In questo articolo considereremo l'equazione generale di una retta in un piano. Diamo esempi di costruzione dell'equazione generale di una retta se sono noti due punti di questa retta o se sono noti un punto e il vettore normale di questa retta. Presentiamo metodi per trasformare un'equazione in forma generale in forme canoniche e parametriche.
Sia dato un arbitrario sistema di coordinate rettangolari cartesiane Ossi. Si consideri un'equazione di primo grado o equazione lineare:
| Ax+By+C=0, | (1) |
dove A, B, C sono alcune costanti e almeno uno degli elementi UN e B diverso da zero.
Mostreremo che un'equazione lineare nel piano definisce una retta. Dimostriamo il seguente teorema.
Teorema 1. In un cartesiano arbitrario sistema rettangolare coordinate sul piano, ogni retta può essere data da un'equazione lineare. Al contrario, ogni equazione lineare (1) in un arbitrario sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano definisce una retta.
Prova. Basta provare che la linea lè determinato da un'equazione lineare per qualsiasi sistema di coordinate rettangolari cartesiane, da allora sarà determinato da un'equazione lineare e per qualsiasi scelta di sistema di coordinate rettangolari cartesiane.
Sia data una retta sul piano l. Scegliamo un sistema di coordinate in modo che l'asse Bue allineato con la linea l, e l'asse Ehi era perpendicolare ad esso. Quindi l'equazione della retta l assumerà la seguente forma:
| y=0. | (2) |
Tutti i punti su una linea l soddisferà l'equazione lineare (2) e tutti i punti al di fuori di questa retta non soddisferanno l'equazione (2). Si dimostra la prima parte del teorema.
Sia dato un sistema di coordinate rettangolari cartesiane e sia data l'equazione lineare (1), dove almeno uno degli elementi UN e B diverso da zero. Trova il luogo dei punti le cui coordinate soddisfano l'equazione (1). Poiché almeno uno dei coefficienti UN e Bè diverso da zero, allora l'equazione (1) ha almeno una soluzione M(X 0 ,y 0). (Ad esempio, quando UN≠0, punto M 0 (−CIRCA, 0) appartiene al luogo dei punti dato). Sostituendo queste coordinate in (1) otteniamo l'identità
| Ascia 0 +Di 0 +C=0. | (3) |
Sottraiamo identità (3) da (1):
| UN(X−X 0)+B(y−y 0)=0. | (4) |
Ovviamente, l'equazione (4) è equivalente all'equazione (1). Pertanto, basta provare che (4) definisce una retta.
Poiché stiamo considerando un sistema di coordinate rettangolari cartesiane, dall'uguaglianza (4) segue che il vettore con componenti ( x-x 0 , y-y 0 ) è ortogonale al vettore n con coordinate ( A,B}.
Considera una linea l passando per il punto M 0 (X 0 , y 0) e perpendicolare al vettore n(Fig. 1). Lascia il punto M(X,y) appartiene alla linea l. Quindi il vettore con le coordinate x-x 0 , y-y 0 perpendicolare n e l'equazione (4) è soddisfatta (prodotto scalare dei vettori n ed è uguale a zero). Viceversa, se il punto M(X,y) non giace su una linea l, quindi il vettore con le coordinate x-x 0 , y-y 0 non è ortogonale al vettore n e l'equazione (4) non è soddisfatta. Il teorema è stato dimostrato.
Prova. Poiché le linee (5) e (6) definiscono la stessa linea, i vettori normali n 1 ={UN 1 ,B 1) e n 2 ={UN 2 ,B 2) sono collineari. Poiché i vettori n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, allora c'è un numero λ , che cosa n 2 =n 1 λ . Quindi abbiamo: UN 2 =UN 1 λ , B 2 =B 1 λ . Dimostriamolo C 2 =C 1 λ . È ovvio che le linee coincidenti hanno punto comune M 0 (X 0 , y 0). Moltiplicando l'equazione (5) per λ e sottraendo l'equazione (6) da essa otteniamo:
Poiché le prime due uguaglianze delle espressioni (7) sono soddisfatte, allora C 1 λ −C 2=0. Quelli. C 2 =C 1 λ . L'osservazione è stata provata.
Si noti che l'equazione (4) definisce l'equazione di una retta passante per il punto M 0 (X 0 , y 0) e avente un vettore normale n={A,B). Pertanto, se sono noti il vettore normale della retta e il punto appartenente a questa retta, allora l'equazione generale della retta può essere costruita usando l'equazione (4).
Esempio 1. Una linea passa per un punto M=(4,−1) e ha un vettore normale n=(3, 5). Costruisci l'equazione generale di una retta.
