Si consideri un'equazione lineare omogenea del secondo ordine, cioè l'equazione
e stabilire alcune proprietà delle sue soluzioni.
Proprietà 1
Se è una soluzione di un'equazione lineare omogenea, allora C, dove C- una costante arbitraria, è una soluzione della stessa equazione.
Prova.
Sostituendo nel lato sinistro dell'equazione considerata C, noi abbiamo: ,
ma perché è una soluzione dell'equazione originale.
Di conseguenza,
e la validità di questa proprietà è provata.
Proprietà 2
La somma di due soluzioni di un'equazione lineare omogenea è una soluzione della stessa equazione.
Prova.
Siano e siano soluzioni dell'equazione considerata, allora
e .
Sostituendo ora + nell'equazione in esame, avremo:
, cioè. + è la soluzione dell'equazione originale.
Ne consegue dalle comprovate proprietà che, conoscendo due soluzioni particolari ed un'equazione lineare omogenea secondo ordine, possiamo trovare una soluzione , a seconda di due costanti arbitrarie, cioè da tante costanti quante ne dovrebbe contenere la soluzione generale dell'equazione del secondo ordine. Ma questa soluzione sarà generale, ad es. È possibile, scegliendo costanti arbitrarie, soddisfare condizioni iniziali date arbitrariamente?
Per rispondere a questa domanda utilizzeremo il concetto di indipendenza lineare delle funzioni, che si può definire come segue.
Le due funzioni e sono chiamate linearmente indipendente su qualche intervallo, se il loro rapporto su questo intervallo non è costante, cioè Se
.
In caso contrario, vengono chiamate le funzioni linearmente dipendente.
In altre parole, due funzioni e sono chiamate linearmente dipendenti da qualche intervallo se sull'intero intervallo.
Esempi
1. Funzioni y 1
= e X e y 2
= e -X sono linearmente indipendenti per tutti i valori di x, perché 
.
2. Funzioni y 1
= e X e y 2
= 5e X sono linearmente dipendenti, poiché 
.
Teorema 1.
Se le funzioni e sono linearmente dipendenti da qualche intervallo, allora il determinante , chiamato Il determinante di Vronskij di queste funzioni, è identicamente uguale a zero in questo intervallo.
Prova.
Se una
,
dove , allora e .
Di conseguenza,
.
Il teorema è stato dimostrato.
Commento.
Il determinante di Vronsky che appare nel teorema considerato è solitamente indicato con la lettera w o simboli.
Se le funzioni e sono soluzioni di un'equazione lineare omogenea del secondo ordine, vale il seguente teorema inverso e, inoltre, più forte.
Teorema 2.
Se il determinante di Wronsky, compilato per soluzioni e un'equazione omogenea lineare del secondo ordine, svanisce almeno in un punto, allora queste soluzioni sono linearmente dipendenti.
Prova.
Lascia che il determinante di Wronsky svanisca nel punto, cioè =0,
e lascia e .
Si consideri un sistema lineare omogeneo 
rispetto alle incognite e .
Il determinante di questo sistema coincide con il valore del determinante di Vronsky a
x=, cioè. coincide con , e, quindi, è uguale a zero. Pertanto, il sistema ha una soluzione diversa da zero e ( e non sono uguali a zero). Usando questi valori e , considera la funzione . Questa funzione è una soluzione alla stessa equazione delle funzioni e . Inoltre, questa funzione soddisfa zero condizioni iniziali: , perché e .
D'altra parte, è ovvio che la soluzione dell'equazione che soddisfa zero condizioni iniziali è la funzione y=0.
Per l'unicità della soluzione abbiamo: 
. Donde ne consegue 
,
quelli. funzioni e sono linearmente dipendenti. Il teorema è stato dimostrato.
Conseguenze.
1. Se il determinante di Wronsky che compare nei teoremi è uguale a zero per un certo valore x=, allora è uguale a zero per qualsiasi valore Xdall'intervallo considerato.
2. Se le soluzioni e sono linearmente indipendenti, il determinante di Wronsky non svanisce in nessun punto dell'intervallo considerato.
3. Se il determinante di Wronsky è diverso da zero almeno in un punto, le soluzioni e sono linearmente indipendenti.
Teorema 3.
