Nell'economia, così come in altri ambiti dell'attività umana o della natura, abbiamo costantemente a che fare con eventi che non possono essere previsti con precisione. Pertanto, il volume delle vendite di beni dipende dalla domanda, che può variare in modo significativo, e da una serie di altri fattori di cui è quasi impossibile tenere conto. Pertanto, nell'organizzazione della produzione e della vendita, si deve prevedere l'esito di tali attività sulla base o della propria esperienza precedente, o di esperienze simili di altre persone, o dell'intuizione, anch'essa in gran parte basata su dati sperimentali.
Per valutare in qualche modo l'evento in esame, è necessario tenere conto o organizzare in modo speciale le condizioni in cui questo evento viene registrato.
Viene chiamata l'attuazione di determinate condizioni o azioni per identificare l'evento in questione Esperienza o sperimentare.
L'evento è chiamato a caso se, a seguito dell'esperimento, può verificarsi o meno.
L'evento è chiamato autentico, se appare necessariamente come risultato di questa esperienza, e impossibile se non può apparire in questa esperienza.
Ad esempio, la nevicata a Mosca il 30 novembre è un evento casuale. L'alba quotidiana può essere considerata un evento certo. Le nevicate all'equatore possono essere viste come un evento impossibile.
Uno dei problemi principali della teoria della probabilità è il problema di determinare una misura quantitativa della possibilità che si verifichi un evento.
Gli eventi si dicono incompatibili se non possono essere osservati insieme nella stessa esperienza. Pertanto, la presenza di due e tre auto in un negozio in vendita contemporaneamente sono due eventi incompatibili.
somma events è un evento consistente nel verificarsi di almeno uno di questi eventi
Un esempio di somma di eventi è la presenza di almeno uno dei due prodotti in un punto vendita.
opera eventi è chiamato un evento consistente nel verificarsi simultaneo di tutti questi eventi
Un evento consistente nell'apparizione di due merci contemporaneamente nel negozio è un prodotto di eventi: - l'aspetto di un prodotto, - l'aspetto di un altro prodotto.
Gli eventi formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi si verifica necessariamente nell'esperienza.
Esempio. Il porto dispone di due ormeggi per le navi. Si possono considerare tre eventi: - l'assenza di navi agli ormeggi, - la presenza di una nave in uno degli ormeggi, - la presenza di due navi in due ormeggi. Questi tre eventi formano un gruppo completo di eventi.
Di fronte vengono chiamati due eventi possibili univoci che formano un gruppo completo.
Se uno degli eventi opposti è indicato con , l'evento opposto è solitamente indicato con .
Ciascuno degli egualmente possibili risultati del test (esperimenti) è chiamato risultato elementare. Di solito sono indicati da lettere. Ad esempio, viene lanciato un dado. Ci possono essere sei risultati elementari in base al numero di punti sui lati.
Dai risultati elementari, puoi comporre un evento più complesso. Quindi, l'evento di un numero pari di punti è determinato da tre risultati: 2, 4, 6.
Una misura quantitativa della possibilità di accadimento dell'evento in esame è la probabilità.
Le due definizioni di probabilità di un evento sono le più utilizzate: classico e statistico.
La definizione classica di probabilità è correlata alla nozione di esito favorevole.
Si chiama Esodo favorevole tale evento, se il suo verificarsi comporta il verificarsi di tale evento.
Nell'esempio dato, l'evento in esame è un numero pari di punti sul bordo di caduta, ha tre esiti favorevoli. A questo caso conosciuto e comune
il numero di possibili esiti. Quindi, qui puoi usare la definizione classica di probabilità di un evento.
Definizione classicaè uguale al rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero totale di possibili esiti
dove è la probabilità dell'evento, è il numero di esiti favorevoli per l'evento, è il numero totale di possibili esiti.
Nell'esempio considerato
La definizione statistica di probabilità è associata al concetto di frequenza relativa di occorrenza di un evento negli esperimenti.
La frequenza relativa di occorrenza di un evento è calcolata dalla formula
dove è il numero di occorrenza di un evento in una serie di esperimenti (test).
Definizione statistica. La probabilità di un evento è il numero relativo al quale si stabilizza (stabilita) la frequenza relativa con un aumento illimitato del numero di esperimenti.
Nei problemi pratici, la frequenza relativa per un numero sufficientemente grande di prove è assunta come probabilità di un evento.
Da queste definizioni della probabilità di un evento, si può vedere che la disuguaglianza vale sempre
Per determinare la probabilità di un evento in base alla formula (1.1), le formule combinatorie vengono spesso utilizzate per trovare il numero di esiti favorevoli e il numero totale di possibili esiti.
È chiaro che ogni evento ha un certo grado di possibilità del suo verificarsi (della sua attuazione). Per confrontare quantitativamente gli eventi tra loro secondo il loro grado di possibilità, è ovviamente necessario associare ad ogni evento un certo numero, che è tanto maggiore quanto più possibile è l'evento. Questo numero è chiamato probabilità dell'evento.
Probabilità di evento- è una misura numerica del grado di possibilità oggettiva del verificarsi di tale evento.
Considera un esperimento stocastico e un evento casuale A osservato in questo esperimento. Ripetiamo questo esperimento n volte e sia m(A) il numero di esperimenti in cui si è verificato l'evento A.
Relazione (1.1)
chiamato frequenza relativa evento A nella serie di esperimenti.
È facile verificare la validità delle proprietà:
se A e B sono incompatibili (AB= ), allora ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
La frequenza relativa è determinata solo dopo una serie di esperimenti e, in generale, può variare da serie a serie. Tuttavia, l'esperienza mostra che in molti casi, all'aumentare del numero di esperimenti, la frequenza relativa si avvicina a un certo numero. Questo fatto della stabilità della frequenza relativa è stato ripetutamente verificato e può essere considerato sperimentalmente stabilito.
Esempio 1.19.. Se lanci una moneta, nessuno può prevedere da che parte atterrerà. Ma se lanci due tonnellate di monete, tutti diranno che circa una tonnellata cadrà come uno stemma, ovvero la frequenza relativa della caduta dello stemma è di circa 0,5.
Se, all'aumentare del numero di esperimenti, la frequenza relativa dell'evento ν(A) tende a un numero fisso, allora diciamo che l'evento A è statisticamente stabile, e questo numero è chiamato probabilità dell'evento A.
Probabilità di un evento MA viene chiamato un certo numero fisso P(A) al quale tende la frequenza relativa ν(A) di tale evento con l'aumentare del numero degli esperimenti, cioè
Questa definizione è chiamata definizione statistica di probabilità .
Consideriamo qualche esperimento stocastico e lasciamo che lo spazio dei suoi eventi elementari sia costituito da un insieme finito o infinito (ma numerabile) di eventi elementari ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . supponiamo che ad ogni evento elementare ω i sia assegnato un certo numero - р i , che caratterizza il grado di possibilità del verificarsi di tale evento elementare e soddisfa le seguenti proprietà:
Si chiama tale numero p i probabilità di eventi elementariω io .
Sia A un evento casuale osservato in questo esperimento, e ad esso corrisponde un certo insieme
In un ambiente del genere probabilità di evento MA è chiamata somma delle probabilità di eventi elementari a favore di A(compreso nel corrispondente set A):
(1.4)
La probabilità così introdotta ha le stesse proprietà della frequenza relativa, ovvero:
E se AB \u003d (A e B sono incompatibili),
quindi P(A+B) = P(A) + P(B)
Infatti, secondo (1.4)
Nell'ultima relazione abbiamo sfruttato il fatto che nessun evento elementare può favorire contemporaneamente due eventi incompatibili.
Notiamo in particolare che la teoria della probabilità non indica metodi per determinare p i , devono essere ricercati da considerazioni pratiche o ricavati da un opportuno esperimento statistico.
Ad esempio, si consideri lo schema classico della teoria della probabilità. Per fare ciò, si consideri un esperimento stocastico, il cui spazio degli eventi elementari è costituito da un numero finito (n) di elementi. Assumiamo inoltre che tutti questi eventi elementari siano ugualmente probabili, cioè che le probabilità degli eventi elementari siano p(ω i)=p i =p. Quindi ne consegue che
Esempio 1.20. Quando si lancia una moneta simmetrica, lo stemma e la croce sono ugualmente possibili, le loro probabilità sono 0,5.
Esempio 1.21. Quando viene lanciato un dado simmetrico, tutte le facce sono ugualmente probabili, le loro probabilità sono 1/6.
Sia ora l'evento A favorito da m eventi elementari, che di solito vengono chiamati esiti favorevoli all'evento A. Quindi
Avuto definizione classica di probabilità: la probabilità P(A) dell'evento A è uguale al rapporto tra il numero di esiti favorevoli all'evento A e il numero totale di esiti
Esempio 1.22. Un'urna contiene m palline bianche e n palline nere. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca?
Soluzione. Ci sono m+n eventi elementari in totale. Sono tutti ugualmente incredibili. Evento favorevole A di loro m. Di conseguenza, 
.
Dalla definizione di probabilità derivano le seguenti proprietà:
Proprietà 1. La probabilità di un determinato evento è uguale a uno.
Infatti, se l'evento è affidabile, allora ogni esito elementare del test favorisce l'evento. In questo caso m=p, Di conseguenza,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Proprietà 2. La probabilità di un evento impossibile è zero.
Infatti, se l'evento è impossibile, nessuno degli esiti elementari del processo favorisce l'evento. In questo caso t= 0, quindi, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Proprietà 3.Probabilità evento casualeè un numero positivo compreso tra zero e uno.
Infatti, solo una parte del numero totale di esiti elementari del test favorisce un evento casuale. Cioè, 0≤m≤n, che significa 0≤m/n≤1, quindi la probabilità di qualsiasi evento soddisfa la doppia disuguaglianza 0≤ PAPÀ) ≤1. (1.8)
Confrontando le definizioni di probabilità (1.5) e di frequenza relativa (1.1), si conclude: la definizione di probabilità non richiede l'esecuzione di test in realtà; la definizione della frequenza relativa lo presuppone sono stati effettivamente effettuati dei test. In altre parole, la probabilità è calcolata prima dell'esperienza e la frequenza relativa - dopo l'esperienza.
Tuttavia, il calcolo della probabilità richiede informazioni preliminari sul numero o sulle probabilità di esiti elementari a favore di un determinato evento. In assenza di tali informazioni preliminari, i dati empirici vengono utilizzati per determinare la probabilità, ovvero la frequenza relativa dell'evento è determinata dai risultati di un esperimento stocastico.
