuraremos essas funções de modo que a solução

satisfez a equação não homogênea com o lado direito f(x). Funções desconhecidas C 1 (x) E C 2 (x) são determinados a partir de um sistema de duas equações:

Método de coeficiente incerto

Parte direita f(x) de uma equação diferencial não homogênea é frequentemente uma função polinomial, exponencial ou trigonométrica, ou alguma combinação dessas funções. Neste caso, é mais conveniente procurar uma solução usando método de coeficientes incertos. Vamos enfatizar que este método funciona apenas para uma classe limitada de funções no lado direito, como

Em ambos os casos, a escolha de uma determinada solução deve corresponder à estrutura do lado direito da equação diferencial não homogênea. No caso 1, se o número α na função exponencial coincide com a raiz da equação característica, então a solução particular conterá um fator adicional x é, Onde é− multiplicidade de raiz α na equação característica. No caso 2, se o número α + βi coincide com a raiz da equação característica, então a expressão para a solução particular conterá um fator adicional x. Coeficientes desconhecidos podem ser determinados substituindo a expressão encontrada para uma solução particular na equação diferencial não homogênea original.

Princípio da superposição

Se o lado direito da equação não homogênea for quantia várias funções do formulário

então uma solução particular da equação diferencial também será a soma das soluções parciais construídas separadamente para cada termo do lado direito.

Exemplo 1

Resolver equação diferencial você"" + você= pecado (2 x).

Solução.

Primeiro resolvemos a equação homogênea correspondente você"" + você= 0,V nesse caso as raízes da equação característica são puramente imaginárias:

Consequentemente, a solução geral da equação homogênea é dada pela expressão

Voltemos novamente à equação não homogênea. Procuraremos sua solução na forma

usando o método de variação de constantes. Funções C 1 (x) E C 2 (x) pode ser encontrado a partir do seguinte sistema de equações:

Vamos expressar a derivada C 1 " (x) da primeira equação:

Substituindo na segunda equação, encontramos a derivada C 2 " (x):

Segue que

Integrando expressões para derivadas C 1 " (x) E C 2 " (x), Nós temos:

Onde A 1 , A 2 – constantes de integração. Agora vamos substituir as funções encontradas C 1 (x) E C 2 (x) na fórmula para sim 1 (x) e escreva a solução geral da equação não homogênea:

Exemplo 2

Encontre a solução geral para a equação você"" + você" −6sim = 36x.

Solução.

Vamos usar o método dos coeficientes indefinidos. Parte direita dada equaçãoé uma função linear f(x)= machado + b. Portanto, procuraremos uma solução particular na forma

As derivadas são iguais:

Substituindo isso na equação diferencial, obtemos:

A última equação é uma identidade, ou seja, é válida para todos x, portanto igualamos os coeficientes dos termos com os mesmos graus x nos lados esquerdo e direito:

Do sistema resultante encontramos: A = −6, B= −1. Como resultado, a solução particular é escrita na forma

Agora vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea. Vamos calcular as raízes da equação característica auxiliar:

Portanto, a solução geral da equação homogênea correspondente tem a forma:

Assim, a solução geral da equação não homogênea original é expressa pela fórmula

Integral geral do DE.

Resolver equação diferencial

Mas o mais engraçado é que a resposta já é conhecida: , mais precisamente, devemos adicionar também uma constante: A integral geral é uma solução da equação diferencial.

Método de variação de constantes arbitrárias. Exemplos de soluções

O método de variação de constantes arbitrárias é usado para resolver equações diferenciais não homogêneas. Esta lição é destinada aos alunos que já estão mais ou menos versados no assunto. Se você está apenas começando a se familiarizar com o controle remoto, ou seja, Se você é um bule, recomendo começar com a primeira lição: Equações diferenciais de primeira ordem. Exemplos de soluções. E se você já está finalizando, descarte o possível preconceito de que o método é difícil. Porque é simples.

Em que casos é utilizado o método de variação de constantes arbitrárias?

1) O método de variação de uma constante arbitrária pode ser usado para resolver DE linear não homogêneo de 1ª ordem. Como a equação é de primeira ordem, a constante também é um.

