In questo articolo verranno prese in considerazione tre proprietà principali delle funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e cotangente.
La prima proprietà è il segno della funzione, a seconda di quale quarto del cerchio unitario appartiene l'angolo α. La seconda proprietà è la periodicità. Secondo questa proprietà, la funzione tigonometrica non cambia il suo valore quando l'angolo cambia di un numero intero di giri. La terza proprietà determina come cambiano i valori funzioni del peccato, cos, tg, ctg agli angoli opposti α e - α .
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Spesso in un testo matematico o nel contesto di un problema si può trovare la frase: "l'angolo del primo, secondo, terzo o quarto quarto di coordinata". Cos'è?
Diamo un'occhiata al cerchio unitario. È diviso in quattro quarti. Segniamo il punto di partenza A 0 (1, 0) sul cerchio e, ruotandolo attorno al punto O di un angolo α, arriviamo al punto A 1 (x, y) . A seconda del quarto in cui giace il punto A 1 (x, y), l'angolo α sarà chiamato rispettivamente l'angolo del primo, secondo, terzo e quarto quadrante.
Per chiarezza, diamo un'illustrazione.
L'angolo α = 30° si trova nel primo quadrante. Angolo - 210° è l'angolo del secondo quarto. Angolo 585° è l'angolo del terzo quarto. Angolo - 45° è l'angolo del quarto quarto.
In questo caso gli angoli ±90°, ±180°, ±270°, ±360° non appartengono a nessun quarto, giacché giacciono sugli assi coordinati.
Consideriamo ora i segni che prendono seno, coseno, tangente e cotangente, a seconda del quarto in cui si trova l'angolo.
Per determinare i segni del seno nei quarti, ricorda la definizione. Il seno è l'ordinata del punto A 1 (x , y) . La figura mostra che nel primo e nel secondo trimestre è positivo, e nel terzo e quadruplo è negativo.
Il coseno è l'ascissa del punto A 1 (x, y) . In base a ciò, determiniamo i segni del coseno sul cerchio. Il coseno è positivo nel primo e quarto trimestre e negativo nel secondo e terzo trimestre.
Per determinare i segni della tangente e della cotangente per quarti, ricordiamo anche le definizioni di queste funzioni trigonometriche. Tangente: il rapporto tra l'ordinata del punto e l'ascissa. Quindi, secondo la regola della divisione dei numeri con segni diversi, quando l'ordinata e l'ascissa hanno gli stessi segni, il segno della tangente sul cerchio sarà positivo, e quando l'ordinata e l'ascissa hanno segni diversi, sarà negativo. Allo stesso modo, vengono determinati i segni della cotangente nei quarti.
Importante da ricordare!
La proprietà di periodicità è una delle proprietà più ovvie delle funzioni trigonometriche.
Proprietà di periodicità
Quando l'angolo cambia di un numero intero di giri completi, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo dato rimangono invariati.
Infatti, cambiando l'angolo di un numero intero di giri, andremo sempre dal punto di partenza A sulla circonferenza unitaria al punto A 1 con le stesse coordinate. Di conseguenza, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente non cambieranno.
Matematicamente data proprietà si scrive così:
sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α
Qual è l'applicazione pratica di questa proprietà? La proprietà della periodicità, come le formule di riduzione, viene spesso utilizzata per calcolare i valori di seno, coseno, tangente e cotangente di angoli grandi.
Facciamo degli esempi.
peccato 13 π 5 \u003d peccato 3 π 5 + 2 π \u003d peccato 3 π 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)
Diamo un'occhiata di nuovo al cerchio unitario.
Il punto A 1 (x, y) è il risultato della rotazione del punto iniziale A 0 (1, 0) attorno al centro del cerchio di un angolo α. Il punto A 2 (x, - y) è il risultato della rotazione del punto iniziale di un angolo - α.
I punti A1 e A2 sono simmetrici rispetto all'asse x. Nel caso in cui α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° i punti A 1 e A 2 coincidono. Lascia che un punto abbia coordinate (x , y) e il secondo - (x , - y) . Richiama le definizioni di seno, coseno, tangente, cotangente e scrivi:
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
Ciò implica la proprietà di seni, coseni, tangenti e cotangenti di angoli opposti.
Proprietà di seni, coseni, tangenti e cotangenti di angoli opposti
sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
Secondo questa proprietà, le uguaglianze
sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
La proprietà considerata viene spesso utilizzata per risolvere problemi pratici nei casi in cui è necessario eliminare i segni negativi degli angoli negli argomenti delle funzioni trigonometriche.
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Il segno della funzione trigonometrica dipende esclusivamente dal quarto di coordinate in cui si trova l'argomento numerico. L'ultima volta abbiamo imparato come tradurre gli argomenti da una misura in radianti in una misura in gradi (vedi la lezione “Misura in radianti e gradi di un angolo”), e quindi determinare questo stesso quarto di coordinate. Occupiamoci ora, infatti, della definizione del segno di seno, coseno e tangente.
Il seno dell'angolo α è l'ordinata (coordinata y) di un punto su un cerchio trigonometrico, che si verifica quando il raggio viene ruotato attraverso l'angolo α.
Il coseno dell'angolo α è l'ascissa (coordinata x) di un punto su un cerchio trigonometrico, che si verifica quando il raggio ruota attraverso l'angolo α.
La tangente dell'angolo α è il rapporto tra seno e coseno. O, equivalentemente, il rapporto tra la coordinata y e la coordinata x.
Notazione: sin α = y ; cosα = x; tga = y : x .
Tutte queste definizioni ti sono familiari dal corso di algebra del liceo. Tuttavia, non siamo interessati alle definizioni stesse, ma alle conseguenze che si presentano sul cerchio trigonometrico. Guarda:
Il colore blu indica la direzione positiva dell'asse OY (asse delle ordinate), il colore rosso indica la direzione positiva dell'asse OX (asse delle ascisse). Su questo "radar" diventano evidenti i segni delle funzioni trigonometriche. In particolare:
Per chiarezza, notiamo i segni di ciascuna funzione trigonometrica - seno, coseno e tangente - su un "radar" separato. Otteniamo la seguente immagine:
Nota: nel mio ragionamento non ho mai parlato della quarta funzione trigonometrica, la cotangente. Il fatto è che i segni della cotangente coincidono con i segni della tangente - non ci sono regole speciali lì.
Ora propongo di considerare esempi simili ai compiti B11 dell'esame di prova in matematica, che si è tenuto il 27 settembre 2011. Dopo tutto Il modo migliore comprendere la teoria è pratica. Preferibilmente molta pratica. Naturalmente, le condizioni dei compiti sono state leggermente modificate.
Un compito. Determina i segni delle funzioni e delle espressioni trigonometriche (non è necessario considerare i valori delle funzioni stesse):
- peccato(3π/4);
- cos(7π/6);
- marrone chiaro (5π/3);
- sin(3π/4) cos(5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin(5π/6) cos(7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Il piano d'azione è il seguente: in primo luogo, convertiamo tutti gli angoli dalla misura in radianti alla misura in gradi (π → 180°), e poi guardiamo in quale quarto di coordinate si trova il numero risultante. Conoscendo i quartieri, possiamo facilmente trovare i segni - secondo le regole appena descritte. Abbiamo:
Infine, diamo un'occhiata ad alcuni problemi più complessi. Oltre a scoprire il segno della funzione trigonometrica, qui devi fare un piccolo calcolo, proprio come si fa nei problemi reali B11. In linea di principio, si tratta di compiti quasi reali che si trovano realmente nell'esame di matematica.
Un compito. Trova sin α se sin 2 α = 0.64 e α ∈ [π/2; π].
Poiché sin 2 α = 0.64, abbiamo: sin α = ±0.8. Resta da decidere: più o meno? Per ipotesi, l'angolo α ∈ [π/2; π] è l'II quarto di coordinata, dove tutti i seni sono positivi. Pertanto, sin α = 0,8 - l'incertezza con i segni viene eliminata.