Esempio 1.23. Dipartimento controllo tecnico scoperto 3 parti non standard in un lotto di 80 parti selezionate casualmente. Frequenza relativa di occorrenza di parti non standard RA)= 3/80.
Esempio 1.24. Per.prodotto 24 sparato e sono stati registrati 19 colpi. La frequenza relativa di colpire il bersaglio. RA)=19/24.
Osservazioni a lungo termine hanno dimostrato che se gli esperimenti vengono eseguiti nelle stesse condizioni, in ciascuna delle quali il numero di prove è sufficientemente grande, la frequenza relativa mostra la proprietà della stabilità. Questa proprietà è che in vari esperimenti la frequenza relativa cambia poco (meno, più prove si fanno), oscillando intorno ad un certo numero costante. Si è scoperto che questo numero costante può essere preso come un valore approssimativo della probabilità.
La relazione tra frequenza relativa e probabilità sarà descritta più dettagliatamente e più precisamente di seguito. Illustriamo ora la proprietà di stabilità con degli esempi.
Esempio 1.25. Secondo le statistiche svedesi, il tasso di natalità relativo delle ragazze nel 1935 per mese è caratterizzato dai seguenti numeri (i numeri sono disposti nell'ordine dei mesi, a partire da Gennaio): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
La frequenza relativa oscilla intorno al numero 0,481, che può essere preso come valore approssimativo la probabilità di avere femmine.
Si noti che le statistiche vari paesi dare approssimativamente lo stesso valore della frequenza relativa.
Esempio 1.26. Sono stati effettuati ripetuti esperimenti lanciando una moneta, in cui è stato contato il numero di occorrenze dello "stemma". Nella tabella sono riportati i risultati di diversi esperimenti.
Questo è il rapporto tra il numero di quelle osservazioni in cui si è verificato l'evento in questione e il numero totale di osservazioni. Una tale interpretazione è ammissibile nel caso di un numero sufficientemente elevato di osservazioni o esperimenti. Ad esempio, se circa la metà delle persone che incontri per strada sono donne, allora puoi dire che la probabilità che la persona che incontri per strada sia una donna è 1/2. In altre parole, la frequenza del suo verificarsi in una lunga serie di ripetizioni indipendenti di un esperimento casuale può servire come stima della probabilità di un evento.
Nell'approccio matematico moderno, la probabilità classica (cioè non quantistica) è data dall'assiomatica di Kolmogorov. La probabilità è una misura P, che è impostato sul set X, chiamato spazio delle probabilità. Questa misura deve avere le seguenti proprietà:
Da queste condizioni deriva che la probabilità misura P ha anche la proprietà additività: se impostato UN 1 e UN 2 non si intersecano, quindi . Per dimostrarlo, devi mettere tutto UN 3 , UN 4 , … uguale all'insieme vuoto e applica la proprietà dell'additività numerabile.
La misura della probabilità potrebbe non essere definita per tutti i sottoinsiemi dell'insieme X. Basta definirlo sulla sigma-algebra costituita da alcuni sottoinsiemi dell'insieme X. In questo caso, gli eventi casuali sono definiti come sottoinsiemi misurabili dello spazio X, cioè come elementi dell'algebra sigma.
Quando scopriamo che le ragioni per cui un possibile fatto si verifica effettivamente superano le ragioni opposte, consideriamo questo fatto probabile, altrimenti - incredibile. Questa predominanza delle basi positive su quelle negative, e viceversa, può rappresentare un insieme indefinito di gradi, per cui probabilità(e improbabilità) accade Di più o meno .
I singoli fatti complicati non consentono un calcolo esatto dei loro gradi di probabilità, ma anche qui è importante stabilire delle grandi suddivisioni. Così, ad esempio, nel campo del diritto, quando un fatto personale sottoposto a giudizio è accertato sulla base della testimonianza, rimane sempre, in senso stretto, solo probabile, ed è necessario sapere quanto sia significativa tale probabilità; nel diritto romano si accettava qui una divisione quadrupla: prova plena(dove la probabilità si trasforma praticamente in autenticità), Ulteriore - probatio meno plena, poi - probatio semiplena maggiore e infine probatio semiplena minore .
Oltre alla questione della probabilità del caso, può sorgere, sia nel campo del diritto che in quello della morale (con un certo punto di vista etico), la questione della probabilità che un dato fatto particolare costituisce una violazione della legge generale. Questa domanda, che funge da motivo principale nella giurisprudenza religiosa del Talmud, ha dato origine nella teologia morale cattolica romana (soprattutto dalla fine del XVI secolo) a costruzioni sistematiche molto complesse e a un'enorme letteratura, dogmatica e polemica (vedi Probabilismo ).