2) O método de variação de constantes arbitrárias é usado para resolver alguns equações lineares não homogêneas de segunda ordem. Aqui duas constantes variam.

É lógico supor que a lição consistirá em dois parágrafos... Então escrevi esta frase e, por cerca de 10 minutos, pensei dolorosamente sobre que outras porcarias inteligentes eu poderia acrescentar para uma transição suave para exemplos práticos. Mas, por alguma razão, não penso mais depois das férias, embora não pareça ter abusado de nada. Portanto, vamos direto ao primeiro parágrafo.

Método de variação de uma constante arbitrária para uma equação linear não homogênea de primeira ordem

Antes de considerar o método de variação de uma constante arbitrária, é aconselhável familiarizar-se com o artigo Equações diferenciais lineares de primeira ordem. Naquela lição praticamos primeira solução DE de 1ª ordem não homogênea. Esta primeira solução, lembro-vos, chama-se método de substituição ou Método Bernoulli(não confundir com Equação de Bernoulli!!!)

Agora vamos olhar segunda solução– método de variação de uma constante arbitrária. Darei apenas três exemplos e os retirarei da lição acima mencionada. Por que tão poucos? Porque na verdade a solução da segunda forma será muito semelhante à solução da primeira forma. Além disso, de acordo com minhas observações, o método de variação de constantes arbitrárias é usado com menos frequência do que o método de substituição.

Exemplo 1

Encontre a solução geral da equação diferencial (diferente do exemplo nº 2 da lição Equações diferenciais lineares não homogêneas de 1ª ordem)

Solução: Esta equação é linear não homogênea e tem uma forma familiar:

No primeiro estágio, é necessário resolver uma equação mais simples: ou seja, zeramos estupidamente o lado direito - em vez disso, escrevemos zero. vou chamar a equação equação auxiliar.

Neste exemplo, você precisa resolver a seguinte equação auxiliar:

Antes de nós equação separável, cuja solução (espero) não seja mais difícil para você:

Assim: – solução geral da equação auxiliar.

No segundo passo nós substituiremos alguma constante por agora função desconhecida que depende de "x":

Daí o nome do método - variamos a constante. Alternativamente, a constante poderia ser alguma função que agora temos que determinar.

EM original na equação não homogênea fazemos a substituição:

Vamos substituir na equação:

Ponto de controlo - os dois termos do lado esquerdo se cancelam. Se isso não acontecer, você deve procurar o erro acima.

Como resultado da substituição, obteve-se uma equação com variáveis separáveis. Separamos as variáveis e integramos.

Que benção, os expoentes também cancelam:

Adicionamos uma constante “normal” à função encontrada:

Na fase final, lembramos da nossa substituição:

A função acaba de ser encontrada!

Então a solução geral é:

Responder: decisão comum:

Se você imprimir as duas soluções, notará facilmente que em ambos os casos encontramos as mesmas integrais. A única diferença está no algoritmo de solução.

Agora para algo mais complicado, comentarei também o segundo exemplo:

Exemplo 2

Encontre a solução geral da equação diferencial (diferente do exemplo nº 8 da lição Equações diferenciais lineares não homogêneas de 1ª ordem)

Solução: Vamos trazer a equação para a forma:

Vamos redefinir o lado direito e resolver a equação auxiliar:

Separamos as variáveis e integramos: A solução geral da equação auxiliar:

Na equação não homogênea fazemos a substituição:

De acordo com a regra de diferenciação de produtos:

Vamos substituir na equação não homogênea original:

Os dois termos do lado esquerdo se cancelam, o que significa que estamos no caminho certo:

Vamos integrar por partes. A saborosa letra da fórmula de integração por partes já está envolvida na solução, então utilizamos, por exemplo, as letras “a” e “be”:

Eventualmente:

Agora vamos lembrar a substituição:

Responder: decisão comum:

Método de variação de constantes arbitrárias para uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes

Muitas vezes ouvi a opinião de que o método de variação de constantes arbitrárias para uma equação de segunda ordem não é algo fácil. Mas presumo o seguinte: muito provavelmente, o método parece difícil para muitos porque não ocorre com tanta frequência. Mas, na realidade, não existem dificuldades particulares - o curso da decisão é claro, transparente e compreensível. E bonito.