Se e sono due soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione omogenea del secondo ordine , allora la funzione , dove e sono costanti arbitrarie, è una soluzione generale di questa equazione.
Prova.
Come è noto, la funzione è una soluzione dell'equazione considerata per qualsiasi valore di e . Dimostriamo ora che qualunque siano le condizioni iniziali
e ,
si possono scegliere i valori di costanti arbitrarie e in modo che la soluzione particolare corrispondente soddisfi le condizioni iniziali date.
Sostituendo le condizioni iniziali in uguaglianze, otteniamo il sistema di equazioni 
.
Da questo sistema è possibile determinare e , perché determinante di questo sistema 
è il determinante di Wronsky x= e, quindi, non è uguale a zero (per l'indipendenza lineare delle soluzioni e ).
;
.
Una soluzione particolare per i valori ottenuti e soddisfa le condizioni iniziali date. Così il teorema è dimostrato.
Esempi
Esempio 1
La soluzione generale dell'equazione è la soluzione.
Veramente,
.
Di conseguenza, funzioni sinx e cosx sono linearmente indipendenti. Ciò può essere verificato considerando la relazione di queste funzioni:
Esempio 2
Soluzione y = C 1
e X +C 2
e -X l'equazione è generale, perché 
.
Esempio 3
L'equazione 
, i cui coefficienti e
sono continue su qualsiasi intervallo che non contenga il punto x = 0, ammette soluzioni particolari 
(facile da controllare per sostituzione). Pertanto, la sua soluzione generale è: 
.
Commento
Abbiamo stabilito che la soluzione generale di un'equazione lineare omogenea del secondo ordine può essere ottenuta conoscendo due soluzioni particolari linearmente indipendenti di questa equazione. Tuttavia, non esistono metodi generali per trovare tali soluzioni parziali nella forma finale per equazioni a coefficienti variabili. Per equazioni con coefficienti costanti tale metodo esiste e sarà da noi considerato in seguito.
O già risolti rispetto alla derivata, oppure possono essere risolti rispetto alla derivata 
.
Decisione comune equazioni differenziali di tipo sull'intervallo X, che è dato, può essere trovato prendendo l'integrale di entrambi i lati di questa uguaglianza.
Ottenere 
.
Se osserviamo le proprietà dell'integrale indefinito, troviamo la soluzione generale desiderata:
y = F(x) + C,
dove F(x)- uno di funzioni antiderivate f(x) nel mezzo X, un DAè una costante arbitraria.
Si noti che nella maggior parte delle attività l'intervallo X non indicare. Ciò significa che una soluzione deve essere trovata per tutti. X, per cui e la funzione desiderata y, e l'equazione originale ha senso.
Se è necessario calcolare una soluzione particolare di un'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale y(x0) = y0, quindi dopo aver calcolato l'integrale generale y = F(x) + C, è ancora necessario determinare il valore della costante C=C0 utilizzando la condizione iniziale. Cioè, una costante C=C0 determinato dall'equazione F(x 0) + C = y 0, e la soluzione particolare desiderata dell'equazione differenziale assumerà la forma:
y = F(x) + C0.
Considera un esempio:
Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale, verifica la correttezza del risultato. Troviamo una soluzione particolare di questa equazione che soddisfi la condizione iniziale.
Soluzione:
Dopo aver integrato l'equazione differenziale data, otteniamo:
.
Prendiamo questo integrale con il metodo dell'integrazione per parti:
Quella., 
è una soluzione generale dell'equazione differenziale.
Controlliamo per assicurarci che il risultato sia corretto. Per fare ciò, sostituiamo la soluzione che abbiamo trovato nell'equazione data:
.
Cioè, a 
l'equazione originale si trasforma in identità:
pertanto, la soluzione generale dell'equazione differenziale è stata determinata correttamente.
La soluzione che abbiamo trovato è la soluzione generale dell'equazione differenziale per ogni valore reale dell'argomento X.
Resta da calcolare una particolare soluzione dell'ODE che soddisfi la condizione iniziale. In altre parole, è necessario calcolare il valore della costante DA, in cui l'uguaglianza sarà vera:
.
.
Quindi, sostituendo C = 2 nella soluzione generale dell'ODE, otteniamo una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfa la condizione iniziale:
.
