I sistemi di equazioni sono ampiamente utilizzati nell'industria economica nella modellazione matematica di vari processi. Ad esempio, quando si risolvono problemi di gestione e pianificazione della produzione, percorsi logistici (problemi di trasporto) o posizionamento delle attrezzature.
I sistemi di equazioni sono utilizzati non solo nel campo della matematica, ma anche in fisica, chimica e biologia, quando si risolvono problemi per trovare la dimensione della popolazione.
sistema equazioni lineari nominare due o più equazioni con più variabili per le quali è necessario trovare decisione comune. Tale sequenza di numeri per cui tutte le equazioni diventano vere uguaglianze o dimostrano che la sequenza non esiste.
Le equazioni della forma ax+by=c sono chiamate lineari. Le designazioni x, y sono le incognite, il cui valore deve essere trovato, b, a sono i coefficienti delle variabili, c è il termine libero dell'equazione.
Risolvendo l'equazione tracciando il suo grafico sembrerà una linea retta, i cui punti sono la soluzione del polinomio.
I più semplici sono esempi di sistemi di equazioni lineari con due variabili X e Y.
F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, dove F1,2 sono funzioni e (x, y) sono variabili di funzione.
Risolvere un sistema di equazioni - significa trovare tali valori (x, y) per i quali il sistema diventa una vera uguaglianza, oppure stabilire che non esistono valori adatti di x e y.
Una coppia di valori (x, y), scritti come coordinate di punti, è chiamata soluzione di un sistema di equazioni lineari.
Se i sistemi hanno una soluzione comune o non c'è soluzione, sono chiamati equivalenti.
I sistemi omogenei di equazioni lineari sono sistemi il cui lato destro è uguale a zero. Se la parte destra dopo il segno "uguale" ha un valore o è espressa da una funzione, tale sistema non è omogeneo.
Il numero di variabili può essere molto più di due, allora dovremmo parlare di un esempio di sistema di equazioni lineari con tre o più variabili.
Di fronte ai sistemi, gli scolari presumono che il numero delle equazioni debba necessariamente coincidere con il numero delle incognite, ma non è così. Il numero di equazioni nel sistema non dipende dalle variabili, può essercene un numero arbitrariamente elevato.
Non esiste un modo analitico generale per risolvere tali sistemi, tutti i metodi sono basati su soluzioni numeriche. A corso scolastico matematica, metodi come permutazione, addizione algebrica, sostituzione, nonché grafica e metodo matriciale, soluzione con il metodo di Gauss.
Il compito principale nell'insegnamento dei metodi di risoluzione è insegnare come analizzare correttamente il sistema e trovare l'algoritmo di soluzione ottimale per ogni esempio. L'importante non è memorizzare un sistema di regole e azioni per ciascun metodo, ma comprendere i principi dell'applicazione di un particolare metodo.
Risoluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari della 7a classe del programma scuola media abbastanza semplice e spiegato in modo molto dettagliato. In qualsiasi libro di testo sulla matematica, questa sezione riceve sufficiente attenzione. La soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari con il metodo di Gauss e Cramer è studiata in modo più dettagliato nei primi corsi delle istituzioni educative superiori.
Le azioni del metodo di sostituzione mirano a esprimere il valore di una variabile attraverso la seconda. L'espressione viene sostituita nell'equazione rimanente, quindi viene ridotta a una singola forma variabile. L'azione viene ripetuta a seconda del numero di incognite nel sistema
Diamo un esempio di un sistema di equazioni lineari della 7a classe con il metodo di sostituzione:
Come si può vedere dall'esempio, la variabile x è stata espressa attraverso F(X) = 7 + Y. L'espressione risultante, sostituita nella 2a equazione del sistema al posto di X, ha aiutato ad ottenere una variabile Y nella 2a equazione . La soluzione di questo esempio non causa difficoltà e consente di ottenere il valore Y. L'ultimo passaggio consiste nel verificare i valori ottenuti.
Non sempre è possibile risolvere un esempio di un sistema di equazioni lineari per sostituzione. Le equazioni possono essere complesse e l'espressione della variabile in termini di seconda incognita sarà troppo scomoda per ulteriori calcoli. Quando ci sono più di 3 incognite nel sistema, anche la soluzione di sostituzione è impraticabile.
Soluzione di un esempio di un sistema di equazioni lineari disomogenee:
Quando si cerca una soluzione ai sistemi con il metodo dell'addizione, vengono eseguite l'addizione termine per termine e la moltiplicazione delle equazioni per vari numeri. L'obiettivo finale delle operazioni matematiche è un'equazione con una variabile.
Per le applicazioni questo metodo ci vuole pratica e osservazione. Non è facile risolvere un sistema di equazioni lineari usando il metodo dell'addizione con il numero di variabili 3 o più. L'addizione algebrica è utile quando le equazioni contengono frazioni e numeri decimali.
Algoritmo di azione della soluzione:
Una nuova variabile può essere introdotta se il sistema deve trovare una soluzione per non più di due equazioni, anche il numero di incognite non dovrebbe essere superiore a due.
Il metodo viene utilizzato per semplificare una delle equazioni introducendo una nuova variabile. La nuova equazione viene risolta rispetto all'incognita immessa e il valore risultante viene utilizzato per determinare la variabile originale.
Si può vedere dall'esempio che introducendo una nuova variabile t, è stato possibile ridurre la prima equazione del sistema ad un trinomio quadrato standard. Puoi risolvere un polinomio trovando il discriminante.
È necessario trovare il valore del discriminante utilizzando la nota formula: D = b2 - 4*a*c, dove D è il discriminante desiderato, b, a, c sono i moltiplicatori del polinomio. Per questo esempio a=1, b=16, c=39, quindi D=100. Se il discriminante è maggiore di zero, allora ci sono due soluzioni: t = -b±√D / 2*a, se il discriminante è minore di zero, allora c'è una sola soluzione: x= -b / 2*a.
La soluzione per i sistemi risultanti si trova con il metodo dell'addizione.
Adatto per sistemi con 3 equazioni. Il metodo consiste nel tracciare i grafici di ciascuna equazione inclusa nel sistema sull'asse delle coordinate. Le coordinate dei punti di intersezione delle curve saranno la soluzione generale del sistema.
Il metodo grafico ha una serie di sfumature. Considera diversi esempi di risoluzione di sistemi di equazioni lineari in modo visivo.
Come si può vedere dall'esempio, per ogni linea sono stati costruiti due punti, i valori della variabile x sono stati scelti arbitrariamente: 0 e 3. In base ai valori di x, sono stati trovati i valori per y: 3 e 0. I punti con coordinate (0, 3) e (3, 0) sono stati contrassegnati sul grafico e collegati da una linea.
I passaggi devono essere ripetuti per la seconda equazione. Il punto di intersezione delle rette è la soluzione del sistema.
Nell'esempio seguente, è necessario trovare una soluzione grafica al sistema di equazioni lineari: 0.5x-y+2=0 e 0.5x-y-1=0.
Come si vede dall'esempio, il sistema non ha soluzione, perché i grafi sono paralleli e non si intersecano per tutta la loro lunghezza.