Para dominar o método, é desejável ser capaz de resolver equações não homogêneas de segunda ordem selecionando uma solução particular com base na forma do lado direito. Este método discutido em detalhes no artigo DEs de 2ª ordem não homogêneos. Lembramos que uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma:

O método de seleção, discutido na lição acima, funciona apenas em um número limitado de casos quando o lado direito contém polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Mas o que fazer quando à direita, por exemplo, está uma fração, logaritmo, tangente? Em tal situação, o método de variação das constantes vem em socorro.

Exemplo 4

Encontre a solução geral para uma equação diferencial de segunda ordem

Solução: Há uma fração no lado direito desta equação, então podemos dizer imediatamente que o método de seleção de uma solução específica não funciona. Usamos o método de variação de constantes arbitrárias.

Não há sinais de trovoada; o início da solução é completamente normal:

Nós vamos encontrar decisão comum apropriado homogêneo equações:

Vamos compor e resolver a equação característica: – são obtidas raízes complexas conjugadas, então a solução geral é:

Preste atenção ao registro da solução geral - se houver colchetes, abra-os.

Agora fazemos quase o mesmo truque da equação de primeira ordem: variamos as constantes, substituindo-as por funções desconhecidas. Aquilo é, solução geral de não homogênea procuraremos equações na forma:

Onde - por agora funções desconhecidas.

Parece um aterro sanitário lixo doméstico, mas agora vamos resolver tudo.

As incógnitas são as derivadas das funções. Nosso objetivo é encontrar derivadas, e as derivadas encontradas devem satisfazer a primeira e a segunda equações do sistema.

De onde vêm os “gregos”? A cegonha os traz. Observamos a solução geral obtida anteriormente e escrevemos:

Vamos encontrar as derivadas:

As partes esquerdas foram tratadas. O que está à direita?

é o lado direito da equação original, neste caso:

Este artigo aborda a questão da resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. A teoria será discutida juntamente com exemplos de determinados problemas. Para decifrar termos pouco claros, é necessário consultar o tópico sobre as definições e conceitos básicos da teoria das equações diferenciais.

Vamos considerar uma equação diferencial linear (LDE) de segunda ordem com coeficientes constantes da forma y "" + p · y " + q · y = f (x), onde p e q são números arbitrários, e a função existente f (x) é contínuo no intervalo de integração x.

Passemos à formulação do teorema para a solução geral do LNDE.

Yandex.RTB RA-339285-1

Teorema da solução geral para LDNU

Teorema 1

Uma solução geral, localizada no intervalo x, de uma equação diferencial não homogênea da forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) com coeficientes de integração contínua no intervalo x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) e uma função contínua f (x) é igual à soma da solução geral y 0, que corresponde ao LOD e alguma solução particular y ~, onde a equação não homogênea original é y = y 0 + e ~.

Isso mostra que a solução para tal equação de segunda ordem tem a forma y = y 0 + y ~ . O algoritmo para encontrar y 0 é discutido no artigo sobre equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Depois disso, devemos prosseguir para a definição de y ~.

A escolha de uma solução particular para o LPDE depende do tipo de função disponível f(x) localizada no lado direito da equação. Para isso, é necessário considerar separadamente as soluções de equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.

Quando f (x) é considerado um polinômio de enésimo grau f (x) = P n (x), segue-se que uma solução particular do LPDE é encontrada usando uma fórmula da forma y ~ = Q n (x ) x γ, onde Q n ( x) é um polinômio de grau n, r é o número de raízes zero da equação característica. O valor y ~ é uma solução particular y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , então os coeficientes disponíveis que são definidos pelo polinômio
Q n (x), encontramos usando o método dos coeficientes indefinidos da igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemplo 1

Calcule usando o teorema de Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Solução

Em outras palavras, é necessário passar para uma solução particular de uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y "" - 2 y " = x 2 + 1, que satisfará as condições dadas y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

A solução geral de uma equação linear não homogênea é a soma da solução geral, que corresponde à equação y 0 ou uma solução particular da equação não homogênea y ~, ou seja, y = y 0 + y ~.