Equazione differenziale ordinaria 
può essere risolto rispetto alla derivata dividendo le 2 parti dell'equazione per f(x). Questa trasformazione sarà equivalente se f(x) non va a zero per nessuno X dall'intervallo di integrazione dell'equazione differenziale X.
Le situazioni sono probabili quando, per alcuni valori dell'argomento X ∈ X funzioni f(x) e g(x) girare a zero contemporaneamente. Per valori simili X la soluzione generale dell'equazione differenziale è qualsiasi funzione y, che è definito in essi, perché .
Se per alcuni valori dell'argomento X ∈ X la condizione è soddisfatta, il che significa che in questo caso l'ODE non ha soluzioni.
Per tutti gli altri X dall'intervallo X la soluzione generale dell'equazione differenziale è determinata dall'equazione trasformata.
Diamo un'occhiata agli esempi:
Esempio 1
Troviamo la soluzione generale dell'ODE: 
.
Soluzione.
Dalle proprietà delle funzioni elementari di base, risulta chiaro che la funzione di logaritmo naturale è definita per valori non negativi dell'argomento, quindi il dominio dell'espressione log(x+3) c'è un intervallo X > -3 . Quindi, l'equazione differenziale data ha senso per X > -3 . Con questi valori dell'argomento, l'espressione x + 3 non svanisce, quindi si può risolvere l'ODE rispetto alla derivata dividendo le 2 parti per x + 3.
Noi abbiamo 
.
Successivamente, integriamo l'equazione differenziale risultante, risolta rispetto alla derivata: 
. Per prendere questo integrale, utilizziamo il metodo della sussunzione sotto il segno del differenziale.
I. Equazioni differenziali ordinarie
1.1. Concetti e definizioni di base
Un'equazione differenziale è un'equazione che mette in relazione una variabile indipendente X, la funzione desiderata y e suoi derivati o differenziali.
Simbolicamente, l'equazione differenziale è scritta come segue:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0
Un'equazione differenziale si dice ordinaria se la funzione desiderata dipende da una variabile indipendente.
Risolvendo l'equazione differenzialeè chiamata tale funzione che trasforma questa equazione in un'identità.
L'ordine dell'equazione differenzialeè l'ordine della derivata più alta in questa equazione
Esempi.
1. Considera l'equazione differenziale del primo ordine
La soluzione a questa equazione è la funzione y = 5 ln x. Anzi, sostituendo si" nell'equazione, otteniamo - un'identità.
E questo significa che la funzione y = 5 ln x– è la soluzione di questa equazione differenziale.
2. Considera l'equazione differenziale del secondo ordine y" - 5y" + 6y = 0. La funzione è la soluzione di questa equazione.
Veramente, .
Sostituendo queste espressioni nell'equazione, otteniamo: , - identità.
E questo significa che la funzione è la soluzione di questa equazione differenziale.
Integrazione di equazioni differenzialiè il processo per trovare soluzioni alle equazioni differenziali.
Soluzione generale dell'equazione differenzialeè chiamata funzione della forma 
, che include tante costanti arbitrarie indipendenti quanto l'ordine dell'equazione.
Soluzione parziale dell'equazione differenzialeè chiamata la soluzione ottenuta dalla soluzione generale per diversi valori numerici di costanti arbitrarie. I valori di costanti arbitrarie si trovano a determinati valori iniziali dell'argomento e della funzione.
Viene chiamato il grafico di una soluzione particolare di un'equazione differenziale curva integrale.
Esempi
1. Trova una soluzione particolare per un'equazione differenziale del primo ordine
xdx + ydy = 0, Se y= 4 a X = 3.
Soluzione. Integrando entrambi i lati dell'equazione, otteniamo
Commento. Una costante arbitraria C ottenuta come risultato dell'integrazione può essere rappresentata in qualsiasi forma conveniente per ulteriori trasformazioni. In questo caso, tenendo conto dell'equazione canonica del cerchio, è conveniente rappresentare una costante arbitraria С nella forma .
è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
Una soluzione particolare di un'equazione che soddisfa le condizioni iniziali y = 4 a X = 3 si trova dal generale sostituendo le condizioni iniziali nella soluzione generale: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
Sostituendo C=5 nella soluzione generale, otteniamo x2+y2 = 5 2 .