Soluzione. Abbiamo: X 0 =4, y 0 =−1, UN=3, B=5. Per costruire l'equazione generale di una retta, sostituiamo questi valori nell'equazione (4):
Risposta:
Vettore parallelo alla linea l e quindi è perpendicolare al vettore normale della retta l. Costruiamo un vettore di linea normale l, dato che prodotto scalare vettori n ed è uguale a zero. Possiamo scrivere, ad esempio, n={1,−3}.
Per costruire l'equazione generale di una retta utilizziamo la formula (4). Sostituiamo in (4) le coordinate del punto M 1 (possiamo anche prendere le coordinate del punto M 2) e il vettore normale n:
Sostituzione delle coordinate del punto M 1 e M 2 in (9) possiamo assicurarci che la retta data dall'equazione (9) passi per questi punti.
Risposta:
Sottrai (10) da (1):
Abbiamo ottenuto l'equazione canonica di una retta. Vettore q={−B, UN) è il vettore di direzione della retta (12).
Vedi trasformazione inversa.
Esempio 3. Una retta in un piano è rappresentata dalla seguente equazione generale:
Sposta il secondo termine a destra e dividi entrambi i membri dell'equazione per 2 5.
Lezione dalla serie "Algoritmi geometrici"
Ciao caro lettore!
Oggi inizieremo ad apprendere algoritmi relativi alla geometria. Il fatto è che problemi olimpici nell'informatica relativa alla geometria computazionale, ci sono molti problemi e la soluzione di tali problemi spesso causa difficoltà.
In alcune lezioni considereremo una serie di sottoproblemi elementari su cui si basa la soluzione della maggior parte dei problemi di geometria computazionale.
In questa lezione scriveremo un programma per trovare l'equazione di una retta passando per il dato due punti. Per risolvere problemi geometrici, abbiamo bisogno di una certa conoscenza della geometria computazionale. Dedicheremo parte della lezione alla loro conoscenza.
La geometria computazionale è una branca dell'informatica che studia gli algoritmi per la risoluzione di problemi geometrici.
I dati iniziali per tali problemi possono essere un insieme di punti sul piano, un insieme di segmenti, un poligono (dato, ad esempio, da un elenco dei suoi vertici in senso orario), ecc.
Il risultato può essere una risposta a qualche domanda (ad esempio se un punto appartiene a un segmento, se due segmenti si intersecano, ...), o un oggetto geometrico (ad esempio, il più piccolo poligono convesso che collega punti dati, l'area di un poligono, ecc.).
Considereremo problemi di geometria computazionale solo sul piano e solo nel sistema di coordinate cartesiane.
Vettori e coordinate
Per applicare i metodi della geometria computazionale, è necessario tradurre le immagini geometriche nel linguaggio dei numeri. Assumiamo che sul piano sia dato un sistema di coordinate cartesiane, in cui il senso di rotazione antiorario è detto positivo.
Ora gli oggetti geometrici ricevono un'espressione analitica. Quindi, per impostare un punto, è sufficiente specificarne le coordinate: una coppia di numeri (x; y). Un segmento può essere specificato specificando le coordinate delle sue estremità, una retta può essere specificata specificando le coordinate di una coppia di suoi punti.
Ma lo strumento principale per risolvere i problemi saranno i vettori. Vi ricordo, quindi, alcune informazioni su di loro.
Segmento AB, che ha un punto MA considerato l'inizio (punto di applicazione) e il punto A- la fine è chiamata vettore AB e denota o , o grassetto minuscolo, Per esempio un .
Per denotare la lunghezza di un vettore (cioè la lunghezza del segmento corrispondente), utilizzeremo il simbolo del modulo (ad esempio ).
Un vettore arbitrario avrà coordinate uguali alla differenza tra le coordinate corrispondenti della sua fine e inizio:
,
punti qui UN e B
avere coordinate 
rispettivamente.
Per i calcoli, useremo il concetto angolo orientato, cioè un angolo che tiene conto della posizione relativa dei vettori.
Angolo orientato tra vettori un e b positivo se la rotazione è lontana dal vettore un al vettore b avviene in direzione positiva (in senso antiorario) e negativa nell'altro caso. Vedi fig.1a, fig.1b. Si dice anche che una coppia di vettori un e b orientato positivamente (negativamente).
Pertanto, il valore dell'angolo orientato dipende dall'ordine di enumerazione dei vettori e può assumere valori nell'intervallo.
Molti problemi di geometria computazionale utilizzano il concetto di prodotti vettoriali (di tipo obliquo o pseudoscalare) di vettori.
Il prodotto vettoriale dei vettori aeb è il prodotto delle lunghezze di questi vettori e il seno dell'angolo tra di loro:
.
Prodotto vettoriale di vettori in coordinate:
L'espressione a destra è un determinante del secondo ordine:
A differenza della definizione data nella geometria analitica, questo è uno scalare.