Primeiro encontraremos uma solução geral para a LNDU e depois uma solução particular.

Vamos prosseguir para encontrar y 0. Escrever a equação característica o ajudará a encontrar as raízes. Nós entendemos isso

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Descobrimos que as raízes são diferentes e reais. Portanto, vamos escrever

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Vamos encontrar você ~ . Pode-se observar que o lado direito da equação dada é um polinômio de segundo grau, então uma das raízes é igual a zero. Disto obtemos que uma solução particular para y ~ será

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, onde os valores de A, B, C assumem coeficientes indeterminados.

Vamos encontrá-los a partir de uma igualdade da forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Então obtemos isso:

y ~ "" - 2 y ~ "= x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) "= x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Igualando os coeficientes com os mesmos expoentes de x, obtemos um sistema de expressões lineares - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Ao resolver por qualquer um dos métodos, encontraremos os coeficientes e escreveremos: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 e y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Esta entrada é chamada de solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem original com coeficientes constantes.

Para encontrar uma solução particular que satisfaça as condições y (0) = 2, y "(0) = 1 4, é necessário determinar os valores C1 E C2, com base em uma igualdade da forma y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Nós entendemos isso:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Trabalhamos com o sistema de equações resultante da forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, onde C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Aplicando o teorema de Cauchy, temos que

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Responder: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Quando a função f (x) é representada como o produto de um polinômio de grau n e um expoente f (x) = P n (x) · e a x , então obtemos que uma solução particular do LPDE de segunda ordem será um equação da forma y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, onde Q n (x) é um polinômio de enésimo grau e r é o número de raízes da equação característica igual a α.

Os coeficientes pertencentes a Q n (x) são encontrados pela igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplo 2

Encontre a solução geral para uma equação diferencial da forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Solução

A equação geral é y = y 0 + y ~ . A equação indicada corresponde ao LOD y "" - 2 y " = 0. Do exemplo anterior pode-se observar que suas raízes são iguais k 1 = 0 e k 2 = 2 e y 0 = C 1 + C 2 e 2 x pela equação característica.

Está claro que lado direito a equação é x 2 + 1 · e x . A partir daqui o LPDE é encontrado através de y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, onde Q n (x) é um polinômio de segundo grau, onde α = 1 e r = 0, porque a equação característica não tem raiz igual a 1. A partir daqui nós entendemos isso

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C são coeficientes desconhecidos que podem ser encontrados pela igualdade y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Percebido

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Igualamos os indicadores com os mesmos coeficientes e obtemos um sistema de equações lineares. A partir daqui encontramos A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Responder:é claro que y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 é uma solução particular do LNDDE, e y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - uma solução geral para uma equação dif não homogênea de segunda ordem.

Quando a função é escrita como f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, e Um 1 E EM 1 são números, então uma solução parcial do LPDE é considerada uma equação da forma y ~ = A cos β x + B sen β x · x γ, onde A e B são considerados coeficientes indeterminados, e r é o número de raízes conjugadas complexas relacionadas à equação característica, iguais a ± i β . Neste caso, a busca pelos coeficientes é realizada através da igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemplo 3

Encontre a solução geral para uma equação diferencial da forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Solução

Antes de escrever a equação característica, encontramos y 0. Então

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 eu , k 2 = - 2 eu

Temos um par de raízes conjugadas complexas. Vamos transformar e obter:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sen (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sen (2 x)

As raízes da equação característica são consideradas o par conjugado ± 2 i, então f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Isso mostra que a busca por y ~ será feita a partir de y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Incógnitas Procuraremos os coeficientes A e B a partir de uma igualdade da forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Vamos transformar:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sen (2 x) x) " = = (- 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sen (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sen (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x)

Então é claro que

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sen (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sen (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sen (2 x) ⇔ - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sen (2 x)

É necessário igualar os coeficientes de senos e cossenos. Obtemos um sistema da forma:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Segue-se que y ~ = (A cos (2 x) + B sen (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sen (2 x) x.

