Considera un'equazione quadratica.
Definiamo le sue radici.
Non esiste un numero reale il cui quadrato sia -1. Ma se la formula definisce l'operatore io come unità immaginaria, allora la soluzione di questa equazione può essere scritta nella forma . in cui 
e 
- numeri complessi, in cui -1 è la parte reale, 2 o nel secondo caso -2 è la parte immaginaria. Anche la parte immaginaria è un numero reale (reale). La parte immaginaria moltiplicata per l'unità immaginaria significa già numero immaginario.
In generale, un numero complesso ha la forma
z = X + io ,
dove x, y sono numeri reali, è un'unità immaginaria. In un certo numero di scienze applicate, ad esempio, in ingegneria elettrica, elettronica, teoria dei segnali, l'unità immaginaria è indicata da j. Numeri reali x = Re(z) e y=Io sono(z) chiamato parti reali e immaginarie numeri z. L'espressione è chiamata forma algebrica notazione di un numero complesso.
Qualsiasi numero reale lo è caso speciale numero complesso nella forma 
. Un numero immaginario è anche un caso speciale di un numero complesso. 
.
Definizione dell'insieme dei numeri complessi C
Questa espressione si legge come segue: set DA, costituito da elementi tali che X e y appartengono all'insieme dei numeri reali R ed è l'unità immaginaria. Nota che ecc.
Due numeri complessi 
e 
sono uguali se e solo se le loro parti reale e immaginaria sono uguali, cioè e .
I numeri e le funzioni complessi sono ampiamente utilizzati nella scienza e nella tecnologia, in particolare nella meccanica, nell'analisi e nel calcolo dei circuiti. corrente alternata, elettronica analogica, nella teoria e nell'elaborazione dei segnali, nella teoria del controllo automatico e in altre scienze applicate.
L'addizione di due numeri complessi consiste nell'addizione delle loro parti reale e immaginaria, cioè
Di conseguenza, la differenza di due numeri complessi
Numero complesso 
chiamato complesso coniugare numero z=x +io
I numeri coniugati complessi z e z * differiscono nei segni della parte immaginaria. È ovvio che
.
Qualsiasi uguaglianza tra espressioni complesse resta valido se in questa uguaglianza ovunque io sostituito da -
io, cioè. vai all'uguaglianza dei numeri coniugati. Numeri io e –
io sono algebricamente indistinguibili perché 
.
Il prodotto (moltiplicazione) di due numeri complessi può essere calcolato come segue:
Divisione di due numeri complessi:
Esempio:
Un numero complesso può essere rappresentato graficamente in un sistema di coordinate rettangolare. Impostiamo un sistema di coordinate rettangolare nel piano (x, y).
sull'asse Bue organizzeremo le parti reali X, è chiamato asse reale (reale)., sull'asse Ehi– parti immaginarie y numeri complessi. Lei porta il nome asse immaginario. Inoltre, ogni numero complesso corrisponde a un certo punto del piano e tale piano viene chiamato piano complesso. Punto MA il piano complesso corrisponderà al vettore OA.
Numero X chiamato ascissa numero complesso, numero y – ordinato.
Una coppia di numeri coniugati complessi viene visualizzata come punti situati simmetricamente attorno all'asse reale.
 |
Se sul set dell'aereo sistema di coordinate polari, quindi ogni numero complesso z determinato dalle coordinate polari. in cui modulo numeri 
è il raggio polare del punto e l'angolo 
- il suo angolo polare o argomento di numero complesso z.
Modulo numerico complesso 
sempre non negativo. L'argomento di un numero complesso non è definito in modo univoco. Il valore principale dell'argomento deve soddisfare la condizione 
. Ad ogni punto del piano complesso corrisponde anche significato generale discussione . Gli argomenti che differiscono di un multiplo di 2π sono considerati uguali. L'argomento numero zero non è definito.
