Consideriamo prima il caso in cui il numero di equazioni è uguale al numero di variabili, cioè m = n. Quindi la matrice del sistema è quadrata e il suo determinante è chiamato determinante del sistema.
Consideriamo in forma generale il sistema di equazioni AX = B con non degenere matrice quadrata R. In questo caso, c'è matrice inversa UN-1. Moltiplichiamo entrambi i membri per A -1 a sinistra. Otteniamo A -1 AX \u003d A -1 B. Da qui EX \u003d A -1 B e
L'ultima uguaglianza è una formula matriciale per trovare soluzioni a tali sistemi di equazioni. L'uso di questa formula è chiamato metodo della matrice inversa
Ad esempio, usiamo questo metodo per risolvere il seguente sistema:
;
Al termine della soluzione del sistema si può fare una verifica sostituendo i valori trovati nelle equazioni del sistema. In questo caso, devono trasformarsi in vere uguaglianze.
Per questo esempio, controlliamo:
Sia n=2:
Se entrambe le parti della prima equazione vengono moltiplicate per a 22, ed entrambe le parti della seconda per (-a 12), e quindi vengono sommate le equazioni risultanti, allora escluderemo la variabile x 2 dal sistema. Allo stesso modo, puoi eliminare la variabile x 1 (moltiplicando entrambi i lati della prima equazione per (-a 21) ed entrambi i lati della seconda per un 11). Di conseguenza, otteniamo il sistema:
L'espressione tra parentesi è la determinante del sistema
Denota
Quindi il sistema assumerà la forma:
Dal sistema risultante segue che se il determinante del sistema è 0, allora il sistema sarà consistente e definito. La sua soluzione unica può essere calcolata dalle formule:
Se = 0, a 1 0 e/o 2 0, allora le equazioni del sistema assumeranno la forma 0*х 1 = 2 e/o 0*х 1 = 2. In questo caso, il sistema sarà incoerente.
Nel caso in cui = 1 = 2 = 0, il sistema sarà consistente e indefinito (avrà un numero infinito di soluzioni), in quanto assumerà la forma:
Il teorema di Cramer(omettiamo la dimostrazione). Se il determinante della matrice del sistema n di equazioni non è uguale a zero, allora il sistema ha un'unica soluzione, determinata dalle formule:
,
dove j è il determinante della matrice ottenuta dalla matrice A sostituendo la j-esima colonna con una colonna di membri liberi.
Le formule di cui sopra sono chiamate Le formule di Cramer.
Ad esempio, usiamo questo metodo per risolvere un sistema precedentemente risolto utilizzando il metodo della matrice inversa:
Svantaggi dei metodi considerati:
1) complessità significativa (calcolo delle determinanti e ricerca della matrice inversa);
2) portata limitata (per sistemi a matrice quadrata).
Le situazioni economiche reali sono spesso modellate da sistemi in cui il numero di equazioni e variabili è abbastanza significativo e ci sono più equazioni che variabili, quindi il seguente metodo è più comune nella pratica.
Questo metodo è usato per risolvere il sistema m equazioni lineari con n variabili in vista generale. La sua essenza sta nell'applicare un sistema di trasformazioni equivalenti alla matrice espansa, con l'aiuto del quale il sistema di equazioni viene trasformato nella forma quando le sue soluzioni diventano facili da trovare (se presenti).
Questa è una tale vista in cui la parte in alto a sinistra della matrice del sistema sarà una matrice a gradini. Ciò si ottiene utilizzando le stesse tecniche utilizzate per ottenere una matrice a gradini per determinare il rango. In questo caso, alla matrice espansa vengono applicate delle trasformazioni elementari che permetteranno di ottenere un sistema di equazioni equivalente. Successivamente, la matrice aumentata assumerà la forma:
Si chiama ottenere una tale matrice in linea retta Metodo di Gauss.
Viene chiamato trovare i valori delle variabili dal corrispondente sistema di equazioni indietro Metodo di Gauss. Consideriamolo.
Si noti che le ultime equazioni (m – r) assumeranno la forma:
Se almeno uno dei numeri 
è diverso da zero, allora l'uguaglianza corrispondente sarà falsa e l'intero sistema sarà incoerente.
Pertanto, per qualsiasi sistema di giunzione 
. In questo caso, le ultime equazioni (m – r) per qualsiasi valore delle variabili saranno identità 0 = 0 e possono essere ignorate durante la risoluzione del sistema (basta scartare le righe corrispondenti).
Successivamente, il sistema sarà simile a:
Consideriamo prima il caso in cui r=n. Quindi il sistema assumerà la forma:
Dall'ultima equazione del sistema si può trovare univocamente x r .
Conoscendo x r , si può esprimere in modo univoco x r -1 da esso. Quindi dall'equazione precedente, conoscendo x r e x r -1 , possiamo esprimere x r -2 e così via. fino a x 1 .
Quindi, in questo caso, il sistema sarà collaborativo e definitivo.
Consideriamo ora il caso in cui r
Da questa equazione, possiamo esprimere la variabile di base x r in termini di variabili non di base:
La penultima equazione sarà simile a:
Sostituendo l'espressione risultante al posto di x r, sarà possibile esprimere la variabile di base x r -1 attraverso variabili non di base. Eccetera. alla variabile x 1 . Per ottenere una soluzione al sistema, è possibile equiparare le variabili non di base a valori arbitrari e quindi calcolare le variabili di base utilizzando le formule ottenute. Quindi, in questo caso, il sistema sarà consistente e indeterminato (avere un numero infinito di soluzioni).
