Le equazioni quadratiche vengono studiate al grado 8, quindi non c'è nulla di complicato qui. La capacità di risolverli è essenziale.
Un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove i coefficienti a , b e c sono numeri arbitrari e a ≠ 0.
Prima di studiare metodi risolutivi specifici, notiamo che tutte le equazioni quadratiche possono essere suddivise in tre classi:
Questa è una differenza importante tra equazioni quadratiche e lineari, dove la radice esiste sempre ed è unica. Come determinare quante radici ha un'equazione? C'è una cosa meravigliosa per questo - discriminante.
Che sia dato equazione quadrata ax 2 + bx + c = 0. Allora il discriminante è semplicemente il numero D = b 2 − 4ac .
Questa formula deve essere conosciuta a memoria. Da dove viene non è importante ora. Un'altra cosa è importante: dal segno del discriminante, puoi determinare quante radici ha un'equazione quadratica. Vale a dire:
Nota: il discriminante indica il numero di radici e per niente i loro segni, come per qualche motivo molte persone pensano. Dai un'occhiata agli esempi e capirai tutto da solo:
Un compito. Quante radici hanno le equazioni quadratiche:
- x 2 - 8 x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 - 6 x + 9 = 0.
Scriviamo i coefficienti per la prima equazione e troviamo il discriminante:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Quindi, il discriminante è positivo, quindi l'equazione ha due radici diverse. Analizziamo la seconda equazione allo stesso modo:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Il discriminante è negativo, non ci sono radici. L'ultima equazione rimane:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Il discriminante è uguale a zero: la radice sarà uno.
Si noti che i coefficienti sono stati scritti per ciascuna equazione. Sì, è lungo, sì, è noioso, ma non confonderai le probabilità e non commetterai errori stupidi. Scegli tu stesso: velocità o qualità.
A proposito, se "riempi la tua mano", dopo un po 'non dovrai più scrivere tutti i coefficienti. Eseguirai tali operazioni nella tua testa. La maggior parte delle persone inizia a farlo da qualche parte dopo 50-70 equazioni risolte - in generale, non così tante.
Passiamo ora alla soluzione. Se il discriminante D > 0, le radici possono essere trovate usando le formule:
La formula di base per le radici di un'equazione quadratica
Quando D = 0, puoi usare una qualsiasi di queste formule: ottieni lo stesso numero, che sarà la risposta. Infine, se D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2 x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Prima equazione:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ l'equazione ha due radici. Troviamoli:
Seconda equazione:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ un = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ l'equazione ha di nuovo due radici. Troviamoli
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fine(allineamento)\]
Infine, la terza equazione:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ l'equazione ha una radice. È possibile utilizzare qualsiasi formula. Ad esempio il primo:
Come puoi vedere dagli esempi, tutto è molto semplice. Se conosci le formule e sai contare, non ci saranno problemi. Molto spesso, si verificano errori quando i coefficienti negativi vengono sostituiti nella formula. Anche in questo caso, la tecnica sopra descritta aiuterà: guarda letteralmente la formula, dipingi ogni passaggio e sbarazzati degli errori molto presto.
Succede che l'equazione quadratica è in qualche modo diversa da quella data nella definizione. Per esempio:
È facile vedere che in queste equazioni manca uno dei termini. Tali equazioni quadratiche sono ancora più facili da risolvere rispetto a quelle standard: non hanno nemmeno bisogno di calcolare il discriminante. Quindi introduciamo un nuovo concetto:
L'equazione ax 2 + bx + c = 0 è chiamata equazione quadratica incompleta se b = 0 o c = 0, cioè il coefficiente della variabile x o dell'elemento libero è uguale a zero.
Naturalmente, è possibile un caso molto difficile quando entrambi questi coefficienti sono uguali a zero: b \u003d c \u003d 0. In questo caso, l'equazione assume la forma ax 2 \u003d 0. Ovviamente, tale equazione ha un singolo radice: x \u003d 0.
