Definizione. Sia definita la funzione \(y = f(x) \) in un intervallo contenente il punto \(x_0 \) all'interno. Incrementiamo \(\Delta x \) all'argomento in modo da non lasciare questo intervallo. Trova l'incremento corrispondente della funzione \(\Delta y \) (passando dal punto \(x_0 \) al punto \(x_0 + \Delta x \)) e componi la relazione \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Se c'è un limite di questa relazione in \(\Delta x \rightarrow 0 \), allora viene chiamato il limite indicato funzione derivata\(y=f(x) \) nel punto \(x_0 \) e denota \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Il simbolo y è spesso usato per denotare la derivata. Si noti che y" = f(x) è una nuova funzione, ma naturalmente associata alla funzione y = f(x), definita in tutti i punti x in cui esiste il limite sopra. Questa funzione si chiama così: derivata della funzione y \u003d f (x).
Il significato geometrico della derivataè costituito da quanto segue. Se una tangente che non è parallela all'asse y può essere disegnata sul grafico della funzione y \u003d f (x) in un punto con l'ascissa x \u003d a, allora f (a) esprime la pendenza della tangente:
\(k = f"(a)\)
Poiché \(k = tg(a) \), l'uguaglianza \(f"(a) = tg(a) \) è vera.
E ora interpretiamo la definizione della derivata in termini di uguaglianze approssimate. Lascia che la funzione \(y = f(x) \) abbia una derivata in un punto particolare \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ciò significa che vicino al punto x, l'uguaglianza approssimativa \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approssimativamente f"(x) \), ovvero \(\Delta y \approssimativamente f"(x) \cdot \Delta\). Il significato significativo dell'uguaglianza approssimativa ottenuta è il seguente: l'incremento della funzione è “quasi proporzionale” all'incremento dell'argomento, e il coefficiente di proporzionalità è il valore della derivata in un dato punto x. Ad esempio, per la funzione \(y = x^2 \) l'uguaglianza approssimativa \(\Delta y \approssimativamente 2x \cdot \Delta x \) è vera. Se analizziamo attentamente la definizione della derivata, scopriremo che contiene un algoritmo per trovarla.
Formuliamolo.
1. Correggi il valore \(x \), trova \(f(x) \)
2. Incrementa \(x \) argomento \(\Delta x \), sposta in un nuovo punto \(x+ \Delta x \), trova \(f(x+ \Delta x) \)
3. Trova la funzione incremento: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Componi la relazione \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calcola $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Questo limite è la derivata della funzione in x.
Se la funzione y = f(x) ha una derivata nel punto x, allora si dice derivabile nel punto x. Viene chiamata la procedura per trovare la derivata della funzione y \u003d f (x). differenziazione funzioni y = f(x).
Discutiamo la seguente domanda: come sono correlate la continuità e la differenziabilità di una funzione in un punto?
Sia la funzione y = f(x) derivabile nel punto x. Quindi si può tracciare una tangente al grafico della funzione nel punto M (x; f (x)) e, ricordiamo, la pendenza della tangente è uguale a f "(x). Un tale grafico non può "rompersi" in il punto M, cioè la funzione deve essere continua in x.
Era un ragionamento "sulle dita". Presentiamo un argomento più rigoroso. Se la funzione y = f(x) è derivabile nel punto x, allora l'uguaglianza approssimativa \(\Delta y \approssimativamente f"(x) \cdot \Delta x \) vale zero, quindi \(\Delta y \ ) tenderà anche a zero, e questa è la condizione per la continuità della funzione in un punto.
Così, se una funzione è derivabile in un punto x, allora è anche continua in quel punto.
Non è vero il contrario. Ad esempio: funzione y = |x| è continua ovunque, in particolare nel punto x = 0, ma la tangente al grafico della funzione nel “punto di giunzione” (0; 0) non esiste. Se a un certo punto è impossibile tracciare una tangente al grafico della funzione, allora non c'è alcuna derivata a questo punto.
