Nella prima parte, il metodo di ricerca matrice inversa con l'ausilio di addizioni algebriche. Qui descriviamo un altro metodo per trovare matrici inverse: usando le trasformazioni di Gauss e Gauss-Jordan. Spesso questo metodo per trovare la matrice inversa è chiamato metodo delle trasformazioni elementari.
Per applicare questo metodo, la data matrice $A$ e la matrice identità $E$ sono scritte in una matrice, cioè formare una matrice della forma $(A|E)$ (questa matrice è detta anche matrice estesa). Dopodiché, con l'ausilio di trasformazioni elementari eseguite con le righe della matrice espansa, la matrice a sinistra della riga diventa unità, e la matrice espansa assume la forma $\left(E| A^(-1) \right )$. Le trasformazioni elementari in questa situazione includono le seguenti azioni:
Queste trasformazioni elementari possono essere applicate in diversi modi. Di solito si sceglie il metodo Gauss o il metodo Gauss-Jordan. In generale, i metodi Gauss e Gauss-Jordan sono progettati per risolvere sistemi lineari equazioni algebriche, non per trovare matrici inverse. La frase "applicare il metodo di Gauss per trovare l'inversa di una matrice" dovrebbe essere intesa qui come "applicare le operazioni inerenti al metodo di Gauss per trovare l'inversa di una matrice".
La numerazione degli esempi è proseguita dalla prima parte. Negli esempi e viene considerato l'uso del metodo Gauss per trovare la matrice inversa, e negli esempi e viene analizzato l'uso del metodo Gauss-Jordan. Va notato che se durante la soluzione tutti gli elementi di qualche riga o colonna della matrice situata prima della riga sono impostati su zero, allora la matrice inversa non esiste.
Esempio #5
Trova matrice $A^(-1)$ if $A=\left(\begin(array) (ccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( array )\destra)$.
In questo esempio, la matrice inversa verrà trovata utilizzando il metodo gaussiano. Matrice espansa, avente in caso generale forma $(A|E)$, in questo esempio assumerà questa forma: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
Scopo: utilizzando trasformazioni elementari, portare la matrice aumentata nella forma $\left(E|A^(-1) \right)$. Applichiamo le stesse operazioni utilizzate nella risoluzione dei sistemi equazioni lineari Metodo gaussiano. Per applicare il metodo gaussiano, è conveniente quando il primo elemento della prima riga della matrice espansa è uno. Per ottenere ciò, scambiamo la prima e la terza riga della matrice espansa, che diventa: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(array) \right)$.
Ora veniamo alla soluzione. Il metodo gaussiano è diviso in due fasi: avanti e indietro ( descrizione dettagliata questo metodo per risolvere sistemi di equazioni è riportato negli esempi dell'argomento pertinente). Gli stessi due passaggi verranno applicati nel processo di ricerca della matrice inversa.
Primo passo
Con l'aiuto della prima riga, resettiamo gli elementi della prima colonna situata sotto la prima riga:
Lasciatemi commentare un po' quello che ho fatto. La notazione $II-2\cdot I$ significa che gli elementi corrispondenti della prima riga, precedentemente moltiplicati per due, sono stati sottratti dagli elementi della seconda riga. Questa azione può essere scritta separatamente come segue:
L'azione $III-7\cdot I$ viene eseguita esattamente allo stesso modo. Se ci sono difficoltà con l'esecuzione di queste operazioni, possono essere eseguite separatamente (in modo simile all'azione $II-2\cdot I$ mostrata sopra), e il risultato viene quindi inserito nella matrice espansa.
Secondo passo
Con l'aiuto della seconda riga, resettiamo l'elemento della seconda colonna, situato sotto la seconda riga:
Dividi la terza riga per 5:
Il rettilineo è finito. Tutti gli elementi situati sotto la diagonale principale della matrice fino alla linea sono stati azzerati.
Primo passo
Con l'aiuto della terza riga, ripristiniamo gli elementi della terza colonna situata sopra la terza riga:
Prima di passare al passaggio successivo, dividi la seconda riga per $7$:
Secondo passo
Con l'aiuto della seconda riga, resettiamo gli elementi della seconda colonna situata sopra la seconda riga:
Le trasformazioni sono completate, la matrice inversa viene trovata con il metodo gaussiano: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \ \ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end(array) \right)$. Il controllo, se necessario, può essere eseguito allo stesso modo degli esempi precedenti. Se salti tutte le spiegazioni, la soluzione assumerà la forma:
Risposta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 & -27/5 \end(array) \right)$.
Esempio #6
Trova matrice $A^(-1)$ if $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & - 4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end(array) \right)$.
Per trovare la matrice inversa in questo esempio, utilizzeremo le stesse operazioni utilizzate nella risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss. Vengono fornite spiegazioni dettagliate, ma qui ci limitiamo a brevi commenti. Scriviamo la matrice aumentata: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end(array) \right)$. Scambia la prima e la quarta riga di questa matrice: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$.
Le trasformazioni di esecuzione in avanti sono complete. Tutti gli elementi situati sotto la diagonale principale della matrice a sinistra della linea sono impostati su zero.