Responder: a solução geral do LDDE original de segunda ordem com coeficientes constantes é considerada

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sen (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sen (2 x) x

Quando f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), então y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Temos que r é o número de pares conjugados complexos de raízes relacionados à equação característica, igual a α ± i β, onde P n (x), Q k (x), eu m (x) e Nm(x) são polinômios de grau n, k, m, m, onde m = m a x (n, k). Encontrando coeficientes Lm(x) E Nm(x)é feito com base na igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplo 4

Encontre a solução geral y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Solução

De acordo com a condição, é claro que

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Então m = m a x (n, k) = 1. Encontramos y 0 escrevendo primeiro uma equação característica da forma:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Descobrimos que as raízes são reais e distintas. Portanto, y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. A seguir, é necessário procurar uma solução geral baseada na equação não homogênea y ~ da forma

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x))

Sabe-se que A, B, C são coeficientes, r = 0, pois não existe par de raízes conjugadas relacionadas à equação característica com α ± i β = 3 ± 5 · i. Encontramos esses coeficientes a partir da igualdade resultante:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sen (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) pecado (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) pecado (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Encontrar a derivada e termos semelhantes dá

E 3 x ((15 A + 23 C) x sen (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sen (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sen (5 x) + 45 · sen (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Depois de igualar os coeficientes, obtemos um sistema da forma

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

De tudo segue-se que

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) pecado (5 x))

Responder: Agora obtivemos uma solução geral para a equação linear dada:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sen (5 x))

Algoritmo para resolver LDNU

Definição 1

Qualquer outro tipo de função f(x) para solução requer conformidade com o algoritmo de solução:

encontrar uma solução geral para a equação linear homogênea correspondente, onde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, onde e 1 E e 2 são soluções parciais linearmente independentes do LODE, C1 E C2 são consideradas constantes arbitrárias;
adoção como solução geral do LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
determinação das derivadas de uma função através de um sistema da forma C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2" (x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) e encontrar funções C1 (x) e C 2 (x) por integração.

Exemplo 5

Encontre a solução geral para y "" + 36 y = 24 sen (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Solução

Passamos a escrever a equação característica, tendo previamente escrito y 0, y "" + 36 y = 0. Vamos escrever e resolver:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 eu , k 2 = - 6 eu ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 pecado (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = pecado (6 x)

Temos que a solução geral da equação dada será escrita como y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . É necessário passar à definição de funções derivadas C1 (x) E C2(x) de acordo com um sistema com equações:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) "= 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sen (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

É preciso tomar uma decisão em relação C 1" (x) E C 2" (x) usando qualquer método. Então escrevemos:

C 1 " (x) = - 4 sen 2 (6 x) + 2 sen (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sen (6 x) C 2 " (x) = 4 sen (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Cada uma das equações deve ser integrada. Então escrevemos as equações resultantes:

C 1 (x) = 1 3 sen (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sen ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sen (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 4

Segue-se que a solução geral terá a forma:

y = 1 3 sen (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sen (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 4 sen (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sen (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sen (6 x)

Responder: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sen (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sen (6x)

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A palestra estuda LNDEs - equações diferenciais lineares não homogêneas. É considerada a estrutura da solução geral, a solução do LPDE pelo método de variação de constantes arbitrárias, a solução do LDDE com coeficientes constantes e o lado direito de uma forma especial. As questões em consideração são utilizadas no estudo de oscilações forçadas em física, engenharia elétrica e eletrônica, e na teoria do controle automático.

1. Estrutura da solução geral de uma equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem.

Vamos primeiro considerar uma equação linear não homogênea de ordem arbitrária:

Levando em conta a notação, podemos escrever:

Neste caso, assumiremos que os coeficientes e o lado direito desta equação são contínuos num determinado intervalo.

Teorema. A solução geral de uma equação diferencial linear não homogênea em um determinado domínio é a soma de qualquer uma de suas soluções e a solução geral da equação diferencial homogênea linear correspondente.

Prova. Seja Y alguma solução para uma equação não homogênea.