Un altro esempio. La funzione \(y=\sqrt(x) \) è continua sull'intera retta dei numeri, incluso nel punto x = 0. E la tangente al grafico della funzione esiste in qualsiasi punto, incluso nel punto x = 0 Ma a questo punto la tangente coincide con l'asse y, cioè è perpendicolare all'asse delle ascisse, la sua equazione ha la forma x \u003d 0. Pendenza non esiste una riga del genere, il che significa che nemmeno \(f"(0) \) esiste
Quindi, abbiamo fatto conoscenza con una nuova proprietà di una funzione: la differenziabilità. Come si può sapere se una funzione è differenziabile dal grafico di una funzione?
La risposta è effettivamente data sopra. Se a un certo punto è possibile tracciare una tangente al grafico di una funzione che non è perpendicolare all'asse x, a questo punto la funzione è derivabile. Se a un certo punto la tangente al grafico della funzione non esiste o è perpendicolare all'asse x, allora a questo punto la funzione non è derivabile.
Viene chiamata l'operazione di ricerca della derivata differenziazione. Quando si esegue questa operazione, è spesso necessario lavorare con quozienti, somme, prodotti di funzioni, nonché con "funzioni di funzioni", ovvero funzioni complesse. Sulla base della definizione della derivata, possiamo derivare regole di differenziazione che facilitano questo lavoro. Se C è un numero costante e f=f(x), g=g(x) sono alcune funzioni differenziabili, allora sono vere le seguenti regole di differenziazione:
Sia data la funzione implicitamente come un'equazione . Differenziando questa equazione rispetto a X e risolvere l'equazione risultante rispetto alla derivata 
, troviamo la derivata del primo ordine (la derivata prima). Differenziando rispetto a X la derivata prima otteniamo la derivata seconda della funzione implicita. Sostituzione di un valore già trovato 
nell'espressione della derivata seconda, esprimiamo 
attraverso X e y. Procediamo in modo simile per trovare la derivata di terzo ordine (e oltre).
Esempio.Trova 
, Se 
.
Soluzione: differenziare l'equazione rispetto a X:
. Da qui troviamo 
. Ulteriore .
Lascia che la funzione 
data da equazioni parametriche 
.
Come sapete, la derivata prima 
si trova secondo la formula 
. Troviamo la derivata seconda 
, cioè. 
. Allo stesso modo 
.
Esempio. Trova la derivata seconda 
.
Soluzione: trova la derivata prima 
. Trovare la derivata seconda 
.
Lascia che la funzione 
differenziabile per 
. La derivata di questa funzione ad un certo punto 
è definito dall'uguaglianza 
. Atteggiamento 
a 
, quindi diverso dalla derivata 
per il valore di b.m., cioè può essere scritto 
(
). Moltiplichiamo tutto per 
, noi abbiamo 
. Incremento della funzione 
è composto da due termini. primo termine 
- la parte principale dell'incremento, è il differenziale della funzione.
def. differenziale di funzione 
è chiamato il prodotto della derivata e l'incremento dell'argomento. Denotato 
.
Il differenziale di una variabile indipendente è uguale al suo incremento 
.
(). Quindi, la formula per il differenziale può essere scritta 
. Il differenziale di una funzione è uguale al prodotto della derivata per il differenziale della variabile indipendente. Ne consegue che la derivata può essere considerata come il rapporto dei differenziali 
.
Il differenziale viene utilizzato nei calcoli approssimativi. Poiché nell'espressione 
secondo termine 
una quantità infinitesima usa l'uguaglianza approssimativa 
o ampliato
Esempio: calcolare un valore approssimativo 
.
Funzione 
ha una derivata 
.
Secondo la formula (*) : .
Esempio: trova il differenziale di una funzione
Il significato geometrico del differenziale.
Al grafico della funzione 
al punto M( X;y) traccia una tangente e considera l'ordinata di questa tangente per il punto X+∆
X. Nella figura AM=∆ X AM 1 =∆ a da ∆MAV 
, quindi 
, ma secondo il significato geometrico della tangente 
. Ecco perchè 
. Confrontando questa formula con la formula differenziale, otteniamo quello 
, cioè. differenziale di funzione 
al punto Xè uguale all'incremento dell'ordinata della tangente al grafico della funzione in quel punto, quando X ottiene un incremento ∆х.