Il segno del prodotto incrociato determina la posizione dei vettori l'uno rispetto all'altro:
un e b orientato positivamente.
Se il valore è , allora la coppia di vettori un e b orientato negativamente.
Il prodotto incrociato di vettori diversi da zero è zero se e solo se sono collineari ( 
). Ciò significa che giacciono sulla stessa linea o su linee parallele.
Consideriamo alcuni semplici compiti necessari per risolverne di più complessi.
Definiamo l'equazione di una retta con le coordinate di due punti.
L'equazione di una retta passante per due punti diversi data dalle loro coordinate.
Sia dato sulla retta due punti non coincidenti: con coordinate (x1;y1) e con coordinate (x2; y2). Di conseguenza, il vettore con l'inizio nel punto e la fine nel punto ha coordinate (x2-x1, y2-y1). Se P(x, y) è un punto arbitrario sulla nostra linea, le coordinate del vettore sono (x-x1, y - y1).
Con l'aiuto del prodotto incrociato, la condizione per la collinearità dei vettori e può essere scritta come segue:
Quelli. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0
(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0
Riscriviamo l'ultima equazione come segue:
ax + di + c = 0, (1)
c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)
Quindi, la retta può essere data da un'equazione della forma (1).
Compito 1. Vengono fornite le coordinate di due punti. Trova la sua rappresentazione nella forma ax + by + c = 0.
In questa lezione abbiamo fatto conoscenza con alcune informazioni dalla geometria computazionale. Abbiamo risolto il problema di trovare l'equazione della retta dalle coordinate di due punti.
Nella prossima lezione scriveremo un programma per trovare il punto di intersezione di due rette dato dalle nostre equazioni.
Definizione. Qualsiasi retta nel piano può essere data da un'equazione del primo ordine
Ah + Wu + C = 0,
e le costanti A, B non sono uguali a zero allo stesso tempo. Questa equazione del primo ordine è chiamata l'equazione generale di una retta. A seconda dei valori costante A, B e C, sono possibili i seguenti casi speciali:
C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - la linea passa per l'origine
A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Ox
B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Oy
B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - la retta coincide con l'asse Oy
A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - la retta coincide con l'asse Ox
L'equazione di una retta può essere rappresentata in varie forme a seconda di una data condizione iniziale.
Definizione. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, un vettore con componenti (A, B) è perpendicolare a una retta, dato dall'equazione Ah + Wu + C = 0.
Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per il punto A(1, 2) perpendicolare a (3, -1).
Soluzione. A A = 3 e B = -1, componiamo l'equazione di una retta: 3x - y + C = 0. Per trovare il coefficiente C, sostituiamo le coordinate del punto A dato nell'espressione risultante. Otteniamo: 3 - 2 + C = 0, quindi C = -1 . Totale: l'equazione desiderata: 3x - y - 1 \u003d 0.
Si dati nello spazio due punti M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), quindi l'equazione di una retta passante per questi punti:
Se uno qualsiasi dei denominatori è uguale a zero, il numeratore corrispondente deve essere posto uguale a zero Sul piano, l'equazione della retta scritta sopra è semplificata:
se x 1 ≠ x 2 e x = x 1 se x 1 = x 2.
Viene chiamata la frazione = k fattore di pendenza dritto.
Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 4).
Soluzione. Applicando la formula sopra, otteniamo:
Se il totale Ax + Wu + C = 0 porta alla forma:
e designare 
, quindi viene chiamata l'equazione risultante equazione di una retta con pendenzaK.
Per analogia con il punto considerando l'equazione di una retta passante per il vettore normale, si può inserire l'assegnazione di una retta passante per un punto e un vettore direzionale di una retta.
Definizione. Ogni vettore diverso da zero (α 1, α 2), le cui componenti soddisfano la condizione A α 1 + B α 2 = 0 è detto vettore direzionale della retta
Ah + Wu + C = 0.
Esempio. Trova l'equazione di una retta con vettore di direzione (1, -1) e passante per il punto A(1, 2).
Soluzione. Cercheremo l'equazione della retta desiderata nella forma: Ax + By + C = 0. Secondo la definizione, i coefficienti devono soddisfare le condizioni:
1 * LA + (-1) * B = 0, cioè A = B.
Quindi l'equazione di una retta ha la forma: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0. per x = 1, y = 2 otteniamo C / A = -3, cioè equazione desiderata:
Se nell'equazione generale della retta Ah + Wu + C = 0 C≠0, allora, dividendo per –C, otteniamo: 
o
Il significato geometrico dei coefficienti è quello del coefficiente unè la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse x, e b- la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse Oy.
Esempio. Data l'equazione generale della retta x - y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa retta nei segmenti.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Se entrambi i membri dell'equazione Ax + Vy + C = 0 vengono moltiplicati per il numero 
, che è chiamato fattore normalizzante, allora otteniamo
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
equazione normale di una retta. Il segno ± del fattore di normalizzazione deve essere scelto in modo tale che μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Esempio. Data l'equazione generale della retta 12x - 5y - 65 \u003d 0. È necessario scrivere tipi diversi equazioni di questa linea.
l'equazione di questa retta in segmenti: 
l'equazione di questa retta con la pendenza: (dividi per 5)
; cos φ = 12/13; peccato φ= -5/13; p=5.
Va notato che non tutte le rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio rette parallele agli assi o passanti per l'origine.
Esempio. La retta taglia segmenti positivi uguali sugli assi delle coordinate. Scrivi l'equazione di una retta se l'area del triangolo formato da questi segmenti è 8 cm 2.
Soluzione. L'equazione della retta ha la forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Esempio. Scrivi l'equazione di una retta passante per il punto A (-2, -3) e l'origine.
Soluzione.
L'equazione di una retta ha la forma: 
, dove x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.
Definizione. Se vengono date due rette y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , allora l'angolo acuto tra queste rette sarà definito come
.
Due rette sono parallele se k 1 = k 2 . Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/ k 2 .
Teorema. Le rette Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sono parallele quando i coefficienti A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sono proporzionali. Se anche С 1 = λС, allora le linee coincidono. Le coordinate del punto di intersezione di due rette si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste rette.
Definizione. La retta passante per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla retta y \u003d kx + b è rappresentata dall'equazione:
Teorema. Se viene fornito un punto M(x 0, y 0), la distanza dalla linea Ax + Vy + C \u003d 0 è definita come
.
Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base della perpendicolare caduta dal punto M alla retta data. Quindi la distanza tra i punti M e M 1:
(1)
Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate come soluzione del sistema di equazioni:
La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolare ad una data retta. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,
quindi, risolvendo, otteniamo:
Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:
Il teorema è stato dimostrato.
Esempio. Determina l'angolo tra le linee: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
Esempio. Mostra che le linee 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 sono perpendicolari.
Soluzione. Troviamo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, quindi le linee sono perpendicolari.
Esempio. Sono dati i vertici del triangolo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trova l'equazione per l'altezza ricavata dal vertice C.
Soluzione. Troviamo l'equazione del lato AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3 anni + 3 = 0;
L'equazione dell'altezza desiderata è: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Allora y = . Perché l'altezza passa per il punto C, quindi le sue coordinate soddisfano questa equazione: 
da cui b = 17. Totale: . 
Risposta: 3x + 2y - 34 = 0.
Questo articolo continua l'argomento dell'equazione di una retta su un piano: considera un tale tipo di equazione come l'equazione generale di una retta. Definiamo un teorema e diamo la sua dimostrazione; Scopriamo cos'è un'equazione generale incompleta di una retta e come effettuare transizioni da un'equazione generale ad altri tipi di equazioni di una retta. Consolideremo l'intera teoria con illustrazioni e risolvendo problemi pratici.
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Sia dato un sistema di coordinate rettangolare O x y sul piano.
Teorema 1
Qualsiasi equazione di primo grado, avente la forma A x + B y + C \u003d 0, dove A, B, C sono alcuni numeri reali(A e B non sono contemporaneamente uguali a zero) definisce una retta in un sistema di coordinate rettangolare su un piano. A sua volta, qualsiasi linea in un sistema di coordinate rettangolare sul piano è determinata da un'equazione che ha la forma A x + B y + C = 0 per un determinato insieme di valori A, B, C.
Prova
Questo teorema consiste di due punti, dimostreremo ciascuno di essi.
Sia un punto M 0 (x 0 , y 0) le cui coordinate corrispondono all'equazione A x + B y + C = 0 . Quindi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Sottrai dai lati sinistro e destro delle equazioni A x + B y + C \u003d 0 i lati sinistro e destro dell'equazione A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, otteniamo una nuova equazione che assomiglia ad A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . È equivalente a A x + B y + C = 0 .
L'equazione risultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 è una condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità dei vettori n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Pertanto, l'insieme di punti M (x, y) definisce in un sistema di coordinate rettangolare una retta perpendicolare alla direzione del vettore n → = (A, B) . Possiamo supporre che non sia così, ma allora i vettori n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) non sarebbero perpendicolari e l'uguaglianza A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 non sarebbe vero.
Pertanto, l'equazione A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definisce una linea in un sistema di coordinate rettangolare sul piano, e quindi l'equazione equivalente A x + B y + C \u003d 0 definisce la stessa linea. Abbiamo così dimostrato la prima parte del teorema.
Impostiamo una retta a in un sistema di coordinate rettangolare sul piano; punto M 0 (x 0 , y 0) attraverso il quale passa questa retta, così come il vettore normale di questa retta n → = (A , B) .
Lascia che esista anche un punto M (x , y) - un punto mobile della retta. In questo caso, i vettori n → = (A , B) e M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) sono perpendicolari tra loro e il loro prodotto scalare è zero:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
Riscriviamo l'equazione A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definiamo C: C = - A x 0 - B y 0 e infine otteniamo l'equazione A x + B y + C = 0 .
Quindi, abbiamo dimostrato la seconda parte del teorema e abbiamo dimostrato l'intero teorema nel suo insieme.
Definizione 1
Un'equazione che sembra A x + B y + C = 0 - questo è equazione generale di una retta su un piano in un sistema di coordinate rettangolareO x y.
Sulla base del teorema dimostrato, possiamo concludere che una retta data su un piano in un sistema di coordinate rettangolare fisso e la sua equazione generale sono indissolubilmente legati. In altre parole, la linea originale corrisponde alla sua equazione generale; l'equazione generale di una retta corrisponde a una data retta.
Segue anche dalla dimostrazione del teorema che i coefficienti A e B per le variabili x e y sono le coordinate del vettore normale della retta, che è data dall'equazione generale della retta A x + B y + C = 0.
Ritenere esempio specifico equazione generale di una retta.
Sia data l'equazione 2 x + 3 y - 2 = 0, che corrisponde a una retta in un dato sistema di coordinate rettangolari. Il vettore normale di questa linea è il vettore n → = (2 , 3) . Disegna una determinata linea retta nel disegno.
Si può anche sostenere quanto segue: la retta che vediamo nel disegno è determinata dall'equazione generale 2 x + 3 y - 2 = 0, poiché le coordinate di tutti i punti di una data retta corrispondono a questa equazione.
Possiamo ottenere l'equazione λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 moltiplicando entrambi i membri dell'equazione di retta generale per un numero λ diverso da zero. L'equazione risultante è equivalente all'equazione generale originale, quindi descriverà la stessa linea nel piano.
Definizione 2Equazione generale completa di una retta- un'equazione così generale della linea A x + B y + C \u003d 0, in cui i numeri A, B, C sono diversi da zero. Altrimenti, l'equazione è incompleto.
Analizziamo tutte le variazioni dell'equazione generale incompleta della retta.
Illustriamo graficamente tutti i tipi di cui sopra dell'equazione generale incompleta di una retta.
Esempio 1
È noto che la retta data è parallela all'asse y e passa per il punto 2 7 , - 11 . È necessario scrivere l'equazione generale di una data retta.
Soluzione
Una retta parallela all'asse y è data da un'equazione della forma A x + C \u003d 0, in cui A ≠ 0. La condizione specifica anche le coordinate del punto attraverso il quale passa la linea e le coordinate di questo punto corrispondono alle condizioni dell'equazione generale incompleta A x + C = 0 , cioè l'uguaglianza è corretta:
UN 2 7 + C = 0
È possibile determinare C da esso assegnando ad A un valore diverso da zero, ad esempio A = 7 . In questo caso, otteniamo: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Conosciamo entrambi i coefficienti A e C, li sostituiamo nell'equazione A x + C = 0 e otteniamo l'equazione richiesta della retta: 7 x - 2 = 0
Risposta: 7x - 2 = 0
Esempio 2
Il disegno mostra una linea retta, è necessario annotare la sua equazione.
Soluzione
Il disegno fornito ci consente di prendere facilmente i dati iniziali per la risoluzione del problema. Vediamo nel disegno che la retta data è parallela all'asse O x e passa per il punto (0, 3).
La retta, che è parallela all'ascissa, è determinata dall'equazione generale incompleta B y + С = 0. Trova i valori di B e C. Le coordinate del punto (0, 3), poiché la retta data lo attraversa, soddisferanno l'equazione della retta B y + С = 0, quindi l'uguaglianza è valida: В · 3 + С = 0. Impostiamo B su un valore diverso da zero. Diciamo B \u003d 1, in questo caso, dall'uguaglianza B · 3 + C \u003d 0 possiamo trovare C: C \u003d - 3. Utilizzando i valori noti di B e C, otteniamo l'equazione richiesta della retta: y - 3 = 0.
Risposta: y - 3 = 0 .
Lascia che la retta data passi per il punto M 0 (x 0, y 0), quindi le sue coordinate corrispondono all'equazione generale della retta, ad es. l'uguaglianza è vera: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Sottrarre i lati sinistro e destro di questa equazione dai lati sinistro e destro dell'equazione completa generale della retta. Otteniamo: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, questa equazione è equivalente a quella generale originale, passa per il punto M 0 (x 0, y 0) e ha un vettore normale n → \u003d (A, B) .
Il risultato che abbiamo ottenuto permette di scrivere l'equazione generale di una retta per coordinate note del vettore normale della retta e le coordinate di un certo punto di questa retta.