Ad esempio, risolviamo il sistema di equazioni:
Verrà richiamato l'insieme delle variabili di base base sistemi. Verrà anche chiamato l'insieme di colonne di coefficienti per loro base(colonne di base), o minore di base matrici di sistema. Verrà chiamata quella soluzione del sistema, in cui tutte le variabili non di base sono uguali a zero soluzione di base.
Nell'esempio precedente, la soluzione di base sarà (4/5; -17/5; 0; 0) (le variabili x 3 e x 4 (c 1 e c 2) sono impostate a zero, e le variabili di base x 1 e x 2 sono calcolati attraverso di essi) . Per fare un esempio di una soluzione non di base, è necessario uguagliare x 3 e x 4 (c 1 e c 2) a numeri arbitrari che non sono uguali a zero allo stesso tempo e calcolare il resto delle variabili attraverso loro. Ad esempio, con c 1 = 1 e c 2 = 0, otteniamo una soluzione non di base - (4/5; -12/5; 1; 0). Per sostituzione, è facile verificare che entrambe le soluzioni sono corrette.
Ovviamente, in un sistema indefinito di soluzioni non di base, ci può essere un numero infinito di soluzioni. Quante soluzioni di base possono esserci? Ogni riga della matrice trasformata deve corrispondere a una variabile di base. In totale, ci sono n variabili nel problema e r righe di base. Pertanto, il numero di possibili insiemi di variabili di base non può superare il numero di combinazioni da n a 2 . Potrebbe essere inferiore a 
, perché non è sempre possibile trasformare il sistema in una forma tale che questo particolare insieme di variabili sia la base.
Che tipo è questo? Questa è una forma tale quando la matrice formata dalle colonne dei coefficienti per queste variabili sarà graduale e, in questo caso, sarà composta da righe. Quelli. il rango della matrice dei coefficienti per queste variabili deve essere uguale a r. Non può essere maggiore, poiché il numero di colonne è uguale a r. Se risulta essere inferiore a r, ciò indica una dipendenza lineare delle colonne con le variabili. Tali colonne non possono costituire una base.
Consideriamo quali altre soluzioni di base si possono trovare nell'esempio precedente. Per fare ciò, considera tutte le possibili combinazioni di quattro variabili con due di base. Tali combinazioni lo faranno 
, e uno di essi (x 1 e x 2) è già stato considerato.
Prendiamo le variabili x 1 e x 3 . Trova il rango della matrice dei coefficienti per loro:
Poiché è uguale a due, possono essere fondamentali. Equipariamo le variabili non di base x 2 e x 4 a zero: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Quindi dalla formula x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 segue che x 1 \u003d 4/5, e dalla formula x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 segue che x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Quindi, otteniamo la soluzione di base (4/5; 0; 17/5; 0).
Allo stesso modo, puoi ottenere soluzioni di base per le variabili di base x 1 e x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 e x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 e x 4 - (0; 0; 9; 4).
Le variabili x 2 e x 3 in questo esempio non possono essere prese come base, poiché il rango della matrice corrispondente è uguale a uno, cioè meno di due:
.
Un altro approccio è possibile determinare se è possibile o meno formare una base da alcune variabili. Durante la risoluzione dell'esempio, come risultato della trasformazione della matrice del sistema in una forma a gradini, ha assunto la forma:
Scegliendo coppie di variabili è stato possibile calcolare i corrispondenti minori di questa matrice. È facile vedere che per tutte le coppie, ad eccezione di x 2 e x 3 , non sono uguali a zero, cioè le colonne sono linearmente indipendenti. E solo per colonne con variabili x 2 e x 3 
, che indica la loro dipendenza lineare.
Consideriamo un altro esempio. Risolviamo il sistema di equazioni
Quindi, l'equazione corrispondente alla terza riga dell'ultima matrice è incoerente: ha portato all'uguaglianza errata 0 = -1, quindi questo sistema è incoerente.
Metodo di Jordan-Gauss 3 è uno sviluppo del metodo gaussiano. La sua essenza è che la matrice estesa del sistema si trasforma nella forma quando i coefficienti delle variabili formano una matrice identità fino alla permutazione di righe o colonne 4 (dove è il rango della matrice del sistema).
Risolviamo il sistema usando questo metodo:
Consideriamo la matrice aumentata del sistema:
In questa matrice, selezioniamo l'elemento identità. Ad esempio, il coefficiente in x 2 nel terzo vincolo è 5. Assicuriamoci che nelle righe rimanenti di questa colonna ci siano zeri, ad es. rendere la colonna singola. Nel processo di trasformazione, lo chiameremo colonnapermissivo(principale, chiave). Il terzo vincolo (il terzo corda) sarà anche chiamato permissivo. Me stesso elemento Viene anche chiamato , che si trova all'intersezione della riga e della colonna consentite (qui è un'unità). permissivo.
La prima riga ora contiene il coefficiente (-1). Per ottenere zero al suo posto, moltiplica la terza riga per (-1) e sottrai il risultato dalla prima riga (cioè aggiungi semplicemente la prima riga alla terza).
La seconda riga contiene un coefficiente pari a 2. Per ottenere zero al suo posto, moltiplica la terza riga per 2 e sottrai il risultato dalla prima riga.
Il risultato delle trasformazioni sarà simile a:
Questa matrice mostra chiaramente che uno dei primi due vincoli può essere cancellato (le righe corrispondenti sono proporzionali, cioè queste equazioni si susseguono l'una dall'altra). Cancelliamo la seconda:
Quindi, ci sono due equazioni nel nuovo sistema. Viene ricevuta una singola colonna (seconda) e l'unità qui è nella seconda riga. Ricordiamo che la variabile base x 2 corrisponderà alla seconda equazione del nuovo sistema.
Scegliamo una variabile di base per la prima riga. Può essere qualsiasi variabile tranne x 3 (perché in x 3 il primo vincolo ha un coefficiente zero, cioè l'insieme delle variabili x 2 e x 3 non può essere fondamentale qui). Puoi prendere la prima o la quarta variabile.
Scegliamo x 1. Quindi l'elemento risolutivo sarà 5, ed entrambi i lati dell'equazione risolutiva dovranno essere divisi per cinque per ottenere uno nella prima colonna della prima riga.
Assicuriamoci che il resto delle righe (ovvero la seconda riga) abbia zeri nella prima colonna. Poiché ora la seconda riga non è zero, ma 3, è necessario sottrarre dalla seconda riga gli elementi della prima riga convertita, moltiplicati per 3:
Una soluzione di base può essere estratta direttamente dalla matrice risultante eguagliando le variabili non di base a zero e le variabili di base ai termini liberi nelle equazioni corrispondenti: (0,8; -3,4; 0; 0). Puoi anche derivare formule generali che esprimono variabili di base attraverso quelle non di base: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6 x 4. Queste formule descrivono l'intero insieme infinito di soluzioni del sistema (eguagliando x 3 e x 4 a numeri arbitrari, puoi calcolare x 1 e x 2).
Si noti che l'essenza delle trasformazioni in ogni fase del metodo Jordan-Gauss era la seguente:
1) la stringa permissiva è stata divisa per l'elemento permissivo per ottenere un'unità al suo posto,
2) da tutte le altre righe, il potere risolutivo trasformato moltiplicato per l'elemento che si trovava nella riga data nella colonna risolutiva è stato sottratto per ottenere zero al posto di questo elemento.
Considera ancora una volta la matrice aumentata trasformata del sistema:
Si può vedere da questa voce che il rango della matrice del sistema A è r.
Nel corso del ragionamento di cui sopra, abbiamo stabilito che il sistema è consistente se e solo se 
. Ciò significa che la matrice aumentata del sistema sarà simile a:
Scartando zero righe, otteniamo che anche il rango della matrice estesa del sistema è uguale a r.
Teorema di Kronecker-Capelli. Un sistema di equazioni lineari è consistente se e solo se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa di questo sistema.
Ricordiamo che il rango di una matrice è uguale al numero massimo delle sue righe linearmente indipendenti. Ne consegue che se il rango della matrice estesa è inferiore al numero di equazioni, allora le equazioni del sistema sono linearmente dipendenti e una o più di esse possono essere escluse dal sistema (perché sono un sistema lineare combinazione degli altri). Il sistema di equazioni sarà linearmente indipendente solo se il rango della matrice estesa è uguale al numero di equazioni.
Inoltre, per sistemi compatibili di equazioni lineari, si può sostenere che se il rango della matrice è uguale al numero di variabili, allora il sistema ha una soluzione unica, e se è minore del numero di variabili, allora il sistema è indefinito e ha infinite soluzioni.
1Ad esempio, supponiamo che ci siano cinque righe nella matrice (l'ordine di riga iniziale è 12345). Dobbiamo cambiare la seconda riga e la quinta. Affinché la seconda riga prenda il posto della quinta, per "spostarsi" verso il basso, cambiamo in sequenza tre volte le righe adiacenti: la seconda e la terza (13245), la seconda e la quarta (13425) e la seconda e la quinta ( 13452). Quindi, affinché la quinta riga prenda il posto della seconda nella matrice originaria, è necessario “spostare” la quinta riga verso l'alto di soli due cambi consecutivi: la quinta e quarta riga (13542) e la quinta e terza riga (15342).
2Numero di combinazioni da n a r 
chiama il numero di tutti i diversi sottoinsiemi di elementi r di un insieme di n elementi (insiemi diversi sono quelli che hanno una diversa composizione di elementi, l'ordine di selezione non è importante). Si calcola con la formula: 
. Ricorda il significato del segno "!" (fattoriale): 
0!=1.)
3Poiché questo metodo è più comune del metodo Gauss discusso in precedenza, e in sostanza è una combinazione del metodo Gauss diretto e inverso, a volte è anche chiamato metodo Gauss, omettendo la prima parte del nome.
4Ad esempio, 
.
5Se non ci fossero unità nella matrice del sistema, allora sarebbe possibile, ad esempio, dividere per due entrambe le parti della prima equazione, e allora il primo coefficiente diventerebbe l'unità; o simili.
I sistemi di equazioni sono ampiamente utilizzati nell'industria economica nella modellazione matematica di vari processi. Ad esempio, quando si risolvono problemi di gestione e pianificazione della produzione, percorsi logistici (problemi di trasporto) o posizionamento delle attrezzature.
I sistemi di equazioni sono utilizzati non solo nel campo della matematica, ma anche in fisica, chimica e biologia, quando si risolvono problemi per trovare la dimensione della popolazione.
Un sistema di equazioni lineari è un termine per due o più equazioni con più variabili per le quali è necessario trovare una soluzione comune. Tale sequenza di numeri per cui tutte le equazioni diventano vere uguaglianze o dimostrano che la sequenza non esiste.
Le equazioni della forma ax+by=c sono chiamate lineari. Le designazioni x, y sono le incognite, il cui valore deve essere trovato, b, a sono i coefficienti delle variabili, c è il termine libero dell'equazione.
Risolvendo l'equazione tracciando il suo grafico sembrerà una linea retta, i cui punti sono la soluzione del polinomio.
I più semplici sono esempi di sistemi di equazioni lineari con due variabili X e Y.
F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, dove F1,2 sono funzioni e (x, y) sono variabili di funzione.
Risolvere un sistema di equazioni - significa trovare tali valori (x, y) per i quali il sistema diventa una vera uguaglianza, oppure stabilire che non esistono valori adatti di x e y.
Una coppia di valori (x, y), scritti come coordinate di punti, è chiamata soluzione di un sistema di equazioni lineari.
Se i sistemi hanno una soluzione comune o non c'è soluzione, sono chiamati equivalenti.
I sistemi omogenei di equazioni lineari sono sistemi il cui lato destro è uguale a zero. Se la parte destra dopo il segno "uguale" ha un valore o è espressa da una funzione, tale sistema non è omogeneo.
Il numero di variabili può essere molto più di due, allora dovremmo parlare di un esempio di sistema di equazioni lineari con tre o più variabili.
Di fronte ai sistemi, gli scolari presumono che il numero delle equazioni debba necessariamente coincidere con il numero delle incognite, ma non è così. Il numero di equazioni nel sistema non dipende dalle variabili, può essercene un numero arbitrariamente elevato.
Non esiste un modo analitico generale per risolvere tali sistemi, tutti i metodi sono basati su soluzioni numeriche. Il corso scolastico di matematica descrive in dettaglio metodi come permutazione, addizione algebrica, sostituzione, nonché il metodo grafico e matriciale, la soluzione con il metodo Gauss.
Il compito principale nell'insegnamento dei metodi di risoluzione è insegnare come analizzare correttamente il sistema e trovare l'algoritmo di soluzione ottimale per ogni esempio. L'importante non è memorizzare un sistema di regole e azioni per ciascun metodo, ma comprendere i principi dell'applicazione di un particolare metodo.
La soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari del 7 ° grado del programma scolastico di istruzione generale è abbastanza semplice ed è spiegata in modo molto dettagliato. In qualsiasi libro di testo sulla matematica, questa sezione riceve sufficiente attenzione. La soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari con il metodo di Gauss e Cramer è studiata in modo più dettagliato nei primi corsi delle istituzioni educative superiori.
Le azioni del metodo di sostituzione mirano a esprimere il valore di una variabile attraverso la seconda. L'espressione viene sostituita nell'equazione rimanente, quindi viene ridotta a una singola forma variabile. L'azione viene ripetuta a seconda del numero di incognite nel sistema
Diamo un esempio di un sistema di equazioni lineari della 7a classe con il metodo di sostituzione:
Come si può vedere dall'esempio, la variabile x è stata espressa attraverso F(X) = 7 + Y. L'espressione risultante, sostituita nella 2a equazione del sistema al posto di X, ha aiutato ad ottenere una variabile Y nella 2a equazione . La soluzione di questo esempio non causa difficoltà e consente di ottenere il valore Y. L'ultimo passaggio consiste nel verificare i valori ottenuti.
Non sempre è possibile risolvere un esempio di un sistema di equazioni lineari per sostituzione. Le equazioni possono essere complesse e l'espressione della variabile in termini di seconda incognita sarà troppo scomoda per ulteriori calcoli. Quando ci sono più di 3 incognite nel sistema, anche la soluzione di sostituzione è impraticabile.
Soluzione di un esempio di un sistema di equazioni lineari disomogenee:
Quando si cerca una soluzione ai sistemi con il metodo dell'addizione, vengono eseguite l'addizione termine per termine e la moltiplicazione delle equazioni per vari numeri. L'obiettivo finale delle operazioni matematiche è un'equazione con una variabile.
Le applicazioni di questo metodo richiedono pratica e osservazione. Non è facile risolvere un sistema di equazioni lineari usando il metodo dell'addizione con il numero di variabili 3 o più. L'addizione algebrica è utile quando le equazioni contengono frazioni e numeri decimali.
Algoritmo di azione della soluzione:
Una nuova variabile può essere introdotta se il sistema deve trovare una soluzione per non più di due equazioni, anche il numero di incognite non dovrebbe essere superiore a due.
Il metodo viene utilizzato per semplificare una delle equazioni introducendo una nuova variabile. La nuova equazione viene risolta rispetto all'incognita immessa e il valore risultante viene utilizzato per determinare la variabile originale.
Si può vedere dall'esempio che introducendo una nuova variabile t, è stato possibile ridurre la prima equazione del sistema ad un trinomio quadrato standard. Puoi risolvere un polinomio trovando il discriminante.
È necessario trovare il valore del discriminante utilizzando la nota formula: D = b2 - 4*a*c, dove D è il discriminante desiderato, b, a, c sono i moltiplicatori del polinomio. Nell'esempio dato, a=1, b=16, c=39, quindi D=100. Se il discriminante è maggiore di zero, allora ci sono due soluzioni: t = -b±√D / 2*a, se il discriminante è minore di zero, allora c'è una sola soluzione: x= -b / 2*a.
La soluzione per i sistemi risultanti si trova con il metodo dell'addizione.
Adatto per sistemi con 3 equazioni. Il metodo consiste nel tracciare i grafici di ciascuna equazione inclusa nel sistema sull'asse delle coordinate. Le coordinate dei punti di intersezione delle curve saranno la soluzione generale del sistema.
Il metodo grafico ha una serie di sfumature. Considera diversi esempi di risoluzione di sistemi di equazioni lineari in modo visivo.
Come si può vedere dall'esempio, per ogni linea sono stati costruiti due punti, i valori della variabile x sono stati scelti arbitrariamente: 0 e 3. In base ai valori di x, sono stati trovati i valori per y: 3 e 0. I punti con coordinate (0, 3) e (3, 0) sono stati contrassegnati sul grafico e collegati da una linea.
I passaggi devono essere ripetuti per la seconda equazione. Il punto di intersezione delle rette è la soluzione del sistema.
Nell'esempio seguente, è necessario trovare una soluzione grafica al sistema di equazioni lineari: 0.5x-y+2=0 e 0.5x-y-1=0.
Come si vede dall'esempio, il sistema non ha soluzione, perché i grafi sono paralleli e non si intersecano per tutta la loro lunghezza.
I sistemi degli esempi 2 e 3 sono simili, ma una volta costruiti diventa ovvio che le loro soluzioni sono diverse. Va ricordato che non sempre è possibile dire se il sistema ha una soluzione o meno, è sempre necessario costruire un grafico.
Le matrici vengono utilizzate per scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Una matrice è un tipo speciale di tabella piena di numeri. n*m ha n - righe e m - colonne.
Una matrice è quadrata quando il numero di colonne e di righe è uguale. Una matrice-vettore è una matrice a colonna singola con un numero infinitamente possibile di righe. Una matrice con unità lungo una delle diagonali e altri elementi nulli si chiama identità.
Una matrice inversa è una tale matrice, quando moltiplicata per la quale quella originale si trasforma in un'unità, tale matrice esiste solo per quella quadrata originale.
Per quanto riguarda i sistemi di equazioni, i coefficienti ei membri liberi delle equazioni sono scritti come numeri della matrice, un'equazione è una riga della matrice.
Una riga della matrice è detta diversa da zero se almeno un elemento della riga è diverso da zero. Pertanto, se in una qualsiasi delle equazioni il numero di variabili differisce, è necessario inserire zero al posto dell'incognita mancante.
Le colonne della matrice devono corrispondere rigorosamente alle variabili. Ciò significa che i coefficienti della variabile x possono essere scritti solo in una colonna, ad esempio la prima, il coefficiente dell'ignoto y - solo nella seconda.
Quando si moltiplica una matrice, tutti gli elementi della matrice vengono successivamente moltiplicati per un numero.
La formula per trovare la matrice inversa è abbastanza semplice: K -1 = 1 / |K|, dove K -1 è la matrice inversa e |K| - determinante di matrice. |K| non deve essere uguale a zero, allora il sistema ha una soluzione.
Il determinante è facilmente calcolato per una matrice due per due, è solo necessario moltiplicare gli elementi diagonalmente l'uno per l'altro. Per l'opzione "tre per tre", esiste una formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + un 3 b 2 c 1 . Puoi usare la formula, oppure puoi ricordare che devi prendere un elemento da ogni riga e ogni colonna in modo che i numeri di colonna e riga degli elementi non si ripetano nel prodotto.
Il metodo a matrice per trovare una soluzione consente di ridurre le voci ingombranti quando si risolvono sistemi con un gran numero di variabili ed equazioni.
Nell'esempio, a nm sono i coefficienti delle equazioni, la matrice è un vettore x n sono le variabili e b n sono i termini liberi.
Nella matematica superiore, il metodo Gauss viene studiato insieme al metodo Cramer e il processo per trovare una soluzione ai sistemi è chiamato metodo di risoluzione Gauss-Cramer. Questi metodi sono usati per trovare le variabili di sistemi con un gran numero di equazioni lineari.
Il metodo gaussiano è molto simile alle soluzioni di sostituzione e addizione algebrica, ma è più sistematico. Nel corso scolastico, la soluzione gaussiana viene utilizzata per sistemi di 3 e 4 equazioni. Lo scopo del metodo è portare il sistema alla forma di un trapezio rovesciato. Mediante trasformazioni e sostituzioni algebriche, il valore di una variabile si trova in una delle equazioni del sistema. La seconda equazione è un'espressione con 2 incognite e 3 e 4 rispettivamente con 3 e 4 variabili.
Dopo aver portato il sistema alla forma descritta, l'ulteriore soluzione si riduce alla sostituzione sequenziale di variabili note nelle equazioni del sistema.
Nei libri di testo scolastici per la settima elementare, un esempio di soluzione gaussiana è descritto come segue:
Come si vede dall'esempio, al passo (3) sono state ottenute due equazioni 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. La soluzione di una qualsiasi delle equazioni ti permetterà di scoprire una delle variabili x n.
Il teorema 5, citato nel testo, afferma che se una delle equazioni del sistema viene sostituita da una equivalente, anche il sistema risultante sarà equivalente a quello originario.
Il metodo gaussiano è difficile da capire per gli studenti delle scuole medie, ma è uno dei modi più interessanti per sviluppare l'ingegnosità dei bambini che studiano nel programma di studio avanzato nelle lezioni di matematica e fisica.
Per facilitare la registrazione dei calcoli, è consuetudine eseguire le seguenti operazioni:
I coefficienti di equazione ei termini liberi sono scritti sotto forma di una matrice, dove ogni riga della matrice corrisponde a una delle equazioni del sistema. separa il lato sinistro dell'equazione dal lato destro. I numeri romani indicano i numeri delle equazioni nel sistema.
Prima annotano la matrice con cui lavorare, poi tutte le azioni eseguite con una delle righe. La matrice risultante viene scritta dopo il segno "freccia" e continua a eseguire le operazioni algebriche necessarie fino al raggiungimento del risultato.
Di conseguenza, si dovrebbe ottenere una matrice in cui una delle diagonali è 1 e tutti gli altri coefficienti sono uguali a zero, ovvero la matrice è ridotta a un'unica forma. Non dobbiamo dimenticare di fare calcoli con i numeri di entrambi i lati dell'equazione.
Questa notazione è meno macchinosa e permette di non distrarsi elencando numerose incognite.
L'applicazione gratuita di qualsiasi metodo di soluzione richiederà cura e una certa esperienza. Non tutti i metodi sono applicati. Alcuni modi per trovare soluzioni sono più preferibili in una particolare area dell'attività umana, mentre altri esistono ai fini dell'apprendimento.
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
I. Dichiarazione del problema.
II. Compatibilità di sistemi omogenei ed eterogenei.
III. Sistema t equazioni con t sconosciuto. Regola di Cramer.
IV. Metodo matriciale per la risoluzione di sistemi di equazioni.
Metodo di V. Gauss.
I. Dichiarazione del problema.
chiamato il sistema m equazioni lineari con n sconosciuto 
. I coefficienti delle equazioni di questo sistema sono scritti sotto forma di una matrice
chiamato matrice di sistema (1).
I numeri sul lato destro delle equazioni si formano colonna membri gratuiti {B}:
.
Se colonna ( B}={0 ), quindi viene chiamato il sistema di equazioni omogeneo. Altrimenti, quando ( B}≠{0 ) - sistema eterogeneo.
Il sistema di equazioni lineari (1) può essere scritto in forma matriciale
[UN]{X}={B}. (2)
Qui 
- colonna di incognite.
Risolvere il sistema di equazioni (1) significa trovare l'insieme n
numeri 
tale che quando si sostituisce nel sistema (1) invece di sconosciuto 
ogni equazione del sistema diventa un'identità. Numeri 
sono chiamate soluzioni del sistema di equazioni.
,
può avere un numero infinito di soluzioni
o non avere alcuna soluzione
.
Si chiamano sistemi di equazioni che non hanno soluzioni incompatibile. Se un sistema di equazioni ha almeno una soluzione, viene chiamato giunto. Il sistema di equazioni è chiamato certo se ha una soluzione unica, e incerto se ha un numero infinito di soluzioni.
II. Compatibilità di sistemi omogenei ed eterogenei.
La condizione di compatibilità per il sistema di equazioni lineari (1) è formulata in Teorema di Kronecker-Capelli: un sistema di equazioni lineari ha almeno una soluzione se e solo se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa: 
.
La matrice estesa del sistema è la matrice ottenuta dalla matrice del sistema assegnandole a destra una colonna di termini liberi:
.
Se Rg UN
I sistemi omogenei di equazioni lineari secondo il teorema di Kronecker-Capelli sono sempre compatibili. Si consideri il caso di un sistema omogeneo in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite, cioè m=n. Se il determinante della matrice di un tale sistema non è uguale a zero, cioè 
, il sistema omogeneo ha un'unica soluzione, che è banale (zero). I sistemi omogenei hanno un numero infinito di soluzioni se ci sono equazioni linearmente dipendenti tra le equazioni del sistema, cioè 
.
Esempio. Considera un sistema omogeneo di tre equazioni lineari con tre incognite:
ed esaminare la questione del numero delle sue soluzioni. Ciascuna delle equazioni può essere considerata come l'equazione del piano passante per l'origine ( D=0 ). Il sistema di equazioni ha una soluzione unica quando tutti e tre i piani si intersecano in un punto. Inoltre, i loro vettori normali sono non complanari e, quindi, la condizione
.
La soluzione del sistema in questo caso X=0, si=0, z.z=0 .
Se almeno due dei tre piani, ad esempio il primo e il secondo, sono paralleli, cioè , allora il determinante della matrice del sistema è uguale a zero, e il sistema ha un numero infinito di soluzioni. Inoltre, le soluzioni saranno le coordinate X, si, z.z tutti i punti su una linea
Se tutti e tre i piani coincidono, il sistema di equazioni si riduce a un'unica equazione
,
e la soluzione saranno le coordinate di tutti i punti che giacciono su questo piano.
Quando si studiano sistemi disomogenei di equazioni lineari, la questione della compatibilità viene risolta utilizzando il teorema di Kronecker-Capelli. Se il numero di equazioni in un tale sistema è uguale al numero di incognite, allora il sistema ha una soluzione unica se il suo determinante non è uguale a zero. In caso contrario, il sistema è incoerente o ha un numero infinito di soluzioni.
Esempio. Studiamo il sistema disomogeneo di due equazioni a due incognite
.
,
. In questo caso, il rango della matrice del sistema è 1:Rg UN=1
, perché 
,
mentre il rango della matrice aumentata 
è uguale a due, poiché per essa si può scegliere come base minore la minore del secondo ordine contenente la terza colonna.
Nel caso in esame Rg UN
Se le linee coincidono, ad es. , allora il sistema di equazioni ha un numero infinito di soluzioni: le coordinate dei punti sulla retta 
. In questo caso Rg UN=
Rg UN *
=1.
Il sistema ha una soluzione unica quando le linee non sono parallele, cioè 
. La soluzione di questo sistema sono le coordinate del punto di intersezione delle linee 
III. Sistemat equazioni cont sconosciuto. Regola di Cramer.
Consideriamo il caso più semplice, quando il numero di equazioni di sistema è uguale al numero di incognite, cioè m= n. Se il determinante della matrice del sistema è diverso da zero, la soluzione del sistema può essere trovata utilizzando la regola di Cramer:
(3)
Qui 
- determinante della matrice del sistema,
- determinante della matrice ottenuta da [ UN] sostituzione io esima colonna alla colonna dei membri gratuiti:
.
Esempio. Risolvi il sistema di equazioni con il metodo di Cramer.
Soluzione :
1) trovare il determinante del sistema
2) trovare determinanti ausiliari
3) trovare una soluzione al sistema secondo la regola di Cramer:
Il risultato della soluzione può essere verificato sostituendo nel sistema di equazioni
Si ottengono identità corrette.
IV. Metodo matriciale per la risoluzione di sistemi di equazioni.
[UN]{X}={B}
e moltiplicare le parti destra e sinistra della relazione (2) da sinistra per la matrice [ UN -1 ], inversa alla matrice del sistema:
[UN -1 ][UN]{X}=[UN -1 ]{B}. (2)
Per definizione della matrice inversa, il prodotto [ UN -1 ][UN]=[E], e dalle proprietà della matrice identità [ E]{X}={X). Allora dalla relazione (2") si ottiene
{X}=[UN -1 ]{B}. (4)
La relazione (4) è alla base del metodo matriciale per risolvere sistemi di equazioni lineari: è necessario trovare una matrice inversa alla matrice del sistema e moltiplicare per essa il vettore colonna delle parti destre del sistema.
Esempio. Risolviamo il sistema di equazioni considerato nell'esempio precedente con il metodo matriciale.
Matrice di sistema 
il suo det determinante UN==183
.
.Per trovare la matrice [ UN -1 ], trovare la matrice allegata a [ UN]:
o 
La formula per il calcolo della matrice inversa include 
, poi
Ora possiamo trovare una soluzione al sistema
Poi finalmente ci arriviamo 
.
Metodo di V. Gauss.
Con un gran numero di incognite, la soluzione del sistema di equazioni mediante il metodo Cramer o il metodo della matrice è associata al calcolo di determinanti di ordine elevato o all'inversione di grandi matrici. Queste procedure sono molto laboriose anche per i computer moderni. Pertanto, per risolvere sistemi di un gran numero di equazioni, viene utilizzato più spesso il metodo Gauss.
Il metodo di Gauss consiste nell'eliminazione successiva delle incognite mediante trasformazioni elementari della matrice estesa del sistema. Le trasformazioni elementari della matrice includono la permutazione di righe, l'addizione di righe, la moltiplicazione di righe per numeri diversi da zero. Come risultato delle trasformazioni, è possibile ridurre la matrice del sistema a una triangolare superiore, sulla cui diagonale principale sono presenti le unità, e sotto la diagonale principale - zeri. Questa è la mossa diretta del metodo di Gauss. Il corso inverso del metodo consiste nella determinazione diretta delle incognite, a partire dall'ultima.
Illustriamo il metodo di Gauss sull'esempio di risoluzione del sistema di equazioni
Al primo passo del movimento in avanti, è garantito che il coefficiente 
del sistema trasformato è diventato uguale a 1
, e i coefficienti 
e 
girato a zero. Per fare ciò, moltiplica la prima equazione per 1/10
, moltiplicare la seconda equazione per 10
e aggiungi alla prima, moltiplica la terza equazione per -10/2
e aggiungerlo al primo. Dopo queste trasformazioni, otteniamo
Nella seconda fase, assicuriamo che dopo le trasformazioni il coefficiente 
diventato uguale 1
, e il coefficiente 
. Per fare ciò, dividiamo la seconda equazione per 42
, e moltiplicare la terza equazione per -42/27
e aggiungerlo al secondo. Otteniamo un sistema di equazioni
Il terzo passo è ottenere il coefficiente 
. Per fare ciò, dividiamo la terza equazione per (37 - 84/27)
; noi abbiamo
È qui che finisce il corso diretto del metodo Gauss, perché la matrice del sistema si riduce a quella triangolare superiore:
dove X* - una delle soluzioni del sistema disomogeneo (2) (ad esempio (4)), (MI−LA + LA) forma il nucleo (spazio zero) della matrice UN.
Facciamo una scomposizione scheletrica della matrice (MI−LA + LA):
E−A + A=Q S
dove Q n×n−r- matrice dei ranghi (Q)=n−r, S n−r×n matrice di rango (S)=n−r.
Allora la (13) può essere scritta nella seguente forma:
x=x*+Qk, ∀ K ∈ R n-r .
dove k=Sz.
Così, procedura risolutiva generale i sistemi di equazioni lineari che utilizzano una matrice pseudoinversa possono essere rappresentati nella seguente forma:
x=x*+Qk, ∀ K ∈ R n-r .
Il calcolatore online ti consente di trovare la soluzione generale di un sistema di equazioni lineari con spiegazioni dettagliate.
Esempio 1. Trova una soluzione generale e qualche soluzione particolare del sistemaSoluzione farlo con una calcolatrice. Scriviamo le matrici estese e principali: 
La matrice principale A è separata da una linea tratteggiata Dall'alto, scriviamo i sistemi incogniti, tenendo presente la possibile permutazione dei termini nelle equazioni del sistema. Determinando il rango della matrice estesa, troviamo contemporaneamente il rango di quella principale. Nella matrice B, la prima e la seconda colonna sono proporzionali. Delle due colonne proporzionali solo una può cadere nella minore di base, quindi spostiamo, ad esempio, la prima colonna oltre la linea tratteggiata di segno opposto. Per il sistema, ciò significa il trasferimento di termini da x 1 al lato destro delle equazioni. 
Portiamo la matrice in forma triangolare. Lavoreremo solo con le righe, poiché moltiplicare una riga della matrice per un numero diverso da zero e aggiungere un'altra riga per il sistema significa moltiplicare l'equazione per lo stesso numero e aggiungerla a un'altra equazione, che non cambia la soluzione del sistema . Lavorando con la prima riga: moltiplica la prima riga della matrice per (-3) e aggiungi a turno la seconda e la terza riga. Quindi moltiplichiamo la prima riga per (-2) e la aggiungiamo alla quarta. 
La seconda e la terza riga sono proporzionali, quindi una di esse, ad esempio la seconda, può essere barrata. Ciò equivale a cancellare la seconda equazione del sistema, poiché è una conseguenza della terza. 
Ora lavoriamo con la seconda riga: moltiplicala per (-1) e aggiungila alla terza. 
Il minore tratteggiato ha l'ordine più alto (di tutti i minori possibili) ed è diverso da zero (è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale), e questo minore appartiene sia alla matrice principale che a quella estesa, quindi rangA = rangB = 3 .
Minore 
è basilare. Include i coefficienti per le incognite x 2, x 3, x 4, il che significa che le incognite x 2, x 3, x 4 sono dipendenti e x 1, x 5 sono libere.
Trasformiamo la matrice, lasciando a sinistra solo il minore di base (che corrisponde al punto 4 dell'algoritmo risolutivo di cui sopra). 
Il sistema con coefficienti di questa matrice è equivalente al sistema originale e ha la forma
Con il metodo di eliminazione delle incognite troviamo: 
, ,
Abbiamo relazioni che esprimono variabili dipendenti x 2, x 3, x 4 attraverso x 1 e x 5 liberi, cioè abbiamo trovato una soluzione generale: 
Dando valori arbitrari alle incognite libere, si ottiene un numero qualsiasi di soluzioni particolari. Troviamo due soluzioni particolari:
1) sia x 1 = x 5 = 0, allora x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) metti x 1 = 1, x 5 = -1, quindi x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Pertanto, abbiamo trovato due soluzioni: (0.1, -3,3,0) - una soluzione, (1.4, -7.7, -1) - un'altra soluzione.
Esempio 2. Indagare sulla compatibilità, trovare una soluzione generale e una particolare del sistema 
Soluzione. Riorganizziamo la prima e la seconda equazione per avere un'unità nella prima equazione e scriviamo la matrice B. 
Otteniamo zeri nella quarta colonna, operando sulla prima riga: 
Ora ottieni gli zeri nella terza colonna usando la seconda riga: 
La terza e la quarta riga sono proporzionali, quindi una di esse può essere cancellata senza modificare il rango:
Moltiplica la terza riga per (-2) e aggiungi alla quarta: 
Vediamo che i ranghi delle matrici principale ed estesa sono 4, e il rango coincide con il numero di incognite, quindi il sistema ha un'unica soluzione:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.
Esempio 3. Esaminare il sistema per verificarne la compatibilità e trovare una soluzione, se esiste. 
Soluzione. Componiamo la matrice estesa del sistema. 
Riorganizza le prime due equazioni in modo che ci sia un 1 nell'angolo in alto a sinistra:
Moltiplicando la prima riga per (-1), la aggiungiamo alla terza: 
Moltiplica la seconda riga per (-2) e aggiungi alla terza: 
Il sistema è incoerente, poiché la matrice principale ha ricevuto una riga composta da zeri, che viene barrata quando viene trovato il rango, e l'ultima riga rimane nella matrice estesa, ovvero r B > r A .
Esercizio. Indaga sulla compatibilità di questo sistema di equazioni e risolvilo mediante il calcolo matriciale.
Soluzione
Esempio. Dimostrare la compatibilità di un sistema di equazioni lineari e risolverlo in due modi: 1) con il metodo di Gauss; 2) Metodo di Cramer. (inserisci la risposta nella forma: x1,x2,x3)
Soluzione :doc :doc :xls
Risposta: 2,-1,3.
Esempio. È dato un sistema di equazioni lineari. Dimostra la sua compatibilità. Trova una soluzione generale del sistema e una soluzione particolare.
Soluzione
Risposta: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3 x 5
Esercizio. Trova soluzioni generali e particolari per ogni sistema.
Soluzione. Studiamo questo sistema usando il teorema di Kronecker-Capelli.
Scriviamo le matrici estese e principali:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Esercizio. Risolvi il sistema di equazioni.
Risposta:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Dando valori arbitrari alle incognite libere, si ottiene un numero qualsiasi di soluzioni particolari. Il sistema è incerto