Consideriamo altri casi. Sia b \u003d 0, quindi otteniamo un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c \u003d 0. Trasformiamola leggermente:
Poiché la radice quadrata aritmetica esiste solo da un numero non negativo, l'ultima uguaglianza ha senso solo quando (−c / a ) ≥ 0. Conclusione:
Come puoi vedere, il discriminante non era richiesto: non ci sono calcoli complessi nelle equazioni quadratiche incomplete. Infatti, non è nemmeno necessario ricordare la disuguaglianza (−c / a ) ≥ 0. Basta esprimere il valore di x 2 e vedere cosa c'è dall'altra parte del segno di uguale. Se c'è un numero positivo, ci saranno due radici. Se negativo, non ci saranno affatto radici.
Ora affrontiamo le equazioni della forma ax 2 + bx = 0, in cui l'elemento libero è uguale a zero. Qui tutto è semplice: ci saranno sempre due radici. Basta fattorizzare il polinomio:
Togliendo il fattore comune dalla parentesiIl prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. Ecco da dove vengono le radici. In conclusione, analizzeremo alcune di queste equazioni:
Un compito. Risolvi equazioni quadratiche:
- x2 - 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 - 9 = 0.
x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Non ci sono radici, perché il quadrato non può essere uguale a un numero negativo.
4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
1. Soluzione del sistema con il metodo della sostituzione.
2. Soluzione del sistema per addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema.
Per risolvere il sistema di equazioni metodo di sostituzione devi seguire un semplice algoritmo:
1. Esprimiamo. Da qualsiasi equazione, esprimiamo una variabile.
2. Sostituto. Sostituiamo in un'altra equazione al posto della variabile espressa, il valore risultante.
3. Risolviamo l'equazione risultante con una variabile. Troviamo una soluzione al sistema.
Risolvere sistema per addizione termine per termine (sottrazione) bisogno:
1. Seleziona una variabile per la quale creeremo gli stessi coefficienti.
2. Aggiungiamo o sottraiamo le equazioni, di conseguenza otteniamo un'equazione con una variabile.
3. Risolviamo l'equazione lineare risultante. Troviamo una soluzione al sistema.
La soluzione del sistema sono i punti di intersezione dei grafici della funzione.
Consideriamo in dettaglio la soluzione dei sistemi utilizzando esempi.
Esempio 1:
2x+5y=1 (1 equazione)
x-10y=3 (2a equazione)
1. Espresso
Si può vedere che nella seconda equazione c'è una variabile x con coefficiente 1, quindi risulta che è più facile esprimere la variabile x dalla seconda equazione.
x=3+10a
2. Dopo aver espresso, sostituiamo 3 + 10y nella prima equazione al posto della variabile x.
2(3+10 anni)+5 anni=1
3. Risolviamo l'equazione risultante con una variabile.
2(3+10a)+5a=1 (parentesi aperte)
6+20 anni+5 anni=1
25a=1-6
25a=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
La soluzione del sistema di equazioni sono i punti di intersezione dei grafici, quindi dobbiamo trovare xey, perché il punto di intersezione è costituito da xey.Troviamo x, nel primo paragrafo dove abbiamo espresso sostituiamo y lì.
x=3+10a
x=3+10*(-0,2)=1
È consuetudine scrivere punti in primo luogo, scriviamo la variabile x e in secondo luogo la variabile y.
Risposta: (1; -0,2)
Esempio n. 2:
3x-2y=1 (1 equazione)
2x-3y=-10 (2a equazione)
1. Seleziona una variabile, diciamo di selezionare x. Nella prima equazione, la variabile x ha un coefficiente di 3, nella seconda - 2. Dobbiamo rendere i coefficienti uguali, per questo abbiamo il diritto di moltiplicare le equazioni o dividere per qualsiasi numero. Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 3 e otteniamo un coefficiente totale di 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4 anni=2
2x-3a=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Dalla prima equazione, sottrai la seconda per eliminare la variabile x Risolvi l'equazione lineare.