Il concetto di probabilità ammette una determinata espressione numerica nella sua applicazione solo a quei fatti che fanno parte di certe serie omogenee. Quindi (nell'esempio più semplice), quando qualcuno lancia una moneta cento volte di seguito, troviamo qui una serie comune o grande (la somma di tutte le cadute di una moneta), che è composta da due private o più piccole, in questo caso numericamente uguale, serie (caduta "aquila" e caduta "croce"); La probabilità che questa volta la moneta cada croce, cioè che questo nuovo membro della serie generale appartenga a questa delle due serie minori, è pari ad una frazione che esprime il rapporto numerico tra questa piccola serie e quella grande, cioè 1/2, cioè la stessa probabilità appartiene all'una o all'altra delle due serie private. In esempi meno semplici, la conclusione non può essere tratta direttamente dai dati del problema stesso, ma richiede un'induzione preventiva. Quindi, ad esempio, ci si chiede: qual è la probabilità che un dato neonato viva fino a 80 anni? Qui deve esserci una serie generale o grande di un numero noto di persone nate in condizioni simili e che muoiono in età diverse (questo numero deve essere abbastanza grande da eliminare deviazioni casuali e abbastanza piccolo da preservare l'omogeneità della serie, perché per un persona, nata, ad esempio, a San Pietroburgo in una famiglia culturale benestante, l'intera popolazione di milioni di persone della città, una parte significativa della quale è costituita da persone di vari gruppi che possono morire prematuramente: soldati, giornalisti , lavoratori in professioni pericolose - rappresenta un gruppo troppo eterogeneo per una reale definizione di probabilità); che questa serie generale consista di diecimila vite umane; include righe più piccole che rappresentano il numero di coloro che vivono fino a questa o quell'età; una di queste righe più piccole rappresenta il numero di coloro che vivono fino a 80 anni di età. Ma è impossibile determinare la dimensione di questa serie più piccola (così come di tutte le altre). a priori; ciò avviene in modo puramente induttivo, attraverso la statistica. Supponiamo che studi statistici abbiano stabilito che su 10.000 pietroburghesi della classe media, solo 45 sopravvivono all'età di 80 anni; quindi, questa riga più piccola è correlata a quella più grande da 45 a 10.000 e la probabilità che una data persona appartenga a questa riga più piccola, cioè di vivere fino a 80 anni, è espressa come una frazione di 0,0045. Lo studio della probabilità da un punto di vista matematico costituisce una disciplina speciale, la teoria della probabilità.
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Sinonimi:Contrari:
Scientifico e filosofico generale. una categoria che denota il grado quantitativo della possibilità della comparsa di eventi casuali di massa in condizioni di osservazione fisse, caratterizzando la stabilità delle loro frequenze relative. In logica, il grado semantico ... ... Enciclopedia filosofica
PROBABILITÀ, un numero compreso tra zero e uno, compreso, che rappresenta la possibilità che questo evento accada. La probabilità di un evento è definita come il rapporto tra il numero di possibilità che un evento possa verificarsi e il numero totale di possibili ... ... Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico
Con ogni probabilità .. Dizionario di sinonimi ed espressioni russe simili nel significato. sotto. ed. N. Abramova, M.: dizionari russi, 1999. probabilità, possibilità, probabilità, possibilità, possibilità oggettiva, maza, ammissibilità, rischio. Formica. impossibilità... ... Dizionario dei sinonimi
probabilità- Una misura che un evento può verificarsi. Nota Definizione matematica di probabilità: " numero reale nell'intervallo da 0 a 1, relativo a un evento casuale. Il numero può riflettere la frequenza relativa in una serie di osservazioni ... ... Manuale tecnico del traduttore
Probabilità- "matematico, caratteristica numerica il grado di possibilità del verificarsi di qualsiasi evento in una o nell'altra condizione specifica che può essere ripetuto un numero illimitato di volte. Basato su questo classico… … Dizionario economico e matematico
- (probabilità) La possibilità che si verifichi un evento o un determinato risultato. Può essere rappresentato come una scala con divisioni da 0 a 1. Se la probabilità di un evento è zero, il suo verificarsi è impossibile. Con una probabilità pari a 1, l'inizio di... Glossario dei termini commerciali
È improbabile che molte persone pensino se sia possibile calcolare eventi più o meno casuali. A proposito di in parole semplici, se è realistico sapere quale lato del dado cadrà la prossima volta. È stata questa domanda che si sono posti due grandi scienziati, che hanno gettato le basi per una scienza come la teoria della probabilità, in cui la probabilità di un evento è studiata in modo abbastanza approfondito.
Se provi a definire un tale concetto come teoria della probabilità, ottieni quanto segue: questo è uno dei rami della matematica che studia la costanza degli eventi casuali. È chiaro questo concetto non rivela davvero l'intera essenza, quindi è necessario considerarla in modo più dettagliato.
Vorrei iniziare con i creatori della teoria. Come accennato in precedenza, erano due, e furono loro tra i primi a tentare di calcolare l'esito di un evento usando formule e calcoli matematici. Nel complesso, gli inizi di questa scienza sono apparsi nel Medioevo. A quel tempo, vari pensatori e scienziati hanno cercato di analizzare il gioco d'azzardo, come la roulette, i dadi e così via, stabilendo così uno schema e una percentuale di caduta di un determinato numero. Le fondamenta furono poste nel diciassettesimo secolo dai suddetti scienziati.
All'inizio, il loro lavoro non poteva essere attribuito ai grandi successi in questo campo, perché tutto ciò che facevano erano semplicemente fatti empirici e gli esperimenti venivano fatti visivamente, senza l'uso di formule. Nel tempo, si sono ottenuti ottimi risultati, che sono apparsi come risultato dell'osservazione del lancio dei dadi. È stato questo strumento che ha contribuito a derivare le prime formule intelligibili.