Trovata l'inversa gaussiana, $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & - 117/ 16 e 49/16 e 11/4 \\ -23/4 e -141/8 e 57/8 e 13/2 \\ 17/8 e 103/6 e -43/16 e -9/4 \ end( matrice)\destra)$. Il controllo, se necessario, viene eseguito allo stesso modo degli esempi n. 2 e n. 3.
Risposta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end(array) \ giusto) $.
Esempio #7
Trova matrice $A^(-1)$ if $A=\left(\begin(array) (ccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( array )\destra)$.
Per trovare la matrice inversa, applichiamo le operazioni caratteristica del metodo Gauss-Giordania. La differenza rispetto al metodo gaussiano, considerato negli esempi precedenti e , è che la soluzione viene eseguita in un'unica fase. Permettetemi di ricordarvi che il metodo Gauss è diviso in 2 fasi: il movimento in avanti ("facciamo" zeri sotto la diagonale principale della matrice alla barra) e il movimento inverso (ripristiniamo gli elementi sopra la diagonale principale della matrice al bar). Per calcolare la matrice inversa con il metodo di Gauss-Jordan, non sono necessarie due fasi di soluzione. Innanzitutto, creiamo una matrice aumentata: $(A|E)$:
$$ (A|E)=\left(\begin(array) (ccc|ccc) 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -2 &0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$
Primo passo
Imposta tutti gli elementi della prima colonna su zero tranne uno. Nella prima colonna, tutti gli elementi sono diversi da zero, quindi possiamo scegliere qualsiasi elemento. Prendi, ad esempio, $(-4)$:
L'elemento selezionato $(-4)$ si trova nella terza riga, quindi usiamo la terza riga per azzerare gli elementi selezionati della prima colonna:
Rendiamo il primo elemento della terza riga uguale a uno. Per fare ciò, dividiamo gli elementi della terza riga della matrice espansa per $(-4)$:
Ora iniziamo ad azzerare gli elementi corrispondenti della prima colonna:
Nei passaggi successivi non sarà più possibile utilizzare la terza riga, perché l'abbiamo già applicata nel primo passaggio.
Secondo passo
Scegliamo un elemento diverso da zero della seconda colonna e impostiamo tutti gli altri elementi della seconda colonna su zero. Possiamo scegliere uno dei due elementi: $\frac(11)(2)$ o $\frac(39)(4)$. L'elemento $\left(-\frac(5)(4) \right)$ non può essere selezionato perché si trova nella terza riga, che abbiamo utilizzato nel passaggio precedente. Selezioniamo l'elemento $\frac(11)(2)$, che si trova nella prima riga. Cambiamo $\frac(11)(2)$ in uno nella prima riga:
Ora impostiamo a zero gli elementi corrispondenti della seconda colonna:
In ulteriore ragionamento, la prima riga non può essere utilizzata.
Terzo passo
È necessario ripristinare tutti gli elementi della terza colonna tranne uno. Dobbiamo scegliere un elemento diverso da zero della terza colonna. Tuttavia, non possiamo prendere $\frac(6)(11)$ o $\frac(13)(11)$ perché questi elementi sono nella prima e nella terza riga che abbiamo usato in precedenza. La scelta è piccola: rimane solo l'elemento $\frac(2)(11)$, che si trova nella seconda riga. Dividi tutti gli elementi della seconda riga per $\frac(2)(11)$:
Ora impostiamo a zero gli elementi corrispondenti della terza colonna:
Le trasformazioni con il metodo Gauss-Jordan sono completate. Resta solo da far diventare unità la matrice fino alla linea. Per fare ciò, devi cambiare l'ordine delle righe. Innanzitutto, scambia la prima e la terza riga:
$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \end(array) \right) $$
Ora scambiamo la seconda e la terza riga:
$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right) $$
Quindi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39 /4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right)$. Naturalmente la soluzione può essere realizzata in modo diverso, scegliendo gli elementi sulla diagonale principale. Di solito è proprio quello che fanno, perché in questo caso, alla fine della soluzione, le righe non dovranno essere scambiate. Ho dato la soluzione precedente per un solo scopo: dimostrare che la scelta di una riga ad ogni passaggio non è fondamentale. Se scegliamo elementi diagonali ad ogni passaggio, la soluzione sarà la seguente.
Questo argomento è uno dei più odiati dagli studenti. Peggio, probabilmente, solo determinanti.
Il trucco è che il concetto stesso di elemento inverso (e non sto parlando solo di matrici ora) ci rimanda all'operazione di moltiplicazione. Anche in curriculum scolastico si considera la moltiplicazione operazione complicata, e la moltiplicazione delle matrici è generalmente un argomento a parte, a cui ho dedicato un intero paragrafo e un video tutorial.
Oggi non entreremo nei dettagli dei calcoli matriciali. Ricorda solo: come vengono denotate le matrici, come vengono moltiplicate e cosa ne consegue.
