1 MINISTERO DELL'ISTRUZIONE E DELLE SCIENZE DELLA FEDERAZIONE RUSSA UNIVERSITÀ STATALE DI NOVOSIBIRSK FACOLTÀ DI FISICA R. K. Belkheeva SERIE FOURIER IN ESEMPI E COMPITI Tutorial Novosibirsk 211
2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Serie di Fourier in esempi e problemi: Libro di testo / Novosib. stato un-t. Novosibirsk, s. ISBN B Guida allo studio vengono presentate le informazioni di base sulle serie di Fourier, vengono forniti esempi per ogni argomento studiato. Viene analizzato in dettaglio un esempio di applicazione del metodo di Fourier per risolvere il problema delle vibrazioni trasversali di una corda. Viene fornito materiale illustrativo. Ci sono compiti per una soluzione indipendente. È destinato a studenti e insegnanti della Facoltà di Fisica dell'Università statale di Novosibirsk. Pubblicato secondo la decisione della Commissione Metodologica della Facoltà di Fisica della NSU. Revisore Dr. phys.-math. Scienze. VA Aleksandrov ISBN c Università statale di Novosibirsk, 211 c Belkheeva RK, 211
3 1. Espansione in serie di Fourier di una funzione 2π-periodica Definizione. La serie di Fourier della funzione f(x) è la serie funzionale a 2 + (an cosnx + b n sin nx), (1) dove i coefficienti a n, b n sono calcolati dalle formule: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Le formule (2) (3) sono dette formule di Euler Fourier . Il fatto che la funzione f(x) corrisponda alla serie di Fourier (1) si scrive come formula f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) e si dice che il lato destro della formula ( 4) è una serie formale di funzioni di Fourier f(x). In altre parole, la formula (4) significa solo che i coefficienti a n, b n sono trovati dalle formule (2), (3). 3
4 Definizione. Una funzione 2π-periodica f(x) si dice liscia a tratti se l'intervallo [, π] contiene un numero finito di punti = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4
5 fig. 1. Grafico della funzione f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, per dispari n, per pari n, f(x ) sin nxdx = perché la funzione f(x) è pari. Scriviamo la serie formale di Fourier per la funzione f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.
6 Scopri se la funzione f(x) è liscia a tratti. Poiché è continua, calcoliamo solo i limiti (6) ai punti estremi dell'intervallo x = ±π e al punto di interruzione x = : e f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h I limiti esistono e sono finiti, quindi la funzione è liscia a tratti. Per il teorema della convergenza puntuale, la sua serie di Fourier converge al numero f(x) in ogni punto, cioè f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Le figure 2 e 3 mostrano il carattere dell'approssimazione delle somme parziali della serie di Fourier S n (x), dove S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, alla funzione f(x) nell'intervallo [, π] . 6
7 Fig. Fig. 2. Grafico della funzione f(x) con sovrapposti grafici di somme parziali S (x) = a 2 e S 1(x) = a 2 + a 1 cos x 3. Grafico della funzione f (x) con un grafico di somma parziale sovrapposto S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7
8 Sostituendo in (7) x = otteniamo: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, da dove troviamo la somma delle serie numeriche: = π2 8. Conoscendo la somma di questa serie, è facile trovare la seguente somma Abbiamo: S = ( ) S = ()= π S, quindi S = π2 6, cioè 1 n = π La somma di questa famosa serie fu trovata per la prima volta da Leonhard Euler. Si trova spesso nell'analisi matematica e nelle sue applicazioni. ESEMPIO 2. Disegna un grafico, trova la serie di Fourier della funzione data dalla formula f(x) = x per x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8
9 fig. 4. Grafico della funzione f(x) La funzione f(x) è continuamente differenziabile sull'intervallo (, π). Nei punti x = ±π, ha limiti finiti (5): f() =, f(π) = π. Inoltre, esistono limiti finiti (6): f(+ h) f(+) lim = 1 e h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Quindi, f(x) è funzione regolare a tratti. Poiché la funzione f(x) è dispari, allora a n =. I coefficienti b n si ottengono integrando per parti: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ uno. n Componiamo la serie formale di Fourier della funzione 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =
10 Secondo il teorema di convergenza puntuale per una funzione periodica 2π liscia a tratti, la serie di Fourier della funzione f(x) converge alla somma: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x se π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1
11 Fig. Fig. 6. Grafico della funzione f(x) con sovrapposto il grafico della somma parziale S 2 (x). 7. Grafico della funzione f(x) con sovrapposto il grafico della somma parziale S 3 (x) 11
12 Fig. 8. Grafico della funzione f(x) con sovrapposto il grafico della somma parziale S 99 (x) Usiamo la serie di Fourier ottenuta per trovare le somme di due serie numeriche. Mettiamo in (8) x = π/2. Allora 2 () +... = π 2, oppure = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Abbiamo facilmente trovato la somma della ben nota serie di Leibniz. Mettendo x = π/3 in (8), troviamo () +... = π 2 3, oppure (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k
13 ESEMPIO 3. Disegnare un grafico, trovare la serie di Fourier della funzione f(x) = sin x, assumendo che abbia un periodo di 2π, e 1 calcolare la somma della serie numerica 4n 2 1. Soluzione. Il grafico della funzione f(x) è mostrato in fig. 9. Ovviamente, f(x) = sin x è una funzione continua pari con periodo π. Ma 2π è anche il periodo della funzione f(x). Riso. 9. Grafico della funzione f(x) Calcoliamo i coefficienti di Fourier. Tutti b n = perché la funzione è pari. Usando formule trigonometriche, calcoliamo a n per n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 se n = 2k, = π n 2 1 se n = 2k
14 Questo calcolo non permette di trovare il coefficiente a 1 perché a n = 1 il denominatore va a zero. Pertanto, calcoliamo direttamente il coefficiente a 1: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Poiché f(x) è continuamente differenziabile su (,) e (, π) e nei punti kπ, (k è un intero), esistono limiti finiti (5) e (6), la serie di Fourier della funzione converge a in ogni punto: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. Grafico della funzione f(x) con sovrapposto il grafico della somma parziale S(x) 14
15 fig. Fig. 11. Grafico della funzione f(x) con sovrapposto il grafico della somma parziale S 1 (x). Fig. 12. Grafico della funzione f(x) con sovrapposto il grafico della somma parziale S 2 (x). 13. Grafico della funzione f(x) con sovrapposto il grafico della somma parziale S 99 (x) 15
16 1 Calcolare la somma delle serie numeriche. Per fare ciò, mettiamo 4n 2 1 in (9) x =. Allora cosnx = 1 per tutti n = 1, 2,... e quindi, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. ESEMPIO 4. Dimostriamo che se una funzione continua liscia a tratti f(x) soddisfa la condizione f(x π) = f(x) per ogni x (cioè, è π-periodico) , allora a 2n 1 = b 2n 1 = per tutti n 1, e viceversa, se a 2n 1 = b 2n 1 = per tutti n 1, allora f(x) è π-periodico. Soluzione. Sia la funzione f(x) π-periodica. Calcoliamo i suoi coefficienti di Fourier a 2n 1 e b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x ) cos (2n 1)xdx. Nel primo integrale facciamo la modifica della variabile x = t π : f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16
17 Utilizzando il fatto che cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t e f(t π) = f(t), otteniamo: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Similmente si dimostra che b 2n 1 =. Al contrario, sia a 2n 1 = b 2n 1 =. Poiché la funzione f(x) è continua, allora, per il teorema sulla rappresentabilità di una funzione in un punto mediante la sua serie di Fourier, si ha Allora f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n peccato 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), il che significa che f(x) è una funzione π-periodica. ESEMPIO 5. Dimostriamo che se una funzione liscia a tratti f(x) soddisfa la condizione f(x) = f(x) per ogni x, allora a = e a 2n = b 2n = per ogni n 1, e viceversa , se a = a 2n = b 2n =, allora f(x π) = f(x) per ogni x. Soluzione. Sia la funzione f(x) soddisfare la condizione f(x π) = f(x). Calcoliamo i suoi coefficienti di Fourier: 17
18 = 1 π (un n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. Nel primo integrale facciamo la modifica della variabile x = t π. Allora f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Utilizzando il fatto che cos n(t π) = (1) n cosnt e f(t π) = f(t), otteniamo: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = se n pari, = 2 π f(t) cos nt dt, se n è dispari. π Si dimostra similmente che b 2n =. Viceversa, sia a = a 2n = b 2n =, per ogni n 1. Poiché la funzione f(x) è continua, allora, per il teorema sulla rappresentabilità di una funzione in un punto, la sua serie di Fourier soddisfa l'uguaglianza f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 peccato (2n 1)x). diciotto
19 Allora = f(x π) = = = f(x). ESEMPIO 6. Studiamo come estendere la funzione f(x) integrabile sull'intervallo [, π/2] all'intervallo [, π], in modo che la sua serie di Fourier abbia la forma: a 2n 1 cos(2n 1) X. (1) Soluzione. Lascia che il grafico della funzione abbia la forma mostrata in Fig. 14. Poiché nella serie (1) a = a 2n = b 2n = per ogni n, dall'Esempio 5 segue che la funzione f(x) deve soddisfare l'uguaglianza f(x π) = f(x) per ogni x. Questa osservazione permette di estendere la funzione f(x) all'intervallo [, /2] : f(x) = f(x+π), fig. 15. Dal fatto che la serie (1) contiene solo coseni, concludiamo che la funzione continua f (x) deve essere pari (cioè, il suo grafico deve essere simmetrico rispetto all'asse Oy), Fig.
20 fig. 14. Grafico della funzione f(x) 15. Grafico della continuazione della funzione f(x) sull'intervallo [, /2] 2
21 La funzione desiderata ha quindi la forma mostrata in fig. 16. Fig. 16. Grafico della continuazione della funzione f(x) sull'intervallo [, π] Riassumendo, concludiamo che la funzione deve essere continuata come segue: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), ovvero l'intervallo [π/2, π], il grafico della funzione f(x) è simmetrico al centro rispetto al punto (π/2,), e sull'intervallo [, π] il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse Oy. 21
22 GENERALIZZAZIONE DEGLI ESEMPI 3 6 Sia l >. Considera due condizioni: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Da un punto di vista geometrico, condizione (a) significa che il grafico della funzione f(x) è simmetrico rispetto alla retta verticale x = l/2, e condizione (b) che il grafico f(x) sia centrale simmetrico rispetto al punto (l/2;) dell'asse delle ascisse. Allora sono vere le seguenti affermazioni: 1) se la funzione f(x) è pari e la condizione (a) è soddisfatta, allora b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) se la funzione f(x) è pari e la condizione (b) è soddisfatta, allora b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) se la funzione f(x) è dispari e la condizione (a) è soddisfatta, allora a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) se la funzione f(x) è dispari e la condizione (b) è soddisfatta, allora a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. PROBLEMI Nei problemi 1 7 tracciare grafici e trovare la serie di Fourier per le funzioni, (supponendo che abbiano un periodo di 2π: se< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22
23 ( 1 se /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23
24 2. Espansione di una funzione data nell'intervallo [, π] solo in termini di seni o solo in termini di coseni Sia data una funzione f nell'intervallo [, π]. Per espanderlo in questo intervallo in una serie di Fourier, estendiamo prima f nell'intervallo [, π] in modo arbitrario, quindi utilizziamo le formule di Euler Fourier. L'arbitrarietà nella continuazione di una funzione porta al fatto che per la stessa funzione f: [, π] R possiamo ottenere diverse serie di Fourier. Ma è possibile utilizzare questa arbitrarietà in modo da ottenere un'espansione solo in seno o solo in coseno: nel primo caso basta continuare f in modo dispari, e nel secondo, in modo pari. Algoritmo risolutivo 1. Continuare la funzione in modo dispari (pari) su (,), quindi periodicamente con un periodo di 2π continuare la funzione sull'intero asse. 2. Calcolare i coefficienti di Fourier. 3. Componi la serie di Fourier della funzione f(x). 4. Verificare le condizioni per la convergenza delle serie. 5. Specificare la funzione a cui convergerà questa serie. ESEMPIO 7. Espandere la funzione f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис
25 fig. 17. Grafico della funzione continua Ovviamente, la funzione f (x) è liscia a tratti. Calcoliamo i coefficienti di Fourier: a n = per tutti n perché la funzione f (x) è dispari. Se n 1, allora b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 se n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n se n = 2k. π n 2 1 Per n = 1 nei calcoli precedenti, il denominatore svanisce, quindi il coefficiente b 1 può essere calcolato direttamente.
26 In sostanza: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Componi la serie di Fourier della funzione f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Poiché la funzione f (x) è liscia a tratti, allora, per il teorema di convergenza puntuale, la serie di Fourier della funzione f (x) converge alla somma cosx se π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26
27 Fig. Fig. 18. Grafico della funzione f (x) con sovrapposto il grafico della somma parziale S 1 (x). 19. Grafico della funzione f(x) con sovrapposto il grafico della somma parziale S 2 (x) 27
28 fig. Fig. 2. Grafico della funzione f (x) con sovrapposto il grafico della somma parziale S 3 (x). 21 mostra i grafici della funzione f (x) e la sua somma parziale S 99 (x). Riso. 21. Grafico della funzione f (x) con un grafico della somma parziale S 99 (x) 28 sovrapposto ad esso
29 ESEMPIO 8. Espandiamo la funzione f(x) = e ax, a >, x [, π], in una serie di Fourier solo in coseni. Soluzione. Continuiamo la funzione in modo uniforme su (,) (cioè, in modo che l'uguaglianza f(x) = f(x) valga per ogni x (, π)), e poi periodicamente con un periodo di 2π per l'intero reale asse. Otteniamo la funzione f (x), il cui grafico è mostrato in Fig. 22. Funzione f (x) nei punti 22. Il grafico della funzione continua f (x) x = kπ, k è un intero, presenta nodi. Calcoliamo i coefficienti di Fourier: b n =, poiché f (x) è pari. Integrando per parti, otteniamo 29
30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Pertanto, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Poiché f (x) è continua, secondo il teorema di convergenza puntuale, la sua serie di Fourier converge a f (x). Quindi, per ogni x [, π] abbiamo f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Le figure dimostrano l'approssimazione graduale delle somme parziali della serie di Fourier a una data funzione discontinua. 3
31 fig. 23. Grafici delle funzioni f (x) e S (x) 24. Grafici delle funzioni f (x) e S 1 (x) 25. Grafici delle funzioni f (x) e S 2 (x) 26. Grafici delle funzioni f (x) e S 3 (x) 31
32 fig. 27. Grafici delle funzioni f (x) e S 4 (x) 28. Grafici delle funzioni f (x) e S 99 (x) PROBLEMA 9. Espandere la funzione f (x) = cos x, x π, in una serie di Fourier solo in coseni. 1. Espandi la funzione f (x) \u003d e ax, a >, x π, in una serie di Fourier solo in termini di seni. 11. Espandi la funzione f (x) \u003d x 2, x π, in una serie di Fourier solo nei seni. 12. Espandi la funzione f (x) \u003d sin ax, x π, in una serie di Fourier solo in termini di coseni. 13. Espandi la funzione f (x) \u003d x sin x, x π, in una serie di Fourier solo nei seni. Risposte 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32
33 12. Se a non è un intero, allora sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; se a = 2m è un numero pari, allora sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; se a = 2m 1 è un numero dispari positivo, allora sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Serie di Fourier di una funzione con periodo arbitrario Si supponga che la funzione f(x) sia definita nell'intervallo [ l, l], l >. Sostituendo x = ly, y π, otteniamo la funzione g(y) = f(ly/π) definita nell'intervallo π [, π]. Questa funzione g(y) corrisponde alla serie (formale) di Fourier () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), i cui coefficienti sono trovati dalle formule di Eulero di Fourier: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33
34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f() ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, otteniamo una serie trigonometrica leggermente modificata per la funzione f(x): dove f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2 ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Si dice che le formule (11) (13) definiscano l'espansione in una serie di Fourier di una funzione con un periodo arbitrario. ESEMPIO 9. Trova la serie di Fourier della funzione data nell'intervallo (l, l) dall'espressione ( A se l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34
35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = se n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn Componi la serie di Fourier della funzione f (x) : f(x) A + B π (B A Poiché cosπn = (1) n, allora n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l per n = 2k otteniamo b n = b 2k =, per n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).
36 Quindi f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Secondo il teorema di convergenza puntuale, la serie di Fourier della funzione f(x) converge alla somma A, se l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).
37 fig. 29. Grafico della funzione f (x) con sovrapposti grafici delle armoniche S (x) = a 2 e S 1 (x) = b 1 sinx. Per chiarezza, i grafici delle tre armoniche superiori S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l e S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx vengono spostati verticalmente su l 37
38 fig. Fig. 3. Grafico della funzione f(x) con sovrapposto il grafico della somma parziale S 99 (x). 31. Frammento di fig. 3 in un'altra scala 38
39 PROBLEMI Nei problemi, espandere le funzioni specificate nella serie di Fourier in determinati intervalli. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = peccato π x, (1, 1).( 2 1 se 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39
40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) 2 l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Forma complessa della serie di Fourier Decomposizione f(x) = c n e inx, dove c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., è chiamata la forma complessa della serie di Fourier. La funzione si espande in una serie complessa di Fourier nelle stesse condizioni in cui si espande in una vera serie di Fourier. quattro
41 ESEMPIO 1. Trova la serie di Fourier nella forma complessa della funzione data dalla formula f(x) = e ax nell'intervallo [, π), dove a è un numero reale. Soluzione. Calcoliamo i coefficienti: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) La serie complessa di Fourier della funzione f ha la forma f(x) sh aπ π n= (1) n a in einx. Verifichiamo che la funzione f(x) è liscia a tratti: nell'intervallo (, π) è continuamente differenziabile, e nei punti x = ±π vi sono limiti finiti (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Pertanto, la funzione f(x) può essere rappresentata da una serie di Fourier sh aπ π n= (1) n a in einx, che converge alla somma: ( e S(x) = ax se π< x < π, ch a, если x = ±π. 41
42 ESEMPIO 11. Trova la serie di Fourier nella forma complessa e reale della funzione data dalla formula f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, dove a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42
43 Ricordiamo che la somma di una progressione geometrica infinita con denominatore q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43
44 Ora troviamo la serie di Fourier in forma reale. Per fare ciò, raggruppiamo i termini con i numeri n e n per n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Poiché c = 1, allora 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Questa è una serie di Fourier nella forma reale della funzione f(x). Quindi, senza calcolare un unico integrale, abbiamo trovato la serie di Fourier della funzione. Così facendo, abbiamo calcolato un integrale hard dipendente dal parametro cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44
45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = io 2 + io (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = io 2 + io () a 2 z a + a 1. z a 1 Espandiamo ciascuna delle frazioni semplici secondo la formula della progressione geometrica: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Questo è possibile perché az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, o, più brevemente, c n = 1 2i a n sgnn. Si trova così la serie di Fourier in forma complessa. Raggruppando i termini con i numeri n ed n, otteniamo la serie di Fourier della funzione in forma reale: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Ancora una volta, siamo riusciti a calcolare il seguente integrale complesso: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45
46 PROBLEMA 24. Usando la (15), calcola l'integrale cos nxdx 1 2a cosx + a 2 per real a, a > Usando (16), calcola l'integrale sin x sin nxdx per real a, a > a cosx + a2 Nei problemi , trova la serie di Fourier in forma complessa per le funzioni. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46
47 5. Teorema di uguaglianza di Lyapunov (uguaglianza di Lyapunov). Sia una funzione f: [, π] R tale che f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47
48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Pertanto, l'uguaglianza di Lyapunov per la funzione f(x) assume la forma: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Dall'ultima uguaglianza per a π troviamo sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Assumendo a = π 2, otteniamo sin2 na = 1 per n = 2k 1 e sin 2 na = per n = 2k. Pertanto, k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. ESEMPIO 14. Scriviamo l'uguaglianza di Lyapunov per la funzione f(x) = x cosx, x [, π], e usiamola per trovare la somma del numero serie (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Soluzione. I calcoli diretti danno = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =
49 Poiché f(x) è una funzione pari, allora per ogni n abbiamo b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 se n = 2k, 2 se n = 2k + 1. Il coefficiente a 1 deve essere calcolato separatamente, poiché nella formula generale per n = 1 il denominatore della frazione svanisce . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.
50 Quindi, l'uguaglianza di Lyapunov per la funzione f(x) ha la forma: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π PROBLEMA 32. Scrivi l'uguaglianza di Lyapunov per la funzione ( x f(x) = 2 πx se x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что forma complessa L'equazione di Lyapunov è valida non solo per funzioni a valori reali, ma anche per funzioni a valori complessi. 5
51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Risposte + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, dove c n è il coefficiente di Fourier 2π di f(x), e d n è la funzione del coefficiente di Fourier g(x). 6. Differenziazione di serie di Fourier Sia f: R R una funzione 2π-periodica continuamente differenziabile. La sua serie di Fourier ha la forma: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). La derivata f (x) di questa funzione sarà una funzione continua e 2π-periodica, per la quale si può scrivere una serie formale di Fourier: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), dove a, a n , b n, n = 1 , 2,... Coefficienti di Fourier della funzione f (x). 51
52 Teorema (sulla differenziazione termine per termine delle serie di Fourier). Sotto le ipotesi di cui sopra, sono vere le uguaglianze a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. ESEMPIO 15. Sia una funzione liscia a tratti f(x) continua nell'intervallo [, π]. Dimostriamo che quando è soddisfatta la condizione f(x)dx = vale la disuguaglianza 2 dx 2 dx, detta disuguaglianza di Steklov, e verifichiamo che l'uguaglianza in essa si realizza solo per funzioni della forma f(x) = A cosx. In altre parole, la disuguaglianza di Steklov fornisce condizioni in base alle quali la piccolezza della derivata (in rms) implica la piccolezza della funzione (in rms). Soluzione. Estendiamo la funzione f(x) all'intervallo [, ] in modo uniforme. Indichiamo la funzione estesa con lo stesso simbolo f(x). Allora la funzione continua sarà continua e liscia a tratti sull'intervallo [, π]. Poiché la funzione f(x) è continua, allora f 2 (x) è continua sull'intervallo e 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52
53 Poiché la funzione continua è pari, allora b n =, a = per condizione. Di conseguenza, l'uguaglianza di Lyapunov assume la forma 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Assicuriamoci che f (x) soddisfi la conclusione del teorema sulla differenziazione termine per termine della serie di Fourier, cioè che a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Lascia che la derivata f (x) subisca interruzioni nei punti x 1, x 2,..., x N nell'intervallo [, π]. Indichiamo x =, x N+1 = π. Dividiamo l'intervallo di integrazione [, π] in N +1 intervalli (x, x 1),..., (x N, x N+1), su ciascuno dei quali f(x) è continuamente differenziabile. Quindi, usando la proprietà di additività dell'integrale e poi integrando per parti, otteniamo: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)
54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x) dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Allo stesso modo, otteniamo a n = nb n. Abbiamo dimostrato che il teorema sulla differenziazione termine per termine delle serie di Fourier per una funzione periodica 2π continua e regolare a tratti la cui derivata nell'intervallo [, π] subisce discontinuità del primo tipo è vero. Quindi f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n) sin nx, poiché a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Perché 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)
55 Poiché ogni termine della serie in (18) è maggiore o uguale al corrispondente termine della serie in (17), allora 2 dx 2 dx. Ricordando che f(x) è una continuazione uniforme della funzione originale, abbiamo 2 dx 2 dx. Il che dimostra l'uguaglianza di Steklov. Ora esaminiamo per quali funzioni vale l'uguaglianza nella disuguaglianza di Steklov. Se per almeno un n 2, il coefficiente a n è diverso da zero, allora a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55
56 PROBLEMI 37. Sia una funzione liscia a tratti f(x) continua sull'intervallo [, π]. Dimostra che nella condizione f() = f(π) = vale la disuguaglianza 2 dx 2 dx, detta anche disuguaglianza di Steklov, e assicurati che l'uguaglianza in essa valga solo per funzioni della forma f(x) = B sin x . 38. Sia una funzione f continua nell'intervallo [, π] e abbia in esso (con la possibile eccezione solo di un numero finito di punti) una derivata integrabile al quadrato f(x). Dimostrare che se le condizioni f() = f(π) e f(x) dx = sono soddisfatte, allora vale la disuguaglianza 2 dx 2 dx, detta disuguaglianza di Wirtinger, e l'uguaglianza in essa avviene solo per funzioni della forma f(x ) = A cosx + B sinx. 56
57 7. Applicazione delle serie di Fourier per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali Nello studio di un oggetto reale (fenomeni naturali, processo produttivo, sistema di controllo, ecc.), due fattori risultano essere significativi: il livello di conoscenza accumulato sull'oggetto oggetto di studio e il grado di sviluppo dell'apparato matematico. Sul stadio attuale ricerca scientifica, è stata sviluppata la seguente catena: un fenomeno un modello fisico un modello matematico. La formulazione fisica (modello) del problema è la seguente: vengono individuate le condizioni per lo sviluppo del processo ei principali fattori che lo influenzano. La formulazione matematica (modello) consiste nel descrivere i fattori e le condizioni scelti nella formulazione fisica sotto forma di un sistema di equazioni (algebriche, differenziali, integrali, ecc.). Un problema si dice ben posto se, in un certo spazio funzionale, la soluzione del problema esiste, univocamente e continuamente dipende dalle condizioni iniziali e al contorno. Il modello matematico non è identico all'oggetto in esame, ma è la sua descrizione approssimativa Derivazione dell'equazione delle piccole vibrazioni trasversali libere della corda Seguiremo il libro di testo. Lascia che le estremità della corda siano fisse e la corda stessa sia tesa. Se la corda viene portata fuori equilibrio (ad esempio tirandola o colpendola), la corda partirà da 57
58 esitare. Assumiamo che tutti i punti della corda si muovano perpendicolarmente alla sua posizione di equilibrio (vibrazioni trasversali) e che in ogni momento la corda si trovi sullo stesso piano. Prendiamo in questo piano il sistema coordinate rettangolari xou. Allora, se all'istante iniziale t = la corda si trovava lungo l'asse Ox, allora u indicherà la deviazione della corda dalla posizione di equilibrio, cioè la posizione del punto della corda con l'ascissa x in un tempo arbitrario t corrisponde al valore della funzione u(x, t). Per ogni valore fisso di t, il grafico della funzione u(x, t) rappresenta la forma della corda vibrante all'istante t (Fig. 32). A un valore costante di x, la funzione u(x, t) fornisce la legge del moto di un punto con l'ascissa x lungo una retta parallela all'asse Ou, la derivata u t è la velocità di questo moto, e la seconda derivata 2 u t 2 è l'accelerazione. Riso. 32. Forze applicate ad una sezione infinitamente piccola di una stringa Scriviamo un'equazione che la funzione u(x, t) deve soddisfare. Per fare ciò, facciamo alcune ipotesi più semplificative. Assumiamo che la stringa sia assolutamente flessibile.
59 schivo, cioè assumeremo che la corda non resista alla flessione; ciò significa che le sollecitazioni che si generano nella corda sono sempre dirette tangenzialmente al suo profilo istantaneo. Si presume che la corda sia elastica e soggetta alla legge di Hooke; ciò significa che la variazione dell'entità della forza di tensione è proporzionale alla variazione della lunghezza della corda. Assumiamo che la corda sia omogenea; ciò significa che la sua densità lineare ρ è costante. Trascuriamo le forze esterne. Ciò significa che stiamo considerando oscillazioni libere. Studieremo solo piccole vibrazioni di una corda. Se indichiamo con ϕ(x, t) l'angolo tra l'asse delle ascisse e la tangente alla corda nel punto con l'ascissa x all'istante t, allora la condizione per piccole oscillazioni è che il valore di ϕ 2 (x, t) può essere trascurato rispetto a ϕ (x, t), cioè ϕ 2. Poiché l'angolo ϕ è piccolo, allora cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, quindi, il valore (u x x,) 2 può anche essere trascurato. Ne consegue immediatamente che nel processo di oscillazione si può trascurare la variazione della lunghezza di un qualsiasi tratto della corda. Infatti, la lunghezza di un pezzo di spago M 1 M 2 proiettato nell'intervallo dell'asse x, dove x 2 = x 1 + x, è uguale a l = x 2 x () 2 u dx x. x Dimostriamo che, secondo le nostre ipotesi, il valore della forza di trazione T sarà costante lungo l'intera corda. Per fare ciò, prendiamo una parte della stringa M 1 M 2 (Fig. 32) all'istante t e sostituiamo l'azione delle parti scartate
60 kov dalle forze di tensione T 1 e T 2. Poiché, a seconda della condizione, tutti i punti della corda si muovono parallelamente all'asse Ou e non ci sono forze esterne, la somma delle proiezioni delle forze di tensione sull'asse Ox deve essere uguale a zero: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Quindi, a causa della piccolezza degli angoli ϕ 1 = ϕ(x 1, t) e ϕ 2 = ϕ(x 2, t), concludiamo che T 1 = T 2. Indichiamo significato generale T 1 \u003d da T 2 a T. Ora calcoliamo la somma delle proiezioni F u delle stesse forze sull'asse Ou: F u \u003d T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t) . (2) Poiché per angoli piccoli sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), e tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x, l'equazione (2) può essere riscritta come F u T (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Poiché il punto x 1 è scelto arbitrariamente, allora F u T 2 u x2(x, t) x. Dopo aver trovato tutte le forze agenti sulla sezione M 1 M 2, applichiamo ad essa la seconda legge di Newton, secondo la quale il prodotto di massa e accelerazione è uguale alla somma di tutte le forze agenti. La massa di un pezzo di corda M 1 M 2 è uguale a m = ρ l ρ x, e l'accelerazione è uguale a 2 u(x, t). L'equazione t 2 di Newton assume la forma: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, dove α 2 = T ρ è un numero positivo costante. 6
61 Riducendo di x, otteniamo 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Di conseguenza, abbiamo ottenuto un'equazione differenziale parziale omogenea lineare del secondo ordine con coefficienti costanti. Si chiama equazione di vibrazione delle corde o equazione d'onda unidimensionale. L'equazione (21) è essenzialmente una riformulazione della legge di Newton e descrive il movimento di una stringa. Ma nella formulazione fisica del problema, c'erano requisiti che le estremità della corda fossero fisse e che la posizione della corda in un determinato momento fosse nota. Scriveremo queste condizioni nelle equazioni come segue: a) assumiamo che gli estremi della stringa siano fissati nei punti x = e x = l, ovvero assumiamo che per tutti t le relazioni u(, t) = , u(l, t ) = ; (22) b) assumeremo che all'istante t = la posizione della stringa coincida con il grafico della funzione f(x), ovvero assumiamo che per ogni x [, l] l'uguaglianza u(x, ) = f( x); (23) c) assumiamo che all'istante t = il punto della stringa con l'ascissa x sia data velocità g(x), ovvero assumiamo che u (x,) = g(x). (24) t Le relazioni (22) sono dette condizioni al contorno e le relazioni (23) e (24) sono dette condizioni iniziali. Modello matematico della piccola traversa libera 61
62 vibrazioni della corda è che è necessario risolvere l'equazione (21) con le condizioni al contorno (22) e le condizioni iniziali (23) e (24) Soluzione dell'equazione delle piccole vibrazioni trasversali libere della corda con il metodo di Fourier< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Sostituendo (25) in (21), otteniamo: X T = α 2 X T, (26) o T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Si dice che vi sia stata una separazione delle variabili. Poiché x e t non dipendono l'uno dall'altro, il lato sinistro nella (27) non dipende da x, ma il lato destro non dipende da t e il valore totale di questi rapporti è 62
63 deve essere costante, che indichiamo con λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Da questo otteniamo due ordinari equazioni differenziali: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) In questo caso, le condizioni al contorno (22) assumono la forma X()T(t) = e X(l)T(t) =. Poiché devono essere soddisfatte per ogni t, t >, allora X() = X(l) =. (3) Troviamo soluzioni all'equazione (28) che soddisfino le condizioni al contorno (3). Consideriamo tre casi. Caso 1: λ >. Denota λ = β 2. L'equazione (28) assume la forma X (x) β 2 X(x) =. La sua equazione caratteristica k 2 β 2 = ha radici k = ±β. Di conseguenza, decisione comune l'equazione (28) ha la forma X(x) = C e βx + De βx. Dobbiamo scegliere le costanti C e D in modo che le condizioni al contorno (3) siano soddisfatte, ovvero X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Da β, allora questo sistema di equazioni ha unica decisione C=D=. Quindi X(x) e 63
64 u(x, t). Quindi, nel caso 1 abbiamo ottenuto una soluzione banale, che non considereremo ulteriormente. Caso 2: λ =. Allora l'equazione (28) assume la forma X (x) = e la sua soluzione è ovviamente data dalla formula: X(x) = C x+d. Sostituendo questa soluzione nelle condizioni al contorno (3), otteniamo X() = D = e X(l) = Cl =, quindi C = D =. Quindi X(x) e u(x, t), e abbiamo ancora una soluzione banale. Caso 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64
65 Nel seguito assegneremo ad n solo valori positivi n = 1, 2,..., poiché per n negativo si ottengono soluzioni della stessa forma (nπ) I valori λ n = sono detti autovalori, e le funzioni X n (x) = C n sin πnx autofunzioni dell'equazione differenziale (28) con condizioni al contorno (3). Ora risolviamo l'equazione (29). Per lui l'equazione caratteristica ha la forma k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Poiché abbiamo scoperto sopra che soluzioni non banali X(x) dell'Eq. (28) esistono solo per λ negativo uguale a λ = n2 π 2, sono queste λ che considereremo di seguito. Le radici dell'equazione (32) sono k = ±iα λ, e le soluzioni dell'equazione (29) hanno la forma: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l dove A n e B n sono costanti arbitrarie. Sostituendo le formule (31) e (33) nella (25), troviamo particolari soluzioni dell'equazione (21) che soddisfano le condizioni al contorno (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n peccato pnx. l l l Inserendo tra parentesi il fattore C n e introducendo la notazione C n A n = b n e B n C n = a n, scriviamo u n (X, T) come (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) peccato pnx. (34) l l l l 65
66 Le vibrazioni della corda corrispondenti alle soluzioni un n (x, t) sono dette vibrazioni naturali della corda. Poiché l'equazione (21) e le condizioni al contorno (22) sono lineari e omogenee, allora una combinazione lineare di soluzioni (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l sarà a soluzione dell'equazione (21 ) soddisfacendo le condizioni al contorno (22) con una scelta speciale dei coefficienti a n e b n, che assicura la convergenza uniforme delle serie. Ora scegliamo i coefficienti a n e b n della soluzione (35) in modo che soddisfi non solo le condizioni al contorno, ma anche le condizioni iniziali (23) e (24), dove f(x), g(x) sono funzioni ( inoltre f() = f (l) = g() = g(l) =). Assumiamo che le funzioni f(x) e g(x) soddisfino le condizioni di espansione di Fourier. Sostituendo il valore t = nella (35), otteniamo u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Differenziando la serie (35) rispetto a t e sostituendo t =, otteniamo u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), e questa è l'espansione delle funzioni f(x) e g(x) nella serie di Fourier. Pertanto, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66
67 Sostituendo le espressioni dei coefficienti a n e b n nella serie (35), otteniamo una soluzione dell'equazione (21) che soddisfa le condizioni al contorno (22) e le condizioni iniziali (23) e (24). Abbiamo quindi risolto il problema delle piccole vibrazioni trasversali libere di una corda. Chiariamo il significato fisico delle autofunzioni un (x, t) del problema delle vibrazioni libere di una corda, definito dalla formula (34). Riscriviamolo come dove u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n La formula (37) mostra che tutti i punti della corda compiono oscillazioni armoniche con la stessa frequenza ω n = πnα e fase πnα δ n. L'ampiezza dell'oscillazione dipende da l l l'ascissa x del punto della stringa ed è uguale a α n sin πnx. Con una tale oscillazione, tutti i punti della corda raggiungono simultaneamente la loro deviazione massima l in una direzione o nell'altra e contemporaneamente superano la posizione di equilibrio. Tali oscillazioni sono chiamate onde stazionarie. Un'onda stazionaria avrà n + 1 punti fissi dati dalle radici dell'equazione sin πnx = nell'intervallo [, l]. I punti fissi sono chiamati i nodi dell'onda stazionaria. Nel mezzo tra i nodi - l mi sono i punti in cui le deviazioni raggiungono il massimo; tali punti sono chiamati antinodi. Ogni stringa può avere le proprie oscillazioni di frequenze rigorosamente definite ω n = πnα, n = 1, 2,.... Queste frequenze sono chiamate frequenze naturali della corda. Il tono l più basso che una corda può produrre è determinato da se stesso 67
68 frequenza naturale bassa ω 1 = π T ed è chiamato il tono fondamentale della corda. I restanti toni corrispondenti a l ρ frequenze ω n, n = 2, 3,..., sono detti armonici o armonici. Per chiarezza, illustreremo i profili tipici di una corda che emette il tono fondamentale (Fig. 33), il primo armonico (Fig. 34) e il secondo armonico (Fig. 35). Riso. Fig. 33. Profilo della corda che emette il tono fondamentale. Fig. 34. Profilo di una corda che emette il primo armonico. Fig. 35. Profilo di una corda che emette un secondo armonico Se la corda esegue vibrazioni libere determinate dalle condizioni iniziali, allora la funzione u(x, t) è rappresentata, come si può vedere dalla formula (35), come somma di armoniche individuali. Quindi oscillazione arbitraria 68
La 69a stringa è una sovrapposizione di onde stazionarie. In questo caso, la natura del suono della corda (tono, forza sonora, timbro) dipenderà dal rapporto tra le ampiezze delle singole armoniche Forza, altezza e timbro del suono Una corda vibrante eccita le vibrazioni dell'aria percepite dall'uomo orecchio come un suono emesso da una corda. La forza del suono è caratterizzata dall'energia o ampiezza delle vibrazioni: maggiore è l'energia, maggiore è la forza del suono. L'altezza di un suono è determinata dalla sua frequenza o periodo di oscillazione: maggiore è la frequenza, maggiore è il suono. Il timbro del suono è determinato dalla presenza di armonici, dalla distribuzione dell'energia sugli armonici, cioè dal metodo di eccitazione delle oscillazioni. Le ampiezze degli armonici sono, in generale, inferiori all'ampiezza del fondamentale e le fasi degli armonici possono essere arbitrarie. Il nostro orecchio non è sensibile alla fase delle oscillazioni. Confronta, ad esempio, le due curve di Fig. 36, preso in prestito da . Questa è una registrazione del suono con lo stesso tono fondamentale, estratta dal clarinetto (a) e dal pianoforte (b). Entrambi i suoni non sono semplici oscillazioni sinusoidali. La frequenza fondamentale del suono in entrambi i casi è la stessa e questo crea lo stesso tono. Ma i modelli di curva sono diversi perché diverse sfumature si sovrappongono al tono fondamentale. In un certo senso, questi disegni mostrano cos'è il timbro. 69
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Dipartimento di Matematica Generale
LAVORO LAUREA
Serie di Fourier e loro applicazioni
nella fisica matematica.
Completato da: studente del 5° anno
firma diurna
Specialità 010100
"Matematica"
Kasperova NS
Carta dello studente n. 95471
Consulente scientifico: professore associato, Ph.D.
firma tecnica. Scienze
Pozin PA
Soci, 2000
1. Introduzione.
2. Il concetto di serie di Fourier.
2.1. Determinazione dei coefficienti della serie di Fourier.
2.2. Integrali di funzioni periodiche.
3. Criteri per la convergenza delle serie di Fourier.
3.1. Esempi di espansione di funzioni in serie di Fourier.
4. Una nota sull'espansione di una funzione periodica in una serie di Fourier
5. Serie di Fourier per funzioni pari e dispari.
6. Serie di Fourier per funzioni con periodo 2 l .
7. Espansione di Fourier di una funzione non periodica.
Introduzione.
Jean Baptiste Joseph Fourier - matematico francese, membro dell'Accademia delle scienze di Parigi (1817).
I primi lavori di Fourier riguardano l'algebra. Già nelle lezioni del 1796 espose un teorema sul numero di radici reali di un'equazione algebrica compresa tra determinati limiti (publ. 1820), a lui intitolata; una soluzione completa sul numero di radici reali di un'equazione algebrica fu ottenuta nel 1829 da J.Sh.F. Tempesta. Nel 1818 Fourier indagò sulla questione delle condizioni per l'applicabilità del metodo sviluppato da Newton per la soluzione numerica delle equazioni, non conoscendo risultati simili ottenuti nel 1768 dal matematico francese J.R. Muraglia. Il risultato del lavoro di Fourier sui metodi numerici per risolvere le equazioni è l'Analisi di alcune equazioni, pubblicata postuma nel 1831.
La principale area di studio di Fourier era la fisica matematica. Nel 1807 e nel 1811 presentò le sue prime scoperte sulla teoria della propagazione del calore nei solidi all'Accademia delle scienze di Parigi e nel 1822 pubblicò la famosa opera Teoria analitica del calore, che ebbe un ruolo importante nella storia successiva della matematica. Questa è la teoria matematica della conduzione del calore. A causa della generalità del metodo, questo libro è diventato la fonte di tutti i moderni metodi di fisica matematica. In questo lavoro, Fourier derivò un'equazione differenziale per la conduzione del calore e sviluppò le idee delineate in precedenza da D. Bernoulli in termini più generali, sviluppò un metodo di separazione delle variabili (metodo di Fourier) per risolvere l'equazione del calore per determinate condizioni al contorno date, che ha applicato a una serie di casi speciali ( cubo, cilindro, ecc.). Questo metodo si basa sulla rappresentazione di funzioni mediante serie trigonometriche di Fourier.
Le serie di Fourier sono ora diventate uno strumento ben sviluppato nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali per risolvere problemi di valori al contorno.
1. Il concetto di serie di Fourier.(pag. 94, Uvarenkov)
Le serie di Fourier svolgono un ruolo importante nella fisica matematica, nella teoria dell'elasticità, nell'ingegneria elettrica e in particolare nel loro caso speciale: le serie trigonometriche di Fourier.
Una serie trigonometrica è una serie della forma
o, simbolicamente:
(1)
dove ω, a 0 , a 1 , …, a n , …, b 0 , b 1 , …, b n , … sono numeri costanti (ω>0) .
Alcuni problemi di fisica storicamente hanno portato allo studio di tali serie, ad esempio il problema delle vibrazioni delle corde (XVIII secolo), il problema delle regolarità nei fenomeni di conduzione del calore, ecc. Nelle applicazioni, considerazione delle serie trigonometriche , è principalmente legato al problema della rappresentazione di un dato moto, descritto dall'equazione y = ƒ(χ), in
la somma dei più semplici vibrazioni armoniche, spesso preso in numero infinitamente grande, cioè come somma di una serie della forma (1).Veniamo quindi al seguente problema: scoprire se per una data funzione ƒ(x) su un dato intervallo esiste una serie (1) che convergerebbe a tale funzione su tale intervallo. Se ciò è possibile, allora si dice che la funzione ƒ(x) si espande in una serie trigonometrica su questo intervallo.
La serie (1) converge ad un certo punto x 0, a causa della periodicità delle funzioni
(n=1,2,..), convergerà anche in tutti i punti della forma (m è un intero qualsiasi), e quindi la sua somma S(x) sarà (nella regione di convergenza della serie) un periodico funzione: se S n ( x) è l'ennesima somma parziale di questa serie, allora abbiamo
e quindi
, ovvero S(x 0 +T)=S(x 0). Pertanto, parlando dell'espansione di alcune funzioni ƒ(x) in una serie della forma (1), assumeremo che ƒ(x) sia una funzione periodica. 2. Determinazione dei coefficienti della serie con le formule di Fourier.
Sia una funzione periodica ƒ(x) di periodo 2π tale da essere rappresentata da una serie trigonometrica convergente a una data funzione nell'intervallo (-π, π), cioè sia la somma di questa serie:
. (2)
Supponiamo che l'integrale della funzione alla sinistra di questa uguaglianza sia uguale alla somma degli integrali dei termini di questa serie. Questo sarà vero se assumiamo che la serie numerica composta dai coefficienti della serie trigonometrica data converge in modo assoluto, cioè converge la serie numerica positiva
(3)La serie (1) è maggiorata e può essere integrata termine per termine nell'intervallo (-π, π). Integriamo entrambe le parti di uguaglianza (2):
.Calcoliamo separatamente ogni integrale che si verifica sul lato destro:
,
,
.
In questo modo,
, dove 
. (4)
Stima dei coefficienti di Fourier.(Bugrov)
Teorema 1. Sia una funzione ƒ(x) di periodo 2π abbia una derivata continua ƒ ( s) (x) ordine s soddisfare la disuguaglianza sull'intero asse reale:
│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)
quindi i coefficienti di Fourier della funzione ƒ soddisfare la disuguaglianza
(6)Prova. Integrare per parti e tenerne conto
ƒ(-π) = ƒ(π), abbiamo
Integrando sequenzialmente il membro destro della (7), tenendo conto che le derivate ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) sono continue e assumono gli stessi valori nei punti t = -π e t = π, pure come stima (5), otteniamo la prima stima ( 6).
La seconda stima (6) si ottiene in modo simile.
Teorema 2. I coefficienti di Fourier ƒ(x) soddisfano la disuguaglianza
(8)
Prova. abbiamo
La serie di Fourier è una rappresentazione di una funzione presa arbitrariamente con un periodo specifico come serie. A vista generale questa soluzione prende il nome di scomposizione di un elemento su base ortogonale. L'espansione delle funzioni in una serie di Fourier è uno strumento abbastanza potente per risolvere vari problemi a causa delle proprietà di questa trasformazione durante l'integrazione, la differenziazione e lo spostamento di un'espressione in un argomento e una convoluzione.
Una persona che non ha familiarità con la matematica superiore, così come con le opere dello scienziato francese Fourier, molto probabilmente non capirà cosa sono queste "serie" ea cosa servono. Nel frattempo, questa trasformazione è diventata piuttosto densa nelle nostre vite. È usato non solo dai matematici, ma anche da fisici, chimici, medici, astronomi, sismologi, oceanografi e molti altri. Diamo anche uno sguardo più da vicino alle opere del grande scienziato francese, che fece una scoperta in anticipo sui tempi.
La serie di Fourier è uno dei metodi (insieme all'analisi e altri) Questo processo si verifica ogni volta che una persona sente un suono. Il nostro orecchio si converte automaticamente particelle elementari in un mezzo elastico vengono scomposti in file (lungo lo spettro) di valori successivi del livello sonoro per toni di diverse altezze. Successivamente, il cervello trasforma questi dati in suoni a noi familiari. Tutto questo accade in aggiunta al nostro desiderio o coscienza, di per sé, ma per comprendere questi processi, ci vorranno diversi anni per studiare la matematica superiore.
La trasformata di Fourier può essere eseguita con metodi analitici, numerici e di altro tipo. Le serie di Fourier si riferiscono al modo numerico di scomporre qualsiasi processo oscillatorio - dalle maree oceaniche e dalle onde luminose ai cicli dell'attività solare (e altri oggetti astronomici). Utilizzando queste tecniche matematiche è possibile analizzare funzioni, rappresentando eventuali processi oscillatori come una serie di componenti sinusoidali che vanno dal minimo al massimo e viceversa. La trasformata di Fourier è una funzione che descrive la fase e l'ampiezza delle sinusoidi corrispondenti a una frequenza specifica. Questo processo può essere utilizzato per risolvere equazioni molto complesse che descrivono processi dinamici che si verificano sotto l'influenza dell'energia termica, luminosa o elettrica. Inoltre, le serie di Fourier consentono di isolare le componenti costanti in segnali oscillatori complessi, il che ha permesso di interpretare correttamente le osservazioni sperimentali ottenute in medicina, chimica e astronomia.
