dove X* - una delle soluzioni del sistema disomogeneo (2) (ad esempio (4)), (MI-LA + LA) forma il kernel (spazio zero) della matrice UN.
Facciamo una decomposizione scheletrica della matrice (MI-LA + LA):
MI-LA + LA=Q S
dove Q n×n-r- matrice di rango (Q)=n-r, S n−r×n-matrice di rango (S)=n-r.
Allora (13) può essere scritto nella forma seguente:
x=x*+Qk, ∀ K ∈ R n-r .
dove k=Mis.
Così, procedura di soluzione generale sistemi equazioni lineari utilizzando una matrice pseudo-inversa può essere rappresentato nella forma seguente:
x=x*+Qk, ∀ K ∈ R n-r .
Il calcolatore online permette di trovare la soluzione generale di un sistema di equazioni lineari con spiegazioni dettagliate.
I sistemi di equazioni sono ampiamente utilizzati nell'industria economica nella modellazione matematica di vari processi. Ad esempio, quando si risolvono problemi di gestione e pianificazione della produzione, percorsi logistici (problemi di trasporto) o posizionamento delle attrezzature.
I sistemi di equazioni sono utilizzati non solo nel campo della matematica, ma anche in fisica, chimica e biologia, quando si risolvono problemi di trovare la dimensione della popolazione.
Un sistema di equazioni lineari è un termine per due o più equazioni con più variabili per le quali è necessario trovare una soluzione comune. Una tale sequenza di numeri per cui tutte le equazioni diventano vere uguaglianze o dimostrano che la sequenza non esiste.
Le equazioni della forma ax+by=c sono dette lineari. Le designazioni x, y sono le incognite, il cui valore deve essere trovato, b, a sono i coefficienti delle variabili, c è il termine libero dell'equazione.
Risolvere l'equazione tracciando il suo grafico apparirà come una linea retta, i cui punti sono tutti la soluzione del polinomio.
I più semplici sono esempi di sistemi di equazioni lineari con due variabili X e Y.
F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, dove F1,2 sono funzioni e (x, y) sono variabili di funzione.
Risolvi un sistema di equazioni - significa trovare tali valori (x, y) per i quali il sistema diventa una vera uguaglianza, oppure stabilire che non esistono valori adatti di x e y.
Una coppia di valori (x, y), scritti come coordinate puntiformi, è chiamata soluzione di un sistema di equazioni lineari.
Se i sistemi hanno una soluzione comune o non esiste una soluzione, sono chiamati equivalenti.
I sistemi omogenei di equazioni lineari sono sistemi il cui lato destro è uguale a zero. Se la parte destra dopo il segno di "uguale" ha un valore o è espressa da una funzione, tale sistema non è omogeneo.
Il numero di variabili può essere molto più di due, quindi dovremmo parlare di un esempio di sistema di equazioni lineari con tre o più variabili.
Di fronte ai sistemi, gli scolari presumono che il numero delle equazioni debba necessariamente coincidere con il numero delle incognite, ma non è così. Il numero di equazioni nel sistema non dipende dalle variabili, può essercene un numero arbitrariamente grande.
Non esiste un modo analitico generale per risolvere tali sistemi, tutti i metodi sono basati su soluzioni numeriche. A corso scolastico matematica, metodi come permutazione, addizione algebrica, sostituzione, nonché grafica e metodo matriciale, soluzione con il metodo di Gauss.
Il compito principale nell'insegnamento dei metodi di risoluzione è insegnare come analizzare correttamente il sistema e trovare l'algoritmo di soluzione ottimale per ciascun esempio. La cosa principale non è memorizzare un sistema di regole e azioni per ciascun metodo, ma comprendere i principi dell'applicazione di un metodo particolare.
Risolvere esempi di sistemi di equazioni lineari della 7a classe del programma scuola media abbastanza semplice e spiegato nei minimi dettagli. In qualsiasi libro di testo di matematica, questa sezione riceve sufficiente attenzione. La soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari con il metodo di Gauss e Cramer è studiata in modo più dettagliato nei primi corsi degli istituti di istruzione superiore.
Le azioni del metodo di sostituzione hanno lo scopo di esprimere il valore di una variabile attraverso la seconda. L'espressione viene sostituita nell'equazione rimanente, quindi viene ridotta a un'unica forma variabile. L'azione viene ripetuta a seconda del numero di incognite nel sistema
Diamo un esempio di un sistema di equazioni lineari della 7a classe con il metodo di sostituzione:
Come si può vedere dall'esempio, la variabile x è stata espressa tramite F(X) = 7 + Y. L'espressione risultante, sostituita nella 2a equazione del sistema al posto di X, ha aiutato ad ottenere una variabile Y nella 2a equazione . Soluzione questo esempio non crea difficoltà e consente di ottenere il valore Y. L'ultimo passaggio è controllare i valori ricevuti.
Non è sempre possibile risolvere un esempio di un sistema di equazioni lineari per sostituzione. Le equazioni possono essere complesse e l'espressione della variabile in termini di seconda incognita sarà troppo ingombrante per ulteriori calcoli. Quando ci sono più di 3 incognite nel sistema, anche la soluzione di sostituzione è impraticabile.
Soluzione di un esempio di sistema di equazioni lineari disomogenee:
Quando si cerca una soluzione ai sistemi con il metodo dell'addizione, vengono eseguite l'addizione termine per termine e la moltiplicazione delle equazioni per vari numeri. L'obiettivo finale delle operazioni matematiche è un'equazione con una variabile.
Per le applicazioni questo metodo ci vuole pratica e osservazione. Non è facile risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo dell'addizione con numero di variabili 3 o più. L'addizione algebrica è utile quando le equazioni contengono frazioni e numeri decimali.
Algoritmo di azione della soluzione:
Una nuova variabile può essere introdotta se il sistema deve trovare una soluzione per non più di due equazioni, anche il numero di incognite non deve essere superiore a due.
Il metodo viene utilizzato per semplificare una delle equazioni introducendo una nuova variabile. La nuova equazione viene risolta rispetto all'incognita inserita e il valore risultante viene utilizzato per determinare la variabile originale.
Dall'esempio si evince che introducendo una nuova variabile t è stato possibile ridurre la prima equazione del sistema ad un trinomio quadrato standard. Puoi risolvere un polinomio trovando il discriminante.
È necessario trovare il valore del discriminante utilizzando la nota formula: D = b2 - 4*a*c, dove D è il discriminante desiderato, b, a, c sono i moltiplicatori del polinomio. Nell'esempio dato, a=1, b=16, c=39, quindi D=100. Se il discriminante è maggiore di zero, allora ci sono due soluzioni: t = -b±√D / 2*a, se il discriminante è minore di zero, allora c'è una sola soluzione: x= -b / 2*a.
La soluzione per i sistemi risultanti si trova con il metodo dell'addizione.
Adatto per sistemi con 3 equazioni. Il metodo consiste nel tracciare i grafici di ciascuna equazione inclusa nel sistema sull'asse delle coordinate. Le coordinate dei punti di intersezione delle curve e saranno soluzione comune sistemi.
Il metodo grafico ha una serie di sfumature. Considera diversi esempi di risoluzione di sistemi di equazioni lineari in modo visivo.
Come si può vedere dall'esempio, sono stati costruiti due punti per ogni linea, i valori della variabile x sono stati scelti arbitrariamente: 0 e 3. Sulla base dei valori di x, sono stati trovati i valori per y: 3 e 0. I punti con le coordinate (0, 3) e (3, 0) sono stati contrassegnati sul grafico e collegati da una linea.
I passaggi devono essere ripetuti per la seconda equazione. Il punto di intersezione delle rette è la soluzione del sistema.
Nell'esempio seguente è necessario trovare una soluzione grafica al sistema di equazioni lineari: 0.5x-y+2=0 e 0.5x-y-1=0.
Come si può vedere dall'esempio, il sistema non ha soluzione, perché i grafici sono paralleli e non si intersecano per tutta la loro lunghezza.
I sistemi degli esempi 2 e 3 sono simili, ma una volta costruiti diventa ovvio che le loro soluzioni sono diverse. Va ricordato che non sempre è possibile dire se il sistema ha una soluzione o meno, è sempre necessario costruire un grafico.
Le matrici vengono utilizzate per scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Una matrice è un tipo speciale di tabella piena di numeri. n*m ha n - righe e m - colonne.
Una matrice è quadrata quando il numero di colonne e righe è uguale. Una matrice-vettore è una matrice a colonna singola con un numero infinito di righe. Una matrice con unità lungo una delle diagonali e altri zero elementi è chiamata identità.
Una matrice inversa è una tale matrice, quando moltiplicata per la quale quella originale si trasforma in una unità, tale matrice esiste solo per quella quadrata originale.
Per quanto riguarda i sistemi di equazioni, i coefficienti ei membri liberi delle equazioni sono scritti come numeri della matrice, un'equazione è una riga della matrice.
Una riga di matrice è chiamata diversa da zero se almeno un elemento della riga non è uguale a zero. Pertanto, se in una qualsiasi delle equazioni il numero di variabili differisce, è necessario inserire zero al posto dell'incognita mancante.
Le colonne della matrice devono corrispondere rigorosamente alle variabili. Ciò significa che i coefficienti della variabile x possono essere scritti solo in una colonna, ad esempio la prima, il coefficiente dell'incognita y - solo nella seconda.
Quando si moltiplica una matrice, tutti gli elementi della matrice vengono successivamente moltiplicati per un numero.
La formula per trovare la matrice inversa è abbastanza semplice: K -1 = 1 / |K|, dove K -1 è la matrice inversa e |K| - determinante di matrice. |K| non deve essere uguale a zero, allora il sistema ha una soluzione.