Questa è una soluzione particolare dell'equazione differenziale ottenuta dalla soluzione generale in determinate condizioni iniziali.
2. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale
La soluzione di questa equazione è qualsiasi funzione della forma , dove C è una costante arbitraria. Infatti, sostituendo nelle equazioni, otteniamo: , .
Pertanto, questa equazione differenziale ha un numero infinito di soluzioni, poiché per vari valori della costante C, determina l'uguaglianza varie soluzioni equazioni.
Ad esempio, per sostituzione diretta, si può verificare che le funzioni 
sono soluzioni dell'equazione.
Un problema in cui è necessario trovare una soluzione particolare all'equazione y" = f(x, y) soddisfacendo la condizione iniziale y(x0) = y0, è chiamato problema di Cauchy.
Soluzione di equazioni y" = f(x, y), soddisfacendo la condizione iniziale, y(x0) = y0, è chiamata soluzione al problema di Cauchy.
La soluzione del problema di Cauchy ha un significato geometrico semplice. Infatti, secondo queste definizioni, per risolvere il problema di Cauchy y" = f(x, y) a condizione y(x0) = y0, significa trovare la curva integrale dell'equazione y" = f(x, y) che passa per un dato punto M0 (x0,si 0).
II. Equazioni differenziali primo ordine
2.1. Concetti basilari
Un'equazione differenziale del primo ordine è un'equazione della forma F(x,y,y") = 0.
L'equazione differenziale del primo ordine include la derivata prima e non include le derivate di ordine superiore.
L'equazione y" = f(x, y)è chiamata equazione del primo ordine risolta rispetto alla derivata.
Una soluzione generale di un'equazione differenziale del primo ordine è una funzione della forma , che contiene una costante arbitraria.
Esempio. Consideriamo un'equazione differenziale del primo ordine.
La soluzione a questa equazione è la funzione.
Infatti, sostituendo in questa equazione il suo valore, otteniamo
questo è 3x=3x
Pertanto, la funzione è una soluzione generale dell'equazione per qualsiasi costante C.
Trova una soluzione particolare di questa equazione che soddisfi la condizione iniziale y(1)=1 Sostituzione delle condizioni iniziali x=1, y=1 nella soluzione generale dell'equazione , otteniamo da cui C=0.
Quindi, otteniamo una soluzione particolare da quella generale sostituendo in questa equazione il valore risultante C=0è una decisione privata
2.2. Equazioni differenziali con variabili separabili
Un'equazione differenziale con variabili separabili è un'equazione della forma: y"=f(x)g(y) o tramite differenziali , dove f(x) e g(y) vengono assegnate funzioni.
Per quelli y, per cui , l'equazione y"=f(x)g(y)è equivalente all'equazione 
in cui la variabile yè presente solo sul lato sinistro e la variabile x è presente solo sul lato destro. Dicono "nell'equazione y"=f(x)g(y separare le variabili.
Digita equazione è chiamata equazione variabile separata.
Dopo aver integrato entrambe le parti dell'equazione Su X, noi abbiamo G(y) = F(x) + Cè la soluzione generale dell'equazione, dove G(y) e F(x) sono alcune antiderivate, rispettivamente, di funzioni e f(x), C costante arbitraria.
Algoritmo per la risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine con variabili separabili
Esempio 1
risolvere l'equazione y" = xy
Soluzione. Derivata di una funzione si" sostituirlo con
separiamo le variabili
Integriamo entrambe le parti dell'uguaglianza:
Esempio 2
2aa" = 1- 3x 2, Se y 0 = 3 a x0 = 1
Questa è un'equazione variabile separata. Rappresentiamolo in differenziali. Per fare ciò, riscriviamo questa equazione nella forma 
Da qui 
Integrando entrambe le parti dell'ultima uguaglianza, troviamo
Sostituzione dei valori iniziali x 0 = 1, y 0 = 3 trova DA 9=1-1+C, cioè. C = 9.
Pertanto, l'integrale parziale desiderato sarà 
o 
Esempio 3
Scrivi un'equazione per una curva passante per un punto M(2;-3) e avendo una tangente con una pendenza
Soluzione. Secondo la condizione
Questa è un'equazione variabile separabile. Dividendo le variabili si ottiene: 
Integrando entrambe le parti dell'equazione, otteniamo: 
Utilizzando le condizioni iniziali, x=2 e y=-3 trova C:
Pertanto, l'equazione desiderata ha la forma 
2.3. Equazioni differenziali lineari del primo ordine
Un'equazione differenziale lineare del primo ordine è un'equazione della forma y" = f(x)y + g(x)
dove f(x) e g(x)- alcune funzioni date.
Se una g(x)=0 allora l'equazione differenziale lineare si dice omogenea e ha la forma: y" = f(x)y
Se poi l'equazione y" = f(x)y + g(x) chiamato eterogeneo.
Soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea y" = f(x)y data dalla formula: dove DAè una costante arbitraria.
In particolare, se C \u003d 0, allora la soluzione è y=0 Se l'equazione lineare omogenea ha la forma y" = ky dove Kè una costante, allora la sua soluzione generale ha la forma: .
Soluzione generale di un'equazione differenziale lineare disomogenea y" = f(x)y + g(x) dato dalla formula 
,
quelli. è uguale alla somma della soluzione generale della corrispondente equazione lineare omogenea e della soluzione particolare di questa equazione.
Per un'equazione lineare disomogenea della forma y" = kx + b,
dove K e b- alcuni numeri e una soluzione particolare saranno una funzione costante. Pertanto, la soluzione generale ha la forma .
Esempio. risolvere l'equazione y" + 2y +3 = 0
Soluzione. Rappresentiamo l'equazione nella forma y" = -2y - 3 dove k=-2, b=-3 La soluzione generale è data dalla formula.
Pertanto, dove C è una costante arbitraria.
2.4. Soluzione di equazioni differenziali lineari del primo ordine con il metodo di Bernoulli
Trovare una soluzione generale a un'equazione differenziale lineare del primo ordine y" = f(x)y + g(x) si riduce a risolvere due equazioni differenziali con variabili separate mediante la sostituzione y = uv, dove tu e v- funzioni sconosciute da X. Questo metodo risolutivo è chiamato metodo di Bernoulli.
Algoritmo per la risoluzione di un'equazione differenziale lineare del primo ordine
y" = f(x)y + g(x)
1. Immettere una sostituzione y = uv.
2. Differenziare questa uguaglianza y"=u"v + uv"
3. Sostituto y e si" in questa equazione: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) o u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. Raggruppa i termini dell'equazione in modo che tu toglilo da parentesi:
5. Dalla parentesi, uguagliandola a zero, trova la funzione
Questa è un'equazione separabile: 
Dividi le variabili e ottieni: 
Dove 
.
.
6. Sostituire il valore ricevuto v nell'equazione (dal punto 4):
e trova la funzione Questa è un'equazione separabile:
7. Scrivi la soluzione generale nella forma: 
, cioè. .
Esempio 1
Trova una soluzione particolare all'equazione y" = -2y +3 = 0 Se y=1 a x=0
Soluzione. Risolviamolo con la sostituzione y = uv,.y"=u"v + uv"
Sostituendo y e si" in questa equazione, otteniamo
Raggruppando il secondo e il terzo termine sul lato sinistro dell'equazione, eliminiamo il fattore comune tu fuori parentesi
Uguagliamo l'espressione tra parentesi a zero e, dopo aver risolto l'equazione risultante, troviamo la funzione v = v(x)
Abbiamo un'equazione con variabili separate. Integriamo entrambe le parti di questa equazione: Trova la funzione v:
Sostituisci il valore risultante v nell'equazione otteniamo:
Questa è un'equazione variabile separata. Integriamo entrambe le parti dell'equazione: 
Troviamo la funzione u = u(x,c) 
Troviamo una soluzione generale: 
Troviamo una soluzione particolare dell'equazione che soddisfi le condizioni iniziali y=1 a x=0:
III. Equazioni differenziali di ordine superiore
3.1. Concetti e definizioni di base
Un'equazione differenziale del secondo ordine è un'equazione contenente derivate non superiori al secondo ordine. A caso generale l'equazione differenziale del secondo ordine si scrive: F(x,y,y",y") = 0
La soluzione generale di un'equazione differenziale del secondo ordine è una funzione della forma , che include due costanti arbitrarie C1 e C2.
