Costruzione di un sistema di coordinate cartesiane cartesiano
in superficie
Il sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano è formato da due assi di coordinate reciprocamente perpendicolari BUE 1 e BUE 2 , che si intersecano in un punto O, chiamato l'origine delle coordinate (Fig. 1). Su ciascun asse viene selezionata una direzione positiva, indicata da frecce, e l'unità di misura dei segmenti sugli assi. Le unità di misura sono solitamente le stesse per tutti gli assi (che è facoltativo). A mano destra sistema di coordinate, la direzione positiva degli assi viene scelta in modo che con la direzione dell'asse BUE 2 su, asse BUE 1 guardò a destra. BUE 1 - asse delle ascisse, BUE 2 -- asse y. Quattro angoli (I, II, III, IV) formati dagli assi coordinati BUE 1 e BUE 2 , sono chiamati angoli coordinati o quadranti.
Punto B UN all'asse delle coordinate BUE 1 ;
Punto C- proiezione ortogonale di un punto UN all'asse delle coordinate BUE 2 ;
Costruzione di un sistema di coordinate cartesiane cartesiano nello spazio
Il sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio è formato da tre assi di coordinate reciprocamente perpendicolari BUE, Ehi e oncia. Gli assi delle coordinate si intersecano in un punto O, che si chiama origine, su ciascun asse viene selezionata la direzione positiva indicata dalle frecce, e l'unità di misura dei segmenti sugli assi. Le unità di misura sono solitamente le stesse per tutti gli assi (che è facoltativo). BUE- asse delle ascisse, Ehi-- asse y, oncia-- asse dell'applique.
Se una pollice mano destra prendere come direzione X, indice - per la direzione Y e quello centrale è per la direzione z, allora si forma Giusto sistema di coordinate. Dita simili della mano sinistra formano il sistema di coordinate sinistro. In altre parole, la direzione positiva degli assi viene scelta in modo tale che quando l'asse viene ruotato BUE in senso antiorario di 90° la sua direzione positiva coincideva con la direzione positiva dell'asse Ehi, se questa rotazione viene osservata dal lato della direzione positiva dell'asse oncia. I sistemi di coordinate destro e sinistro non possono essere combinati in modo che gli assi corrispondenti coincidano (Fig. 2). Punto F- proiezione ortogonale di un punto UN al piano delle coordinate OXY; Punto E- proiezione ortogonale di un punto UN al piano delle coordinate OYZ; Punto G- proiezione ortogonale di un punto UN al piano delle coordinate BUE z ;
Rappresentazione del layout del sistema di coordinate cartesiane nello spazio mostrato nelle figure 3, 4 e 5.
Determinazione delle coordinate di un punto nel sistema di coordinate cartesiane
Il problema principale di qualsiasi sistema di coordinate è la questione della determinazione delle coordinate di un punto situato nel suo piano o spazio.
Determinazione delle coordinate di un punto sul piano del sistema di coordinate cartesiane
Posizione del punto UN sul piano è determinato da due coordinate - X e si (Fig.5). Coordinata X uguale alla lunghezza del segmento OB, coordinare si -- lunghezza del segmento OC nelle unità di misura selezionate. Segmenti OB e OC definito da linee tracciate da un punto UN parallela agli assi Ehi e BUE rispettivamente. Coordinata X detto ascissa ascissa- segmento), coordinate si - ordinata (lat. coordinate- disposti in ordine) punti UN. Registrato così:
Se punto UN giace nell'angolo di coordinate I, quindi ha ascissa e ordinata positive. Se punto UN si trova nell'angolo di coordinate II, quindi - l'ascissa negativa e l'ordinata positiva. Se punto UN giace nell'angolo di coordinate III, quindi ha un'ascissa e un'ordinata negative. Se punto UN si trova nell'angolo di coordinate IV, quindi - l'ascissa positiva e l'ordinata negativa.
In questo modo vengono determinate le coordinate nel sistema di coordinate cartesiane sul piano.