Il determinante è facilmente calcolabile per una matrice due per due, è solo necessario moltiplicare gli elementi diagonalmente l'uno per l'altro. Per l'opzione "tre per tre", esiste una formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + un 3 b 2 c 1 . Puoi usare la formula, oppure puoi ricordare che devi prendere un elemento da ogni riga e ogni colonna in modo che i numeri di colonna e riga degli elementi non si ripetano nel prodotto.
Il metodo matriciale per trovare una soluzione consente di ridurre le notazioni ingombranti quando si risolvono i sistemi con grande quantità variabili ed equazioni.
Nell'esempio, a nm sono i coefficienti delle equazioni, la matrice è un vettore x n sono le variabili e b n sono i termini liberi.
A matematica superiore il metodo di Gauss è studiato insieme al metodo di Cramer e il processo per trovare una soluzione ai sistemi è chiamato metodo della soluzione di Gauss-Cramer. Questi metodi sono usati per trovare variabili di sistema con molte equazioni lineari.
Il metodo di Gauss è molto simile alle soluzioni che utilizzano sostituzioni e addizione algebrica ma più sistematico. Nel corso della scuola, la soluzione gaussiana viene utilizzata per i sistemi di 3 e 4 equazioni. Lo scopo del metodo è portare il sistema alla forma di un trapezio rovesciato. Mediante trasformazioni e sostituzioni algebriche, il valore di una variabile si trova in una delle equazioni del sistema. La seconda equazione è un'espressione con 2 incognite e 3 e 4 - rispettivamente con 3 e 4 variabili.
Portato il sistema nella forma descritta, l'ulteriore soluzione si riduce alla sostituzione sequenziale di variabili note nelle equazioni del sistema.
Nei libri di testo scolastici per il grado 7, un esempio di soluzione gaussiana è descritto come segue:
Come si può vedere dall'esempio, al punto (3) sono state ottenute due equazioni 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. La soluzione di una qualsiasi delle equazioni ti permetterà di scoprire una delle variabili x n.
Il teorema 5, menzionato nel testo, afferma che se una delle equazioni del sistema viene sostituita da una equivalente, anche il sistema risultante sarà equivalente a quello originale.
Il metodo gaussiano è difficile da capire per gli studenti delle scuole medie, ma è uno dei più modi interessanti sviluppare l'ingegno dei bambini iscritti al corso di studi avanzati nelle classi di matematica e fisica.
Per facilitare la registrazione dei calcoli, è consuetudine effettuare le seguenti operazioni:
I coefficienti di equazione e i termini liberi sono scritti sotto forma di una matrice, in cui ogni riga della matrice corrisponde a una delle equazioni del sistema. separa il lato sinistro dell'equazione dal lato destro. I numeri romani indicano i numeri delle equazioni nel sistema.
Per prima cosa annotano la matrice con cui lavorare, quindi tutte le azioni eseguite con una delle righe. La matrice risultante viene scritta dopo il segno "freccia" e continua a eseguire le operazioni algebriche necessarie fino al raggiungimento del risultato.
Di conseguenza, si dovrebbe ottenere una matrice in cui una delle diagonali è 1 e tutti gli altri coefficienti sono uguali a zero, ovvero la matrice viene ridotta a un'unica forma. Non dobbiamo dimenticare di fare calcoli con i numeri di entrambi i lati dell'equazione.
Questa notazione è meno ingombrante e permette di non distrarsi elencando numerose incognite.
L'applicazione gratuita di qualsiasi metodo di soluzione richiederà cura e una certa esperienza. Non tutti i metodi vengono applicati. Alcuni modi per trovare soluzioni sono più preferibili in una particolare area dell'attività umana, mentre altri esistono ai fini dell'apprendimento.
Soluzione di sistemi lineari equazioni algebriche(SLAE) è senza dubbio l'argomento più importante del corso di algebra lineare. Un numero enorme di problemi di tutti i rami della matematica si riduce alla risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Questi fattori spiegano il motivo della creazione di questo articolo. Il materiale dell'articolo è selezionato e strutturato in modo che con il suo aiuto tu possa
Breve descrizione del materiale dell'articolo.
Innanzitutto, diamo tutte le definizioni, i concetti necessari e introduciamo alcune notazioni.
Successivamente, consideriamo metodi per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite e che hanno unica decisione. In primo luogo, ci concentreremo sul metodo Cramer, in secondo luogo, mostreremo il metodo matriciale per risolvere tali sistemi di equazioni, in terzo luogo, analizzeremo il metodo di Gauss (il metodo esclusione sequenziale variabili sconosciute). Per consolidare la teoria, risolveremo sicuramente diversi SLAE diversi modi.
Successivamente, passiamo alla risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari vista generale, in cui il numero di equazioni non coincide con il numero di incognite o la matrice principale del sistema è degenere. Formuliamo il teorema di Kronecker-Capelli, che ci permette di stabilire la compatibilità degli SLAE. Analizziamo la soluzione dei sistemi (nel caso della loro compatibilità) utilizzando il concetto di base minore di una matrice. Considereremo anche il metodo di Gauss e descriveremo in dettaglio le soluzioni degli esempi.
Assicurati di soffermarti sulla struttura della soluzione generale di sistemi omogenei e disomogenei di equazioni algebriche lineari. Diamo il concetto di sistema fondamentale di soluzioni e mostriamo come si scrive la soluzione generale dello SLAE utilizzando i vettori del sistema fondamentale di soluzioni. Per una migliore comprensione, diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
In conclusione, consideriamo sistemi di equazioni che si riducono a lineari, nonché vari problemi, nella cui soluzione sorgono gli SLAE.
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Considereremo sistemi di p equazioni algebriche lineari con n variabili incognite (p può essere uguale a n ) della forma
Variabili sconosciute, - coefficienti (alcuni reali o numeri complessi), - membri liberi (anche numeri reali o complessi).
Questa forma di SLAE è chiamata coordinata.
A forma matriciale questo sistema di equazioni ha la forma ,
dove 
- la matrice principale del sistema, - la colonna matrice delle variabili sconosciute, - la colonna matrice dei membri liberi.
Se aggiungiamo alla matrice A come colonna (n + 1)-esima la colonna matrice dei termini liberi, otteniamo il cosiddetto matrice espansa sistemi di equazioni lineari. Di solito, la matrice aumentata è indicata dalla lettera T e la colonna dei membri liberi è separata da una linea verticale dal resto delle colonne, ovvero 
Risolvendo un sistema di equazioni algebriche lineari chiamato insieme di valori di variabili sconosciute, che trasforma tutte le equazioni del sistema in identità. Anche l'equazione matriciale per i valori dati delle variabili incognite si trasforma in un'identità.
Se un sistema di equazioni ha almeno una soluzione, viene chiamato giunto.
Se il sistema di equazioni non ha soluzioni, viene chiamato incompatibile.
Se uno SLAE ha una soluzione unica, viene chiamato certo; se c'è più di una soluzione, allora - incerto.
Se i termini liberi di tutte le equazioni del sistema sono uguali a zero 
, quindi viene chiamato il sistema omogeneo, altrimenti - eterogeneo.
Se il numero di equazioni di sistema è uguale al numero di variabili incognite e il determinante della sua matrice principale non è uguale a zero, chiameremo tali SLAE elementare. Tali sistemi di equazioni hanno una soluzione unica e, nel caso di un sistema omogeneo, tutte le variabili incognite sono uguali a zero.
Abbiamo iniziato a studiare tali SLAE in Scuola superiore. Quando li abbiamo risolti, abbiamo preso un'equazione, abbiamo espresso una variabile sconosciuta in termini di altre e l'abbiamo sostituita nelle equazioni rimanenti, quindi abbiamo preso l'equazione successiva, abbiamo espresso la variabile sconosciuta successiva e l'abbiamo sostituita in altre equazioni e così via. Oppure hanno usato il metodo dell'addizione, ovvero hanno aggiunto due o più equazioni per eliminare alcune variabili sconosciute. Non ci soffermeremo su questi metodi in dettaglio, poiché sono essenzialmente modifiche del metodo di Gauss.
I metodi principali per la risoluzione di sistemi elementari di equazioni lineari sono il metodo Cramer, il metodo matriciale e il metodo Gauss. Risolviamoli.
Dobbiamo risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari 
in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite e il determinante della matrice principale del sistema è diverso da zero, cioè .
Sia il determinante della matrice principale del sistema, e 
sono determinanti di matrici che si ottengono da A sostituendo 1°, 2°, …, ennesimo colonna rispettivamente alla colonna dei membri liberi: 
Con tale notazione, le incognite vengono calcolate con le formule del metodo di Cramer come 
. È così che si trova la soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari con il metodo di Cramer.
Esempio.
Metodo Cramer 
.
Soluzione.
La matrice principale del sistema ha la forma 
. Calcola il suo determinante (se necessario, vedi l'articolo): 
Poiché il determinante della matrice principale del sistema è diverso da zero, il sistema ha una soluzione unica che può essere trovata con il metodo di Cramer.
Componi e calcola i determinanti necessari 
(il determinante si ottiene sostituendo la prima colonna della matrice A con una colonna di membri liberi, il determinante - sostituendo la seconda colonna con una colonna di membri liberi, - sostituendo la terza colonna della matrice A con una colonna di membri liberi ): 
Trovare variabili sconosciute usando formule 
:
Risposta:
Lo svantaggio principale del metodo di Cramer (se può essere definito uno svantaggio) è la complessità del calcolo dei determinanti quando il numero di equazioni di sistema è superiore a tre.
Sia dato il sistema di equazioni algebriche lineari in forma matriciale , dove la matrice A ha dimensione n per n e il suo determinante è diverso da zero.
Poiché , allora la matrice A è invertibile, cioè esiste una matrice inversa . Se moltiplichiamo entrambe le parti dell'uguaglianza per a sinistra, otteniamo una formula per trovare la matrice di colonne di variabili sconosciute. Quindi abbiamo ottenuto la soluzione del sistema di equazioni algebriche lineari con il metodo delle matrici.
Esempio.
Risolvi il sistema di equazioni lineari metodo matriciale.
Soluzione.
Riscriviamo il sistema di equazioni in forma matriciale: 
Perché
allora lo SLAE può essere risolto con il metodo della matrice. Usando la matrice inversa, la soluzione di questo sistema può essere trovata come 
.
Costruiamo una matrice inversa utilizzando una matrice di complementi algebrici degli elementi della matrice A (se necessario, vedere l'articolo): 
Resta da calcolare: la matrice delle variabili sconosciute moltiplicando la matrice inversa 
sulla colonna-matrice dei membri liberi (se necessario, vedere l'articolo): 
Risposta:
o in un'altra notazione x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Il problema principale nel trovare una soluzione ai sistemi di equazioni algebriche lineari con il metodo matriciale è la complessità di trovare la matrice inversa, specialmente per matrici quadrate ordine superiore al terzo.
Supponiamo di dover trovare una soluzione a un sistema di n equazioni lineari con n variabili incognite 
il determinante della matrice principale di cui è diverso da zero.
L'essenza del metodo Gauss consiste nella successiva esclusione di incognite: prima x 1 è esclusa da tutte le equazioni del sistema, a partire dalla seconda, poi x 2 è esclusa da tutte le equazioni, a partire dalla terza, e così via, fino alla sola incognita x n rimane nell'ultima equazione. Si chiama tale processo di trasformazione delle equazioni del sistema per la successiva eliminazione di variabili incognite metodo di Gauss diretto. Dopo il completamento della corsa in avanti del metodo gaussiano, x n viene trovato dall'ultima equazione, x n-1 viene calcolato dalla penultima equazione utilizzando questo valore e così via, x 1 viene trovato dalla prima equazione. Viene chiamato il processo di calcolo delle variabili sconosciute quando si passa dall'ultima equazione del sistema alla prima metodo di Gauss inverso.
Descriviamo brevemente l'algoritmo per eliminare le variabili sconosciute.
Assumeremo che , poiché possiamo sempre ottenere ciò riordinando le equazioni del sistema. Escludiamo l'incognita x 1 da tutte le equazioni del sistema, a partire dalla seconda. Per fare ciò, aggiungi la prima equazione moltiplicata per alla seconda equazione del sistema, aggiungi la prima moltiplicata per alla terza equazione e così via, aggiungi la prima moltiplicata per all'ennesima equazione. Il sistema di equazioni dopo tali trasformazioni assumerà la forma 
dove un 
.
Arriveremmo allo stesso risultato se esprimessimo x 1 in termini di altre variabili incognite nella prima equazione del sistema e sostituendo l'espressione risultante in tutte le altre equazioni. Pertanto, la variabile x 1 è esclusa da tutte le equazioni, a partire dalla seconda.
Successivamente, agiamo in modo simile, ma solo con una parte del sistema risultante, che è contrassegnato nella figura 
Per fare ciò, aggiungi il secondo moltiplicato per alla terza equazione del sistema, aggiungi il secondo moltiplicato per alla quarta equazione e così via, aggiungi il secondo moltiplicato per all'ennesima equazione. Il sistema di equazioni dopo tali trasformazioni assumerà la forma 
dove un 
. Pertanto, la variabile x 2 è esclusa da tutte le equazioni, a partire dalla terza.
Successivamente si procede all'eliminazione dell'incognita x 3, agendo in modo analogo con la parte di sistema segnata in figura 
Quindi continuiamo il corso diretto del metodo di Gauss finché il sistema non prende la forma 
Da questo momento iniziamo il percorso inverso del metodo di Gauss: calcoliamo x n dall'ultima equazione poiché, utilizzando il valore ottenuto x n troviamo x n-1 dalla penultima equazione, e così via, troviamo x 1 dalla prima equazione.
Esempio.
Risolvi il sistema di equazioni lineari metodo gaussiano.
Soluzione.
Escludiamo l'incognita x 1 dalla seconda e terza equazione del sistema. Per fare ciò, ad entrambe le parti della seconda e della terza equazione, aggiungiamo le parti corrispondenti della prima equazione, moltiplicate rispettivamente per e per: 
Ora escludiamo x 2 dalla terza equazione aggiungendo alle sue parti sinistra e destra le parti sinistra e destra della seconda equazione, moltiplicate per: 
Su questo, completato il corso in avanti del metodo di Gauss, iniziamo il corso inverso.
Dall'ultima equazione del sistema di equazioni risultante, troviamo x 3: 
Dalla seconda equazione otteniamo .
Dalla prima equazione troviamo la restante incognita e questa completa il corso inverso del metodo di Gauss.
Risposta:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
A caso generale il numero di equazioni di sistema p non corrisponde al numero di variabili incognite n:
Tali SLAE possono non avere soluzioni, avere un'unica soluzione o avere infinite soluzioni. Questa affermazione si applica anche ai sistemi di equazioni la cui matrice principale è quadrata e degenere.
Prima di trovare una soluzione ad un sistema di equazioni lineari, è necessario stabilirne la compatibilità. La risposta alla domanda quando SLAE è compatibile e quando è incompatibile, dà Teorema di Kronecker-Capelli:
affinché un sistema di p equazioni con n incognite (p può essere uguale a n) sia coerente è necessario e sufficiente che il rango della matrice principale del sistema sia uguale a rango matrice aumentata, ovvero Rank(A)=Rank(T) .
Consideriamo come esempio l'applicazione del teorema di Kronecker-Cappelli per determinare la compatibilità di un sistema di equazioni lineari.
Esempio.
Scopri se il sistema di equazioni lineari ha 
soluzioni.
Soluzione.
. Usiamo il metodo del confine con i minori. Minore di secondo ordine 
diverso da zero. Esaminiamo i minori di terzo ordine che lo circondano: 
Poiché tutti i minori di terzo ordine confinanti sono uguali a zero, il rango della matrice principale è due.
A sua volta, il rango della matrice aumentata 
è uguale a tre, essendo la minore di terzo ordine 
diverso da zero.
In questo modo, Rang(A) , quindi, secondo il teorema di Kronecker-Capelli, possiamo concludere che il sistema originario di equazioni lineari è incoerente.
Risposta:
Non esiste un sistema risolutivo.
Quindi, abbiamo imparato a stabilire l'incoerenza del sistema usando il teorema di Kronecker-Capelli.
Ma come trovare la soluzione dello SLAE se ne è accertata la compatibilità?
Per fare ciò abbiamo bisogno del concetto di base minore di una matrice e del teorema sul rango di una matrice.
Viene chiamato il minore di ordine più alto della matrice A, diverso da zero di base.
Dalla definizione della base minore deriva che il suo ordine è uguale al rango della matrice. Per una matrice A diversa da zero, possono esserci più minori di base; c'è sempre un minore di base.
Consideriamo ad esempio la matrice 
.
Tutti i minori di terzo ordine di questa matrice sono uguali a zero, poiché gli elementi della terza riga di questa matrice sono la somma degli elementi corrispondenti della prima e della seconda riga.
I seguenti minori del secondo ordine sono di base, poiché sono diversi da zero 
Minori 
non sono di base, poiché sono uguali a zero.
Teorema del rango di matrice.
Se il rango di una matrice di ordine p per n è r, allora tutti gli elementi delle righe (e colonne) della matrice che non formano la base prescelta minor sono espressi linearmente in termini di elementi corrispondenti delle righe (e colonne ) che costituiscono la base minore.
Cosa ci dà il teorema del rango della matrice?
Se, per il teorema di Kronecker-Capelli, abbiamo stabilito la compatibilità del sistema, allora scegliamo qualsiasi minore di base della matrice principale del sistema (il suo ordine è uguale a r), ed escludiamo dal sistema tutte le equazioni che non formare il minore di base prescelto. Lo SLAE così ottenuto sarà equivalente a quello originale, poiché le equazioni scartate sono ancora ridondanti (secondo il teorema del rango della matrice, sono una combinazione lineare delle restanti equazioni).
Di conseguenza, dopo aver scartato le equazioni eccessive del sistema, sono possibili due casi.
Se il numero di equazioni r nel sistema risultante è uguale al numero di variabili incognite, allora sarà definito e l'unica soluzione può essere trovata con il metodo Cramer, il metodo matriciale o il metodo di Gauss.
Esempio.
.
Soluzione.
Rango della matrice principale del sistema 
è uguale a due, poiché la minore del secondo ordine 
diverso da zero. Rango di matrice esteso 
è anche uguale a due, poiché l'unico minore del terzo ordine è uguale a zero 
ed il minore del secondo ordine sopra considerato è diverso da zero. Basandosi sul teorema di Kronecker-Capelli, si può affermare la compatibilità del sistema originale di equazioni lineari, poiché Rank(A)=Rank(T)=2 .
Come base minore, prendiamo . È formato dai coefficienti della prima e della seconda equazione: 
La terza equazione del sistema non partecipa alla formazione della minore di base, quindi la escludiamo dal sistema in base al teorema del rango di matrice: 
Abbiamo così ottenuto un sistema elementare di equazioni algebriche lineari. Risolviamolo con il metodo di Cramer: 
Risposta:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Se il numero di equazioni r nello SLAE risultante è inferiore al numero di variabili incognite n , allora lasciamo i termini che formano la minore di base nelle parti di sinistra delle equazioni e trasferiamo i termini rimanenti nelle parti di destra delle equazioni del sistema con segno opposto.
Vengono chiamate le variabili incognite (ce ne sono r) rimanenti sul lato sinistro delle equazioni principale.
Vengono chiamate variabili sconosciute (ce ne sono n - r) che sono finite sul lato destro gratuito.