Una soluzione particolare di un'equazione differenziale del secondo ordine è una soluzione ottenuta da quella generale per alcuni valori di costanti arbitrarie C1 e C2.
3.2. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine con rapporti costanti.
Equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costantiè chiamata equazione della forma y" + py" + qy = 0, dove p e q sono valori costanti.
Algoritmo per la risoluzione di equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti
1. Scrivi l'equazione differenziale nella forma: y" + py" + qy = 0.
2. Componi la sua equazione caratteristica, denotandola si" attraverso r2, si" attraverso r, y in 1: r2 + pr +q = 0
Ricordiamo il problema che abbiamo dovuto affrontare quando abbiamo trovato integrali definiti:
oppure dy = f(x)dx. La sua soluzione:
e si riduce al calcolo di un integrale indefinito. In pratica, un compito più difficile è più comune: trovare una funzione y, se è noto che soddisfa una relazione della forma
Questa relazione mette in relazione la variabile indipendente X, funzione sconosciuta y e suoi derivati fino all'ordine n inclusi, sono chiamati .
Un'equazione differenziale include una funzione sotto il segno delle derivate (o differenziali) di un ordine o dell'altro. L'ordine del più alto è chiamato ordine (9.1) .
Equazioni differenziali:
- primo ordine
secondo ordine,
- quinto ordine, ecc.
Una funzione che soddisfa una data equazione differenziale è chiamata sua soluzione , o integrale . Risolverlo significa trovare tutte le sue soluzioni. Se per la funzione desiderata y riusciti ad ottenere una formula che dia tutte le soluzioni, allora diciamo di aver trovato la sua soluzione generale , o integrale generale .
Decisione comune
contiene n costanti arbitrarie 
e sembra
Se si ottiene una relazione che si riferisce x, y e n costanti arbitrarie, in una forma non consentita rispetto a y -
allora tale relazione è chiamata integrale generale dell'equazione (9.1).
Ogni soluzione specifica, cioè ogni funzione specifica che soddisfa una data equazione differenziale e non dipende da costanti arbitrarie, è chiamata soluzione particolare , o integrale privato. Per ottenere soluzioni particolari (integrali) da quelle generali, è necessario attribuire alle costanti valori numerici specifici.
Il grafico di una soluzione particolare è chiamato curva integrale. La soluzione generale, che contiene tutte le soluzioni particolari, è una famiglia di curve integrali. Per un'equazione del primo ordine, questa famiglia dipende da una costante arbitraria; per l'equazione n esimo ordine - da n costanti arbitrarie.
Il problema di Cauchy consiste nel trovare una soluzione particolare all'equazione n ordine, soddisfacente n condizioni iniziali:
che determinano n costanti ñ 1 , ñ 2 ,..., c n.
Per un irrisolto rispetto alla derivata, l'equazione differenziale del 1° ordine ha la forma
o per permesso relativamente
Esempio 3.46. Trova una soluzione generale all'equazione
Soluzione. Integrando, otteniamo
dove C è una costante arbitraria. Se diamo a C valori numerici specifici, otteniamo soluzioni particolari, ad esempio,
Esempio 3.47. Si consideri un importo crescente di denaro depositato in banca, soggetto alla maturazione di 100 r interesse composto per anno. Sia Yo l'importo iniziale di denaro e Yx dopo la scadenza X anni. Quando l'interesse viene calcolato una volta all'anno, otteniamo
dove x = 0, 1, 2, 3,.... Quando l'interesse viene calcolato due volte l'anno, otteniamo
dove x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Quando si calcolano gli interessi n una volta all'anno e se x assume successivamente i valori 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., quindi
Denota 1/n = h , quindi l'uguaglianza precedente sarà simile a:
Con ingrandimento illimitato n(a 
) nel limite si arriva al processo di aumento della quantità di denaro con maturazione continua degli interessi:
Quindi, si può vedere che con un cambiamento continuo X la legge di variazione dell'offerta di moneta è espressa da un'equazione differenziale del 1° ordine. Dove Y x è una funzione sconosciuta, X- variabile indipendente, r- costante. Risolviamo questa equazione, per questo la riscriviamo come segue:
dove 
, o 
, dove P sta per e C .