Esempio 3
Dato un punto M 0 (- 3, 4) attraverso il quale passa la retta, e il vettore normale di questa retta n → = (1 , - 2) . È necessario scrivere l'equazione di una data retta.
Soluzione
Le condizioni iniziali ci consentono di ottenere i dati necessari per compilare l'equazione: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Quindi:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
Il problema avrebbe potuto essere risolto diversamente. L'equazione generale di una retta ha la forma A x + B y + C = 0 . Il vettore normale dato permette di ottenere i valori dei coefficienti A e B , quindi:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
Troviamo ora il valore di C, utilizzando il punto M 0 (- 3, 4) dato dalla condizione del problema, attraverso il quale passa la retta. Le coordinate di questo punto corrispondono all'equazione x - 2 · y + C = 0 , cioè - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Quindi C = 11. L'equazione della retta richiesta assume la forma: x - 2 · y + 11 = 0 .
Risposta: x - 2 y + 11 = 0 .
Esempio 4
Data una retta 2 3 x - y - 1 2 = 0 e un punto M 0 che giace su questa retta. Si conosce solo l'ascissa di questo punto, ed è uguale a - 3. È necessario determinare l'ordinata del punto dato.
Soluzione
Impostiamo la designazione delle coordinate del punto M 0 come x 0 e y 0 . I dati iniziali indicano che x 0 \u003d - 3. Poiché il punto appartiene a una determinata retta, le sue coordinate corrispondono all'equazione generale di questa retta. Allora sarà vera la seguente uguaglianza:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
Definisci y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
Risposta: - 5 2
Come sappiamo, esistono diversi tipi di equazione della stessa retta nel piano. La scelta del tipo di equazione dipende dalle condizioni del problema; è possibile scegliere quello più conveniente per la sua soluzione. È qui che l'abilità di convertire un'equazione di un tipo in un'equazione di un altro tipo diventa molto utile.
Innanzitutto, considera il passaggio dall'equazione generale della forma A x + B y + C = 0 all'equazione canonica x - x 1 a x = y - y 1 a y .
Se A ≠ 0, trasferiamo il termine B y a lato destro equazione generale. Sul lato sinistro, prendiamo A tra parentesi. Di conseguenza, otteniamo: A x + C A = - B y .
Questa uguaglianza può essere scritta come proporzione: x + C A - B = y A .
Se B ≠ 0, lasciamo solo il termine A x sul lato sinistro dell'equazione generale, trasferiamo gli altri sul lato destro, otteniamo: A x \u003d - B y - C. Eliminiamo - B tra parentesi, quindi: A x \u003d - B y + C B.
Riscriviamo l'uguaglianza come proporzione: x - B = y + C B A .
Naturalmente, non è necessario memorizzare le formule risultanti. Basta conoscere l'algoritmo delle azioni durante il passaggio dall'equazione generale a quella canonica.
Esempio 5
Viene data l'equazione generale della retta 3 y - 4 = 0. Deve essere convertito in un'equazione canonica.
Soluzione
Scriviamo l'equazione originale come 3 y - 4 = 0 . Successivamente, agiamo secondo l'algoritmo: il termine 0 x rimane sul lato sinistro; e sul lato destro tiriamo fuori - 3 tra parentesi; otteniamo: 0 x = - 3 y - 4 3 .
Scriviamo l'uguaglianza risultante come proporzione: x - 3 = y - 4 3 0 . Quindi, abbiamo ottenuto un'equazione della forma canonica.
Risposta: x - 3 = y - 4 3 0.
Per trasformare l'equazione generale di una retta in parametriche, si effettua prima il passaggio alla forma canonica, quindi il passaggio da equazione canonica direttamente alle equazioni parametriche.
Esempio 6
La retta è data dall'equazione 2 x - 5 y - 1 = 0 . Annota le equazioni parametriche di questa retta.
Soluzione
Facciamo il passaggio dall'equazione generale a quella canonica:
2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Ora prendiamo entrambe le parti dell'equazione canonica risultante uguali a λ, quindi:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Risposta:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
L'equazione generale può essere convertita in un'equazione di retta con pendenza y = k x + b, ma solo quando B ≠ 0. Per la transizione sul lato sinistro, lasciamo il termine B y , il resto viene trasferito a destra. Otteniamo: B y = - A x - C . Dividiamo entrambe le parti dell'uguaglianza risultante per B , che è diverso da zero: y = - A B x - C B .
Esempio 7
L'equazione generale di una retta è data: 2 x + 7 y = 0 . Devi convertire quell'equazione in un'equazione di pendenza.
Soluzione
Eseguiamo le azioni necessarie secondo l'algoritmo:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
Risposta: y = - 2 7 x .
Dall'equazione generale di una retta, è sufficiente ottenere semplicemente un'equazione in segmenti della forma x a + y b \u003d 1. Per effettuare tale transizione, trasferiamo il numero C sul lato destro dell'uguaglianza, dividiamo entrambe le parti dell'uguaglianza risultante per - С e, infine, trasferiamo i coefficienti per le variabili xey ai denominatori:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
Esempio 8
È necessario convertire l'equazione generale della retta x - 7 y + 1 2 = 0 nell'equazione di una retta in segmenti.
Soluzione
Spostiamo 1 2 a destra: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
Dividi per -1/2 entrambi i membri dell'equazione: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
Risposta: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .
In generale, anche il passaggio inverso è facile: da altri tipi di equazioni a quella generale.
L'equazione di una retta in segmenti e l'equazione con una pendenza possono essere facilmente convertite in un'equazione generale semplicemente raccogliendo tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
L'equazione canonica viene convertita in quella generale secondo il seguente schema:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Per passare dal parametrico si effettua prima il passaggio al canonico, quindi a quello generale:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Esempio 9
Si danno le equazioni parametriche della retta x = - 1 + 2 · λ y = 4. È necessario annotare l'equazione generale di questa linea.
Soluzione
Facciamo il passaggio dalle equazioni parametriche a quelle canoniche:
x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
Passiamo dal canonico al generale:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
Risposta: y - 4 = 0
Esempio 10
Viene data l'equazione di una retta in segmenti x 3 + y 1 2 = 1. È necessario effettuare il passaggio a vista generale equazioni.
Soluzione:
Riscriviamo semplicemente l'equazione nella forma richiesta:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
Risposta: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .
Sopra, abbiamo detto che l'equazione generale può essere scritta con coordinate note del vettore normale e le coordinate del punto attraverso il quale passa la retta. Tale retta è definita dall'equazione A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Nello stesso luogo abbiamo analizzato l'esempio corrispondente.
Diamo ora un'occhiata ad esempi più complessi in cui, in primo luogo, è necessario determinare le coordinate del vettore normale.
Esempio 11
Data una retta parallela alla retta 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . È anche noto il punto M 0 (4 , 1) attraverso il quale passa la retta data. È necessario scrivere l'equazione di una data retta.
Soluzione
Le condizioni iniziali ci dicono che le rette sono parallele, mentre, come vettore normale della retta la cui equazione deve essere scritta, prendiamo il vettore direzionale della retta n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Ora conosciamo tutti i dati necessari per comporre l'equazione generale di una retta:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
Risposta: 2 x - 3 e - 5 = 0 .
Esempio 12
La retta data passa per l'origine perpendicolare alla retta x - 2 3 = y + 4 5 . È necessario scrivere l'equazione generale di una data retta.
Soluzione
Il vettore normale della retta data sarà il vettore direzionale della retta x - 2 3 = y + 4 5 .
Allora n → = (3 , 5) . La retta passa per l'origine, cioè attraverso il punto O (0, 0) . Componiamo l'equazione generale di una retta data:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Risposta: 3 x + 5 y = 0 .
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Proprietà di una retta nella geometria euclidea.
Ci sono infinite linee che possono essere tracciate attraverso qualsiasi punto.
Attraverso due punti qualsiasi non coincidenti, c'è solo una linea retta.
Due linee non coincidenti nel piano si intersecano in un unico punto o sono
parallelo (segue dal precedente).
A spazio tridimensionale ci sono tre opzioni posizione relativa due rette:
Dritto linea- curva algebrica del primo ordine: nel sistema di coordinate cartesiane, una retta
è data sul piano da un'equazione di primo grado (equazione lineare).
Equazione generale di una retta.
Definizione. Qualsiasi retta nel piano può essere data da un'equazione del primo ordine
Ah + Wu + C = 0,
e costante A, B non uguale a zero allo stesso tempo. Questa equazione del primo ordine è chiamata generale
equazione di linea retta. A seconda dei valori delle costanti A, B e DA Sono possibili i seguenti casi speciali:
. C = 0, LA ≠ 0, B ≠ 0- la linea passa per l'origine
. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Di + C = 0)- retta parallela all'asse Oh
. B = 0, LA ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- retta parallela all'asse UO
. B = C = 0, LA ≠ 0- la linea coincide con l'asse UO
. A = C = 0, B ≠ 0- la linea coincide con l'asse Oh
L'equazione di una retta può essere rappresentata in varie forme a seconda di un dato
condizioni iniziali.
Equazione di una retta per un punto e un vettore normale.
Definizione. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, un vettore con componenti (A, B)
perpendicolare alla retta data dall'equazione
Ah + Wu + C = 0.
Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per un punto A(1, 2) perpendicolare al vettore (3, -1).
