Equazioni differenziali con membro destro speciale. Equazioni differenziali disomogenee del secondo ordine

Alla lezione vengono studiati gli LNDE - lineari disomogenei equazioni differenziali. La struttura della soluzione generale, la soluzione di LNDE con il metodo di variazione di costanti arbitrarie, la soluzione di LNDE con coefficienti costanti e il lato destro di una forma speciale. Le questioni in esame sono utilizzate nello studio delle oscillazioni forzate in fisica, ingegneria elettrica ed elettronica e nella teoria del controllo automatico.

1. La struttura della soluzione generale di un'equazione differenziale lineare disomogenea del 2° ordine.

Considera prima un'equazione lineare disomogenea di ordine arbitrario:

Data la notazione, possiamo scrivere:

In questo caso, assumeremo che i coefficienti e il lato destro di questa equazione siano continui su un certo intervallo.

Teorema. La soluzione generale di un'equazione differenziale lineare disomogenea in qualche dominio è la somma di una qualsiasi delle sue soluzioni e la soluzione generale della corrispondente equazione differenziale lineare omogenea.

Prova. Sia Y una soluzione di un'equazione disomogenea.

Quindi, sostituendo questa soluzione nell'equazione originale, otteniamo l'identità:

Permettere
- sistema fondamentale soluzioni dell'equazione lineare omogenea
. Quindi la soluzione generale dell'equazione omogenea può essere scritta come:

In particolare, per un'equazione differenziale lineare disomogenea del 2° ordine, la struttura della soluzione generale ha la forma:

dove
è il sistema fondamentale di soluzioni della corrispondente equazione omogenea, e
- qualsiasi soluzione particolare dell'equazione disomogenea.

Pertanto, per risolvere un'equazione differenziale lineare disomogenea, è necessario trovare una soluzione generale dell'equazione omogenea corrispondente e trovare in qualche modo una soluzione particolare equazione disomogenea. Di solito si trova per selezione. I metodi di selezione di una particolare soluzione saranno considerati nelle seguenti domande.

2. Metodo di variazione

In pratica conviene applicare il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

Per fare ciò, trova prima la soluzione generale dell'equazione omogenea corrispondente nella forma:

Quindi, impostando i coefficienti C io funzioni da X, si cerca la soluzione dell'equazione disomogenea:

Si può dimostrare che per trovare le funzioni C io (X) devi risolvere il sistema di equazioni:

Esempio. risolvere l'equazione

Risolviamo un'equazione lineare omogenea

La soluzione dell'equazione disomogenea sarà:

Componiamo un sistema di equazioni:

Risolviamo questo sistema:

Dalla relazione troviamo la funzione Oh).

Ora troviamo B(x).

Sostituiamo i valori ottenuti nella formula per la soluzione generale dell'equazione disomogenea:

Risposta finale:

In generale, il metodo di variazione delle costanti arbitrarie è adatto per trovare soluzioni a qualsiasi equazione lineare disomogenea. Ma da allora trovare il sistema fondamentale di soluzioni dell'equazione omogenea corrispondente può essere un compito piuttosto difficile, questo metodo è utilizzato principalmente per equazioni non omogenee con coefficienti costanti.

3. Equazioni con il lato destro di una forma speciale

Sembra possibile rappresentare la forma di una particolare soluzione a seconda della forma del lato destro dell'equazione disomogenea.

Ci sono i seguenti casi:

I. Il lato destro dell'equazione differenziale lineare disomogenea ha la forma:

dove è un polinomio di grado m.

Allora si cerca una soluzione particolare nella forma:

Qui Q(X) è un polinomio dello stesso grado di P(X) , ma con coefficienti non definiti, e r- un numero che mostra quante volte il numero  è la radice dell'equazione caratteristica per la corrispondente equazione differenziale lineare omogenea.

Esempio. risolvere l'equazione
.

Risolviamo la corrispondente equazione omogenea:

Ora troviamo una particolare soluzione dell'equazione disomogenea originale.

Confrontiamo il lato destro dell'equazione con la forma del lato destro discussa sopra.

Stiamo cercando una soluzione particolare nella forma:
, dove

Quelli.

Definiamo ora i coefficienti sconosciuti MA e A.

Sostituisci una soluzione particolare in vista generale nell'equazione differenziale disomogenea originale.

Quindi, una soluzione privata:

Quindi la soluzione generale dell'equazione differenziale lineare disomogenea:

II. Il lato destro dell'equazione differenziale lineare disomogenea ha la forma:

Qui R 1 (X) e R 2 (X) sono polinomi di grado m 1 e m 2 rispettivamente.