I sistemi degli esempi 2 e 3 sono simili, ma una volta costruiti diventa ovvio che le loro soluzioni sono diverse. Va ricordato che non sempre è possibile dire se il sistema ha una soluzione o meno, è sempre necessario costruire un grafico.
Le matrici vengono utilizzate per scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Una matrice è un tipo speciale di tabella piena di numeri. n*m ha n - righe e m - colonne.
Una matrice è quadrata quando il numero di colonne e di righe è uguale. Una matrice-vettore è una matrice a colonna singola con un numero infinitamente possibile di righe. Una matrice con unità lungo una delle diagonali e altri elementi nulli si chiama identità.
Una matrice inversa è una tale matrice, quando moltiplicata per la quale quella originale si trasforma in un'unità, tale matrice esiste solo per quella quadrata originale.
Per quanto riguarda i sistemi di equazioni, i coefficienti ei membri liberi delle equazioni sono scritti come numeri della matrice, un'equazione è una riga della matrice.
Una riga della matrice è detta diversa da zero se almeno un elemento della riga è diverso da zero. Pertanto, se in una qualsiasi delle equazioni il numero di variabili differisce, è necessario inserire zero al posto dell'incognita mancante.
Le colonne della matrice devono corrispondere rigorosamente alle variabili. Ciò significa che i coefficienti della variabile x possono essere scritti solo in una colonna, ad esempio la prima, il coefficiente dell'ignoto y - solo nella seconda.
Quando si moltiplica una matrice, tutti gli elementi della matrice vengono successivamente moltiplicati per un numero.
La formula per trovare la matrice inversa è abbastanza semplice: K -1 = 1 / |K|, dove K -1 - matrice inversa, e |K| - determinante di matrice. |K| non deve essere uguale a zero, allora il sistema ha una soluzione.
Il determinante è facilmente calcolato per una matrice due per due, è solo necessario moltiplicare gli elementi diagonalmente l'uno per l'altro. Per l'opzione "tre per tre", esiste una formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + un 3 b 2 c 1 . Puoi usare la formula, oppure puoi ricordare che devi prendere un elemento da ogni riga e ogni colonna in modo che i numeri di colonna e riga degli elementi non si ripetano nel prodotto.
Il metodo matriciale per trovare una soluzione consente di ridurre annotazioni ingombranti quando si risolvono i sistemi con grande quantità variabili ed equazioni.
Nell'esempio, a nm sono i coefficienti delle equazioni, la matrice è un vettore x n sono le variabili e b n sono i termini liberi.
A matematica superiore il metodo di Gauss è studiato insieme al metodo di Cramer e il processo per trovare una soluzione ai sistemi è chiamato metodo di soluzione di Gauss-Cramer. Questi metodi sono usati per trovare variabili di sistema con molte equazioni lineari.
Il metodo di Gauss è molto simile alle soluzioni che utilizzano le sostituzioni e addizione algebrica ma più sistematico. Nel corso scolastico, la soluzione gaussiana viene utilizzata per sistemi di 3 e 4 equazioni. Lo scopo del metodo è portare il sistema alla forma di un trapezio rovesciato. Mediante trasformazioni e sostituzioni algebriche, il valore di una variabile si trova in una delle equazioni del sistema. La seconda equazione è un'espressione con 2 incognite e 3 e 4 rispettivamente con 3 e 4 variabili.
Dopo aver portato il sistema alla forma descritta, l'ulteriore soluzione si riduce alla sostituzione sequenziale di variabili note nelle equazioni del sistema.
Nei libri di testo scolastici per la settima elementare, un esempio di soluzione gaussiana è descritto come segue:
Come si vede dall'esempio, al passo (3) sono state ottenute due equazioni 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. La soluzione di una qualsiasi delle equazioni ti permetterà di scoprire una delle variabili x n.
Il teorema 5, citato nel testo, afferma che se una delle equazioni del sistema viene sostituita da una equivalente, anche il sistema risultante sarà equivalente a quello originario.
Il metodo Gauss è difficile da comprendere per gli studenti Scuola superiore, ma è uno dei più modi interessanti sviluppare l'ingegno dei bambini iscritti al corso avanzato di matematica e fisica.
Per facilitare la registrazione dei calcoli, è consuetudine eseguire le seguenti operazioni:
I coefficienti di equazione ei termini liberi sono scritti sotto forma di una matrice, dove ogni riga della matrice corrisponde a una delle equazioni del sistema. separa il lato sinistro dell'equazione dal lato destro. I numeri romani indicano i numeri delle equazioni nel sistema.
Prima annotano la matrice con cui lavorare, poi tutte le azioni eseguite con una delle righe. La matrice risultante viene scritta dopo il segno "freccia" e continua a eseguire il necessario azioni algebriche fino al raggiungimento del risultato.
Di conseguenza, si dovrebbe ottenere una matrice in cui una delle diagonali è 1 e tutti gli altri coefficienti sono uguali a zero, ovvero la matrice è ridotta a un'unica forma. Non dobbiamo dimenticare di fare calcoli con i numeri di entrambi i lati dell'equazione.
Questa notazione è meno macchinosa e permette di non distrarsi elencando numerose incognite.
L'applicazione gratuita di qualsiasi metodo di soluzione richiederà cura e una certa esperienza. Non tutti i metodi sono applicati. Alcuni modi per trovare soluzioni sono più preferibili in una particolare area dell'attività umana, mentre altri esistono ai fini dell'apprendimento.
Come risulta da I teoremi di Cramer, quando si risolve un sistema di equazioni lineari, possono verificarsi tre casi:
Primo caso: il sistema di equazioni lineari ha unica decisione
(il sistema è coerente e definito)
Secondo caso: il sistema di equazioni lineari ha un numero infinito di soluzioni
(il sistema è consistente e indeterminato)
** 
,
quelli. i coefficienti delle incognite ei termini liberi sono proporzionali.
Terzo caso: il sistema di equazioni lineari non ha soluzioni
(sistema incoerente)
Quindi il sistema m equazioni lineari con n variabili è chiamato incompatibile se non ha soluzioni, e giunto se ha almeno una soluzione. Si dice un sistema congiunto di equazioni che ha una sola soluzione certo, e più di uno incerto.
Esempi di risoluzione di sistemi di equazioni lineari con il metodo di Cramer
Lascia che il sistema
.
Basato sul teorema di Cramer
………….
,
dove 
-
identificatore di sistema. Le restanti determinanti si ottengono sostituendo la colonna con i coefficienti della corrispondente variabile (sconosciuta) con membri liberi:
Esempio 2
.
Il sistema è quindi definito. Per trovare la sua soluzione, calcoliamo le determinanti
Dalle formule di Cramer troviamo:
Quindi, (1; 0; -1) è l'unica soluzione del sistema.
Per verificare le soluzioni dei sistemi di equazioni 3 X 3 e 4 X 4, puoi utilizzare il calcolatore online, metodo decisivo Kramer.
Se non ci sono variabili nel sistema di equazioni lineari in una o più equazioni, allora nel determinante gli elementi ad esse corrispondenti sono uguali a zero! Questo è il prossimo esempio.