Il metodo delle coordinate è, ovviamente, molto buono, ma nei veri problemi C2 non ci sono coordinate e vettori. Pertanto, devono essere inseriti. Sì, sì, prendilo e inseriscilo così: indica l'origine, il segmento unitario e la direzione degli assi x, y e z.
La cosa grandiosa di questo metodo è che non importa come entri nel sistema di coordinate. Se tutti i calcoli sono corretti, la risposta sarà corretta.
Se c'è un cubo nel problema C2, considerati fortunato. Questo è il poliedro più semplice, i cui angoli diedri sono tutti di 90°.
Anche il sistema di coordinate viene inserito in modo molto semplice:
Si noti che l'asse z è rivolto verso l'alto! Dopo un sistema di coordinate bidimensionale, questo è in qualche modo insolito, ma in realtà molto logico.
Quindi, ora ogni vertice del cubo ha coordinate. Raccogliamoli in un tavolo - separatamente per il piano inferiore del cubo:
È facile vedere che i punti del piano superiore differiscono dai punti corrispondenti del piano inferiore solo per la coordinata z. Ad esempio, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). L'importante è non confondersi!
Prism è già molto più divertente. Con il giusto approccio, è sufficiente conoscere le coordinate solo della base inferiore: quella superiore verrà calcolata automaticamente.
Nei problemi C2 ci sono prismi triedrici eccezionalmente regolari (prismi diritti basati su un triangolo regolare). Per loro, il sistema di coordinate viene inserito quasi allo stesso modo del cubo. A proposito, se qualcuno non lo sa, anche un cubo è un prisma, solo tetraedrico.
Quindi andiamo! Inserisci il sistema di coordinate:
Qualche spiegazione è necessaria qui. Il fatto è che l'asse y NON coincide con il bordo AC, come molti pensano. Perché non corrisponde? Pensa tu stesso: il triangolo ABC è un triangolo equilatero con tutti gli angoli di 60°. E gli angoli tra gli assi delle coordinate dovrebbero essere di 90 °, quindi l'immagine in alto sarà simile a questa:
Spero sia chiaro ora perché l'asse y non va lungo AC. Disegna un'altezza CH in questo triangolo. Il triangolo ACH è rettangolo e AC = 1, quindi AH = 1 cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = sin 60°. Questi fatti sono necessari per calcolare le coordinate del punto C.
Ora diamo un'occhiata all'intero prisma insieme al sistema di coordinate costruito:
Otteniamo le seguenti coordinate dei punti:
Come puoi vedere, i punti della base superiore del prisma differiscono nuovamente dai punti corrispondenti della base inferiore solo per la coordinata z. Il problema principale sono i punti C e C 1 . Hanno coordinate irrazionali che devi solo ricordare. Bene, o per capire da dove vengono.
Un prisma esagonale è un prisma triangolare "clonato". Puoi capire come ciò accada se guardi la base inferiore: indichiamola ABCDEF. Eseguiamo ulteriori costruzioni: segmenti AD, BE e CF. Si sono rivelati sei triangoli, ognuno dei quali (ad esempio, il triangolo ABO) è la base per un prisma triedrico.
Ora introduciamo il sistema di coordinate effettivo. L'origine delle coordinate - il punto O - sarà posta al centro di simmetria dell'esagono ABCDEF. L'asse x andrà lungo FC, e l'asse y - attraverso i punti medi dei segmenti AB e DE. Otteniamo questa immagine:
Attenzione: l'origine delle coordinate NON coincide con il vertice del poliedro! Infatti, quando risolvi problemi reali, scoprirai che questo è molto conveniente, poiché ti consente di ridurre notevolmente la quantità di calcoli.