Prima di tutto, mettiamoci d'accordo sulla notazione. Una matrice $A$ di dimensione $\left[ m\times n \right]$ è semplicemente una tabella di numeri con esattamente $m$ righe e $n$ colonne:
\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]
Per non confondere accidentalmente righe e colonne in alcuni punti (credimi, nell'esame puoi confonderne uno con un due - cosa possiamo dire di alcune righe lì), dai un'occhiata all'immagine:
Determinazione degli indici per le celle della matrice Cosa sta succedendo? Se posizioniamo il sistema di coordinate standard $OXY$ nell'angolo in alto a sinistra e dirigiamo gli assi in modo che coprano l'intera matrice, allora ogni cella di questa matrice può essere univocamente associata alle coordinate $\left(x;y \right) $ - questo sarà il numero di riga e il numero di colonna.
Perché il sistema di coordinate è posizionato esattamente nell'angolo in alto a sinistra? Sì, perché è da lì che si comincia a leggere qualsiasi testo. È molto facile da ricordare.
Perché l'asse $x$ punta verso il basso e non verso destra? Di nuovo, è semplice: prendi il sistema di coordinate standard (l'asse $x$ va a destra, l'asse $y$ sale) e ruotalo in modo che racchiuda la matrice. Questa è una rotazione di 90 gradi in senso orario: ne vediamo il risultato nell'immagine.
In generale, abbiamo capito come determinare gli indici degli elementi della matrice. Ora occupiamoci della moltiplicazione.
Definizione. Le matrici $A=\left[ m\times n \right]$ e $B=\left[ n\times k \right]$, quando il numero di colonne nella prima corrisponde al numero di righe nella seconda, sono chiamato coerente.
È in quest'ordine. Si può essere ambigui e dire che le matrici $A$ e $B$ formano una coppia ordinata $\left(A;B \right)$: se sono coerenti in questo ordine, allora non è affatto necessario che $B $ e $A$, quelli. anche la coppia $\left(B;A \right)$ è consistente.
Possono essere moltiplicate solo matrici consistenti.
Definizione. Il prodotto delle matrici coerenti $A=\left[ m\times n \right]$ e $B=\left[ n\times k \right]$ è la nuova matrice $C=\left[ m\times k \right ]$ , i cui elementi $((c)_(ij))$ sono calcolati dalla formula:
\[((c)_(ij))=\somma\limiti_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
In altre parole: per ottenere l'elemento $((c)_(ij))$ della matrice $C=A\cdot B$, devi prendere la $i$-riga della prima matrice, la $j$ -esima colonna della seconda matrice, quindi moltiplicare a coppie gli elementi di questa riga e colonna. Somma i risultati.
Sì, è una definizione dura. Ne derivano immediatamente diversi fatti:
La distributività della moltiplicazione doveva essere descritta separatamente per la somma del moltiplicatore sinistro e destro proprio a causa della non commutatività dell'operazione di moltiplicazione.
Se, tuttavia, risulta che $A\cdot B=B\cdot A$, tali matrici sono dette permutabili.
Tra tutte le matrici che vengono moltiplicate per qualcosa lì, ce ne sono di speciali - quelle che, se moltiplicate per qualsiasi matrice $A$, danno ancora $A$:
Definizione. Una matrice $E$ è detta identità se $A\cdot E=A$ o $E\cdot A=A$. Nel caso di una matrice quadrata $A$ possiamo scrivere:
La matrice identitaria è un ospite frequente nella risoluzione equazioni matriciali. E in generale, un ospite frequente nel mondo delle matrici. :)
E a causa di questo $E$, qualcuno ha inventato tutto il gioco che verrà scritto dopo.
Poiché la moltiplicazione di matrici è un'operazione che richiede molto tempo (devi moltiplicare un mucchio di righe e colonne), anche il concetto di matrice inversa non è il più banale. E ha bisogno di qualche spiegazione.
Bene, è ora di conoscere la verità.
Definizione. La matrice $B$ è detta l'inverso della matrice $A$ if
La matrice inversa è indicata con $((A)^(-1))$ (da non confondere con il grado!), quindi la definizione può essere riscritta in questo modo:
Sembrerebbe che tutto sia estremamente semplice e chiaro. Ma quando si analizza una tale definizione, sorgono immediatamente diverse domande:
Per quanto riguarda gli algoritmi di calcolo, ne parleremo un po 'più tardi. Ma risponderemo subito al resto delle domande. Disponiamoli sotto forma di asserzioni-lemmi separati.
Cominciamo con come dovrebbe apparire la matrice $A$ affinché abbia $((A)^(-1))$. Ora faremo in modo che entrambe queste matrici siano quadrate e della stessa dimensione: $\left[ n\times n \right]$.
Lemma 1. Data una matrice $A$ e la sua inversa $((A)^(-1))$. Allora entrambe queste matrici sono quadrate e hanno lo stesso ordine $n$.
Prova. Tutto è semplice. Sia la matrice $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Poiché il prodotto $A\cdot ((A)^(-1))=E$ esiste per definizione, le matrici $A$ e $((A)^(-1))$ sono coerenti in questo ordine:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( allineare)\]
Questa è una diretta conseguenza dell'algoritmo di moltiplicazione di matrici: i coefficienti $n$ e $a$ sono "di transito" e devono essere uguali.
Allo stesso tempo, viene definita anche la moltiplicazione inversa: $((A)^(-1))\cdot A=E$, quindi le matrici $((A)^(-1))$ e $A$ sono coerente anche in questo ordine:
\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( allineare)\]
Quindi, senza perdita di generalità, possiamo supporre che $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Tuttavia, secondo la definizione di $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, quindi le dimensioni delle matrici sono esattamente le stesse:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]
Quindi risulta che tutte e tre le matrici - $A$, $((A)^(-1))$ e $E$ - sono di dimensioni quadrate $\left[ n\times n \right]$. Il lemma è dimostrato.
Bene, questo è già buono. Vediamo che solo le matrici quadrate sono invertibili. Assicuriamoci ora che la matrice inversa sia sempre la stessa.
Lemma 2. Data una matrice $A$ e la sua inversa $((A)^(-1))$. Quindi questa matrice inversa è unica.
Prova. Partiamo dall'opposto: lascia che la matrice $A$ abbia almeno due istanze di inverse — $B$ e $C$. Allora, secondo la definizione, sono vere le seguenti uguaglianze:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]
Dal Lemma 1 concludiamo che tutte e quattro le matrici $A$, $B$, $C$ e $E$ sono quadrati dello stesso ordine: $\left[ n\times n \right]$. Pertanto, il prodotto è definito:
Poiché la moltiplicazione di matrici è associativa (ma non commutativa!), possiamo scrivere:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Freccia destra B=C. \\ \end(align)\]
Abbiamo l'unica opzione possibile: due copie della matrice inversa sono uguali. Il lemma è dimostrato.
Il ragionamento di cui sopra ripete quasi alla lettera la prova dell'unicità dell'elemento inverso per tutti numeri reali$b\ne 0$. L'unica aggiunta significativa è la presa in considerazione della dimensione delle matrici.
Tuttavia, non sappiamo ancora nulla sull'esistenza o meno matrice quadrataè reversibile. Qui ci viene in aiuto il determinante, caratteristica chiave di tutte le matrici quadrate.
Lemma 3. Data una matrice $A$. Se esiste la matrice $((A)^(-1))$ inversa ad essa, allora il determinante della matrice originale è diverso da zero:
\[\sinistra| A \giusto|\ne 0\]
Prova. Sappiamo già che $A$ e $((A)^(-1))$ sono matrici quadrate di dimensione $\left[ n\times n \right]$. Pertanto, per ciascuno di essi è possibile calcolare il determinante: $\left| A \right|$ e $\left| ((A)^(-1)) \destra|$. Tuttavia, il determinante del prodotto è uguale al prodotto dei determinanti:
\[\sinistra| A\cdot B \destra|=\sinistra| Un \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \destra|=\sinistra| Un \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \destra|\]
Ma secondo la definizione di $A\cdot ((A)^(-1))=E$, e il determinante di $E$ è sempre uguale a 1, quindi
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \sinistra| A\cdot ((A)^(-1)) \destra|=\sinistra| E\destra|; \\ & \sinistra| Un \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]
Il prodotto di due numeri è uguale a uno solo se ciascuno di questi numeri è diverso da zero:
\[\sinistra| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
Quindi risulta che $\left| A \right|\ne 0$. Il lemma è dimostrato.
In effetti, questo requisito è abbastanza logico. Ora analizzeremo l'algoritmo per trovare la matrice inversa - e diventerà completamente chiaro perché, in linea di principio, non può esistere alcuna matrice inversa con un determinante zero.
Ma prima formuliamo una definizione "ausiliaria":
Definizione. Una matrice degenere è una matrice quadrata di dimensione $\left[ n\times n \right]$ il cui determinante è zero.
Pertanto, possiamo affermare che qualsiasi matrice invertibile è non degenerata.
Ora considereremo un algoritmo universale per trovare matrici inverse. In generale, ci sono due algoritmi generalmente accettati e oggi considereremo anche il secondo.
Quella che ora considereremo è molto efficiente per matrici di dimensione $\left[ 2\times 2 \right]$ e - in parte - di dimensione $\left[ 3\times 3 \right]$. Ma partendo dalla dimensione $\left[ 4\times 4 \right]$ è meglio non usarlo. Perché - ora capirai tutto.
Preparati. Ora ci sarà dolore. No, non preoccuparti: una bella infermiera in gonna, calze con pizzo non viene da te e non ti farà un'iniezione nel gluteo. Tutto è molto più prosaico: ti stanno arrivando aggiunte algebriche e Sua Maestà la "Matrice dell'Unione".
Partiamo da quello principale. Sia una matrice quadrata di dimensione $A=\left[ n\times n \right]$ i cui elementi sono denominati $((a)_(ij))$. Quindi, per ciascuno di questi elementi, si può definire un complemento algebrico:
Definizione. Complemento algebrico $((A)_(ij))$ all'elemento $((a)_(ij))$ nella $i$-esima riga e $j$-esima colonna della matrice $A=\left [ n \times n \right]$ è una costruzione della forma
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Dove $M_(ij)^(*)$ è il determinante della matrice ottenuta dall'originale $A$ eliminando la stessa $i$-esima riga e $j$-esima colonna.
Ancora. Il complemento algebrico all'elemento di matrice con coordinate $\left(i;j \right)$ è indicato come $((A)_(ij))$ e viene calcolato secondo lo schema:
La stessa matrice $M_(ij)^(*)$ è chiamata minore complementare dell'elemento $((a)_(ij))$. E in questo senso, la precedente definizione di complemento algebrico è un caso speciale di un di più definizione complessa- cosa abbiamo considerato nella lezione sul determinante.
Nota importante. In realtà, nella matematica "adulta", le addizioni algebriche sono definite come segue:
- Prendiamo $k$ righe e $k$ colonne in una matrice quadrata. Alla loro intersezione, otteniamo una matrice di dimensione $\left[ k\times k \right]$ — il suo determinante è chiamato minore di ordine $k$ ed è indicato con $((M)_(k))$.
- Quindi eliminiamo queste righe $k$ "selezionate" e colonne $k$. Di nuovo, otteniamo una matrice quadrata - il suo determinante è chiamato minore complementare ed è indicato con $M_(k)^(*)$.
- Moltiplica $M_(k)^(*)$ per $((\left(-1 \right))^(t))$, dove $t$ è (attenzione ora!) la somma dei numeri di tutte le righe selezionate e colonne. Questa sarà l'addizione algebrica.
Dai un'occhiata al terzo passaggio: in realtà c'è una somma di termini da $ 2k $! Un'altra cosa è che per $k=1$ otteniamo solo 2 termini - questi saranno gli stessi $i+j$ - le "coordinate" dell'elemento $((a)_(ij))$, per cui siamo alla ricerca di un complemento algebrico.
Quindi oggi usiamo una definizione leggermente semplificata. Ma come vedremo più avanti, sarà più che sufficiente. Molto più importante è quanto segue:
Definizione. La matrice di unione $S$ alla matrice quadrata $A=\left[ n\times n \right]$ è una nuova matrice di dimensione $\left[ n\times n \right]$, che si ottiene da $A$ sostituendo $(( a)_(ij))$ con complementi algebrici $((A)_(ij))$:
\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]
Il primo pensiero che sorge al momento di realizzare questa definizione è "questo è quanto devi contare in totale!" Rilassati: devi contare, ma non così tanto. :)
Bene, tutto questo è molto bello, ma perché è necessario? Ma perché.
Torniamo un po' indietro. Ricordiamo che il Lemma 3 afferma che una matrice invertibile $A$ è sempre non singolare (ovvero il suo determinante è diverso da zero: $\left| A \right|\ne 0$).
Quindi vale anche il viceversa: se la matrice $A$ non è degenere, allora è sempre invertibile. E c'è anche uno schema di ricerca $((A)^(-1))$. Controlla:
Teorema della matrice inversa. Sia data una matrice quadrata $A=\left[ n\times n \right]$ e il suo determinante sia diverso da zero: $\left| A \right|\ne 0$. Quindi la matrice inversa $((A)^(-1))$ esiste ed è calcolata con la formula:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
E ora - lo stesso, ma con una calligrafia leggibile. Per trovare la matrice inversa occorre:
E questo è tutto! Viene trovata la matrice inversa $((A)^(-1))$. Diamo un'occhiata agli esempi:
\[\left[ \begin(matrice) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrice) \right]\]
Soluzione. Controlliamo la reversibilità. Calcoliamo il determinante:
\[\sinistra| A \destra|=\sinistra| \begin(matrice) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrice) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Il determinante è diverso da zero. Quindi la matrice è invertibile. Creiamo una matrice di unione:
Calcoliamo le addizioni algebriche:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\destra|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\destra|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \destra|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\destra|=3. \\ \end(align)\]
Attenzione: determinanti |2|, |5|, |1| e |3| sono le determinanti di matrici di dimensione $\left[ 1\times 1 \right]$, non moduli. Quelli. se c'erano numeri negativi nei determinanti, non è necessario rimuovere il "meno".
In totale, la nostra matrice di unione si presenta così:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]
OK è tutto finito ora. Problema risolto.
Risposta. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$
Un compito. Trova la matrice inversa:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]
Soluzione. Consideriamo ancora il determinante:
\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrice ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\sinistra(2+1+0 \right)-\sinistra(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
Il determinante è diverso da zero: la matrice è invertibile. Ma ora sarà il più metallico: devi contare fino a 9 (nove, dannazione!) Addizioni algebriche. E ognuno di essi conterrà il qualificatore $\left[ 2\times 2 \right]$. Volò:
\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrice) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrice) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrice) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrice) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrice) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrice) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrice) \right|=2; \\ \end(matrice)\]
In breve, la matrice dell'unione sarà simile a questa:
La matrice inversa sarà quindi:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]
Bene, questo è tutto. Ecco la risposta.