Esempio 3 Risolvi il sistema di equazioni lineari con il metodo di Cramer:
.
Soluzione. Troviamo il determinante del sistema:
Osserva attentamente il sistema di equazioni e il determinante del sistema e ripeti la risposta alla domanda in quali casi uno o più elementi del determinante sono uguali a zero. Quindi, il determinante non è uguale a zero, quindi il sistema è definito. Per trovare la sua soluzione, calcoliamo le determinanti per le incognite
Dalle formule di Cramer troviamo:
Quindi, la soluzione del sistema è (2; -1; 1).
6. Sistema generale lineare equazioni algebriche. Metodo di Gauss.
Come ricordiamo, la regola di Cramer e il metodo matriciale non sono adatti nei casi in cui il sistema ha infinite soluzioni o è inconsistente. Metodo di Gauss – lo strumento più potente e versatile per trovare soluzioni a qualsiasi sistema di equazioni lineari, che il in ogni caso guidaci alla risposta! L'algoritmo del metodo in tutti e tre i casi funziona allo stesso modo. Se i metodi Cramer e Matrix richiedono la conoscenza dei determinanti, l'applicazione del metodo Gauss richiede la conoscenza delle sole operazioni aritmetiche, il che lo rende accessibile anche agli scolari scuola elementare.
Innanzitutto, sistemiamo un po 'la conoscenza dei sistemi di equazioni lineari. Un sistema di equazioni lineari può:
1) Avere una soluzione unica.
2) Avere infinite soluzioni.
3) Non avere soluzioni (be incompatibile).
Il metodo di Gauss è lo strumento più potente e versatile per trovare una soluzione qualunque sistemi di equazioni lineari. Come ricordiamo Regola di Cramer e metodo delle matrici non sono adatti nei casi in cui il sistema ha infinite soluzioni o è inconsistente. Un metodo esclusione sequenziale sconosciuto comunque guidaci alla risposta! In questa lezione considereremo nuovamente il metodo di Gauss per il caso n. 1 (l'unica soluzione del sistema), l'articolo è riservato alle situazioni dei punti n. 2-3. Prendo atto che l'algoritmo del metodo stesso funziona allo stesso modo in tutti e tre i casi.
Torna a il sistema più semplice dalla lezione Come risolvere un sistema di equazioni lineari?
e risolverlo con il metodo gaussiano.
Il primo passo è scrivere sistema a matrice estesa:
. In base a quale principio vengono registrati i coefficienti, penso che tutti possano vederlo. La linea verticale all'interno della matrice non ha alcun significato matematico: è solo un barrato per facilitare il design.
Riferimento:Consiglio di ricordare termini algebra lineare. Matrice di sistemaè una matrice composta solo da coefficienti per incognite, in questo esempio, la matrice del sistema: . Matrice di sistema estesaè la stessa matrice del sistema più una colonna di membri liberi, in questo caso: . Qualsiasi delle matrici può essere chiamata semplicemente una matrice per brevità.
Dopo aver scritto la matrice estesa del sistema, è necessario eseguire alcune azioni con essa, che vengono anche chiamate trasformazioni elementari.
Ci sono le seguenti trasformazioni elementari:
1) stringhe matrici può essere riorganizzato posti. Ad esempio, nella matrice in esame, puoi tranquillamente riorganizzare la prima e la seconda riga: 
2) Se la matrice contiene (o appare) proporzionale (come caso speciale sono le stesse) stringhe, allora segue Elimina dalla matrice, tutte queste righe tranne una. Consideriamo, ad esempio, la matrice 
. In questa matrice le ultime tre righe sono proporzionali, quindi è sufficiente lasciarne solo una: 
.
3) Se una riga zero è apparsa nella matrice durante le trasformazioni, allora segue anche Elimina. Non disegnerò, ovviamente, la linea zero è la linea in cui tutti zeri.
4) La riga della matrice può essere moltiplicare (dividere) per qualsiasi numero diverso da zero. Si consideri, ad esempio, la matrice . Qui è consigliabile dividere la prima riga per -3 e moltiplicare la seconda riga per 2: 
. Questa azione è molto utile, in quanto semplifica ulteriori trasformazioni della matrice.
5) Questa trasformazione causa le maggiori difficoltà, ma in realtà non c'è nemmeno nulla di complicato. Alla riga della matrice, puoi aggiungi un'altra stringa moltiplicata per un numero, diverso da zero. Considera la nostra matrice da argomento di studio: . Per prima cosa, descriverò la trasformazione in grande dettaglio. Moltiplica la prima riga per -2: 
, e alla seconda riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -2: 
. Ora la prima riga può essere divisa "indietro" per -2: . Come puoi vedere, la linea che è AGGIUNTA LI – non è cambiato. È sempre la linea è cambiata, A QUALE AGGIUNTA UT.
In pratica, ovviamente, non dipingono in modo così dettagliato, ma scrivono più brevemente: 
Ancora una volta: alla seconda riga aggiunta la prima riga moltiplicata per -2. La linea viene solitamente moltiplicata oralmente o su una bozza, mentre il corso mentale dei calcoli è qualcosa del genere:
“Riscrivo la matrice e riscrivo la prima riga: 
»
Prima colonna prima. Di seguito ho bisogno di ottenere zero. Pertanto, moltiplico l'unità sopra per -2:, e aggiungo la prima alla seconda riga: 2 + (-2) = 0. Scrivo il risultato nella seconda riga: 
»
«Ora la seconda colonna. Sopra -1 volte -2: . Aggiungo il primo alla seconda riga: 1 + 2 = 3. Scrivo il risultato nella seconda riga: 
»
«E la terza colonna. Sopra -5 volte -2: . Aggiungo la prima riga alla seconda riga: -7 + 10 = 3. Scrivo il risultato nella seconda riga: »
Per favore, pensa attentamente a questo esempio e comprendi l'algoritmo di calcolo sequenziale, se lo capisci, allora il metodo Gauss è praticamente "nella tua tasca". Ma, ovviamente, stiamo ancora lavorando a questa trasformazione.
Le trasformazioni elementari non cambiano la soluzione del sistema di equazioni
! ATTENZIONE: considerate manipolazioni non posso usare, se ti viene offerto un compito in cui le matrici sono date "da sole". Ad esempio, con "classico" matrici in nessun caso dovresti riorganizzare qualcosa all'interno delle matrici!
Torniamo al nostro sistema. È praticamente fatta a pezzi.
Scriviamo la matrice aumentata del sistema e, mediante trasformazioni elementari, riduciamola a vista a gradini:
(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. E ancora: perché moltiplichiamo la prima riga per -2? Per ottenere zero in fondo, il che significa eliminare una variabile nella seconda riga.
(2) Dividi la seconda riga per 3.
Lo scopo delle trasformazioni elementari –
convertire la matrice in forma passo: 
. Nella progettazione del compito, sottolineano direttamente con una semplice matita"scala", e cerchia anche i numeri che si trovano sui "gradini". Il termine stesso "vista a gradini" non è del tutto teorico, viene spesso chiamato nella letteratura scientifica ed educativa vista trapezoidale o vista triangolare.