Un compito. Trova cos α se cos 2 α = 0.04 e α ∈ [π; 3π/2].
Agiamo in modo simile, ad es. estratto Radice quadrata: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. Per ipotesi, l'angolo α ∈ [π; 3π/2], cioè stiamo parlando del III quarto di coordinate. Qui tutti i coseni sono negativi, quindi cos α = −0.2.
Un compito. Trova sin α se sin 2 α = 0.25 e α ∈ .
Si ha: sin 2 α = 0.25 ⇒ sin α = ±0.5. Di nuovo guardiamo all'angolo: α ∈ è il quarto di coordinata IV, in cui, come sai, il seno sarà negativo. Quindi, concludiamo: sin α = −0.5.
Un compito. Trova tg α se tg 2 α = 9 e α ∈ .
Tutto è uguale, solo per la tangente. Prendiamo la radice quadrata: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Ma per condizione, l'angolo α ∈ è il quadrante delle coordinate I. Tutte le funzioni trigonometriche, incl. tangente, ci sono positivi, quindi tg α = 3. Ecco fatto!
La trigonometria, come scienza, ebbe origine nell'antico Oriente. I primi rapporti trigonometrici furono sviluppati dagli astronomi per creare un calendario accurato e orientarsi in base alle stelle. Questi calcoli erano legati alla trigonometria sferica, mentre in corso scolastico studiare il rapporto tra i lati e l'angolo di un triangolo piatto.
La trigonometria è una branca della matematica che si occupa delle proprietà delle funzioni trigonometriche e della relazione tra i lati e gli angoli dei triangoli.
Durante il periodo di massimo splendore della cultura e della scienza nel I millennio d.C., la conoscenza si diffuse dall'antico Oriente alla Grecia. Ma le principali scoperte della trigonometria sono merito degli uomini del Califfato arabo. In particolare, lo scienziato turkmeno al-Marazvi ha introdotto funzioni come tangente e cotangente, ha compilato le prime tabelle di valori per seno, tangente e cotangente. Il concetto di seno e coseno è stato introdotto dagli scienziati indiani. Molta attenzione è dedicata alla trigonometria nelle opere di grandi personaggi dell'antichità come Euclide, Archimede ed Eratostene.
Le funzioni trigonometriche di base di un argomento numerico sono seno, coseno, tangente e cotangente. Ognuno di loro ha il proprio grafico: seno, coseno, tangente e cotangente.
Le formule per calcolare i valori di queste quantità si basano sul teorema di Pitagora. È meglio noto agli scolari nella formulazione: "Pantaloni pitagorici, uguali in tutte le direzioni", poiché la prova è data dall'esempio di un triangolo rettangolo isoscele.
Seno, coseno e altre dipendenze stabiliscono una relazione tra angoli acuti e lati di qualsiasi triangolo rettangolo. Diamo formule per calcolare queste quantità per l'angolo A e tracciamo la relazione delle funzioni trigonometriche:
Come puoi vedere, tg e ctg lo sono funzioni inverse. Se rappresentiamo la gamba a come il prodotto di sin A e ipotenusa c, e la gamba b come cos A * c, otteniamo le seguenti formule per tangente e cotangente:
Graficamente, il rapporto delle grandezze menzionate può essere rappresentato come segue:
cerchio, dentro questo caso, rappresenta tutti i possibili valori dell'angolo α — da 0° a 360°. Come si può vedere dalla figura, ogni funzione assume un valore negativo o positivo a seconda dell'angolo. Ad esempio, sin α sarà con un segno "+" se α appartiene ai quarti I e II del cerchio, cioè è nell'intervallo da 0 ° a 180 °. Con α da 180° a 360° (III e IV quarto), sin α può essere solo un valore negativo.
Proviamo a costruire tabelle trigonometriche per angoli specifici e scopriamo il significato delle quantità.
I valori di α pari a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° e così via sono detti casi particolari. I valori delle funzioni trigonometriche per loro sono calcolati e presentati sotto forma di tabelle speciali.