Risposta. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$
Come puoi vedere, alla fine di ogni esempio, abbiamo eseguito un controllo. A questo proposito una nota importante:
Non essere pigro per controllare. Moltiplica la matrice originale per l'inverso trovato: dovresti ottenere $E$.
È molto più facile e veloce eseguire questo controllo piuttosto che cercare un errore in ulteriori calcoli, quando, ad esempio, risolvi un'equazione matriciale.
Come ho detto, il teorema della matrice inversa funziona bene per le dimensioni $\left[ 2\times 2 \right]$ e $\left[ 3\times 3 \right]$ (in quest'ultimo caso, non è così "bello" più)."), ma per le matrici grandi formati inizia la tristezza.
Ma non preoccuparti: esiste un algoritmo alternativo che può essere utilizzato per trovare tranquillamente l'inversa anche per la matrice $\left[ 10\times 10 \right]$. Ma, come spesso accade, per considerare questo algoritmo, abbiamo bisogno di un piccolo background teorico.
Tra le varie trasformazioni della matrice ce ne sono diverse speciali: sono chiamate elementari. Ci sono esattamente tre di queste trasformazioni:
Perché queste trasformazioni sono chiamate elementari (per matrici grandi non sembrano così elementari) e perché ce ne sono solo tre - queste domande esulano dallo scopo della lezione di oggi. Pertanto, non entreremo nei dettagli.
Un'altra cosa è importante: dobbiamo eseguire tutte queste perversioni sulla matrice associata. Sì, sì, hai sentito bene. Ora ci sarà un'altra definizione, l'ultima nella lezione di oggi.
Sicuramente a scuola hai risolto sistemi di equazioni usando il metodo dell'addizione. Bene, lì, sottrai un altro da una riga, moltiplica una riga per un numero - tutto qui.
Quindi: ora tutto sarà uguale, ma già "in modo adulto". Pronto?
Definizione. Sia data la matrice $A=\left[ n\times n \right]$ e matrice identità$E$ ha le stesse dimensioni di $n$. Quindi la matrice associata $\left[ A\left| E\giusto. \right]$ è una nuova matrice $\left[ n\times 2n \right]$ simile a questa:
\[\sinistra[ A\sinistra| E\giusto. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]
In breve, prendiamo la matrice $A$, a destra le assegniamo la matrice identità $E$ della dimensione richiesta, le separiamo con una barra verticale per la bellezza - ecco quella allegata. :)
Qual è il trucco? Ed ecco cosa:
Teorema. Sia la matrice $A$ invertibile. Consideriamo la matrice aggiunta $\left[ A\left| E\giusto. \destra]$. Se si utilizza trasformazioni elementari di stringa portalo nella forma $\left[ E\left| Luminosa. \destra]$, cioè moltiplicando, sottraendo e riordinando le righe per ottenere da $A$ la matrice $E$ a destra, allora la matrice $B$ ottenuta a sinistra è l'inversa di $A$:
\[\sinistra[ A\sinistra| E\giusto. \destra]\a \sinistra[ E\sinistra| Luminosa. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]
È così semplice! In breve, l'algoritmo per trovare la matrice inversa si presenta così:
Certo, molto più facile a dirsi che a farsi. Quindi diamo un'occhiata a un paio di esempi: per le dimensioni $\left[ 3\times 3 \right]$ e $\left[ 4\times 4 \right]$.
Un compito. Trova la matrice inversa:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]
Soluzione. Componiamo la matrice allegata:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Poiché l'ultima colonna della matrice originale è piena di quelli, sottrai la prima riga dal resto:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Non ci sono più unità, ad eccezione della prima riga. Ma non lo tocchiamo, altrimenti le unità appena rimosse inizieranno a "moltiplicarsi" nella terza colonna.
Ma possiamo sottrarre la seconda riga due volte dall'ultima: otteniamo un'unità nell'angolo in basso a sinistra:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Ora possiamo sottrarre l'ultima riga dalla prima e due volte dalla seconda - in questo modo azzereremo la prima colonna:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ a \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Moltiplica la seconda riga per −1, quindi sottraila 6 volte dalla prima e aggiungi 1 volta all'ultima:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrice)\a \\ & \a \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Resta solo da scambiare le righe 1 e 3:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]
Pronto! Sulla destra è la matrice inversa richiesta.
Risposta. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$
Un compito. Trova la matrice inversa:
\[\left[ \begin(matrice) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\fine(matrice) \destra]\]
Soluzione. Ancora una volta componiamo quello allegato:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Prendiamone in prestito un po', preoccupiamoci di quanto dobbiamo contare adesso... e iniziamo a contare. Per cominciare, "azzeriamo" la prima colonna sottraendo la riga 1 dalle righe 2 e 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 e 2 e 3 e 1 e 0 e 0 e 0 \\ 0 e -6 e -1 e -5 e -1 e 1 e 0 e 0 \\ 0 e -5 e -1 e -2 e -1 e 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Osserviamo troppi "svantaggi" nelle righe 2-4. Moltiplica tutte e tre le righe per −1, quindi brucia la terza colonna sottraendo la riga 3 dal resto:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \sinistra| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \sinistra| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Ora è il momento di "friggere" l'ultima colonna della matrice originale: sottrai la riga 4 dal resto:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Lancio finale: "brucia" la seconda colonna sottraendo la riga 2 dalla riga 1 e 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
E ancora, la matrice identità a sinistra, quindi l'inverso a destra. :)
Risposta. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\fine(matrice) \destra]$
Una matrice inversa per una data è tale matrice, moltiplicazione di quella originaria per la quale si ottiene una matrice identità: Condizione obbligatoria e sufficiente per la presenza di una matrice inversa è la disuguaglianza del determinante di quella originaria (che a sua volta implica che la matrice deve essere quadrata). Se il determinante di una matrice è uguale a zero, allora si chiama degenere e tale matrice non ha inverso. A matematica superiore matrici inverse hanno importanza e sono usati per risolvere una serie di problemi. Ad esempio, su trovare la matrice inversa viene costruito un metodo matriciale per la risoluzione di sistemi di equazioni. Il nostro sito di servizio lo consente calcolare la matrice inversa online due metodi: il metodo di Gauss-Jordan e l'utilizzo della matrice delle addizioni algebriche. Il primo implica un gran numero di trasformazioni elementari all'interno della matrice, il secondo - il calcolo delle aggiunte determinanti e algebriche a tutti gli elementi. Per calcolare il determinante di una matrice online, puoi utilizzare il nostro altro servizio - Calcolo del determinante di una matrice online
.sito web ti permette di trovare matrice inversa online veloce e gratuito. Sul sito, i calcoli vengono effettuati dal nostro servizio e il risultato viene visualizzato con soluzione dettagliata per posizione matrice inversa. Il server fornisce sempre solo la risposta esatta e corretta. Nei compiti per definizione matrice inversa online, è necessario che il determinante matrici era diverso da zero, altrimenti sito web riporterà l'impossibilità di trovare la matrice inversa dovuta al fatto che il determinante della matrice originaria è uguale a zero. Compito di ricerca matrice inversa trovato in molti rami della matematica, essendo uno dei concetti più basilari dell'algebra e uno strumento matematico nei problemi applicati. Indipendente definizione di matrice inversa richiede uno sforzo notevole, molto tempo, calcoli e molta cura per non fare una sbavatura o un piccolo errore nei calcoli. Pertanto, il nostro servizio trovare la matrice inversa online faciliterà notevolmente il tuo compito e diventerà uno strumento indispensabile per risolvere problemi matematici. Anche se tu trovare la matrice inversa te stesso, ti consigliamo di controllare la tua soluzione sul nostro server. Inserisci la tua matrice originale sul nostro Calculate Inverse Matrix Online e controlla la tua risposta. Il nostro sistema non sbaglia mai e trova matrice inversa data dimensione nella modalità in linea immediatamente! Sul posto sito web le voci di carattere sono consentite negli elementi matrici, in questo caso matrice inversa online sarà presentato in forma simbolica generale.
Metodi per trovare la matrice inversa, . Considera una matrice quadrata
Indichiamo Δ = det A.
Si chiama la matrice quadrata A non degenerato, o non speciale se il suo determinante è diverso da zero, e degenerare, o speciale, SeΔ = 0.
Una matrice quadrata B esiste per una matrice quadrata A dello stesso ordine se il loro prodotto A B = B A = E, dove E è la matrice identità dello stesso ordine delle matrici A e B.
Teorema . Affinché la matrice A abbia una matrice inversa, è necessario e sufficiente che il suo determinante sia diverso da zero.
Matrice inversa alla matrice A, indicata con A- 1 quindi B = A - 1 ed è calcolato dalla formula
, (1)
dove А i j - complementi algebrici degli elementi a i j della matrice A..
Il calcolo di A -1 mediante la formula (1) per matrici di ordine elevato è molto laborioso, quindi in pratica è conveniente trovare A -1 utilizzando il metodo delle trasformazioni elementari (EP). Qualsiasi matrice A non singolare può essere ridotta dall'EP di sole colonne (o solo righe) alla matrice identità E. Se gli EP eseguiti sulla matrice A vengono applicati nello stesso ordine alla matrice identità E, allora il risultato è una matrice inversa. È conveniente eseguire un EP sulle matrici A ed E contemporaneamente, scrivendo entrambe le matrici una accanto all'altra attraverso la riga. Notiamo ancora una volta che quando si cerca la forma canonica di una matrice, per trovarla, si possono usare trasformazioni di righe e colonne. Se devi trovare la matrice inversa, dovresti usare solo righe o solo colonne nel processo di trasformazione.
Esempio 2.10. Per matrice 
trova A -1 .
Soluzione.Per prima cosa troviamo il determinante della matrice A 
quindi la matrice inversa esiste e possiamo trovarla con la formula: 
, dove A i j (i,j=1,2,3) - complementi algebrici degli elementi a i j della matrice originale. 
