Número- o conceito matemático mais importante que mudou ao longo dos séculos.
As primeiras ideias sobre o número surgiram da contagem de pessoas, animais, frutas, produtos diversos, etc. O resultado são números naturais: 1, 2, 3, 4, ...
Historicamente, a primeira extensão do conceito de número é a adição de números fracionários a um número natural.
Tomada chamado de parte (parte) de uma unidade ou várias partes iguais dela.
Designado: , onde m,n- números inteiros;
Frações com denominador 10 n, Onde né um número inteiro, eles são chamados decimal: .
Entre as frações decimais, um lugar especial é ocupado por frações periódicas: - fração periódica pura, 
- fração periódica mista.
Uma maior expansão do conceito de número já é causada pelo desenvolvimento da própria matemática (álgebra). Descartes no século XVII apresenta o conceito número negativo.
Os números inteiros (positivos e negativos), fracionários (positivos e negativos) e zero são chamados números racionais. Qualquer número racional pode ser escrito como uma fração finita e periódica.
Para estudar variáveis em constante mudança, acabou sendo necessário expandir o conceito de número - a introdução de números reais (reais) - adicionando números irracionais a números racionais: números irracionais são frações não periódicas decimais infinitas.
Os números irracionais apareceram ao medir segmentos incomensuráveis (lado e diagonal de um quadrado), em álgebra - ao extrair raízes, um exemplo de um número irracional transcendental é π, e .
Números natural(1, 2, 3,...), todo(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racional(representado como uma fração) e irracional(não representável como uma fração ) formar um conjunto real (real) números.
Separadamente na matemática, os números complexos são distinguidos.
Números complexos surgem em conexão com o problema de resolver quadrados para o caso D< 0 (здесь Dé o discriminante da equação quadrática). Por muito tempo, esses números não encontraram uso físico, razão pela qual foram chamados de números "imaginários". No entanto, agora eles são amplamente utilizados em vários campos da física e da tecnologia: engenharia elétrica, hidrodinâmica e aerodinâmica, teoria da elasticidade, etc.
Números complexos são escritos como: z= uma+ bi. Aqui uma e b – numeros reais, uma eu – unidade imaginária.e. eu 2 = -1. Número uma chamado abscissa, uma b-ordenado número complexo uma+ bi. Dois números complexos uma+ bi e a-bi chamado conjugado números complexos.
Propriedades:
1. Número real uma também pode ser escrito como um número complexo: uma+ 0eu ou uma - 0eu. Por exemplo 5 + 0 eu e 5 - 0 eu significa o mesmo número 5 .
2. Número complexo 0 + bi chamado puramente imaginário número. Gravação bi significa o mesmo que 0 + bi.
3. Dois números complexos uma+ bi e c+ di são considerados iguais se uma= c e b= d. Por outro lado números complexos não igual.
Ações:
Adição. A soma dos números complexos uma+ bi e c+ dié chamado de número complexo ( uma+ c) + (b+ d)eu. Nesse caminho, ao adicionar números complexos, suas abcissas e ordenadas são adicionadas separadamente.
Subtração. A diferença entre dois números complexos uma+ bi(reduzido) e c+ di(subtraído) é chamado de número complexo ( a-c) + (b-d)eu. Nesse caminho, ao subtrair dois números complexos, suas abcissas e ordenadas são subtraídas separadamente.
Multiplicação. O produto de números complexos uma+ bi e c+ dié chamado de número complexo.
(ac-bd) + (de Anúncios+ bc)eu. Esta definição decorre de dois requisitos:
1) números uma+ bi e c+ di deve multiplicar como binômios algébricos,
2) número eu tem a propriedade principal: eu 2 = –1.
EXEMPLO ( a + bi)(a-bi)= um 2 +b 2 . Consequentemente, trabalharde dois números complexos conjugados é igual a um número real positivo.
Divisão. Dividir um número complexo uma+ bi(divisível) para outro c+ di (divisor) - significa encontrar o terceiro número e+ fi(chat), que, quando multiplicado por um divisor c+ di, o que resulta no dividendo uma+ bi. Se o divisor não for zero, a divisão é sempre possível.