Ora assumiamo che le variabili incognite libere possano assumere valori arbitrari, mentre le r principali incognite saranno espresse in termini di incognite libere in un modo univoco. La loro espressione può essere trovata risolvendo lo SLAE risultante con il metodo Cramer, il metodo matriciale o il metodo Gauss.
Facciamo un esempio.
Esempio.
Risolvi il sistema di equazioni algebriche lineari 
.
Soluzione.
Trova il rango della matrice principale del sistema 
con il metodo dei minori confinanti. Prendiamo un 1 1 = 1 come minore del primo ordine diverso da zero. Iniziamo a cercare un minore di secondo ordine diverso da zero che circonda questo minore: 
Quindi abbiamo trovato un minore diverso da zero del secondo ordine. Iniziamo a cercare un minore confinante diverso da zero del terzo ordine: 
Pertanto, il rango della matrice principale è tre. Anche il rango della matrice aumentata è pari a tre, ovvero il sistema è coerente.
Il minore trovato diverso da zero del terzo ordine sarà preso come quello di base.
Per chiarezza, mostriamo gli elementi che costituiscono la base minore: 
Lasciamo i termini che partecipano al minore di base sul lato sinistro delle equazioni del sistema e trasferiamo il resto da segni opposti a destra: 
Diamo a variabili sconosciute libere x 2 e x 5 valori arbitrari, cioè prendiamo 
, dove sono numeri arbitrari. In questo caso, lo SLAE assume la forma 
Risolviamo il sistema elementare ottenuto di equazioni algebriche lineari con il metodo di Cramer: 
Di conseguenza, .
Nella risposta, non dimenticare di indicare variabili sconosciute libere.
Risposta:
Dove sono numeri arbitrari.
Ricapitolare.
Per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari di forma generale, scopriamo innanzitutto la sua compatibilità utilizzando il teorema di Kronecker-Capelli. Se il rango della matrice principale non è uguale al rango della matrice estesa, allora concludiamo che il sistema è incoerente.
Se il rango della matrice principale è uguale al rango della matrice estesa, scegliamo il minore di base e scartiamo le equazioni del sistema che non partecipano alla formazione del minore di base scelto.
Se l'ordine della base minore è uguale al numero variabili sconosciute, allora lo SLAE ha una soluzione unica che può essere trovata con qualsiasi metodo a noi noto.
Se l'ordine della base minore è minore del numero delle incognite, allora lasciamo i termini con le principali incognite sul lato sinistro delle equazioni del sistema, trasferiamo i restanti termini ai lati destro e assegniamo valori arbitrari alle variabili sconosciute libere. Dal risultante sistema di equazioni lineari, troviamo le principali incognite con il metodo Cramer, il metodo matriciale o il metodo di Gauss.
Utilizzando il metodo di Gauss, si possono risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari di qualsiasi tipo senza la loro ricerca preliminare di compatibilità. Il processo di eliminazione successiva di variabili incognite consente di trarre una conclusione sia sulla compatibilità che sull'incoerenza dello SLAE e, se esiste una soluzione, consente di trovarla.
Dal punto di vista del lavoro computazionale, è preferibile il metodo gaussiano.
Guardalo descrizione dettagliata ed esempi analizzati nell'articolo Metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale.
In questa sezione ci concentreremo sui sistemi congiunti omogenei e disomogenei di equazioni algebriche lineari che hanno un numero infinito di soluzioni.
Trattiamo prima i sistemi omogenei.
Sistema decisionale fondamentale Un sistema omogeneo di p equazioni algebriche lineari con n variabili incognite è un insieme di (n – r) soluzioni linearmente indipendenti di questo sistema, dove r è l'ordine della base minore della matrice principale del sistema.
Se designiamo soluzioni linearmente indipendenti di uno SLAE omogeneo come X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sono colonne di matrici di dimensione n per 1), allora la soluzione generale di questo sistema omogeneo è rappresentata come una combinazione lineare di vettori del sistema fondamentale di soluzioni con arbitrario coefficienti costantiС 1 , С 2 , …, С (n-r) , cioè .
Cosa significa il termine soluzione generale di un sistema omogeneo di equazioni algebriche lineari (oroslau)?
Il significato è semplice: la formula specifica tutte le possibili soluzioni allo SLAE originale, in altre parole, prendendo qualsiasi insieme di valori di costanti arbitrarie C 1 , C 2 , ..., C (n-r), secondo la formula che abbiamo otterrà una delle soluzioni dello SLAE omogeneo originale.
Quindi, se troviamo sistema fondamentale soluzioni, quindi possiamo impostare tutte le soluzioni di questo SLAE omogeneo come .
Mostriamo il processo di costruzione di un sistema fondamentale di soluzioni per uno SLAE omogeneo.
Scegliamo il minore di base del sistema originale di equazioni lineari, escludiamo tutte le altre equazioni dal sistema e trasferiamo a destra delle equazioni del sistema con segni opposti tutti i termini contenenti variabili incognite libere. Diamo alle incognite libere i valori 1,0,0,…,0 e calcoliamo le principali incognite risolvendo il sistema elementare di equazioni lineari risultante in qualsiasi modo, ad esempio, con il metodo di Cramer. Si otterrà così X (1), la prima soluzione del sistema fondamentale. Se diamo alle incognite libere i valori 0,1,0,0,…,0 e calcoliamo le incognite principali, otteniamo X (2) . E così via. Se diamo alle incognite libere i valori 0,0,…,0,1 e calcoliamo le principali incognite, otteniamo X (n-r) . Così si costruirà il sistema fondamentale di soluzioni dello SLAE omogeneo e se ne potrà scrivere la soluzione generale nella forma.
Per sistemi disomogenei di equazioni algebriche lineari, la soluzione generale è rappresentata come
Diamo un'occhiata agli esempi.
Esempio.
Trova il sistema fondamentale di soluzioni e la soluzione generale di un sistema omogeneo di equazioni algebriche lineari 
.
Soluzione.
Il rango della matrice principale dei sistemi omogenei di equazioni lineari è sempre uguale al rango della matrice estesa. Troviamo il rango della matrice principale con il metodo del frange minori. Come minore diverso da zero del primo ordine, prendiamo l'elemento a 1 1 = 9 della matrice principale del sistema. Trova il minore confinante diverso da zero del secondo ordine: 
Si trova un minore di secondo ordine, diverso da zero. Esaminiamo i minori di terzo ordine che la confinano alla ricerca di uno diverso da zero: 
Tutti i minori confinanti del terzo ordine sono uguali a zero, quindi il rango della matrice principale ed estesa è due. Prendiamo il minore di base. Per chiarezza, segnaliamo gli elementi del sistema che lo compongono: 
La terza equazione dello SLAE originale non partecipa alla formazione del minore di base, pertanto si può escludere: 
Lasciamo i termini contenenti le principali incognite a destra delle equazioni e trasferiamo i termini con incognite libere a destra:
Costruiamo un sistema fondamentale di soluzioni al sistema omogeneo originario di equazioni lineari. Il sistema fondamentale di soluzioni di questo SLAE consiste di due soluzioni, poiché lo SLAE originale contiene quattro variabili sconosciute e l'ordine della sua minore di base è due. Per trovare X (1), diamo alle variabili incognite libere i valori x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, quindi troviamo le principali incognite dal sistema di equazioni 
.
Il sistema è chiamato giunto, o risolvibile se ha almeno una soluzione. Il sistema è chiamato incompatibile, o insolubile se non ha soluzioni.
SLAE definito, indefinito.
Se uno SLAE ha una soluzione ed è unico, viene chiamato certo e se la soluzione non è unica, allora incerto.
EQUAZIONI DI MATRICE
Le matrici consentono di scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Sia dato un sistema di 3 equazioni con tre incognite:
Considera la matrice del sistema 
e colonne di matrice di membri sconosciuti e liberi 
Troviamo il prodotto 
quelli. come risultato del prodotto, otteniamo i membri di sinistra delle equazioni di questo sistema. Quindi, usando la definizione di uguaglianza di matrici, questo sistema può essere scritto come
o più breve UN∙X=B.
Qui matrici UN e B sono noti e la matrice X sconosciuto. Ha bisogno di essere trovata, perché. i suoi elementi sono la soluzione di questo sistema. Questa equazione è chiamata equazione matriciale.
Sia il determinante della matrice diverso da zero | UN| ≠ 0. Quindi l'equazione della matrice viene risolta come segue. Moltiplica entrambi i membri dell'equazione a sinistra per la matrice A-1, l'inverso della matrice UN: . Perché il LA -1 LA = E e e∙X=X, quindi otteniamo la soluzione equazione matriciale come X = LA -1 B .
Si noti che poiché la matrice inversa può essere trovata solo per matrici quadrate, il metodo della matrice può risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite.
Le formule di Cramer
Il metodo di Cramer è che troviamo successivamente identificatore di sistema principale, cioè. determinante della matrice A: D = det (a i j) e n determinanti ausiliari D i (i= ), che si ottengono dal determinante D sostituendo l'i-esima colonna con una colonna di termini liberi.
Le formule di Cramer sono: D × x i = D i (i = ).
Da ciò segue la regola di Cramer, che dà una risposta esauriente alla domanda sulla compatibilità del sistema: se il determinante principale del sistema è diverso da zero, allora il sistema ha un'unica soluzione, determinata dalle formule: x i = D i / D.
Se il determinante principale del sistema D e tutti i determinanti ausiliari D i = 0 (i= ), allora il sistema ha un numero infinito di soluzioni. Se il determinante principale del sistema D = 0 e almeno un determinante ausiliario è diverso da zero, il sistema è incoerente.