Questi angoli non sono stati scelti a caso. La designazione π nelle tabelle è per i radianti. Rad è l'angolo al quale la lunghezza di un arco di cerchio corrisponde al suo raggio. Questo valore è stato introdotto per stabilire una relazione universale; quando si calcola in radianti, la lunghezza effettiva del raggio in cm non ha importanza.
Gli angoli nelle tabelle per le funzioni trigonometriche corrispondono ai valori in radianti:
Quindi, non è difficile indovinare che 2π è un cerchio completo o 360°.
Per considerare e confrontare le proprietà di base di seno e coseno, tangente e cotangente, è necessario disegnare le loro funzioni. Questo può essere fatto sotto forma di una curva situata in un sistema di coordinate bidimensionale.
Ritenere tavola di comparazione proprietà per onda sinusoidale e coseno:
| sinusoidale | onda del coseno |
|---|---|
| y = peccato x | y = cosx |
| ODZ [-1; uno] | ODZ [-1; uno] |
| sin x = 0, per x = πk, dove k ϵ Z | cos x = 0, per x = π/2 + πk, dove k ϵ Z |
| sin x = 1, per x = π/2 + 2πk, dove k ϵ Z | cos x = 1, per x = 2πk, dove k ϵ Z |
| sin x = - 1, in x = 3π/2 + 2πk, dove k ϵ Z | cos x = - 1, per x = π + 2πk, dove k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, cioè funzione dispari | cos (-x) = cos x, cioè la funzione è pari |
| la funzione è periodica, il periodo più piccolo è 2π | |
| sin x › 0, con x appartenente ai quarti I e II o da 0° a 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, con x appartenente ai quarti I e IV o da 270° a 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, con x appartenente ai quarti III e IV o da 180° a 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, con x appartenente ai quarti II e III o da 90° a 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| aumenta sull'intervallo [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | aumenta sull'intervallo [-π + 2πk, 2πk] |
| decresce sugli intervalli [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | diminuisce negli intervalli |
| derivata (sin x)' = cos x | derivata (cos x)’ = - sin x |
Determinare se una funzione è pari o meno è molto semplice. Basta immaginare un cerchio trigonometrico con segni di quantità trigonometriche e "piegare" mentalmente il grafico rispetto all'asse OX. Se i segni sono uguali la funzione è pari, altrimenti è dispari.
L'introduzione dei radianti e l'enumerazione delle principali proprietà dell'onda sinusoidale e coseno ci permettono di portare il seguente schema:
È molto facile verificare la correttezza della formula. Ad esempio, per x = π/2, il seno è uguale a 1, così come il coseno di x = 0. Il controllo può essere fatto guardando le tabelle o tracciando le curve delle funzioni per determinati valori.
I grafici delle funzioni tangente e cotangente differiscono significativamente dall'onda sinusoidale e coseno. I valori tg e ctg sono invertiti tra loro.
Considera la rappresentazione grafica della cotangentoide sotto nel testo.
Le principali proprietà del cotangentoide:
Consente di stabilire una serie di risultati caratteristici: proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente. In questo articolo, esamineremo tre proprietà principali. Il primo di essi indica i segni del seno, del coseno, della tangente e della cotangente dell'angolo α, a seconda di quale quarto angolo di coordinate è α. Successivamente, consideriamo la proprietà di periodicità, che stabilisce l'invarianza dei valori di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo α quando questo angolo cambia di un numero intero di giri. La terza proprietà esprime la relazione tra i valori di seno, coseno, tangente e cotangente di angoli opposti α e −α.
Se sei interessato alle proprietà delle funzioni di seno, coseno, tangente e cotangente, puoi studiarle nella sezione corrispondente dell'articolo.
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Di seguito in questo paragrafo si troverà la frase "angolo I, II, III e IV del quarto di coordinate". Spieghiamo cosa sono questi angoli.