Dove 
.
Esempio 2.11. Usando il metodo delle trasformazioni elementari, trova A -1 per la matrice: A=.
Soluzione.Assegniamo una matrice identità dello stesso ordine alla matrice originale sulla destra: 
. Con l'aiuto di trasformazioni elementari di colonna, riduciamo la "metà" sinistra a quella dell'identità, eseguendo contemporaneamente esattamente tali trasformazioni sulla matrice destra.
Per fare ciò, scambia la prima e la seconda colonna: 
~
. Aggiungiamo il primo alla terza colonna e il primo moltiplicato per -2 alla seconda: 
. Dalla prima colonna sottraiamo il secondo raddoppiato e dalla terza il secondo moltiplicato per 6; 
. Aggiungiamo la terza colonna alla prima e alla seconda: 
. Moltiplica l'ultima colonna per -1: 
. La matrice quadrata ottenuta a destra della barra verticale è la matrice inversa della data matrice A. Quindi,
.
Definizione 1: Una matrice si dice degenere se il suo determinante è zero.
Definizione 2: Una matrice si dice non singolare se il suo determinante non è uguale a zero.
Viene chiamata la matrice "A". matrice inversa, se la condizione A*A-1 = A-1 *A = E (matrice identità) è soddisfatta.
Una matrice quadrata è invertibile solo se è non singolare.
Schema per il calcolo della matrice inversa:
1) Calcolare il determinante della matrice "A" if ∆ A = 0, allora la matrice inversa non esiste.
2) Trova tutti i complementi algebrici della matrice "A".
3) Comporre una matrice di addizioni algebriche (Aij )
4) Trasporre la matrice dei complementi algebrici (Aij )T
5) Moltiplicare la matrice trasposta per il reciproco del determinante di questa matrice.
6) Esegui un controllo:
A prima vista può sembrare difficile, ma in realtà è tutto molto semplice. Tutte le soluzioni si basano su semplici operazioni aritmetiche, l'importante quando si risolve non è confondersi con i segni "-" e "+" e non perderli.
E ora risolviamo insieme a te un compito pratico calcolando la matrice inversa.
Compito: trova la matrice inversa "A", mostrata nell'immagine qui sotto:
1. La prima cosa da fare è trovare il determinante della matrice "A":
Spiegazione:
Abbiamo semplificato il nostro determinante utilizzando le sue funzioni principali. Per prima cosa, abbiamo aggiunto alla 2a e 3a riga gli elementi della prima riga, moltiplicati per un numero.
In secondo luogo, abbiamo cambiato la 2a e la 3a colonna del determinante e, in base alle sue proprietà, abbiamo cambiato il segno davanti ad essa.
In terzo luogo, abbiamo tolto il fattore comune (-1) della seconda riga, cambiando di nuovo il segno, ed è diventato positivo. Abbiamo anche semplificato la riga 3 allo stesso modo dell'inizio dell'esempio.
Abbiamo un determinante triangolare, in cui gli elementi sotto la diagonale sono uguali a zero, e per la proprietà 7 è uguale al prodotto degli elementi della diagonale. Di conseguenza, abbiamo ottenuto ∆ A = 26, quindi esiste la matrice inversa.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Il passaggio successivo consiste nel compilare una matrice dalle addizioni risultanti:
5. Moltiplichiamo questa matrice per il reciproco del determinante, cioè per 1/26:
6. Bene, ora dobbiamo solo controllare:
Durante la verifica, abbiamo ricevuto una matrice di identità, quindi la decisione è stata presa in modo assolutamente corretto.
2 modi per calcolare la matrice inversa.
1. Trasformazione elementare di matrici
2. Matrice inversa tramite un convertitore elementare.
La trasformazione elementare della matrice include:
1. Moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero.
2. Aggiunta a qualsiasi riga di un'altra riga, moltiplicata per un numero.
3. Scambiare le righe della matrice.
4. Applicando una catena di trasformazioni elementari, otteniamo un'altra matrice.
MA -1 = ?
1. (LA|MI) ~ (MI|LA -1 )
2. A -1*LA=MI
Consideralo acceso esempio pratico con numeri reali.
Esercizio: Trova la matrice inversa.
Soluzione:
Controlliamo:
Un piccolo chiarimento sulla soluzione:
Abbiamo prima scambiato le righe 1 e 2 della matrice, poi abbiamo moltiplicato la prima riga per (-1).
Successivamente, la prima riga è stata moltiplicata per (-2) e aggiunta alla seconda riga della matrice. Quindi abbiamo moltiplicato la seconda riga per 1/4.
La fase finale della trasformazione è stata la moltiplicazione della seconda riga per 2 e l'addizione dalla prima. Di conseguenza, abbiamo una matrice identità a sinistra, quindi la matrice inversa è la matrice a destra.
Dopo aver verificato, eravamo convinti della correttezza della soluzione.
Come puoi vedere, calcolare la matrice inversa è molto semplice.
Nel concludere questa lezione, vorrei dedicare un po' di tempo anche alle proprietà di una tale matrice.