Come risultato di trasformazioni elementari, abbiamo ottenuto equivalente sistema originale di equazioni:
Ora il sistema deve essere "sbrogliato". direzione inversa dal basso verso l'alto, questo processo è chiamato metodo di Gauss inverso.
Nell'equazione inferiore, abbiamo già il risultato finale: .
Considera la prima equazione del sistema e sostituiscila con il valore già noto di "y":
Consideriamo la situazione più comune, quando è richiesto il metodo gaussiano per risolvere un sistema di tre equazioni lineari con tre incognite.
Esempio 1
Risolvi il sistema di equazioni usando il metodo di Gauss: 
Scriviamo la matrice aumentata del sistema: 
Ora disegnerò immediatamente il risultato a cui arriveremo nel corso della soluzione: 
E ripeto, il nostro obiettivo è portare la matrice a una forma a gradini usando trasformazioni elementari. Da dove iniziare ad agire?
Innanzitutto, guarda il numero in alto a sinistra: 
Dovrebbe essere quasi sempre qui unità. In generale, anche -1 (e talvolta altri numeri) andrà bene, ma in qualche modo è tradizionalmente accaduto che un'unità fosse solitamente posizionata lì. Come organizzare un'unità? Guardiamo la prima colonna: abbiamo un'unità finita! Trasformazione uno: scambia la prima e la terza riga: 
Ora la prima riga rimarrà invariata fino alla fine della soluzione. Ora bene.
L'unità in alto a sinistra è organizzata. Ora devi ottenere zeri in questi punti: 
Gli zeri si ottengono solo con l'aiuto di una trasformazione "difficile". Innanzitutto, ci occupiamo della seconda riga (2, -1, 3, 13). Cosa bisogna fare per ottenere zero nella prima posizione? Bisogno alla seconda riga aggiungi la prima riga moltiplicata per -2. Mentalmente o su una bozza, moltiplichiamo la prima riga per -2: (-2, -4, 2, -18). E eseguiamo costantemente (di nuovo mentalmente o su una bozza) aggiunta, alla seconda riga aggiungiamo la prima riga, già moltiplicata per -2:
Il risultato è scritto nella seconda riga: 
Allo stesso modo, ci occupiamo della terza riga (3, 2, -5, -1). Per ottenere zero nella prima posizione, è necessario alla terza riga aggiungi la prima riga moltiplicata per -3. Mentalmente o su una bozza, moltiplichiamo la prima riga per -3: (-3, -6, 3, -27). E alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -3:
Il risultato è scritto nella terza riga:
In pratica, queste azioni vengono solitamente eseguite verbalmente e scritte in un unico passaggio: 
Non c'è bisogno di contare tutto in una volta e allo stesso tempo. L'ordine dei calcoli e l'"inserimento" dei risultati coerente e di solito così: prima riscriviamo la prima riga e ci sbuffiamo piano - COERENTEMENTE e CON ATTENZIONE:
E ho già considerato il corso mentale dei calcoli stessi sopra.
In questo esempio, è facile da fare, dividiamo la seconda riga per -5 (poiché tutti i numeri sono divisibili per 5 senza resto). Allo stesso tempo, dividiamo la terza riga per -2, perché più piccolo è il numero, più soluzione più facile:
Nella fase finale delle trasformazioni elementari, qui deve essere ottenuto un altro zero: 
Per questo alla terza riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -2:
Prova ad analizzare tu stesso questa azione: moltiplica mentalmente la seconda riga per -2 ed esegui l'addizione.
L'ultima azione eseguita è l'acconciatura del risultato, dividi la terza riga per 3.
Come risultato di trasformazioni elementari, è stato ottenuto un sistema iniziale equivalente di equazioni lineari: 
Freddo.
Ora entra in gioco il corso inverso del metodo gaussiano. Le equazioni "si svolgono" dal basso verso l'alto.
Nella terza equazione, abbiamo già il risultato finale:
Diamo un'occhiata alla seconda equazione: . Il significato di "z" è già noto, quindi:
E infine, la prima equazione: . "Y" e "Z" sono noti, la questione è piccola:
Risposta: 
Come è stato più volte notato, per qualsiasi sistema di equazioni è possibile e necessario verificare la soluzione trovata, fortunatamente non è difficile e veloce.
Esempio 2
Questo è un esempio di auto-risoluzione, un esempio di completamento e una risposta alla fine della lezione.
Va notato che il tuo corso di azione potrebbe non coincidere con la mia linea d'azione, e questa è una caratteristica del metodo di Gauss. Ma le risposte devono essere le stesse!
Esempio 3
Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss 
Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo in una forma a gradini:
Guardiamo il "gradino" in alto a sinistra. Lì dovremmo avere un'unità. Il problema è che non ce ne sono affatto nella prima colonna, quindi nulla può essere risolto riorganizzando le righe. In tali casi, l'unità deve essere organizzata utilizzando una trasformazione elementare. Questo di solito può essere fatto in diversi modi. L'ho fatto:
(1) Alla prima riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -1. Cioè, abbiamo moltiplicato mentalmente la seconda riga per -1 ed eseguito l'addizione della prima e della seconda riga, mentre la seconda riga non è cambiata.
Ora in alto a sinistra "meno uno", che ci sta perfettamente. Chi vuole ottenere +1 può compiere un gesto in più: moltiplicare la prima riga per -1 (cambiarne il segno).
(2) Alla seconda riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 5. Alla terza riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 3.
(3) La prima riga è stata moltiplicata per -1, in linea di principio, questo è per la bellezza. Anche il segno della terza riga è stato cambiato e spostato al secondo posto, così, al secondo “gradino, abbiamo avuto l'unità desiderata.
(4) La seconda riga moltiplicata per 2 è stata aggiunta alla terza riga.
(5) La terza riga è stata divisa per 3.
Un brutto segno che indica un errore di calcolo (meno spesso un errore di battitura) è una linea di fondo "cattiva". Cioè, se abbiamo qualcosa come sotto e, di conseguenza, 
, quindi con un alto grado di probabilità si può sostenere che è stato commesso un errore nel corso delle trasformazioni elementari.
Addebitiamo la mossa inversa, nella progettazione degli esempi, il sistema stesso spesso non viene riscritto e le equazioni vengono "prese direttamente dalla matrice data". La mossa inversa, ti ricordo, funziona dal basso verso l'alto. Sì, ecco un regalo:
Risposta: 
.
Esempio 4
Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss 
Questo è un esempio per una soluzione indipendente, è un po' più complicato. Va bene se qualcuno si confonde. Soluzione completa ed esempio di progetto alla fine della lezione. La tua soluzione potrebbe differire dalla mia.
Nell'ultima parte consideriamo alcune caratteristiche dell'algoritmo di Gauss.
La prima caratteristica è che a volte mancano alcune variabili nelle equazioni del sistema, ad esempio: 
Come scrivere correttamente la matrice aumentata del sistema? Ho già parlato di questo momento nella lezione. Regola di Cramer. Metodo matriciale. Nella matrice espansa del sistema, mettiamo zeri al posto delle variabili mancanti: 
A proposito, è abbastanza esempio facile, poiché c'è già uno zero nella prima colonna, e ci sono meno trasformazioni elementari da eseguire.