Resta da aggiungere l'asse z. Per tradizione, lo disegniamo perpendicolarmente al piano OXY e lo dirigiamo verticalmente verso l'alto. Otteniamo l'immagine finale:
Scriviamo le coordinate dei punti. Supponiamo che tutti i bordi del nostro prisma esagonale regolare siano uguali a 1. Quindi, le coordinate della base inferiore:
Le coordinate della base superiore sono spostate di uno nell'asse z:
La piramide è generalmente molto severa. Analizzeremo solo il caso più semplice: una piramide quadrangolare regolare, i cui bordi sono tutti uguali a uno. Tuttavia, nei problemi C2 reali, le lunghezze dei bordi possono differire, quindi lo schema generale per il calcolo delle coordinate è riportato di seguito.
Quindi, la corretta piramide quadrangolare. Questo è lo stesso di Cheope, solo un po' più piccolo. Indichiamolo SABCD, dove S è la parte superiore. Introduciamo un sistema di coordinate: l'origine è nel punto A, il segmento unitario AB = 1, l'asse x è diretto lungo AB, l'asse y è lungo AD e l'asse z è verso l'alto, perpendicolare al piano OXY . Per ulteriori calcoli, abbiamo bisogno dell'altezza SH, quindi costruiamola. Otteniamo la seguente immagine:
Ora troviamo le coordinate dei punti. Iniziamo con il piano OXY. Qui è tutto semplice: la base è un quadrato, le sue coordinate sono note. I problemi sorgono con il punto S. Poiché SH è l'altezza del piano OXY, i punti S e H differiscono solo nella coordinata z. In realtà, la lunghezza del segmento SH è la coordinata z per il punto S, poiché H = (0.5; 0.5; 0).
Nota che i triangoli ABC e ASC hanno tre lati uguali (AS = CS = AB = CB = 1, e il lato AC è comune). Pertanto, SH = BH. Ma BH è la metà della diagonale del quadrato ABCD, cioè BH = AB sin 45°. Otteniamo le coordinate di tutti i punti:
Questo è tutto con le coordinate della piramide. Ma non con le coordinate. Abbiamo considerato solo i poliedri più comuni, ma questi esempi sono sufficienti per calcolare autonomamente le coordinate di qualsiasi altra forma. Pertanto, possiamo procedere, di fatto, a metodi per risolvere problemi specifici C2.
Un sistema di coordinate rettangolare su un piano è formato da due assi di coordinate reciprocamente perpendicolari X'X e Y'Y. Gli assi delle coordinate si intersecano nel punto O, che è chiamato l'origine delle coordinate, su ciascun asse viene scelta una direzione positiva.La direzione positiva degli assi (nel sistema di coordinate destrorso) viene scelta in modo tale che quando l'asse X'X viene ruotato in senso antiorario di 90°, la sua direzione positiva coincide con la direzione positiva dell'asse Y'Y. I quattro angoli (I, II, III, IV) formati dagli assi coordinati X'X e Y'Y sono chiamati angoli coordinati (vedi Fig. 1).
La posizione del punto A sul piano è determinata da due coordinate x e y. La coordinata x è uguale alla lunghezza del segmento OB, la coordinata y è la lunghezza del segmento OC nelle unità selezionate. I segmenti OB e OC sono definiti dalle linee tracciate dal punto A parallele rispettivamente agli assi Y'Y e X'X. La coordinata x è chiamata ascissa del punto A, la coordinata y è chiamata ordinata del punto A. La scrivono così: A (x, y).
Se il punto A giace nell'angolo di coordinate I, allora il punto A ha ascissa e ordinata positive. Se il punto A giace nell'angolo di coordinate II, allora il punto A ha un'ascissa negativa e un'ordinata positiva. Se il punto A giace nell'angolo di coordinate III, allora il punto A ha ascissa e ordinata negative. Se il punto A giace nell'angolo di coordinate IV, allora il punto A ha un'ascissa positiva e un'ordinata negativa.