Teorema (regola di Cramer): se il determinante del sistema è Δ ≠ 0, allora il sistema in esame ha una e una sola soluzione, e 
Dimostrazione: Consideriamo quindi un sistema di 3 equazioni con tre incognite. Moltiplica la prima equazione del sistema per addizione algebrica A 11 elemento un 11, 2a equazione - attiva A21 e 3a - su A 31:
Aggiungiamo queste equazioni:
Considera ciascuna delle parentesi e lato destro questa equazione. Secondo il teorema sull'espansione del determinante in termini di elementi della 1a colonna.
Allo stesso modo, si può dimostrare che e .
Alla fine, è facile vederlo 
Quindi, otteniamo l'uguaglianza: . Di conseguenza, .
Le uguaglianze e sono derivate similmente, da cui segue l'asserzione del teorema.
Teorema di Kronecker-Capelli.
Un sistema di equazioni lineari è coerente se e solo se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice aumentata.
Prova: Si suddivide in due fasi.
1. Lascia che il sistema abbia una soluzione. Mostriamolo.
Lasciamo l'insieme dei numeri 
è la soluzione del sistema. Indichiamo con la -esima colonna della matrice , 
. Allora, cioè la colonna dei termini liberi è una combinazione lineare delle colonne della matrice. Permettere . Facciamo finta che 
. Poi per 
. Scegliamo nel minore di base. Ha ordine. La colonna dei membri liberi deve passare per questo minore, altrimenti sarà il minore di base della matrice. La colonna dei termini liberi in minore è una combinazione lineare delle colonne della matrice. In virtù delle proprietà del determinante, dove è il determinante che si ottiene dal minore sostituendo la colonna dei termini liberi con la colonna. Se la colonna è passata per la M minore, allora in , ci saranno due colonne identiche e, quindi, . Se la colonna non è passata per il minore, differirà dal minore dell'ordine r + 1 della matrice solo per l'ordine delle colonne. Da allora . Pertanto, il che contraddice la definizione di base minore. Quindi, l'ipotesi che , è falsa.
2. Lascia. Mostriamo che il sistema ha una soluzione. Poiché, allora la base minore della matrice è la base minore della matrice. Lascia che le colonne passino per la minore 
. Quindi, per il teorema di base minore in una matrice, la colonna di termini liberi è una combinazione lineare delle colonne indicate:
| (1) |
Poniamo , , , , e prendiamo le restanti incognite uguali a zero. Quindi per questi valori otteniamo
In virtù dell'uguaglianza (1) . L'ultima uguaglianza significa che l'insieme dei numeri 
è la soluzione del sistema. L'esistenza di una soluzione è dimostrata.
Nel sistema discusso sopra 
e il sistema è coerente. Nel sistema , , e il sistema è incoerente.
Nota: sebbene il teorema di Kronecker-Capelli consenta di determinare se il sistema è coerente, viene utilizzato abbastanza raramente, principalmente negli studi teorici. Il motivo è che i calcoli eseguiti quando si trova il rango di una matrice sono sostanzialmente gli stessi dei calcoli quando si trova una soluzione del sistema. Pertanto, di solito invece di trovare e , si cerca una soluzione al sistema. Se può essere trovato, allora impariamo che il sistema è coerente e contemporaneamente otteniamo la sua soluzione. Se non è possibile trovare una soluzione, concludiamo che il sistema è incoerente.
Algoritmo per trovare soluzioni ad un sistema arbitrario di equazioni lineari (metodo di Gauss)
Sia dato un sistema di equazioni lineari con incognite. È necessario trovare la sua soluzione generale se è coerente o stabilirne l'incoerenza. Il metodo che verrà presentato in questa sezione è vicino al metodo per calcolare il determinante e al metodo per trovare il rango di una matrice. Viene chiamato l'algoritmo proposto Metodo Gauss o metodo di eliminazione successiva delle incognite.
Scriviamo la matrice aumentata del sistema
Chiamiamo operazioni elementari le seguenti operazioni con matrici:
1. permutazione di linee;
2. moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero;
3. somma di una stringa con un'altra stringa moltiplicata per un numero.
Si noti che quando si risolve un sistema di equazioni, contrariamente al calcolo del determinante e alla ricerca del rango, non si può operare con le colonne. Se il sistema di equazioni viene ripristinato dalla matrice ottenuta dall'operazione elementare, allora nuovo sistema sarà uguale all'originale.
Lo scopo dell'algoritmo è, applicando una sequenza di operazioni elementari alla matrice, garantire che ogni riga, eccetto forse la prima, inizi con zero e il numero di zeri fino al primo elemento diverso da zero in ogni successivo riga è maggiore della precedente.
Il passo dell'algoritmo è il seguente. Trova la prima colonna diversa da zero nella matrice. Sia una colonna con numero . Troviamo un elemento diverso da zero e scambiamo la riga con questo elemento con la prima riga. Per non accumulare notazioni aggiuntive, assumeremo che un tale cambio di righe nella matrice sia già stato effettuato, ovvero . Quindi alla seconda riga aggiungiamo la prima moltiplicata per il numero, alla terza riga aggiungiamo la prima moltiplicata per il numero, ecc. Di conseguenza, otteniamo la matrice
(Le prime colonne null di solito mancano.)
Se la matrice ha una riga con numero k, in cui tutti gli elementi sono uguali a zero, e , interrompiamo l'esecuzione dell'algoritmo e concludiamo che il sistema è incoerente. Infatti, ripristinando il sistema di equazioni dalla matrice estesa, otteniamo che la -esima equazione avrà la forma 
Questa equazione non soddisfa nessun insieme di numeri 
.
La matrice può essere scritta come 
Per quanto riguarda la matrice, eseguiamo il passaggio descritto dell'algoritmo. Ottieni la matrice
dove , . Questa matrice può essere nuovamente scritta come
e il passaggio precedente dell'algoritmo viene nuovamente applicato alla matrice.
Il processo si interrompe se dopo l'esecuzione del passaggio successivo la nuova matrice ridotta è composta da soli zeri o se tutte le righe sono esaurite. Si noti che la conclusione sull'incompatibilità del sistema potrebbe interrompere il processo anche prima.
Se non riducessimo la matrice, alla fine arriveremmo a una matrice della forma
Successivamente, viene eseguito il cosiddetto passaggio inverso del metodo gaussiano. Sulla base della matrice, componiamo un sistema di equazioni. Sul lato sinistro, lasciamo le incognite con i numeri corrispondenti ai primi elementi diversi da zero in ogni riga, cioè . Notare che . Le restanti incognite vengono trasferite sul lato destro. Considerando le incognite sul lato destro come quantità fisse, è facile esprimere le incognite sul lato sinistro in termini di esse.
Ora, dando valori arbitrari alle incognite sul lato destro e calcolando i valori delle variabili sul lato sinistro, troveremo varie soluzioni sistema originale Ax=b. Per scrivere la soluzione generale, è necessario indicare le incognite sul lato destro in qualsiasi ordine per lettere 
, comprese quelle incognite che non sono scritte esplicitamente sul lato destro a causa di coefficienti zero, e quindi la colonna delle incognite può essere scritta come una colonna, dove ogni elemento è una combinazione lineare di valori arbitrari 
(in particolare, solo un valore arbitrario). Questa voce sarà la soluzione generale del sistema.
Se il sistema è omogeneo, otteniamo la soluzione generale del sistema omogeneo. I coefficienti di , presi in ogni elemento della colonna della soluzione generale, formeranno la prima soluzione dal sistema fondamentale di soluzioni, i coefficienti di , la seconda soluzione e così via.
Metodo 2: Il sistema fondamentale di soluzioni di un sistema omogeneo può essere ottenuto in un altro modo. Per fare ciò, a una variabile, trasferita sul lato destro, deve essere assegnato il valore 1 e il resto - zeri. Calcolando i valori delle variabili sul lato sinistro, otteniamo una soluzione dal sistema fondamentale. Assegnando il valore 1 all'altra variabile di destra, e gli zeri alle altre, otteniamo la seconda soluzione dal sistema fondamentale, e così via.
Definizione: il sistema è chiamato congiuntamente th, se ha almeno una soluzione, e incoerente - altrimenti, cioè nel caso in cui il sistema non abbia soluzioni. La questione se un sistema abbia una soluzione o meno è collegata non solo al rapporto tra il numero di equazioni e il numero di incognite. Ad esempio, un sistema di tre equazioni con due incognite
 |
ha una soluzione e ha anche infinite soluzioni, ma un sistema di due equazioni con tre incognite.
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Questo sistema è sempre coerente poiché ha una soluzione banale x 1 =…=x n =0
Perché esistano soluzioni non banali, è necessario e sufficiente
condizioni r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.
Th L'insieme delle soluzioni SLAE forma uno spazio lineare di dimensione (n-r). Ciò significa che il prodotto della sua soluzione per un numero, così come la somma e la combinazione lineare di un numero finito delle sue soluzioni, sono soluzioni di questo sistema. Lo spazio della soluzione lineare di qualsiasi SLAE è un sottospazio dello spazio R n .
Viene chiamato qualsiasi insieme di (n-r) soluzioni linearmente indipendenti di uno SLAE (che è una base nello spazio delle soluzioni) insieme fondamentale di soluzioni (FSR).
Siano х 1 ,…,х r incognite di base, х r +1 ,…,х n incognite libere. Diamo a turno i seguenti valori alle variabili libere:
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Forma uno spazio lineare S (spazio delle soluzioni), che è un sottospazio in R n (n è il numero di incognite), e dims=k=n-r, dove r è il rango del sistema. La base nello spazio delle soluzioni(x (1) ,…, x (k) ) è chiamata sistema fondamentale di soluzioni e la soluzione generale ha la forma:
X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R
Matematica superiore » Sistemi di equazioni algebriche lineari » Termini di base. Notazione matriciale.
Sotto sistema di equazioni algebriche lineari(SLAE) implica un sistema
\begin(equazione) \left \( \begin(aligned) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(aligned) \right.\end(equazione)
Vengono chiamati i parametri $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) coefficienti e $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - membri liberi SLAU. A volte, per enfatizzare il numero di equazioni e incognite, dicono "$m\times n$ sistema di equazioni lineari" - indicando così che lo SLAE contiene $m$ equazioni e $n$ incognite.
Se tutti i termini gratuiti $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), viene chiamato SLAE omogeneo. Se tra i membri liberi ce n'è almeno uno diverso da zero, viene chiamato lo SLAE eterogeneo.
Decisione SLAU(1) qualsiasi raccolta ordinata di numeri ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) viene chiamata se gli elementi di questa raccolta, sostituiti in un dato ordine per le incognite $x_1,x_2,\ldots,x_n$ , inverti ogni equazione SLAE in identità.
Ogni SLAE omogeneo ha almeno una soluzione: zero(in una terminologia diversa - banale), cioè $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.
Se SLAE (1) ha almeno una soluzione, viene chiamata giunto se non ci sono soluzioni, incompatibile. Se uno SLAE congiunto ha esattamente una soluzione, viene chiamato certo, se un numero infinito di soluzioni - incerto.
Esempio 1
Considera SLAE
\begin(equazione) \left \( \begin(allineato) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5= 0.\\ \end(allineato)\right.\end(equazione)
Abbiamo un sistema di equazioni algebriche lineari contenente $3$ equazioni e $5$ incognite: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Si può dire che è dato un sistema di $3\volte 5$ equazioni lineari.
I coefficienti del sistema (2) sono i numeri davanti alle incognite. Ad esempio, nella prima equazione questi numeri sono: $3,-4,1,7,-1$. I membri gratuiti del sistema sono rappresentati dai numeri $11,-65.0$. Poiché tra i termini liberi ce n'è almeno uno diverso da zero, allora SLAE (2) è disomogeneo.
La raccolta ordinata $(4;-11;5;-7;1)$ è la soluzione a questo SLAE. Questo è facile da verificare se sostituisci $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ nelle equazioni del sistema dato:
\begin(allineato) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cpunto 4+10\cpunto (-7)-3\cpunto 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cpunto (-11)+19\cpunto 5+8\cpunto ( -7)-6\cpunto 1=0. \\ \end(allineato)
Naturalmente, sorge la domanda se la soluzione verificata sia l'unica. La questione del numero di soluzioni SLAE sarà discussa nell'argomento pertinente.
Esempio #2
Considera SLAE
\begin(equazione) \left \( \begin(allineato) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(allineato) \right.\end(equazione)
Il sistema (3) è uno SLAE contenente $5$ equazioni e $3$ incognite: $x_1,x_2,x_3$. Poiché tutti i termini liberi di questo sistema sono uguali a zero, SLAE (3) è omogeneo. È facile verificare che la raccolta $(0;0;0)$ sia una soluzione allo SLAE specificato. Sostituendo $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, ad esempio, nella prima equazione del sistema (3), otteniamo l'uguaglianza corretta: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$. La sostituzione in altre equazioni avviene in modo simile.
Ad ogni SLAE possono essere associate più matrici; inoltre, lo SLAE stesso può essere scritto come un'equazione matriciale. Per SLAE (1), considerare le seguenti matrici:
Viene chiamata la matrice $A$ matrice di sistema. Gli elementi di questa matrice sono i coefficienti dello SLAE dato.
Viene chiamata la matrice $\widetilde(A)$ sistema a matrice espansa. Si ottiene aggiungendo alla matrice di sistema una colonna contenente i membri liberi $b_1,b_2,…,b_m$. Di solito questa colonna è separata da una linea verticale, per chiarezza.
Viene chiamata la matrice di colonne $B$ matrice di termini liberi e la matrice di colonne $X$ - matrice di incognite.
Usando la notazione introdotta sopra, SLAE (1) può essere scritto sotto forma di un'equazione matriciale: $A\cdot X=B$.
Nota
Le matrici associate al sistema possono essere scritte in vari modi: tutto dipende dall'ordine delle variabili e delle equazioni dello SLAE considerato. Ma in ogni caso, l'ordine delle incognite in ciascuna equazione di un dato SLAE deve essere lo stesso (vedi esempio n. 4).
Esempio #3
Scrivi SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(aligned) \right.$ in forma di matrice e specificare la matrice aumentata del sistema.
Abbiamo quattro incognite, che in ogni equazione seguono in questo ordine: $x_1,x_2,x_3,x_4$. La matrice delle incognite sarà: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.
I membri liberi di questo sistema sono espressi dai numeri $-5,0,-11$, quindi la matrice dei membri liberi ha la forma: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array )\right)$.
Passiamo alla compilazione della matrice del sistema. La prima riga di questa matrice conterrà i coefficienti della prima equazione: $2,3,-5,1$.
Nella seconda riga scriviamo i coefficienti della seconda equazione: $4.0,-1.0$. In questo caso va tenuto presente che i coefficienti del sistema con le variabili $x_2$ e $x_4$ nella seconda equazione sono pari a zero (perché queste variabili sono assenti nella seconda equazione).
Nella terza riga della matrice del sistema scriviamo i coefficienti della terza equazione: $0.14.8.1$. Prendiamo in considerazione l'uguaglianza a zero del coefficiente alla variabile $x_1$ (questa variabile è assente nella terza equazione). La matrice di sistema sarà simile a:
$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$
Per rendere più chiara la relazione tra la matrice di sistema e il sistema stesso, scriverò fianco a fianco lo SLAE dato e la sua matrice di sistema:
In forma matriciale, lo SLAE dato apparirà come $A\cdot X=B$. Nella voce ampliata:
$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array) \right) $$
Scriviamo la matrice aumentata del sistema. Per fare ciò, nella matrice di sistema $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ aggiunge una colonna di termini gratuiti (es. $-5,0,-11$). Otteniamo: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 e 8 e 1 e -11 \end(array) \right) $.
Esempio #4
Scrivi SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ in forma di matrice e specificare la matrice aumentata del sistema.
Come puoi vedere, l'ordine delle incognite nelle equazioni di questo SLAE è diverso. Ad esempio, nella seconda equazione l'ordine è: $a,y,c$, ma nella terza equazione: $c,y,a$. Prima di scrivere lo SLAE in forma matriciale, l'ordine delle variabili in tutte le equazioni deve essere uguale.
È possibile ordinare le variabili nelle equazioni di un determinato SLAE diversi modi(il numero di modi per organizzare tre variabili è $3!=6$). Prenderò in considerazione due modi per ordinare le incognite.
Metodo numero 1
Introduciamo il seguente ordine: $c,y,a$. Riscriviamo il sistema, mettendo le incognite nell'ordine richiesto: $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a= 25; \\ & -c+5a=-4.\end(allineato)\destra.$
Per chiarezza, scriverò lo SLAE come segue: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cpunto a=10;\\ & 8\cpunto c+5\cpunto y-9\cpunto a=25; \\ & -1\cpunto c+0\cpunto y+5\cpunto a=-4. \ fine(allineato)\destra.$
La matrice di sistema è: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( matrice) \destra) $. Matrice membro gratuita: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Quando scrivi la matrice delle incognite, ricorda l'ordine delle incognite: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Quindi, la forma matriciale del dato SLAE è la seguente: $A\cdot X=B$. Allargato:
$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$
La matrice di sistema estesa è: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \right) $.
Metodo numero 2
Introduciamo il seguente ordine: $a,c,y$. Riscriviamo il sistema, mettendo le incognite nell'ordine richiesto: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(allineato)\destra.$
Per chiarezza, scriverò lo SLAE come segue: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cpunto y=10;\\ & -9\cpunto a+8\cpunto c+5\cpunto y=25; \\ & 5\cpunto c-1\cpunto c+0\cpunto y=-4. \ fine(allineato)\destra.$
La matrice di sistema è: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( matrice)\destra)$. Matrice membro gratuita: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Quando scrivi la matrice delle incognite, ricorda l'ordine delle incognite: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Quindi, la forma matriciale del dato SLAE è la seguente: $A\cdot X=B$. Allargato:
$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$
La matrice di sistema estesa è: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(array) \right) $.
Come puoi vedere, cambiare l'ordine delle incognite equivale a riordinare le colonne della matrice di sistema. Ma qualunque sia questa disposizione di incognite, deve corrispondere a tutte le equazioni di un dato SLAE.
Equazioni lineari- un argomento matematico relativamente semplice, che si trova abbastanza spesso nei compiti di algebra.
Scopriamo di cosa si tratta e come si risolvono le equazioni lineari.
Di solito, equazione lineareè un'equazione della forma ax + c = 0, dove a e c sono numeri arbitrari, o coefficienti, e x è un numero sconosciuto.
Ad esempio, un'equazione lineare sarebbe:
Risolvere equazioni lineari è abbastanza semplice. Per questo, viene utilizzata una tecnica matematica, come trasformazione dell'identità. Scopriamo di cosa si tratta.
Sia ax + c = 10, dove a = 4, c = 2.
Quindi, otteniamo l'equazione 4x + 2 = 10.
Per risolverlo in modo più semplice e veloce, utilizzeremo il primo metodo di trasformazione identica, ovvero trasferiremo tutti i numeri sul lato destro dell'equazione e lasceremo l'incognita 4x sul lato sinistro.
Ottenere:
Pertanto, l'equazione si riduce a un problema molto semplice per i principianti. Resta solo da usare il secondo metodo di trasformazione identica: lasciando x sul lato sinistro dell'equazione, trasferisci i numeri sul lato destro. Noi abbiamo:
Visita medica:
4x + 2 = 10, dove x = 2.
La risposta è corretta.
Quando si risolvono equazioni lineari con due variabili, viene spesso utilizzato anche il metodo del tracciato. Il fatto è che un'equazione della forma ax + wy + c \u003d 0, di regola, ha molte soluzioni, perché molti numeri si adattano al posto delle variabili e in tutti i casi l'equazione rimane vera.
Pertanto, per facilitare il compito, viene costruito un grafico di un'equazione lineare.
Per costruirlo, è sufficiente prendere una coppia di valori variabili e, contrassegnandoli con punti sul piano delle coordinate, tracciare una linea retta attraverso di essi. Tutti i punti su questa linea saranno varianti delle variabili nella nostra equazione.
Espressioni, conversione di espressioni
Numeriche, letterali ed espressioni con variabili nella loro registrazione possono contenere segni di varie operazioni aritmetiche. Quando si convertono le espressioni e si calcolano i valori delle espressioni, le azioni vengono eseguite in un certo ordine, in altre parole, è necessario osservare ordine delle azioni.
In questo articolo, scopriremo quali azioni devono essere eseguite per prime e quali dopo di esse. Cominciamo con i casi più semplici, quando l'espressione contiene solo numeri o variabili collegati da più, meno, moltiplica e dividi. Successivamente, spiegheremo quale ordine di esecuzione delle azioni dovrebbe essere seguito nelle espressioni tra parentesi. Infine, considera la sequenza in cui le azioni vengono eseguite in espressioni contenenti poteri, radici e altre funzioni.
La scuola fornisce quanto segue una regola che determina l'ordine in cui le azioni vengono eseguite nelle espressioni senza parentesi:
La regola dichiarata è percepita in modo del tutto naturale. L'esecuzione delle azioni in ordine da sinistra a destra è spiegata dal fatto che per noi è consuetudine conservare i record da sinistra a destra. E il fatto che la moltiplicazione e la divisione vengano eseguite prima dell'addizione e della sottrazione si spiega con il significato che queste azioni portano in se stesse.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di applicazione di questa regola. Ad esempio, prenderemo le espressioni numeriche più semplici per non essere distratti dai calcoli, ma per concentrarci sull'ordine in cui vengono eseguite le azioni.
Seguire i passaggi 7-3+6.
L'espressione originale non contiene parentesi, né contiene moltiplicazioni e divisioni. Pertanto, dovremmo eseguire tutte le azioni in ordine da sinistra a destra, ovvero prima sottraiamo 3 da 7, otteniamo 4, dopodiché aggiungiamo 6 alla differenza risultante 4, otteniamo 10.
In breve, la soluzione può essere scritta come segue: 7−3+6=4+6=10.
Indicare l'ordine in cui vengono eseguite le azioni nell'espressione 6:2·8:3.
Per rispondere alla domanda del problema, passiamo alla regola che indica l'ordine in cui le azioni vengono eseguite in espressioni senza parentesi. L'espressione originale contiene solo le operazioni di moltiplicazione e divisione e, secondo la regola, devono essere eseguite in ordine da sinistra a destra.
Innanzitutto, dividi 6 per 2, moltiplica questo quoziente per 8 e, infine, dividi il risultato per 3.
Calcola il valore dell'espressione 17−5 6:3−2+4:2.
Innanzitutto, determiniamo in quale ordine devono essere eseguite le azioni nell'espressione originale. Include sia la moltiplicazione che la divisione e l'addizione e la sottrazione.
Innanzitutto, da sinistra a destra, devi eseguire moltiplicazioni e divisioni. Quindi moltiplichiamo 5 per 6, otteniamo 30, dividiamo questo numero per 3, otteniamo 10. Ora dividiamo 4 per 2, otteniamo 2. Sostituiamo nell'espressione originale invece di 5 6: 3 il valore trovato 10, e invece di 4: 2 - il valore 2, abbiamo 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Nell'espressione risultante, non ci sono più moltiplicazioni e divisioni, quindi resta da eseguire le azioni rimanenti in ordine da sinistra a destra: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.
17-5 6:3-2+4:2=7.
Inizialmente, per non confondere l'ordine di esecuzione delle azioni durante il calcolo del valore di un'espressione, è conveniente posizionare i numeri sopra i segni delle azioni corrispondenti all'ordine in cui vengono eseguite. Per l'esempio precedente, sarebbe simile a questo: 
.
Lo stesso ordine di operazioni - prima moltiplicazione e divisione, poi addizione e sottrazione - dovrebbe essere seguito quando si lavora con espressioni letterali.
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In alcuni libri di testo sulla matematica, c'è una divisione delle operazioni aritmetiche in operazioni del primo e del secondo passaggio. Affrontiamo questo.
In questi termini, la regola del paragrafo precedente, che determina l'ordine in cui vengono eseguite le azioni, sarà scritta come segue: se l'espressione non contiene parentesi, quindi in ordine da sinistra a destra, le azioni della seconda fase ( moltiplicazione e divisione) vengono eseguite prima, quindi le azioni del primo stadio (addizione e sottrazione).
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Le espressioni spesso contengono parentesi per indicare l'ordine in cui devono essere eseguite le azioni. In questo caso una regola che specifica l'ordine in cui le azioni vengono eseguite nelle espressioni tra parentesi, è così formulato: prima si eseguono le azioni tra parentesi, mentre si eseguono anche moltiplicazioni e divisioni in ordine da sinistra a destra, poi addizioni e sottrazioni.
Pertanto, le espressioni tra parentesi sono considerate componenti dell'espressione originale e l'ordine delle azioni a noi già note è preservato in esse. Considera le soluzioni degli esempi per maggiore chiarezza.
Eseguire i passaggi indicati 5+(7−2 3) (6−4):2.
L'espressione contiene parentesi, quindi eseguiamo prima le operazioni nelle espressioni racchiuse tra queste parentesi. Cominciamo con l'espressione 7−2 3. In esso, devi prima eseguire la moltiplicazione e solo dopo la sottrazione, abbiamo 7−2 3=7−6=1. Passiamo alla seconda espressione tra parentesi 6−4. C'è solo un'azione qui: sottrazione, la eseguiamo 6−4=2.
Sostituiamo i valori ottenuti nell'espressione originale: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. Nell'espressione risultante, prima eseguiamo la moltiplicazione e la divisione da sinistra a destra, quindi la sottrazione, otteniamo 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6. Su questo, tutte le azioni sono state completate, abbiamo aderito al seguente ordine di esecuzione: 5+(7−2 3) (6−4):2.
Scriviamo una breve soluzione: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
5+(7-2 3)(6-4):2=6.
Succede che un'espressione contenga parentesi quadre. Non dovresti aver paura di questo, devi solo applicare in modo coerente la regola vocale per eseguire azioni nelle espressioni tra parentesi. Mostriamo una soluzione di esempio.
Eseguire le azioni nell'espressione 4+(3+1+4 (2+3)).
Questa è un'espressione tra parentesi, il che significa che l'esecuzione delle azioni deve iniziare con un'espressione tra parentesi, ovvero con 3 + 1 + 4 (2 + 3).
Questa espressione contiene anche parentesi, quindi devi prima eseguire le azioni in esse. Facciamo questo: 2+3=5. Sostituendo il valore trovato, otteniamo 3+1+4 5. In questa espressione, eseguiamo prima la moltiplicazione, poi l'addizione, abbiamo 3+1+4 5=3+1+20=24. Il valore iniziale, dopo aver sostituito questo valore, assume la forma 4+24, e non resta che completare le azioni: 4+24=28.
4+(3+1+4 (2+3))=28.
In generale, quando in un'espressione sono presenti parentesi tra parentesi, è spesso conveniente iniziare con le parentesi interne e proseguire fino a quelle esterne.
Ad esempio, supponiamo di dover eseguire operazioni nell'espressione (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Innanzitutto, eseguiamo le azioni tra parentesi interne, poiché 4−6:2=4−3=1, quindi l'espressione originale assumerà la forma (4+(4+1)−1)−1. Ancora una volta, eseguiamo l'azione tra parentesi interne, poiché 4+1=5, arriviamo alla seguente espressione (4+5−1)−1. Anche in questo caso, eseguiamo le azioni tra parentesi: 4+5−1=8, mentre arriviamo alla differenza 8−1, che è pari a 7.
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Se l'espressione include potenze, radici, logaritmi, seno, coseno, tangente e cotangente, nonché altre funzioni, i loro valori vengono calcolati prima di eseguire altre azioni, tenendo conto anche delle regole dei paragrafi precedenti che specificano il ordine in cui vengono eseguite le azioni. In altre parole, le cose elencate, grosso modo, si possono considerare racchiuse tra parentesi e sappiamo che le azioni tra parentesi vengono eseguite per prime.
Consideriamo esempi.
Eseguire le operazioni nell'espressione (3+1) 2+6 2:3−7.
Questa espressione contiene una potenza di 6 2 , il suo valore deve essere calcolato prima di eseguire il resto dei passaggi. Quindi, eseguiamo l'esponenziazione: 6 2 \u003d 36. Sostituiamo questo valore nell'espressione originale, assumerà la forma (3+1) 2+36:3−7.
Quindi tutto è chiaro: eseguiamo azioni tra parentesi, dopo di che rimane un'espressione senza parentesi, in cui, in ordine da sinistra a destra, eseguiamo prima moltiplicazione e divisione, quindi addizione e sottrazione. Abbiamo (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.
(3+1) 2+6 2:3−7=13.
Altri, inclusi esempi più complessi di esecuzione di azioni in espressioni con radici, gradi, ecc., Puoi vedere nell'articolo calcolare i valori delle espressioni.
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Azioni del primo passo sono chiamati addizione e sottrazione, e moltiplicazione e divisione azioni del secondo passo.
Scrivi il sistema di equazioni algebriche lineari in forma generale
Che cos'è una soluzione SLAE?
La soluzione di un sistema di equazioni è un insieme di n numeri,
Quando ciò viene sostituito nel sistema, ogni equazione diventa un'identità.
Quale sistema è chiamato giunto (non articolato)?
Un sistema di equazioni si dice consistente se ha almeno una soluzione.