Impossibile non citare una persona come Christian Huygens, in procinto di studiare un argomento chiamato "teoria della probabilità" (la probabilità di un evento è trattata proprio in questa scienza). Questa persona è molto interessante. Lui, come gli scienziati presentati sopra, ha cercato di derivare la regolarità di eventi casuali sotto forma di formule matematiche. È interessante notare che non lo fece insieme a Pascal e Fermat, cioè tutte le sue opere non si intersecavano in alcun modo con queste menti. Huygens ha tirato fuori
Un fatto interessante è che il suo lavoro è uscito molto prima dei risultati del lavoro degli scopritori, o meglio, vent'anni prima. Tra i concetti designati, i più famosi sono:
Impossibile non ricordare anche chi ha dato un contributo significativo allo studio del problema. Conducendo le proprie prove, indipendentemente da chiunque, riuscì a presentare una prova della legge grandi numeri. A loro volta, gli scienziati Poisson e Laplace, che lavorarono all'inizio del diciannovesimo secolo, furono in grado di dimostrare i teoremi originali. Fu da questo momento che la teoria della probabilità iniziò ad essere utilizzata per analizzare gli errori nel corso delle osservazioni. bypass laterale questa scienza né gli scienziati russi, o meglio Markov, Chebyshev e Dyapunov. Basandosi sul lavoro svolto dai grandi geni, hanno fissato questa materia come una branca della matematica. Queste figure operarono già alla fine dell'ottocento, e grazie al loro contributo, fenomeni quali:
Quindi, con la storia della nascita della scienza e con i principali personaggi che l'hanno influenzata, tutto è più o meno chiaro. Ora è il momento di concretizzare tutti i fatti.
Prima di toccare leggi e teoremi, vale la pena studiare i concetti base della teoria della probabilità. L'evento ha un ruolo da protagonista. Questo argomento abbastanza voluminoso, ma senza di esso non sarà possibile capire tutto il resto.
Un evento nella teoria della probabilità è qualsiasi insieme di risultati di un esperimento. Non ci sono così tanti concetti di questo fenomeno. Quindi, lo scienziato Lotman, che lavora in quest'area, lo ha detto in questo caso noi stiamo parlando su cosa "è successo, anche se potrebbe non essere successo".
Eventi casuali (la teoria della probabilità li fornisce Attenzione speciale) è un concetto che implica assolutamente qualsiasi fenomeno che abbia la capacità di verificarsi. O, al contrario, questo scenario potrebbe non verificarsi quando vengono soddisfatte molte condizioni. Vale anche la pena sapere che sono gli eventi casuali a catturare l'intero volume dei fenomeni che si sono verificati. La teoria della probabilità indica che tutte le condizioni possono essere ripetute costantemente. Era la loro condotta che veniva chiamata "esperimento" o "prova".
Un determinato evento è quello che si verificherà al 100% in un determinato test. Di conseguenza, un evento impossibile è quello che non accadrà.
La combinazione di una coppia di azioni (condizionatamente caso A e caso B) è un fenomeno che si verifica simultaneamente. Sono designati come AB.
La somma delle coppie di eventi A e B è C, in altre parole, se si verifica almeno uno di essi (A o B), si otterrà C. La formula del fenomeno descritto è scritta come segue: C \u003d A + B.
Gli eventi disgiunti nella teoria della probabilità implicano che i due casi si escludono a vicenda. Non possono mai accadere allo stesso tempo. Gli eventi congiunti nella teoria della probabilità sono i loro antipodi. Ciò implica che se A è successo, allora non impedisce a B in alcun modo.
Gli eventi opposti (la teoria della probabilità li tratta in modo molto dettagliato) sono facili da capire. È meglio affrontarli in confronto. Sono quasi gli stessi di eventi incompatibili nella teoria della probabilità. Ma la loro differenza sta nel fatto che uno dei tanti fenomeni in ogni caso deve verificarsi.
Eventi ugualmente probabili sono quelle azioni la cui possibilità di ripetizione è uguale. Per chiarire meglio, possiamo immaginare il lancio di una moneta: la perdita di una delle sue facce è ugualmente probabile che cada dall'altra.
Un evento favorevole è più facile da vedere con un esempio. Diciamo che c'è l'episodio B e l'episodio A. Il primo è il lancio del dado con l'apparizione di un numero dispari, e il secondo è l'apparizione del numero cinque sul dado. Poi si scopre che A favorisce B.
Gli eventi indipendenti nella teoria della probabilità sono proiettati solo su due o più casi e implicano l'indipendenza di qualsiasi azione da un'altra. Ad esempio, A - perdere croce quando si lancia una moneta e B - ottenere un jack dal mazzo. Sono eventi indipendenti nella teoria della probabilità. A questo punto è diventato più chiaro.
Anche gli eventi dipendenti nella teoria della probabilità sono ammissibili solo per il loro insieme. Implicano la dipendenza dell'uno dall'altro, cioè il fenomeno B può verificarsi solo se A è già avvenuto o, al contrario, non è avvenuto quando questa è la condizione principale per B.
Il risultato di un esperimento casuale costituito da una componente sono eventi elementari. La teoria della probabilità spiega che questo è un fenomeno accaduto solo una volta.
Quindi, sono stati considerati sopra i concetti di "evento", "teoria della probabilità", è stata data anche la definizione dei termini principali di questa scienza. Ora è il momento di familiarizzare direttamente con le formule importanti. Queste espressioni confermano matematicamente tutti i concetti principali in un argomento così difficile come la teoria della probabilità. Anche qui la probabilità di un evento gioca un ruolo enorme.
È meglio iniziare con i principali E prima di procedere con loro, vale la pena considerare di cosa si tratta.