EXEMPLO Encontrar (8+ eu) : (2 – 3eu) .
Solução. Vamos reescrever essa razão como uma fração:
Multiplicando seu numerador e denominador por 2 + 3 eu e fazendo todas as transformações, obtemos:
Tarefa 1: Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir z 1 para z 2
Extraindo a raiz quadrada: Resolva a equação x 2 = -uma. Para resolver esta equação somos forçados a usar um novo tipo de números - números imaginários . Nesse caminho, imaginário o número é chamado cuja segunda potência é um número negativo. De acordo com esta definição de números imaginários, podemos definir e imaginário unidade:
Então para a equação x 2 = - 25 temos dois imaginário raiz:
Tarefa 2: Resolva a equação:
1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121
Representação geométrica de números complexos. Os números reais são representados por pontos na reta numérica:
Aqui está o ponto UMA significa número -3, ponto Bé o número 2 e O-zero. Em contraste, os números complexos são representados por pontos no plano coordenado. Para isso, escolhemos coordenadas retangulares (cartesianas) com as mesmas escalas em ambos os eixos. Então o número complexo uma+ bi será representado por um ponto P com abcissauma e ordenadob. Esse sistema de coordenadas é chamado plano complexo .
módulo número complexo é chamado de comprimento do vetor OP, representando um número complexo na coordenada ( compreensivo) avião. Módulo de número complexo uma+ bi denotado por | uma+ bi| ou) carta r e é igual a:
Os números complexos conjugados têm o mesmo módulo.
As regras para elaborar um desenho são quase as mesmas de um desenho em um sistema de coordenadas cartesianas. Ao longo dos eixos, você precisa definir a dimensão, observe:
e 
unidade ao longo do eixo real; Rez
unidade imaginária ao longo do eixo imaginário. sou z
Tarefa 3. Construa os seguintes números complexos no plano complexo: , , , , , , ,
1. Os números são exatos e aproximados. Os números que encontramos na prática são de dois tipos. Alguns dão o verdadeiro valor da quantidade, outros apenas aproximam. O primeiro é chamado de exato, o segundo - aproximado. Na maioria das vezes, é conveniente usar um número aproximado em vez de um número exato, especialmente porque em muitos casos o número exato não pode ser encontrado.
Então, se eles dizem que há 29 alunos na classe, então o número 29 é exato. Se eles dizem que a distância de Moscou a Kyiv é de 960 km, então aqui o número 960 é aproximado, pois, por um lado, nossos instrumentos de medição não são absolutamente precisos, por outro lado, as próprias cidades têm alguma extensão.
O resultado das operações com números aproximados também é um número aproximado. Ao realizar algumas operações em números exatos (dividir, extrair a raiz), você também pode obter números aproximados.
A teoria dos cálculos aproximados permite:
1) conhecendo o grau de precisão dos dados, avalie o grau de precisão dos resultados;
2) obter dados com um grau de precisão adequado, suficiente para garantir a precisão necessária do resultado;
3) racionalizar o processo de cálculo, liberando-o daqueles cálculos que não afetarão a precisão do resultado.
2. Arredondamento. Uma fonte de números aproximados é o arredondamento. Arredonde os números aproximados e exatos.
Arredondar um determinado número para alguns de seus dígitos é a substituição dele por um novo número, que é obtido a partir do dado descartando todos os seus dígitos escritos à direita do dígito desse dígito, ou substituindo-os por zeros. Esses zeros geralmente são sublinhados ou escritos menores. Para garantir a maior proximidade do número arredondado ao arredondado, devem ser utilizadas as seguintes regras: para arredondar o número para um de um determinado dígito, deve-se descartar todos os dígitos após o dígito desse dígito e substituí-los com zeros no número inteiro. Isso leva em consideração o seguinte:
1) se o primeiro (esquerdo) dos dígitos descartados for menor que 5, o último dígito restante não será alterado (arredondando para baixo);
2) se o primeiro dígito descartado for maior que 5 ou igual a 5, então o último dígito restante é aumentado em um (arredondamento).
Vamos mostrar isso com exemplos. Arredondar para cima:
a) até décimos de 12,34;
b) até centésimos de 3,2465; 1038.785;
c) até milésimos de 3,4335.
d) até 12.375 mil; 320729.
a) 12,34 ≈ 12,3;
b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
c) 3,4335 ≈ 3,434.
d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.
3. Erros absolutos e relativos. A diferença entre o número exato e seu valor aproximado é chamada de erro absoluto do número aproximado. Por exemplo, se o número exato 1,214 for arredondado para décimos, obtemos um número aproximado de 1,2. NO este caso o erro absoluto do número aproximado 1,2 é 1,214 - 1,2, ou seja 0,014.
Mas na maioria dos casos valor exato valor considerado é desconhecido, mas apenas aproximado. Então o erro absoluto também é desconhecido. Nestes casos, indique o limite que não ultrapassa. Esse número é chamado de erro absoluto marginal. Eles dizem que o valor exato de um número é igual ao seu valor aproximado com um erro menor que o erro de fronteira. Por exemplo, o número 23,71 é o valor aproximado do número 23,7125 com precisão de 0,01, pois o erro absoluto de aproximação é 0,0025 e menor que 0,01. Aqui o erro absoluto do limite é igual a 0,01 * .
Erro absoluto de limite do número aproximado uma denotado pelo símbolo Δ uma. Gravação
x≈uma(±Δ uma)
deve ser entendido da seguinte forma: o valor exato da quantidade x está entre uma– Δ uma e uma+ Δ uma, que são chamados de limites inferior e superior, respectivamente. X e denotam NG x VG X.
Por exemplo, se x≈ 2,3 (±0,1), então 2,2<x< 2,4.
Por outro lado, se 7,3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). O erro absoluto absoluto ou marginal não caracteriza a qualidade da medição. O mesmo erro absoluto pode ser considerado significativo e insignificante, dependendo do número que expressa o valor medido. Por exemplo, se medirmos a distância entre duas cidades com uma precisão de um quilômetro, essa precisão é suficiente para essa mudança, enquanto, ao mesmo tempo, ao medir a distância entre duas casas na mesma rua, essa precisão será inaceitável. Portanto, a precisão do valor aproximado de uma grandeza depende não apenas da magnitude do erro absoluto, mas também do valor da grandeza medida. Portanto, a medida de precisão é o erro relativo.
O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor do número aproximado. A razão entre o erro absoluto do limite e o número aproximado é chamada de erro relativo do limite; denote-o assim: Os erros relativos e relativos ao limite são geralmente expressos como uma porcentagem. Por exemplo, se as medições mostrarem que a distância X entre dois pontos for superior a 12,3 km, mas inferior a 12,7 km, então a média aritmética desses dois números é tomada como um valor aproximado, ou seja, sua meia-soma, então o erro absoluto do limite é igual à meia-diferença desses números. Nesse caso X≈ 12,5 (±0,2). Aqui, o erro absoluto do limite é de 0,2 km e o erro relativo do limite
) são números com sinal positivo ou negativo (inteiro e fracionário) e zero. Um conceito mais preciso números racionais, soa assim:
número racional- um número que é representado por uma fração simples s/n, onde o numerador m são números inteiros e o denominador n- inteiros, por exemplo 2/3.
Frações não periódicas infinitas NÃO são incluídas no conjunto dos números racionais.
a/b, Onde uma∈ Z (uma pertence a inteiros) b∈ N (b pertence aos números naturais).
NO Vida real o conjunto dos números racionais é usado para contar as partes de alguns objetos divisíveis inteiros, por exemplo, bolos ou outros alimentos que são cortados em pedaços antes do consumo, ou para uma estimativa aproximada das relações espaciais de objetos estendidos.
Propriedades básicas dos números racionais.
1. ordem uma e b existe uma regra que permite identificar exclusivamente entre eles 1-mas e apenas uma das 3 relações: “<», «>" ou "=". Esta regra é - regra de ordenação e formule assim:
∀ a, b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)
2. Operação de adição. Para todos os números racionais uma e b há regra de somatória, o que os coloca em correspondência com um certo número racional c. No entanto, o próprio número c- isto é soma números uma e b e é referido como (a+b) soma.
Regra de soma parece com isso:
m a/n a + mb/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n / D)/(n / D⋅ nb).
∀ a, b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q
3. operação de multiplicação. Para todos os números racionais uma e b há regra de multiplicação, associa-os a um certo número racional c. O número c é chamado trabalhar números uma e b e denotar (a⋅b), e o processo de encontrar esse número é chamado multiplicação.
regra de multiplicação parece com isso: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nota.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Transitividade da relação de ordem. Para quaisquer três números racionais uma, b e c E se uma menos b e b menos c, então uma menos c, e se umaé igual a b e bé igual a c, então umaé igual a c.
∀ abc∈ Q(a ∧ b ⇒ uma ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)
5. Comutatividade da adição. De uma mudança nos lugares dos termos racionais, a soma não muda.
∀ a, b∈ Qa+b=b+a
6. Associatividade de adição. A ordem de adição de 3 números racionais não afeta o resultado.
∀ abc∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)
7. Presença de zero. Existe um número racional 0, ele preserva todos os outros números racionais quando adicionados.
∃ 0 ∈ Q∀ uma∈ Qa+0=a
8. Presença de números opostos. Todo número racional tem um número racional oposto, somando-os resulta em 0.
∀ uma∈ Q∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0
9. Comutatividade da multiplicação. Ao mudar os lugares dos fatores racionais, o produto não muda.
∀ a, b∈ Controle de qualidade⋅ b=b⋅ uma
10. Associatividade de multiplicação. A ordem de multiplicação de 3 números racionais não afeta o resultado.
∀ abc∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)
11. Disponibilidade de uma unidade. Existe um número racional 1, ele preserva todos os outros números racionais no processo de multiplicação.
∃ 1 ∈ Q∀ uma∈ Controle de qualidade⋅ 1 = um
12. Presença de recíprocos. Qualquer número racional diferente de zero tem um número racional inverso, multiplicando pelo qual obtemos 1 .
∀ uma∈ Q∃ a−1∈ Controle de qualidade⋅ a−1=1
13. Distributividade da multiplicação em relação à adição. A operação de multiplicação está relacionada à adição usando a lei de distribuição:
∀ abc∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c
14. Conexão da relação de ordem com a operação de adição. para a esquerda e partes certas as desigualdades racionais somam o mesmo número racional.
∀ abc∈ Q a ⇒ a+c
15. Conexão da relação de ordem com a operação de multiplicação. Os lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional podem ser multiplicados pelo mesmo número racional não negativo.
∀ abc∈ Qc>0∧ uma ⇒ uma⋅ c ⋅ c
16. Axioma de Arquimedes. Qualquer que seja o número racional uma, é fácil tomar tantas unidades que sua soma será maior uma.
Definição de números racionais:
Um número racional é um número que pode ser representado como uma fração. O numerador de tal fração pertence ao conjunto dos números inteiros e o denominador pertence ao conjunto dos números naturais.
Em latim "ratio" (ratio) significa razão. Os números racionais podem ser representados como uma razão, ou seja, em outras palavras, como uma fração.
O número 2/3 é um número racional. Por quê? Esse número é representado como uma fração, cujo numerador pertence ao conjunto dos números inteiros e o denominador pertence ao conjunto dos números naturais.
Para mais exemplos de números racionais, veja o artigo.
Diferentes frações podem representar o mesmo número racional.
Considere o número racional 3/5. Este número racional é igual a
Reduza o numerador e o denominador por um fator comum de 2:
| 6 | = | 2 * 3 | = | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 2 * 5 | 5 |
Temos a fração 3/5, o que significa que
Nesta lição, vamos nos familiarizar com o conjunto dos números racionais. Analisaremos as propriedades básicas dos números racionais, aprenderemos a traduzir frações decimais em ordinárias e vice-versa.
Já falamos sobre os conjuntos dos números naturais e inteiros. O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros.
Agora que aprendemos o que são frações, aprendemos a trabalhar com elas. Uma fração, por exemplo, não é um número inteiro. Isso significa que é necessário descrever um novo conjunto de números, que incluirá todas as frações, e esse conjunto precisa de um nome, uma definição clara e uma designação.
Comecemos pelo título. A palavra latina ratio é traduzida para o russo como ratio, fração. O nome do novo conjunto "números racionais" vem desta palavra. Ou seja, "números racionais" podem ser traduzidos como "números fracionários".
Vamos descobrir em quais números esse conjunto consiste. Pode-se supor que consiste em todas as frações. Por exemplo, tal -. Mas tal definição não seria inteiramente correta. Uma fração não é um número em si, mas uma forma de escrever um número. No exemplo abaixo, duas frações diferentes representam o mesmo número:
Então será mais preciso dizer que os números racionais são aqueles números que podem ser representados como uma fração. E esta é, na verdade, quase a mesma definição que é usada em matemática.
Este conjunto é indicado pela letra . E como os conjuntos de números naturais e inteiros estão conectados com o novo conjunto de números racionais? Um número natural pode ser escrito como uma fração de infinitas maneiras. E como pode ser representado como uma fração, também é racional.
A situação é semelhante com números inteiros negativos. Qualquer número inteiro negativo pode ser expresso como uma fração 
. O zero pode ser representado como uma fração? Claro que você pode, também de um número infinito de maneiras. 
.
Assim, todos os números naturais e todos os números inteiros também são números racionais. Os conjuntos dos números naturais e inteiros são subconjuntos do conjunto dos números racionais ().
Fechamento de conjuntos com relação a operações aritméticas
A necessidade de introduzir novos números - inteiros, depois racionais - pode ser explicada não apenas por problemas da vida real. As próprias operações aritméticas nos dizem isso. Vamos adicionar dois números naturais: . Obtemos um número natural novamente.
Dizem que o conjunto dos números naturais é fechado na operação de adição (fechado na adição). Pense por si mesmo se o conjunto dos números naturais é fechado na multiplicação.
Assim que tentamos subtrair de um número igual ou maior, não temos números naturais suficientes. A introdução de zeros e inteiros negativos corrige a situação:
O conjunto dos inteiros é fechado por subtração. Podemos somar e subtrair quaisquer números inteiros sem medo de não ter um número para anotar o resultado (fechado em adição e subtração).
O conjunto dos inteiros é fechado na multiplicação? Sim, o produto de quaisquer dois inteiros resulta em um inteiro (fechado em adição, subtração e multiplicação).
Falta mais uma ação - divisão. O conjunto dos inteiros é fechado na divisão? A resposta é óbvia: não. Vamos dividir por . Entre os inteiros não há quem escreva a resposta: .
Mas usando um número fracionário, quase sempre podemos escrever o resultado da divisão de um número inteiro por outro. Por que quase? Lembre-se que, por definição, você não pode dividir por zero.
Assim, o conjunto dos números racionais (que surge da introdução de frações) afirma ser um conjunto que é fechado sob todas as quatro operações aritméticas.
Vamos checar.
Ou seja, o conjunto dos números racionais é fechado sob adição, subtração, multiplicação e divisão, excluindo a divisão por zero. Nesse sentido, podemos dizer que o conjunto dos números racionais está arranjado “melhor” do que os conjuntos anteriores dos números naturais e inteiros. Isso significa que os números racionais são o último conjunto de números que estudamos? Não. Posteriormente, teremos outros números que não podem ser escritos como frações, por exemplo, os irracionais.
Números como ferramenta
Os números são uma ferramenta que o homem criou conforme necessário.
Arroz. 1. Uso de números naturais
Além disso, quando era necessário realizar cálculos monetários, eles começaram a colocar sinais de mais ou menos na frente do número, mostrando se era necessário aumentar ou diminuir o valor original. Portanto, havia números negativos e positivos. O novo conjunto foi chamado de conjunto de inteiros ().
Arroz. 2. Uso de números fracionários
Portanto, uma nova ferramenta aparece, novos números - frações. Nós os escrevemos de diferentes maneiras equivalentes: frações ordinárias e decimais ( 
).
Todos os números - "antigos" (inteiros) e "novos" (fracionários) - foram combinados em um conjunto e o chamaram de conjunto de números racionais ( - números racionais)
Assim, um número racional é um número que pode ser representado como fração comum. Mas essa definição em matemática ainda é um pouco mais precisa. Qualquer número racional pode ser representado como uma fração com denominador positivo, ou seja, a razão de um número inteiro para um número natural: 
.
Então temos a definição: um número é chamado racional se puder ser representado como uma fração com um numerador inteiro e um denominador natural ( 
).
Além de frações ordinárias, também usamos decimais. Vamos ver como eles estão relacionados ao conjunto dos números racionais.
Existem três tipos de frações decimais: finitas, periódicas e não periódicas.
Frações não periódicas infinitas: essas frações também têm um número infinito de dígitos após o ponto decimal, mas não há período. Um exemplo é a notação decimal para o número PI: 
Qualquer final decimal por definição, é uma fração ordinária com denominador, e assim por diante.
Lemos a fração decimal em voz alta e a escrevemos na forma de um ordinário:,.
Na transição reversa da escrita na forma de uma fração ordinária para uma decimal, frações decimais finais ou frações periódicas infinitas podem ser obtidas.
Mudar de fração para decimal
O caso mais simples é quando o denominador de uma fração é uma potência de dez: e assim por diante. Então usamos a definição de fração decimal:
Existem frações em que o denominador é facilmente reduzido a esta forma: . É possível ir para tal notação se apenas dois e cincos forem incluídos na expansão do denominador.
O denominador consiste em três dois e um cinco. Cada um forma um dez. Então nos faltam dois. Multiplique pelo numerador e pelo denominador:
Poderia ter sido feito de forma diferente. Divida por uma coluna por (veja a Fig. 1).
Arroz. 2. Divisão longa
No caso de c, o denominador não pode ser convertido em outro número de bits, pois sua expansão inclui um triplo. Só resta um caminho - dividir em uma coluna (veja a Fig. 2).
Tal divisão em cada passo dará o resto e o quociente. Este processo é interminável. Ou seja, temos uma fração periódica infinita com um período
Vamos praticar. Converter frações ordinárias em decimais.
Em todos esses exemplos, obtivemos a fração decimal final, pois havia apenas dois e cincos na expansão do denominador.
(vamos verificar dividindo em uma tabela - veja a Fig. 3).
Arroz. 3. Divisão longa
Arroz. 4. Divisão longa
(ver fig. 4)
A expansão do denominador inclui um triplo, o que significa trazer o denominador para a forma , etc. não funciona. Dividimos por em uma coluna. A situação vai se repetir. Haverá um número infinito de triplos no registro do resultado. Nesse caminho, .
(ver fig. 5)
Arroz. 5. Divisão longa
Assim, qualquer número racional pode ser representado como uma fração ordinária. Esta é a definição dele.
E qualquer fração ordinária pode ser representada como uma fração decimal periódica finita ou infinita.
Tipos de escrita de frações:
escrevendo uma fração decimal na forma de um ordinário: ; 
;
escrevendo uma fração ordinária como um decimal: (fração final); (periódico infinito).
Ou seja, qualquer número racional pode ser escrito como uma fração decimal finita ou periódica. Nesse caso, a fração final também pode ser considerada periódica com período zero.
Às vezes, um número racional recebe exatamente essa definição: um número racional é um número que pode ser escrito como uma fração decimal periódica.
Transformação de Frações Periódicas
Considere primeiro uma fração cujo período consiste em um dígito e não possui pré-período. Vamos denotar este número como . O método é obter outro número com o mesmo período:
Isso pode ser feito multiplicando o número original por . Portanto, o número tem o mesmo período. Subtraia do próprio número:
Para ter certeza de que fizemos tudo certo, vamos agora fazer uma transição para lado reverso, já conhecido por nós de certa forma - dividindo em uma coluna por (ver Fig. 1).
De fato, obtemos um número em sua forma original com um período de .
Considere um número com um pré-período e um período mais longo: . O método permanece exatamente o mesmo do exemplo anterior. Você precisa obter um novo número com o mesmo período e um pré-período do mesmo comprimento. Para fazer isso, você precisa que a vírgula se mova para a direita pela duração do ponto, ou seja, para dois personagens. Multiplique o número original por:
Subtraia a expressão original da expressão resultante:
Então, qual é o algoritmo de tradução. Uma fração periódica deve ser multiplicada por um número da forma, etc., em que haja tantos zeros quantos dígitos no período da fração decimal. Recebemos um novo periódico. Por exemplo:
Subtraímos outra de uma fração periódica, obtemos a fração decimal final:
Resta expressar a fração periódica original na forma de um ordinário.
Para praticar sozinho, escreva algumas frações periódicas. Usando este algoritmo, traga-os para a forma de uma fração ordinária. Para verificar em uma calculadora, divida o numerador pelo denominador. Se tudo estiver correto, você obtém a fração periódica original
Assim, podemos escrever qualquer fração periódica finita ou infinita como uma fração ordinária, como uma razão de números naturais e inteiros. Aqueles. todas essas frações são números racionais.
E as frações não periódicas? Acontece que frações não periódicas não podem ser representadas como frações ordinárias (aceitaremos este fato sem prova). Portanto, não são números racionais. Eles são chamados de irracionais.
Frações não periódicas infinitas
Como já dissemos, um número racional em notação decimal é uma fração finita ou periódica. Então, se pudermos construir uma fração não periódica infinita, obteremos um número não racional, ou seja, um número irracional.
Aqui está uma maneira de fazer isso: A parte fracionária desse número consiste apenas em zeros e uns. O número de zeros entre uns aumenta em . É impossível destacar aqui uma parte repetida. Ou seja, a fração não é periódica.
Pratique você mesmo construir frações decimais não periódicas, isto é números irracionais
Um exemplo de um número irracional conhecido por nós é o número pi ( ). Não há período nesta entrada. Mas, além de pi, existem infinitos outros números irracionais. Falaremos mais sobre números irracionais mais tarde.
Trabalho de casa
Neste artigo, vamos começar a estudar números racionais. Aqui damos definições de números racionais, damos as explicações necessárias e damos exemplos de números racionais. Depois disso, vamos nos concentrar em como determinar se um determinado número é racional ou não.
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Nesta subseção, damos várias definições de números racionais. Apesar das diferenças na redação, todas essas definições têm o mesmo significado: os números racionais unem números inteiros e fracionários, assim como os números inteiros unem números naturais, seus números opostos e o número zero. Em outras palavras, os números racionais generalizam números inteiros e fracionários.
Vamos começar com definições de números racionais que é percebido como o mais natural.
Da definição sonora, segue-se que um número racional é:
Também está claro que qualquer decimal infinito não periódico NÃO é um número racional, pois não pode ser representado como uma fração comum.
Agora podemos facilmente trazer exemplos de números racionais. Os números 4, 903, 100.321 são números racionais, pois são números naturais. Os inteiros 58 , −72 , 0 , −833 333 333 também são exemplos de números racionais. As frações ordinárias 4/9, 99/3 também são exemplos de números racionais. Os números racionais também são números.
Os exemplos acima mostram que existem números racionais positivos e negativos, e o número racional zero não é positivo nem negativo.
A definição acima de números racionais pode ser formulada de uma forma mais curta.
Definição.
Números racionais chamar números que podem ser escritos como uma fração z/n, onde z é um número inteiro e n é um número natural.
Vamos provar que esta definição de números racionais é equivalente à definição anterior. Sabemos que podemos considerar a barra de uma fração como um sinal de divisão, então, das propriedades de dividir inteiros e das regras para dividir inteiros, seguem as seguintes igualdades e . Assim, qual é a prova.