La seconda caratteristica è questa. In tutti gli esempi considerati, abbiamo posizionato –1 o +1 sui “gradini”. Potrebbero esserci altri numeri? In alcuni casi possono. Considera il sistema: 
.
Qui sul "gradino" in alto a sinistra abbiamo un diavolo. Ma notiamo il fatto che tutti i numeri nella prima colonna sono divisibili per 2 senza resto - e altri due e sei. E il diavolo in alto a sinistra ci andrà bene! Al primo passaggio, è necessario eseguire le seguenti trasformazioni: aggiungere la prima riga moltiplicata per -1 alla seconda riga; alla terza riga aggiungi la prima riga moltiplicata per -3. Pertanto, otterremo gli zeri desiderati nella prima colonna.
Oppure un altro esempio ipotetico: 
. Qui ci va bene anche la tripla sul secondo “piolo”, poiché 12 (il punto in cui dobbiamo ottenere zero) è divisibile per 3 senza resto. È necessario eseguire la seguente trasformazione: alla terza riga aggiungere la seconda riga, moltiplicata per -4, a seguito della quale si otterrà lo zero di cui abbiamo bisogno.
Il metodo Gauss è universale, ma c'è una particolarità. Impara con sicurezza a risolvere i sistemi con altri metodi (metodo di Cramer, metodo matriciale) può essere letteralmente la prima volta: esiste un algoritmo molto rigoroso. Ma per sentirti sicuro del metodo Gauss, dovresti "riempirti la mano" e risolvere almeno 5-10 sistemi. Pertanto, all'inizio potrebbero esserci confusione, errori nei calcoli e non c'è nulla di insolito o tragico in questo.
piovoso clima autunnale fuori dalla finestra .... Quindi, per tutti, un esempio più complesso per una soluzione indipendente:
Esempio 5
Risolvi un sistema di quattro equazioni lineari in quattro incognite usando il metodo di Gauss. 
Un tale compito in pratica non è così raro. Penso che anche una teiera che ha studiato in dettaglio questa pagina comprenda intuitivamente l'algoritmo per risolvere un tale sistema. Fondamentalmente lo stesso: solo più azione.
Nella lezione vengono considerati i casi in cui il sistema non ha soluzioni (inconsistente) o ha infinite soluzioni. Sistemi incompatibili e sistemi con una soluzione comune. Lì puoi correggere l'algoritmo considerato del metodo Gauss.
Ti auguro successo!
Soluzioni e risposte:
Esempio 2: Soluzione: Scriviamo la matrice aumentata del sistema e con l'ausilio di trasformazioni elementari la porteremo ad una forma a gradini.
Trasformazioni elementari eseguite:
(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -1. Attenzione! Qui potrebbe essere allettante sottrarre la prima dalla terza riga, sconsiglio vivamente di sottrarre: il rischio di errore aumenta notevolmente. Pieghiamo e basta!
(2) Il segno della seconda riga è stato modificato (moltiplicato per -1). La seconda e la terza riga sono state scambiate. Nota che sui “gradini” ci accontentiamo non solo di uno, ma anche di -1, che è ancora più conveniente.
(3) Alla terza riga, aggiungi la seconda riga, moltiplicata per 5.
(4) Il segno della seconda riga è stato modificato (moltiplicato per -1). La terza riga è stata divisa per 14.
Movimento inverso:
Risposta: 
.
Esempio 4: Soluzione: Scriviamo la matrice aumentata del sistema e con l'ausilio di trasformazioni elementari la portiamo alla forma a gradino:
Conversioni eseguite:
(1) La seconda riga è stata aggiunta alla prima riga. Pertanto, l'unità desiderata è organizzata sul "gradino" in alto a sinistra.
(2) Alla seconda riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 7. Alla terza riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 6.
Con il secondo "passo" tutto è peggio, i "candidati" per esso sono i numeri 17 e 23, e abbiamo bisogno di uno o -1. Le trasformazioni (3) e (4) saranno finalizzate all'ottenimento dell'unità desiderata
(3) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -1.
(4) La terza riga, moltiplicata per -3, è stata aggiunta alla seconda riga.
La cosa necessaria sul secondo gradino è ricevuta
.
(5) Alla terza riga aggiunta la seconda, moltiplicata per 6.
All'interno delle lezioni Metodo di Gauss e Sistemi/sistemi incompatibili con una soluzione comune abbiamo considerato sistemi disomogenei di equazioni lineari, dove membro libero(che di solito è sulla destra) almeno una delle equazioni era diverso da zero.
E ora, dopo un buon riscaldamento con rango di matrice, continueremo a perfezionare la tecnica trasformazioni elementari sul sistema omogeneo equazioni lineari.
Secondo i primi paragrafi, il materiale può sembrare noioso e ordinario, ma questa impressione è ingannevole. Oltre all'ulteriore sviluppo di metodi tecnici, ce ne saranno molti nuova informazione, quindi cerca di non trascurare gli esempi in questo articolo.
Soluzione farlo con una calcolatrice. Scriviamo le matrici estese e principali: 
La matrice principale A è separata da una linea tratteggiata Dall'alto, scriviamo i sistemi incogniti, tenendo presente la possibile permutazione dei termini nelle equazioni del sistema. Determinando il rango della matrice estesa, troviamo contemporaneamente il rango di quella principale. Nella matrice B, la prima e la seconda colonna sono proporzionali. Delle due colonne proporzionali solo una può cadere nella minore di base, quindi spostiamo, ad esempio, la prima colonna oltre la linea tratteggiata di segno opposto. Per il sistema, ciò significa spostare i membri da x 1 a lato destro equazioni. 
Portiamo la matrice in forma triangolare. Lavoreremo solo con le righe, poiché moltiplicare una riga della matrice per un numero diverso da zero e aggiungere un'altra riga per il sistema significa moltiplicare l'equazione per lo stesso numero e aggiungerla a un'altra equazione, che non cambia la soluzione del sistema . Lavorando con la prima riga: moltiplica la prima riga della matrice per (-3) e aggiungi a turno la seconda e la terza riga. Quindi moltiplichiamo la prima riga per (-2) e la aggiungiamo alla quarta. 
La seconda e la terza riga sono proporzionali, quindi una di esse, ad esempio la seconda, può essere barrata. Ciò equivale a cancellare la seconda equazione del sistema, poiché è una conseguenza della terza. 
Ora lavoriamo con la seconda riga: moltiplicala per (-1) e aggiungila alla terza. 
Il minore tratteggiato ha l'ordine più alto (di tutti i minori possibili) ed è diverso da zero (è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale), e questo minore appartiene sia alla matrice principale che a quella estesa, quindi rangA = rangB = 3 .
Minore 
è basilare. Include i coefficienti per le incognite x 2, x 3, x 4, il che significa che le incognite x 2, x 3, x 4 sono dipendenti e x 1, x 5 sono libere.
Trasformiamo la matrice, lasciando a sinistra solo il minore di base (che corrisponde al punto 4 dell'algoritmo risolutivo di cui sopra). 
Il sistema con coefficienti di questa matrice è equivalente al sistema originale e ha la forma
Con il metodo di eliminazione delle incognite troviamo: 
, ,
Abbiamo relazioni che esprimono variabili dipendenti x 2, x 3, x 4 attraverso x 1 e x 5 liberi, cioè abbiamo trovato una soluzione generale: 
Dando valori arbitrari alle incognite libere, si ottiene un numero qualsiasi di soluzioni particolari. Troviamo due soluzioni particolari:
1) sia x 1 = x 5 = 0, allora x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) metti x 1 = 1, x 5 = -1, quindi x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Pertanto, abbiamo trovato due soluzioni: (0.1, -3,3,0) - una soluzione, (1.4, -7.7, -1) - un'altra soluzione.
Esempio 2. Indagare sulla compatibilità, trovare una soluzione generale e una particolare del sistema 
Soluzione. Riorganizziamo la prima e la seconda equazione per avere un'unità nella prima equazione e scriviamo la matrice B. 
Otteniamo zeri nella quarta colonna, operando sulla prima riga: 
Ora ottieni gli zeri nella terza colonna usando la seconda riga: 
La terza e la quarta riga sono proporzionali, quindi una di esse può essere cancellata senza modificare il rango:
Moltiplica la terza riga per (-2) e aggiungi alla quarta: 
Vediamo che i ranghi delle matrici principale ed estesa sono 4, e il rango coincide con il numero di incognite, quindi il sistema ha un'unica soluzione:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.
Esempio 3. Esaminare il sistema per verificarne la compatibilità e trovare una soluzione, se esiste. 
Soluzione. Componiamo la matrice estesa del sistema. 
Riorganizza le prime due equazioni in modo che ci sia un 1 nell'angolo in alto a sinistra:
Moltiplicando la prima riga per (-1), la aggiungiamo alla terza: 
Moltiplica la seconda riga per (-2) e aggiungi alla terza: 
Il sistema è incoerente, poiché la matrice principale ha ricevuto una riga composta da zeri, che viene barrata quando viene trovato il rango, e l'ultima riga rimane nella matrice estesa, ovvero r B > r A .
Esercizio. Indaga sulla compatibilità di questo sistema di equazioni e risolvilo mediante il calcolo matriciale.
Soluzione
Esempio. Dimostrare la compatibilità di un sistema di equazioni lineari e risolverlo in due modi: 1) con il metodo di Gauss; 2) Metodo di Cramer. (inserisci la risposta nella forma: x1,x2,x3)
Soluzione :doc :doc :xls
Risposta: 2,-1,3.
Esempio. È dato un sistema di equazioni lineari. Dimostra la sua compatibilità. Trova una soluzione generale del sistema e una soluzione particolare.
Soluzione
Risposta: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3 x 5
Esercizio. Trova soluzioni generali e particolari per ogni sistema.
Soluzione. Studiamo questo sistema usando il teorema di Kronecker-Capelli.
Scriviamo le matrici estese e principali:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Esercizio. Risolvi il sistema di equazioni.
Risposta:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Dando valori arbitrari alle incognite libere, si ottiene un numero qualsiasi di soluzioni particolari. Il sistema è incerto
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
I. Dichiarazione del problema.
II. Compatibilità di sistemi omogenei ed eterogenei.
III. Sistema t equazioni con t sconosciuto. Regola di Cramer.
IV. Metodo matriciale per la risoluzione di sistemi di equazioni.
Metodo di V. Gauss.
I. Dichiarazione del problema.
chiamato il sistema m equazioni lineari con n sconosciuto 
. I coefficienti delle equazioni di questo sistema sono scritti sotto forma di una matrice
chiamato matrice di sistema (1).
I numeri sul lato destro delle equazioni si formano colonna membri gratuiti {B}:
.
Se colonna ( B}={0 ), quindi viene chiamato il sistema di equazioni omogeneo. Altrimenti, quando ( B}≠{0 ) - sistema eterogeneo.
Il sistema di equazioni lineari (1) può essere scritto in forma matriciale
[UN]{X}={B}. (2)
Qui 
- colonna di incognite.
Risolvere il sistema di equazioni (1) significa trovare l'insieme n
numeri 
tale che quando si sostituisce nel sistema (1) invece di sconosciuto 
ogni equazione del sistema diventa un'identità. Numeri 
sono chiamate soluzioni del sistema di equazioni.
,
può avere un numero infinito di soluzioni
o non avere alcuna soluzione
.
Si chiamano sistemi di equazioni che non hanno soluzioni incompatibile. Se un sistema di equazioni ha almeno una soluzione, viene chiamato giunto. Il sistema di equazioni è chiamato certo se ha una soluzione unica, e incerto se ha un numero infinito di soluzioni.
II. Compatibilità di sistemi omogenei ed eterogenei.
La condizione di compatibilità per il sistema di equazioni lineari (1) è formulata in Teorema di Kronecker-Capelli: un sistema di equazioni lineari ha almeno una soluzione se e solo se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa: 
.
La matrice estesa del sistema è la matrice ottenuta dalla matrice del sistema assegnandole a destra una colonna di termini liberi:
.
Se Rg UN
I sistemi omogenei di equazioni lineari secondo il teorema di Kronecker-Capelli sono sempre compatibili. Si consideri il caso di un sistema omogeneo in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite, cioè m=n. Se il determinante della matrice di un tale sistema non è uguale a zero, cioè 
, il sistema omogeneo ha un'unica soluzione, che è banale (zero). I sistemi omogenei hanno un numero infinito di soluzioni se ci sono equazioni linearmente dipendenti tra le equazioni del sistema, cioè 
.
Esempio. Considera un sistema omogeneo di tre equazioni lineari con tre incognite:
ed esaminare la questione del numero delle sue soluzioni. Ciascuna delle equazioni può essere considerata come l'equazione del piano passante per l'origine ( D=0 ). Il sistema di equazioni ha una soluzione unica quando tutti e tre i piani si intersecano in un punto. Inoltre, i loro vettori normali sono non complanari e, quindi, la condizione
.
La soluzione del sistema in questo caso X=0, si=0, z.z=0 .
Se almeno due dei tre piani, ad esempio il primo e il secondo, sono paralleli, cioè , allora il determinante della matrice del sistema è uguale a zero, e il sistema ha un numero infinito di soluzioni. Inoltre, le soluzioni saranno le coordinate X, si, z.z tutti i punti su una linea
Se tutti e tre i piani coincidono, il sistema di equazioni si riduce a un'unica equazione
,
e la soluzione saranno le coordinate di tutti i punti che giacciono su questo piano.
Quando si studiano sistemi disomogenei di equazioni lineari, la questione della compatibilità viene risolta utilizzando il teorema di Kronecker-Capelli. Se il numero di equazioni in un tale sistema è uguale al numero di incognite, allora il sistema ha una soluzione unica se il suo determinante non è uguale a zero. In caso contrario, il sistema è incoerente o ha un numero infinito di soluzioni.
Esempio. Studiamo il sistema disomogeneo di due equazioni a due incognite
.
,
. In questo caso, il rango della matrice del sistema è 1:Rg UN=1
, perché 
,
mentre il rango della matrice aumentata 
è uguale a due, poiché per essa si può scegliere come base minore la minore del secondo ordine contenente la terza colonna.