La combinatoria è principalmente una branca della matematica, si occupa dello studio di un numero enorme di numeri interi, nonché di varie permutazioni sia dei numeri stessi che dei loro elementi, vari dati, ecc., Portando alla comparsa di un numero di combinazioni. Oltre alla teoria della probabilità, questo ramo è importante per la statistica, l'informatica e la crittografia.
Quindi, ora puoi passare alla presentazione delle formule stesse e alla loro definizione.
La prima di queste sarà un'espressione per il numero di permutazioni, assomiglia a questa:
P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
L'equazione si applica solo se gli elementi differiscono solo nel loro ordine.
Ora verrà considerata la formula di posizionamento, simile a questa:
A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n-m)!
Questa espressione è applicabile non solo all'ordine dell'elemento, ma anche alla sua composizione.
La terza equazione della combinatoria, ed è anche l'ultima, è chiamata formula per il numero di combinazioni:
C_n^m = n! : ((n - m))! :m!
Una combinazione è chiamata selezione non ordinata, rispettivamente, e questa regola si applica ad esse.
Si è rivelato facile capire le formule della combinatoria, ora possiamo passare alla definizione classica di probabilità. Questa espressione si presenta così:
In questa formula, m è il numero di condizioni favorevoli all'evento A, e n è il numero di esiti assolutamente tutti ugualmente possibili ed elementari.
Esiste un gran numero di espressioni, l'articolo non le considererà tutte, ma ne risentirà le più importanti, come ad esempio la probabilità della somma degli eventi:
P(A + B) = P(A) + P(B) - questo teorema serve ad aggiungere solo eventi incompatibili;
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - e questo serve per aggiungere solo quelli compatibili.
Probabilità di produzione di eventi:
P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - questo teorema è per eventi indipendenti;
(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - e questo è per i dipendenti.
La formula dell'evento chiuderà l'elenco. La teoria della probabilità ci parla del teorema di Bayes, che assomiglia a questo:
P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n
In questa formula, H 1 , H 2 , …, H n è l'intero gruppo di ipotesi.
Se studi attentamente qualsiasi ramo della matematica, non è completo senza esercizi e soluzioni campione. Così è la teoria della probabilità: gli eventi, gli esempi qui sono una componente integrale che conferma i calcoli scientifici.
Diciamo che ci sono trenta carte in un mazzo di carte, a partire dal valore nominale uno. Prossima domanda. Quanti modi ci sono per impilare il mazzo in modo che le carte con un valore nominale di uno e due non siano una accanto all'altra?
Il compito è impostato, ora passiamo a risolverlo. Per prima cosa devi determinare il numero di permutazioni di trenta elementi, per questo prendiamo la formula sopra, risulta P_30 = 30!.
In base a questa regola, scopriremo quante opzioni ci sono per piegare il mazzo in diversi modi, ma dobbiamo sottrarre da esse quelle in cui la prima e la seconda carta sono successive. Per fare ciò, iniziamo con l'opzione quando la prima è sopra la seconda. Si scopre che la prima carta può prendere ventinove posti - dalla prima al ventinovesimo, e la seconda carta dalla seconda al trentesimo, risulta solo ventinove posti per una coppia di carte. A sua volta, il resto può prendere ventotto posti, e in qualsiasi ordine. Cioè, per una permutazione di ventotto carte, ci sono ventotto opzioni P_28 = 28!
Di conseguenza, si scopre che se consideriamo la soluzione quando la prima carta è sopra la seconda, ci sono 29 ⋅ 28 possibilità extra! = 29!
Utilizzando lo stesso metodo, è necessario calcolare il numero di opzioni ridondanti per il caso quando la prima carta è inferiore alla seconda. Risulta anche 29 ⋅ 28! = 29!
Da ciò ne consegue che ci sono 2 ⋅ 29! opzioni extra, mentre ci sono 30 modi necessari per costruire il mazzo! - 2 ⋅ 29!. Resta solo da contare.
30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28
Ora devi moltiplicare tutti i numeri da uno a ventinove tra loro, e poi alla fine moltiplicare tutto per 28. La risposta è 2.4757335 ⋅〖10〗^32
In questo problema, devi scoprire quanti modi ci sono per mettere quindici volumi su uno scaffale, ma a condizione che ci siano trenta volumi in totale.
In questo problema, la soluzione è leggermente più semplice rispetto al precedente. Utilizzando la formula già nota, è necessario calcolare il numero totale degli arrangiamenti da trenta volumi di quindici.
A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000
La risposta, rispettivamente, sarà pari a 202.843.204.931.727.360.000.
Ora prendiamo il compito un po' più difficile. Devi scoprire quanti modi ci sono per disporre trenta libri su due scaffali, a condizione che solo quindici volumi possano essere su uno scaffale.
Prima di iniziare la soluzione, vorrei chiarire che alcuni problemi vengono risolti in diversi modi, quindi ci sono due modi in questo, ma in entrambi viene utilizzata la stessa formula.
In questo problema, puoi prendere la risposta dal precedente, perché lì abbiamo calcolato quante volte puoi riempire uno scaffale con quindici libri in modi diversi. Si è scoperto A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.
Calcoliamo il secondo ripiano secondo la formula di permutazione, perché in esso vengono inseriti quindici libri, mentre ne rimangono solo quindici. Usiamo la formula P_15 = 15!.
Si scopre che in totale ci saranno A_30^15 ⋅ P_15 modi, ma, inoltre, il prodotto di tutti i numeri da trenta a sedici dovrà essere moltiplicato per il prodotto di numeri da uno a quindici, di conseguenza, il si otterrà il prodotto di tutti i numeri da uno a trenta, cioè la risposta è 30!
Ma questo problema può essere risolto in un modo diverso: più facile. Per fare questo, puoi immaginare che ci sia uno scaffale per trenta libri. Tutti sono posizionati su questo piano, ma poiché la condizione richiede che ci siano due ripiani, ne tagliamo uno lungo a metà, ne risulta due quindici ciascuno. Da ciò risulta che le opzioni di posizionamento possono essere P_30 = 30!.
Consideriamo ora una variante del terzo problema dalla combinatoria. Devi scoprire quanti modi ci sono per sistemare quindici libri, a patto che tu debba sceglierne trenta assolutamente identici.
Per la soluzione, ovviamente, verrà applicata la formula per il numero di combinazioni. Dalla condizione diventa chiaro che l'ordine dei quindici libri identici non è importante. Pertanto, inizialmente devi scoprire il numero totale di combinazioni di trenta libri di quindici.
C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : quindici ! = 155 117 520
È tutto. Usando questa formula, tempo più breve riuscito a risolvere un problema del genere, la risposta, rispettivamente, è 155 117 520.
Usando la formula sopra, puoi trovare la risposta in un semplice problema. Ma aiuterà a vedere visivamente e tracciare il corso delle azioni.
Il problema è dato che nell'urna ci sono dieci palline assolutamente identiche. Di questi, quattro sono gialli e sei blu. Una palla viene presa dall'urna. Devi scoprire la probabilità di diventare blu.
Per risolvere il problema, è necessario designare come evento A l'acquisizione del pallone azzurro. Questa esperienza può avere dieci esiti, che, a loro volta, sono elementari ed ugualmente probabili. Allo stesso tempo, sei su dieci sono favorevoli per l'evento A. Risolviamo usando la formula:
P(A) = 6: 10 = 0,6
Applicando questa formula, abbiamo scoperto che la probabilità di ottenere una pallina blu è 0,6.
Ora verrà presentata una variante, che viene risolta utilizzando la formula per la probabilità della somma degli eventi. Quindi, a condizione che ci siano due scatole, la prima contiene una palla grigia e cinque bianche, e la seconda contiene otto palline grigie e quattro bianche. Di conseguenza, uno di loro è stato prelevato dalla prima e dalla seconda casella. È necessario scoprire qual è la possibilità che le palline estratte siano grigie e bianche.
Per risolvere questo problema, è necessario designare gli eventi.
A seconda della condizione del problema, è necessario che si verifichi uno dei fenomeni: AB 'o A'B. Usando la formula, otteniamo: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.
Ora è stata utilizzata la formula per moltiplicare la probabilità. Successivamente, per scoprire la risposta, è necessario applicare l'equazione per la loro aggiunta:
P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.
Quindi, usando la formula, puoi risolvere problemi simili.
L'articolo fornisce informazioni sull'argomento "Teoria della probabilità", in cui la probabilità di un evento gioca un ruolo cruciale. Naturalmente, non tutto è stato preso in considerazione, ma, sulla base del testo presentato, si può teoricamente familiarizzare con questa sezione della matematica. La scienza in questione può essere utile non solo nel lavoro professionale, ma anche in Vita di ogni giorno. Con il suo aiuto, puoi calcolare qualsiasi possibilità di qualsiasi evento.
Il testo ha anche toccato date significative nella storia della formazione della teoria della probabilità come scienza e nomi di persone le cui opere sono state investite in essa. È così che la curiosità umana ha portato al fatto che le persone hanno imparato a calcolare anche eventi casuali. Una volta erano solo interessati a questo, ma oggi lo sanno già tutti. E nessuno dirà cosa ci aspetta in futuro, quali altre brillanti scoperte legate alla teoria in esame verranno fatte. Ma una cosa è certa: la ricerca non si ferma!
Breve teoria
Per un confronto quantitativo degli eventi in base al grado di possibilità del loro verificarsi, viene introdotta una misura numerica, che prende il nome di probabilità di un evento. La probabilità di un evento casuale viene chiamato un numero, che è espressione di una misura della possibilità oggettiva del verificarsi di un evento.
I valori che determinano quanto siano significativi i motivi oggettivi per contare sul verificarsi di un evento sono caratterizzati dalla probabilità dell'evento. Va sottolineato che la probabilità è una quantità oggettiva che esiste indipendentemente dal cognitore ed è condizionata dalla totalità delle condizioni che concorrono al verificarsi di un evento.
Le spiegazioni che abbiamo dato al concetto di probabilità non sono una definizione matematica, poiché non definiscono questo concetto quantitativamente. Esistono diverse definizioni di probabilità di un evento casuale che sono ampiamente utilizzate nella risoluzione di problemi specifici (classica, definizione geometrica di probabilità, statistica, ecc.).
La definizione classica di probabilità di un evento riduce questo concetto a un concetto più elementare di eventi ugualmente probabili, che non è più soggetto a definizione e si presume intuitivamente chiaro. Ad esempio, se un dado è un cubo omogeneo, la ricaduta di una qualsiasi delle facce di questo cubo sarà eventi ugualmente probabili.
Si divida un certo evento in casi ugualmente probabili, la cui somma dà l'evento. Cioè, i casi da , in cui si rompe, sono chiamati favorevoli all'evento, poiché la comparsa di uno di essi assicura l'offensiva.
La probabilità di un evento sarà indicata dal simbolo .
La probabilità di un evento è uguale al rapporto tra il numero dei casi ad esso favorevoli, sul numero totale dei casi unici, ugualmente possibili e incompatibili, al numero, cioè
Questa è la definizione classica di probabilità. Quindi, per trovare la probabilità di un evento, è necessario, dopo aver considerato i vari esiti del test, trovare un insieme degli unici casi possibili, ugualmente possibili e incompatibili, calcolare il loro numero totale n, il numero di casi m che favorire questo evento, quindi eseguire il calcolo secondo la formula precedente.
Si chiama la probabilità di un evento pari al rapporto tra il numero degli esiti dell'esperienza favorevoli all'evento e il numero totale degli esiti dell'esperienza. probabilità classica evento casuale.
Dalla definizione derivano le seguenti proprietà di probabilità:
Proprietà 1. La probabilità di un determinato evento è uguale a uno.
Proprietà 2. La probabilità di un evento impossibile è zero.
Proprietà 3. La probabilità di un evento casuale è un numero positivo compreso tra zero e uno.
Proprietà 4. La probabilità del verificarsi di eventi che formano un gruppo completo è uguale a uno.
Proprietà 5. La probabilità del verificarsi dell'evento opposto è definita allo stesso modo della probabilità del verificarsi dell'evento A.
Il numero di occorrenze che favoriscono il verificarsi dell'evento opposto. Quindi, la probabilità che si verifichi l'evento opposto è uguale alla differenza tra l'unità e la probabilità che si verifichi l'evento A:
Dignità importante definizione classica La probabilità di un evento sta nel fatto che con il suo aiuto si può determinare la probabilità di un evento senza ricorrere all'esperienza, ma sulla base di un ragionamento logico.
Quando una serie di condizioni è soddisfatta, un certo evento accadrà sicuramente e l'impossibile sicuramente non accadrà. Tra gli eventi che, quando si crea un complesso di condizioni, possono verificarsi o meno, si può contare sull'apparizione di alcuni con più ragione, sull'apparizione di altri con meno ragione. Se, ad esempio, ci sono più palline bianche nell'urna che nere, allora spera che appaia una palla bianca quando estratta dall'urna a caso motivo in più rispetto all'aspetto di una palla nera.
Visto nella pagina successiva.
Esempio di soluzione del problema
Una scatola contiene 8 palline bianche, 4 nere e 7 rosse. Vengono estratte 3 palline a caso. Trova le probabilità dei seguenti eventi: - viene estratta almeno 1 pallina rossa, - ci sono almeno 2 palline dello stesso colore, - ci sono almeno 1 pallina rossa e 1 bianca.
Troviamo il numero totale di risultati del test come il numero di combinazioni di 19 (8 + 4 + 7) elementi di 3 ciascuno:
Trova la probabilità di un evento– pescata almeno 1 pallina rossa (1,2 o 3 palline rosse)
Probabilità richiesta:
Lascia che l'evento- ci sono almeno 2 palline dello stesso colore (2 o 3 palline bianche, 2 o 3 palline nere e 2 o 3 palline rosse)
Numero di esiti favorevoli all'evento:
Probabilità richiesta:
Lascia che l'evento– c'è almeno una pallina rossa e una bianca
(1 rosso, 1 bianco, 1 nero o 1 rosso, 2 bianchi o 2 rossi, 1 bianco)
Numero di esiti favorevoli all'evento:
Probabilità richiesta:
Risposta: P(A)=0,773; P(C)=0,7688; P(D)=0,6068
Vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità che la somma dei punti sia almeno 5.
Sia l'evento la somma dei punti non inferiore a 5
Usiamo la classica definizione di probabilità:
Numero totale di possibili esiti della sperimentazione
Il numero di prove che favoriscono l'evento di nostro interesse
Sulla faccia caduta del primo dado possono comparire un punto, due punti..., sei punti. allo stesso modo, con il secondo tiro di dado sono possibili sei risultati. Ciascuno dei risultati del primo dado può essere combinato con ciascuno dei risultati del secondo. Pertanto, il numero totale di possibili esiti elementari del test è uguale al numero di posizionamenti con ripetizioni (selezione con posizionamenti di 2 elementi da un insieme di volume 6):
Trova la probabilità dell'evento opposto: la somma dei punti è inferiore a 5
Le seguenti combinazioni di punti persi favoriranno l'evento:
| № | 1° osso | 2° osso | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 |
medio costo della soluzione lavoro di controllo 700 - 1200 rubli (ma non meno di 300 rubli per l'intero ordine). Il prezzo è fortemente influenzato dall'urgenza della decisione (da giorni a diverse ore). Il costo dell'aiuto online nell'esame / test - da 1000 rubli. per la soluzione del biglietto.
L'applicazione può essere lasciata direttamente nella chat, dopo aver precedentemente annullato la condizione dei compiti e informandoti delle scadenze per risolverla. Il tempo di risposta è di alcuni minuti.
Esempi di attività correlate
Formula di probabilità totale. Formula di Bayes
Nell'esempio di risoluzione del problema, vengono considerate la formula della probabilità totale e la formula di Bayes, e viene anche descritto quali sono le ipotesi e le probabilità condizionate.