Allora la soluzione particolare dell'equazione disomogenea avrà la forma:

dove numero r mostra quante volte un numero
è la radice dell'equazione caratteristica per la corrispondente equazione omogenea, e Q 1 (X) e Q 2 (X) – polinomi di grado al massimo m, dove m- il più grande dei gradi m 1 e m 2 .

Tabella riassuntiva dei tipi di soluzioni particolari

per diversi tipi di parti giuste

Si noti che se il lato destro dell'equazione è una combinazione di espressioni della forma considerata sopra, la soluzione si trova come una combinazione di soluzioni di equazioni ausiliarie, ciascuna delle quali ha un lato destro corrispondente all'espressione inclusa nella combinazione.

Quelli. se l'equazione è:
, allora sarà una particolare soluzione di questa equazione
dove a 1 e a 2 sono soluzioni particolari di equazioni ausiliarie

e

Per illustrare, risolviamo l'esempio precedente in un modo diverso.

Esempio. risolvere l'equazione

Rappresentiamo il lato destro dell'equazione differenziale come la somma di due funzioni f 1 (X) + f 2 (X) = X + (- peccato X).

Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica:

Otteniamo: I.e.

Totale:

Quelli. la soluzione particolare desiderata ha la forma:

La soluzione generale dell'equazione differenziale disomogenea:

Consideriamo esempi di applicazione dei metodi descritti.

Esempio 1.. risolvere l'equazione

Componiamo un'equazione caratteristica per la corrispondente equazione differenziale omogenea lineare:

Ora troviamo una particolare soluzione dell'equazione disomogenea nella forma:

Usiamo il metodo dei coefficienti indefiniti.

Sostituendo nell'equazione di partenza otteniamo:

La soluzione particolare è simile a:

La soluzione generale dell'equazione disomogenea lineare:

Esempio. risolvere l'equazione

Equazione caratteristica:

La soluzione generale dell'equazione omogenea:

Soluzione particolare dell'equazione disomogenea:
.

Troviamo le derivate e le sostituiamo nell'equazione disomogenea originale:

Otteniamo la soluzione generale dell'equazione differenziale disomogenea:

Questo articolo rivela la questione della risoluzione di equazioni differenziali disomogenee lineari del secondo ordine con coefficienti costanti. La teoria sarà considerata insieme ad esempi dei problemi dati. Per decifrare termini incomprensibili, è necessario fare riferimento all'argomento delle definizioni e dei concetti di base della teoria delle equazioni differenziali.

Considera un'equazione differenziale lineare (LDE) del secondo ordine con coefficienti costanti della forma y "" + p y " + q y \u003d f (x) , dove p e q sono numeri arbitrari e la funzione esistente f (x) è continuo sull'intervallo di integrazione x .

Passiamo alla formulazione del teorema di soluzione generale per LIDE.

Yandex.RTB RA-339285-1

Teorema di soluzione generale per LDNU

La soluzione generale, situata sull'intervallo x, di un'equazione differenziale disomogenea della forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) con coefficienti di integrazione continua su x intervallo f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) e una funzione continua f (x) è uguale alla somma della soluzione generale y 0 , che corrisponde al LODE, e a qualche soluzione particolare y ~ , dove l'equazione disomogenea originale è y = y 0 + e ~ .

Ciò dimostra che la soluzione di tale equazione del secondo ordine ha la forma y = y 0 + y ~ . L'algoritmo per trovare y 0 è considerato nell'articolo sulle equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine con coefficienti costanti. Dopodiché, si dovrebbe procedere alla definizione di y ~ .

La scelta di una particolare soluzione della LIDE dipende dal tipo di funzione disponibile f (x) situata sul lato destro dell'equazione. Per fare ciò, è necessario considerare separatamente le soluzioni di equazioni differenziali disomogenee lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

Quando f (x) è considerato un polinomio dell'ennesimo grado f (x) = P n (x) , ne consegue che una particolare soluzione della LIDE è trovata da una formula della forma y ~ = Q n (x ) x γ , dove Q n ( x) è un polinomio di grado n, r è il numero di radici nulle dell'equazione caratteristica. Il valore di y ~ è una soluzione particolare y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , quindi i coefficienti disponibili, che sono definiti dal polinomio
Q n (x) , troviamo usando il metodo dei coefficienti indefiniti dall'uguaglianza y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Esempio 1

Calcola utilizzando il teorema di Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Soluzione

In altre parole, occorre passare ad una particolare soluzione di un'equazione differenziale lineare disomogenea del secondo ordine a coefficienti costanti y "" - 2 y " = x 2 + 1 , che soddisfi le condizioni date y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

La soluzione generale di un'equazione disomogenea lineare è la somma della soluzione generale che corrisponde all'equazione y 0 o una soluzione particolare dell'equazione disomogenea y ~ , cioè y = y 0 + y ~ .