Nel caso in esame Rg UN
Se le linee coincidono, ad es. , allora il sistema di equazioni ha un numero infinito di soluzioni: le coordinate dei punti sulla retta 
. In questo caso Rg UN=
Rg UN *
=1.
Il sistema ha una soluzione unica quando le linee non sono parallele, cioè 
. La soluzione di questo sistema sono le coordinate del punto di intersezione delle linee 
III. Sistemat equazioni cont sconosciuto. Regola di Cramer.
Consideriamo il caso più semplice, quando il numero di equazioni di sistema è uguale al numero di incognite, cioè m= n. Se il determinante della matrice del sistema è diverso da zero, la soluzione del sistema può essere trovata utilizzando la regola di Cramer:
(3)
Qui 
- determinante della matrice del sistema,
- determinante della matrice ottenuta da [ UN] sostituzione io esima colonna alla colonna dei membri gratuiti:
.
Esempio. Risolvi il sistema di equazioni con il metodo di Cramer.
Soluzione :
1) trovare il determinante del sistema
2) trovare determinanti ausiliari
3) trovare una soluzione al sistema secondo la regola di Cramer:
Il risultato della soluzione può essere verificato sostituendo nel sistema di equazioni
Si ottengono identità corrette.
IV. Metodo matriciale per la risoluzione di sistemi di equazioni.
[UN]{X}={B}
e moltiplicare le parti destra e sinistra della relazione (2) da sinistra per la matrice [ UN -1 ], inversa alla matrice del sistema:
[UN -1 ][UN]{X}=[UN -1 ]{B}. (2)
Per definizione della matrice inversa, il prodotto [ UN -1 ][UN]=[E], e dalle proprietà della matrice identità [ E]{X}={X). Allora dalla relazione (2") si ottiene
{X}=[UN -1 ]{B}. (4)
La relazione (4) è alla base del metodo matriciale per risolvere sistemi di equazioni lineari: è necessario trovare una matrice inversa alla matrice del sistema e moltiplicare per essa il vettore colonna delle parti destre del sistema.
Esempio. Risolviamo il sistema di equazioni considerato nell'esempio precedente con il metodo matriciale.
Matrice di sistema 
il suo det determinante UN==183
.
.Per trovare la matrice [ UN -1 ], trovare la matrice allegata a [ UN]:
o 
La formula per il calcolo della matrice inversa include 
, poi
Ora possiamo trovare una soluzione al sistema
Poi finalmente ci arriviamo 
.
Metodo di V. Gauss.
Con un gran numero di incognite, la soluzione del sistema di equazioni mediante il metodo Cramer o il metodo della matrice è associata al calcolo di determinanti di ordine elevato o all'inversione di grandi matrici. Queste procedure sono molto laboriose anche per i computer moderni. Pertanto, per risolvere sistemi di un gran numero di equazioni, viene utilizzato più spesso il metodo Gauss.
Il metodo di Gauss consiste nell'eliminazione successiva delle incognite mediante trasformazioni elementari della matrice estesa del sistema. Le trasformazioni elementari della matrice includono la permutazione di righe, l'addizione di righe, la moltiplicazione di righe per numeri diversi da zero. Come risultato delle trasformazioni, è possibile ridurre la matrice del sistema a una triangolare superiore, sulla cui diagonale principale sono presenti le unità, e sotto la diagonale principale - zeri. Questa è la mossa diretta del metodo di Gauss. Il corso inverso del metodo consiste nella determinazione diretta delle incognite, a partire dall'ultima.
Illustriamo il metodo di Gauss sull'esempio di risoluzione del sistema di equazioni
Al primo passo del movimento in avanti, è garantito che il coefficiente 
del sistema trasformato è diventato uguale a 1
, e i coefficienti 
e 
girato a zero. Per fare ciò, moltiplica la prima equazione per 1/10
, moltiplicare la seconda equazione per 10
e aggiungi alla prima, moltiplica la terza equazione per -10/2
e aggiungerlo al primo. Dopo queste trasformazioni, otteniamo
Nella seconda fase, assicuriamo che dopo le trasformazioni il coefficiente 
diventato uguale 1
, e il coefficiente 
. Per fare ciò, dividiamo la seconda equazione per 42
, e moltiplicare la terza equazione per -42/27
e aggiungerlo al secondo. Otteniamo un sistema di equazioni
Il terzo passo è ottenere il coefficiente 
. Per fare ciò, dividiamo la terza equazione per (37 - 84/27)
; noi abbiamo
È qui che finisce il corso diretto del metodo Gauss, perché la matrice del sistema si riduce a quella triangolare superiore:
In questa lezione considereremo i metodi per risolvere un sistema di equazioni lineari. Nel corso della matematica superiore, i sistemi di equazioni lineari devono essere risolti sia sotto forma di compiti separati, ad esempio "Risolvi il sistema usando le formule di Cramer", sia nel corso della risoluzione di altri problemi. Si ha a che fare con sistemi di equazioni lineari in quasi tutti i rami della matematica superiore.
Innanzitutto, una piccola teoria. Cosa significa in questo caso la parola matematica "lineare"? Ciò significa che nelle equazioni del sistema tutto le variabili sono incluse in primo grado: nessuna roba di fantasia come 
ecc., di cui sono felici solo i partecipanti alle Olimpiadi matematiche.
Nella matematica superiore, non solo le lettere familiari fin dall'infanzia vengono utilizzate per designare le variabili.
Un'opzione abbastanza popolare sono le variabili con indici: .
O le lettere iniziali dell'alfabeto latino, piccole e grandi:
Non è così raro trovare lettere greche: - ben note a molti "alfa, beta, gamma". E anche un set con indici, diciamo, con la lettera "mu":
L'uso dell'una o dell'altra serie di lettere dipende dal ramo della matematica superiore in cui ci troviamo di fronte a un sistema di equazioni lineari. Quindi, ad esempio, nei sistemi di equazioni lineari incontrati nella risoluzione di integrali, equazioni differenziali, è tradizionalmente consuetudine utilizzare la notazione
Ma non importa come vengono designate le variabili, i principi, i metodi e i metodi per risolvere un sistema di equazioni lineari non cambiano da questo. Quindi, se ti imbatti in qualcosa di terribile come, non affrettarti a chiudere il libro dei problemi per la paura, dopotutto, invece puoi disegnare il sole, invece - un uccello, e invece - una faccia (di un insegnante). E, stranamente, è possibile risolvere anche un sistema di equazioni lineari con queste notazioni.
Qualcosa che ho una tale premonizione che l'articolo risulterà piuttosto lungo, quindi un piccolo sommario. Quindi, il "debriefing" sequenziale sarà il seguente:
– Risolvere un sistema di equazioni lineari con il metodo della sostituzione (“metodo della scuola”);
– Soluzione del sistema con il metodo dell'addizione termine per termine (sottrazione) delle equazioni del sistema;
– Soluzione del sistema mediante le formule di Cramer;
– Soluzione del sistema utilizzando la matrice inversa;
– Soluzione del sistema con il metodo di Gauss.
