Numero- il concetto matematico più importante che è cambiato nel corso dei secoli.
Le prime idee sul numero sono nate dal conteggio di persone, animali, frutta, prodotti vari, ecc. Il risultato sono numeri naturali: 1, 2, 3, 4, ...
Storicamente, la prima estensione del concetto di numero è l'aggiunta di numeri frazionari a un numero naturale.
Sparo chiamato parte (azione) di un'unità o più parti uguali di essa.
Designato: , dove m,n- numeri interi;
Frazioni con denominatore 10 n, dove nè un numero intero, sono chiamati decimale: .
Tra le frazioni decimali, un posto speciale è occupato da frazioni periodiche: - frazione periodica pura, 
- frazione periodica mista.
Un'ulteriore espansione del concetto di numero è già causata dallo sviluppo della matematica stessa (algebra). Cartesio nel XVII secolo introduce il concetto numero negativo.
Vengono chiamati i numeri interi (positivi e negativi), frazionari (positivi e negativi) e zero numeri razionali. Qualsiasi numero razionale può essere scritto come frazione finita e periodica.
Per studiare variabili in continuo cambiamento, si è rivelato necessario ampliare il concetto di numero - l'introduzione dei numeri reali (reali) - aggiungendo numeri irrazionali ai numeri razionali: numeri irrazionali sono infinite frazioni decimali non periodiche.
I numeri irrazionali sono comparsi quando si misurano segmenti incommensurabili (lato e diagonale di un quadrato), in algebra - quando si estraggono le radici, un esempio di numero trascendentale e irrazionale è π, e .
Numeri naturale(1, 2, 3,...), totale(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), razionale(rappresentato come una frazione) e irrazionale(non rappresentabile come frazione ) formare un insieme reale (reale) numeri.
Separatamente in matematica, si distinguono i numeri complessi.
Numeri complessi sorgono in connessione con il problema di risolvere i quadrati per il caso D< 0 (здесь Dè il discriminante dell'equazione quadratica). Per molto tempo questi numeri non hanno trovato uso fisico, motivo per cui sono stati chiamati numeri "immaginari". Tuttavia, ora sono ampiamente utilizzati in vari campi della fisica e della tecnologia: ingegneria elettrica, idro e aerodinamica, teoria dell'elasticità, ecc.
Numeri complessi sono scritti come: z= un+ bi. Qui un e b – numeri reali, un io – unità immaginaria.e. io 2 = -uno. Numero un chiamato ascissa, un b-ordinato numero complesso un+ bi. Due numeri complessi un+ bi e a-bi chiamato coniugare numeri complessi.
Proprietà:
1. Numero reale un può anche essere scritto come un numero complesso: un+ 0io o un - 0io. Ad esempio 5 + 0 io e 5 - 0 io significa lo stesso numero 5 .
2. Numero complesso 0 + bi chiamato puramente immaginario numero. Registrazione bi significa uguale a 0 + bi.
3. Due numeri complessi un+ bi e c+ di sono considerati uguali se un= c e b= d. Altrimenti numeri complessi non uguale.
Azioni:
Aggiunta. La somma dei numeri complessi un+ bi e c+ diè chiamato numero complesso ( un+ c) + (b+ d)io. In questo modo, quando si aggiungono numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono aggiunte separatamente.
Sottrazione. La differenza tra due numeri complessi un+ bi(ridotto) e c+ di(sottratto) è chiamato numero complesso ( corrente alternata) + (b-d)io. In questo modo, quando si sottraggono due numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono sottratte separatamente.
Moltiplicazione. Il prodotto di numeri complessi un+ bi e c+ diè chiamato numero complesso.
(ac-bd) + (anno Domini+ avanti Cristo)io. Questa definizione nasce da due requisiti:
1) numeri un+ bi e c+ di deve moltiplicarsi come binomi algebrici,
2) numero io ha la proprietà principale: io 2 = –1.
ESEMPIO ( a + bi)(a-bi)= a 2 +b 2 . Di conseguenza, operadi due numeri complessi coniugati è uguale a un numero reale positivo.
Divisione. Dividi un numero complesso un+ bi(divisibile) all'altro c+ di (divisore) - significa trovare il terzo numero e+ fi(chat), che, moltiplicato per un divisore c+ di, che si traduce nel dividendo un+ bi. Se il divisore non è zero, la divisione è sempre possibile.
ESEMPIO Trova (8+ io) : (2 – 3io) .