__6x-4a=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. Trova x. Sostituiamo la y trovata in una qualsiasi delle equazioni, diciamo nella prima equazione.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6
Il punto di intersezione sarà x=4,6; y=6.4
Risposta: (4.6; 6.4)
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3. Barra degli strumenti - si tratta di pulsanti della calcolatrice che sostituiscono l'immissione manuale di simboli matematici che indicano l'operazione corrispondente. Alcuni pulsanti della calcolatrice (funzioni aggiuntive, convertitore di unità, soluzione di matrici ed equazioni, grafici) integrano la barra delle applicazioni con nuovi campi in cui vengono inseriti i dati per un calcolo specifico. Il campo "Cronologia" contiene esempi di scrittura di espressioni matematiche, nonché le ultime sei voci.
Si noti che quando si premono i pulsanti per richiamare funzioni aggiuntive, il convertitore di valori, risolvere matrici ed equazioni, tracciare grafici, l'intero pannello della calcolatrice si sposta in alto, coprendo parte del display. Compila i campi richiesti e premi il tasto "I" (evidenziato in rosso nella figura) per vedere il display a grandezza naturale.
4. Il tastierino numerico contiene numeri e segni aritmetici. Il pulsante "C" cancella l'intera voce nel campo di immissione dell'espressione. Per eliminare i caratteri uno per uno, è necessario utilizzare la freccia a destra della riga di input.
Cerca di chiudere sempre le parentesi alla fine di un'espressione. Per la maggior parte delle operazioni, questo non è fondamentale, il calcolatore online calcolerà tutto correttamente. Tuttavia, in alcuni casi sono possibili errori. Ad esempio, quando si eleva a una potenza frazionaria, le parentesi non chiuse faranno sì che il denominatore della frazione nell'esponente vada al denominatore della base. Sul display la parentesi di chiusura è indicata in grigio chiaro, deve essere chiusa al termine della registrazione.
Chiave | Simbolo | Operazione |
---|---|---|
pi | pi | pi costante |
e | e | numero di Eulero |
% | % | Per cento |
() | () | Aprire/Chiudere parentesi quadre |
, | , | Virgola |
peccato | peccato(?) | Seno di un angolo |
cos | perché (?) | Coseno |
abbronzatura | abbronzatura(y) | Tangente |
peccato | peccato() | Seno iperbolico |
Contanti | cosh() | Coseno iperbolico |
tan | abbronzarsi () | Tangente iperbolica |
peccato-1 | come in() | Seno inverso |
cos-1 | acos() | coseno inverso |
abbronzatura-1 | un'abbronzatura() | tangente inversa |
sinh-1 | asinh() | Seno iperbolico inverso |
cosh-1 | acosh() | Coseno iperbolico inverso |
tanh-1 | atanh() | Tangente iperbolica inversa |
x2 | ^2 | Squadratura |
x 3 | ^3 | Cubo |
x y | ^ | Esponenziale |
10 x | 10^() | Esponenziale in base 10 |
es | exp() | Esponenziazione del numero di Eulero |
vx | sqrt(x) | Radice quadrata |
3vx | sqrt3(x) | Radice di 3° grado |
yvx | quadrato(x,y) | estrazione della radice |
registro 2 x | log2(x) | logaritmo binario |
tronco d'albero | registro(x) | Logaritmo decimale |
ln | registro(x) | logaritmo naturale |
log yx | log(x,y) | Logaritmo |
I/II | Riduci a icona/Richiama funzioni aggiuntive | |
unità | Convertitore di unità | |
matrice | matrici | |
risolvere | Equazioni e sistemi di equazioni | |
Tracciare | ||
Funzioni aggiuntive (chiamata con tasto II) | ||
mod | mod | Divisione con resto |
! | ! | Fattoriale |
io/j | io/j | unità immaginaria |
Rif | Rif() | Selezione dell'intera parte reale |
Io sono | Io sono() | Esclusione della parte reale |
|x| | addominali() | Il valore assoluto di un numero |
arg | arg() | Argomento della funzione |
nCr | ncr() | Coefficiente binomiale |
gcd | gcd() | GCD |
lcm | cmq () | NOC |
somma | somma() | Il valore della somma di tutte le soluzioni |
fac | fattorizzare() | fattorizzazione in numeri primi |
diff | diff() | Differenziazione |
gradi | gradi | |
Rad | radianti |