Il valore principale dell'argomento è determinato dalle espressioni:
È ovvio che
in cui
, 
.
Rappresentazione di numeri complessi z come
chiamato forma trigonometrica numero complesso.
Esempio.
Decomposizione in serie Maclaurin per funzioni di argomenti reali 
sembra:
Per la funzione esponenziale di un argomento complesso z la decomposizione è simile
.
L'espansione della serie di Maclaurin per la funzione esponenziale dell'argomento immaginario può essere rappresentata come
L'identità risultante viene chiamata formula di Eulero.
Per un argomento negativo, sembra
Combinando queste espressioni, possiamo definire le seguenti espressioni per seno e coseno
.
Utilizzando la formula di Eulero, dalla forma trigonometrica della rappresentazione dei numeri complessi
a disposizione dimostrativo(esponenziale, polare) forma di un numero complesso, cioè la sua rappresentazione nella forma
,
dove 
- coordinate polari del punto c coordinate rettangolari (X,y).
Il coniugato di un numero complesso si scrive in forma esponenziale come segue.
Per la forma esponenziale, è facile definire le seguenti formule per la moltiplicazione e la divisione di numeri complessi
Cioè, in forma esponenziale, il prodotto e la divisione di numeri complessi è più facile che in forma algebrica. Durante la moltiplicazione, i moduli dei fattori vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti. Questa regola si applica a qualsiasi numero di fattori. In particolare, quando si moltiplica un numero complesso z sul io vettore z ruota in senso antiorario di 90
Nella divisione, il modulo del numeratore viene diviso per il modulo del denominatore e l'argomento del denominatore viene sottratto dall'argomento del numeratore.
Usando la forma esponenziale dei numeri complessi, si possono ottenere espressioni per ben note identità trigonometriche. Ad esempio, dall'identità
usando la formula di Eulero, possiamo scrivere
Uguagliando le parti reale e immaginaria in questa espressione, otteniamo espressioni per il coseno e il seno della somma degli angoli
Elevare un numero complesso a una potenza naturale n prodotto secondo la formula
Esempio. Calcolare 
.
Immagina un numero in forma trigonometrica
’
Applicando la formula dell'esponenziazione, otteniamo
Inserimento del valore nell'espressione r= 1, otteniamo il cosiddetto La formula di De Moivre, con il quale è possibile determinare le espressioni per i seni e i coseni di più angoli.
Radice n la potenza di un numero complesso z Esso ha n valori diversi determinati dall'espressione
Esempio. Cerchiamo .
Per fare ciò, esprimiamo il numero complesso () nella forma trigonometrica
.
Secondo la formula per calcolare la radice di un numero complesso, otteniamo
Logaritmo di un numero complesso zè un numero w, per cui . Il logaritmo naturale di un numero complesso ha un numero infinito di valori e viene calcolato dalla formula
Consiste di parti reale (coseno) e immaginaria (seno). Tale stress può essere rappresentato come un vettore di lunghezza Uhm, fase iniziale (angolo), rotante con velocità angolare ω .
Inoltre, se vengono aggiunte funzioni complesse, vengono aggiunte le loro parti reali e immaginarie. Se una funzione complessa viene moltiplicata per una costante o una funzione reale, le sue parti reale e immaginaria vengono moltiplicate per lo stesso fattore. La differenziazione/integrazione di una funzione così complessa si riduce alla differenziazione/integrazione della parte reale e immaginaria.
Ad esempio, la differenziazione dell'espressione complessa dello stress
è moltiplicarlo per iω è la parte reale della funzione f(z), e 
è la parte immaginaria della funzione. Esempi: 
.
Significato zè rappresentato da un punto nel piano z complesso e dal valore corrispondente w- un punto nel piano complesso w. Quando visualizzato w = f(z) linee piane z passare nelle linee del piano w, figure di un piano in figure di un altro, ma le forme delle linee o delle figure possono cambiare in modo significativo.