Prendiamo una circonferenza unitaria, segniamo su di essa il punto di partenza A(1, 0) e ruotiamola intorno al punto O di un angolo α, mentre assumiamo di arrivare al punto A 1 (x, y) .
Dicono che l'angolo α è l'angolo I , II , III , IV del quarto delle coordinate se il punto A 1 si trova rispettivamente nei quarti I, II, III, IV; se l'angolo α è tale che il punto A 1 giace su una qualsiasi delle rette di coordinate Ox o Oy , allora questo angolo non appartiene a nessuno dei quattro quarti.
Per chiarezza, presentiamo un'illustrazione grafica. I disegni seguenti mostrano angoli di rotazione di 30 , -210 , 585 e -45 gradi, che sono rispettivamente gli angoli I , II , III e IV dei quarti delle coordinate.
angoli 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … i gradi non appartengono a nessuno dei quarti coordinati.
Ora scopriamo quali segni hanno i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione α, a seconda di quale quarto di angolo è α.
Per seno e coseno, questo è facile da fare.
Per definizione, il seno dell'angolo α è l'ordinata del punto A 1 . È ovvio che nei quarti coordinati I e II è positivo, mentre nei quarti III e IV è negativo. Pertanto, il seno dell'angolo α ha un segno più nel I e II quarto, e un segno meno nel III e VI quarto.
A sua volta, il coseno dell'angolo α è l'ascissa del punto A 1 . Nel I e IV trimestre è positivo, nel II e III trimestre è negativo. Pertanto, i valori del coseno dell'angolo α nel I e IV quarto sono positivi e nel II e III quarto sono negativi.
Per determinare i segni per quarti di tangente e cotangente, è necessario ricordare le loro definizioni: la tangente è il rapporto tra l'ordinata del punto A 1 e l'ascissa e la cotangente è il rapporto tra l'ascissa del punto A 1 e l'ordinata. Poi da regole di divisione dei numeri con segni uguali e diversi ne consegue che la tangente e la cotangente hanno segno più quando i segni di ascissa e ordinata del punto A 1 sono uguali, e hanno segno meno quando i segni di ascissa e ordinata del punto A 1 sono diversi. Pertanto, la tangente e la cotangente dell'angolo hanno segno + nei quarti di coordinata I e III, e segno meno nei quarti II e IV.
Infatti, ad esempio, nel primo quarto, sia l'ascissa x che l'ordinata y del punto A 1 sono positive, quindi sia il quoziente x/y che il quoziente y/x sono positivi, quindi la tangente e la cotangente hanno segno + . E nel secondo quarto dell'ascissa, x è negativo e l'ordinata y è positiva, quindi sia x / y che y / x sono negativi, quindi la tangente e la cotangente hanno un segno meno.
Passiamo alla prossima proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente.
Ora analizzeremo, forse, la proprietà più ovvia del seno, del coseno, della tangente e della cotangente di un angolo. Consiste nel seguente: quando l'angolo cambia di un numero intero di giri completi, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente di questo angolo non cambiano.
Questo è comprensibile: quando l'angolo cambia di un numero intero di giri, andremo sempre dal punto di partenza A al punto A 1 sulla circonferenza unitaria, quindi rimangono i valori di seno, coseno, tangente e cotangente invariato, poiché le coordinate del punto A 1 sono invariate.
Usando le formule, la proprietà considerata di seno, coseno, tangente e cotangente può essere scritta come segue: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , dove α è l'angolo di rotazione in radianti, z è any , il cui valore assoluto indica il numero di giri completi di cui cambia l'angolo α e il segno di il numero z indica la direzione svolta.
Se l'angolo di rotazione α è espresso in gradi, allora queste formule saranno riscritte come sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360° z)=ctgα .
Diamo esempi dell'uso di questa proprietà. Per esempio, 
, perché 
, un 
. Ecco un altro esempio: o .
Questa proprietà, insieme alle formule di riduzione, viene molto spesso utilizzata nel calcolo dei valori di seno, coseno, tangente e cotangente di angoli "grandi".
La proprietà considerata di seno, coseno, tangente e cotangente è talvolta chiamata proprietà di periodicità.
Sia А 1 il punto ottenuto come risultato della rotazione del punto iniziale А(1, 0) attorno al punto O dell'angolo α , e il punto А 2 sia il risultato della rotazione del punto А dell'angolo −α opposto all'angolo α .
La proprietà di seni, coseni, tangenti e cotangenti di angoli opposti si basa su un fatto abbastanza ovvio: i punti A 1 e A 2 sopra menzionati o coincidono (at) o si trovano simmetricamente attorno all'asse Ox. Cioè, se il punto A 1 ha coordinate (x, y) , allora il punto A 2 avrà coordinate (x, −y) . Da qui, secondo le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente, annotiamo le uguaglianze e.
Confrontandoli, arriviamo alle relazioni tra seni, coseni, tangenti e cotangenti di angoli opposti α e −α della forma .
Questa è la proprietà considerata sotto forma di formule.
Diamo esempi dell'uso di questa proprietà. Ad esempio, le uguaglianze e 
.
Resta solo da notare che la proprietà di seni, coseni, tangenti e cotangenti di angoli opposti, come la proprietà precedente, viene spesso utilizzata nel calcolo dei valori di seno, coseno, tangente e cotangente e consente di cavarsela completamente da angoli negativi.
Bibliografia.
Diverso. Alcuni riguardano in quali quarti il coseno è positivo e negativo, in quali quarti il seno è positivo e negativo. Tutto risulta semplice se sai come calcolare il valore di queste funzioni in diverse angolazioni e conosci il principio del tracciare le funzioni su un grafico.
Se consideriamo allora abbiamo le seguenti proporzioni, che lo determinano: il coseno dell'angolo unè il rapporto tra il cateto adiacente BC e l'ipotenusa AB (Fig. 1): cos un= aC/AB.
Usando lo stesso triangolo, puoi trovare il seno dell'angolo, la tangente e la cotangente. Il seno sarà il rapporto tra l'angolo della gamba opposta AC e l'ipotenusa AB. La tangente di un angolo si trova dividendo il seno dell'angolo desiderato per il coseno dello stesso angolo; sostituendo le formule corrispondenti per trovare il seno e il coseno, otteniamo che tg un\u003d AC / AC. La cotangente, come funzione inversa alla tangente, si troverà così: ctg un= AC/AC.
Cioè, per gli stessi valori dell'angolo, si è riscontrato che in un triangolo rettangolo le proporzioni sono sempre le stesse. Sembrerebbe che sia diventato chiaro da dove provengano questi valori, ma perché si ottengono numeri negativi?
Per fare ciò, devi considerare il triangolo nel sistema di coordinate cartesiane, dove ci sono sia valori positivi che negativi.
Cosa sono le coordinate cartesiane? Se parliamo di spazio bidimensionale, abbiamo due linee dirette che si intersecano nel punto O: questo è l'asse delle ascisse (Ox) e l'asse delle ordinate (Oy). Dal punto O nella direzione della retta ci sono numeri positivi e dentro rovescio- negativo. In definitiva, dipende direttamente da questo in quali trimestri il coseno è positivo e in quali, rispettivamente, è negativo.
Se posizioni un triangolo rettangolo nel primo quarto (da 0 o a 90 o), dove gli assi x e y hanno valori positivi (i segmenti AO e BO giacciono sugli assi dove si trovano i valori \u200b\u200bhanno un segno "+"), quindi qual è il seno, anche qual è il coseno avrà valori positivi e verrà assegnato un valore con un segno più. Ma cosa succede se sposti il triangolo sul secondo quarto (da 90° a 180°)?
Vediamo che lungo l'asse y, l'AO ha ricevuto un valore negativo. Coseno di un angolo un ora ha questo lato rispetto al meno, e quindi il suo valore finale diventa negativo. Si scopre che in quale quarto il coseno è positivo dipende dalla posizione del triangolo nel sistema di coordinate cartesiane. E in questo caso, il coseno dell'angolo assume un valore negativo. Ma per il seno non è cambiato nulla, perché per determinarne il segno è necessario il lato dell'OB, che in questo caso è rimasto con il segno più. Riassumiamo i primi due trimestri.
Per scoprire in quali quarti il coseno è positivo e in quale è negativo (così come il seno e altre funzioni trigonometriche), è necessario guardare quale segno è assegnato all'una o all'altra gamba. Per il coseno di un angolo un la gamba AO è importante, per il seno - OB.
Il primo quarto è diventato finora l'unico che risponde alla domanda: "In quali quarti il seno e il coseno sono positivi contemporaneamente?". Vediamo ancora se ci saranno più coincidenze nel segno di queste due funzioni.
Nel secondo trimestre, la gamba AO ha iniziato ad avere un valore negativo, il che significa che il coseno è diventato negativo. Per il seno viene memorizzato un valore positivo.
Ora entrambe le gambe AO e OB sono diventate negative. Richiama i rapporti per coseno e seno:
Cos a \u003d AO / AB;
Sin a \u003d BO / AB.
AB ha sempre segno positivo in un dato sistema di coordinate, poiché non è diretto verso nessuno dei due lati definiti dagli assi. Ma le gambe sono diventate negative, il che significa che anche il risultato per entrambe le funzioni è negativo, perché se esegui operazioni di moltiplicazione o divisione con numeri, tra i quali uno e uno solo ha un segno meno, allora anche il risultato sarà con questo segno .
Risultato in questa fase:
1) In quale quarto il coseno è positivo? Nel primo dei tre.
2) In quale quarto il seno è positivo? Nel primo e nel secondo di tre.
Qui la gamba AO acquista di nuovo il segno più, e quindi anche il coseno.
Per il seno le cose sono ancora "negative", perché la gamba OB è rimasta al di sotto del punto di partenza O.
Per capire in quali quarti il coseno è positivo, negativo, ecc., è necessario ricordare il rapporto per il calcolo del coseno: la gamba adiacente all'angolo, divisa per l'ipotenusa. Alcuni insegnanti suggeriscono di ricordare questo: k (osine) \u003d (k) corner. Se ricordi questo "trucco", capisci automaticamente che il seno è il rapporto tra l'opposto e l'angolo della gamba rispetto all'ipotenusa.
Ricordare in quali trimestri il coseno è positivo e quale è negativo è abbastanza difficile. Esistono molte funzioni trigonometriche e tutte hanno i propri valori. Tuttavia, come risultato: valori positivi per il seno - 1, 2 quarti (da 0 o a 180 o); per il coseno 1, 4 quarti (da 0 o a 90 o e da 270 o a 360 o). Nei restanti trimestri le funzioni hanno valori con segno meno.
Forse sarà più facile per qualcuno ricordare dov'è quale segno, secondo l'immagine della funzione.
Per il seno, si può vedere che da zero a 180 o la cresta è al di sopra della linea dei valori sin (x), il che significa che qui la funzione è positiva. Per il coseno è lo stesso: in quale quarto il coseno è positivo (foto 7), e in quale è negativo, si può vedere spostando la linea sopra e sotto l'asse del cos (x). Di conseguenza, possiamo ricordare due modi per determinare il segno delle funzioni seno, coseno:
1. In un cerchio immaginario con un raggio uguale a uno (sebbene, in realtà, non importa quale sia il raggio del cerchio, ma nei libri di testo questo esempio viene spesso fornito; questo rende più facile la percezione, ma a allo stesso tempo, se non specifichi che questo non ha importanza, i bambini possono confondersi).
2. Secondo l'immagine della dipendenza della funzione da (x) dall'argomento x stesso, come nell'ultima figura.
Usando il primo metodo, puoi CAPIRE da cosa dipende esattamente il segno, e lo abbiamo spiegato in dettaglio sopra. La Figura 7, costruita su questi dati, visualizza la funzione risultante e la sua appartenenza al segno nel miglior modo possibile.