Per prima cosa, troviamo una soluzione generale per l'LNDE, e poi una particolare.

Passiamo alla ricerca di y 0 . Scrivere l'equazione caratteristica aiuterà a trovare le radici. Lo capiamo

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Abbiamo scoperto che le radici sono diverse e reali. Pertanto, scriviamo

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Troviamo y ~ . Si può vedere che il lato destro data equazioneè un polinomio di secondo grado, allora una delle radici è uguale a zero. Da qui otteniamo che sarà una soluzione particolare per y ~

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, dove i valori di A, B, C prendere coefficienti indefiniti.

Troviamoli da un'uguaglianza della forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Allora otteniamo che:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 SI x + DO " - 6 LA x 2 - 4 SI x - 2 DO = x 2 + 1 6 LA x + 2 SI - 6 LA x 2 - 4 SI x - 2 DO = x 2 + 1 - 6 LA x 2 + x (6 LA - 4 B) + 2 B - 2 DO = x 2 + 1

Uguagliando i coefficienti con gli stessi esponenti x , otteniamo un sistema di espressioni lineari - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Quando risolviamo in uno dei modi, troviamo i coefficienti e scriviamo: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 e y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Questa voce è chiamata la soluzione generale dell'equazione differenziale di secondo ordine lineare disomogenea originale con coefficienti costanti.

Per trovare una soluzione particolare che soddisfi le condizioni y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , è necessario determinare i valori C1 e C2, basato su un'uguaglianza della forma y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Otteniamo che:

y (0) = DO 1 + DO 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = DO 1 + DO 2 y "(0) = DO 1 + DO 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 DO 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 DO 2 - 3 4

Lavoriamo con il sistema di equazioni risultante della forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , dove C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Applicando il teorema di Cauchy, abbiamo questo

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Risposta: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Quando la funzione f (x) è rappresentata come prodotto di un polinomio di grado ne un esponente f (x) = P n (x) e a x , allora da qui otteniamo che una particolare soluzione della LIDE di secondo ordine sarà un'equazione della forma y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , dove Q n (x) è un polinomio dell'ennesimo grado, ed r è il numero di radici dell'equazione caratteristica pari a α .

I coefficienti appartenenti a Q n (x) si trovano dall'uguaglianza y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Esempio 2

Trova la soluzione generale di un'equazione differenziale della forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Soluzione

Equazione generale y = y 0 + y ~ . L'equazione indicata corrisponde al LOD y "" - 2 y " = 0. L'esempio precedente mostra che le sue radici sono k1 = 0 e k 2 = 2 e y 0 = C 1 + C 2 e 2 x secondo l'equazione caratteristica.

Si può vedere che il lato destro dell'equazione è x 2 + 1 · e x . Da qui, LNDE si trova attraverso y ~ = e a x Q n (x) x γ , dove Q n (x) , che è un polinomio di secondo grado, dove α = 1 e r = 0 , perché l'equazione caratteristica non hanno una radice uguale a 1 . Quindi lo capiamo

y ~ = e un X Q n (x) x γ = e X UN X 2 + B X + C X 0 = e X UN X 2 + B X + C .

A, B, C sono coefficienti sconosciuti, che possono essere trovati dall'uguaglianza y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Capito

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 LA + SI + 2 LA + 2 SI + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - LA x 2 - SI x + 2 LA - DO = 1 x 2 + 0 x + 1

Equipariamo gli indicatori con gli stessi coefficienti e otteniamo il sistema equazioni lineari. Da qui troviamo A, B, C:

LA = 1 - B = 0 2 LA - DO = 1 ⇔ LA = - 1 B = 0 DO = - 3

Risposta: si può vedere che y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 è una soluzione particolare di LIDE, e y = y 0 + y = DO 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Quando la funzione è scritta come f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , e Un 1 e IN 1 sono numeri, allora un'equazione della forma y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , dove A e B sono considerati coefficienti indefiniti, ed r il numero di radici coniugate complesse relative all'equazione caratteristica, pari a ± io β . In questo caso, la ricerca dei coefficienti viene effettuata dall'uguaglianza y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Esempio 3

Trova la soluzione generale di un'equazione differenziale della forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Soluzione