Dalle condizioni iniziali Y(0) = Yo , troviamo P: Yo = Pe o , da cui Yo = P. Pertanto, la soluzione si presenta come:
Consideriamo il secondo problema economico. I modelli macroeconomici sono descritti anche da equazioni differenziali lineari del 1° ordine, che descrivono la variazione del reddito o della produzione Y in funzione del tempo.
Esempio 3.48. Lascia che il reddito nazionale Y aumenti di un tasso proporzionale alla sua dimensione:
e lasciamo che il disavanzo della spesa pubblica sia direttamente proporzionale al reddito Y con un coefficiente di proporzionalità q. Il deficit di spesa porta ad un aumento del debito pubblico D:
Condizioni iniziali Y = Yo e D = Do a t = 0. Dalla prima equazione Y= Yoe kt . Sostituendo Y otteniamo dD/dt = qYoe kt . La soluzione generale ha la forma
D = (q/ k) Yoe kt +С, dove С = const, che è determinato dalle condizioni iniziali. Sostituendo le condizioni iniziali, otteniamo Do = (q/k)Yo + C. Quindi, infine,
D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),
questo mostra che il debito pubblico sta crescendo allo stesso tasso relativo K, che è il reddito nazionale.
Considera le equazioni differenziali più semplici n ordine, queste sono equazioni della forma
La sua soluzione generale può essere ottenuta utilizzando n tempi di integrazione.
Esempio 3.49. Considera l'esempio y """ = cos x.
Soluzione. Integrando, troviamo
La soluzione generale ha la forma
In economia sono di grande utilità, considera la soluzione di tali equazioni. Se la (9.1) ha la forma:
allora si chiama lineare, dove po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) sono date funzioni. Se f(x) = 0, allora la (9.2) si dice omogenea, altrimenti si dice non omogenea. La soluzione generale dell'equazione (9.2) è uguale alla somma di una qualsiasi delle sue soluzioni particolari y(x) e la soluzione generale dell'equazione omogenea ad essa corrispondente:
Se i coefficienti p o (x), p 1 (x),..., p n (x) sono costanti, allora (9.2)
(9.4) è chiamata equazione differenziale lineare a coefficienti d'ordine costanti n .
Per la (9.4) ha la forma:
Possiamo impostare senza perdita di generalità p o = 1 e scrivere (9.5) nella forma
Cercheremo una soluzione (9.6) nella forma y = e kx , dove k è una costante. Abbiamo: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Sostituendo le espressioni ottenute nella (9.6), avremo:
(9.7) si equazione algebrica, il suo sconosciuto è K, si chiama caratteristico. L'equazione caratteristica ha grado n e n radici, tra le quali possono esserci sia multiple che complesse. Sia k 1 , k 2 ,..., k n reale e distinto, allora 
sono soluzioni particolari (9.7), mentre le generali
Consideriamo un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti:
La sua caratteristica equazione ha la forma
(9.9)
il suo discriminante D = p 2 - 4q, a seconda del segno di D, sono possibili tre casi.
1. Se D>0, le radici k 1 e k 2 (9.9) sono reali e diverse e la soluzione generale ha la forma:
Soluzione. Equazione caratteristica: k 2 + 9 = 0, da cui k = ± 3i, a = 0, b = 3, la soluzione generale è:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
Nello studio vengono utilizzate equazioni differenziali lineari del 2° ordine modello economico tipo ragnatela con stock di merci, dove il tasso di variazione del prezzo P dipende dalla dimensione dello stock (vedi paragrafo 10). Se domanda e offerta sono funzioni lineari del prezzo, cioè
a - è una costante che determina la velocità di reazione, quindi il processo di variazione del prezzo è descritto da un'equazione differenziale:
Per una soluzione particolare, puoi prendere una costante
che ha il significato di prezzo di equilibrio. Deviazione 
soddisfa equazione omogenea
(9.10)
L'equazione caratteristica sarà la seguente:
Nel caso, il termine è positivo. Denota 
. Le radici dell'equazione caratteristica k 1,2 = ± i w, quindi la soluzione generale (9.10) ha la forma:
dove C e costanti arbitrarie, sono determinate dalle condizioni iniziali. Abbiamo ottenuto la legge della variazione dei prezzi nel tempo:
