Il programma per risolvere le disuguaglianze lineari, quadrate e frazionarie non si limita a dare la risposta al problema, ma conduce soluzione dettagliata con spiegazioni, ad es. visualizza il processo di risoluzione al fine di verificare la conoscenza della matematica e/o dell'algebra.
Inoltre, se nel processo di risoluzione di una delle disuguaglianze è necessario risolvere, ad esempio, un'equazione quadratica, viene visualizzata anche la sua soluzione dettagliata (è inclusa nello spoiler).
Questo programma può essere utile per gli studenti delle scuole superiori in preparazione lavoro di controllo, genitori a controllare la soluzione delle disuguaglianze da parte dei figli.
Questo programma può essere utile per gli studenti delle scuole superiori in preparazione a test ed esami, durante la verifica delle conoscenze prima dell'Esame di Stato Unificato, per i genitori per controllare la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? O vuoi semplicemente farlo il prima possibile? compiti a casa matematica o algebra? In questo caso, puoi anche utilizzare i nostri programmi con una soluzione dettagliata.
In questo modo, puoi condurre la tua formazione e/o la formazione dei tuoi fratelli o sorelle più piccoli, mentre aumenta il livello di istruzione nel campo dei compiti da risolvere.
Regole per l'inserimento delle disuguaglianze
Qualsiasi lettera latina può fungere da variabile.
Ad esempio: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ecc.
I numeri possono essere inseriti come numeri interi o frazioni.
Inoltre, i numeri frazionari possono essere inseriti non solo sotto forma di decimale, ma anche sotto forma di frazione ordinaria.
Regole per l'inserimento delle frazioni decimali.
Nelle frazioni decimali, la parte frazionaria dall'intero può essere separata da un punto o da una virgola.
Ad esempio, puoi entrare decimali quindi: 2,5x - 3,5x^2
Regole per l'inserimento delle frazioni ordinarie.
Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.
Il denominatore non può essere negativo.
Quando si inserisce una frazione numerica, il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: /
La parte intera è separata dalla frazione da una e commerciale: &
Ingresso: 3&1/3 - 5&6/5a +1/7a^2
Risultato: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Le parentesi possono essere utilizzate quando si immettono espressioni. In questo caso, quando si risolve la disuguaglianza, le espressioni vengono prima semplificate.
Per esempio: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3)
Selezionare segno desiderato disuguaglianze e inserire i polinomi nei campi sottostanti.
Risolvere il sistema di disuguaglianze È stato riscontrato che alcuni script necessari per risolvere questa attività non sono stati caricati e il programma potrebbe non funzionare.
Potresti avere AdBlock abilitato.
In questo caso, disabilitalo e aggiorna la pagina.
Perché Ci sono molte persone che vogliono risolvere il problema, la tua richiesta è in coda.
Dopo alcuni secondi, la soluzione apparirà sotto.
Aspetta per favore sec...
Se tu notato un errore nella soluzione, quindi puoi scrivere a riguardo nel modulo di feedback .
Non dimenticare indicare quale compito tu decidi cosa entrare nei campi.
I nostri giochi, puzzle, emulatori:
Hai familiarizzato con il concetto di sistema in seconda media e hai imparato a risolvere sistemi di equazioni lineari con due incognite. Successivamente verranno considerati i sistemi di disequazioni lineari ad una incognita. Gli insiemi di soluzione dei sistemi di disuguaglianze possono essere scritti utilizzando intervalli (intervalli, semiintervalli, segmenti, raggi). Imparerai anche la notazione degli intervalli numerici.
Se nelle disuguaglianze \(4x > 2000 \) e \(5x \leq 4000 \) il numero incognito x è lo stesso, allora queste disuguaglianze vengono considerate insieme e si dice che formano un sistema di disuguaglianze: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$
La parentesi graffa mostra che è necessario trovare tali valori di x per i quali entrambe le disuguaglianze del sistema si trasformano in vere disuguaglianze numeriche. Questo sistema è un esempio di un sistema di disuguaglianze lineari con una incognita.
La soluzione di un sistema di disuguaglianze con una incognita è il valore dell'incognita al quale tutte le disuguaglianze del sistema si trasformano in vere disuguaglianze numeriche. Risolvere un sistema di disuguaglianze significa trovare tutte le soluzioni di questo sistema o stabilire che non ce ne sono.
Le disuguaglianze \(x \geq -2 \) e \(x \leq 3 \) possono essere scritte come una doppia disuguaglianza: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Le soluzioni ai sistemi di disuguaglianze con una incognita sono varie insiemi di numeri. Questi set hanno nomi. Quindi, sull'asse reale, l'insieme dei numeri x tali che \(-2 \leq x \leq 3 \) è rappresentato da un segmento che termina nei punti -2 e 3.
| -2 | 3 |
Se \(a è un segmento ed è denotato da [a; b]
Se \(un intervallo e indicato con (a; b)
Insiemi di numeri \(x \) che soddisfano le disuguaglianze \(a \leq x per semiintervalli e sono indicati rispettivamente con [a; b) e (a; b]
Vengono chiamati segmenti, intervalli, semiintervalli e raggi intervalli numerici.
Pertanto, gli intervalli numerici possono essere specificati sotto forma di disuguaglianze.
Una soluzione a una disuguaglianza con due incognite è una coppia di numeri (x; y) che trasforma questa disuguaglianza in una vera disuguaglianza numerica. Risolvere una disuguaglianza significa trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni. Quindi, le soluzioni della disuguaglianza x > y saranno, ad esempio, coppie di numeri (5; 3), (-1; -1), poiché \(5 \geq 3 \) e \(-1 \geq - 1\)
Hai già imparato a risolvere le disuguaglianze lineari con un'incognita. Sapere cosa sono un sistema di disuguaglianze e una soluzione del sistema. Pertanto, il processo di risoluzione dei sistemi di disuguaglianze con uno sconosciuto non ti causerà alcuna difficoltà.
Eppure ricordiamo: per risolvere un sistema di disuguaglianze, è necessario risolvere ciascuna disuguaglianza separatamente, quindi trovare l'intersezione di queste soluzioni.
Ad esempio, il sistema originario delle disuguaglianze è stato ridotto alla forma:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Per risolvere questo sistema di disuguaglianze, segna la soluzione di ciascuna disuguaglianza sull'asse reale e trova la loro intersezione:
| -2 | 3 |
L'intersezione è il segmento [-2; 3] - questa è la soluzione del sistema originario di disuguaglianze.
Argomento della lezione: Risoluzione di un sistema di disuguaglianze lineari con una variabile
L'appuntamento: _______________
Classe: 6a, 6b, 6c
Tipo di lezione: apprendimento di nuovo materiale e consolidamento primario.
Obiettivo didattico: creare le condizioni per comprendere e comprendere il blocco di nuove informazioni educative.
Obiettivi: 1) Educativo: introdurre concetti: soluzione di sistemi di disequazioni, sistemi equivalenti di disequazioni e loro proprietà; insegnare come applicare questi concetti quando si risolvono i più semplici sistemi di disequazioni con una variabile.
2) Sviluppare: promuovere lo sviluppo di elementi di attività creativa e indipendente degli studenti; sviluppare la parola, la capacità di pensare, analizzare, riassumere, esprimere i propri pensieri in modo chiaro, conciso.
3) Educativo: promuovere un atteggiamento rispettoso gli uni verso gli altri e un atteggiamento responsabile nei confronti del lavoro educativo.
Compiti:
ripetere la teoria sul tema delle disuguaglianze numeriche e dei gap numerici;
fare un esempio di un problema risolto da un sistema di disuguaglianze;
considerare esempi di risoluzione di sistemi di disuguaglianze;
svolgere un lavoro indipendente.
Forme di organizzazione attività didattiche: - frontale - collettivo - individuale.
Metodi: esplicativo - illustrativo.
Piano della lezione:
1. Momento organizzativo, motivazione, definizione degli obiettivi
2. Aggiornamento dello studio dell'argomento
3. Imparare nuovo materiale
4. Fissazione primaria e applicazione di nuovo materiale
5. Esecuzione lavoro indipendente
7. Riassumendo la lezione. Riflessione.
Durante le lezioni:
1. Momento organizzativo
La disuguaglianza può essere un buon aiuto. Devi solo sapere quando chiamare i soccorsi. Il linguaggio delle disuguaglianze è spesso usato per formulare problemi in molte applicazioni della matematica. Ad esempio, molti problemi economici sono ridotti allo studio di sistemi di disuguaglianze lineari. Pertanto, è importante essere in grado di risolvere sistemi di disuguaglianze. Cosa significa “risolvere il sistema delle disuguaglianze”? Questo è ciò che tratteremo nella lezione di oggi.
2. Attualizzazione della conoscenza.
lavoro orale con la classe tre studenti lavorano su schede individuali.
Per ripetere la teoria dell'argomento "Disuguaglianze e loro proprietà", condurremo dei test, seguiti da un test e da una conversazione sulla teoria di questo argomento. Ogni attività di test prevede la risposta "Sì" - una cifra, "No" - una cifra ____
Come risultato del test, dovrebbe essere ottenuta una cifra.
(Rispondere: ).
Stabilire una corrispondenza tra disuguaglianza e scarto numerico
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
"La matematica ci insegna a superare le difficoltà e correggere i nostri stessi errori." Trova un errore nel risolvere la disuguaglianza, spiega perché è stato commesso l'errore, annota la soluzione corretta sul tuo quaderno.
2x<8-6
x>-1
3. Imparare nuovo materiale.
Come pensi si chiami la soluzione di un sistema di disuguaglianze?
(La soluzione di un sistema di disuguaglianze con una variabile è il valore della variabile per la quale ciascuna delle disuguaglianze del sistema è vera)
Cosa significa "Risolvere un sistema di disuguaglianze"?
(Risolvere un sistema di disuguaglianze significa trovare tutte le sue soluzioni o dimostrare che non ci sono soluzioni)
Cosa si dovrebbe fare per rispondere alla domanda "È il numero dato
una soluzione a un sistema di disuguaglianze?
(Sostituisci questo numero in entrambe le disuguaglianze del sistema, se si ottengono disuguaglianze corrette, allora il numero dato è una soluzione del sistema di disuguaglianze, se si ottengono disuguaglianze errate, allora il numero dato non è una soluzione del sistema di disuguaglianze)
Formulare un algoritmo per risolvere sistemi di disuguaglianze
1. Risolvi ogni disuguaglianza del sistema.
2. Disegna graficamente le soluzioni di ogni disuguaglianza sulla linea delle coordinate.
3. Trova l'intersezione delle soluzioni delle disuguaglianze sulla linea delle coordinate.
4. Annotare la risposta come intervallo numerico.
Considera esempi:
Risposta: 
Risposta: nessuna soluzione
4. Fissare l'argomento.
Lavorare con il libro di testo n. 1016, n. 1018, n. 1022
5. Lavoro indipendente per opzioni (Carte-compiti per gli studenti sui tavoli)
Lavoro indipendente
opzione 1
Risolvi il sistema di disuguaglianze:
L'argomento della lezione è "Risolvere le disuguaglianze e i loro sistemi" (matematica grado 9)
Tipo di lezione: lezione di sistematizzazione e generalizzazione di conoscenze e abilità
Tecnologia della lezione: tecnologia di sviluppo pensiero critico, apprendimento differenziato, tecnologie ICT
Lo scopo della lezione: ripetere e sistematizzare la conoscenza delle proprietà delle disuguaglianze e dei metodi per risolverle, creare le condizioni per la formazione di abilità per applicare questa conoscenza nella risoluzione di problemi standard e creativi.
Compiti.
Educativo:
promuovere lo sviluppo delle capacità degli studenti riassumere le conoscenze acquisite, analizzare, sintetizzare, confrontare, trarre le necessarie conclusioni
organizzare le attività degli studenti per applicare nella pratica le conoscenze acquisite
promuovere lo sviluppo delle capacità di applicare le conoscenze acquisite in condizioni non standard
Sviluppando:
continua a modellare pensiero logico, attenzione e memoria;
migliorare le capacità di analisi, sistematizzazione, generalizzazione;
creare condizioni che assicurino la formazione di capacità di autocontrollo negli studenti;
promuovere l'acquisizione delle competenze necessarie per attività di apprendimento autonomo.
Educativo:
coltivare disciplina e compostezza, responsabilità, indipendenza, atteggiamento critico verso se stessi, attenzione.
Risultati educativi pianificati.
Personale: atteggiamento responsabile nei confronti dell'apprendimento e competenza comunicativa nella comunicazione e cooperazione con i pari nel processo attività educative.
cognitivo: la capacità di definire concetti, creare generalizzazioni, scegliere autonomamente i motivi e i criteri per la classificazione, costruire ragionamenti logici, trarre conclusioni;
Normativa: la capacità di identificare potenziali difficoltà nel risolvere un compito educativo e cognitivo e trovare i mezzi per eliminarle, per valutare i loro risultati
Comunicativo: la capacità di esprimere giudizi utilizzando termini e concetti matematici, formulare domande e risposte nel corso dell'incarico, condividere conoscenze tra i membri del gruppo per prendere efficaci decisioni congiunte.
Termini di base, concetti: disuguaglianza lineare, disuguaglianza quadratica, sistema di disequazioni.
Attrezzatura
Proiettore, laptop dell'insegnante, diversi netbook per gli studenti;
Presentazione;
Schede con conoscenze e abilità di base sull'argomento della lezione (Appendice 1);
Carte con lavoro indipendente (Appendice 2).
Piano della lezione
| Durante le lezioni |
|||
| Fasi tecnologiche. Obbiettivo. | Attività dell'insegnante | Attività degli studenti | |
| Componente introduttivo-motivazionale |
|||
| 1.Organizzativa Obbiettivo: preparazione psicologica alla comunicazione. | Ciao. Bello vedervi tutti. Siediti. Controlla se tutto è pronto per la lezione. Se va tutto bene, allora guardami. | Ciao. Controlla gli accessori. Prepararsi per il lavoro. | Personale. Si forma un atteggiamento responsabile nei confronti dell'insegnamento. |
| 2.Aggiornamento delle conoscenze (2 min) Scopo: identificare le singole lacune nelle conoscenze sull'argomento | L'argomento della nostra lezione è "Risolvere le disuguaglianze con una variabile e i loro sistemi". (diapositiva 1) Ecco un elenco di conoscenze e abilità di base sull'argomento. Valuta le tue conoscenze e abilità. Disporre le icone appropriate. (diapositiva 2) | Valutare le proprie conoscenze e abilità. (Allegato 1) | Normativo Autovalutazione delle tue conoscenze e abilità |
| 3. Motivazione (2 minuti) Scopo: fornire attività per determinare gli obiettivi della lezione . | Nel lavoro dell'OGE in matematica, diverse domande sia della prima che della seconda parte determinano la capacità di risolvere le disuguaglianze. Cosa dobbiamo ripetere nella lezione per far fronte con successo a questi compiti? | Discuti, chiama le domande per la ripetizione. | cognitivo. Identificare e formulare un obiettivo cognitivo. |
| Fase di riflessione (componente di contenuto) |
|||
| 4.Autovalutazione e scelta della traiettoria (1-2 minuti) | A seconda di come hai valutato le tue conoscenze e abilità sull'argomento, scegli la forma di lavoro nella lezione. Puoi lavorare con tutta la classe con me. Puoi lavorare individualmente sui netbook, seguendo i miei consigli, o in coppia, aiutandoti a vicenda. | Determinato con un percorso di apprendimento individuale. Scambia se necessario. | Normativo identificare potenziali difficoltà nel risolvere compiti educativi e cognitivi e trovare i mezzi per eliminarli |
| 5-7 Lavorare in coppia o individualmente (25 min) | L'insegnante consiglia agli studenti di lavorare in modo indipendente. | Gli studenti che conoscono bene l'argomento lavorano individualmente o in coppia con una presentazione (diapositive 4-10) Svolgono compiti (diapositive 6.9). | cognitivo la capacità di definire concetti, creare generalizzazioni, costruire una catena logica Normativo la capacità di determinare azioni in accordo con il compito educativo e cognitivo Comunicativo la capacità di organizzare la cooperazione educativa e attività congiunte, lavorare con una fonte di informazioni Personale atteggiamento responsabile nei confronti dell'apprendimento, prontezza e capacità di autosviluppo e autoeducazione |
| 5. Soluzione di disuguaglianze lineari. (10 minuti) | Quali proprietà delle disuguaglianze usiamo per risolverle? Riesci a distinguere tra disuguaglianze lineari, quadratiche e i loro sistemi? (diapositiva 5) Come risolvere una disuguaglianza lineare? Esegui la soluzione. (diapositiva 6) L'insegnante segue la decisione alla lavagna. Controlla se la soluzione è corretta. | Nominano le proprietà delle disuguaglianze, dopo aver risposto o in caso di difficoltà, l'insegnante apre la diapositiva 4. sono chiamati caratteristiche disuguaglianze. Utilizzo delle proprietà delle disuguaglianze. Uno studente risolve la disuguaglianza n. 1 alla lavagna. Il resto è nei quaderni, a seguito della decisione del convenuto. Le disuguaglianze n. 2 e 3 vengono eseguite indipendentemente. Verificare con la risposta preparata. | cognitivo Comunicativo |
| 6. Soluzione di disuguaglianze quadratiche. (10 minuti) | Come risolvere la disuguaglianza? Cos'è questa disuguaglianza? Quali metodi vengono utilizzati per risolvere le disuguaglianze quadratiche? Richiama il metodo della parabola (diapositiva 7) L'insegnante ricorda i passaggi per risolvere una disuguaglianza. Il metodo dell'intervallo viene utilizzato per risolvere le disuguaglianze del secondo o più alti gradi. (diapositiva 8) Per risolvere le disuguaglianze quadratiche, puoi scegliere un metodo conveniente per te. Risolvi le disuguaglianze. (diapositiva 9). L'insegnante controlla l'avanzamento della soluzione, ricorda i modi per risolvere incompleti equazioni quadratiche. L'insegnante consiglia gli studenti che lavorano individualmente. | Risposta: Disuguaglianza quadrata risolviamo con il metodo della parabola o con il metodo dell'intervallo. Gli studenti seguono la decisione sulla presentazione. Alla lavagna, gli studenti, a turno, risolvono le disuguaglianze n. 1 e 2. Controlla con la risposta. (per risolvere il nervo-va n. 2, è necessario ricordare il modo di risolvere equazioni quadratiche incomplete). La disuguaglianza n. 3 viene risolta in modo indipendente, verificata con la risposta. | cognitivo la capacità di definire concetti, creare generalizzazioni, costruire ragionamenti da modelli generali a soluzioni particolari Comunicativo capacità di presentare oralmente e scrivere piano dettagliato della propria attività; |
| 7. Risolvere sistemi di disequazioni (4-5 minuti) | Ricorda i passaggi necessari per risolvere un sistema di disuguaglianze. Risolvi il sistema (Diapositiva 10) | Assegna un nome alle fasi della soluzione Lo studente decide alla lavagna, controlla con la soluzione sulla diapositiva. | |
| Fase riflessivo-valutativa |
|||
| 8. Controllo e verifica delle conoscenze (10 minuti) Scopo: identificare la qualità di assimilazione del materiale. | Mettiamo alla prova le tue conoscenze sull'argomento. Risolvi compiti da solo. L'insegnante controlla il risultato in base alle risposte preparate. | Eseguire un lavoro indipendente sulle opzioni (Appendice 2) Dopo aver completato il lavoro, lo studente lo riferisce all'insegnante. Lo studente determina il suo voto in base ai criteri (diapositiva 11). Dopo aver completato con successo il lavoro, può procedere a un'attività aggiuntiva (diapositiva 11) | cognitivo. Costruisci catene logiche di ragionamento. |
| 9. Riflessione (2 min) Scopo: si forma un'adeguata autovalutazione delle proprie capacità e abilità, vantaggi e limiti | C'è un miglioramento nei risultati? Se hai ancora domande, fai riferimento al libro di testo a casa (p. 120) | Valutano le proprie conoscenze e abilità sullo stesso foglio di carta (Appendice 1). Confronta con l'autostima all'inizio della lezione, trai conclusioni. | Normativo Autovalutazione dei tuoi risultati |
| 10. Compiti a casa (2 min) Scopo: consolidamento del materiale studiato. | Determina i compiti in base ai risultati del lavoro indipendente (diapositiva 13) | Determinare e registrare un compito individuale | cognitivo. Costruisci catene logiche di ragionamento. Produrre analisi e trasformazione delle informazioni. |
Elenco della letteratura usata: Algebra. Libro di testo per la classe 9. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Illuminismo, 2014
Istituto scolastico di bilancio comunale
"Media scuola comprensiva №26
con approfondimento delle singole materie”
città di Nizhnekamsk, Repubblica del Tatarstan
Riassunto della lezione di matematica
in 8a elementare
Risoluzione di disuguaglianze con una variabile
e i loro sistemi
preparato
insegnante di matematica
primo categoria di qualificazione
Kungurova Gulnaz Rafaelovna
Nižnekamsk 2014
Schema piano lezione
Insegnante: Kungurova G.R.
Oggetto: matematica
Argomento: "Soluzione di disuguaglianze lineari con una variabile e loro sistemi".
Grado: 8B
Data: 04/10/2014
Tipo di lezione: lezione di generalizzazione e sistematizzazione del materiale studiato.
Lo scopo della lezione: consolidamento di abilità pratiche e abilità nella risoluzione di disuguaglianze con una variabile e dei loro sistemi, disuguaglianze contenenti una variabile sotto il segno del modulo.
Obiettivi della lezione:
Tutorial:
generalizzazione e sistematizzazione delle conoscenze degli studenti su come risolvere le disuguaglianze con una variabile;
estensione della tipologia delle disuguaglianze: disuguaglianze doppie, disuguaglianze contenenti una variabile sotto il segno del modulo, sistemi di disequazioni;
creazione di una connessione interdisciplinare tra matematica, lingua russa, chimica.
Sviluppando:
attivazione dell'attenzione, attività mentale, sviluppo del discorso matematico, interesse cognitivo tra gli studenti;
padroneggiare i metodi ei criteri di autovalutazione e autocontrollo.
Educativo:
educazione all'indipendenza, precisione, capacità di lavorare in gruppo
I principali metodi utilizzati nella lezione: metodo comunicativo, esplicativo-illustrativo, riproduttivo, di controllo programmato.
Attrezzatura:
un computer
presentazione al computer
monoblocchi (eseguendo un test online individuale)
dispense (compiti individuali a più livelli);
fogli di autocontrollo;
Piano della lezione:
1. Momento organizzativo.
4. Lavoro indipendente
5. Riflessione
6. I risultati della lezione.
Durante le lezioni:
1. Momento organizzativo.
(L'insegnante racconta agli studenti gli scopi e gli obiettivi della lezione.).
Oggi affrontiamo un compito molto importante. Dobbiamo riassumere questo argomento. Ancora una volta, sarà necessario elaborare con molta attenzione questioni teoriche, fare calcoli, considerare l'applicazione pratica di questo argomento nel nostro Vita di ogni giorno. E non dobbiamo mai dimenticare come ragioniamo, analizziamo, costruiamo catene logiche. Il nostro discorso deve essere sempre letterato e corretto.
Ognuno di voi ha sulla scrivania un foglio di autocontrollo. Durante tutta la lezione, non dimenticare di contrassegnare con un segno "+" il tuo contributo a questa lezione.
L'insegnante assegna i compiti, commentandoli:
№1026(a,b), n. 1019(c,d); inoltre - n. 1046 (a)
2. Attualizzazione di conoscenze, abilità, abilità
1) Prima di iniziare a svolgere compiti pratici, passiamo alla teoria.
L'insegnante annuncia l'inizio della definizione e gli studenti devono completare la formulazione
a) Una disuguaglianza con una variabile è una disuguaglianza della forma ax>b, ax<в;
b) Risolvere una disuguaglianza significa trovare tutte le sue soluzioni o dimostrare che non ci sono soluzioni;
c) La soluzione di una disuguaglianza con una variabile è il valore della variabile che la trasforma in una vera disuguaglianza;
d) Le disuguaglianze si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Se non hanno soluzioni, allora sono anche chiamati equivalenti
2) Alla lavagna, disuguaglianze con una variabile, disposte in una colonna. E accanto ad essa, in un'altra colonna, le loro soluzioni sono inscritte sotto forma di intervalli numerici. Il compito degli studenti è quello di stabilire una corrispondenza tra disuguaglianze e corrispondenti lacune.
Stabilire una corrispondenza tra disuguaglianze e intervalli numerici:
1. 3x > 6 a) (-∞ ; - 0.2]
2. -5x ≥ 1 b) (- ∞ ; 15)
3. 4x > 3 c) (2; + ∞)
4. 0,2x< 3 г) (0,75; + ∞)
3) Lavoro pratico in un quaderno di autotest.
Alla lavagna gli studenti scrivono una disuguaglianza lineare con una variabile. Dopo aver completato quale degli studenti esprime la sua decisione e corregge gli errori commessi)
Risolvi la disuguaglianza:
4 (2x - 1) - 3 (x + 6) > x;
8x - 4 - 3x - 18 > x;
8x - 3x - x\u003e 4 + 18;
4x > 22;
x > 5,5.
Risposta. (5,5; +∞)
3. Uso pratico disuguaglianze nella vita quotidiana (esperienza chimica)
Le disuguaglianze nella nostra vita quotidiana possono essere buoni aiutanti. E inoltre, ovviamente, esiste un legame inestricabile tra le materie scolastiche. La matematica va fianco a fianco non solo con la lingua russa, ma anche con la chimica.
(Su ogni banco è presente una scala di riferimento per il pH, che va da 0 a 12)
Se il valore è 0 ≤ pH< 7, то среда кислая;
se pH = 7, allora il mezzo è neutro;
se l'indicatore è 7< pH ≤ 12, то среда щелочная
L'insegnante versa 3 soluzioni incolori in diverse provette. Dal corso di chimica, agli studenti viene chiesto di ricordare i tipi di mezzo di soluzione (acido, neutro, alcalino). Inoltre, empiricamente, coinvolgendo gli studenti, viene determinato l'ambiente di ciascuna delle tre soluzioni. Per fare ciò, un indicatore universale viene abbassato in ciascuna soluzione. Succede quanto segue: ogni indicatore è dipinto nel colore corrispondente. E secondo lo schema dei colori, grazie alla scala di riferimento, gli studenti impostano l'ambiente per ciascuna delle soluzioni proposte.
Conclusione:
1 indicatore diventa rosso, valore 0 ≤ pH< 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке
2 l'indicatore è diventato verde, pH = 7, il che significa che il mezzo della seconda soluzione è neutro, cioè avevamo acqua nella provetta 2
Indicatore 3 diventato blu, indicatore 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь
Conoscendo i limiti dell'indicatore di pH, è possibile determinare il livello di acidità del terreno, del sapone e di molti cosmetici.
Aggiornamento continuo di conoscenze, abilità e abilità.
1) Ancora una volta, l'insegnante inizia a formulare definizioni e gli studenti devono completarle
Continua definizioni:
a) Risolvere un sistema di disequazioni lineari significa trovare tutte le sue soluzioni o dimostrare che non ce ne sono
b) La soluzione di un sistema di disuguaglianze con una variabile è il valore della variabile per la quale ciascuna delle disuguaglianze è vera
c) Per risolvere un sistema di disuguaglianze con una variabile, è necessario trovare una soluzione a ciascuna disuguaglianza e trovare l'intersezione di questi intervalli
L'insegnante ricorda ancora agli studenti che la capacità di risolvere le disuguaglianze lineari con una variabile ei loro sistemi è la base, la base per le disuguaglianze più complesse da studiare nelle classi più grandi. Si stanno gettando le basi della conoscenza, la cui forza deve essere confermata all'OGE in matematica dopo il grado 9.
Gli studenti scrivono sui quaderni per risolvere sistemi di disuguaglianze lineari con una variabile. (2 studenti completano questi compiti alla lavagna, spiegano la loro soluzione, esprimono le proprietà delle disuguaglianze utilizzate nella risoluzione dei sistemi).
№1012(e). Risolvi il sistema di disuguaglianze lineari
0,3x+1< 0,4х-2;
1.5x-3 > 1.3x-1. Risposta. (30; +∞).
№1028 (g). Risolvi una doppia disuguaglianza e indica tutti i numeri interi che ne costituiscono la soluzione
1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0
2) Risoluzione di disuguaglianze contenenti una variabile sotto il segno del modulo.
La pratica mostra che le disuguaglianze contenenti una variabile sotto il segno del modulo causano ansia e insicurezza negli studenti. E spesso gli studenti semplicemente non accettano tali disuguaglianze. E la ragione di ciò è una base mal posata. L'insegnante prepara gli studenti in modo che lavorino su se stessi in modo tempestivo, imparino in modo coerente tutti i passaggi per realizzare con successo queste disuguaglianze.
C'è lavoro orale. (Rilievo frontale)
Risoluzione di disuguaglianze contenenti una variabile sotto il segno del modulo:
1. Il modulo del numero x è la distanza dall'origine al punto con coordinate x.
| 35 | = 35,
| - 17 | = 17,
| 0 | = 0
2. Risolvi le disuguaglianze:
a) | x |< 3 . Ответ. (-3 ; 3)
b) | x | > 2. Risposta. (-∞; -2) U (2; +∞)
L'avanzamento della risoluzione di queste disuguaglianze viene visualizzato sullo schermo in dettaglio e viene pronunciato l'algoritmo per risolvere le disuguaglianze contenenti una variabile sotto il segno del modulo.
4. Lavoro indipendente
Per controllare il grado di assimilazione di questo argomento, 4 studenti prendono posto presso i monoblocchi e si sottopongono a test online tematici. Tempo di prova 15 minuti. Dopo il completamento, viene eseguito un autotest sia in punti che in termini percentuali.
Il resto degli studenti ai loro banchi svolge un lavoro indipendente in modo indipendente.
Lavoro indipendente (tempo di esecuzione 13 minuti)
opzione 1
opzione 2
1. Risolvi le disuguaglianze:
a) 6+x< 3 - 2х;
b) 0,8(x-3) - 3,2 ≤ 0,3(2 - x).
3(x+1) - (x-2)< х,
2 > 5x - (2x-1) .
-6 < 5х - 1 < 5
quattro*. (In aggiunta)
Risolvi la disuguaglianza:
| 2- 2x | ≤ 1
1. Risolvi le disuguaglianze:
a) 4+x< 1 - 2х;
b) 0,2 (3x - 4) - 1,6 ≥ 0,3 (4-3x).
2. Risolvi il sistema di disuguaglianze:
2(x+3) - (x - 8)< 4,
6x > 3(x+1) -1.
3. Risolvi la doppia disuguaglianza:
-1 < 3х - 1 < 2
quattro*. (In aggiunta)
Risolvi la disuguaglianza:
| 6x-1 | ≤ 1
Dopo aver completato il lavoro indipendente, gli studenti consegnano i quaderni per la verifica. Gli studenti che hanno lavorato sui monoblocchi consegnano anche i quaderni all'insegnante per la verifica.
5. Riflessione
L'insegnante ricorda agli studenti le schede di autocontrollo, sulle quali dovevano valutare il proprio lavoro con il segno “+” durante tutta la lezione, nelle sue varie fasi.
Ma gli studenti dovranno fare la valutazione principale della loro attività solo ora, dopo aver espresso un'antica parabola.
Parabola.
Un uomo saggio stava camminando e 3 persone stavano camminando verso di lui. Sotto il sole cocente, trasportavano carri con pietre per costruire il tempio.
Il saggio li fermò e chiese:
- Cosa hai fatto tutto il giorno?
- Portava pietre maledette, - rispose il primo.
"Ho fatto il mio lavoro coscienziosamente", ha risposto il secondo.
- E ho preso parte alla costruzione del tempio, - rispose con orgoglio il terzo.
Nelle schede di autocontrollo, al paragrafo n. 3, gli studenti devono inserire una frase che corrisponda alle loro azioni in questa lezione.
Scheda di autocontrollo __________________________________________
№ P / P
Fasi della lezione
Valutazione delle attività educative
Lavoro orale durante la lezione
Parte pratica:
Risolvere disuguaglianze con una variabile;
soluzione di sistemi di disuguaglianze;
soluzione di doppie disuguaglianze;
soluzione di disuguaglianze con segno di modulo
Riflessione
Nei paragrafi 1 e 2, segna le risposte corrette nella lezione con un segno “+”;
nel paragrafo 3, valuta il tuo lavoro nella lezione secondo le istruzioni
6. I risultati della lezione.
L'insegnante, riassumendo la lezione, annota momenti e problemi di successo su cui è necessario lavorare ulteriormente.
Gli studenti sono invitati a valutare il proprio lavoro in base a schede di autocontrollo e gli studenti ricevono un voto in più in base ai risultati del lavoro indipendente.
Al termine della lezione, l'insegnante richiama l'attenzione degli studenti sulle parole dello scienziato francese Blaise Pascal: "La grandezza di una persona sta nella sua capacità di pensare".
Bibliografia:
1 . Algebra. 8 ° grado. Yu.N.Makarychev, N.G. Mindyuk, K.E. Neshkov, I.E. Feoktistov.-M.:
Mnemosine, 2012
2. Algebra.8 classe. Materiali didattici. Linee guida/ IE Feoktistov.
2a ed., Ster.-M.: Mnemosyne, 2011
3. Controllo e misurazione dei materiali Algebra: Grado 8 / Compilato da L.I. Martyshova.-
M.: VAKO, 2010
Risorse Internet:
1. Il concetto di disuguaglianza con una variabile
2. Disuguaglianze equivalenti. Teoremi di equivalenza per le disuguaglianze
3. Risoluzione di disuguaglianze con una variabile
4. Soluzione grafica di disuguaglianze con una variabile
5. Disuguaglianze contenenti una variabile sotto il segno del modulo
6. Principali risultati
Disuguaglianze con una variabile
Offerte 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 sono chiamate disuguaglianze a variabile singola.
A vista generale Questo concetto è definito come segue:
Definizione. Siano f(x) e g(x) due espressioni con variabile x e dominio X. Allora una disuguaglianza della forma f(x) > g(x) o f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Valore variabile X da molti X, sotto il quale la disuguaglianza si trasforma in una vera e propria disuguaglianza numerica, si chiama suo decisione. Risolvere una disuguaglianza significa trovare l'insieme delle sue soluzioni.
Quindi, risolvendo la disuguaglianza 2 X + 7 > 10 -x, x? Rè il numero X= 5, poiché 2 5 + 7 > 10 - 5 è una vera disuguaglianza numerica. E l'insieme delle sue soluzioni è l'intervallo (1, ∞), che si trova eseguendo la trasformazione della disuguaglianza: 2 X + 7 > 10-X => 3X >3 => X >1.
Disuguaglianze equivalenti. Teoremi di equivalenza per le disuguaglianze
Il concetto di equivalenza è alla base della soluzione delle disuguaglianze con una variabile.
Definizione. Due disuguaglianze si dicono equivalenti se i loro insiemi di soluzioni sono uguali.
Ad esempio, le disuguaglianze 2 X+ 7 > 10 e 2 X> 3 sono equivalenti, poiché i loro insiemi di soluzioni sono uguali e rappresentano l'intervallo (2/3, ∞).
I teoremi sull'equivalenza delle disuguaglianze e le loro conseguenze sono simili ai corrispondenti teoremi sull'equivalenza delle equazioni. Nel dimostrarli, vengono utilizzate le proprietà delle vere disuguaglianze numeriche.
Teorema 3. Lasciamo la disuguaglianza f(x) > g(x) ambientato sul set X e h(X) è un'espressione definita sullo stesso set. Poi le disuguaglianze f(x) > g(x) e f(x) + h(x) > g(x) + h(x) sono equivalenti sul set X.
Le conseguenze derivano da questo teorema, che sono spesso utilizzate per risolvere le disuguaglianze:
1) Se entrambi i lati della disuguaglianza f(x) > g(x) aggiungere lo stesso numero d, quindi otteniamo la disuguaglianza f(x) + d > g(x) + d, equivalente all'originale.
2) Se un qualsiasi termine (un'espressione numerica o un'espressione con una variabile) viene trasferito da una parte all'altra della disuguaglianza, cambiando il segno del termine nell'opposto, allora otteniamo una disuguaglianza equivalente a quella data.
Teorema 4. Lasciamo la disuguaglianza f(x) > g(x) ambientato sul set X e h(X X da molti X espressione h(x) assume valori positivi. Poi le disuguaglianze f(x) > g(x) e f(x) h(x) > g(x) h(x) sono equivalenti sul set X.
f(x) > g(x) moltiplicare per lo stesso numero positivo d, quindi otteniamo la disuguaglianza f(x) d > g(x) d, equivalente a questo.
Teorema 5. Lasciamo la disuguaglianza f(x) > g(x) ambientato sul set X e h(X) è un'espressione definita sullo stesso set e per tutti X la loro moltitudine X espressione h(X) assume valori negativi. Poi le disuguaglianze f(x) > g(x) e f(x) h(x) > g(x) h(x) sono equivalenti sul set X.
Da questo teorema segue il corollario: se entrambi i lati della disuguaglianza f(x) > g(x) moltiplicare per lo stesso numero negativo d e invertendo il segno della disuguaglianza, otteniamo la disuguaglianza f(x) d > g(x) d, equivalente a questo.
Risoluzione di disuguaglianze con una variabile
Risolviamo la disuguaglianza 5 X - 5 < 2х - 16, X? R e giustificare tutte le trasformazioni che eseguiremo nel processo di soluzione.
Soluzione di disuguaglianza X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2 volte + 16 è l'intervallo (-∞, 7).
Esercizi
1. Determina quali delle seguenti voci sono disuguaglianze a variabile singola:
a) -12 - 7 X< 3X+8; g) 12 x+ 3(X- 2);
b) 15( X+ 2)>4; e) 17-12 8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x2+ 3X-4> 0.
2. Il numero 3 è una soluzione della disuguaglianza? 6(2x+ 7) < 15(X + 2), X? R? E il numero 4.25?
3. Le seguenti coppie di disuguaglianze sono equivalenti sull'insieme dei numeri reali:
a) -17 X< -51 и X > 3;
b) (3 X-1)/4 >0 e 3 X-1>0;
c) 6-5 X>-4 e X<2?
4. Quali delle seguenti frasi sono vere:
a) -7 X < -28 => X>4;
b) X < 6 => X < 5;
in) X< 6 => X< 20?
5. Risolvi la disuguaglianza 3( X - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 e giustifica tutte le trasformazioni che eseguirai in questo caso.
6. Dimostrare che la soluzione della disuguaglianza 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) è un qualsiasi numero reale.
7. Dimostra che non esiste numero reale, che sarebbe una soluzione alla disuguaglianza 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Un lato del triangolo è di 5 cm e l'altro è di 8 cm Quale può essere la lunghezza del terzo lato se il perimetro del triangolo è:
a) inferiore a 22 cm;
b) più di 17 cm?
SOLUZIONE GRAFICA DI DISUGUAGLIAZIONI CON UNA VARIABILE. Per una soluzione grafica della disuguaglianza f(x) > g(x) necessità di tracciare grafici di funzioni
y = f(x) = g(x) e scegli quegli intervalli dell'asse delle ascisse, su cui il grafico della funzione y = f(x) situato sopra il grafico della funzione y \u003d g(x).