Então, ao substituir esta solução na equação original, obtemos a identidade:

Deixar
- sistema fundamental de soluções para uma equação linear homogênea
. Então a solução geral da equação homogênea pode ser escrita como:

Em particular, para uma equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem, a estrutura da solução geral tem a forma:

Onde
é o sistema fundamental de soluções para a equação homogênea correspondente, e
- qualquer solução particular de uma equação não homogênea.

Assim, para resolver uma equação diferencial linear não homogênea, é necessário encontrar uma solução geral para a equação homogênea correspondente e de alguma forma encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Geralmente é encontrado por seleção. Consideraremos métodos para selecionar uma solução privada nas questões a seguir.

2. Método de variação

Na prática, é conveniente usar o método de variação de constantes arbitrárias.

Para fazer isso, primeiro encontre uma solução geral para a equação homogênea correspondente na forma:

Então, colocando os coeficientes C eu funções de X, busca-se uma solução para a equação não homogênea:

Pode-se provar que para encontrar funções C eu (x) precisamos resolver o sistema de equações:

Exemplo. Resolva a equação

Resolvendo uma equação linear homogênea

A solução para a equação não homogênea terá a forma:

Vamos criar um sistema de equações:

Vamos resolver este sistema:

Da relação encontramos a função Oh).

Agora encontramos B(x).

Substituímos os valores obtidos na fórmula da solução geral da equação não homogênea:

Resposta final:

De modo geral, o método de variação de constantes arbitrárias é adequado para encontrar soluções para qualquer equação linear não homogênea. Mas porque Encontrar o sistema fundamental de soluções para a equação homogênea correspondente pode ser uma tarefa bastante difícil; este método é usado principalmente para equações não homogêneas com coeficientes constantes.

3. Equações com o lado direito de uma forma especial

Parece possível imaginar o tipo de uma solução particular dependendo do tipo do lado direito da equação não homogênea.

Os seguintes casos são diferenciados:

I. O lado direito da equação diferencial linear não homogênea tem a forma:

onde está um polinômio de grau eu.

Então procura-se uma solução particular na forma:

Aqui P(x) - um polinômio do mesmo grau que P(x) , mas com coeficientes indeterminados, e R– um número que mostra quantas vezes o número  é a raiz da equação característica da equação diferencial homogênea linear correspondente.

Exemplo. Resolva a equação
.

Vamos resolver a equação homogênea correspondente:

Agora vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea original.

Vamos comparar o lado direito da equação com a forma do lado direito discutida acima.

Procuramos uma solução particular na forma:
, Onde

Aqueles.

Agora vamos determinar os coeficientes desconhecidos A E EM.

Vamos substituir a solução particular na forma geral na equação diferencial não homogênea original.

Solução total e privada:

Então a solução geral de uma equação diferencial linear não homogênea é:

II. O lado direito da equação diferencial linear não homogênea tem a forma:

Aqui R 1 (X) E R 2 (X)– polinômios de grau eu 1 e eu 2 respectivamente.

Então uma solução particular para a equação não homogênea terá a forma:

onde está o número R mostra quantas vezes um número
é a raiz da equação característica para a equação homogênea correspondente, e P 1 (x) E P 2 (x) – polinômios de grau não superior a eu, Onde eu- o maior dos graus eu 1 E eu 2 .

Tabela resumo dos tipos de soluções privadas

para diferentes tipos de lados direitos

Lado direito da equação diferencial	equação característica	Tipos de privado
	1. O número não é a raiz da equação característica
	2. O número é a raiz da equação característica da multiplicidade
	1. Número não é uma raiz da equação característica
	2. Número é a raiz da equação característica da multiplicidade
	1. Números
	2. Números são as raízes da equação característica da multiplicidade
	1. Números não são raízes da equação de multiplicidade característica
	2. Números são as raízes da equação característica da multiplicidade

Observe que se o lado direito da equação for uma combinação de expressões do tipo considerado acima, então a solução é encontrada como uma combinação de soluções para equações auxiliares, cada uma das quais tem um lado direito correspondente à expressão incluída na combinação.

Aqueles. se a equação for:
, então uma solução particular para esta equação será
Onde no 1 E no 2 – soluções particulares de equações auxiliares