Soluzione Riscriviamo questo rapporto come una frazione:
Moltiplicando numeratore e denominatore per 2 + 3 io e facendo tutte le trasformazioni, otteniamo:
Compito 1: somma, sottrai, moltiplica e dividi z 1 a z 2
Estrazione della radice quadrata: Risolvi l'equazione X 2 = -un. Per risolvere questa equazione siamo costretti a usare un nuovo tipo di numeri - numeri immaginari . In questo modo, immaginario il numero è chiamato la cui seconda potenza è un numero negativo. Secondo questa definizione di numeri immaginari, possiamo definire e immaginario unità:
Poi per l'equazione X 2 = - 25 ne otteniamo due immaginario radice:
Compito 2: Risolvi l'equazione:
1) x 2 = – 36; 2) X 2 = – 49; 3) X 2 = – 121
Rappresentazione geometrica di numeri complessi. I numeri reali sono rappresentati da punti sulla linea dei numeri:
Ecco il punto UN significa numero -3, punto Bè il numero 2, e o-zero. Al contrario, i numeri complessi sono rappresentati da punti sul piano delle coordinate. Per questo, scegliamo coordinate rettangolari (cartesiane) con le stesse scale su entrambi gli assi. Poi il numero complesso un+ bi sarà rappresentato da un punto P con ascissaun e ordinateb. Questo sistema di coordinate viene chiamato piano complesso .
modulo numero complesso è chiamato lunghezza del vettore OPERAZIONE, raffigurante un numero complesso sulla coordinata ( integrato) aereo. Modulo numerico complesso un+ bi indicato da | un+ bi| o) lettera r ed è uguale a:
I numeri complessi coniugati hanno lo stesso modulo.
Le regole per disegnare un disegno sono quasi le stesse di un disegno in un sistema di coordinate cartesiane Lungo gli assi, è necessario impostare la quota, nota:
e 
unità lungo l'asse reale; Riz
unità immaginaria lungo l'asse immaginario. sono z
Compito 3. Costruisci i seguenti numeri complessi sul piano complesso: , , , , , , ,
1. I numeri sono esatti e approssimativi. I numeri che incontriamo in pratica sono di due tipi. Alcuni danno il vero valore della quantità, altri solo approssimativo. Il primo si chiama esatto, il secondo approssimativo. Molto spesso è conveniente utilizzare un numero approssimativo anziché un numero esatto, soprattutto perché in molti casi non è possibile trovare il numero esatto.
Quindi, se dicono che ci sono 29 studenti nella classe, allora il numero 29 è esatto. Se dicono che la distanza da Mosca a Kiev è di 960 km, qui il numero 960 è approssimativo, poiché, da un lato, i nostri strumenti di misura non sono assolutamente accurati, dall'altro le città stesse hanno una certa estensione.
Anche il risultato di operazioni con numeri approssimativi è un numero approssimativo. Eseguendo alcune operazioni sui numeri esatti (divisione, estrazione della radice), puoi anche ottenere numeri approssimativi.
La teoria dei calcoli approssimativi consente:
1) conoscendo il grado di accuratezza dei dati, valutare il grado di accuratezza dei risultati;
2) prelevare i dati con un grado di accuratezza adeguato, sufficiente a garantire l'accuratezza richiesta del risultato;
3) razionalizzare il processo di calcolo, liberandolo da quei calcoli che non influiranno sull'accuratezza del risultato.
2. Arrotondamento. Una fonte di numeri approssimativi è l'arrotondamento. Arrotonda sia i numeri approssimativi che quelli esatti.
L'arrotondamento di un dato numero ad alcune delle sue cifre è la sua sostituzione con un nuovo numero, che si ottiene da quello dato scartando tutte le sue cifre scritte a destra della cifra di questa cifra, o sostituendole con zeri. Questi zeri sono generalmente sottolineati o scritti più piccoli. Per garantire la massima vicinanza del numero arrotondato a quello arrotondato, è necessario utilizzare le seguenti regole: per arrotondare il numero a uno di una determinata cifra, è necessario scartare tutte le cifre dopo la cifra di questa cifra e sostituirle con zeri nel numero intero. Ciò tiene conto di quanto segue:
1) se la prima (a sinistra) delle cifre scartate è inferiore a 5, l'ultima cifra rimanente non viene modificata (arrotondamento per difetto);
2) se la prima cifra scartata è maggiore di 5 o uguale a 5, l'ultima cifra rimanente viene aumentata di uno (arrotondando per eccesso).
Mostriamolo con esempi. Arrotondare:
a) entro i decimi delle ore 12.34;
b) fino a centesimi di 3,2465; 1038.785;
c) fino a millesimi di 3,4335.
d) fino a 12375 mila; 320729.
a) 12.34 ≈ 12.3;
b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038.785 ≈ 1038.79;
c) 3,4335 ≈ 3,434.
d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.
3. Errori assoluti e relativi. La differenza tra il numero esatto e il suo valore approssimativo è chiamata errore assoluto del numero approssimativo. Ad esempio, se il numero esatto 1,214 è arrotondato ai decimi, otteniamo un numero approssimativo di 1,2. A questo caso l'errore assoluto del numero approssimativo 1.2 è 1.214 - 1.2, cioè 0,014.
Ma nella maggior parte dei casi valore esatto il valore considerato è sconosciuto, ma solo approssimativo. Quindi anche l'errore assoluto è sconosciuto. In questi casi, indicare il limite che non supera. Questo numero è chiamato errore assoluto marginale. Dicono che il valore esatto di un numero è uguale al suo valore approssimativo con un errore inferiore all'errore al contorno. Ad esempio, il numero 23,71 è il valore approssimativo del numero 23,7125 con una precisione di 0,01, poiché l'errore di approssimazione assoluto è 0,0025 e inferiore a 0,01. Qui l'errore assoluto del limite è uguale a 0,01 * .
Errore assoluto limite del numero approssimativo un indicato dal simbolo Δ un. Registrazione
X≈un(±Δ un)
va inteso come segue: il valore esatto della quantità Xè nel mezzo un– Δ un e un+ Δ un, che sono chiamati rispettivamente limite inferiore e superiore. X e denotiamo NG X VG X.
Ad esempio, se X≈ 2,3 (±0,1), quindi 2,2<X< 2,4.
Viceversa, se 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). L'errore assoluto o marginale assoluto non caratterizza la qualità della misurazione. Lo stesso errore assoluto può essere considerato significativo e insignificante, a seconda del numero che esprime il valore misurato. Ad esempio, se misuriamo la distanza tra due città con una precisione di un chilometro, tale precisione è abbastanza sufficiente per questo cambiamento, mentre allo stesso tempo, quando si misura la distanza tra due case sulla stessa strada, tale precisione sarà inaccettabile. Pertanto, l'accuratezza del valore approssimativo di una grandezza dipende non solo dall'entità dell'errore assoluto, ma anche dal valore della grandezza misurata. Pertanto, la misura dell'accuratezza è l'errore relativo.
L'errore relativo è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore del numero approssimativo. Il rapporto tra l'errore assoluto al contorno e il numero approssimativo è chiamato errore relativo al contorno; denotarlo così: Gli errori relativi e relativi al limite sono generalmente espressi in percentuale. Ad esempio, se le misurazioni mostrano che la distanza X tra due punti è maggiore di 12,3 km, ma inferiore a 12,7 km, quindi la media aritmetica di questi due numeri viene presa come valore approssimativo, cioè la loro semisomma, quindi l'errore assoluto di confine è uguale alla semidifferenza di questi numeri. In questo caso X≈ 12,5 (±0,2). Qui, l'errore assoluto del confine è 0,2 km e il confine è relativo
) sono numeri con segno positivo o negativo (intero e frazionario) e zero. Un concetto più preciso numeri razionali, suona così:
numero razionale- un numero rappresentato da una semplice frazione m/n, dove il numeratore m sono numeri interi e denominatore n- numeri interi, ad esempio 2/3.
Le frazioni infinite non periodiche NON sono incluse nell'insieme dei numeri razionali.
a/b, dove un∈ Z (un appartiene a numeri interi) b∈ N (b appartiene ai numeri naturali).
A vita reale l'insieme dei numeri razionali viene utilizzato per contare le parti di alcuni oggetti interi divisibili, Per esempio, torte o altri alimenti tagliati a pezzi prima del consumo, o per una stima approssimativa delle relazioni spaziali di oggetti estesi.
Proprietà di base dei numeri razionali.
1. ordine un e b c'è una regola che permette di identificare univocamente tra loro 1-ma e solo una delle 3 relazioni: “<», «>" o "=". Questa regola è - regola di ordinamento e formulalo così:
∀ a, b∈ D(a ∨ a>b∨ a=b)
2. Operazione di addizione. Per tutti i numeri razionali un e b c'è regola di somma, che li pone in corrispondenza di un certo numero razionale c. Tuttavia, il numero stesso c- questo è somma numeri un e b ed è indicato come (a+b) somma.