Prima di scrivere l'equazione caratteristica, troviamo y 0 . Quindi

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 io, k 2 \u003d - 2 io

Abbiamo una coppia di radici coniugate complesse. Trasformiamo e otteniamo:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Le radici dell'equazione caratteristica sono considerate una coppia coniugata ± 2 i , quindi f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Ciò mostra che la ricerca di y ~ verrà effettuata da y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. i coefficienti A e B saranno ricercati da un'uguaglianza della forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Trasformiamo:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Allora si vede che

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

È necessario uguagliare i coefficienti di seno e coseno. Otteniamo un sistema della forma:

4 LA = 3 4 SI = 1 ⇔ LA = - 3 4 SI = 1 4

Ne consegue che y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Risposta: si considera la soluzione generale della LIDE originaria del secondo ordine a coefficienti costanti

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Quando f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , allora y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Si ha che r è il numero di coppie coniugate complesse di radici relative all'equazione caratteristica, pari a α ± i β , dove P n (x) , Q k (x) , L m ( x) e Nm (x) sono polinomi di grado n, k, m, dove m = m un x (n, k). Trovare i coefficienti L m (x) e Nm (x) viene prodotto in base all'uguaglianza y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Esempio 4

Trova la soluzione generale y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Soluzione

È chiaro dalla condizione che

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Allora m = m a x (n , k) = 1 . Troviamo y 0 scrivendo prima l'equazione caratteristica della forma:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Abbiamo scoperto che le radici sono reali e distinte. Quindi y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Successivamente, è necessario cercare una soluzione generale basata su un'equazione disomogenea y ~ della forma

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

È noto che A, B, C sono coefficienti, r = 0, perché non esiste una coppia di radici coniugate relative all'equazione caratteristica con α ± i β = 3 ± 5 · i . Questi coefficienti si trovano dall'uguaglianza risultante:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Trovare la derivata e termini simili dà

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Dopo aver equiparato i coefficienti, otteniamo un sistema della forma

15 LA + 23 DO = 38 10 LA + 15 SI - 3 DO + 23 RE = 45 23 LA - 15 DO = 8 - 3 LA + 23 SI - 10 DO - 15 RE = - 5 ⇔ LA = 1 B = 1 DO = 1 D = 1

Da tutto ne consegue che

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)peccato(5x))

Risposta: ora è stata ottenuta la soluzione generale dell'equazione lineare data:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritmo per risolvere LDNU

Qualsiasi altro tipo di funzione f (x) per la soluzione prevede l'algoritmo di soluzione:

• trovando la soluzione generale della corrispondente equazione lineare omogenea, dove y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , dove si 1 e y2 sono soluzioni particolari linearmente indipendenti di LODE, Da 1 e Da 2 sono considerate costanti arbitrarie;
• accettazione come soluzione generale della LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• definizione di derivate di una funzione attraverso un sistema della forma C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , e trovare le funzioni DO 1 (x) e C 2 (x) mediante integrazione.

Esempio 5

Trova la soluzione generale per y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Soluzione

Procediamo alla scrittura dell'equazione caratteristica, avendo precedentemente scritto y 0 , y "" + 36 y = 0 . Scriviamo e risolviamo:

k 2 + 36 = 0 K 1 = 6 io , K 2 = - 6 io ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = peccato (6 x)

Abbiamo che il record della soluzione generale dell'equazione data assumerà la forma y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Occorre passare alla definizione di funzioni derivate DO 1 (x) e C2(x) secondo il sistema di equazioni:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ DO 1 " (x) cos (6 x) + DO 2 " (x) sin (6 x) = 0 DO 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + DO 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Occorre prendere una decisione in merito DO 1 "(x) e DO2" (x) utilizzando qualsiasi metodo. Allora scriviamo:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Ciascuna delle equazioni deve essere integrata. Quindi scriviamo le equazioni risultanti:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + DO 4

Ne consegue che la soluzione generale avrà la forma:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + DO 4 sin (6 x)