Soluzione. Componiamo in A \u003d 3 e B \u003d -1 l'equazione della retta: 3x - y + C \u003d 0. Per trovare il coefficiente C
nell'espressione risultante sostituiamo le coordinate del punto A. Otteniamo: 3 - 2 + C = 0, quindi
C = -1. Totale: l'equazione desiderata: 3x - y - 1 \u003d 0.
Equazione di una retta passante per due punti.
Siano dati due punti nello spazio M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M2 (x 2, y 2 , z 2), poi equazione di linea retta,
passando per questi punti:
Se uno qualsiasi dei denominatori è uguale a zero, il numeratore corrispondente deve essere posto uguale a zero. Sul
piano, l'equazione di una retta scritta sopra è semplificata:
Se x 1 ≠ x 2 e x = x 1, Se x 1 = x 2 .
Frazione = k chiamato fattore di pendenza dritto.
Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 4).
Soluzione. Applicando la formula sopra, otteniamo:
Equazione di una retta per un punto e una pendenza.
Se l'equazione generale di una retta Ah + Wu + C = 0 portare al modulo:
e designare 
, quindi viene chiamata l'equazione risultante
equazione di una retta di pendenza k.
L'equazione di una retta su un punto e un vettore direzionale.
Per analogia con il punto considerando l'equazione di una retta passante per il vettore normale, puoi inserire l'attività
una retta passante per un punto e un vettore di direzione di una retta.
Definizione. Ogni vettore diverso da zero (α 1 , α 2), i cui componenti soddisfano la condizione
Aα 1 + Bα 2 = 0 chiamato vettore di direzione della retta.
Ah + Wu + C = 0.
Esempio. Trova l'equazione di una retta con vettore di direzione (1, -1) e passante per il punto A(1, 2).
Soluzione. Cercheremo l'equazione della retta desiderata nella forma: Ax + di + C = 0. Secondo la definizione,
i coefficienti devono soddisfare le condizioni:
1 * LA + (-1) * B = 0, cioè A = B.
Allora l'equazione di una retta ha la forma: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.
a x=1, y=2 noi abbiamo C/LA = -3, cioè. equazione desiderata:
x + y - 3 = 0
Equazione di una retta in segmenti.
Se nell'equazione generale della retta Ah + Wu + C = 0 C≠0, allora, dividendo per -C, otteniamo:
o dove
Il significato geometrico dei coefficienti è che il coefficiente a è la coordinata del punto di intersezione
dritto con asse Oh, un b- la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse UO.
Esempio. Viene data l'equazione generale di una retta x - y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa retta in segmenti.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Equazione normale di una retta.
Se entrambi i lati dell'equazione Ah + Wu + C = 0 dividere per numero 
, che è chiamato
fattore normalizzante, allora otteniamo
xcosφ + ysinφ - p = 0 -equazione normale di una retta.
Il segno ± del fattore di normalizzazione deve essere scelto in modo tale μ * C< 0.
R- la lunghezza della perpendicolare caduta dall'origine alla linea,
un φ - l'angolo formato da questa perpendicolare con la direzione positiva dell'asse Oh.
Esempio. Data l'equazione generale di una retta 12x - 5 anni - 65 = 0. Necessario per scrivere vari tipi di equazioni
questa linea retta.
L'equazione di questa retta in segmenti:
L'equazione di questa retta con la pendenza: (dividi per 5)
Equazione di una retta:
cos φ = 12/13; peccato φ= -5/13; p=5.
Va notato che non tutte le rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio rette,
parallela agli assi o passante per l'origine.
Angolo tra le linee su un piano.
Definizione. Se vengono fornite due righe y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, quindi l'angolo acuto tra queste linee
sarà definito come
Due rette sono parallele se k 1 = k 2. Due linee sono perpendicolari
Se k 1 \u003d -1 / k 2 .
Teorema.
Diretto Ah + Wu + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sono paralleli quando i coefficienti sono proporzionali
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Se anche С 1 \u003d λС, quindi le linee coincidono. Coordinate del punto di intersezione di due rette
si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste linee.
L'equazione di una retta passante per un dato punto è perpendicolare a una data retta.
Definizione. Una retta passante per un punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla linea y = kx + b
rappresentato dall'equazione:
La distanza da un punto a una linea.
Teorema. Se viene assegnato un punto M(x 0, y 0), poi la distanza dalla linea Ah + Wu + C = 0 definito come:
Prova. Lascia il punto M 1 (x 1, y 1)- la base della perpendicolare scesa dal punto M per una data
diretto. Poi la distanza tra i punti M e M1:
(1)
Coordinate x 1 e 1 può essere trovata come soluzione al sistema di equazioni:
La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolarmente
riga data. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,
quindi, risolvendo, otteniamo:
Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:
Il teorema è stato dimostrato.