Sistema di coordinate rettangolari nello spazioè formato da tre assi coordinati reciprocamente perpendicolari OX, OY e OZ. Gli assi coordinati si intersecano nel punto O, che si chiama origine, su ogni asse si sceglie la direzione positiva indicata dalle frecce, e l'unità di misura dei segmenti sugli assi. Le unità di misura sono le stesse per tutti gli assi. OX - asse delle ascisse, OY - asse delle ordinate, OZ - asse applicato. La direzione positiva degli assi viene scelta in modo tale che quando l'asse OX viene ruotato in senso antiorario di 90°, la sua direzione positiva coincida con la direzione positiva dell'asse OY, se questa rotazione viene osservata dal lato della direzione positiva dell'asse OZ . Un tale sistema di coordinate è chiamato giusto. Se il pollice della mano destra è preso come direzione X, l'indice come direzione Y e il dito medio come direzione Z, allora si forma un sistema di coordinate destro. Dita simili della mano sinistra formano il sistema di coordinate sinistro. I sistemi di coordinate destro e sinistro non possono essere combinati in modo che gli assi corrispondenti coincidano (vedi Fig. 2).
La posizione del punto A nello spazio è determinata da tre coordinate x, y e z. La coordinata x è uguale alla lunghezza del segmento OB, la coordinata y è uguale alla lunghezza del segmento OC, la coordinata z è la lunghezza del segmento OD nelle unità selezionate. I segmenti OB, OC e OD sono definiti da piani tracciati dal punto A paralleli rispettivamente ai piani YOZ, XOZ e XOY. La coordinata x si chiama ascissa del punto A, la coordinata y si chiama ordinata del punto A, la coordinata z si chiama applicata del punto A. La scrivono così: A (a, b, c).
Un sistema di coordinate rettangolari (di qualsiasi dimensione) è descritto anche da un insieme di orts , co-diretto con gli assi delle coordinate. Il numero di orts è uguale alla dimensione del sistema di coordinate e sono tutti perpendicolari tra loro.
Nel caso tridimensionale, tali vettori sono solitamente indicati io j K o e X e si e z. In questo caso, nel caso del sistema di coordinate destro, sono valide le seguenti formule con il prodotto vettoriale dei vettori:
René Descartes fu il primo a introdurre un sistema di coordinate rettangolari nel suo Discorso sul metodo nel 1637. Pertanto, il sistema di coordinate rettangolari è anche chiamato - Sistema di coordinate cartesiano. Il metodo delle coordinate per descrivere gli oggetti geometrici ha gettato le basi per la geometria analitica. Anche Pierre Fermat ha contribuito allo sviluppo del metodo delle coordinate, ma il suo lavoro è stato pubblicato per la prima volta dopo la sua morte. Descartes e Fermat usarono il metodo delle coordinate solo sul piano.
Metodo di coordinate per spazio tridimensionale fu usato per la prima volta da Leonhard Euler nel XVIII secolo.
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Sistema di coordinate cartesiane, un sistema di coordinate rettilineo su un piano o nello spazio (di solito con assi reciprocamente perpendicolari e la stessa scala lungo gli assi). Prende il nome da R. Descartes (vedi DECARTS di Rene). Cartesio introdusse per la prima volta... Dizionario enciclopedico
SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANO- un sistema di coordinate rettangolari su un piano o nello spazio, in cui le scale lungo gli assi sono le stesse e gli assi delle coordinate sono tra loro perpendicolari. D.s. k. è indicato dalle lettere x:, y per un punto su un piano o x, y, z per un punto nello spazio. (Centimetro.… …
SISTEMA DI COORDINATE CARTEANICHE, un sistema introdotto da René DECARTES, in cui la posizione di un punto è determinata dalla distanza da esso alle linee (assi) che si intersecano reciprocamente. Nella versione più semplice del sistema, gli assi (denotati come x e y) sono perpendicolari. ... ... Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico
Sistema di coordinate cartesiano
Un sistema di coordinate rettilineo (Vedi Coordinate) su un piano o nello spazio (di solito con la stessa scala lungo gli assi). Lo stesso R. Descartes in "Geometry" (1637) usava solo il sistema di coordinate sul piano (in generale, obliquo). Di frequente… … Grande enciclopedia sovietica