Risposta: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

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Equazioni differenziali disomogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Struttura della soluzione generale Un'equazione lineare disomogenea di questo tipo ha la forma: dove p, q− numeri costanti (che possono essere sia reali che complessi). Per ciascuna di queste equazioni, si può scrivere il corrispondente equazione omogenea: Teorema: La soluzione generale dell'equazione disomogenea è la somma della soluzione generale si 0 (X) della corrispondente equazione omogenea e una particolare soluzione si 1 (X) dell'equazione disomogenea: Di seguito consideriamo due metodi per risolvere equazioni differenziali non omogenee. Metodo della variazione costante Se la soluzione generale si 0 dell'equazione omogenea associata è noto, quindi la soluzione generale dell'equazione disomogenea può essere trovata utilizzando metodo della variazione costante. Lascia che la soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine abbia la forma: Invece che permanente C 1 e C 2 considereremo le funzioni ausiliarie C 1 (X) e C 2 (X). Cercheremo queste funzioni tali che la soluzione soddisfa l'equazione disomogenea con il secondo membro f(X). Caratteristiche sconosciute C 1 (X) e C 2 (X) sono determinati dal sistema di due equazioni: Metodo dei coefficienti indeterminati Parte destra f(X) di un'equazione differenziale disomogenea è spesso un polinomio, una funzione esponenziale o trigonometrica o una combinazione di queste funzioni. In questo caso, è più conveniente trovare una soluzione utilizzando metodo dei coefficienti incerti. Lo sottolineiamo questo metodo funziona solo per una classe limitata di funzioni sul lato destro, ad esempio In entrambi i casi, la scelta di una particolare soluzione deve corrispondere alla struttura del lato destro dell'equazione differenziale disomogenea. Nel caso 1, se il numero α nella funzione esponenziale coincide con la radice dell'equazione caratteristica, allora la particolare soluzione conterrà un ulteriore fattore X S, dove S− molteplicità della radice α nell'equazione caratteristica. Nel caso 2, se il numero α + βi coincide con la radice dell'equazione caratteristica, allora l'espressione per la particolare soluzione conterrà un ulteriore fattore X. I coefficienti sconosciuti possono essere determinati sostituendo l'espressione trovata per una particolare soluzione nell'equazione differenziale disomogenea originale. Principio di sovrapposizione Se il lato destro dell'equazione disomogenea è Quantità diverse funzioni della forma allora la soluzione particolare dell'equazione differenziale sarà anche la somma di soluzioni particolari costruite separatamente per ogni termine a destra.

Esempio 1

Risolvi l'equazione differenziale y"" + y= peccato(2 X). Soluzione. Per prima cosa risolviamo l'equazione omogenea corrispondente y"" + y= 0.In questo caso le radici dell'equazione caratteristica sono puramente immaginarie: Pertanto, la soluzione generale dell'equazione omogenea è data da Torniamo ancora all'equazione disomogenea. Cercheremo la sua soluzione nella forma utilizzando il metodo della variazione delle costanti. Funzioni C 1 (X) e C 2 (X) si ricava dal seguente sistema di equazioni: Esprimiamo la derivata C 1 " (X) dalla prima equazione: Sostituendo nella seconda equazione troviamo la derivata C 2 " (X): Quindi ne consegue che Espressioni integranti per le derivate C 1 " (X) e C 2 " (X), noi abbiamo: dove UN 1 , UN 2 − costanti di integrazione. Ora sostituiamo le funzioni trovate C 1 (X) e C 2 (X) nella formula per si 1 (X) e scrivi la soluzione generale dell'equazione disomogenea:

Esempio 2

Trova una soluzione generale all'equazione y"" + y" −6si = 36X. Soluzione. Usiamo il metodo dei coefficienti indefiniti. Il lato destro dell'equazione data è una funzione lineare f(X)= ax + b. Pertanto, cercheremo una soluzione particolare nella forma I derivati ​​sono: Sostituendo questo nell'equazione differenziale, otteniamo: L'ultima equazione è un'identità, cioè vale per tutti X, quindi equipariamo i coefficienti dei termini con le stesse potenze X sul lato sinistro e destro: Dal sistema risultante troviamo: UN = −6, B= -1. Di conseguenza, la particolare soluzione è scritta nella forma Ora troviamo la soluzione generale dell'equazione differenziale omogenea. Calcoliamo le radici dell'equazione caratteristica ausiliaria: Pertanto, la soluzione generale della corrispondente equazione omogenea ha la forma: Quindi, la soluzione generale dell'equazione disomogenea originale è espressa dalla formula

Integrale generale di DE.

Risolvi l'equazione differenziale

Ma la cosa divertente è che la risposta è già nota: più precisamente, dobbiamo anche aggiungere una costante: L'integrale generale è una soluzione dell'equazione differenziale.

Metodo di variazione di costanti arbitrarie. Esempi di soluzioni

Il metodo di variazione delle costanti arbitrarie viene utilizzato per risolvere equazioni differenziali disomogenee. Questa lezione è destinata a quegli studenti che sono già più o meno esperti nell'argomento. Se stai appena iniziando a familiarizzare con il telecomando, ad es. Se sei una teiera, ti consiglio di iniziare con la prima lezione: Equazioni differenziali del primo ordine. Esempi di soluzioni. E se stai già finendo, scarta la possibile idea preconcetta che il metodo sia difficile. Perché è semplice.

In quali casi viene utilizzato il metodo di variazione delle costanti arbitrarie?

1) Il metodo di variazione di una costante arbitraria può essere utilizzato per risolvere DE lineare disomogeneo del 1° ordine. Poiché l'equazione è del primo ordine, anche la costante (costante) è una.

2) Il metodo di variazione delle costanti arbitrarie viene utilizzato per risolverne alcune equazioni lineari disomogenee del secondo ordine. Qui, due costanti (costanti) variano.

È logico supporre che la lezione sarà composta da due paragrafi .... Ho scritto questa proposta e per circa 10 minuti ho pensato dolorosamente a quali altre stronzate intelligenti aggiungere per una transizione graduale agli esempi pratici. Ma per qualche motivo non ci sono pensieri dopo le vacanze, anche se sembra che non abbia abusato di nulla. Quindi passiamo subito al primo paragrafo.

Metodo della variazione costante arbitraria per un'equazione lineare del primo ordine disomogenea

Prima di considerare il metodo di variazione di una costante arbitraria, è opportuno conoscere l'articolo Equazioni differenziali lineari del primo ordine. In quella lezione, ci siamo esercitati primo modo per risolvere DE disomogeneo del 1° ordine. Questa prima soluzione, vi ricordo, si chiama metodo di sostituzione o Metodo Bernoulliano(da non confondere con Equazione di Bernoulli!!!)

Considereremo ora secondo modo per risolvere– metodo di variazione di una costante arbitraria. Darò solo tre esempi e li prenderò dalla lezione precedente. Perché così pochi? Perché in effetti la soluzione nel secondo modo sarà molto simile alla soluzione nel primo modo. Inoltre, secondo le mie osservazioni, il metodo di variazione delle costanti arbitrarie viene utilizzato meno spesso del metodo di sostituzione.

Esempio 1

Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale (Diffur dall'Esempio n. 2 della lezione DE lineare disomogeneo del 1° ordine)

Soluzione: Questa equazione è lineare disomogenea e ha una forma familiare:

Nella prima fase, è necessario risolvere un'equazione più semplice: ovvero, resettiamo stupidamente il lato destro, invece scriviamo zero. L'equazione che chiamerò equazione ausiliaria.

In questo esempio, devi risolvere la seguente equazione ausiliaria:

Prima di noi equazione separabile, la cui soluzione (spero) non è più difficile per te:

Quindi: è la soluzione generale dell'equazione ausiliaria .

Al secondo gradino sostituire una costante di alcuni ancora funzione sconosciuta che dipende da "x":

Da qui il nome del metodo: variamo la costante . In alternativa, la costante può essere una funzione che dobbiamo trovare ora.

A originale equazione non omogenea, faremo la sostituzione:

Sostituisci nell'equazione:

momento di controllo - i due termini sul lato sinistro si annullano. Se ciò non accade, dovresti cercare l'errore sopra.

Come risultato della sostituzione, si ottiene un'equazione con variabili separabili. Separare le variabili e integrare.

Che benedizione, anche gli esponenti si stanno riducendo:

Aggiungiamo una costante "normale" alla funzione trovata:

Nella fase finale, ricordiamo la nostra sostituzione:

Funzione appena trovata!

Quindi la soluzione generale è:

Risposta: decisione comune:

Se stampi le due soluzioni, noterai facilmente che in entrambi i casi abbiamo trovato gli stessi integrali. L'unica differenza è nell'algoritmo di soluzione.

Ora qualcosa di più complicato, commenterò anche il secondo esempio:

Esempio 2

Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale (Diffur dall'Esempio n. 8 della lezione DE lineare disomogeneo del 1° ordine)

Soluzione: Portiamo l'equazione nella forma:

Imposta il lato destro su zero e risolvi l'equazione ausiliaria:

Separare le variabili e integrare: Soluzione generale dell'equazione ausiliaria:

Nell'equazione disomogenea, faremo la sostituzione:

Secondo la regola di differenziazione del prodotto:

Sostituisci e nell'equazione disomogenea originale:

I due termini sul lato sinistro si annullano, il che significa che siamo sulla strada giusta:

Integriamo per parti. Una gustosa lettera della formula per l'integrazione per parti è già coinvolta nella soluzione, quindi usiamo, ad esempio, le lettere "a" e "be":

Infine:

Ora diamo un'occhiata alla sostituzione:

Risposta: decisione comune:

Metodo di variazione delle costanti arbitrarie per un'equazione di secondo ordine disomogenea lineare a coefficienti costanti

Si è spesso sentito dire che il metodo di variazione delle costanti arbitrarie per un'equazione di secondo ordine non è una cosa facile. Ma immagino quanto segue: molto probabilmente, il metodo sembra difficile a molti, poiché non è così comune. Ma in realtà non ci sono particolari difficoltà: il corso della decisione è chiaro, trasparente e comprensibile. E bellissimo.

Per padroneggiare il metodo, è desiderabile essere in grado di risolvere equazioni disomogenee del secondo ordine selezionando una particolare soluzione in base alla forma del lato destro. Questo metodo discusso in dettaglio nell'articolo. DE disomogeneo del 2° ordine. Ricordiamo che un'equazione disomogenea lineare del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma:

Il metodo di selezione, considerato nella lezione precedente, funziona solo in un numero limitato di casi, quando polinomi, esponenti, seni, coseni si trovano sul lato destro. Ma cosa fare quando a destra, ad esempio, una frazione, un logaritmo, una tangente? In una situazione del genere, viene in soccorso il metodo della variazione delle costanti.

Esempio 4

Trova la soluzione generale di un'equazione differenziale del secondo ordine

Soluzione: C'è una frazione sul lato destro di questa equazione, quindi possiamo immediatamente dire che il metodo per selezionare una particolare soluzione non funziona. Usiamo il metodo di variazione delle costanti arbitrarie.

Niente fa presagire un temporale, l'inizio della soluzione è abbastanza ordinario:

Cerchiamo decisione comune corrispondente omogeneo equazioni:

Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica: – si ottengono radici complesse coniugate, quindi la soluzione generale è:

Presta attenzione al record della soluzione generale: se ci sono parentesi, aprile.

Ora facciamo quasi lo stesso trucco dell'equazione del primo ordine: modifichiamo le costanti , sostituendole con funzioni sconosciute . Questo è, soluzione generale dell'inomogeneo Cercheremo equazioni nella forma:

Dove - ancora funzioni sconosciute.

Sembra una discarica rifiuti domestici, ma ora sistemiamo tutto.

Le derivate di funzioni agiscono come incognite. Il nostro obiettivo è trovare le derivate e le derivate trovate devono soddisfare sia la prima che la seconda equazione del sistema.

Da dove vengono i "giochi"? Li porta la cicogna. Guardiamo la soluzione generale precedentemente ottenuta e scriviamo:

Troviamo le derivate:

Trattati con il lato sinistro. Cosa c'è a destra?

è il lato destro dell'equazione originale, in questo caso:

Fondamenti della risoluzione di equazioni differenziali disomogenee lineari del secondo ordine (LNDE-2) a coefficienti costanti (PC)

Un CLDE di secondo ordine con coefficienti costanti $p$ e $q$ ha la forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, dove $f\left( x \right)$ è una funzione continua.

Le seguenti due affermazioni sono vere rispetto al 2° LNDE con PC.

Supponiamo che qualche funzione $U$ sia una soluzione particolare arbitraria di un'equazione differenziale disomogenea. Supponiamo anche che qualche funzione $Y$ sia una soluzione generale (OR) della corrispondente equazione differenziale omogenea lineare (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Allora l'OR di LHDE-2 è uguale alla somma del privato indicato e decisioni comuni, cioè $y=U+Y$.

Se il lato destro della LIDE di 2° ordine è la somma di funzioni, cioè $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, quindi per prima cosa puoi trovare il PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ che corrisponde a ciascuno delle funzioni $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, e successivamente scrivere la LNDE-2 PD come $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Soluzione di LNDE di 2° ordine con PC

Ovviamente, la forma dell'una o dell'altra PD $U$ di un dato LNDE-2 dipende dalla forma specifica del suo lato destro $f\left(x\right)$. I casi più semplici di ricerca del PD di LNDE-2 sono formulati come le seguenti quattro regole.

Regola numero 1.

Il lato destro di LNDE-2 ha la forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, dove $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, cioè si chiama a polinomio di grado $n$. Allora il suo PR $U$ viene ricercato nella forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, dove $Q_(n) \left(x\right)$ è un altro polinomio dello stesso grado di $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ è il numero di radici nulle dell'equazione caratteristica del corrispondente LODE-2. I coefficienti del polinomio $Q_(n) \left(x\right)$ si trovano con il metodo dei coefficienti indefiniti (NC).

Regola numero 2.

Il lato destro di LNDE-2 ha la forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, dove $P_(n) \left( x\right)$ è un polinomio di grado $n$. Allora la sua PD $U$ viene cercata nella forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, dove $Q_(n ) \ left(x\right)$ è un altro polinomio dello stesso grado di $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ è il numero di radici dell'equazione caratteristica del corrispondente LODE-2 uguale a $\alpha $. I coefficienti del polinomio $Q_(n) \left(x\right)$ si trovano con il metodo NK.