Un sistema si dice incoerente se non ha soluzioni.
Quale sistema è chiamato definito (indefinito)?
Un sistema articolare si dice definito se ha una soluzione unica.
Un sistema articolare si dice indeterminato se ha più di una soluzione.
Forma matriciale di scrittura di un sistema di equazioni
Rango del sistema vettoriale
Il rango di un sistema di vettori è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti.
Classificazione della matrice e modi per trovarla
Grado di matrice- il più alto degli ordini dei minori di tale matrice, il cui determinante è diverso da zero.
Il primo metodo, il metodo del bordo, è il seguente:
Se tutti i minorenni sono del 1° ordine, cioè gli elementi della matrice sono uguali a zero, quindi r=0 .
Se almeno uno dei minori del 1° ordine è diverso da zero, e tutti i minori del 2° ordine sono uguali a zero, allora r=1.
Se il 2° ordine minore è diverso da zero, allora esaminiamo i 3° ordine minori. In questo modo si trova il k-esimo ordine minore e si controlla se i k+1-esimo ordine minori non sono uguali a zero.
Se tutti i minori di ordine k+1 sono uguali a zero, il rango della matrice è uguale al numero k. Tali minori di ordine k+1 si trovano solitamente "bordando" il k-esimo ordine minore.
Il secondo metodo per determinare il rango di una matrice consiste nell'applicare trasformazioni elementari della matrice quando viene elevata a una forma diagonale. Il rango di tale matrice è uguale al numero di elementi diagonali diversi da zero.
Soluzione generale di un sistema disomogeneo di equazioni lineari, sue proprietà.
Proprietà 1. La somma di qualsiasi soluzione di un sistema di equazioni lineari e di qualsiasi soluzione del corrispondente sistema omogeneo è una soluzione del sistema di equazioni lineari.
Proprietà 2.
La differenza di due soluzioni qualsiasi di un sistema disomogeneo di equazioni lineari è una soluzione del corrispondente sistema omogeneo.
Metodo di Gauss per la risoluzione di SLAE
Sotto sequenza:
1) viene compilata una matrice espansa del sistema di equazioni
2) con l'aiuto di trasformazioni elementari, la matrice viene ridotta a una forma a gradini
3) si determina il rango della matrice estesa del sistema e il rango della matrice del sistema e si stabilisce il patto di compatibilità o incompatibilità del sistema
4) in caso di compatibilità si scrive il sistema di equazioni equivalente
5) si trova la soluzione del sistema. Le variabili principali sono espresse in termini di libero
Teorema di Kronecker-Capelli
Teorema di Kronecker - Capelli- criterio di compatibilità del sistema di equazioni algebriche lineari:
Un sistema di equazioni algebriche lineari è consistente se e solo se il rango della sua matrice principale è uguale al rango della sua matrice estesa, e il sistema ha una soluzione unica se il rango è uguale al numero di incognite, e un numero infinito di soluzioni se il rango è inferiore al numero di incognite.
Perché un sistema lineare sia coerente, è necessario e sufficiente che il rango della matrice estesa di questo sistema sia uguale al rango della sua matrice principale.
Quando il sistema non ha soluzioni, quando ha un'unica soluzione, ha molte soluzioni?
Se il numero di equazioni di sistema è uguale al numero di variabili incognite e il determinante della sua matrice principale non è uguale a zero, allora tali sistemi di equazioni hanno una soluzione unica e, nel caso di un sistema omogeneo, tutte sconosciute le variabili sono uguali a zero.
Un sistema di equazioni lineari che ha almeno una soluzione si dice consistente. Altrimenti, cioè se il sistema non ha soluzioni, allora si dice incoerente.
le equazioni lineari si dicono consistenti se hanno almeno una soluzione e incoerenti se non ci sono soluzioni. Nell'esempio 14 il sistema è compatibile, la colonna è la sua soluzione:
Questa soluzione può essere scritta anche senza matrici: x = 2, y = 1.
Un sistema di equazioni si dice indefinito se ha più di una soluzione e definito se la soluzione è unica.
Esempio 15. Il sistema è indeterminato. Ad esempio, ... sono le sue soluzioni. Il lettore può trovare molte altre soluzioni a questo sistema.
Impariamo prima a risolvere i sistemi di equazioni lineari in un caso particolare. Un sistema di equazioni AX = B sarà detto di Cramer se la sua matrice principale À è quadrata e non degenerata. In altre parole, il numero di incognite nel sistema Crameriano coincide con il numero di equazioni e |A| = 0.
Teorema 6 (regola di Cramer). Il sistema di equazioni lineari Cramer ha una soluzione unica data dalle formule:
dove Δ = |A| è il determinante della matrice principale, Δi è il determinante ottenuto da A sostituendo l'i-esima colonna con una colonna di termini liberi.
Effettueremo la dimostrazione per n = 3, poiché nel caso generale gli argomenti sono simili.
Quindi, esiste un sistema Cramer:
Assumiamo prima che esista una soluzione al sistema, cioè che ci sia
Moltiplichiamo il primo. uguaglianza sul complemento algebrico all'elemento aii, la seconda uguaglianza - su A2i, la terza - su A3i e sommare le uguaglianze risultanti:
Sistema di equazioni lineari ~ Soluzione del sistema ~ Sistemi coerenti e incoerenti ~ Sistema omogeneo ~ Consistenza di un sistema omogeneo ~ Rango della matrice del sistema ~ Condizione di compatibilità non banale ~ Sistema fondamentale di soluzioni. Soluzione generale ~ Studio di un sistema omogeneo
Considera il sistema m equazioni algebriche lineari rispetto a n sconosciuto
x 1 , x 2 , …, x n :
Decisione sistema è chiamato totalità n valori sconosciuti
x 1 \u003d x' 1, x 2 \u003d x' 2, ..., x n \u003d x' n,
alla sostituzione di cui tutte le equazioni del sistema si trasformano in identità.
Il sistema di equazioni lineari può essere scritto in forma matriciale:
dove UN- matrice di sistema, b- parte destra, X- soluzione desiderata Ap - matrice espansa sistemi:
.
Viene chiamato un sistema che ha almeno una soluzione giunto; sistema che non ha soluzione incompatibile.
Un sistema omogeneo di equazioni lineari è un sistema il cui lato destro è uguale a zero:
Vista matriciale di un sistema omogeneo: ascia=0.
Un sistema omogeneo è sempre consistente, poiché ogni sistema lineare omogeneo ha almeno una soluzione:
x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, ..., x n \u003d 0.
Se un sistema omogeneo ha una soluzione unica, allora questa soluzione unica è zero e il sistema viene chiamato banalmente unito. Se un sistema omogeneo ha più di una soluzione, allora ci sono soluzioni diverse da zero tra di loro, e in questo caso il sistema è chiamato non banalmente articolato.
È stato dimostrato che a m=n per una non banale compatibilità di sistema necessario e sufficiente in modo che il determinante della matrice del sistema sia uguale a zero.
ESEMPIO 1. Compatibilità non banale di un sistema omogeneo di equazioni lineari con una matrice quadrata.
Applicando l'algoritmo di eliminazione gaussiana alla matrice di sistema, riduciamo la matrice di sistema alla forma a gradini
.
Numero r vengono chiamate righe diverse da zero nella forma del passaggio di una matrice rango di matrice, denota
r=rg(A) o r=Rg(A).
La seguente affermazione è vera.
Affinché un sistema omogeneo non sia banalmente coerente, è necessario e sufficiente che il rango r matrice di sistema era inferiore al numero di incognite n.
ESEMPIO 2. Compatibilità non banale di un sistema omogeneo di tre equazioni lineari con quattro incognite.
Se un sistema omogeneo non è banalmente consistente, allora ha un numero infinito di soluzioni e anche una combinazione lineare di qualsiasi soluzione del sistema è la sua soluzione.
È dimostrato che tra l'insieme infinito di soluzioni di un sistema omogeneo, esattamente n-r soluzioni linearmente indipendenti.
Aggregato n-r si chiamano soluzioni linearmente indipendenti di un sistema omogeneo sistema decisionale fondamentale. Qualsiasi soluzione del sistema è espressa linearmente in termini di sistema fondamentale. Quindi, se il rango r matrici UN sistema lineare omogeneo ascia=0 meno incognite n e vettori
e 1 , e 2 , …, e n-r costituiscono il suo sistema fondamentale di soluzioni ( Ae io =0, i=1,2, …, n-r), quindi qualsiasi soluzione X sistemi ascia=0 può essere scritto nel modulo
x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,
dove c 1 , c 2 , …, c n-r sono costanti arbitrarie. L'espressione scritta si chiama soluzione comune sistema omogeneo .
Ricerca
sistema omogeneo significa stabilire se non è banalmente coerente e, se lo è, trovare un sistema fondamentale di soluzioni e scrivere un'espressione per la soluzione generale del sistema.
Studiamo un sistema omogeneo con il metodo di Gauss.
matrice del sistema omogeneo in esame, il cui rango è r< n .
Tale matrice viene ridotta dall'eliminazione gaussiana alla forma a gradini
.
Il sistema equivalente corrispondente ha la forma
Da qui è facile ottenere espressioni per variabili x 1 , x 2 , …, x r attraverso x r+1 , x r+2 , …, x n. Variabili
x 1 , x 2 , …, x r chiamato variabili di base e variabili x r+1 , x r+2 , …, x n - variabili libere.
Trasferendo le variabili libere sul lato destro, otteniamo le formule
che determinano la soluzione complessiva del sistema.
Impostiamo successivamente i valori delle variabili libere uguali a
e calcolare i valori corrispondenti delle variabili di base. Ricevuto n-r le soluzioni sono linearmente indipendenti e, quindi, formano un sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo in esame:
Studio di un sistema omogeneo per compatibilità con il metodo di Gauss.
