Deixe um sistema de linear equações algébricas, que precisa ser resolvido (encontre os valores das incógnitas xi que transformam cada equação do sistema em igualdade).
Sabemos que um sistema de equações algébricas lineares pode:
1) Não tenha soluções (seja não articulado).
2) Tenha infinitas soluções.
3) Tenha única decisão.
Como lembramos, a regra de Cramer e método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. Método Gaussiano – a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar soluções para qualquer sistema de equações lineares, qual Em todo caso nos levará à resposta! O próprio algoritmo do método funciona da mesma forma em todos os três casos. Se os métodos Cramer e matriciais exigem conhecimento de determinantes, então para aplicar o método Gauss é necessário apenas conhecimento de operações aritméticas, o que o torna acessível até mesmo para alunos do ensino fundamental.
Transformações de matriz aumentada ( esta é a matriz do sistema - uma matriz composta apenas pelos coeficientes das incógnitas, mais uma coluna de termos livres) sistemas de equações algébricas lineares no método de Gauss:
1) Com troki matrizes Pode reorganizar em alguns lugares.
2) se proporcionais apareceram (ou existem) na matriz (como caso especial– idênticas) linhas, então segue excluir da matriz todas essas linhas, exceto uma.
3) se uma linha zero aparecer na matriz durante as transformações, então ela também deve ser excluir.
4) uma linha da matriz pode ser multiplicar (dividir) para qualquer número diferente de zero.
5) para uma linha da matriz você pode adicione outra string multiplicada por um número, diferente de zero.
No método de Gauss, as transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações.
O método Gauss consiste em duas etapas:
Para fazer isso, execute as seguintes etapas:
1) Consideremos a primeira equação de um sistema de equações algébricas lineares e o coeficiente para x 1 é igual a K. O segundo, terceiro, etc. transformamos as equações da seguinte forma: dividimos cada equação (coeficientes das incógnitas, incluindo termos livres) pelo coeficiente da incógnita x 1 em cada equação e multiplicamos por K. Depois disso, subtraímos a primeira da segunda equação ( coeficientes de incógnitas e termos livres). Para x 1 na segunda equação obtemos o coeficiente 0. Da terceira equação transformada subtraímos a primeira equação até que todas as equações exceto a primeira, para a incógnita x 1, tenham um coeficiente 0.
2) Vamos passar para a próxima equação. Seja esta a segunda equação e o coeficiente para x 2 igual a M. Prosseguimos com todas as equações “inferiores” conforme descrito acima. Assim, “sob” a incógnita x 2 haverá zeros em todas as equações.
3) Passe para a próxima equação e assim por diante até que uma última incógnita e o termo livre transformado permaneçam.
Exemplo.
Vamos resolver o sistema de equações lineares pelo método de Gauss, como aconselham alguns autores:
Vamos escrever a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazê-la para uma forma escalonada:
Olhamos para o “degrau” superior esquerdo. Deveríamos ter um lá. O problema é que não há unidades na primeira coluna, então reorganizar as linhas não resolverá nada. Nesses casos, a unidade deve ser organizada por meio de uma transformação elementar. Geralmente isso pode ser feito de várias maneiras. Vamos fazer isso:
1 passo
. À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por –1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por –1 e somamos a primeira e a segunda linhas, enquanto a segunda linha não mudou.
Agora no canto superior esquerdo está “menos um”, o que nos cai muito bem. Quem quiser obter +1 pode realizar uma ação adicional: multiplicar a primeira linha por –1 (mudar seu sinal).
Passo 2 . A primeira linha, multiplicada por 5, foi adicionada à segunda linha. A primeira linha, multiplicada por 3, foi adicionada à terceira linha.
etapa 3 . A primeira linha foi multiplicada por –1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para o segundo lugar, para que no segundo “degrau” tivéssemos a unidade necessária.
Passo 4 . A terceira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por 2.
Etapa 5 . A terceira linha foi dividida por 3.
Um sinal que indica um erro nos cálculos (mais raramente, um erro de digitação) é um resultado final “ruim”. Ou seja, se obtivermos algo como (0 0 11 |23) abaixo e, portanto, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, então com um alto grau de probabilidade podemos dizer que um erro foi cometido durante o ensino elementar transformações.
Vamos fazer o inverso; no desenho dos exemplos, o sistema em si muitas vezes não é reescrito, mas as equações são “tiradas diretamente da matriz dada”. O movimento inverso, lembro a vocês, funciona de baixo para cima. EM neste exemplo acabou sendo um presente:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, portanto x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Responder:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Vamos resolver o mesmo sistema usando o algoritmo proposto. Nós temos
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Divida a segunda equação por 5 e a terceira por 3. Obtemos:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Multiplicando a segunda e terceira equações por 4, obtemos:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Subtraia a primeira equação da segunda e terceira equações, temos:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Divida a terceira equação por 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Multiplique a terceira equação por 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Subtraindo a segunda da terceira equação, obtemos uma matriz estendida “escalonada”:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Assim, dado o erro acumulado durante os cálculos, obtemos x 3 = 0,96 ou aproximadamente 1.
x 2 = 3 e x 1 = –1.
Resolvendo desta forma, você nunca se confundirá nos cálculos e, apesar dos erros de cálculo, obterá o resultado.
Este método de resolução de um sistema de equações algébricas lineares é fácil de programar e não leva em consideração características específicas coeficientes para incógnitas, porque na prática (em cálculos económicos e técnicos) temos de lidar com coeficientes não inteiros.
Eu te desejo sucesso! Vejo você na aula! Tutor.
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Carl Friedrich Gauss, maior matemático por muito tempo hesitou, escolhendo entre filosofia e matemática. Talvez tenha sido precisamente essa mentalidade que lhe permitiu deixar um “legado” tão notável na ciência mundial. Em particular, ao criar o "Método Gauss" ...
Durante quase 4 anos, os artigos deste site trataram da educação escolar, principalmente do ponto de vista da filosofia, dos princípios da (des)compreensão introduzidos na mente das crianças. Está chegando a hora de mais detalhes, exemplos e métodos... Acredito que esta é exatamente a abordagem do familiar, confuso e importanteáreas da vida dá melhores resultados.
Nós, pessoas, somos projetados de tal maneira que não importa o quanto falemos sobre pensamento abstrato, Mas entendimento Sempre acontece através de exemplos. Se não houver exemplos, então é impossível compreender os princípios... Assim como é impossível chegar ao topo de uma montanha, exceto percorrendo toda a encosta desde o pé.
O mesmo acontece com a escola: por enquanto histórias vivas Não basta que continuemos instintivamente a considerá-lo um lugar onde as crianças são ensinadas a compreender.
Por exemplo, ensinar o método Gaussiano...
Deixe-me fazer uma reserva desde já: o método Gauss tem uma aplicação muito mais ampla, por exemplo, na resolução sistemas de equações lineares. O que falaremos acontece na 5ª série. Esse iniciado, tendo compreendido isso, fica muito mais fácil entender as “opções mais avançadas”. Neste artigo estamos falando sobre Método (método) de Gauss para encontrar a soma de uma série
Aqui está um exemplo que trouxe da escola filho mais novo, cursando a 5ª série em um ginásio de Moscou.
Professor de matemática usando quadro interativo (métodos modernos treinamento) mostrou às crianças uma apresentação da história da “criação do método” pelo pequeno Gauss.
O professor da escola chicoteou o pequeno Karl (um método ultrapassado, não usado nas escolas hoje em dia) porque ele
em vez de adicionar números sequencialmente de 1 a 100, encontre sua soma percebido que pares de números igualmente espaçados das bordas de uma progressão aritmética somam o mesmo número. por exemplo, 100 e 1, 99 e 2. Depois de contar o número desses pares, o pequeno Gauss resolveu quase instantaneamente o problema proposto pelo professor. Pelo que foi executado diante de um público atônito. Para que outros fossem desencorajados de pensar.
O que o pequeno Gauss fez? desenvolvido sentido numérico? Percebido algum recurso série numérica com passo constante (progressão aritmética). E exatamente isso mais tarde fez dele um grande cientista, quem sabe perceber, tendo sentimento, instinto de compreensão.
É por isso que a matemática é valiosa, desenvolvendo capacidade de ver geral em particular - pensamento abstrato. Portanto, a maioria dos pais e empregadores consideram instintivamente a matemática uma disciplina importante ...
“Então você precisa aprender matemática, porque ela coloca sua mente em ordem.
M.V.Lomonosov".
Porém, os seguidores daqueles que açoitaram os futuros gênios com varas transformaram o Método em algo oposto. Como disse meu supervisor há 35 anos: “A questão foi aprendida”. Ou como meu filho mais novo disse ontem sobre o método de Gauss: “Talvez não valha a pena fazer disso uma grande ciência, hein?”
As consequências da criatividade dos “cientistas” são visíveis no nível da matemática escolar atual, no nível do seu ensino e na compreensão da “Rainha das Ciências” pela maioria.
Porém, vamos continuar...
Um professor de matemática de um ginásio de Moscou, explicando o método Gauss segundo Vilenkin, complicou a tarefa.
E se a diferença (passo) de uma progressão aritmética não for um, mas outro número? Por exemplo, 20.
O problema que ele deu aos alunos da quinta série:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Antes de conhecer o método do ginásio, vamos dar uma olhada na Internet: como fazem os professores e tutores de matemática?..
Um conhecido tutor em seu canal no YOUTUBE apresenta o seguinte raciocínio:
"Vamos escrever os números de 1 a 100 da seguinte forma:
primeiro uma série de números de 1 a 50, e logo abaixo dela outra série de números de 50 a 100, mas na ordem inversa"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Observe: a soma de cada par de números das linhas superior e inferior é a mesma e é igual a 101! Vamos contar o número de pares, é 50 e multiplicar a soma de um par pelo número de pares! Voila: O a resposta está pronta!"
“Se você não entendeu, não fique chateado!”, repetiu a professora três vezes durante a explicação. "Você fará esse método no 9º ano!"
Outro tutor, menos conhecido (a julgar pelo número de visualizações), adota uma abordagem mais científica, oferecendo um algoritmo de solução de 5 pontos que deve ser preenchido sequencialmente.
Para os não iniciados, 5 é um dos números de Fibonacci tradicionalmente considerados mágicos. Um método de 5 passos é sempre mais científico do que um método de 6 passos, por exemplo. ...E isso dificilmente é um acidente, muito provavelmente, o Autor é um defensor oculto da teoria de Fibonacci
Dana progressão aritmética: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Ao mesmo tempo, você precisa se lembrar mais uma regra : devemos adicionar um ao quociente resultante: caso contrário, obteremos um resultado menor em um que o número real de pares: 42 + 1 = 43.
Esta é a soma necessária da progressão aritmética de 4 a 256 com uma diferença de 6!
Veja como resolver o problema de encontrar a soma de uma série:
20+40+60+ ... +460+480+500
na 5ª série de um ginásio de Moscou, livro didático de Vilenkin (de acordo com meu filho).
Após a apresentação, o professor de matemática mostrou alguns exemplos utilizando o método gaussiano e deu à turma a tarefa de encontrar a soma dos números de uma série em incrementos de 20.
Isso exigia o seguinte:
Como você pode ver, isso é mais compacto e técnica eficaz: o número 3 também é membro da sequência de Fibonacci
O grande matemático certamente teria escolhido a filosofia se tivesse previsto em que seu “método” seria transformado por seus seguidores Professor de alemão, que açoitou Karl com varas. Ele teria visto o simbolismo, a espiral dialética e a imorredoura estupidez dos “professores”, tentando medir a harmonia do pensamento matemático vivo com a álgebra do mal-entendido ....
A propósito: você sabia. que o nosso sistema educativo está enraizado na escola alemã dos séculos XVIII e XIX?
Mas Gauss escolheu a matemática.
Qual é a essência do seu método?
EM simplificação. EM observando e compreendendo padrões simples de números. EM transformando a aritmética da escola seca em atividade interessante e emocionante , ativando no cérebro o desejo de continuar, em vez de bloquear atividades mentais de alto custo.
É possível usar uma das “modificações do método de Gauss” para calcular a soma dos números de uma progressão aritmética quase imediatamente? De acordo com os “algoritmos”, o pequeno Karl teria a garantia de evitar surras, desenvolver aversão à matemática e suprimir seus impulsos criativos pela raiz.
Por que o tutor aconselhou tão persistentemente os alunos do quinto ano a “não terem medo de mal-entendidos” do método, convencendo-os de que resolveriam “tais” problemas já no 9º ano? Ação psicologicamente analfabeta. Foi uma boa jogada observar: "Vê você já na 5ª série você pode resolva problemas que você só resolverá em 4 anos! Que ótimo sujeito você é!
Para usar o método Gaussiano, um nível de classe 3 é suficiente, quando as crianças normais já sabem somar, multiplicar e dividir números de 2 a 3 dígitos. Os problemas surgem devido à incapacidade dos professores adultos que estão “fora de sintonia” em explicar as coisas mais simples na linguagem humana normal, para não falar da matemática... Eles são incapazes de fazer com que as pessoas se interessem por matemática e desencorajam completamente mesmo aqueles que o são “ capaz."
Ou, como comentou meu filho: “fazer disso uma grande ciência”.
Minha esposa e eu explicamos esse “método” ao nosso filho, ao que parece, antes mesmo da escola...
"Olha, aqui estão os números de 1 a 100. O que você vê?"
A questão não é exatamente o que a criança vê. O truque é fazer com que ele olhe.
"Como você pode colocá-los juntos?" O filho percebeu que tais perguntas não são feitas “simplesmente assim” e é preciso olhar para a questão “de alguma forma diferente, diferente do que ele costuma fazer”
Não importa se a criança vê a solução imediatamente, é improvável. É importante que ele deixou de ter medo de olhar, ou como eu digo: “mudou a tarefa”. Este é o começo da jornada para a compreensão
“O que é mais fácil: somar, por exemplo, 5 e 6 ou 5 e 95?” Uma questão importante... Mas qualquer treinamento se resume a “guiar” uma pessoa para a “resposta” - de qualquer forma aceitável para ela.
Nesta fase já podem surgir palpites sobre como “economizar” nos cálculos.
Tudo o que fizemos foi sugerir: o método de contagem “frontal, linear” não é o único possível. Se uma criança entender isso, mais tarde ela apresentará muitos outros métodos desse tipo, porque é interessante!!! E ele definitivamente evitará “mal-entendidos” sobre a matemática e não sentirá nojo dela. Ele conseguiu a vitória!
Se criança descoberta que somar pares de números que somam cem é moleza, então "progressão aritmética com diferença 1"- uma coisa um tanto enfadonha e desinteressante para uma criança - de repente encontrei vida para ele . A ordem surgiu do caos e isso sempre causa entusiasmo: é assim que somos feitos!
Uma pergunta a ser respondida: por que, após o insight que uma criança recebeu, ela deveria ser novamente forçada a entrar na estrutura de algoritmos áridos, que também são funcionalmente inúteis neste caso?!
Por que forçar reescritas estúpidas? números sequenciais em um caderno: para que mesmo os capazes não tenham a menor chance de entender? Estatisticamente, é claro, mas a educação de massa é voltada para “estatísticas”...
E, no entanto, somar números que somam 100 é muito mais aceitável para a mente do que aqueles que somam 101...
O "Método Escolar Gauss" exige exatamente isto: dobrar sem pensar pares de números equidistantes do centro da progressão, Apesar de tudo.
E se você olhar?
Mesmo assim, o zero é a maior invenção da humanidade, que tem mais de 2.000 anos. E os professores de matemática continuam a ignorá-lo.
É muito mais fácil transformar uma série de números começando com 1 em uma série começando com 0. A soma não vai mudar, vai? Você precisa parar de “pensar nos livros didáticos” e começar a procurar... E veja que pares com soma de 101 podem ser completamente substituídos por pares com soma de 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Para ser sincero, ouvi falar dessa regra pela primeira vez com aquele tutor do YouTube...
O que ainda faço quando preciso determinar o número de membros de uma série?
Eu olho para a sequência:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
e quando estiver completamente cansado, passe para uma linha mais simples:
1, 2, 3, 4, 5
e eu pensei: se você subtrair um de 5, você obtém 4, mas estou absolutamente claro Eu vejo 5 números! Portanto, você precisa adicionar um! Sentido numérico desenvolvido em escola primária, sugere: mesmo que haja todo um Google de membros da série (10 elevado à centésima potência), o padrão permanecerá o mesmo.
Que diabos são as regras?..
Para que em alguns ou três anos você consiga preencher todo o espaço entre a testa e a nuca e parar de pensar? Como ganhar seu pão com manteiga? Afinal, estamos avançando em posições equilibradas para a era da economia digital!
Não foi à toa que postei uma captura de tela do caderno do meu filho...
"O que aconteceu na aula?"
“Bom, contei na hora, levantei a mão, mas ela não perguntou. Portanto, enquanto os outros contavam, comecei a fazer o dever de casa em russo para não perder tempo. Aí, quando os outros terminaram de escrever (? ??), ela me chamou para o quadro. Eu disse a resposta."
“Isso mesmo, me mostre como você resolveu”, disse a professora. Eu mostrei. Ela disse: “Errado, você precisa contar como eu mostrei!”
“Que bom que ela não deu nota ruim. E ela me fez escrever no caderno deles “o curso da solução” do jeito deles. Por que fazer disso uma grande ciência?..”
Pouco depois aquele incidente Carl Gauss experimentou um grande sentimento de respeito pelo professor de matemática da escola. Mas se ele soubesse como seguidores daquele professor distorcerá a própria essência do método... ele rugia de indignação e através organização mundial propriedade intelectual A OMPI conseguiu proibir o uso do seu bom nome nos livros escolares!..
Em quê erro principal abordagem escolar? Ou, como eu disse, um crime dos professores de matemática escolar contra as crianças?
O que fazem os metodologistas escolares, cuja grande maioria não sabe pensar?
Eles criam métodos e algoritmos (veja). Esse uma reação defensiva que protege os professores das críticas (“Tudo é feito de acordo com...”) e as crianças da compreensão. E assim - da vontade de criticar os professores!(A segunda derivada da “sabedoria” burocrática, uma abordagem científica do problema). Uma pessoa que não compreende o significado preferirá culpar seu próprio mal-entendido, em vez de culpar a estupidez do sistema escolar.
É o que acontece: os pais culpam os filhos e os professores... fazem o mesmo com as crianças que “não entendem matemática!”
Você é esperto?
O que o pequeno Karl fez?
Uma abordagem completamente não convencional para uma tarefa estereotipada. Esta é a essência de Sua abordagem. Esse a principal coisa que deve ser ensinada na escola é pensar não com os livros didáticos, mas com a cabeça. Claro, há também um componente instrumental que pode ser utilizado... em busca de mais simples e métodos eficazes contas.
Na escola ensinam que o método de Gauss é
O que, se o número de elementos da série for ímpar, como no problema que foi atribuído ao meu filho?..
O "problema" é que neste caso você deve encontrar um número “extra” na série e adicione à soma dos pares. No nosso exemplo este número é 260.
Como detectar? Copiando todos os pares de números em um caderno!(É por isso que o professor fez as crianças fazerem esse trabalho estúpido de tentar ensinar "criatividade" usando o método Gaussiano... E é por isso que tal "método" é praticamente inaplicável a grandes séries de dados, E é por isso que é não o método gaussiano.)
O filho agiu de forma diferente.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Não é difícil, certo?
Mas, na prática, é ainda mais fácil, o que permite reservar 2 a 3 minutos para sensoriamento remoto em russo, enquanto o resto está “contando”. Além disso, mantém o número de etapas do método: 5, o que não permite que a abordagem seja criticada por não ser científica.
Obviamente esta abordagem é mais simples, rápida e universal, ao estilo do Método. Mas... a professora não só não a elogiou, mas também a obrigou a reescrever " no caminho certo"(ver imagem). Ou seja, ela fez uma tentativa desesperada de reprimir o impulso criativo e a capacidade de entender a matemática em sua raiz! Aparentemente, para que mais tarde pudesse ser contratada como tutora... Ela atacou a pessoa errada. ..
Tudo o que descrevi de forma tão longa e tediosa pode ser explicado a uma criança normal em no máximo meia hora. Junto com exemplos.
E de tal forma que ele nunca se esqueça disso.
E será passo para a compreensão...não apenas matemáticos.
Admita: quantas vezes na sua vida você somou usando o método gaussiano? E eu nunca fiz!
Mas instinto de compreensão, que se desenvolve (ou se extingue) no processo de aprendizagem métodos matemáticos na escola... Ah!.. Isso é realmente uma coisa insubstituível!
Especialmente na era da digitalização universal, na qual entrámos silenciosamente sob a liderança estrita do Partido e do Governo.
É injusto e errado atribuir toda a responsabilidade por este estilo de ensino exclusivamente aos professores das escolas. O sistema está em vigor.
Alguns os professores entendem o absurdo do que está acontecendo, mas o que fazer? Lei de Educação, Normas Educacionais Estaduais Federais, métodos, mapas tecnológicos lições... Tudo deve ser feito “de acordo e com base em” e tudo deve ser documentado. Afaste-se - ficou na fila para ser demitido. Não sejamos hipócritas: os salários dos professores de Moscou são muito bons... Se te demitirem, para onde ir?..
Portanto este site não sobre educação. Ele está prestes educação individual, apenas caminho possível saia da multidão geração Z ...
Neste artigo, o método é considerado um método para resolução de sistemas de equações lineares (SLAEs). O método é analítico, ou seja, permite escrever um algoritmo de solução em visão geral e, em seguida, substitua os valores de exemplos específicos. Ao contrário do método matricial ou das fórmulas de Cramer, ao resolver um sistema de equações lineares pelo método de Gauss, você também pode trabalhar com aquelas que possuem um número infinito de soluções. Ou eles não têm nada.
Primeiro, precisamos escrever nosso sistema de equações assim. Pegue o sistema:
Os coeficientes são escritos em forma de tabela e os termos livres são escritos em uma coluna separada à direita. A coluna com termos livres é separada por conveniência. A matriz que inclui esta coluna é chamada de estendida.
A seguir, a matriz principal com coeficientes deve ser reduzida a uma forma triangular superior. Este é o ponto principal da resolução do sistema pelo método gaussiano. Simplificando, após certas manipulações, a matriz deve parecer que sua parte inferior esquerda contém apenas zeros:
Então, se você escrever a nova matriz novamente como um sistema de equações, notará que a última linha já contém o valor de uma das raízes, que é então substituída na equação acima, outra raiz é encontrada e assim por diante.
Esta é uma descrição da solução pelo método gaussiano da forma mais linhas gerais. O que acontece se de repente o sistema não tiver solução? Ou existem infinitos deles? Para responder a estas e muitas outras questões, é necessário considerar separadamente todos os elementos utilizados na resolução do método gaussiano.
Nenhum significado oculto não na matriz. Esta é simplesmente uma maneira conveniente de registrar dados para operações subsequentes. Mesmo as crianças em idade escolar não precisam ter medo deles.
A matriz é sempre retangular, porque é mais conveniente. Mesmo no método de Gauss, onde tudo se resume a construir uma matriz de forma triangular, aparece um retângulo na entrada, apenas com zeros no local onde não há números. Zeros podem não ser escritos, mas estão implícitos.
A matriz tem um tamanho. Sua “largura” é o número de linhas (m), “comprimento” é o número de colunas (n). Então, o tamanho da matriz A (geralmente são usadas letras latinas maiúsculas para denotá-las) será denotado como A m×n. Se m=n, então esta matriz é quadrada e m=n é sua ordem. Conseqüentemente, qualquer elemento da matriz A pode ser denotado por seus números de linha e coluna: a xy; x - número da linha, alterações, y - número da coluna, alterações.
B não é o ponto principal da decisão. Em princípio, todas as operações podem ser realizadas diretamente com as próprias equações, mas a notação será muito mais complicada e será muito mais fácil se confundir nela.
A matriz também tem um determinante. Esta é uma característica muito importante. Não há necessidade de descobrir seu significado agora; você pode simplesmente mostrar como ele é calculado e depois dizer quais propriedades da matriz ele determina. A maneira mais fácil de encontrar o determinante é através das diagonais. Diagonais imaginárias são desenhadas na matriz; multiplicam-se os elementos localizados em cada um deles e, em seguida, somam-se os produtos resultantes: diagonais com inclinação para a direita - com sinal de mais, com inclinação para a esquerda - com sinal de menos.
É extremamente importante notar que o determinante só pode ser calculado para uma matriz quadrada. Para uma matriz retangular, você pode fazer o seguinte: escolher o menor entre o número de linhas e o número de colunas (seja k) e, em seguida, marcar aleatoriamente k colunas e k linhas na matriz. Os elementos localizados na intersecção das colunas e linhas selecionadas formarão um novo matriz quadrada. Se o determinante de tal matriz for um número diferente de zero, ele será chamado de base menor da matriz retangular original.
Antes de começar a resolver um sistema de equações usando o método gaussiano, não custa nada calcular o determinante. Se for zero, podemos dizer imediatamente que a matriz tem um número infinito de soluções ou nenhuma. Em um caso tão triste, você precisa ir mais longe e descobrir a classificação da matriz.
Existe algo como a classificação de uma matriz. Esta é a ordem máxima de seu determinante diferente de zero (se lembrarmos da base menor, podemos dizer que o posto de uma matriz é a ordem da base menor).
Com base na situação com classificação, o SLAE pode ser dividido em:
O método de Gauss é bom porque durante a solução permite obter ou uma prova inequívoca da inconsistência do sistema (sem calcular os determinantes de grandes matrizes), ou uma solução na forma geral para um sistema com um número infinito de soluções.
Antes de prosseguir diretamente para a resolução do sistema, você pode torná-lo menos complicado e mais conveniente para os cálculos. Isto é conseguido através de transformações elementares - tais que a sua implementação não altera em nada a resposta final. Deve-se notar que algumas das transformações elementares fornecidas são válidas apenas para matrizes cuja fonte foi o SLAE. Aqui está uma lista dessas transformações:
Para facilitar o entendimento, vale detalhar esse processo passo a passo. Duas linhas são retiradas da matriz:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b2
Digamos que você precise somar o primeiro ao segundo, multiplicado pelo coeficiente "-2".
uma" 21 = uma 21 + -2×uma 11
uma" 22 = uma 22 + -2×uma 12
uma" 2n = uma 2n + -2×uma 1n
Em seguida, a segunda linha da matriz é substituída por uma nova e a primeira permanece inalterada.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Deve-se notar que o coeficiente de multiplicação pode ser selecionado de forma que, ao somar duas linhas, um dos elementos da nova linha seja igual a zero. Conseqüentemente, é possível obter uma equação em um sistema onde haverá uma incógnita a menos. E se você obtiver duas dessas equações, a operação poderá ser feita novamente e obter uma equação que conterá duas incógnitas a menos. E se cada vez que você transformar um coeficiente de todas as linhas que estão abaixo do original para zero, então você pode, como uma escada, descer até a parte inferior da matriz e obter uma equação com uma incógnita. Isso é chamado de resolução do sistema usando o método gaussiano.
Que haja um sistema. Tem m equações e n raízes desconhecidas. Você pode escrever da seguinte maneira:
A matriz principal é compilada a partir dos coeficientes do sistema. Uma coluna de termos livres é adicionada à matriz estendida e, por conveniência, separada por uma linha.
Agora a mesma série de transformações é executada, apenas a primeira e a terceira linhas estão envolvidas. Conseqüentemente, em cada etapa do algoritmo, o elemento 21 é substituído por 31. Aí tudo se repete para um 41, ... um m1. O resultado é uma matriz onde o primeiro elemento das linhas é zero. Agora você precisa esquecer a linha número um e executar o mesmo algoritmo, começando pela linha dois:
O algoritmo deve ser repetido até que o coeficiente k = (-a m,m-1 /a mm) apareça. Isto significa que em última vez o algoritmo foi executado apenas para a equação inferior. Agora a matriz se parece com um triângulo ou tem uma forma escalonada. Na linha inferior há a igualdade a mn × x n = b m. O coeficiente e o termo livre são conhecidos, e a raiz é expressa através deles: x n = b m /a mn. A raiz resultante é substituída na linha superior para encontrar x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. E assim por diante, por analogia: em cada linha seguinte há uma nova raiz e, chegando ao “topo” do sistema, você pode encontrar muitas soluções. Será o único.
Se em uma das linhas da matriz todos os elementos, exceto o termo livre, forem iguais a zero, então a equação correspondente a esta linha será semelhante a 0 = b. Não tem solução. E como tal equação está incluída no sistema, então o conjunto de soluções de todo o sistema é vazio, ou seja, é degenerado.
Pode acontecer que na matriz triangular dada não existam linhas com um elemento coeficiente da equação e um termo livre. Existem apenas linhas que, quando reescritas, pareceriam uma equação com duas ou mais variáveis. Isso significa que o sistema possui um número infinito de soluções. Neste caso, a resposta pode ser dada na forma de uma solução geral. Como fazer isso?
Todas as variáveis da matriz são divididas em básicas e livres. Os básicos são aqueles que ficam “na borda” das linhas da matriz escalonada. O resto é gratuito. Na solução geral, as variáveis básicas são escritas através de variáveis livres.
Por conveniência, a matriz é primeiro reescrita em um sistema de equações. Então, no último deles, onde exatamente resta apenas uma variável básica, ela fica de um lado e todo o resto é transferido para o outro. Isso é feito para cada equação com uma variável básica. Então, nas demais equações, sempre que possível, a expressão obtida para ela é substituída no lugar da variável básica. Se o resultado for novamente uma expressão contendo apenas uma variável básica, ele será novamente expresso a partir daí, e assim por diante, até que cada variável básica seja escrita como uma expressão com variáveis livres. Esta é a solução geral do SLAE.
Você também pode encontrar a solução básica do sistema - fornecer quaisquer valores às variáveis livres e, para este caso específico, calcular os valores das variáveis básicas. Há um número infinito de soluções particulares que podem ser dadas.
Aqui está um sistema de equações.
Por conveniência, é melhor criar imediatamente sua matriz
Sabe-se que quando resolvida pelo método gaussiano, a equação correspondente à primeira linha permanecerá inalterada ao final das transformações. Portanto, será mais lucrativo se o elemento superior esquerdo da matriz for o menor - então os primeiros elementos das linhas restantes após as operações serão zero. Isto significa que na matriz compilada será vantajoso colocar a segunda linha no lugar da primeira.
segunda linha: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
uma" 21 = uma 21 + k×uma 11 = 3 + (-3)×1 = 0
uma" 22 = uma 22 + k×uma 12 = -1 + (-3)×2 = -7
uma" 23 = uma 23 + k×uma 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
terceira linha: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
uma" 3 1 = uma 3 1 + k×uma 11 = 5 + (-5)×1 = 0
uma" 3 2 = uma 3 2 + k×uma 12 = 1 + (-5)×2 = -9
uma" 3 3 = uma 33 + k×uma 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Agora, para não se confundir, é preciso escrever uma matriz com os resultados intermediários das transformações.
Obviamente, tal matriz pode se tornar mais conveniente para a percepção usando certas operações. Por exemplo, você pode remover todos os “menos” da segunda linha multiplicando cada elemento por “-1”.
É importante notar também que na terceira linha todos os elementos são múltiplos de três. Então você pode encurtar a string por este número, multiplicando cada elemento por "-1/3" (menos - ao mesmo tempo, para remover valores negativos).
Parece muito melhor. Agora precisamos deixar a primeira linha de lado e trabalhar com a segunda e a terceira. A tarefa é somar a segunda linha à terceira linha, multiplicada por tal coeficiente que o elemento a 32 se torne igual a zero.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (se durante algumas transformações a resposta não for um número inteiro, é recomendável manter a precisão dos cálculos para sair é “como está”, na forma fração comum, e só então, quando as respostas forem recebidas, decidir se deve arredondar e converter para outra forma de gravação)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
A matriz é escrita novamente com novos valores.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Como você pode ver, a matriz resultante já possui uma forma escalonada. Portanto, não são necessárias transformações adicionais do sistema usando o método gaussiano. O que você pode fazer aqui é remover o coeficiente geral “-1/7” da terceira linha.
Agora está tudo lindo. Tudo o que resta fazer é escrever novamente a matriz na forma de um sistema de equações e calcular as raízes
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
O algoritmo pelo qual as raízes serão agora encontradas é chamado de movimento reverso no método gaussiano. A equação (3) contém o valor z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
E a primeira equação nos permite encontrar x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Temos o direito de chamar tal sistema de conjunto, e até de definitivo, ou seja, que possui uma solução única. A resposta está escrita da seguinte forma:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Foi analisada a variante de resolver um determinado sistema pelo método de Gauss, agora é necessário considerar o caso se o sistema for incerto, ou seja, podem ser encontradas infinitas soluções para ele.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
A própria aparência do sistema já é alarmante, pois o número de incógnitas é n = 5, e o posto da matriz do sistema já é exatamente menor que esse número, pois o número de linhas é m = 4, ou seja, a maior ordem do quadrado determinante é 4. Isso significa que há um número infinito de soluções e você precisa procurar sua aparência geral. O método Gauss para equações lineares permite fazer isso.
Primeiro, como sempre, uma matriz estendida é compilada.
Segunda linha: coeficiente k = (-a 21 /a 11) = -3. Na terceira linha, o primeiro elemento está antes das transformações, então não precisa mexer em nada, precisa deixar como está. Quarta linha: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Multiplicando os elementos da primeira linha por cada um de seus coeficientes e adicionando-os às linhas necessárias, obtemos uma matriz com a seguinte forma:
Como você pode ver, a segunda, terceira e quarta linhas consistem em elementos proporcionais entre si. O segundo e o quarto são geralmente idênticos, então um deles pode ser removido imediatamente e o restante pode ser multiplicado pelo coeficiente “-1” e obter a linha número 3. E novamente, de duas linhas idênticas, deixe uma.
O resultado é uma matriz como esta. Embora o sistema ainda não tenha sido escrito, é necessário determinar aqui as variáveis básicas - aquelas que estão nos coeficientes a 11 = 1 e a 22 = 1, e as livres - todo o resto.
Na segunda equação existe apenas uma variável básica - x 2. Isso significa que pode ser expresso a partir daí escrevendo-o através das variáveis x 3 , x 4 , x 5 , que são gratuitas.
Substituímos a expressão resultante na primeira equação.
O resultado é uma equação na qual a única variável básica é x 1 . Vamos fazer o mesmo com x 2.
Todas as variáveis básicas, das quais existem duas, são expressas em termos de três variáveis livres; agora podemos escrever a resposta na forma geral.
Você também pode especificar uma das soluções específicas do sistema. Para tais casos, zeros são geralmente escolhidos como valores para variáveis livres. Então a resposta será:
16, 23, 0, 0, 0.