Regola di somma sembra così:
m a/n un + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n / a)/(n / a⋅ nb).
∀ a, b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q
3. operazione di moltiplicazione. Per tutti i numeri razionali un e b c'è regola di moltiplicazione, li associa a un certo numero razionale c. Viene chiamato il numero c opera numeri un e b e denotare (a⋅b) e viene chiamato il processo per trovare questo numero moltiplicazione.
regola di moltiplicazione sembra così: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Transitività della relazione d'ordine. Per tre numeri razionali qualsiasi un, b e c Se un meno b e b meno c, poi un meno c, cosa succede se unè uguale a b e bè uguale a c, poi unè uguale a c.
∀ a, b, c∈ D(a ∧ b ⇒ un ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)
5. Commutatività dell'addizione. Da un cambiamento nei luoghi dei termini razionali, la somma non cambia.
∀ a, b∈ Qa+b=b+a
6. Associatività dell'addizione. L'ordine di addizione di 3 numeri razionali non influisce sul risultato.
∀ a, b, c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)
7. Presenza di zero. C'è un numero razionale 0, conserva ogni altro numero razionale quando viene aggiunto.
∃ 0 ∈ Q∀ un∈ Qa+0=a
8. Presenza di numeri opposti. Ogni numero razionale ha un numero razionale opposto, sommandoli insieme si ottiene 0.
∀ un∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(-a)=0
9. Commutatività della moltiplicazione. Cambiando i luoghi dei fattori razionali, il prodotto non cambia.
∀ a, b∈ Qa⋅ b=b⋅ un
10. Associatività della moltiplicazione. L'ordine di moltiplicazione di 3 numeri razionali non influisce sul risultato.
∀ a, b, c∈ D(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)
11. Disponibilità di un'unità. C'è un numero razionale 1, esso conserva ogni altro numero razionale nel processo di moltiplicazione.
∃ 1 ∈ Q∀ un∈ Qa⋅ 1=a
12. Presenza di reciproci. Qualsiasi numero razionale diverso da zero ha un numero razionale inverso, moltiplicando per il quale otteniamo 1 .
∀ un∈ Q∃ a-1∈ Qa⋅ a−1=1
13. Distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione. L'operazione di moltiplicazione è correlata all'addizione usando la legge di distribuzione:
∀ a, b, c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c
14. Collegamento della relazione d'ordine con l'operazione di addizione. a sinistra e parti giuste le disuguaglianze razionali aggiungono lo stesso numero razionale.
∀ a, b, c∈ Qa ⇒ a+c
15. Collegamento della relazione d'ordine con l'operazione di moltiplicazione. I lati sinistro e destro di una disuguaglianza razionale possono essere moltiplicati per lo stesso numero razionale non negativo.
∀ a, b, c∈ Qc>0∧ un ⇒ un⋅ c ⋅ c
16. Assioma di Archimede. Qualunque sia il numero razionale un, è facile prendere così tante unità che la loro somma sarà maggiore un.
Definizione di numeri razionali:
Un numero razionale è un numero che può essere rappresentato come una frazione. Il numeratore di tale frazione appartiene all'insieme degli interi e il denominatore appartiene all'insieme dei numeri naturali.
In latino "ratio" (ratio) significa ratio. I numeri razionali possono essere rappresentati come un rapporto, ad es. in altre parole, come una frazione.
Il numero 2/3 è un numero razionale. Come mai? Questo numero è rappresentato come una frazione, il cui numeratore appartiene all'insieme degli interi e il denominatore appartiene all'insieme dei numeri naturali.
Per ulteriori esempi di numeri razionali, vedere l'articolo.
Frazioni diverse possono rappresentare lo stesso numero razionale.
Considera il numero razionale 3/5. Questo numero razionale è uguale a
Riduci numeratore e denominatore di un fattore comune di 2:
| 6 | = | 2 * 3 | = | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 2 * 5 | 5 |
Abbiamo ottenuto la frazione 3/5, il che significa questo
In questa lezione conosceremo l'insieme dei numeri razionali. Analizzeremo le proprietà di base dei numeri razionali, impareremo come tradurre le frazioni decimali in quelle ordinarie e viceversa.
Abbiamo già parlato degli insiemi di numeri naturali e interi. L'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme di numeri interi.
Ora abbiamo imparato cosa sono le frazioni, abbiamo imparato a lavorarci. Una frazione, ad esempio, non è un numero intero. Ciò significa che è necessario descrivere un nuovo insieme di numeri, che includerà tutte le frazioni, e questo insieme richiede un nome, una definizione chiara e una designazione.
Cominciamo dal nome. La parola latina ratio è tradotta in russo come ratio, frazione. Il nome del nuovo insieme "numeri razionali" deriva da questa parola. Cioè, i "numeri razionali" possono essere tradotti come "numeri frazionari".
Scopriamo in quali numeri è composto questo set. Si può presumere che sia composto da tutte le frazioni. Ad esempio, tale -. Ma una tale definizione non sarebbe del tutto corretta. Una frazione non è un numero in sé, ma una forma di scrittura di un numero. Nell'esempio seguente, due diverse frazioni rappresentano lo stesso numero:
Allora sarà più preciso dire che i numeri razionali sono quei numeri che possono essere rappresentati come una frazione. E questa è in realtà quasi la stessa definizione usata in matematica.
Questo insieme è indicato dalla lettera . E come sono collegati gli insiemi di numeri naturali e interi con il nuovo insieme di numeri razionali? Un numero naturale può essere scritto come frazione in infiniti modi. E poiché può essere rappresentato come una frazione, è anche razionale.
La situazione è simile con gli interi negativi. Qualsiasi numero intero negativo può essere espresso come frazione 
. Lo zero può essere rappresentato come una frazione? Certo che puoi, anche in infiniti modi. 
.
Pertanto, tutti i numeri naturali e tutti gli interi sono anche numeri razionali. Gli insiemi di numeri naturali e interi sono sottoinsiemi dell'insieme di numeri razionali ().
Chiusura di insiemi rispetto alle operazioni aritmetiche
La necessità di introdurre nuovi numeri - interi, poi razionali - può essere spiegata non solo da problemi della vita reale. Ce lo dicono le stesse operazioni aritmetiche. Aggiungiamo due numeri naturali: . Otteniamo di nuovo un numero naturale.
Dicono che l'insieme dei numeri naturali è chiuso per operazione di addizione (chiuso per addizione). Pensa tu stesso se l'insieme dei numeri naturali è chiuso per moltiplicazione.
Non appena proviamo a sottrarre da un numero uguale o maggiore, allora non abbiamo abbastanza numeri naturali. L'introduzione di zero e numeri interi negativi risolve la situazione:
L'insieme degli interi è chiuso per sottrazione. Possiamo aggiungere e sottrarre qualsiasi numero intero senza timore di non avere un numero per scrivere il risultato (chiuso per addizione e sottrazione).
L'insieme degli interi è chiuso per moltiplicazione? Sì, il prodotto di due interi qualsiasi risulta in un intero (chiuso per addizione, sottrazione e moltiplicazione).
Rimane un'altra azione: la divisione. L'insieme degli interi è chiuso per divisione? La risposta è ovvia: no. Dividiamo per. Tra gli interi non c'è nessuno che scriva la risposta: .
Ma usando un numero frazionario, possiamo quasi sempre annotare il risultato della divisione di un numero intero per un altro. Perché quasi? Ricorda che, per definizione, non puoi dividere per zero.
Pertanto, l'insieme dei numeri razionali (che deriva dall'introduzione delle frazioni) afferma di essere un insieme chiuso in tutte e quattro le operazioni aritmetiche.
Controlliamo.
Cioè, l'insieme dei numeri razionali è chiuso per addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, esclusa la divisione per zero. In questo senso, possiamo dire che l'insieme dei numeri razionali è organizzato "meglio" rispetto ai precedenti insiemi di numeri naturali e interi. Questo significa che i numeri razionali sono l'ultimo insieme di numeri che studiamo? No. Successivamente avremo altri numeri che non possono essere scritti come frazioni, ad esempio quelli irrazionali.
I numeri come strumento
I numeri sono uno strumento che l'uomo ha creato secondo necessità.
Riso. 1. Uso dei numeri naturali
Inoltre, quando è stato necessario eseguire calcoli monetari, hanno iniziato a mettere i segni più o meno davanti al numero, mostrando se era necessario aumentare o diminuire il valore originale. Quindi c'erano numeri negativi e positivi. Il nuovo insieme è stato chiamato insieme di interi ().
Riso. 2. Uso dei numeri frazionari
Pertanto, appare un nuovo strumento, nuovi numeri - frazioni. Le scriviamo in diversi modi equivalenti: frazioni ordinarie e decimali ( 
).
Tutti i numeri - "vecchio" (intero) e "nuovo" (frazionario) - sono stati combinati in un insieme e lo hanno chiamato l'insieme dei numeri razionali (- numeri razionali)
Quindi, un numero razionale è un numero che può essere rappresentato come frazione comune. Ma questa definizione in matematica è ancora un po' più precisa. Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione con denominatore positivo, cioè il rapporto tra un numero intero e un numero naturale: 
.
Quindi otteniamo la definizione: un numero si dice razionale se può essere rappresentato come una frazione con numeratore intero e denominatore naturale ( 
).
Oltre alle frazioni ordinarie, utilizziamo anche i decimali. Vediamo come sono correlati all'insieme dei numeri razionali.
Esistono tre tipi di frazioni decimali: finite, periodiche e non periodiche.
Frazioni infinite non periodiche: tali frazioni hanno anche un numero infinito di cifre dopo la virgola, ma non c'è punto. Un esempio è la notazione decimale per il numero PI: 
Qualsiasi finale decimale per definizione, è una frazione ordinaria con denominatore, e così via.
Leggiamo ad alta voce la frazione decimale e la scriviamo sotto forma di un ordinario:,.
Nella transizione inversa dalla scrittura sotto forma di frazione ordinaria a quella decimale, si possono ottenere frazioni decimali finali o frazioni periodiche infinite.
Passa da frazione a decimale
Il caso più semplice è quando il denominatore di una frazione è una potenza di dieci: e così via. Usiamo quindi la definizione di frazione decimale:
Ci sono frazioni in cui il denominatore si riduce facilmente a questa forma: . È possibile passare a tale notazione se nell'espansione del denominatore sono inclusi solo due e cinque.
Il denominatore è composto da tre due e uno cinque. Ognuno forma un dieci. Quindi ne mancano due. Moltiplica sia per il numeratore che per il denominatore:
Si sarebbe potuto fare diversamente. Dividi per una colonna per (vedi Fig. 1).
Riso. 2. Lunga divisione
Nel caso di c, il denominatore non può essere trasformato in o in un altro numero di bit, poiché la sua espansione include una tripla. C'è solo un modo rimasto: dividere in una colonna (vedi Fig. 2).
Tale divisione ad ogni passo darà il resto e il quoziente. Questo processo è infinito. Cioè, abbiamo una frazione periodica infinita con un periodo
Facciamo un pò di pratica. Converti le frazioni ordinarie in decimali.
In tutti questi esempi, abbiamo ottenuto la frazione decimale finale, poiché nell'espansione del denominatore c'erano solo due e cinque.
(controlliamoci dividendo in una tabella - vedi Fig. 3).
Riso. 3. Lunga divisione
Riso. 4. Lunga divisione
(vedi fig. 4)
L'espansione del denominatore include una tripla, che significa portare il denominatore alla forma, ecc. non funzionerà. Dividiamo per in una colonna. La situazione si ripeterà. Ci sarà un numero infinito di triple nel record dei risultati. In questo modo, .
(vedi fig. 5)
Riso. 5. Lunga divisione
Quindi, qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione ordinaria. Questa è la sua definizione.
E qualsiasi frazione ordinaria può essere rappresentata come frazione decimale periodica finita o infinita.
Tipi di frazioni di scrittura:
scrivendo una frazione decimale sotto forma di un ordinario: ; 
;
scrivendo una frazione ordinaria come decimale: (frazione finale); (periodico infinito).
Cioè, qualsiasi numero razionale può essere scritto come frazione decimale finita o periodica. In questo caso la frazione finale può essere considerata anche periodica con periodo zero.
A volte a un numero razionale viene data proprio una tale definizione: un numero razionale è un numero che può essere scritto come una frazione decimale periodica.
Trasformazione periodica della frazione
Consideriamo prima una frazione il cui periodo è costituito da una cifra e non ha preperiodo. Indichiamo questo numero come . Il metodo è ottenere un altro numero con lo stesso periodo:
Questo può essere fatto moltiplicando il numero originale per . Quindi il numero ha lo stesso periodo. Sottrai dal numero stesso:
Per assicurarci di aver fatto tutto bene, ora passiamo a rovescio, già noto a noi in un certo senso - dividendo in una colonna per (vedi Fig. 1).
In effetti, otteniamo un numero nella sua forma originale con un periodo di .
Considera un numero con un preperiodo e un periodo più lungo: . Il metodo rimane esattamente lo stesso dell'esempio precedente. Devi ottenere un nuovo numero con lo stesso periodo e un pre-periodo della stessa lunghezza. Per fare ciò, è necessario che la virgola si sposti a destra della lunghezza del punto, ad es. per due caratteri. Moltiplica il numero originale per:
Sottrarre l'espressione originale dall'espressione risultante:
Allora, qual è l'algoritmo di traduzione. Una frazione periodica deve essere moltiplicata per un numero della forma, ecc., in cui ci sono tanti zeri quante sono le cifre nel periodo della frazione decimale. Otteniamo un nuovo periodico. Per esempio:
Sottraiamo un altro da una frazione periodica, otteniamo la frazione decimale finale:
Resta da esprimere la frazione periodica originale sotto forma di un ordinario.
Per esercitarti da solo, scrivi alcune frazioni periodiche. Usando questo algoritmo, portali alla forma di una frazione ordinaria. Per controllare su una calcolatrice, dividi il numeratore per il denominatore. Se tutto è corretto, ottieni la frazione periodica originale
Quindi, possiamo scrivere qualsiasi frazione periodica finita o infinita come frazione ordinaria, come rapporto di numeri naturali e interi. Quelli. tutte queste frazioni sono numeri razionali.
E le frazioni non periodiche? Si scopre che le frazioni non periodiche non possono essere rappresentate come frazioni ordinarie (accetteremo questo fatto senza prove). Quindi non sono numeri razionali. Si chiamano irrazionali.
Frazioni infinite non periodiche
Come abbiamo già detto, un numero razionale in notazione decimale è una frazione finita o periodica. Quindi, se possiamo costruire una frazione infinita non periodica, otterremo un numero non razionale, cioè un numero irrazionale.
Ecco un modo per farlo: la parte frazionaria di questo numero è composta solo da zeri e uno. Il numero di zeri tra uno aumenta di . È impossibile individuare qui una parte ripetuta. Cioè, la frazione non è periodica.
Esercitati a costruire tu stesso frazioni decimali non periodiche, cioè numeri irrazionali
Un esempio di numero irrazionale a noi noto è il numero pi ( ). Non c'è un punto in questa voce. Ma, oltre a pi, ci sono infiniti altri numeri irrazionali. Parleremo più avanti dei numeri irrazionali.
Compiti a casa
In questo articolo inizieremo a studiare numeri razionali. Qui diamo definizioni di numeri razionali, diamo le spiegazioni necessarie e diamo esempi di numeri razionali. Successivamente, ci concentreremo su come determinare se un dato numero è razionale o meno.
Navigazione della pagina.
In questa sottosezione diamo diverse definizioni di numeri razionali. Nonostante le differenze di formulazione, tutte queste definizioni hanno lo stesso significato: i numeri razionali uniscono interi e numeri frazionari, proprio come gli interi uniscono i numeri naturali, i loro numeri opposti e il numero zero. In altre parole, i numeri razionali generalizzano i numeri interi e frazionari.
Iniziamo con definizioni di numeri razionali che è percepito come il più naturale.
Dalla definizione suonata segue che un numero razionale è:
È anche chiaro che qualsiasi decimale infinito non ripetuto NON è un numero razionale, poiché non può essere rappresentato come una frazione comune.
Ora possiamo portare facilmente esempi di numeri razionali. I numeri 4, 903, 100.321 sono numeri razionali, poiché sono numeri naturali. Anche gli interi 58 , −72 , 0 , −833 333 333 sono esempi di numeri razionali. Anche le frazioni ordinarie 4/9, 99/3 sono esempi di numeri razionali. Anche i numeri razionali sono numeri.
Gli esempi precedenti mostrano che esistono numeri razionali sia positivi che negativi e il numero razionale zero non è né positivo né negativo.
La definizione di numeri razionali di cui sopra può essere formulata in una forma più breve.
Definizione.
Numeri razionali numeri di chiamata che possono essere scritti come una frazione z/n, dove z è un numero intero e n è un numero naturale.
Proviamo che questa definizione di numeri razionali è equivalente alla definizione precedente. Sappiamo che possiamo considerare la barra di una frazione come un segno di divisione, quindi dalle proprietà della divisione degli interi e dalle regole per la divisione degli interi, seguono le seguenti uguaglianze e . Quindi, che ne è la prova.
Diamo esempi di numeri razionali, basati su questa definizione. I numeri −5 , 0 , 3 e sono numeri razionali, poiché possono essere scritti come frazioni con un numeratore intero e un denominatore naturale della forma e rispettivamente.
La definizione dei numeri razionali può essere data anche nella seguente formulazione.
Definizione.
Numeri razionali sono numeri che possono essere scritti come una frazione decimale periodica finita o infinita.
Questa definizione è equivalente anche alla prima definizione, poiché ogni frazione ordinaria corrisponde a una frazione decimale finita o periodica e viceversa, e qualsiasi intero può essere associato a una frazione decimale con zeri dopo il punto decimale.
Ad esempio, i numeri 5 , 0 , −13 , sono esempi di numeri razionali perché possono essere scritti come i seguenti decimali 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 e −7,(18) .
Concludiamo la teoria di questa sezione con le seguenti affermazioni:
Nel paragrafo precedente, abbiamo scoperto che qualsiasi numero naturale, qualsiasi intero, qualsiasi frazione ordinaria, qualsiasi numero misto, qualsiasi frazione decimale finale e anche qualsiasi frazione decimale periodica è un numero razionale. Questa conoscenza ci permette di "riconoscere" i numeri razionali dall'insieme dei numeri scritti.
Ma cosa succede se il numero è dato come alcuni , o come , ecc., come rispondere alla domanda, il numero dato è razionale? In molti casi è molto difficile rispondere. Segnaliamo alcune indicazioni per il corso del pensiero.
Se un numero viene specificato come espressione numerica che contiene solo numeri razionali e segni aritmetici (+, −, · e:), il valore di questa espressione è un numero razionale. Ciò segue da come vengono definite le operazioni sui numeri razionali. Ad esempio, dopo aver eseguito tutte le operazioni nell'espressione, otteniamo un numero razionale 18 .
A volte, dopo aver semplificato le espressioni e altro ancora tipo complesso, diventa possibile determinare se un dato numero è razionale.
Andiamo oltre. Il numero 2 è un numero razionale, poiché qualsiasi numero naturale è razionale. E il numero? È razionale? Si scopre che no - non è un numero razionale, è un numero irrazionale (la prova di questo fatto per assurdo è data nel libro di testo di algebra per il grado 8, riportato di seguito nell'elenco dei riferimenti). È stato anche dimostrato che Radice quadrata da numero naturaleè un numero razionale solo quando la radice è un numero che è il quadrato perfetto di un numero naturale. Ad esempio, e sono numeri razionali, poiché 81=9 2 e 1024=32 2 , ei numeri e non sono razionali, poiché i numeri 7 e 199 non sono quadrati perfetti di numeri naturali.
Il numero è razionale o no? In questo caso, è facile vedere che, quindi, questo numero è razionale. Il numero è razionale? Si dimostra che la k-esima radice di un intero è un numero razionale solo se il numero sotto il segno della radice è la k-esima potenza di un numero intero. Pertanto, non è un numero razionale, poiché non esiste un numero intero la cui quinta potenza sia 121.
Il metodo della contraddizione ci permette di provare che i logaritmi di alcuni numeri, per qualche ragione, non sono numeri razionali. Ad esempio, dimostriamo che - non è un numero razionale.
Supponiamo il contrario, cioè supponiamo che sia un numero razionale e possa essere scritto come una frazione ordinaria m/n. Quindi e dare le seguenti uguaglianze: . L'ultima uguaglianza è impossibile, poiché sul suo lato sinistro c'è numero dispari 5 n, e sul lato destro c'è un numero pari 2 m. Pertanto, la nostra ipotesi è sbagliata, quindi non è un numero razionale.
In conclusione, vale la pena sottolineare che quando si chiarisce la razionalità o l'irrazionalità dei numeri, bisogna astenersi da conclusioni improvvise.
Ad esempio, non si dovrebbe immediatamente affermare che il prodotto dei numeri irrazionali π ed e è un numero irrazionale, questo è “come se fosse ovvio”, ma non dimostrato. Ciò solleva la domanda: "Perché il prodotto dovrebbe essere un numero razionale"? E perché no, perché puoi fare un esempio di numeri irrazionali, il cui prodotto dà un numero razionale:.
Non è inoltre noto se i numeri e molti altri numeri siano razionali o meno. Ad esempio, ci sono numeri irrazionali il cui potere irrazionale è un numero razionale. Per illustrare, diamo un grado della forma , la base di questo grado e l'esponente non sono numeri razionali, ma , e 3 è un numero razionale.
Bibliografia.