Poiché la funzione differenziale 
differisce dalla derivata di un fattore 
, allora tutte le regole per il calcolo della derivata vengono utilizzate anche per calcolare il differenziale (da cui il termine "differenziazione").
Siano date due funzioni differenziabili 
e 
, allora il differenziale si trova secondo le seguenti regole:
1)
2)
Insieme a -cost
3)
4)
(
)
5) per funzioni complesse 
, dove 
(perché 
).
Il differenziale di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata di questa funzione rispetto a un argomento intermedio e il differenziale di questo argomento intermedio.
Teoremi sul valore medio.
Il teorema di Rolle. Se la funzione 
continuo sul segmento 
e differenziabili nell'intervallo aperto 
e se assume valori uguali alle estremità del segmento 
, quindi nell'intervallo 
c'è almeno uno di questi punti Insieme a, in cui il derivato svanisce, cioè 
,
un<
c<
b.
Geometricamente, il teorema di Rolle significa che sul grafico della funzione 
c'è un punto in cui la tangente al grafico è parallela all'asse Oh.
Il teorema di Lagrange. Se la funzione 
continuo sul segmento 
e differenziabile sull'intervallo 
, allora c'è almeno un punto 
tale che l'uguaglianza vale.
La formula è chiamata formula di Lagrange o formula di incremento finito: l'incremento di una funzione derivabile sul segmento 
è uguale all'incremento dell'argomento moltiplicato per il valore della derivata in un punto interno di questo segmento.
Il significato geometrico del teorema di Lagrange: sul grafico della funzione 
c'è un punto C(s;f(c))
, in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla secante AB.
Il teorema di Cauchy. Se funziona 
e 
continuo sul segmento 
, sono differenziabili sull'intervallo 
, e 
per 
, allora c'è almeno un punto 
tale che l'uguaglianza 
.
Il teorema di Cauchy serve come base per una nuova regola per il calcolo dei limiti.
La regola dell'Hopital.
Teorema:(Norma di L'Hopital sulla divulgazione delle incertezze della forma 
). Passiamo alle funzioni 
e 
sono continui e differenziabili in un intorno di un punto X 0
e svanire a questo punto 
. Lasciarlo andare 
in prossimità del punto X 0
. se c'è un limite 
, poi 
.
Dimostrazione: applicabile alle funzioni 
e 
Teorema di Cauchy per il segmento 
Sdraiato nelle vicinanze di un punto X 0
. Quindi 
, dove X 0
<
c<
X. Perché 
noi abbiamo 
. Passiamo al limite a 
. Perché 
, poi 
, Ecco perchè 
.
Quindi il limite del rapporto di due b.m. è uguale al limite del rapporto delle loro derivate, se quest'ultima esiste 
.
Teorema.(Regola di L'Hopital per la divulgazione delle incertezze della forma 
) Passiamo alle funzioni 
e 
sono continui e differenziabili in un intorno di un punto X 0
(tranne forse il punto X 0
), in questo quartiere 
,
. Se c'è un limite
, poi 
.
Incertezze della forma ( 
) sono ridotti a due principali ( 
),
attraverso identiche trasformazioni.
Esempio: 
O, in breve, la derivata di una funzione implicita. Che cos'è una funzione implicita? Poiché le mie lezioni sono pratiche, cerco di evitare definizioni, formulazioni di teoremi, ma qui sarebbe opportuno farlo. Che cos'è comunque una funzione?
Funzione di una variabileè la regola che ogni valore della variabile indipendente corrisponde ad uno ed un solo valore della funzione.
La variabile viene chiamata variabile indipendente o discussione.
La variabile viene chiamata variabile dipendente o funzione.
In parole povere, la lettera "y" in questo caso- e c'è una funzione.
Finora abbiamo considerato le funzioni definite in esplicito modulo. Cosa significa? Organizziamo un debriefing su esempi specifici.
Considera la funzione 
Vediamo che a sinistra abbiamo una "y" solitaria (funzione) e a destra - solo x. Cioè, la funzione esplicitamente espresso in termini di variabile indipendente.
Consideriamo un'altra funzione:
Qui le variabili e si trovano "misti". E impossibile in alcun modo esprimere "Y" solo tramite "X". Quali sono questi metodi? Trasferire termini da parte a parte con cambio di segno, parentesi, fattori di lancio secondo la regola della proporzione, ecc. Riscrivi l'uguaglianza e cerca di esprimere "y" in modo esplicito:. Puoi girare e capovolgere l'equazione per ore, ma non ci riuscirai.
Consentitemi di introdurre: - un esempio funzione implicita.
Nel corso dell'analisi matematica, è stato dimostrato che la funzione implicita esiste(ma non sempre), ha un grafico (proprio come una funzione "normale"). È lo stesso per una funzione implicita. esiste derivata prima, derivata seconda, ecc. Come si suol dire, tutti i diritti delle minoranze sessuali sono rispettati.
E in questa lezione impareremo come trovare la derivata di una funzione data implicitamente. Non è così difficile! Restano in vigore tutte le regole di differenziazione, la tavola delle derivate delle funzioni elementari. La differenza sta in un punto peculiare, che considereremo ora.
Sì, ti farò sapere buone notizie- i compiti discussi di seguito vengono eseguiti secondo un algoritmo piuttosto rigido e chiaro senza un sasso davanti a tre binari.
Esempio 1
1) Nella prima fase, appendiamo i tratti su entrambe le parti:
2) Usiamo le regole di linearità della derivata (le prime due regole della lezione Come trovare la derivata? Esempi di soluzioni):
3) Differenziazione diretta.
Come differenziare e completamente comprensibile. Cosa fare dove ci sono "giochi" sotto i tratti?
- solo per disonore, la derivata di una funzione è uguale alla sua derivata: .
Come differenziare
Qui abbiamo funzione complessa. Come mai? Sembra che sotto il seno ci sia solo una lettera "Y". Ma il fatto è che solo una lettera "y" - È UNA FUNZIONE IN SE STESSA(vedi la definizione all'inizio della lezione). Quindi, il seno è una funzione esterna, è una funzione interna. Usiamo la regola di differenziazione di una funzione complessa 
:
Il prodotto è differenziabile secondo la regola abituale 
:
Nota che è anche una funzione complessa, qualsiasi "giocattolo twist" è una funzione complessa:
Il design della soluzione stessa dovrebbe assomigliare a questo:
Se ci sono parentesi, aprile:
4) Sul lato sinistro, raccogliamo i termini in cui c'è una "y" con un tratto. A lato destro- trasferiamo tutto il resto:
5) Sul lato sinistro, prendiamo la derivata tra parentesi:
6) E secondo la regola della proporzione, riduciamo queste parentesi al denominatore del lato destro:
Il derivato è stato trovato. Pronto.
È interessante notare che qualsiasi funzione può essere riscritta implicitamente. Ad esempio, la funzione si può riscrivere così: 
. E differenziarlo in base all'algoritmo appena considerato. In effetti, le frasi "funzione implicita" e "funzione implicita" differiscono in una sfumatura semantica. La frase "funzione implicitamente definita" è più generale e corretta, - questa funzione è data implicitamente, ma qui puoi esprimere "y" e presentare la funzione in modo esplicito. La frase "funzione implicita" indica una funzione implicita "classica", quando "y" non può essere espressa.
Il secondo modo per risolvere
Attenzione! Puoi familiarizzare con il secondo metodo solo se sai come trovare con sicurezza derivate parziali. Principianti e manichini di calcolo, per favore non leggere e saltare questo paragrafo, altrimenti la testa sarà un completo pasticcio.
Trova la derivata della funzione implicita nel secondo modo.
Spostiamo tutti i termini sul lato sinistro:
E consideriamo una funzione di due variabili:
Allora la nostra derivata può essere trovata dalla formula
Troviamo le derivate parziali:
In questo modo:
La seconda soluzione consente di eseguire un controllo. Ma non è desiderabile redigere una versione finale del compito per lui, poiché le derivate parziali vengono padroneggiate in seguito e uno studente che studia l'argomento "Derivata di una funzione di una variabile" non dovrebbe conoscere le derivate parziali.
Diamo un'occhiata a qualche altro esempio.
Esempio 2
Trova la derivata di una funzione data implicitamente
Appendiamo i tratti su entrambe le parti:
Usiamo le regole di linearità:
Trovare derivati:
Espandendo tutte le parentesi:
Trasferiamo tutti i termini con sul lato sinistro, il resto - sul lato destro:
Sul lato sinistro, lo mettiamo fuori parentesi:
Risposta finale: 
Esempio 3
Trova la derivata di una funzione data implicitamente 
Soluzione completa ed esempio di progetto alla fine della lezione.
Non è raro che le frazioni appaiano dopo la differenziazione. In questi casi, le frazioni devono essere scartate. Diamo un'occhiata a altri due esempi.
Esempio 4
Trova la derivata di una funzione data implicitamente 
Concludiamo entrambe le parti sotto i tratti e utilizziamo la regola della linearità: 
Indubbiamente, nella nostra mente, l'immagine di una funzione è associata all'uguaglianza e alla linea ad essa corrispondente: il grafico della funzione. Ad esempio, - dipendenza funzionale, il cui grafico è parabola quadratica con un vertice all'origine e rami diretti verso l'alto; è la funzione seno nota per le sue onde.
In questi esempi, il lato sinistro dell'uguaglianza è y e il lato destro è un'espressione che dipende dall'argomento x . In altre parole, abbiamo un'equazione risolta rispetto a y . Viene chiamata la rappresentazione di una dipendenza funzionale nella forma di tale espressione impostando esplicitamente la funzione(o funzione in modo esplicito). E questo tipo di assegnazione di funzioni ci è più familiare. Nella maggior parte degli esempi e dei problemi, ci vengono presentate funzioni esplicite. Abbiamo già discusso in dettaglio sulla differenziazione delle funzioni di una variabile, data esplicitamente.
Tuttavia, la funzione implica una corrispondenza tra un insieme di valori x e un insieme di valori y, e questa corrispondenza NON è necessariamente stabilita da alcuna formula o espressione analitica. Cioè, ci sono molti modi per specificare una funzione oltre al solito .
In questo articolo vedremo funzioni implicite e modi per trovarne le derivate. Esempi di funzioni implicite sono o .
Come hai notato, la funzione implicita è definita dalla relazione . Ma non tutte queste relazioni tra x e y definiscono una funzione. Ad esempio, nessuna coppia numeri reali xey non soddisfano l'uguaglianza , quindi questa relazione non definisce una funzione implicita.
Può definire implicitamente la legge di corrispondenza tra i valori x e y , e ogni valore dell'argomento x può corrispondere a uno (in questo caso abbiamo una funzione a valore singolo) o a più valori della funzione ( in questo caso la funzione è detta multivalore). Ad esempio, il valore x = 1 corrisponde a due valori reali y = 2 e y = -2 implicitamente data funzione.
Non è sempre possibile ridurre una funzione implicita a una forma esplicita, altrimenti non sarebbe necessario differenziare le funzioni implicite stesse. Per esempio, 
- non viene convertito in una forma esplicita, ma - viene convertito.
Ora agli affari.
Per trovare la derivata di una funzione data implicitamente, è necessario differenziare entrambi i lati dell'uguaglianza rispetto all'argomento x, considerando y una funzione di x, e quindi esprimere .
La differenziazione di espressioni contenenti xey(x) viene effettuata utilizzando le regole di differenziazione e la regola per trovare la derivata di una funzione complessa. Analizziamo subito alcuni esempi nel dettaglio in modo che non ci siano ulteriori domande.
Esempio.
Differenzia le espressioni 
in x , supponendo che y sia una funzione di x .
Soluzione.
Perché y è una funzione di x , quindi è una funzione complessa. Può essere convenzionalmente rappresentato come f(g(x)) , dove f è la funzione cubo e g(x) = y . Quindi, secondo la formula per la derivata di una funzione complessa, abbiamo: 
.
Nel differenziare la seconda espressione, prendiamo la costante dal segno della derivata e agiamo come nel caso precedente (qui f è la funzione seno, g(x) = y ):
Per la terza espressione utilizziamo la formula per la derivata del prodotto:
Applicando sequenzialmente le regole, distinguiamo l'ultima espressione: 
Ora puoi passare a trovare la derivata di una funzione data implicitamente, per questo abbiamo tutta la conoscenza.
Esempio.
Trova la derivata di una funzione implicita.
Soluzione.
La derivata di una funzione implicita è sempre rappresentata come un'espressione contenente xey : . Per arrivare a questo risultato, distinguiamo entrambi i lati dell'uguaglianza: 
Risolviamo l'equazione risultante rispetto alla derivata: 
Risposta:
.
COMMENTO.
Per consolidare il materiale, risolviamo un altro esempio.
Consideriamo prima una funzione implicita di una variabile. È determinato dall'equazione (1), che assegna una certa y a ciascuna x di una certa area X. Allora la funzione y=f(x) è definita su X da questa equazione. La chiamano implicito o dato implicitamente. Se l'equazione (1) può essere risolta rispetto a y, cioè ottieni la forma y \u003d f (x), quindi diventa il compito della funzione implicita esplicito. Tuttavia, non è sempre possibile risolvere l'equazione, e in questo caso non è sempre chiaro se esiste una funzione implicita y \u003d f (x), definita dall'equazione (1) in qualche intorno del punto ( x 0, y 0).
Ad esempio, l'equazione 
è irrisolvibile rispetto a y e non è chiaro se definisce una funzione implicita in qualche intorno del punto (1,0), per esempio. Si noti che ci sono equazioni che non definiscono alcuna funzione (x 2 +y 2 +1=0).
Risulta vero il seguente teorema:
Teorema"Esistenza e differenziabilità di una funzione implicita" (nessuna prova)
Lascia che l'equazione 
(1) e funzione 
, soddisfa le condizioni:
Quindi:
.
(2)
Geometricamente, il teorema afferma che in un intorno di un punto 
, dove sono soddisfatte le condizioni del teorema, la funzione implicita definita dall'equazione (1) può essere specificata esplicitamente y=f(x), perché Ogni valore di x ha una y unica. Anche se non riusciamo a trovare un'espressione esplicita per la funzione, siamo sicuri che in qualche intorno del punto M 0 ciò sia già possibile in linea di principio.
Considera lo stesso esempio: 
. Verifichiamo le condizioni:
1
)
,
- e la funzione e le sue derivate sono continue in prossimità del punto (1,0) (come somma e prodotto di quelle continue).
2)
.
3)
. Quindi, la funzione implicita y= f(x) esiste in un intorno del punto (1,0). Non possiamo scriverlo esplicitamente, ma possiamo comunque trovare la sua derivata, che sarà anche continua:
Considera ora funzione implicita di più variabili. Lascia che l'equazione
. (2)
Se ogni coppia di valori (x, y) di una certa regione, l'equazione (2) associa un valore specifico di z, allora si dice che questa equazione determina implicitamente una funzione a valore singolo di due variabili 
.
Vale anche il corrispondente teorema di esistenza e differenziazione per una funzione implicita di più variabili.
Teorema 2: Sia data l'equazione 
(2) e funzione 
soddisfa le condizioni:
Esempio:
. Questa equazione definisce z come una funzione implicita a due valori di x e y 
. Se controlliamo le condizioni del teorema nell'intorno di un punto, ad esempio (0,0,1), vediamo il soddisfacimento di tutte le condizioni:
Ciò significa che esiste una funzione implicita a valore singolo in un intorno del punto (0,0,1): possiamo immediatamente dire che questo 
, definendo l'emisfero superiore.
Esistono derivate parziali continue 
A proposito, risultano essere gli stessi se differenziamo direttamente una funzione implicita espressa in modo esplicito.
Definizione e teorema di esistenza e differenziazione di una funzione implicita Di più gli argomenti sono simili.
