Ogni studente sa che il quadrato dell'ipotenusa è sempre uguale alla somma delle gambe, ognuna delle quali è al quadrato. Questa affermazione è chiamata teorema di Pitagora. È uno dei teoremi più famosi della trigonometria e della matematica in generale. Consideriamolo più in dettaglio.
Prima di procedere alla considerazione del teorema di Pitagora, in cui il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei cateti che sono al quadrato, dovremmo considerare il concetto e le proprietà di triangolo rettangolo, per cui vale il teorema.
Un triangolo è una figura piatta con tre angoli e tre lati. Un triangolo rettangolo, come suggerisce il nome, ha un angolo retto, cioè questo angolo è 90°.
Da proprietà comuni per tutti i triangoli è noto che la somma di tutti e tre gli angoli di questa figura è 180 o , il che significa che per un triangolo rettangolo la somma di due angoli non retti è 180 o - 90 o = 90 o . Ultimo fatto significa che qualsiasi angolo in un triangolo rettangolo che non sia un angolo retto sarà sempre inferiore a 90°.
Il lato che si trova contro angolo retto, è chiamata ipotenusa. Gli altri due lati sono le gambe del triangolo, possono essere uguali tra loro o possono differire. È noto dalla trigonometria che maggiore è l'angolo rispetto al quale giace il lato nel triangolo, il più lunghezza questa parte. Ciò significa che in un triangolo rettangolo, l'ipotenusa (si trova di fronte all'angolo di 90°) sarà sempre maggiore di qualsiasi gamba (si trova di fronte agli angoli< 90 o).
Questo teorema afferma che il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma delle gambe, ciascuna delle quali è stata precedentemente al quadrato. Per scrivere questa formulazione matematicamente, si consideri un triangolo rettangolo in cui i lati a, b e c sono rispettivamente le due gambe e l'ipotenusa. In questo caso, il teorema, che è formulato come il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe, può essere rappresentato dalla seguente formula: c 2 \u003d a 2 + b 2. Da qui è possibile ottenere altre formule importanti per la pratica: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) e c \u003d √ (a 2 + b 2).
Si noti che nel caso di un triangolo equilatero rettangolo, cioè a \u003d b, la dicitura: il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma delle gambe, ciascuna delle quali è al quadrato, è matematicamente scritta come segue: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2, da cui segue l'uguaglianza: c = a√2.
Il teorema di Pitagora, che afferma che la somma delle gambe, ciascuna delle quali è al quadrato, è uguale al quadrato dell'ipotenusa, era noto molto prima che il famoso filosofo greco vi richiamasse l'attenzione. Molti papiri antico Egitto, così come le tavolette d'argilla dei babilonesi confermano che questi popoli usavano la nota proprietà dei lati di un triangolo rettangolo. Ad esempio, una delle prime piramidi egizie, la piramide di Chefren, la cui costruzione risale al 26° secolo aC (2000 anni prima della vita di Pitagora), fu costruita sulla base della conoscenza delle proporzioni in un triangolo rettangolo 3x4x5.
Perché, allora, il teorema ora porta il nome di un greco? La risposta è semplice: Pitagora è il primo a dimostrare matematicamente questo teorema. Le fonti scritte babilonesi ed egiziane sopravvissute parlano solo del suo uso, ma non forniscono alcuna prova matematica.
Si ritiene che Pitagora abbia dimostrato il teorema in esame utilizzando le proprietà di triangoli simili, che ottenne tracciando un'altezza in un triangolo rettangolo da un angolo di 90° rispetto all'ipotenusa.
Consideriamo un semplice problema: è necessario determinare la lunghezza di una scala inclinata L, se è noto che ha un'altezza H = 3 metri, e la distanza dal muro contro cui la scala poggia al suo piede è P = 2,5 metri.
A questo caso H e P sono le gambe e L è l'ipotenusa. Poiché la lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe, otteniamo: L 2 \u003d H 2 + P 2, da cui L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2.5 2) \u003d 3.905 metri o 3 m e 90, 5 cm
Il potenziale per la creatività è solitamente attribuito alle discipline umanistiche, lasciando la naturale analisi scientifica, l'approccio pratico e il linguaggio asciutto di formule e numeri. La matematica non può essere classificata come materia umanistica. Ma senza la creatività nella "regina di tutte le scienze" non andrai lontano: le persone lo sanno da molto tempo. Dai tempi di Pitagora, per esempio.
I libri di testo scolastici, purtroppo, di solito non spiegano che in matematica è importante non solo stipare teoremi, assiomi e formule. È importante comprenderne e sentirne i principi fondamentali. E allo stesso tempo, cerca di liberare la tua mente dai cliché e dalle verità elementari: solo in tali condizioni nascono tutte le grandi scoperte.
Tali scoperte includono quella che oggi conosciamo come il teorema di Pitagora. Con il suo aiuto, cercheremo di dimostrare che la matematica non solo può, ma dovrebbe essere divertente. E che questa avventura è adatta non solo ai nerd con gli occhiali spessi, ma a tutti coloro che sono forti di mente e forti di spirito.
A rigor di termini, sebbene il teorema sia chiamato "teorema di Pitagora", lo stesso Pitagora non lo scoprì. Il triangolo rettangolo e le sue proprietà speciali sono state studiate molto prima di esso. Ci sono due punti di vista polari su questo tema. Secondo una versione, Pitagora fu il primo a trovare una dimostrazione completa del teorema. Secondo un altro, la prova non appartiene alla paternità di Pitagora.
Oggi non puoi più controllare chi ha ragione e chi ha torto. Si sa solo che la prova di Pitagora, se mai è esistita, non è sopravvissuta. Tuttavia, ci sono suggerimenti che la famosa dimostrazione degli Elementi di Euclide possa appartenere a Pitagora, ed Euclide l'ha solo registrata.
È anche noto oggi che i problemi relativi a un triangolo rettangolo si trovano in fonti egiziane dal tempo del faraone Amenemhet I, su tavolette di argilla babilonesi del regno del re Hammurabi, nell'antico trattato indiano Sulva Sutra e nell'antica opera cinese Zhou -bi suan jin.
Come puoi vedere, il teorema di Pitagora ha occupato le menti dei matematici fin dall'antichità. Circa 367 diversi elementi di prova che esistono oggi servono come conferma. Nessun altro teorema può competere con esso in questo senso. Notevoli autori di prove includono Leonardo da Vinci e il 20° Presidente degli Stati Uniti, James Garfield. Tutto ciò parla dell'estrema importanza di questo teorema per la matematica: la maggior parte dei teoremi della geometria sono derivati da essa o, in un modo o nell'altro, ad essa collegati.
I libri di testo scolastici forniscono principalmente dimostrazioni algebriche. Ma l'essenza del teorema è nella geometria, quindi consideriamo prima di tutto quelle dimostrazioni del famoso teorema che si basano su questa scienza.
Per la dimostrazione più semplice del teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo, devi porre le condizioni ideali: lascia che il triangolo sia non solo rettangolo, ma anche isoscele. C'è motivo di credere che fosse un tale triangolo originariamente considerato dagli antichi matematici.
Dichiarazione "un quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sulle sue gambe" può essere illustrato con il seguente disegno:
Osserva il triangolo rettangolo isoscele ABC: sull'ipotenusa AC puoi costruire un quadrato composto da quattro triangoli uguali all'originale ABC. E sulle gambe AB e BC costruite su un quadrato, ciascuna delle quali contiene due triangoli simili.
A proposito, questo disegno ha costituito la base di numerosi aneddoti e cartoni dedicati al teorema di Pitagora. Forse il più famoso lo è "I pantaloni pitagorici sono uguali in tutte le direzioni":
Questo metodo combina algebra e geometria e può essere visto come una variante dell'antica dimostrazione indiana del matematico Bhaskari.
Costruisci un triangolo rettangolo con i lati a, b e c(Fig. 1). Quindi costruisci due quadrati con i lati uguali alla somma delle lunghezze delle due gambe - (a+b). In ciascuno dei quadrati, fai delle costruzioni, come nelle figure 2 e 3.
Nel primo quadrato, costruisci quattro degli stessi triangoli della Figura 1. Di conseguenza, si ottengono due quadrati: uno di lato a, il secondo di lato b.
Nel secondo quadrato, quattro triangoli simili costruiti formano un quadrato con il lato uguale all'ipotenusa c.
La somma delle aree dei quadrati costruiti in Fig. 2 è uguale all'area del quadrato che abbiamo costruito con il lato c in Fig. 3. Questo può essere facilmente verificato calcolando le aree dei quadrati di Fig. 2 secondo la formula. E l'area del quadrato inscritto nella Figura 3. sottraendo le aree di quattro triangoli rettangoli uguali inscritti nel quadrato dall'area di un grande quadrato con un lato (a+b).
Mettendo giù tutto questo, abbiamo: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Espandi le parentesi, esegui tutti i calcoli algebrici necessari e ottienilo a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Allo stesso tempo, l'area dell'inscritto in Fig.3. il quadrato può anche essere calcolato usando la formula tradizionale S=c2. Quelli. a2+b2=c2 Hai dimostrato il teorema di Pitagora.
La stessa antica dimostrazione indiana è descritta nel XII secolo nel trattato "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani"), e come argomento principale l'autore utilizza un appello rivolto ai talenti matematici e alle capacità di osservazione degli studenti e seguaci: “Guarda!”.
Ma analizzeremo questa dimostrazione in modo più dettagliato:
All'interno del quadrato, costruisci quattro triangoli rettangoli come indicato nel disegno. Viene indicato il lato del grande quadrato, che è anche l'ipotenusa Insieme a. Chiamiamo le gambe del triangolo un e b. Secondo il disegno, il lato del quadrato interno è (a-b).
Usa la formula dell'area quadrata S=c2 per calcolare l'area del quadrato esterno. E allo stesso tempo calcola lo stesso valore sommando l'area del quadrato interno e l'area di tutti e quattro i triangoli rettangoli: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Puoi utilizzare entrambe le opzioni per calcolare l'area di un quadrato per assicurarti che diano lo stesso risultato. E questo ti dà il diritto di scriverlo c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Come risultato della soluzione, otterrai la formula del teorema di Pitagora c2=a2+b2. Il teorema è stato dimostrato.
Questa curiosa prova dell'antica Cina è stata chiamata la "sedia della sposa" - a causa della figura simile a una sedia che risulta da tutte le costruzioni:
Utilizza il disegno che abbiamo già visto in Figura 3 nella seconda dimostrazione. E il quadrato interno di lato c è costruito allo stesso modo dell'antica dimostrazione indiana data sopra.
Se tagli mentalmente due triangoli rettangoli verdi dal disegno di Fig. 1, li sposti ai lati opposti del quadrato di lato c e attacchi le ipotenuse alle ipotenuse dei triangoli lilla, otterrai una figura chiamata “sedia della sposa ” (Fig. 2). Per chiarezza, puoi fare lo stesso con quadrati e triangoli di carta. Vedrai che la "sedia della sposa" è formata da due quadrati: quelli piccoli con un fianco b e grande con un lato un.
Queste costruzioni hanno permesso agli antichi matematici cinesi ea noi che li abbiamo seguiti di giungere alla conclusione che c2=a2+b2.
Questo è un altro modo per trovare una soluzione al teorema di Pitagora basato sulla geometria. Si chiama Metodo Garfield.
Costruisci un triangolo rettangolo ABC. Dobbiamo dimostrarlo BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Per fare questo, continua la gamba corrente alternata e costruisci un segmento CD, che il uguale alla gamba AB. Perpendicolare inferiore ANNO DOMINI segmento ED. Segmenti ED e corrente alternata sono uguali. unisci i punti e e A, così come e e DA e ottieni un disegno come l'immagine qui sotto:
Per provare la torre, ricorriamo nuovamente al metodo che abbiamo già testato: troviamo l'area della figura risultante in due modi e uguagliamo le espressioni tra loro.
Trova l'area di un poligono UN LETTO può essere fatto sommando le aree dei tre triangoli che lo formano. E uno di loro ERU, non è solo rettangolare, ma anche isoscele. Non dimentichiamolo AB=CD, AC=DE e BC=CE- questo ci permetterà di semplificare la registrazione e di non sovraccaricarla. Così, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
Allo stesso tempo, è ovvio che UN LETTOè un trapezio. Pertanto, calcoliamo la sua area usando la formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Per i nostri calcoli, è più conveniente e più chiaro rappresentare il segmento ANNO DOMINI come somma dei segmenti corrente alternata e CD.
Scriviamo entrambi i modi per calcolare l'area di una figura mettendo un segno di uguale tra di loro: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Utilizziamo l'uguaglianza dei segmenti già a noi noti e descritti sopra per semplificare lato destro record: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. E ora apriamo le parentesi e trasformiamo l'uguaglianza: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Dopo aver terminato tutte le trasformazioni, otteniamo esattamente ciò di cui abbiamo bisogno: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Abbiamo dimostrato il teorema.
Naturalmente, questo elenco di prove è tutt'altro che completo. Il teorema di Pitagora può anche essere dimostrato usando vettori, numeri complessi, equazioni differenziali, stereometria, ecc. E anche i fisici: se, ad esempio, si versa del liquido in volumi quadrati e triangolari simili a quelli mostrati nei disegni. Versando del liquido, è possibile dimostrare l'uguaglianza delle aree e il teorema stesso di conseguenza.
Questo problema è poco o non studiato nel curriculum scolastico. Nel frattempo, è molto interessante e ha Grande importanza in geometria. Le triple pitagoriche sono usate per risolvere molti problemi matematici. L'idea di loro può esserti utile in un'ulteriore istruzione.
Allora cosa sono le triplette pitagoriche? È così che chiamano numeri interi, raccolti in tre, la somma dei quadrati di due dei quali è uguale al terzo numero del quadrato.
Le triple pitagoriche possono essere:
Già prima della nostra era, gli antichi egizi erano affascinati dalla mania per i numeri delle terzine pitagoriche: nei compiti consideravano un triangolo rettangolo con i lati di 3,4 e 5 unità. A proposito, qualsiasi triangolo i cui lati sono uguali ai numeri della terna pitagorica è di default rettangolare.
Esempi di triple pitagoriche: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) ecc.
Il teorema di Pitagora trova applicazione non solo in matematica, ma anche in architettura e costruzione, astronomia e persino letteratura.
Primo, sulla costruzione: il teorema di Pitagora trova ampia applicazione in esso nei problemi diversi livelli le difficoltà. Ad esempio, guarda la finestra romanica:
Indichiamo la larghezza della finestra come b, allora il raggio del semicerchio grande può essere indicato come R ed esprimere attraverso b: R=b/2. Il raggio di semicerchi più piccoli può anche essere espresso in termini di b: r=b/4. In questo problema, ci interessa il raggio del cerchio interno della finestra (chiamiamolo p).
Il teorema di Pitagora torna utile per il calcolo R. Per fare ciò, utilizziamo un triangolo rettangolo, che è indicato da una linea tratteggiata nella figura. L'ipotenusa di un triangolo è formata da due raggi: b/4+p. Una gamba è un raggio b/4, altro b/2-p. Usando il teorema di Pitagora scriviamo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Successivamente, apriamo le parentesi e otteniamo b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Trasformiamo questa espressione in bp/2=b 2 /4-bp. E poi dividiamo tutti i termini in b, ne diamo di simili da ottenere 3/2*p=b/4. E alla fine lo troviamo p=b/6- che è ciò di cui avevamo bisogno.
Usando il teorema, puoi calcolare la lunghezza delle travi per un tetto a due falde. Determina l'altezza della torre comunicazioni mobili necessario affinché il segnale raggiunga un certo località. E anche installare stabilmente albero di Natale nella piazza della città. Come puoi vedere, questo teorema non vive solo sulle pagine dei libri di testo, ma è spesso utile nella vita reale.
Per quanto riguarda la letteratura, il teorema di Pitagora ha ispirato gli scrittori fin dall'antichità e continua a farlo ancora oggi. Ad esempio, lo scrittore tedesco del diciannovesimo secolo Adelbert von Chamisso si ispirò a lei per scrivere un sonetto:
La luce della verità non si dissiperà presto,
Ma, avendo brillato, è improbabile che si dissipi
E, come migliaia di anni fa,
Non causerà dubbi e controversie.
Il più saggio quando tocca l'occhio
Luce di verità, ringrazia gli dèi;
E cento tori, pugnalati, mentono -
Il regalo di ritorno del fortunato Pitagora.
Da allora, i tori hanno ruggito disperatamente:
Ha eccitato per sempre la tribù dei tori
evento qui menzionato.
Pensano che sia giunto il momento
E ancora saranno sacrificati
Qualche grande teorema.
(tradotto da Viktor Toporov)
E nel ventesimo secolo, lo scrittore sovietico Yevgeny Veltistov nel suo libro "Le avventure dell'elettronica" ha dedicato un intero capitolo alle dimostrazioni del teorema di Pitagora. E mezzo capitolo della storia sul mondo bidimensionale che potrebbe esistere se il teorema di Pitagora diventasse la legge fondamentale e persino la religione per un mondo unico. Sarebbe molto più facile viverci, ma anche molto più noioso: ad esempio, lì nessuno comprende il significato delle parole "tondo" e "soffice".
E nel libro "Le avventure dell'elettronica", l'autore, per bocca dell'insegnante di matematica Taratara, afferma: "La cosa principale in matematica è il movimento del pensiero, le nuove idee". È questo volo creativo del pensiero che genera il teorema di Pitagora: non per niente ha così tante prove diverse. Aiuta ad andare oltre il solito ea guardare le cose familiari in un modo nuovo.
Questo articolo è stato creato in modo che tu possa guardare oltre il curriculum scolastico in matematica e imparare non solo quelle dimostrazioni del teorema di Pitagora che sono fornite nei libri di testo "Geometria 7-9" (LS Atanasyan, V.N. Rudenko) e "Geometria 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), ma anche altri modi curiosi per dimostrare il famoso teorema. E guarda anche esempi di come il teorema di Pitagora può essere applicato nella vita di tutti i giorni.
In primo luogo, queste informazioni ti permetteranno di ottenere punteggi più alti nelle lezioni di matematica: le informazioni sull'argomento da fonti aggiuntive sono sempre molto apprezzate.
In secondo luogo, volevamo aiutarti a farti un'idea di come funziona la matematica scienza interessante. Assicurati esempi concreti che c'è sempre spazio per la creatività. Ci auguriamo che il teorema di Pitagora e questo articolo ti ispirino a fare le tue ricerche e scoperte entusiasmanti in matematica e altre scienze.
Dicci nei commenti se hai trovato interessanti le prove presentate nell'articolo. Hai trovato queste informazioni utili nei tuoi studi? Facci sapere cosa ne pensi del teorema di Pitagora e di questo articolo: saremo felici di discuterne con te.
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(secondo Papyrus 6619 del Museo di Berlino). Secondo Cantor, gli harpedonapts, o "tendicinghia", costruivano angoli retti usando triangoli rettangoli con i lati 3, 4 e 5.
È molto facile riprodurre il loro metodo di costruzione. Prendiamo una corda lunga 12 m e leghiamo ad essa lungo una striscia colorata a una distanza di 3 m da un'estremità e 4 metri dall'altra. Un angolo retto sarà racchiuso tra i lati lunghi 3 e 4 metri. Si potrebbe obiettare agli Harpedonapt che il loro metodo di costruzione diventa ridondante se, ad esempio, viene utilizzata la squadra di legno usata da tutti i falegnami. In effetti, sono noti disegni egizi in cui si trova un tale strumento, ad esempio disegni raffiguranti un'officina di falegnameria.
Si sa qualcosa di più sul teorema di Pitagora tra i babilonesi. In un testo risalente al tempo di Hammurabi, cioè al 2000 a.C. e. , viene fornito un calcolo approssimativo dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Da ciò possiamo concludere che in Mesopotamia erano in grado di eseguire calcoli con triangoli rettangoli, almeno in alcuni casi. Basandosi, da un lato, sull'attuale livello di conoscenza della matematica egiziana e babilonese e, dall'altro, su uno studio critico delle fonti greche, van der Waerden (un matematico olandese) ha concluso che c'era un'alta probabilità che il Il teorema del quadrato dell'ipotenusa era noto in India già intorno al XVIII secolo a.C. e.
Intorno al 400 a.C. e., secondo Proclo, Platone ha fornito un metodo per trovare le triple pitagoriche, combinando algebra e geometria. Intorno al 300 a.C. e. Elementi di Euclide contiene la più antica dimostrazione assiomatica del teorema di Pitagora.
Formulazione geometrica:
Il teorema era originariamente formulato come segue:
Formulazione algebrica:
Cioè, denotando la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo attraverso e le lunghezze delle gambe attraverso e:
Entrambe le formulazioni del teorema sono equivalenti, ma la seconda formulazione è più elementare, non richiede il concetto di area. Cioè, la seconda affermazione può essere verificata senza sapere nulla dell'area e misurando solo le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo.
Teorema di Pitagora inverso:
Al momento, nella letteratura scientifica sono state registrate 367 dimostrazioni di questo teorema. Probabilmente, il teorema di Pitagora è l'unico teorema con un numero così impressionante di dimostrazioni. Una tale varietà può essere spiegata solo dal significato fondamentale del teorema per la geometria.
Naturalmente, concettualmente, tutti possono essere suddivisi in un piccolo numero di classi. I più famosi sono: dimostrazioni di area, dimostrazioni assiomatiche ed esotiche (ad esempio, using equazioni differenziali).
La seguente dimostrazione della formulazione algebrica è la più semplice delle dimostrazioni costruite direttamente dagli assiomi. In particolare, non utilizza il concetto di area della figura.
Permettere ABC c'è un triangolo rettangolo C. Disegniamo un'altezza da C e denota la sua base con H. Triangolo ACH simile a un triangolo ABC ai due angoli. Allo stesso modo, il triangolo CBH simile ABC. Introduzione alla notazione
noi abbiamo
Che cosa è equivalente
Aggiungendo, otteniamo
, che doveva essere dimostratoLe seguenti dimostrazioni, nonostante la loro apparente semplicità, non sono affatto così semplici. Tutti usano le proprietà dell'area, la cui dimostrazione è più complicata della dimostrazione del teorema di Pitagora stesso.
QED
L'idea della dimostrazione di Euclide è la seguente: proviamo a dimostrare che metà dell'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è uguale alla somma delle mezze aree dei quadrati costruite sulle gambe, e quindi le aree di il quadrato grande e due piccoli sono uguali.
Considera il disegno a sinistra. Abbiamo costruito quadrati ai lati di un triangolo rettangolo su di esso e disegnato un raggio s dal vertice dell'angolo retto C perpendicolare all'ipotenusa AB, taglia il quadrato ABIK, costruito sull'ipotenusa, in due rettangoli - BHJI e HAKJ , rispettivamente. Si scopre che le aree di questi rettangoli sono esattamente uguali alle aree dei quadrati costruiti sulle gambe corrispondenti.
Proviamo a dimostrare che l'area del quadrato DECA è uguale all'area del rettangolo AHJK Per fare ciò, utilizziamo un'osservazione ausiliaria: l'area di un triangolo con la stessa altezza e base del dato rettangolo è uguale alla metà dell'area del rettangolo dato. Questa è una conseguenza della definizione dell'area di un triangolo come metà del prodotto della base e dell'altezza. Da questa osservazione ne consegue che l'area del triangolo ACK è uguale all'area del triangolo AHK (non mostrato), che, a sua volta, è uguale alla metà dell'area del rettangolo AHJK.
Dimostriamo ora che l'area del triangolo ACK è pari anche alla metà dell'area del quadrato DECA. L'unica cosa che deve essere fatta per questo è dimostrare l'uguaglianza dei triangoli ACK e BDA (poiché l'area del triangolo BDA è uguale alla metà dell'area del quadrato dalla proprietà sopra). Questa uguaglianza è ovvia: i triangoli sono uguali in due lati e l'angolo tra di loro. Vale a dire - AB=AK, AD=AC - l'uguaglianza degli angoli CAK e BAD è facile da provare con il metodo del moto: ruotiamo il triangolo CAK di 90° in senso antiorario, quindi è ovvio che i lati corrispondenti dei due triangoli considerati coincideranno (per il fatto che l'angolo al vertice del quadrato è di 90°).
L'argomento sull'uguaglianza delle aree del quadrato BCFG e del rettangolo BHJI è del tutto analogo.
Abbiamo quindi dimostrato che l'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è la somma delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe. L'idea alla base di questa dimostrazione è ulteriormente illustrata con l'animazione sopra.
Gli elementi principali della dimostrazione sono la simmetria e il movimento.
Considera il disegno, come si può vedere dalla simmetria, il segmento taglia il quadrato in due parti identiche (poiché i triangoli e sono uguali nella costruzione).
Usando una rotazione in senso antiorario di 90 gradi attorno al punto, vediamo l'uguaglianza delle figure ombreggiate e .
Ora è chiaro che l'area della figura che abbiamo ombreggiato è uguale alla somma della metà delle aree dei quadratini (costruiti sulle gambe) e dell'area del triangolo originario. È invece uguale alla metà dell'area del quadrato grande (costruito sull'ipotenusa) più l'area del triangolo originario. Quindi, la metà della somma delle aree dei quadratini è uguale alla metà dell'area del quadrato grande, e quindi la somma delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa.
La seguente dimostrazione mediante equazioni differenziali è spesso attribuita al famoso matematico inglese Hardy, vissuto nella prima metà del XX secolo.
Considerando il disegno mostrato in figura e osservando il cambio di lato un, possiamo scrivere la seguente relazione per incrementi laterali infinitesimi Insieme a e un(usando triangoli simili):
Usando il metodo di separazione delle variabili, troviamo
Un'espressione più generale per modificare l'ipotenusa nel caso di incrementi di entrambe le gambe
Integrando questa equazione e utilizzando le condizioni iniziali, otteniamo
Si arriva così alla risposta desiderata
Come è facile vedere, la dipendenza quadratica nella formula finale appare per la proporzionalità lineare tra i lati del triangolo e gli incrementi, mentre la somma è dovuta ai contributi indipendenti dell'incremento di gambe diverse.
Una dimostrazione più semplice può essere ottenuta se assumiamo che una delle gambe non subisce un incremento (in questo caso, la gamba). Quindi per la costante di integrazione otteniamo
Generalizzazione per triangoli simili, area delle figure verdi A + B = area del blu C
Teorema di Pitagora che utilizza triangoli rettangoli simili
Una generalizzazione del teorema di Pitagora è stata fatta da Euclide nel suo lavoro Inizi, espandendo le aree dei quadrati sui lati alle aree di forme geometriche simili:
Se costruiamo figure geometriche simili (vedi geometria euclidea) ai lati di un triangolo rettangolo, la somma delle due figure più piccole sarà uguale all'area della figura più grande.
L'idea principale di questa generalizzazione è che l'area di una tale figura geometrica è proporzionale al quadrato di una qualsiasi delle sue dimensione lineare ed in particolare il quadrato della lunghezza di ogni lato. Pertanto, per figure simili con aree UN, B e C costruito sui lati con lunghezza un, b e c, noi abbiamo:
Ma, secondo il teorema di Pitagora, un 2 + b 2 = c 2, quindi UN + B = C.
Viceversa, se possiamo dimostrarlo UN + B = C per tre figure geometriche simili senza utilizzare il teorema di Pitagora, allora possiamo dimostrare il teorema stesso, spostandoci su direzione inversa. Ad esempio, il triangolo centrale iniziale può essere riutilizzato come triangolo C sull'ipotenusa e due triangoli rettangoli simili ( UN e B) costruito sugli altri due lati, che si formano per effetto della divisione del triangolo centrale per la sua altezza. La somma delle due aree minori dei triangoli è poi ovviamente uguale all'area del terzo, quindi UN + B = C e, seguendo le precedenti dimostrazioni in ordine inverso, otteniamo il teorema di Pitagora a 2 + b 2 = c 2 .
Il teorema di Pitagora è caso speciale teorema del coseno più generale, che mette in relazione le lunghezze dei lati in un triangolo arbitrario:
dove θ è l'angolo tra i lati un e b.
Se θ è 90 gradi allora cos θ = 0 e la formula è semplificata al solito teorema di Pitagora.
A qualsiasi angolo scelto di un triangolo arbitrario con i lati a, b, c inscriviamo un triangolo isoscele in modo tale che angoli uguali alla sua base θ siano uguali all'angolo scelto. Assumiamo che l'angolo scelto θ si trovi di fronte al lato indicato c. Di conseguenza, abbiamo ottenuto un triangolo ABD con angolo θ, che si trova di fronte al lato un e feste r. Il secondo triangolo è formato dall'angolo θ, che è opposto al lato b e feste Insieme a lungo S, come mostrato nell'immagine. Thabit Ibn Qurra ha affermato che i lati di questi tre triangoli sono correlati come segue:
Quando l'angolo θ si avvicina a π/2, la base del triangolo isoscele diminuisce ei due lati r e s si sovrappongono sempre meno. Quando θ = π/2, ADB diventa un triangolo rettangolo, r + S = c e otteniamo il teorema di Pitagora iniziale.
Diamo un'occhiata a uno degli argomenti. Il triangolo ABC ha gli stessi angoli del triangolo ABD, ma in ordine inverso. (I due triangoli hanno un angolo comune al vertice B, entrambi hanno angolo θ e hanno anche lo stesso terzo angolo, per la somma degli angoli del triangolo) Di conseguenza, ABC è simile alla riflessione ABD del triangolo DBA, come mostrato nella figura in basso. Scriviamo la relazione tra lati opposti e adiacente all'angolo θ,
Così è il riflesso di un altro triangolo,
Moltiplica le frazioni e aggiungi questi due rapporti:
QED
Generalizzazione per triangoli arbitrari,
area di verde trama = area blu
Prova della tesi che nella figura sopra
Facciamo un'ulteriore generalizzazione per i triangoli non rettangolari, usando parallelogrammi su tre lati anziché quadrati. (i quadrati sono un caso speciale.) La figura in alto mostra che per un triangolo ad angolo acuto, l'area del parallelogramma sul lato lungo è uguale alla somma dei parallelogrammi sugli altri due lati, a condizione che il parallelogramma su il lato lungo è costruito come mostrato in figura (le dimensioni contrassegnate dalle frecce sono le stesse e determinano i lati del parallelogramma inferiore). Questa sostituzione di quadrati con parallelogrammi ha una chiara somiglianza con il teorema di Pitagora iniziale e si ritiene che sia stata formulata da Pappo di Alessandria nel 4 d.C. e.
La figura in basso mostra l'andamento della dimostrazione. Diamo un'occhiata al lato sinistro del triangolo. Il parallelogramma verde sinistro ha la stessa area del lato sinistro del parallelogramma blu perché hanno la stessa base b e altezza h. Inoltre, il riquadro verde di sinistra ha la stessa area del riquadro verde di sinistra nell'immagine in alto perché hanno una base comune (il riquadro in alto lato sinistro triangolo) e l'altezza totale perpendicolare a quel lato del triangolo. Discutendo in modo simile per il lato destro del triangolo, dimostriamo che il parallelogramma inferiore ha la stessa area dei due parallelogrammi verdi.
Il teorema di Pitagora viene utilizzato per trovare la distanza tra due punti in un sistema di coordinate cartesiane, e questo teorema vale per tutte le coordinate vere: distanza S tra due punti ( a, b) e ( CD) è uguale a
Non ci sono problemi con la formula se i numeri complessi vengono trattati come vettori con componenti reali X + io y = (X, y). . Ad esempio, la distanza S tra 0 + 1 io e 1 + 0 io calcola come modulo del vettore (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), o
Tuttavia, per le operazioni con vettori con coordinate complesse, è necessario apportare un certo miglioramento alla formula pitagorica. Distanza tra punti con numeri complessi (un, b) e ( c, d); un, b, c, e d tutto complesso, formuliamo utilizzando valori assoluti. Distanza S in base alla differenza di vettore (un − c, b − d) nella forma seguente: facciamo la differenza un − c = p+ io q, dove pè la vera parte della differenza, qè la parte immaginaria, e i = √(−1). Allo stesso modo, lascia b − d = r+ io S. Quindi:
dove è il complesso coniugato di . Ad esempio, la distanza tra i punti (un, b) = (0, 1) e (c, d) = (io, 0) , calcola la differenza (un − c, b − d) = (−io, 1) e il risultato sarebbe 0 se non fossero usati coniugati complessi. Pertanto, utilizzando la formula migliorata, otteniamo
Il modulo è così definito:
Una generalizzazione significativa del teorema di Pitagora per lo spazio tridimensionale è il teorema di de Gua, dal nome di J.-P. de Gua: se un tetraedro ha un angolo retto (come in un cubo), allora il quadrato dell'area della faccia opposta all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati delle aree delle altre tre facce. Questa conclusione può essere riassunta come " n teorema di Pitagora -dimensionale":
Il teorema di Pitagora spazio tridimensionale collega la diagonale AD con tre lati.
Un'altra generalizzazione: il teorema di Pitagora può essere applicato alla stereometria nella forma seguente. Ritenere cuboide, come mostrato nell'immagine. Trova la lunghezza della diagonale BD usando il teorema di Pitagora:
dove tre lati formano un triangolo rettangolo. Usa la diagonale orizzontale BD e il bordo verticale AB per trovare la lunghezza della diagonale AD, sempre usando il teorema di Pitagora:
oppure, se tutto è scritto in un'unica equazione:
Questo risultato è un'espressione 3D per determinare la grandezza del vettore v(diagonale AD) espressa in termini delle sue componenti perpendicolari ( v k) (tre lati tra loro perpendicolari):
Questa equazione può essere vista come una generalizzazione del teorema di Pitagora per uno spazio multidimensionale. Tuttavia, il risultato in realtà non è altro che l'applicazione ripetuta del teorema di Pitagora a una sequenza di triangoli rettangoli in piani successivamente perpendicolari.
Nel caso di un sistema di vettori ortogonale, si verifica un'uguaglianza, che è anche chiamata teorema di Pitagora:
Se - queste sono proiezioni del vettore sugli assi delle coordinate, allora questa formula coincide con la distanza euclidea - e significa che la lunghezza del vettore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti.
L'analogo di questa uguaglianza nel caso di un sistema infinito di vettori è chiamato uguaglianza di Parseval.
Il teorema di Pitagora è derivato dagli assiomi della geometria euclidea e, infatti, non è valido per la geometria non euclidea, nella forma in cui è scritto sopra. (Cioè, il teorema di Pitagora risulta essere una sorta di equivalente del postulato di Euclide del parallelismo) In altre parole, nella geometria non euclidea, il rapporto tra i lati del triangolo sarà necessariamente in una forma diversa dal teorema di Pitagora . Ad esempio, nella geometria sferica, tutti e tre i lati di un triangolo rettangolo (diciamo un, b e c) che lega l'ottante (un ottavo) della sfera unitaria hanno lunghezza π/2, il che contraddice il teorema di Pitagora perché un 2 + b 2 ≠ c 2 .
Consideriamo qui due casi di geometria non euclidea: la geometria sferica e quella iperbolica; in entrambi i casi, come per lo spazio euclideo dei triangoli rettangoli, dal teorema del coseno segue il risultato che sostituisce il teorema di Pitagora.
Tuttavia, il teorema di Pitagora rimane valido per la geometria iperbolica ed ellittica se il requisito che il triangolo sia rettangolo è sostituito dalla condizione che la somma di due angoli del triangolo deve essere uguale al terzo, diciamo UN+B = C. Quindi il rapporto tra i lati appare così: la somma delle aree dei cerchi con diametri un e b uguale all'area di un cerchio con un diametro c.
Per qualsiasi triangolo rettangolo su una sfera con raggio R(ad esempio, se l'angolo γ nel triangolo è retto) con i lati un, b, c il rapporto tra le parti sarà simile a questo:
Questa uguaglianza può essere derivata come un caso speciale teorema del coseno sferico, valido per tutti i triangoli sferici:
dove cosh è il coseno iperbolico. Questa formula è un caso speciale del teorema del coseno iperbolico, che è valido per tutti i triangoli:
dove γ è l'angolo il cui vertice è opposto al lato c.
dove g ijè chiamato tensore metrico. Può essere una funzione di posizione. Tali spazi curvilinei includono la geometria riemanniana come esempio generale. Questa formulazione è adatta anche per lo spazio euclideo quando si utilizzano coordinate curvilinee. Ad esempio, per le coordinate polari:
Il teorema di Pitagora collega due espressioni per la grandezza di un prodotto vettoriale. Un approccio alla definizione di un prodotto incrociato richiede che soddisfi l'equazione:
questa formula utilizza il prodotto punto. Il lato destro dell'equazione è chiamato determinante di Gram un e b, che è uguale all'area del parallelogramma formato da questi due vettori. Sulla base di questo requisito, nonché del requisito che il prodotto vettoriale sia perpendicolare ai suoi componenti un e b ne consegue che, fatta eccezione per i banali casi di spazio 0- e 1-dimensionale, il prodotto vettoriale è definito solo in tre e sette dimensioni. Usiamo la definizione dell'angolo in n-spazio dimensionale:
questa proprietà del prodotto vettoriale dà il suo valore nella forma seguente:
Attraverso il fondamentale identità trigonometrica Pitagora, otteniamo una diversa forma di scrittura del suo valore:
Un approccio alternativo alla definizione di un prodotto incrociato utilizza un'espressione per la sua grandezza. Quindi, ragionando in ordine inverso, otteniamo una connessione con prodotto scalare:
Livello medio
Nei problemi, un angolo retto non è affatto necessario: quello in basso a sinistra, quindi devi imparare a riconoscere un triangolo rettangolo in questa forma,
e in tale
e in tale 
Cosa c'è di buono in un triangolo rettangolo? Beh... prima di tutto, ci sono speciali bei nomi per i suoi fianchi.
Attenzione al disegno!
Ricorda e non confondere: gambe - due e l'ipotenusa - solo una(l'unico, unico e più lungo)!
Bene, abbiamo discusso dei nomi, ora la cosa più importante: il teorema di Pitagora.
Questo teorema è la chiave per risolvere molti problemi che coinvolgono un triangolo rettangolo. Fu provato da Pitagora in tempi del tutto immemorabili, e da allora ha portato molti benefici a chi lo conosce. E la cosa migliore di lei è che è semplice.
Così, Teorema di Pitagora:
Ricordi la battuta: "I pantaloni pitagorici sono uguali su tutti i lati!"?
Disegniamo questi pantaloni molto pitagorici e guardiamoli. 
Sembrano davvero dei pantaloncini? Ebbene, da che parte e dove sono uguali? Perché e da dove viene lo scherzo? E questo scherzo è connesso proprio con il teorema di Pitagora, più precisamente con il modo in cui lo stesso Pitagora formulò il suo teorema. E lo ha formulato così:
"Somma area dei quadrati, costruito sulle gambe, è uguale a area quadrata costruito sull'ipotenusa.
Non suona un po' diverso, vero? E così, quando Pitagora tracciò l'affermazione del suo teorema, si rivelò proprio un'immagine del genere.
In questa immagine, la somma delle aree dei quadratini è uguale all'area del quadrato grande. E affinché i bambini ricordino meglio che la somma dei quadrati delle gambe è uguale al quadrato dell'ipotenusa, qualcuno spiritoso ha inventato questa battuta sui pantaloni pitagorici.
Perché ora stiamo formulando il teorema di Pitagora
Pitagora soffriva e parlava di quadrati?
Vedete, nell'antichità non esisteva... l'algebra! Non c'erano segni e così via. Non c'erano iscrizioni. Riuscite a immaginare quanto fosse terribile per i poveri studenti antichi memorizzare tutto con le parole??! E possiamo essere contenti di avere una semplice formulazione del teorema di Pitagora. Ripetiamolo ancora per ricordare meglio:
Ora dovrebbe essere facile:
| Il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe. |
Bene, è stato discusso il teorema più importante su un triangolo rettangolo. Se sei interessato a come viene dimostrato, leggi i prossimi livelli di teoria, e ora andiamo avanti... nella foresta oscura... della trigonometria! Alle terribili parole seno, coseno, tangente e cotangente.
In realtà, tutto non è affatto così spaventoso. Naturalmente, la definizione "reale" di seno, coseno, tangente e cotangente dovrebbe essere esaminata nell'articolo. Ma proprio non vuoi, vero? Possiamo rallegrarci: per risolvere problemi su un triangolo rettangolo, puoi semplicemente compilare le seguenti semplici cose:
Perché è tutto dietro l'angolo? Dov'è l'angolo? Per capirlo, devi sapere come si scrivono le affermazioni 1 - 4 a parole. Guarda, capisci e ricorda!
1.
In realtà suona così:
E l'angolo? C'è una gamba che è opposta all'angolo, cioè la gamba opposta (per l'angolo)? Certo! Questo è un catetere!
Ma per quanto riguarda l'angolo? Guarda da vicino. Quale gamba è adiacente all'angolo? Ovviamente il gatto. Quindi, per l'angolo, la gamba è adiacente e
E ora, attenzione! Guarda cosa abbiamo:
Guarda quanto è fantastico:
Passiamo ora a tangente e cotangente.
Come metterlo in parole ora? Qual è la gamba rispetto all'angolo? Di fronte, ovviamente - "giace" di fronte all'angolo. E il catetere? Adiacente all'angolo. Allora cosa abbiamo ottenuto?
Vedi come si invertono numeratore e denominatore?
E ora di nuovo gli angoli e fatto lo scambio:
Scriviamo brevemente ciò che abbiamo imparato.
 |
Teorema di Pitagora: |
Il principale teorema del triangolo rettangolo è il teorema di Pitagora.
A proposito, ti ricordi bene cosa sono le gambe e l'ipotenusa? In caso contrario, guarda l'immagine: aggiorna le tue conoscenze
È possibile che tu abbia già usato il teorema di Pitagora molte volte, ma ti sei mai chiesto perché un tale teorema sia vero. Come lo proveresti? Facciamo come gli antichi greci. Disegniamo un quadrato con un lato.
Vedi come abbiamo abilmente diviso i suoi lati in segmenti di lunghezza e!
Ora colleghiamo i punti contrassegnati
Qui, tuttavia, abbiamo notato qualcos'altro, ma tu stesso guardi l'immagine e pensi al perché.
Qual è l'area del quadrato più grande? Correttamente, . E l'area più piccola? Certo, . Rimane l'area totale dei quattro angoli. Immagina di prenderne due e di appoggiarci l'uno all'altro con le ipotenuse. Quello che è successo? Due rettangoli. Quindi, l'area delle "talee" è uguale.
Mettiamo tutto insieme ora.
Trasformiamo:
Così abbiamo visitato Pitagora - abbiamo dimostrato il suo teorema in modo antico.
Per un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:
Il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa
Il coseno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.
La tangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.
La cotangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta.
E ancora una volta, tutto questo sotto forma di piatto:
È molto comodo!
I. Su due gambe
II. Per gamba e ipotenusa
III. Per ipotenusa e angolo acuto
IV. Lungo la gamba e angolo acuto
un) 
b) 
Attenzione! Qui è molto importante che le gambe siano "corrispondenti". Ad esempio, se va così:
ALLORA I TRIANGOLI NON SONO UGUALI, nonostante abbiano un angolo acuto identico.
Bisogno di in entrambi i triangoli la gamba era adiacente, o in entrambi - opposta.
Hai notato come i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli differiscano dai soliti segni di uguaglianza dei triangoli? Guarda l'argomento "e presta attenzione al fatto che per l'uguaglianza dei triangoli "ordinari" è necessaria l'uguaglianza dei loro tre elementi: due lati e un angolo tra loro, due angoli e un lato tra loro, o tre lati. Ma per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli bastano solo due elementi corrispondenti. È fantastico, vero?
Approssimativamente la stessa situazione con segni di somiglianza di triangoli rettangoli.
I. Angolo acuto
II. Su due gambe
III. Per gamba e ipotenusa
Perché è così?
Considera un intero rettangolo invece di un triangolo rettangolo.
Disegniamo una diagonale e consideriamo un punto: il punto di intersezione delle diagonali. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo?
E cosa ne consegue?
Così è successo
Ricorda questo fatto! Aiuta molto!
Ciò che è ancora più sorprendente è che è vero anche il contrario.
Che bene si può ricavare dal fatto che la mediana attratta dall'ipotenusa è uguale alla metà dell'ipotenusa? Diamo un'occhiata alla foto
Guarda da vicino. Abbiamo: , cioè le distanze dal punto a tutti e tre i vertici del triangolo sono risultate uguali. Ma in un triangolo c'è un solo punto, le distanze da cui circa tutti e tre i vertici del triangolo sono uguali, e questo è il CENTRO DEL CIRCO DEscritto. Allora, cos'è successo?
Allora cominciamo con questo "inoltre...".
Diamo un'occhiata a i.
Ma in triangoli simili tutti gli angoli sono uguali!
Lo stesso si può dire di e
Ora disegniamolo insieme:
Che utilità si può trarre da questa "tripla" somiglianza.
Bene, per esempio - due formule per l'altezza di un triangolo rettangolo.
Scriviamo i rapporti delle parti corrispondenti:
Per trovare l'altezza, risolviamo la proporzione e otteniamo prima formula "Altezza in un triangolo rettangolo":
Quindi, applichiamo la somiglianza: .
Cosa accadrà ora?
Di nuovo risolviamo la proporzione e otteniamo la seconda formula:
Entrambe queste formule vanno ricordate molto bene e quella più comoda da applicare. Scriviamoli di nuovo.
Teorema di Pitagora:
In un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe:.
Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:
Segni di somiglianza dei triangoli rettangoli:
Seno, coseno, tangente, cotangente in un triangolo rettangolo
Altezza di un triangolo rettangolo: o.
In un triangolo rettangolo, la mediana ricavata dal vertice dell'angolo retto è uguale a metà dell'ipotenusa: .
Area di un triangolo rettangolo:
teorema di Pitagora
Allo stesso modo, il triangolo CBH è simile a ABC. Introduzione alla notazione 
1. Disporre quattro triangoli rettangoli uguali come mostrato nella figura. 
L'idea della dimostrazione di Euclide è la seguente: proviamo a dimostrare che metà dell'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è uguale alla somma delle mezze aree dei quadrati costruite sulle gambe, e quindi le aree di il quadrato grande e due piccoli sono uguali. Considera il disegno a sinistra. Abbiamo costruito quadrati ai lati di un triangolo rettangolo su di esso e disegnato un raggio s dal vertice dell'angolo retto C perpendicolare all'ipotenusa AB, taglia il quadrato ABIK, costruito sull'ipotenusa, in due rettangoli - BHJI e HAKJ , rispettivamente. Si scopre che le aree di questi rettangoli sono esattamente uguali alle aree dei quadrati costruiti sulle gambe corrispondenti. Proviamo a dimostrare che l'area del quadrato DECA è uguale all'area del rettangolo AHJK Per fare ciò, utilizziamo un'osservazione ausiliaria: l'area di un triangolo con la stessa altezza e base del dato rettangolo è uguale alla metà dell'area del rettangolo dato. Questa è una conseguenza della definizione dell'area di un triangolo come metà del prodotto della base e dell'altezza. Da questa osservazione ne consegue che l'area del triangolo ACK è uguale all'area del triangolo AHK (non mostrato), che, a sua volta, è uguale alla metà dell'area del rettangolo AHJK. Dimostriamo ora che l'area del triangolo ACK è pari anche alla metà dell'area del quadrato DECA. L'unica cosa che deve essere fatta per questo è dimostrare l'uguaglianza dei triangoli ACK e BDA (poiché l'area del triangolo BDA è uguale alla metà dell'area del quadrato dalla proprietà sopra). Questa uguaglianza è ovvia, i triangoli sono uguali in due lati e l'angolo tra di loro. Vale a dire - AB=AK,AD=AC - l'uguaglianza degli angoli CAK e BAD è facile da provare con il metodo del moto: ruotiamo il triangolo CAK di 90° in senso antiorario, quindi è ovvio che i lati corrispondenti dei due triangoli in esame saranno coincidono (per il fatto che l'angolo al vertice del quadrato è 90°). L'argomento sull'uguaglianza delle aree del quadrato BCFG e del rettangolo BHJI è del tutto analogo. Abbiamo quindi dimostrato che l'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è la somma delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe. 
Considerando il disegno, come si può vedere dalla simmetria, il segmento CI taglia il quadrato ABHJ in due parti identiche (poiché i triangoli ABC e JHI sono uguali nella costruzione). Usando una rotazione di 90 gradi in senso antiorario, vediamo l'uguaglianza delle figure ombreggiate CAJI e GDAB. Ora è chiaro che l'area della figura da noi ombreggiata è uguale alla somma della metà delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe e dell'area del triangolo originario. È invece uguale alla metà dell'area del quadrato costruito sull'ipotenusa, più l'area del triangolo originario. L'ultimo passaggio della dimostrazione è lasciato al lettore.