Regola numero 3.

La parte destra di LNDE-2 ha la forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, dove $a$, $b$ e $\beta $ sono numeri noti. Quindi il suo PD $U$ viene cercato nella forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, dove $A$ e $B$ sono coefficienti sconosciuti, e $r$ è il numero di radici dell'equazione caratteristica del corrispondente LODE-2 pari a $i\cdot \beta$. I coefficienti $A$ e $B$ si trovano con il metodo NDT.

Regola numero 4.

Il lato destro di LNDE-2 ha la forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, dove $P_(n) \left(x\right)$ è un polinomio di grado $ n$, e $P_(m) \left(x\right)$ è un polinomio di grado $m$. Quindi il suo PD $U$ viene cercato nella forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, dove $Q_(s) \left(x\right) $ e $ R_(s) \left(x\right)$ sono polinomi di grado $s$, il numero $s$ è il massimo di due numeri $n$ e $m$, e $r$ è il numero di radici dell'equazione caratteristica del corrispondente LODE-2, pari a $\alpha +i\cdot \beta $. I coefficienti dei polinomi $Q_(s) \left(x\right)$ e $R_(s) \left(x\right)$ si trovano con il metodo NK.

Il metodo NK consiste nell'applicare la seguente regola. Per trovare i coefficienti incogniti del polinomio, che fanno parte della soluzione particolare dell'equazione differenziale disomogenea LNDE-2, è necessario:

• sostituire la PD $U$, scritta in forma generale, nella parte sinistra di LNDE-2;
• sul lato sinistro di LNDE-2, eseguire semplificazioni e raggruppare termini con le stesse potenze $x$;
• nell'identità risultante, uguagliare i coefficienti dei termini con le stesse potenze $x$ dei membri sinistro e destro;
• risolvere il sistema risultante di equazioni lineari per coefficienti sconosciuti.

Esempio 1

Compito: trova OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Trova anche il PR , soddisfacendo le condizioni iniziali $y=6$ per $x=0$ e $y"=1$ per $x=0$.

Scrivi il corrispondente LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Equazione caratteristica: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Le radici dell'equazione caratteristica: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Queste radici sono reali e distinte. Pertanto, l'OR del corrispondente LODE-2 ha la forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

La parte destra di questo LNDE-2 ha la forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Occorre considerare il coefficiente dell'esponente dell'esponente $\alpha =3$. Questo coefficiente non coincide con nessuna delle radici dell'equazione caratteristica. Pertanto, il PR di questo LNDE-2 ha la forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Cercheremo i coefficienti $A$, $B$ usando il metodo NK.

Troviamo la prima derivata del CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\sinistra(A\cdot x+B\destra)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\sinistra(A+3\cdot A\ cpunto x+3\cpunto B\destra)\cpunto e^(3\cpunto x) .$

Troviamo la seconda derivata del CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\sinistra(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\destra)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\sinistra(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\destra)\cdot e^(3\cdot x) .$

Sostituiamo le funzioni $U""$, $U"$ e $U$ invece di $y""$, $y"$ e $y$ nel dato LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Allo stesso tempo, poiché l'esponente $e^(3\cdot x) $ è incluso come fattore in tutti i componenti, allora può essere omesso.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cpunto x+B\destra)=36\cpunto x+12.$

Eseguiamo azioni sul lato sinistro dell'uguaglianza risultante:

$-18\cpunto A\cpunto x+3\cpunto A-18\cpunto B=36\cpunto x+12.$

Usiamo il metodo NC. Otteniamo un sistema di equazioni lineari a due incognite:

$-18\cpunto A=36;$

$3\cpunto A-18\cpunto B=12.$

La soluzione a questo sistema è: $A=-2$, $B=-1$.

Il CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ per il nostro problema è simile a questo: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

L'OR $y=Y+U$ per il nostro problema è questo: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ sinistra(-2\cdot x-1\destra)\cdot e^(3\cdot x) $.

Per cercare una PD che soddisfi le condizioni iniziali date, troviamo la derivata $y"$ OR:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\sinistra(-2\cdot x-1\destra)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Sostituiamo in $y$ e $y"$ le ​​condizioni iniziali $y=6$ con $x=0$ e $y"=1$ con $x=0$:

$6=Do_(1) +Do_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Abbiamo un sistema di equazioni:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Lo risolviamo. Troviamo $C_(1) $ usando la formula di Cramer, e $C_(2) $ è determinato dalla prima equazione:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\sinistra(-3\destra)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; DO_(2) =7-DO_(1) =7-4=3.$

Pertanto, la PD di questa equazione differenziale è: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.