Esempio 17.8. Risolvi graficamente una disequazione x 2- 4 > 3X.
| Y - x * - 4 |
Soluzione. Costruiamo grafici di funzioni in un sistema di coordinate
y \u003d x 2 - 4 e e= Zx (figura 17.5). Si può vedere dalla figura che i grafici delle funzioni a= x 2- 4 si trova sopra il grafico della funzione y \u003d 3 X a X< -1 e x > 4, cioè l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza originaria è l'insieme
(-¥; -1) È (4; + oh) .
Risposta: x O(-oo; -1) e ( 4; +oo).
orario funzione quadratica a= ax 2 + bx + cè una parabola con rami rivolti verso l'alto se un > 0, e giù se un< 0. In questo caso sono possibili tre casi: la parabola interseca l'asse Oh(cioè l'equazione ah 2+ bx+ c = 0 ha due radici diverse); la parabola tocca l'asse X(cioè l'equazione ax 2 + bx+ c = 0 ha una radice); la parabola non interseca l'asse Oh(cioè l'equazione ah 2+ bx+ c = 0 non ha radici). Pertanto, ci sono sei possibili posizioni della parabola, che funge da grafico della funzione y \u003d ah 2+ b x + c(figura 17.6). Usando queste illustrazioni, si possono risolvere le disuguaglianze quadratiche.
Esempio 17.9. Risolvi la disuguaglianza: a) 2 x d+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Soluzione, a) L'equazione 2x 2 + 5x -3 \u003d 0 ha due radici: x, \u003d -3, x 2 = 0,5. Parabola che funge da grafico di una funzione a= 2x2+ 5x -3, mostrato in fig. un. Disuguaglianza 2x2+ 5x -3 > 0 viene eseguito per quei valori X, per cui i punti della parabola giacciono sopra l'asse Oh: sarà alle X< х х o quando X> xr> quelli. a X< -3 o a x > 0,5. Quindi, l'insieme delle soluzioni alla disuguaglianza originaria è l'insieme (-¥; -3) e (0.5; + ¥).
b) Equazione -Zx 2 + 2x- 6 = 0 non ha radici reali. Parabola che funge da grafico di una funzione a= - 3x 2 - 2x - 6 è mostrato in fig. 17.6 Disuguaglianza -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, per cui i punti della parabola giacciono sotto l'asse Oh. Poiché l'intera parabola si trova sotto l'asse Oh, allora l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza originaria è l'insieme R .
DISUGUAGLIAZIONI CONTENENTI UNA VARIABILE SOTTO IL SEGNO DEL MODULO. Quando si risolvono queste disuguaglianze, tenere presente che:
|f(x) | =
f(x), Se f(x) ³ 0,
- f(x), Se f(x) < 0,
Allo stesso tempo, la zona valori consentiti le disuguaglianze dovrebbero essere divise in intervalli, su ciascuno dei quali le espressioni sotto il segno del modulo mantengono il loro segno. Quindi, espandendo i moduli (tenendo conto dei segni delle espressioni), è necessario risolvere la disuguaglianza su ciascun intervallo e combinare le soluzioni risultanti in un insieme di soluzioni alla disuguaglianza originale.
Esempio 17.10. Risolvi la disuguaglianza:
|x -1| + |2-x| > 3+x.
Soluzione. I punti x = 1 e x = 2 dividono l'asse reale (ODZ della disuguaglianza (17.9) in tre intervalli: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Risolviamo questa disuguaglianza su ciascuno di essi. Se x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; quindi |x -1| = - (x - io), |2 - x | = 2-x. Quindi, la disuguaglianza (17.9) assume la forma: 1- x + 2 - x > 3 + x, cioè X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Se 1 £ x £.2, allora x - 1 ³ 0 e 2 - x ³ 0; quindi | x-1| = x - 1, |2 - x| = 2-x. .Quindi, c'è un sistema:
x - 1 + 2 - x > 3 + x,
Il sistema di disequazioni risultante non ha soluzioni. Pertanto, sull'intervallo [ 1; 2], l'insieme delle soluzioni alla disuguaglianza (17.9) è vuoto.
Se x > 2, allora x - 1 > 0 e 2 - x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x - 2 > 3 + x,
x > 6 o
Combinando le soluzioni trovate su tutte le parti dell'ODZ della disuguaglianza (17.9), otteniamo la sua soluzione - l'insieme (-¥; 0) È (6; + oo).
A volte è utile utilizzare l'interpretazione geometrica del modulo di un numero reale, secondo la quale | un | indica la distanza del punto a della linea di coordinate dall'origine O, e | a - b | indica la distanza tra i punti a e b sulla linea delle coordinate. In alternativa, puoi utilizzare il metodo del quadrato di entrambi i lati della disuguaglianza.
Teorema 17.5. Se le espressioni f(x) e g(x) per ogni x assumono solo valori non negativi, quindi le disuguaglianze f(x) > g(x) e f (x) ² > g (x) ² sono equivalenti.
58. Principali conclusioni § 12
In questa sezione, abbiamo definito quanto segue concetti:
Espressione numerica;
Il valore di un'espressione numerica;
Un'espressione che non ha senso;
Espressione con variabile/e;
Ambito di espressione;
espressioni identicamente uguali;
Identità;
Trasformazione dell'identità di un'espressione;
Uguaglianza numerica;
Disuguaglianza numerica;
Equazione con una variabile;
Radice dell'equazione;
Cosa significa risolvere un'equazione;
Equazioni equivalenti;
Disuguaglianza con una variabile;
Soluzione di disuguaglianza;
Cosa significa risolvere una disuguaglianza;
Disuguaglianze equivalenti.
Inoltre, abbiamo considerato teoremi sull'equivalenza di equazioni e disuguaglianze, che sono la base per la loro soluzione.
Conoscenza delle definizioni di tutti i suddetti concetti e teoremi sull'equivalenza di equazioni e disuguaglianze - condizione necessaria studio metodicamente competente con studenti più giovani roba algebrica.