Vamos dar exemplos de números racionais, baseados em esta definição. Os números −5 , 0 , 3 , e são números racionais, pois podem ser escritos como frações com um numerador inteiro e um denominador natural da forma e respectivamente.
A definição de números racionais também pode ser dada na seguinte formulação.
Definição.
Números racionais são números que podem ser escritos como uma fração decimal periódica finita ou infinita.
Essa definição também é equivalente à primeira definição, pois qualquer fração ordinária corresponde a uma fração decimal finita ou periódica e vice-versa, e qualquer inteiro pode ser associado a uma fração decimal com zeros após a vírgula.
Por exemplo, os números 5 , 0 , −13 , são exemplos de números racionais porque podem ser escritos como os seguintes decimais 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 e −7,(18) .
Terminamos a teoria desta seção com as seguintes afirmações:
No parágrafo anterior, descobrimos que qualquer número natural, qualquer inteiro, qualquer fração ordinária, qualquer número misto, qualquer fração decimal final e também qualquer fração decimal periódica é um número racional. Esse conhecimento nos permite "reconhecer" os números racionais do conjunto dos números escritos.
Mas e se o número for dado como algum , ou como , etc., como responder à pergunta, o número dado é racional? Em muitos casos, é muito difícil respondê-la. Vamos apontar algumas direções para o curso do pensamento.
Se um número for especificado como uma expressão numérica que contém apenas números racionais e sinais aritméticos (+, −, · e:), o valor dessa expressão será um número racional. Isso decorre de como as operações com números racionais são definidas. Por exemplo, após realizar todas as operações na expressão, obtemos um número racional 18 .
Às vezes, depois de simplificar expressões e mais tipo complexo, torna-se possível determinar se um determinado número é racional.
Vamos mais longe. O número 2 é um número racional, pois qualquer número natural é racional. E quanto ao número? É racional? Acontece que não - não é um número racional, é um número irracional (a prova desse fato por contradição é dada no livro didático de álgebra da 8ª série, indicado abaixo na lista de referências). Também foi comprovado que Raiz quadrada a partir de número naturalé um número racional somente quando a raiz é um número que é o quadrado perfeito de algum número natural. Por exemplo, e são números racionais, pois 81=9 2 e 1024=32 2 , e os números e não são racionais, pois os números 7 e 199 não são quadrados perfeitos de números naturais.
O número é racional ou não? Nesse caso, é fácil ver que, portanto, esse número é racional. O número é racional? Está provado que a k-ésima raiz de um inteiro é um número racional somente se o número sob o sinal da raiz for a k-ésima potência de algum inteiro. Portanto, não é um número racional, pois não há inteiro cuja quinta potência seja 121.
O método da contradição nos permite provar que os logaritmos de alguns números, por alguma razão, não são números racionais. Por exemplo, vamos provar que - não é um número racional.
Suponha o contrário, ou seja, suponha que seja um número racional e possa ser escrito como uma fração ordinária m/n. Então e dê as seguintes igualdades: . A última igualdade é impossível, pois no seu lado esquerdo há número ímpar 5 n , e no lado direito há um número par 2 m . Portanto, nossa suposição está errada, portanto, não é um número racional.
Em conclusão, vale ressaltar que, ao esclarecer a racionalidade ou irracionalidade dos números, deve-se abster-se de conclusões repentinas.
Por exemplo, não se deve afirmar imediatamente que o produto dos números irracionais π e e é um número irracional, isso é “como se fosse óbvio”, mas não comprovado. Isso levanta a questão: “Por que o produto seria um número racional”? E por que não, porque você pode dar um exemplo de números irracionais, cujo produto dá um número racional:.
Também não se sabe se os números e muitos outros números são racionais ou não. Por exemplo, existem números irracionais cujo poder irracional é um número racional. Para ilustrar, vamos dar um grau da forma , a base desse grau e o expoente não são números racionais, mas , e 3 é um número racional.
Bibliografia.