Solução sistemas incompatíveis equações pelo método gaussiano - o mais rápido. Termina imediatamente assim que em uma das etapas for obtida uma equação que não tem solução. Ou seja, elimina-se a etapa de cálculo das raízes, bastante longa e tediosa. O seguinte sistema é considerado:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Como de costume, a matriz é compilada:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
E é reduzido a uma forma gradual:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Após a primeira transformação, a terceira linha contém uma equação da forma
sem solução. Conseqüentemente, o sistema é inconsistente e a resposta será o conjunto vazio.
Se você escolher qual método para resolver SLAEs no papel com uma caneta, o método discutido neste artigo parecerá o mais atraente. É muito mais difícil ficar confuso em transformações elementares do que se você tiver que procurar manualmente um determinante ou alguma matriz inversa complicada. Porém, se você utiliza programas para trabalhar com dados desse tipo, por exemplo, planilhas, verifica-se que tais programas já contêm algoritmos para cálculo dos principais parâmetros de matrizes - determinante, menores, inversos e assim por diante. E se você tem certeza de que a própria máquina calculará esses valores e não cometerá erros, é mais aconselhável utilizar o método matricial ou as fórmulas de Cramer, pois sua aplicação começa e termina com o cálculo dos determinantes e matrizes inversas.
Como a solução gaussiana é um algoritmo e a matriz é na verdade um array bidimensional, ela pode ser usada em programação. Mas como o artigo se posiciona como um guia “para manequins”, deve-se dizer que o lugar mais fácil para colocar o método são planilhas, por exemplo, Excel. Novamente, qualquer SLAE inserido em uma tabela na forma de matriz será considerado pelo Excel como uma matriz bidimensional. E para operações com eles existem muitos comandos interessantes: adição (você só pode adicionar matrizes do mesmo tamanho!), multiplicação por um número, multiplicação de matrizes (também com certas restrições), encontrar as matrizes inversas e transpostas e, o mais importante , calculando o determinante. Se esta tarefa demorada for substituída por um único comando, é possível determinar a classificação da matriz com muito mais rapidez e, assim, estabelecer sua compatibilidade ou incompatibilidade.
Neste artigo, o método é considerado um método para resolução de sistemas de equações lineares (SLAEs). O método é analítico, ou seja, permite escrever um algoritmo de solução de forma geral e aí substituir valores de exemplos específicos. Ao contrário do método matricial ou das fórmulas de Cramer, ao resolver um sistema de equações lineares pelo método de Gauss, você também pode trabalhar com aquelas que possuem um número infinito de soluções. Ou eles não têm nada.
Primeiro, precisamos escrever nosso sistema de equações assim. Pegue o sistema:
Os coeficientes são escritos em forma de tabela e os termos livres são escritos em uma coluna separada à direita. A coluna com termos livres é separada por conveniência. A matriz que inclui esta coluna é chamada de estendida.
A seguir, a matriz principal com coeficientes deve ser reduzida a uma forma triangular superior. Este é o ponto principal da resolução do sistema pelo método gaussiano. Simplificando, após certas manipulações, a matriz deve parecer que sua parte inferior esquerda contém apenas zeros:
Então, se você escrever a nova matriz novamente como um sistema de equações, notará que a última linha já contém o valor de uma das raízes, que é então substituída na equação acima, outra raiz é encontrada e assim por diante.
Esta é uma descrição da solução pelo método gaussiano nos termos mais gerais. O que acontece se de repente o sistema não tiver solução? Ou existem infinitos deles? Para responder a estas e muitas outras questões, é necessário considerar separadamente todos os elementos utilizados na resolução do método gaussiano.
Não há significado oculto na matriz. Esta é simplesmente uma maneira conveniente de registrar dados para operações subsequentes. Mesmo as crianças em idade escolar não precisam ter medo deles.
A matriz é sempre retangular, porque é mais conveniente. Mesmo no método de Gauss, onde tudo se resume a construir uma matriz de forma triangular, aparece um retângulo na entrada, apenas com zeros no local onde não há números. Zeros podem não ser escritos, mas estão implícitos.
A matriz tem um tamanho. Sua “largura” é o número de linhas (m), “comprimento” é o número de colunas (n). Então, o tamanho da matriz A (geralmente são usadas letras latinas maiúsculas para denotá-las) será denotado como A m×n. Se m=n, então esta matriz é quadrada e m=n é sua ordem. Conseqüentemente, qualquer elemento da matriz A pode ser denotado por seus números de linha e coluna: a xy; x - número da linha, alterações, y - número da coluna, alterações.
B não é o ponto principal da decisão. Em princípio, todas as operações podem ser realizadas diretamente com as próprias equações, mas a notação será muito mais complicada e será muito mais fácil se confundir nela.
A matriz também tem um determinante. Esta é uma característica muito importante. Não há necessidade de descobrir seu significado agora; você pode simplesmente mostrar como ele é calculado e depois dizer quais propriedades da matriz ele determina. A maneira mais fácil de encontrar o determinante é através das diagonais. Diagonais imaginárias são desenhadas na matriz; multiplicam-se os elementos localizados em cada um deles e, em seguida, somam-se os produtos resultantes: diagonais com inclinação para a direita - com sinal de mais, com inclinação para a esquerda - com sinal de menos.
É extremamente importante notar que o determinante só pode ser calculado para uma matriz quadrada. Para uma matriz retangular, você pode fazer o seguinte: escolher o menor entre o número de linhas e o número de colunas (seja k) e, em seguida, marcar aleatoriamente k colunas e k linhas na matriz. Os elementos na intersecção das colunas e linhas selecionadas formarão uma nova matriz quadrada. Se o determinante de tal matriz for um número diferente de zero, ele será chamado de base menor da matriz retangular original.
Antes de começar a resolver um sistema de equações usando o método gaussiano, não custa nada calcular o determinante. Se for zero, podemos dizer imediatamente que a matriz tem um número infinito de soluções ou nenhuma. Em um caso tão triste, você precisa ir mais longe e descobrir a classificação da matriz.
Existe algo como a classificação de uma matriz. Esta é a ordem máxima de seu determinante diferente de zero (se lembrarmos da base menor, podemos dizer que o posto de uma matriz é a ordem da base menor).
Com base na situação com classificação, o SLAE pode ser dividido em:
O método de Gauss é bom porque durante a solução permite obter ou uma prova inequívoca da inconsistência do sistema (sem calcular os determinantes de grandes matrizes), ou uma solução na forma geral para um sistema com um número infinito de soluções.
Antes de prosseguir diretamente para a resolução do sistema, você pode torná-lo menos complicado e mais conveniente para os cálculos. Isto é conseguido através de transformações elementares - tais que a sua implementação não altera em nada a resposta final. Deve-se notar que algumas das transformações elementares fornecidas são válidas apenas para matrizes cuja fonte foi o SLAE. Aqui está uma lista dessas transformações:
Para facilitar o entendimento, vale detalhar esse processo passo a passo. Duas linhas são retiradas da matriz:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b2
Digamos que você precise somar o primeiro ao segundo, multiplicado pelo coeficiente "-2".
uma" 21 = uma 21 + -2×uma 11
uma" 22 = uma 22 + -2×uma 12
uma" 2n = uma 2n + -2×uma 1n
Em seguida, a segunda linha da matriz é substituída por uma nova e a primeira permanece inalterada.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Deve-se notar que o coeficiente de multiplicação pode ser selecionado de forma que, ao somar duas linhas, um dos elementos da nova linha seja igual a zero. Conseqüentemente, é possível obter uma equação em um sistema onde haverá uma incógnita a menos. E se você obtiver duas dessas equações, a operação poderá ser feita novamente e obter uma equação que conterá duas incógnitas a menos. E se cada vez que você transformar um coeficiente de todas as linhas que estão abaixo do original para zero, então você pode, como uma escada, descer até a parte inferior da matriz e obter uma equação com uma incógnita. Isso é chamado de resolução do sistema usando o método gaussiano.
Que haja um sistema. Tem m equações e n raízes desconhecidas. Você pode escrever da seguinte maneira:
A matriz principal é compilada a partir dos coeficientes do sistema. Uma coluna de termos livres é adicionada à matriz estendida e, por conveniência, separada por uma linha.
Agora a mesma série de transformações é executada, apenas a primeira e a terceira linhas estão envolvidas. Conseqüentemente, em cada etapa do algoritmo, o elemento 21 é substituído por 31. Aí tudo se repete para um 41, ... um m1. O resultado é uma matriz onde o primeiro elemento das linhas é zero. Agora você precisa esquecer a linha número um e executar o mesmo algoritmo, começando pela linha dois:
O algoritmo deve ser repetido até que o coeficiente k = (-a m,m-1 /a mm) apareça. Isso significa que a última vez que o algoritmo foi executado foi apenas para a equação inferior. Agora a matriz se parece com um triângulo ou tem uma forma escalonada. Na linha inferior há a igualdade a mn × x n = b m. O coeficiente e o termo livre são conhecidos, e a raiz é expressa através deles: x n = b m /a mn. A raiz resultante é substituída na linha superior para encontrar x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. E assim por diante, por analogia: em cada linha seguinte há uma nova raiz e, chegando ao “topo” do sistema, você pode encontrar muitas soluções. Será o único.
Se em uma das linhas da matriz todos os elementos, exceto o termo livre, forem iguais a zero, então a equação correspondente a esta linha será semelhante a 0 = b. Não tem solução. E como tal equação está incluída no sistema, então o conjunto de soluções de todo o sistema é vazio, ou seja, é degenerado.
Pode acontecer que na matriz triangular dada não existam linhas com um elemento coeficiente da equação e um termo livre. Existem apenas linhas que, quando reescritas, pareceriam uma equação com duas ou mais variáveis. Isso significa que o sistema possui um número infinito de soluções. Neste caso, a resposta pode ser dada na forma de uma solução geral. Como fazer isso?
Todas as variáveis da matriz são divididas em básicas e livres. Os básicos são aqueles que ficam “na borda” das linhas da matriz escalonada. O resto é gratuito. Na solução geral, as variáveis básicas são escritas através de variáveis livres.
Por conveniência, a matriz é primeiro reescrita em um sistema de equações. Então, no último deles, onde exatamente resta apenas uma variável básica, ela fica de um lado e todo o resto é transferido para o outro. Isso é feito para cada equação com uma variável básica. Então, nas demais equações, sempre que possível, a expressão obtida para ela é substituída no lugar da variável básica. Se o resultado for novamente uma expressão contendo apenas uma variável básica, ele será novamente expresso a partir daí, e assim por diante, até que cada variável básica seja escrita como uma expressão com variáveis livres. Esta é a solução geral do SLAE.
Você também pode encontrar a solução básica do sistema - fornecer quaisquer valores às variáveis livres e, para este caso específico, calcular os valores das variáveis básicas. Há um número infinito de soluções particulares que podem ser dadas.
Aqui está um sistema de equações.
Por conveniência, é melhor criar imediatamente sua matriz
Sabe-se que quando resolvida pelo método gaussiano, a equação correspondente à primeira linha permanecerá inalterada ao final das transformações. Portanto, será mais lucrativo se o elemento superior esquerdo da matriz for o menor - então os primeiros elementos das linhas restantes após as operações serão zero. Isto significa que na matriz compilada será vantajoso colocar a segunda linha no lugar da primeira.
segunda linha: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
uma" 21 = uma 21 + k×uma 11 = 3 + (-3)×1 = 0
uma" 22 = uma 22 + k×uma 12 = -1 + (-3)×2 = -7
uma" 23 = uma 23 + k×uma 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
terceira linha: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
uma" 3 1 = uma 3 1 + k×uma 11 = 5 + (-5)×1 = 0
uma" 3 2 = uma 3 2 + k×uma 12 = 1 + (-5)×2 = -9
uma" 3 3 = uma 33 + k×uma 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Agora, para não se confundir, é preciso escrever uma matriz com os resultados intermediários das transformações.
Obviamente, tal matriz pode se tornar mais conveniente para a percepção usando certas operações. Por exemplo, você pode remover todos os “menos” da segunda linha multiplicando cada elemento por “-1”.
É importante notar também que na terceira linha todos os elementos são múltiplos de três. Então você pode encurtar a string por este número, multiplicando cada elemento por "-1/3" (menos - ao mesmo tempo, para remover valores negativos).
Parece muito melhor. Agora precisamos deixar a primeira linha de lado e trabalhar com a segunda e a terceira. A tarefa é somar a segunda linha à terceira linha, multiplicada por tal coeficiente que o elemento a 32 se torne igual a zero.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (se durante algumas transformações a resposta não for um número inteiro, é recomendável manter a precisão dos cálculos para sair é “como está”, na forma de frações ordinárias, e só então, quando as respostas forem recebidas, decida se deve arredondar e converter para outra forma de gravação)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
A matriz é escrita novamente com novos valores.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Como você pode ver, a matriz resultante já possui uma forma escalonada. Portanto, não são necessárias transformações adicionais do sistema usando o método gaussiano. O que você pode fazer aqui é remover o coeficiente geral “-1/7” da terceira linha.
Agora está tudo lindo. Tudo o que resta fazer é escrever novamente a matriz na forma de um sistema de equações e calcular as raízes
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
O algoritmo pelo qual as raízes serão agora encontradas é chamado de movimento reverso no método gaussiano. A equação (3) contém o valor z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
E a primeira equação nos permite encontrar x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Temos o direito de chamar tal sistema de conjunto, e até de definitivo, ou seja, que possui uma solução única. A resposta está escrita da seguinte forma:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Foi analisada a variante de resolver um determinado sistema pelo método de Gauss, agora é necessário considerar o caso se o sistema for incerto, ou seja, podem ser encontradas infinitas soluções para ele.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
A própria aparência do sistema já é alarmante, pois o número de incógnitas é n = 5, e o posto da matriz do sistema já é exatamente menor que esse número, pois o número de linhas é m = 4, ou seja, a maior ordem do quadrado determinante é 4. Isso significa que há um número infinito de soluções e você precisa procurar sua aparência geral. O método Gauss para equações lineares permite fazer isso.
Primeiro, como sempre, uma matriz estendida é compilada.
Segunda linha: coeficiente k = (-a 21 /a 11) = -3. Na terceira linha, o primeiro elemento está antes das transformações, então não precisa mexer em nada, precisa deixar como está. Quarta linha: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Multiplicando os elementos da primeira linha por cada um de seus coeficientes e adicionando-os às linhas necessárias, obtemos uma matriz com a seguinte forma:
Como você pode ver, a segunda, terceira e quarta linhas consistem em elementos proporcionais entre si. O segundo e o quarto são geralmente idênticos, então um deles pode ser removido imediatamente e o restante pode ser multiplicado pelo coeficiente “-1” e obter a linha número 3. E novamente, de duas linhas idênticas, deixe uma.
O resultado é uma matriz como esta. Embora o sistema ainda não tenha sido escrito, é necessário determinar aqui as variáveis básicas - aquelas que estão nos coeficientes a 11 = 1 e a 22 = 1, e as livres - todo o resto.
Na segunda equação existe apenas uma variável básica - x 2. Isso significa que pode ser expresso a partir daí escrevendo-o através das variáveis x 3 , x 4 , x 5 , que são gratuitas.
Substituímos a expressão resultante na primeira equação.
O resultado é uma equação na qual a única variável básica é x 1 . Vamos fazer o mesmo com x 2.
Todas as variáveis básicas, das quais existem duas, são expressas em termos de três variáveis livres; agora podemos escrever a resposta na forma geral.
Você também pode especificar uma das soluções específicas do sistema. Para tais casos, zeros são geralmente escolhidos como valores para variáveis livres. Então a resposta será:
16, 23, 0, 0, 0.
Resolver sistemas de equações incompatíveis usando o método Gauss é o mais rápido. Termina imediatamente assim que em uma das etapas for obtida uma equação que não tem solução. Ou seja, elimina-se a etapa de cálculo das raízes, bastante longa e tediosa. O seguinte sistema é considerado:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Como de costume, a matriz é compilada:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
E é reduzido a uma forma gradual:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Após a primeira transformação, a terceira linha contém uma equação da forma
sem solução. Conseqüentemente, o sistema é inconsistente e a resposta será o conjunto vazio.
Se você escolher qual método para resolver SLAEs no papel com uma caneta, o método discutido neste artigo parecerá o mais atraente. É muito mais difícil ficar confuso em transformações elementares do que se você tiver que procurar manualmente um determinante ou alguma matriz inversa complicada. Porém, se você utiliza programas para trabalhar com dados desse tipo, por exemplo, planilhas, verifica-se que tais programas já contêm algoritmos para cálculo dos principais parâmetros de matrizes - determinante, menores, inversos e assim por diante. E se você tem certeza de que a própria máquina calculará esses valores e não cometerá erros, é mais aconselhável utilizar o método matricial ou as fórmulas de Cramer, pois sua aplicação começa e termina com o cálculo de determinantes e matrizes inversas .
Como a solução gaussiana é um algoritmo e a matriz é na verdade um array bidimensional, ela pode ser usada em programação. Mas como o artigo se posiciona como um guia “para manequins”, deve-se dizer que o lugar mais fácil para colocar o método são planilhas, por exemplo, Excel. Novamente, qualquer SLAE inserido em uma tabela na forma de matriz será considerado pelo Excel como uma matriz bidimensional. E para operações com eles existem muitos comandos interessantes: adição (você só pode adicionar matrizes do mesmo tamanho!), multiplicação por um número, multiplicação de matrizes (também com certas restrições), encontrar as matrizes inversas e transpostas e, o mais importante , calculando o determinante. Se esta tarefa demorada for substituída por um único comando, é possível determinar a classificação da matriz com muito mais rapidez e, assim, estabelecer sua compatibilidade ou incompatibilidade.
Hoje estamos examinando o método de Gauss para resolver sistemas de equações algébricas lineares. Você pode ler sobre o que são esses sistemas no artigo anterior dedicado à resolução dos mesmos SLAEs usando o método Cramer. O método Gauss não requer nenhum conhecimento específico, basta atenção e consistência. Apesar de, do ponto de vista matemático, a formação escolar ser suficiente para aplicá-lo, muitas vezes os alunos têm dificuldade em dominar este método. Neste artigo tentaremos reduzi-los a nada!
M Método gaussiano– o método mais universal para resolver SLAEs (com exceção de sistemas muito grandes). Ao contrário do que foi discutido anteriormente, é adequado não apenas para sistemas que possuem uma única solução, mas também para sistemas que possuem um número infinito de soluções. Existem três opções possíveis aqui.
Então temos um sistema (que tenha uma solução) e vamos resolvê-lo usando o método gaussiano. Como funciona?
O método Gauss consiste em dois estágios - direto e inverso.
Primeiro, vamos escrever a matriz estendida do sistema. Para fazer isso, adicione uma coluna de membros livres à matriz principal.
Toda a essência do método de Gauss é trazer essa matriz para uma forma escalonada (ou, como também dizem, triangular) por meio de transformações elementares. Nesta forma, deve haver apenas zeros abaixo (ou acima) da diagonal principal da matriz.
O que você pode fazer:
Depois de transformarmos o sistema desta forma, uma incógnita Xn se torna conhecido, e você pode ordem reversa encontre todas as incógnitas restantes substituindo os x já conhecidos nas equações do sistema, até o primeiro.
Quando a Internet está sempre disponível, você pode resolver um sistema de equações usando o método gaussiano on-line. Você só precisa inserir os coeficientes na calculadora online. Mas você deve admitir, é muito mais agradável perceber que o exemplo não foi resolvido programa de computador, mas com seu próprio cérebro.
E agora - um exemplo para que tudo fique claro e compreensível. Seja dado um sistema de equações lineares e você precisa resolvê-lo usando o método de Gauss:
Primeiro escrevemos a matriz estendida:
Agora vamos fazer as transformações. Lembramos que precisamos conseguir uma aparência triangular da matriz. Vamos multiplicar a 1ª linha por (3). Multiplique a 2ª linha por (-1). Adicione a 2ª linha à 1ª e obtenha:
Em seguida, multiplique a 3ª linha por (-1). Vamos adicionar a 3ª linha à 2ª:
Vamos multiplicar a 1ª linha por (6). Vamos multiplicar a 2ª linha por (13). Vamos adicionar a 2ª linha à 1ª:
Voila - o sistema está no formato apropriado. Resta encontrar as incógnitas:
O sistema neste exemplo possui uma solução única. Consideraremos a solução de sistemas com um número infinito de soluções em um artigo separado. Talvez a princípio você não saiba por onde começar a transformar a matriz, mas após a prática apropriada você pegará o jeito e quebrará SLAEs usando o método Gaussiano como se fossem nozes. E se de repente você se deparar com um SLAE que se revele um osso duro de roer, entre em contato com nossos autores! você pode deixar uma solicitação no escritório de correspondência. Juntos resolveremos qualquer problema!