Tutti hanno familiarità con i sistemi di equazioni lineari del corso di matematica della scuola. In effetti, iniziamo con la ripetizione.
Questo metodo può anche essere chiamato "metodo scolastico" o metodo per eliminare le incognite. In senso figurato, può anche essere chiamato il "metodo Gauss semifinito".
Esempio 1
Abbiamo un sistema di due equazioni in due incognite. Si noti che i termini liberi (numeri 5 e 7) si trovano sul lato sinistro dell'equazione. In generale, non importa dove si trovino, a sinistra oa destra, è solo che nei problemi di matematica superiore sono spesso posizionati in quel modo. E un tale record non dovrebbe creare confusione, se necessario, il sistema può sempre essere scritto "come al solito":. Non dimenticare che quando trasferisci un termine da una parte all'altra, devi cambiarne il segno.
Cosa significa risolvere un sistema di equazioni lineari? Risolvere un sistema di equazioni significa trovare l'insieme delle sue soluzioni. La soluzione del sistema è un insieme di valori di tutte le variabili incluse in esso, che trasforma OGNI equazione del sistema in una vera uguaglianza. Inoltre, il sistema può essere incompatibile (non avere soluzioni).Non essere timido, questa è una definizione generale =) Avremo solo un valore di "x" e un valore di "y", che soddisfano ogni equazione con-noi.
Esiste un metodo grafico per risolvere il sistema, che può essere trovato nella lezione. I problemi più semplici con una linea retta. Lì ho parlato senso geometrico sistemi di due equazioni lineari in due incognite. Ma ora nel cortile è l'era dell'algebra e dei numeri-numeri, delle azioni-azioni.
Noi decidiamo: dalla prima equazione esprimiamo:
Sostituiamo l'espressione risultante nella seconda equazione:
Apriamo le parentesi, diamo termini simili e troviamo il valore: 
Successivamente, ricordiamo da cosa hanno ballato:
Conosciamo già il valore, resta da trovare:
Risposta:
Dopo che QUALSIASI sistema di equazioni è stato risolto in QUALSIASI modo, consiglio vivamente di controllare (oralmente, su bozza o calcolatrice). Fortunatamente, questo viene fatto rapidamente e facilmente.
1) Sostituisci la risposta trovata nella prima equazione:
- si ottiene l'uguaglianza corretta.
2) Sostituiamo la risposta trovata nella seconda equazione: 
- si ottiene l'uguaglianza corretta.
O, per dirla più semplicemente, "tutto è andato per il verso giusto"
Il metodo di soluzione considerato non è l'unico; dalla prima equazione era possibile esprimere , ma non .
Puoi viceversa: esprimere qualcosa dalla seconda equazione e sostituirlo nella prima equazione. A proposito, nota che il più svantaggioso dei quattro modi è esprimere dalla seconda equazione:
Le frazioni si ottengono, ma perché è così? C'è una soluzione più razionale.
Tuttavia, in alcuni casi, le frazioni sono ancora indispensabili. A questo proposito, attiro la tua attenzione su COME ho scritto l'espressione. Non così: e per niente così: 
.
Se in matematica superiore hai a che fare con numeri frazionari, prova a eseguire tutti i calcoli in frazioni improprie ordinarie.
Precisamente, no o!
La virgola può essere utilizzata solo occasionalmente, in particolare se - questa è la risposta definitiva a qualche problema e non è necessario eseguire ulteriori azioni con questo numero.
Molti lettori probabilmente hanno pensato "perché una spiegazione così dettagliata, come per una lezione di correzione, e tutto è chiaro". Niente del genere, sembra essere un esempio scolastico così semplice, ma quante conclusioni MOLTO importanti! Eccone un altro:
Qualsiasi compito dovrebbe essere cercato di essere completato nel modo più razionale.. Se non altro perché fa risparmiare tempo e nervi e riduce anche la probabilità di commettere un errore.
Se in un compito di matematica superiore ti imbatti in un sistema di due equazioni lineari con due incognite, puoi sempre utilizzare il metodo di sostituzione (a meno che non sia indicato che il sistema deve essere risolto con un altro metodo) ".
Inoltre, in alcuni casi, è consigliabile utilizzare il metodo di sostituzione con un numero maggiore di variabili.
Esempio 2
Risolvere un sistema di equazioni lineari a tre incognite
Un simile sistema di equazioni sorge spesso quando si utilizza il cosiddetto metodo dei coefficienti indefiniti, quando troviamo l'integrale di una funzione frazionaria razionale. Il sistema in questione è stato preso da me da lì.
Quando si trova l'integrale, l'obiettivo veloce trova i valori dei coefficienti e non essere sofisticato con le formule di Cramer, il metodo della matrice inversa, ecc. Pertanto, in questo caso, il metodo di sostituzione è appropriato.
Quando viene fornito un sistema di equazioni, prima di tutto è desiderabile scoprirlo, ma è possibile in qualche modo semplificarlo IMMEDIATAMENTE? Analizzando le equazioni del sistema, notiamo che la seconda equazione del sistema può essere divisa per 2, cosa che facciamo:
Riferimento: un simbolo matematico significa "da questo segue questo", è spesso usato nel corso della risoluzione di problemi.
Ora analizziamo le equazioni, dobbiamo esprimere qualche variabile attraverso il resto. Quale equazione scegliere? Probabilmente hai già intuito che il modo più semplice per questo scopo è prendere la prima equazione del sistema:
Qui, non importa quale variabile esprimere, si potrebbe anche esprimere o .
Successivamente, sostituiamo l'espressione for nella seconda e terza equazione del sistema: 
Apri le parentesi e aggiungi termini simili: 
Dividiamo la terza equazione per 2: 
Dalla seconda equazione, esprimiamo e sostituiamo nella terza equazione:
Quasi tutto è pronto, dalla terza equazione troviamo:
Dalla seconda equazione: 
Dalla prima equazione:
Verifica: sostituisci i valori trovati delle variabili nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema:
1)
2)
3)
Si ottengono i corrispondenti membri di destra delle equazioni, quindi la soluzione viene trovata correttamente.
Esempio 3
Risolvere un sistema di equazioni lineari in 4 incognite
Questo è un esempio di auto-risoluzione (risposta alla fine della lezione).
Nel corso della risoluzione di sistemi di equazioni lineari, si dovrebbe cercare di utilizzare non il "metodo scolastico", ma il metodo dell'addizione termine per termine (sottrazione) delle equazioni del sistema. Come mai? Ciò consente di risparmiare tempo e semplifica i calcoli, tuttavia ora diventerà più chiaro.
Esempio 4
Risolvi il sistema di equazioni lineari: 
Ho preso lo stesso sistema del primo esempio.
Analizzando il sistema di equazioni, notiamo che i coefficienti della variabile sono identici in valore assoluto e opposti in segno (–1 e 1). In questa situazione, le equazioni possono essere sommate termine per termine: 
Le azioni cerchiate in rosso vengono eseguite MENTALMENTE.
Come puoi vedere, come risultato dell'addizione termwise, abbiamo perso la variabile . Questo, infatti, è l'essenza del metodo è sbarazzarsi di una delle variabili.