Il padre fondatore di questa teoria è il matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier. Questa trasformazione è stata successivamente intitolata a lui. Inizialmente, lo scienziato ha applicato il suo metodo per studiare e spiegare i meccanismi di conduzione del calore: la diffusione del calore all'interno solidi. Fourier ha suggerito che la distribuzione irregolare originale può essere scomposta nelle sinusoidi più semplici, ognuna delle quali avrà la propria temperatura minima e massima, nonché una propria fase. In questo caso, ciascuna di tali componenti sarà misurata dal minimo al massimo e viceversa. La funzione matematica che descrive i picchi superiore e inferiore della curva, nonché la fase di ciascuna delle armoniche, è chiamata trasformata di Fourier dell'espressione di distribuzione della temperatura. L'autore della teoria ha ridotto la funzione di distribuzione generale, difficile da descrivere matematicamente, a una serie molto conveniente di coseno e seno, che si sommano per dare la distribuzione originale.
I contemporanei dello scienziato - i principali matematici del primo Ottocento - non accettarono questa teoria. L'obiezione principale era l'affermazione di Fourier secondo cui una funzione discontinua che descrive una retta o una curva discontinua può essere rappresentata come una somma di espressioni sinusoidali continue. Ad esempio, si consideri il "passo" di Heaviside: il suo valore è zero a sinistra del gap e uno a destra. Questa funzione descrive la dipendenza della corrente elettrica dalla variabile tempo quando il circuito è chiuso. I contemporanei della teoria a quel tempo non si erano mai incontrati situazione simile, quando l'espressione discontinua sarebbe descritta da una combinazione di funzioni convenzionali continue come esponenziale, sinusoidale, lineare o quadratica.
Dopotutto, se il matematico aveva ragione nelle sue affermazioni, allora sommando le infinite serie trigonometriche di Fourier, si può ottenere una rappresentazione esatta dell'espressione graduale anche se ha molti passaggi simili. All'inizio del diciannovesimo secolo, un'affermazione del genere sembrava assurda. Ma nonostante tutti i dubbi, molti matematici hanno ampliato l'ambito dello studio di questo fenomeno, portandolo oltre l'ambito degli studi sulla conducibilità termica. Tuttavia, la maggior parte degli scienziati ha continuato a essere tormentata dalla domanda: "Può convergere la somma di una serie sinusoidale? valore esatto funzione discontinua?"
La questione della convergenza viene sollevata ogni volta che è necessario sommare serie infinite di numeri. Per comprendere questo fenomeno, consideriamo un classico esempio. Riuscirai mai a raggiungere il muro se ogni gradino successivo è la metà del precedente? Supponiamo di essere a due metri dalla porta, il primo passo ti avvicina alla metà del percorso, il successivo ai tre quarti e dopo il quinto coprirai quasi il 97 percento del percorso. Tuttavia, non importa quanti passi fai, non raggiungerai l'obiettivo prefissato in senso strettamente matematico. Utilizzando calcoli numerici, si può dimostrare che alla fine è possibile avvicinarsi a una determinata distanza arbitrariamente piccola. Questa dimostrazione equivale a dimostrare che il valore totale di una metà, un quarto, ecc. tenderà a uno.
rif. questa domanda sorse alla fine del diciannovesimo secolo, quando si tentò di utilizzare le serie di Fourier per prevedere l'intensità del flusso e riflusso. In questo momento, Lord Kelvin ha inventato un dispositivo, che è un dispositivo informatico analogico che ha permesso ai marinai della flotta militare e mercantile di rintracciarlo un fenomeno naturale. Questo meccanismo determinava gli insiemi di fasi e ampiezze da una tabella delle altezze delle maree e dei relativi momenti temporali, misurati accuratamente in un dato porto durante l'anno. Ciascun parametro era una componente sinusoidale dell'espressione dell'altezza della marea ed era una delle componenti regolari. I risultati delle misurazioni sono stati inseriti nel calcolatore di Lord Kelvin, che ha sintetizzato una curva che prevedeva l'altezza dell'acqua in funzione del tempo per l'anno successivo. Ben presto si disegnarono curve simili per tutti i porti del mondo.
A quel tempo, sembrava ovvio che un predittore di marea con grande quantità elementi del conto possono calcolare un gran numero di fasi e ampiezze e quindi fornire previsioni più accurate. Tuttavia, si è scoperto che questa regolarità non si osserva nei casi in cui l'espressione mareale da sintetizzare conteneva un brusco salto, cioè era discontinua. Nel caso in cui i dati vengano inseriti nel dispositivo dalla tabella dei momenti temporali, calcola diversi coefficienti di Fourier. La funzione originaria viene ripristinata grazie alle componenti sinusoidali (secondo i coefficienti trovati). La discrepanza tra l'espressione originale e quella ripristinata può essere misurata in qualsiasi momento. Quando si eseguono calcoli e confronti ripetuti, si può vedere che il valore dell'errore più grande non diminuisce. Tuttavia, sono localizzati nella regione corrispondente al punto di discontinuità e tendono a zero in qualsiasi altro punto. Nel 1899, questo risultato fu teoricamente confermato da Joshua Willard Gibbs della Yale University.
L'analisi di Fourier non è applicabile alle espressioni contenenti un numero infinito di burst in un determinato intervallo. In generale, serie di Fourier, se la funzione originaria è rappresentata dal risultato di un reale dimensione fisica, convergere sempre. Le domande sulla convergenza di questo processo per classi specifiche di funzioni hanno portato all'emergere di nuove sezioni in matematica, ad esempio la teoria delle funzioni generalizzate. È associato a nomi come L. Schwartz, J. Mikusinsky e J. Temple. Nell'ambito di questa teoria, un chiaro e preciso background teorico sotto espressioni come la funzione delta di Dirac (descrive una regione di una singola area concentrata in un intorno infinitesimale di un punto) e il "passo" di Heaviside. Grazie a questo lavoro, la serie di Fourier è diventata applicabile alla risoluzione di equazioni e problemi in cui compaiono concetti intuitivi: una carica puntiforme, una massa puntiforme, dipoli magnetici e anche un carico concentrato su un raggio.
Le serie di Fourier, secondo i principi dell'interferenza, iniziano con la scomposizione di forme complesse in forme più semplici. Ad esempio, un cambiamento nel flusso di calore è spiegato dal suo passaggio attraverso vari ostacoli da un materiale termoisolante. forma irregolare o un cambiamento nella superficie della terra - un terremoto, un cambiamento nell'orbita di un corpo celeste - l'influenza dei pianeti. Di norma, equazioni simili che descrivono semplici sistemi classici vengono risolte in modo elementare per ogni singola onda. Fourier lo ha dimostrato soluzioni semplici possono anche essere riassunti per ottenere soluzioni a problemi più complessi. Espressa nel linguaggio della matematica, la serie di Fourier è una tecnica per rappresentare un'espressione come somma di armoniche - coseno e sinusoidi. Ecco perchè questa analisi noto anche come "analisi armonica".
Prima della creazione della tecnologia informatica, la tecnica di Fourier era l'arma migliore nell'arsenale degli scienziati quando lavorava con la natura ondulatoria del nostro mondo. La serie di Fourier in forma complessa consente di risolvere non solo compiti semplici, che sono suscettibili di applicazione diretta delle leggi della meccanica newtoniana, ma anche equazioni fondamentali. La maggior parte delle scoperte della scienza newtoniana nel diciannovesimo secolo furono rese possibili solo dalla tecnica di Fourier.
Con lo sviluppo dei computer, le trasformazioni di Fourier hanno raggiunto un livello qualitativamente nuovo. Questa tecnica è saldamente radicata in quasi tutte le aree della scienza e della tecnologia. Un esempio è un segnale audio e video digitale. La sua realizzazione divenne possibile solo grazie alla teoria sviluppata da un matematico francese all'inizio dell'Ottocento. Pertanto, la serie di Fourier in forma complessa ha permesso di fare una svolta nello studio spazio. Inoltre, ciò ha influenzato lo studio della fisica dei materiali semiconduttori e del plasma, l'acustica delle microonde, l'oceanografia, il radar e la sismologia.
In matematica, una serie di Fourier è un modo per rappresentare l'arbitrario funzioni complesse la somma di quelli più semplici. In casi generali, il numero di tali espressioni può essere infinito. Inoltre, più il loro numero viene preso in considerazione nel calcolo, più accurato è il risultato finale. Più spesso usato come il più semplice funzioni trigonometriche coseno o seno. In questo caso, le serie di Fourier sono dette trigonometriche e la soluzione di tali espressioni è chiamata espansione dell'armonica. Questo metodo gioca un ruolo importante in matematica. Innanzitutto la serie trigonometrica fornisce un mezzo per l'immagine, così come lo studio delle funzioni, è l'apparato principale della teoria. Inoltre, permette di risolvere una serie di problemi di fisica matematica. Infine, questa teoria ha contribuito allo sviluppo e ha dato vita a una serie di sezioni molto importanti scienza matematica(la teoria degli integrali, la teoria delle funzioni periodiche). Inoltre, è servito come punto di partenza per lo sviluppo delle seguenti funzioni di una variabile reale e ha anche segnato l'inizio dell'analisi armonica.
Che sono già abbastanza stufi. E sento che è giunto il momento in cui è il momento di estrarre nuovo cibo in scatola dalle riserve strategiche della teoria. È possibile espandere la funzione in una serie in qualche altro modo? Ad esempio, per esprimere un segmento di retta in termini di seno e coseno? Sembra incredibile, ma funzioni così apparentemente lontane si prestano a
"riunione". Oltre alle lauree familiari in teoria e pratica, esistono altri approcci per espandere una funzione in una serie.
In questa lezione faremo conoscenza con la serie trigonometrica di Fourier, toccheremo il problema della sua convergenza e somma e, naturalmente, analizzeremo numerosi esempi per espandere le funzioni in una serie di Fourier. Volevo sinceramente chiamare l'articolo "Serie di Fourier per manichini", ma questo sarebbe astuto, poiché la risoluzione dei problemi richiederà la conoscenza di altre sezioni di analisi matematica e una certa esperienza pratica. Pertanto, il preambolo assomiglierà all'addestramento degli astronauti =)
In primo luogo, lo studio dei materiali della pagina dovrebbe essere affrontato in ottima forma. Assonnato, riposato e sobrio. Senza forti emozioni per una gamba di criceto rotta e pensieri ossessivi sulle difficoltà della vita pesci d'acquario. La serie di Fourier non è difficile in termini di comprensione, tuttavia, i compiti pratici richiedono semplicemente maggiore concentrazione attenzione: idealmente, dovresti abbandonare completamente gli stimoli esterni. La situazione è aggravata dal fatto che non esiste un modo semplice per verificare la soluzione e la risposta. Quindi, se la tua salute è al di sotto della media, allora è meglio fare qualcosa di più semplice. Verità.
In secondo luogo, prima di volare nello spazio, è necessario studiare il cruscotto della navicella. Iniziamo con i valori delle funzioni che dovrebbero essere cliccate sulla macchina:
Per qualsiasi valore naturale:
uno) . E infatti, la sinusoide "fa lampeggiare" l'asse x attraverso ogni "pi":
. In caso di valori negativi dell'argomento, il risultato, ovviamente, sarà lo stesso: .
2). Ma non tutti lo sapevano. Il coseno "pi en" è l'equivalente di una "luce lampeggiante":
Un argomento negativo non cambia il caso: 
.
Forse abbastanza.
E in terzo luogo, caro corpo di cosmonauti, devi essere in grado di... integrare.
In particolare, certo portare una funzione sotto un segno differenziale, integrare per parti ed essere in buoni rapporti con Formula di Newton-Leibniz. Iniziamo gli importanti esercizi pre-volo. Sconsiglio vivamente di saltarlo, in modo che in seguito non si appiattisca a gravità zero:
Esempio 1
Calcola integrali definiti
dove prende i valori naturali.
Soluzione: l'integrazione avviene sulla variabile "x" e in questa fase la variabile discreta "en" viene considerata una costante. In tutti gli integrali portare la funzione sotto il segno del differenziale:
Una versione breve della soluzione, a cui sarebbe bello sparare, si presenta così:
Abituarsi:
I quattro punti rimanenti sono da soli. Cerca di trattare il compito in modo coscienzioso e di organizzare gli integrali in modo breve. Esempi di soluzioni alla fine della lezione.
Dopo un esercizio di QUALITÀ, indossiamo le tute spaziali
e ci prepariamo per iniziare!
Consideriamo una funzione che determinato almeno sull'intervallo (e, eventualmente, su un intervallo più ampio). Se questa funzione è integrabile sul segmento , può essere espansa in un trigonometrico serie di Fourier:
, dove sono i cosiddetti Coefficienti di Fourier.
In questo caso, il numero viene chiamato periodo di decomposizione, e il numero è decomposizione dell'emivita.
È ovvio che in caso generale La serie di Fourier è composta da seno e coseno: 
Anzi, scriviamolo nel dettaglio:
Il termine zero della serie è solitamente scritto come .
I coefficienti di Fourier sono calcolati utilizzando le seguenti formule: 
Capisco perfettamente che i nuovi termini sono ancora oscuri per i principianti per studiare l'argomento: periodo di decomposizione, mezzo ciclo, Coefficienti di Fourier e altri Niente panico, non è paragonabile all'eccitazione prima di una passeggiata spaziale. Scopriamo tutto nell'esempio più vicino, prima di eseguire ciò che è logico chiederci urgenti questioni pratiche:
Espandi la funzione in una serie di Fourier. Inoltre, è spesso necessario disegnare un grafico di una funzione, un grafico della somma di una serie, una somma parziale e, nel caso di sofisticate fantasie professorali, fare qualcos'altro.
In sostanza, devi trovare Coefficienti di Fourier, ovvero componi e calcola tre integrali definiti.
Si prega di copiare la forma generale della serie di Fourier e le tre formule di lavoro nel taccuino. Sono molto contento che alcuni dei visitatori del sito abbiano il sogno d'infanzia di diventare un astronauta che si avvera proprio davanti ai miei occhi =)
Esempio 2
Espandi la funzione in una serie di Fourier sull'intervallo. Costruisci un grafico, un grafico della somma di una serie e una somma parziale.
Soluzione: la prima parte del compito è espandere la funzione in una serie di Fourier.
L'inizio è standard, assicurati di annotare che:
In questo problema, il periodo di espansione, il semiperiodo.
Espandiamo la funzione in una serie di Fourier sull'intervallo: 
Usando le formule appropriate, troviamo Coefficienti di Fourier. Ora dobbiamo comporre e calcolare tre integrali definiti. Per comodità elencherò i punti:
1) Il primo integrale è il più semplice, però richiede già occhio e occhio: 
2) Usiamo la seconda formula:
Questo integrale è ben noto e lo prende a pezzi: 
Quando trovato usato metodo per portare una funzione sotto un segno differenziale.
Nell'attività in esame, è più conveniente utilizzare immediatamente formula per l'integrazione per parti in un integrale definito 
:
Un paio di note tecniche. Innanzitutto, dopo aver applicato la formula l'intera espressione deve essere racchiusa tra parentesi grandi, poiché c'è una costante davanti all'integrale originale. Non perdiamolo! Le parentesi possono essere aperte in qualsiasi passaggio successivo, l'ho fatto all'ultimo turno. Nel primo "pezzo" 
mostriamo un'estrema precisione nella sostituzione, come puoi vedere, la costante è fuori mercato e i limiti dell'integrazione sono sostituiti nel prodotto. Questa azione è contrassegnata da parentesi quadre. Bene, l'integrale del secondo "pezzo" della formula ti è ben noto dal compito di allenamento ;-)
E, soprattutto, la massima concentrazione di attenzione!
3) Cerchiamo il terzo coefficiente di Fourier:
Si ottiene un parente dell'integrale precedente, che è anche integrato per parti:
Questa istanza è un po 'più complicata, commenterò gli ulteriori passaggi passo dopo passo: 
(1) L'intera espressione è racchiusa tra parentesi grandi.. Non volevo sembrare noioso, perdono la costante troppo spesso.
(2) B questo caso Ho subito aperto quelle grandi parentesi. Attenzione speciale
lo dedichiamo al primo “pezzo”: la continua fuma a margine e non partecipa alla sostituzione dei limiti di integrazione (e) nel prodotto. Vista la confusione del record, è opportuno evidenziare ancora questa azione tra parentesi quadre. Con il secondo "pezzo" 
tutto è più semplice: qui la frazione è apparsa dopo aver aperto parentesi grandi e la costante - come risultato dell'integrazione dell'integrale familiare ;-)
(3) Tra parentesi quadre si effettuano le trasformazioni, e nell'integrale giusto si sostituiscono i limiti di integrazione.
(4) Estraiamo il “flasher” dalle parentesi quadre: , dopodiché apriamo le parentesi interne: .
(5) Cancelliamo 1 e -1 tra parentesi, facciamo le semplificazioni finali.
Alla fine ho trovato tutti e tre i coefficienti di Fourier: 
Sostituiscili nella formula 
:
Non dimenticare di dividere a metà. All'ultimo passaggio, la costante ("meno due"), che non dipende da "en", viene estratta dalla somma.
Pertanto, abbiamo ottenuto l'espansione della funzione in una serie di Fourier sull'intervallo: 
Studiamo la questione della convergenza delle serie di Fourier. Spiegherò la teoria in particolare Teorema di Dirichlet, letteralmente "sulle dita", quindi se hai bisogno di formulazioni rigorose, fai riferimento a un libro di testo sul calcolo (per esempio, il 2° volume di Bohan; o il 3° volume di Fichtenholtz, ma è più difficile in esso).
Nella seconda parte dell'attività, è necessario disegnare un grafico, un grafico a somma serie e un grafico a somma parziale.
Il grafico della funzione è il solito linea retta sull'aereo, disegnato con una linea tratteggiata nera: 
Trattiamo la somma delle serie. Come sapete, le serie funzionali convergono in funzioni. Nel nostro caso, la serie costruita di Fourier 
per qualsiasi valore di "x" converge alla funzione mostrata in rosso. Questa funzione è soggetta a pause di 1° tipo in punti, ma anche definiti in essi (punti rossi nel disegno)
In questo modo: 
. È facile vedere che differisce notevolmente dalla funzione originale, motivo per cui nella notazione 
viene utilizzata una tilde al posto del segno di uguale.
Studiamo un algoritmo con il quale è conveniente costruire la somma di una serie.
Sull'intervallo centrale, la serie di Fourier converge alla funzione stessa (il segmento rosso centrale coincide con la linea tratteggiata nera della funzione lineare).
Ora parliamo un po' della natura dell'espansione trigonometrica considerata. serie di Fourier 
include solo funzioni periodiche (costante, seno e coseno), quindi la somma delle serie 
è anche una funzione periodica.
Cosa significa questo nel nostro esempio specifico? E questo significa che la somma delle serie 
–necessariamente periodico e il segmento rosso dell'intervallo deve essere ripetuto all'infinito a sinistra ea destra.
Penso che ora il significato della frase "periodo di decomposizione" sia finalmente diventato chiaro. In poche parole, ogni volta che la situazione si ripete ancora e ancora.
In pratica è solitamente sufficiente rappresentare tre periodi di scomposizione, come si fa nel disegno. Bene, e più "monconi" di periodi vicini - per chiarire che il grafico continua.
Di particolare interesse sono punti di discontinuità di 1° tipo. In tali punti, la serie di Fourier converge a valori isolati, che si trovano esattamente al centro del "salto" di discontinuità (punti rossi nel disegno). Come trovare l'ordinata di questi punti? Per prima cosa troviamo l'ordinata del "piano superiore": per questo calcoliamo il valore della funzione nel punto più a destra del periodo di espansione centrale: . Per calcolare l'ordinata del "piano inferiore", il modo più semplice è prendere il valore più a sinistra dello stesso periodo: 
. L'ordinata del valore medio è la media aritmetica della somma di "alto e basso": . Bello è il fatto che quando crei un disegno, vedrai immediatamente se il centro è calcolato correttamente o in modo errato.
Costruiamo una somma parziale delle serie e nello stesso tempo ripetiamo il significato del termine "convergenza". Il motivo è noto dalla lezione su la somma delle serie numeriche. Descriviamo nel dettaglio la nostra ricchezza:
Per fare una somma parziale, devi scrivere zero + altri due termini della serie. Questo è,
Nel disegno, il grafico della funzione è mostrato in verde e, come puoi vedere, avvolge abbastanza strettamente la somma totale. Se consideriamo una somma parziale di cinque termini della serie, il grafico di questa funzione avvicinerà le linee rosse in modo ancora più accurato, se ci sono cento termini, il "serpente verde" si fonderà completamente con i segmenti rossi, eccetera. Pertanto, la serie di Fourier converge alla sua somma.
È interessante notare che qualsiasi somma parziale lo è funzione continua, ma la somma totale della serie è ancora discontinua.
In pratica, non è raro costruire un grafico a somma parziale. Come farlo? Nel nostro caso è necessario considerare la funzione sul segmento, calcolarne i valori alle estremità del segmento e nei punti intermedi (più punti si considerano, più accurato sarà il grafico). Quindi dovresti segnare questi punti sul disegno e disegnare con cura un grafico sul periodo, quindi "replicarlo" in intervalli adiacenti. In che altro modo? Dopotutto, anche l'approssimazione è una funzione periodica... ...il suo grafico in qualche modo mi ricorda un ritmo cardiaco uniforme sul display di un dispositivo medico.
Certo, non è molto comodo eseguire la costruzione, poiché bisogna essere estremamente attenti, mantenendo una precisione non inferiore al mezzo millimetro. Tuttavia, soddisferò i lettori che sono in disaccordo con il disegno: in un compito "reale", è tutt'altro che sempre necessario eseguire un disegno, da qualche parte nel 50% dei casi è necessario espandere la funzione in una serie di Fourier e questo è esso.
Dopo aver completato il disegno, completiamo l'attività:
Risposta: 
In molti compiti, la funzione ne risente rottura del 1° tipo proprio sul periodo di decomposizione:
Esempio 3
Espandi in una serie di Fourier la funzione data sull'intervallo. Disegna un grafico della funzione e la somma totale della serie.
La funzione proposta è data a tratti (e, badate bene, solo sul segmento) e sopportare rottura del 1° tipo al punto. È possibile calcolare i coefficienti di Fourier? Nessun problema. Sia la parte sinistra che quella destra della funzione sono integrabili sui loro intervalli, quindi gli integrali in ciascuna delle tre formule dovrebbero essere rappresentati come la somma di due integrali. Vediamo, ad esempio, come si fa per un coefficiente zero:
Il secondo integrale si è rivelato uguale a zero, il che ha ridotto il lavoro, ma non è sempre così.
Altri due coefficienti di Fourier sono scritti in modo simile.
Come visualizzare la somma di una serie? Sull'intervallo sinistro disegniamo un segmento di linea retta e sull'intervallo - un segmento di linea retta (evidenziare la sezione dell'asse in grassetto). Cioè, sull'intervallo di espansione, la somma della serie coincide con la funzione ovunque, ad eccezione di tre punti "cattivi". Nel punto di discontinuità della funzione, la serie di Fourier converge ad un valore isolato, che si trova esattamente al centro del “salto” della discontinuità. Non è difficile vederlo oralmente: limite di sinistra:, limite di destra: 
e, ovviamente, l'ordinata del punto medio è 0,5.
A causa della periodicità della somma, il quadro deve essere “moltiplicato” in periodi confinanti, in particolare raffigurare la stessa cosa sugli intervalli e . In questo caso, nei punti, la serie di Fourier converge ai valori mediani.
In realtà, non c'è niente di nuovo qui.
Prova a risolvere questo problema da solo. Un esempio approssimativo di design e disegno raffinato alla fine della lezione.
Per un periodo di espansione arbitrario, dove "el" è un numero positivo, le formule per la serie di Fourier e per i coefficienti di Fourier differiscono per un argomento seno e coseno leggermente più complicato:
Se , otteniamo le formule per l'intervallo con cui abbiamo iniziato.
L'algoritmo e i principi per risolvere il problema sono completamente preservati, ma aumenta la complessità tecnica dei calcoli:
Esempio 4
Espandi la funzione in una serie di Fourier e traccia la somma. 
Soluzione: infatti, un analogo dell'Esempio n. 3 con rottura del 1° tipo al punto. In questo problema, il periodo di espansione, il semiperiodo. La funzione è definita solo nel semiintervallo , ma questo non cambia le cose: è importante che entrambe le parti della funzione siano integrabili.
Espandiamo la funzione in una serie di Fourier:
Poiché la funzione è discontinua all'origine, ogni coefficiente di Fourier va ovviamente scritto come somma di due integrali:
1) Scriverò il primo integrale il più dettagliato possibile:
2) Osserva attentamente la superficie della luna:
Secondo integrale prendere in parti:
A cosa dovresti prestare molta attenzione dopo aver aperto la continuazione della soluzione con un asterisco?
Primo, non perdiamo l'integrale primo 
, dove eseguiamo immediatamente portando sotto il segno del differenziale. In secondo luogo, non dimenticare la sfortunata costante prima delle parentesi grandi e non farti confondere dai segni quando si utilizza la formula 
. Grandi parentesi, dopotutto, è più conveniente aprire immediatamente nel passaggio successivo.
Il resto è una questione di tecnica, solo un'esperienza insufficiente nella risoluzione di integrali può causare difficoltà.
Sì, non è stato vano che gli eminenti colleghi del matematico francese Fourier si siano indignati: come ha osato scomporre le funzioni in serie trigonometriche?! =) A proposito, probabilmente tutti sono interessati al significato pratico del compito in questione. Fourier stesso ha lavorato modello matematico conducibilità termica, e in seguito la serie a lui intitolata iniziò ad essere utilizzata per studiare molti processi periodici, apparentemente invisibili nel mondo circostante. Ora, tra l'altro, mi sono sorpreso a pensare che non era un caso che avessi confrontato il grafico del secondo esempio con un ritmo cardiaco periodico. Gli interessati possono prendere confidenza con l'applicazione pratica Trasformate di Fourier da fonti terze. ... Anche se è meglio di no - sarà ricordato come Primo amore =)
3) Dati gli anelli deboli più volte citati, si tratta del terzo coefficiente:
Integrazione per parti: 
Sostituiamo nella formula i coefficienti di Fourier trovati 
, senza dimenticare di dividere a metà il coefficiente zero:
Tracciamo la somma della serie. Ripetiamo brevemente la procedura: sull'intervallo costruiamo una linea e sull'intervallo - una linea. Con un valore zero di "x", mettiamo un punto nel mezzo del "salto" del gap e "replichiamo" il grafico per periodi vicini: 
Agli “svincoli” dei periodi la somma sarà pari anche ai punti medi del “salto” dello scarto.
Pronto. Ti ricordo che la funzione stessa è condizionatamente definita solo sul semiintervallo e, ovviamente, coincide con la somma delle serie sugli intervalli
Risposta:
A volte una funzione data a tratti è continua anche nel periodo di espansione. L'esempio più semplice: 
. Soluzione (Vedi Bohan Volume 2)è lo stesso dei due esempi precedenti: nonostante continuità di funzione al punto , ogni coefficiente di Fourier è espresso come somma di due integrali.
Nell'intervallo di rottura punti di discontinuità di 1° tipo e/o punti di "giunzione" del grafico possono essere più (due, tre e in generale qualsiasi finale Quantità). Se una funzione è integrabile in ogni sua parte, allora è espandibile anche in una serie di Fourier. Ma per esperienza pratica, non ricordo una scatola del genere. Tuttavia, ci sono compiti più difficili di quelli appena considerati e alla fine dell'articolo per tutti ci sono collegamenti a serie di Fourier di maggiore complessità.
Nel frattempo, rilassiamoci, adagiandoci sulle nostre sedie e contemplando le infinite distese di stelle:
Esempio 5
Espandi la funzione in una serie di Fourier sull'intervallo e traccia la somma delle serie.
In questo compito, la funzione continuo sul semiintervallo di decomposizione, che semplifica la soluzione. Tutto è molto simile all'Esempio #2. Non puoi allontanarti dall'astronave - dovrai decidere tu =) Esempio di design alla fine della lezione, il programma è allegato.
Con le funzioni pari e dispari, il processo di risoluzione del problema è notevolmente semplificato. Ed ecco perché. Torniamo all'espansione della funzione in una serie di Fourier su un periodo di "due pi" 
e periodo arbitrario "due birre" 
.
Assumiamo che la nostra funzione sia pari. Il termine generale della serie, come puoi vedere, contiene coseni pari e seni dispari. E se scomponiamo una funzione EVEN, allora perché abbiamo bisogno di seni dispari?! Azzeriamo il coefficiente non necessario: .
In questo modo, una funzione pari si espande in una serie di Fourier solo in coseni:
Perché il integrali di funzioni pari su un segmento di integrazione simmetrico rispetto a zero può essere raddoppiato, quindi anche il resto dei coefficienti di Fourier è semplificato.
Per intervallo: 
Per un intervallo arbitrario: 
Esempi di libri di testo che si trovano in quasi tutti i libri di testo di calcolo includono espansioni di funzioni pari 
. Inoltre, si sono incontrati più volte nella mia pratica personale:
Esempio 6
Data una funzione. Necessario:
1) espandere la funzione in una serie di Fourier con periodo , dove è un numero positivo arbitrario;
2) annotare l'espansione sull'intervallo, costruire una funzione e rappresentare graficamente la somma totale della serie.
Soluzione: nel primo paragrafo, si propone di risolvere il problema in modo generale, e questo è molto conveniente! Ci sarà bisogno: basta sostituire il tuo valore.
1) In questo problema, il periodo di espansione, il semiperiodo. Nel corso di ulteriori azioni, in particolare durante l'integrazione, "el" è considerata una costante
La funzione è pari, il che significa che si espande in una serie di Fourier solo in coseni: 
.
I coefficienti di Fourier sono ricercati dalle formule 
. Presta attenzione ai loro vantaggi assoluti. Innanzitutto, l'integrazione viene eseguita sul segmento positivo dell'espansione, il che significa che ci sbarazziamo in sicurezza del modulo 
, considerando solo "x" da due pezzi. E, in secondo luogo, l'integrazione è notevolmente semplificata.
Due: 
Integrazione per parti:
In questo modo:
, mentre la costante , che non dipende da "en", viene sottratta alla somma.
Risposta: 
2) Scriviamo l'espansione sull'intervallo, per questo sostituiamo il valore desiderato del semiperiodo nella formula generale:
Espansione in serie di Fourier di funzioni pari e dispari Espansione di una funzione data su un segmento in una serie in termini di seno o coseno Serie di Fourier per una funzione con un periodo arbitrario Rappresentazione complessa della serie di Fourier Serie di Fourier in sistemi di funzioni ortogonali generali Serie di Fourier in un sistema ortogonale Proprietà minima dei coefficienti di Fourier Disuguaglianza di Bessel Parseval di uguaglianza Sistemi chiusi Completezza e chiusura dei sistemi
Espansione in serie di Fourier delle funzioni pari e dispari La funzione f(x), definita sul segmento \-1, dove I > 0, viene chiamata anche se il Grafico della funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y. La funzione f(x) definita sul segmento J, dove I > 0, si dice dispari se il Grafico della funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine. Esempio. a) La funzione è pari sul segmento |-jt, jt), poiché per ogni x e b) La funzione è dispari, poiché l'espansione in serie di Fourier delle funzioni pari e dispari è l'espansione di una funzione data sul segmento in una serie di seni o coseni Serie di Fourier per una funzione con periodo arbitrario Notazione complessa della serie di Fourier Serie di Fourier in sistemi di funzioni ortogonali in generale Serie di Fourier in un sistema ortogonale Proprietà minima dei coefficienti di Fourier Disuguaglianza di Bessel Uguaglianza di Parseval Sistemi chiusi Completezza e chiusura dei sistemi c) Funzione f(x)=x2-x, dove non appartiene né a funzioni pari né a funzioni dispari, poiché Sia la funzione f(x) che soddisfa le condizioni del Teorema 1 sia pari sul segmento x|. Quindi per tutti cioè /(g) cos nx è una funzione pari e f(x)sinnx è una funzione dispari. Pertanto, i coefficienti di Fourier di una funzione pari /(x) saranno uguali, quindi la serie di Fourier di una funzione pari ha la forma f(x) sin nx è una funzione pari. Pertanto, avremo Quindi, la serie di Fourier di una funzione dispari ha la forma Abbiamo Applicando l'integrazione per parti due volte, otteniamo che Quindi, la serie di Fourier di questa funzione assomiglia a questa: o, in forma espansa, Questa uguaglianza è valida per qualsiasi x €, poiché nei punti x = ±ir la somma delle serie coincide con i valori della funzione f(x ) = x2, poiché i grafici della funzione f(x) = x e le somme delle serie risultanti sono riportati in fig. Commento. Questa serie di Fourier ti consente di trovare la somma di una delle serie numeriche convergenti, ovvero, per x \u003d 0, otteniamo che La funzione /(x) soddisfa le condizioni del Teorema 1, quindi può essere espansa in una serie di Fourier, che, per la stranezza di questa funzione, avrà la forma Integrando per parti, troviamo i coefficienti di Fourier Pertanto, il Fourier serie di questa funzione ha la forma Questa uguaglianza vale per tutti x  punti x - ±tg la somma della serie di Fourier non coincide con i valori della funzione / (x) = x, poiché è uguale a Outside the segmento [- *, n-] la somma della serie è una continuazione periodica della funzione / (x) \u003d x; il suo grafico è mostrato in Fig. 6. § 6. Espansione di una funzione data su un intervallo in una serie in termini di seno o coseno Sia data una funzione monotona a tratti limitata / su un intervallo . I valori di questa funzione sull'intervallo 0| possono essere definiti in vari modi. Ad esempio è possibile definire la funzione / sul segmento mc] in modo tale che /. In questo caso si dice che) "si estende al segmento 0] in modo pari"; la sua serie di Fourier conterrà solo coseni. Se, invece, la funzione /(x) è definita sul segmento [-x, mc] in modo che /(, allora si ottiene una funzione dispari, e allora diciamo che / "è estesa al segmento [-*, 0 ] in modo strano"; in questo caso, la serie di Fourier conterrà solo seni. Quindi, ogni funzione monotona a tratti limitata /(x), definita sul segmento , può essere espansa in una serie di Fourier sia in termini di seni e coseni. Esempio 1. Espandere la funzione in una serie di Fourier: a) per coseni; b) lungo i seni. M Questa funzione, con le sue estensioni pari e dispari al segmento |-x, 0) sarà limitata e monotona a tratti. a) Continuiamo / (z) nel segmento 0) a) Continuiamo j \ x) nel segmento (-m, 0 | in modo uniforme (Fig. 7), quindi la sua serie di Fourier i avrà la forma P \u003d 1 dove i coefficienti di Fourier sono uguali, rispettivamente per Pertanto, b) Continuiamo /(z) nel segmento [-x,0] in modo dispari (Fig. 8). Poi la sua serie di Fourier §7. Serie di Fourier per una funzione con un periodo arbitrario Sia la funzione fix) periodica con un periodo di 21,1 ^ 0. Per espanderla in una serie di Fourier sull'intervallo in cui I > 0, facciamo un cambio di variabile impostando x = jt . Allora la funzione F(t) = / ^tj sarà una funzione periodica dell'argomento t con un periodo e può essere espansa su un segmento di una serie di Fourier Ritornando alla variabile x, cioè, ponendo, otteniamo , rimaniamo in vigore anche per funzioni periodiche con periodo arbitrario 21. In particolare, resta valido anche il criterio sufficiente per l'espansione di una funzione in una serie di Fourier. Esempio 1. Espandere in una serie di Fourier una funzione periodica con periodo 21, data sul segmento [-/,/] dalla formula (Fig. 9). Poiché questa funzione è pari, la sua serie di Fourier ha la forma Sostituendo i valori trovati dei coefficienti di Fourier nella serie di Fourier, otteniamo Notiamo un'importante proprietà delle funzioni periodiche. Teorema 5. Se una funzione ha un periodo T ed è integrabile, allora per ogni numero a vale l'uguaglianza m. cioè l'integrale su un segmento la cui lunghezza è uguale al periodo T ha lo stesso valore indipendentemente dalla posizione di questo segmento sull'asse reale. Infatti, facciamo un cambio di variabile nel secondo integrale, assumendo Ciò dà e quindi, geometricamente, questa proprietà significa che nel caso dell'area ombreggiata in Fig. 10 aree sono uguali tra loro. In particolare, per una funzione f(x) con un periodo, otteniamo allo sviluppo in serie di Fourier di funzioni pari e dispari l'espansione di una funzione data su un segmento in una serie in termini di seno o coseno Serie di Fourier per una funzione con un periodo arbitrario Rappresentazione complessa della serie di Fourier La serie di Fourier nelle funzioni dei sistemi ortogonali in generale Serie di Fourier in un sistema ortogonale Proprietà minima dei coefficienti di Fourier Disuguaglianza di Bessel Uguaglianza di Parseval Sistemi chiusi Completezza e chiusura di sistemi che i coefficienti di Fourier di una funzione periodica f(x) con un periodo di 21 può essere calcolato usando le formule dove a è un arbitrario numero reale(notare che le funzioni cos - e sin hanno un periodo di 2/). Esempio 3. Espandere in una serie di Fourier una funzione data su un intervallo con periodo 2x (Fig. 11). 4 Trova i coefficienti di Fourier di questa funzione. Inserendo le formule troviamo che per Pertanto, la serie di Fourier apparirà così: Nel punto x = jt (punto di discontinuità del primo tipo) abbiamo §8. Notazione complessa della serie di Fourier In questa sezione vengono utilizzati alcuni elementi analisi complessa(Vedi capitolo XXX, dove tutte le operazioni qui eseguite con espressioni complesse, sono strettamente giustificati). Lascia che la funzione f(x) soddisfi condizioni sufficienti per l'espansione in una serie di Fourier. Quindi sul segmento x] può essere rappresentato da una serie della forma Usando le formule di Eulero Sostituendo queste espressioni nella serie (1) al posto di cos nx e sin xy avremo Introduciamo la seguente notazione Quindi la serie (2) assume la forma Così, la serie di Fourier (1) è presentata nella forma complessa (3). Troviamo espressioni per i coefficienti in termini di integrali. Abbiamo Allo stesso modo, troviamo Infine, le formule per с„, с_п e с possono essere scritte come segue: . . I coefficienti cn sono detti coefficienti complessi di Fourier della funzione Per una funzione periodica con un periodo), la forma complessa della serie di Fourier assume la forma dato valore f, se ci sono dei limiti Esempio. Espandere la funzione periodo in una serie di Fourier complessa Questa funzione soddisfa condizioni sufficienti per l'espansione in una serie di Fourier. Trova i coefficienti complessi di Fourier di questa funzione. Abbiamo per dispari per pari n, o, in breve. Sostituendo i valori), otteniamo infine. Si noti che questa serie può anche essere scritta come segue: Serie di Fourier in sistemi ortogonali generali di funzioni 9.1. Sistemi di funzioni ortogonali Denotiamo con l'insieme di tutte le funzioni (reali) che sono definite al quadrato e integrabili sull'intervallo [a, 6], cioè quelle per le quali esiste un integrale, in particolare tutte le funzioni f(x) che sono continui sull'intervallo [a , 6], appartengono a 6] e i valori dei loro integrali di Lebesgue coincidono con i valori degli integrali di Riemann. Definizione. Il sistema di funzioni, dove, è detto ortogonale sull'intervallo [a, b\, se la Condizione (1) assume, in particolare, che nessuna delle funzioni sia identicamente uguale a zero. L'integrale è inteso nel senso di Lebesgue. e chiamiamo la quantità la norma di una funzione Se in un sistema ortogonale per ogni n abbiamo, allora il sistema di funzioni è detto ortonormale. Se il sistema (y>n(x)) è ortogonale, allora il sistema Esempio 1. Un sistema trigonometrico è ortogonale su un segmento. Il sistema di funzioni è un sistema ortonormale di funzioni, Esempio 2. Il sistema coseno e il sistema seno è ortonormale. Introduciamo la notazione che sono ortogonali sul segmento (0, f|, ma non ortonormali (per I ↦ 2). Poiché le loro norme sono COS, le funzioni formano un sistema ortonormale di funzioni su un segmento. Mostriamo, ad esempio che i polinomi di Legendre sono ortogonali Sia m > n In questo caso, integrando n volte per parti, troviamo, poiché per la funzione t/m = (z2 - I)m, tutte le derivate fino all'ordine m - I compreso svaniscono alle estremità dell'intervallo [-1,1). Definizione. Il sistema di funzioni (pn(x)) si dice ortogonale sull'intervallo (a, b) per sbalzo p(x) se: 1) ci sono integrali per ogni n = 1,2,... Qui si assume che la funzione peso p(x) è definita e positiva ovunque sull'intervallo (a, b), con la possibile eccezione di un numero finito di punti in cui p(x) può svanire. Dopo aver eseguito la differenziazione nella formula (3), troviamo. Si può dimostrare che i polinomi di Chebyshev-Hermite sono ortogonali all'intervallo Esempio 4. Il sistema di funzioni di Bessel (jL(pix)^ è ortogonale all'intervallo di zeri della funzione di Bessel Esempio 5. Si considerino i polinomi di Chebyshev-Hermite, che può essere definito usando l'uguaglianza. Serie di Fourier in un sistema ortogonale Sia un sistema ortogonale di funzioni nell'intervallo (a, 6) e la serie (cj = const) converga su questo intervallo alla funzione f(x): Moltiplicando entrambi i membri dell'ultima uguaglianza per - fisso) e integrando su x da a fino a 6, per l'ortogonalità del sistema, otteniamo che questa operazione ha, in generale, un carattere puramente formale. Tuttavia, in alcuni casi, ad esempio, quando la serie (4) converge uniformemente, tutte le funzioni sono continue e l'intervallo (a, 6) è finito, questa operazione è legale. Ma è l'interpretazione formale che è importante per noi ora. Quindi diciamo che è data una funzione. Formiamo i numeri c * secondo la formula (5) e scriviamo La serie a destra è detta serie di Fourier della funzione f (x) rispetto al sistema (^n (n)) - I numeri Cn sono detti coefficienti di Fourier della funzione f (x) in questo sistema. Il segno ~ nella formula (6) significa solo che i numeri Cn sono correlati alla funzione f(x) dalla formula (5) (in questo caso, non si presume che la serie a destra converga, tanto meno converge alla funzione f(x)). Quindi sorge spontanea la domanda: quali sono le proprietà di questa serie? In che senso "rappresenta" la funzione f(x)? 9.3. Definizione di convergenza media. Una successione converge ad un elemento ] in media se la norma è nello spazio Teorema 6. Se una successione ) converge in modo uniforme, allora converge anche in media. M Lascia che la successione ()) converga uniformemente sul segmento [a, b] alla funzione f(x). Ciò significa che per ogni, per ogni n sufficientemente grande, abbiamo Quindi, da cui segue la nostra affermazione. Non è vero il contrario: la successione () può convergere in media a /(x), ma non essere uniformemente convergente. Esempio. Consideriamo la successione nx È facile vedere che Ma questa convergenza non è uniforme: esiste e, per esempio, tale che non importa quanto grande sia n, sul segmento serie di Fourier per una funzione di periodo arbitrario Rappresentazione complessa di la serie di Fourier serie di Fourier in generale sistemi di funzioni ortogonali serie di Fourier in un sistema ortogonale Proprietà minima dei coefficienti di Fourier Disuguaglianza di Bessel uguaglianza di Parseval Sistemi chiusi Completezza e chiusura dei sistemi e let ) nel sistema ortonormale b Considera una combinazione lineare dove n ^ 1 è un intero fisso, e trova i valori delle costanti per le quali l'integrale assume il suo valore minimo. Scriviamolo più in dettaglio Integrando termine per termine, per l'ortonormalità del sistema, otteniamo I primi due termini a destra dell'uguaglianza (7) sono indipendenti e il terzo termine non è negativo. Pertanto, l'integrale (*) assume un valore minimo in ak = sk. L'integrale è chiamato approssimazione radice-quadrato medio della funzione f(x) come combinazione lineare di Tn(x). Pertanto, l'approssimazione radice-quadrato-medio della funzione /\ assume un valore minimo quando. quando Tn(x) è la 71a somma parziale della serie di Fourier della funzione /(x) nel sistema (. Ponendo ak = ck, da (7) otteniamo L'uguaglianza (9) è chiamata identità di Bessel. Poiché la sua sinistra lato non è negativo, quindi da esso segue la disuguaglianza di Bessel Poiché qui è arbitrario, la disuguaglianza di Bessel può essere rappresentata in una forma rafforzata, cioè, per qualsiasi funzione /, la serie di coefficienti di Fourier al quadrato di questa funzione in un sistema ortonormale ) converge . Poiché il sistema è ortonormale sul segmento [-x, r], la disuguaglianza (10) tradotta nella consueta notazione della serie trigonometrica di Fourier dà la relazione do valida per qualsiasi funzione f(x) con quadrato integrabile. Se f2(x) è integrabile, allora a causa di condizione necessaria convergenza della serie sul lato sinistro della disuguaglianza (11), lo otteniamo. Uguaglianza di Parseval Per alcuni sistemi (^n(x)) il segno di disuguaglianza nella formula (10) può essere sostituito (per tutte le funzioni f(x) 6 x) con un segno di uguale. L'uguaglianza risultante è chiamata uguaglianza di Parseval-Steklov (condizione di completezza). L'identità di Bessel (9) ci permette di scrivere la condizione (12) in una forma equivalente dalla norma spaziale 6]. Definizione. Un sistema ortonormale ( si dice completo in b2[ay b] se una qualsiasi funzione può essere approssimata con una qualsiasi precisione in media da una combinazione lineare della forma con sufficientemente un largo numero termini, cioè se per ogni funzione f(x) ∈ b2[a, b\ e per ogni e > 0 esiste numero naturale nq e numeri a\, a2y..., tali che No Il ragionamento precedente implica il Teorema 7. Se, per ortonormalizzazione, il sistema ) è completo nello spazio, la serie di Fourier di qualsiasi funzione / in questo sistema converge a f(x) in media, cioè secondo la norma Si può dimostrare che il sistema trigonometrico è completo nello spazio, il che implica l'asserzione. Teorema 8. Se una funzione /0 converge ad essa la sua serie trigonometrica di Fourier in media. 9.5. sistemi chiusi. Completezza e chiusura dei sistemi Definizione. Un sistema ortonormale di funzioni \, si dice chiuso se nello spazio Li\a, b) non esiste una funzione diversa da zero ortogonale a tutte le funzioni Nello spazio L2\a, b\ i concetti di completezza e chiusura dei sistemi ortonormali coincidere. Esercizi 1. Espandi la funzione nella serie di Fourier nell'intervallo (-i-, x) 2. Espandi la funzione nella serie di Fourier nell'intervallo (-r, r) 3. Espandi la funzione nella serie di Fourier nell'intervallo (-r, r) 4. Espandi in una serie di Fourier nell'intervallo (-jt, r) funzione 5. Espandi in una serie di Fourier nell'intervallo (-r, r) la funzione f (x) \u003d x + x . 6. Espandi in una serie di Fourier nell'intervallo (-jt, r) la funzione n 7. Espandi in una serie di Fourier nell'intervallo (-r, x) la funzione / (x) \u003d sin2 x. 8. Espandi in una serie di Fourier nell'intervallo (-m, jt) la funzione f(x) = y 9. Espandi in una serie di Fourier nell'intervallo (-mm, -k) la funzione f(x) = | sinx|. 10. Espandere in una serie di Fourier nell'intervallo (-x-, r) la funzione f(x) = g. 11. Espandi in una serie di Fourier nell'intervallo (-r, r) la funzione f (x) \u003d sin §. 12. Espandere in una serie di Fourier la funzione f (x) = n -2x, data nell'intervallo (0, x), proseguendola nell'intervallo (-x, 0): a) in modo pari; b) in modo strano. 13. Espandi in una serie di Fourier in termini di seni la funzione / (x) \u003d x2, data nell'intervallo (0, x). 14. Espandi in una serie di Fourier la funzione / (x) \u003d 3-x, data nell'intervallo (-2,2). 15. Espandere in una serie di Fourier la funzione f (x) \u003d |x |, data nell'intervallo (-1,1). 16. Espandi in una serie di Fourier in termini di seni la funzione f (x) \u003d 2x, specificata nell'intervallo (0,1).