Un insieme di definizioni che implementa il metodo delle coordinate, ovvero un modo per determinare la posizione di un punto o di un corpo utilizzando numeri o altri simboli. L'insieme di numeri che determinano la posizione di un particolare punto è chiamato le coordinate di questo punto. In ... ... Wikipedia
sistema cartesiano- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Sistema cartesiano; Sistema cartesiano di coordinate vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Sistema cartesiano, f; Sistema cartesiano ... ... Fizikos terminų žodynas
SISTEMA DI COORDINATE- un insieme di condizioni che determinano la posizione di un punto su una retta, su un piano, nello spazio. Esistono varie S. a.: cartesiane, oblique, cilindriche, sferiche, curvilinee, ecc. Grandezze lineari e angolari che determinano la posizione ... ... Grande Enciclopedia Politecnico
Sistema di coordinate rettilinee ortonormali nello spazio euclideo. D.p.s. k. sul piano è dato da due assi di coordinate dirette reciprocamente perpendicolari, su ciascuno dei quali viene scelta una direzione positiva e un segmento dell'unità ... Enciclopedia Matematica
Il sistema di coordinate rettangolari è un sistema di coordinate rettilineo con assi mutuamente perpendicolari su un piano o nello spazio. Il sistema di coordinate più semplice e quindi più comunemente utilizzato. È molto facilmente e direttamente generalizzato per ... ... Wikipedia
Per determinare la posizione di un punto nello spazio, utilizzeremo le coordinate rettangolari cartesiane (Fig. 2).
Il sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio è formato da tre assi di coordinate reciprocamente perpendicolari OX, OY, OZ. Gli assi coordinati si intersecano nel punto O, che si chiama origine, su ogni asse si sceglie la direzione positiva indicata dalle frecce, e l'unità di misura dei segmenti sugli assi. Le unità sono generalmente (non necessariamente) le stesse per tutti gli assi. L'asse OX è chiamato asse delle ascisse (o semplicemente l'ascissa), l'asse OY è chiamato asse delle ordinate (ordinate), l'asse OZ è chiamato asse applicato (applicate).
La posizione del punto A nello spazio è determinata da tre coordinate x, y e z. La coordinata x è uguale alla lunghezza del segmento OB, la coordinata y è uguale alla lunghezza del segmento OC, la coordinata z è la lunghezza del segmento OD nelle unità selezionate. I segmenti OB, OC e OD sono definiti da piani tracciati da un punto parallelo ai piani YOZ, XOZ e XOY, rispettivamente.
La coordinata x è chiamata ascissa del punto A, la coordinata y è chiamata ordinata del punto A e la coordinata z è chiamata applicata del punto A.
Simbolicamente si scrive così:
o associare un record di coordinate a un punto specifico utilizzando un indice:
x LA , y LA , z LA ,
Ogni asse è considerato come una linea numerica, cioè ha una direzione positiva e valori di coordinate negativi sono assegnati ai punti che giacciono sul raggio negativo (la distanza è presa con un segno meno). Cioè se, ad esempio, il punto B non giaceva, come in figura, sulla semiretta BUE, ma sulla sua continuazione in rovescio dal punto O (sulla parte negativa dell'asse OX), allora l'ascissa x del punto A sarebbe negativa (meno la distanza OB). Analogamente per gli altri due assi.
Gli assi delle coordinate OX, OY, OZ mostrati in fig. 2 formano un sistema di coordinate destro. Ciò significa che se guardi il piano YOZ lungo la direzione positiva dell'asse OX, allora il movimento dell'asse OY verso l'asse OZ sarà in senso orario. Questa situazione può essere descritta utilizzando la regola del succhiello: se il succhiello (vite destrorsa) viene ruotato nella direzione dall'asse OY all'asse OZ, allora si sposterà lungo la direzione positiva dell'asse OX.
I vettori di lunghezza unitaria diretti lungo gli assi delle coordinate sono chiamati vettori di coordinate. Di solito sono indicati come 
(figura 3). C'è anche la designazione 
Gli orti costituiscono la base del sistema di coordinate.
Nel caso di un sistema di coordinate destro, sono valide le seguenti formule con prodotti vettoriali di orts:
