In questo articolo, il metodo è considerato come un modo per risolvere sistemi di equazioni lineari (SLAE). Il metodo è analitico, ovvero consente di scrivere un algoritmo di soluzione vista generale, quindi sostituisci lì i valori di esempi specifici. A differenza del metodo matriciale o delle formule di Cramer, quando risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss, puoi anche lavorare con quelli che hanno infinite soluzioni. Oppure non ce l'hanno affatto.
Per prima cosa devi scrivere il nostro sistema di equazioni in Assomiglia a questo. Il sistema è preso:
I coefficienti sono scritti sotto forma di tabella e sulla destra in una colonna separata - membri liberi. La colonna con i membri liberi è separata per comodità, la matrice che include questa colonna è chiamata estesa.
Inoltre, la matrice principale con i coefficienti deve essere ridotta alla forma triangolare superiore. Questo è il punto principale della risoluzione del sistema con il metodo di Gauss. In poche parole, dopo alcune manipolazioni, la matrice dovrebbe apparire così, in modo che ci siano solo zeri nella sua parte in basso a sinistra:
Quindi, se scrivi nuovamente la nuova matrice come sistema di equazioni, noterai che l'ultima riga contiene già il valore di una delle radici, che viene poi sostituita nell'equazione precedente, viene trovata un'altra radice e così via.
Questa descrizione della soluzione con il metodo di Gauss in più in termini generali. E cosa succede se improvvisamente il sistema non ha una soluzione? O ce ne sono un numero infinito? Per rispondere a queste e molte altre domande, è necessario considerare separatamente tutti gli elementi utilizzati nella soluzione con il metodo di Gauss.
Nessuno significato nascosto non nella matrice. È solo un modo conveniente per registrare i dati per operazioni successive. Anche gli scolari non dovrebbero averne paura.
La matrice è sempre rettangolare, perché è più conveniente. Anche nel metodo di Gauss, dove tutto si riduce alla costruzione di una matrice triangolare, nella voce appare un rettangolo, solo con zeri nel punto in cui non ci sono numeri. Gli zeri possono essere omessi, ma sono impliciti.
La matrice ha una dimensione. La sua "larghezza" è il numero di righe (m), la sua "lunghezza" è il numero di colonne (n). Quindi la dimensione della matrice A (le lettere latine maiuscole sono solitamente utilizzate per la loro designazione) sarà indicata come A m×n . Se m=n, allora questa matrice è quadrata e m=n è il suo ordine. Di conseguenza, qualsiasi elemento della matrice A può essere denotato dal numero della sua riga e colonna: a xy ; x - numero riga, modifiche , y - numero colonna, modifiche .
B non è il punto principale della soluzione. In linea di principio, tutte le operazioni possono essere eseguite direttamente con le equazioni stesse, ma la notazione risulterà molto più macchinosa e sarà molto più facile confondersi con essa.
La matrice ha anche un determinante. Questa è una caratteristica molto importante. Scoprire il suo significato ora non ne vale la pena, puoi semplicemente mostrare come viene calcolato e quindi dire quali proprietà della matrice determina. Il modo più semplice per trovare il determinante è attraverso le diagonali. Le diagonali immaginarie sono disegnate nella matrice; si moltiplicano gli elementi posti su ciascuno di essi, quindi si sommano i prodotti risultanti: diagonali con pendenza a destra - con segno "più", con pendenza a sinistra - con segno "meno".
È estremamente importante notare che il determinante può essere calcolato solo per una matrice quadrata. Per una matrice rettangolare, puoi fare quanto segue: scegli il più piccolo tra il numero di righe e il numero di colonne (lascia che sia k), quindi contrassegna a caso k colonne e k righe nella matrice. Gli elementi situati all'intersezione delle colonne e delle righe selezionate formeranno una nuova matrice quadrata. Se il determinante di tale matrice è un numero diverso da zero, allora si chiama base minore della matrice rettangolare originale.
Prima di procedere con la soluzione del sistema di equazioni con il metodo di Gauss, non fa male calcolare il determinante. Se risulta essere zero, allora possiamo immediatamente dire che la matrice ha un numero infinito di soluzioni o non ce ne sono affatto. In un caso così triste, devi andare oltre e scoprire il grado della matrice.
Esiste qualcosa come il rango di una matrice. Questo è l'ordine massimo del suo determinante diverso da zero (ricordando la base minore, possiamo dire che il rango di una matrice è l'ordine della base minore).
A seconda di come stanno le cose con il grado, lo SLAE può essere suddiviso in:
Il metodo di Gauss è buono in quanto consente di ottenere una prova univoca dell'incoerenza del sistema (senza calcolare le determinanti di grandi matrici) o una soluzione generale per un sistema con un numero infinito di soluzioni durante la soluzione.
Prima di procedere direttamente alla soluzione del sistema, è possibile renderlo meno ingombrante e più comodo per i calcoli. Ciò si ottiene attraverso trasformazioni elementari, in modo tale che la loro implementazione non modifichi in alcun modo la risposta finale. Si noti che alcune delle suddette trasformazioni elementari sono valide solo per matrici, la cui fonte era appunto lo SLAE. Ecco un elenco di queste trasformazioni:
Per facilità di comprensione, vale la pena smontare questo processo passo dopo passo. Due righe sono prese dalla matrice:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Supponiamo di dover sommare il primo al secondo, moltiplicato per il coefficiente "-2".
a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11
a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12
a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n
Quindi nella matrice la seconda riga viene sostituita con una nuova e la prima rimane invariata.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Si noti che il fattore di moltiplicazione può essere scelto in modo tale che, per effetto dell'addizione di due stringhe, uno degli elementi della nuova stringa sia uguale a zero. Pertanto, è possibile ottenere un'equazione nel sistema, dove ci sarà un'incognita in meno. E se ottieni due di queste equazioni, l'operazione può essere ripetuta e ottieni un'equazione che conterrà già due incognite in meno. E se ogni volta che rivolgiamo a zero un coefficiente per tutte le righe inferiori a quella originale, allora possiamo, come gradini, scendere fino in fondo alla matrice e ottenere un'equazione con uno sconosciuto. Questo si chiama risolvere il sistema usando il metodo gaussiano.
Lascia che ci sia un sistema. Ha m equazioni e n radici sconosciute. Puoi scriverlo così:
La matrice principale è compilata dai coefficienti del sistema. Una colonna di membri liberi viene aggiunta alla matrice estesa e separata da una barra per comodità.
Ora viene eseguita la stessa serie di trasformazioni, sono coinvolte solo la prima e la terza riga. Di conseguenza, in ogni fase dell'algoritmo, l'elemento a 21 è sostituito da a 31 . Poi si ripete tutto per un 41, ... un m1. Il risultato è una matrice in cui il primo elemento nelle righe è uguale a zero. Ora dobbiamo dimenticare la riga numero uno ed eseguire lo stesso algoritmo a partire dalla seconda riga:
L'algoritmo deve essere ripetuto finché non compare il coefficiente k = (-a m,m-1 /a mm). Questo significa che dentro ultima volta l'algoritmo è stato eseguito solo per l'equazione inferiore. Ora la matrice ha l'aspetto di un triangolo o ha una forma a gradini. L'ultima riga contiene l'uguaglianza a mn × x n = b m . Il coefficiente e il termine libero sono noti e la radice è espressa attraverso di essi: x n = b m /a mn. La radice risultante viene sostituita nella riga superiore per trovare x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . E così via per analogia: in ogni riga successiva c'è una nuova radice e, raggiunta la "cima" del sistema, si possono trovare tante soluzioni. Sarà l'unico.
Se in una delle righe della matrice tutti gli elementi, ad eccezione del termine libero, sono uguali a zero, l'equazione corrispondente a questa riga appare come 0 = b. Non ha soluzione. E poiché una tale equazione è inclusa nel sistema, allora l'insieme delle soluzioni dell'intero sistema è vuoto, cioè è degenere.
Potrebbe risultare che nella matrice triangolare ridotta non ci sono righe con un elemento: il coefficiente dell'equazione e uno: un membro libero. Ci sono solo stringhe che, una volta riscritte, sembrerebbero un'equazione con due o più variabili. Ciò significa che il sistema ha un numero infinito di soluzioni. In questo caso, la risposta può essere data sotto forma di una soluzione generale. Come farlo?
Tutte le variabili nella matrice sono divise in base e libere. Di base: sono quelli che stanno "sul bordo" delle file nella matrice a gradini. Il resto è gratuito. A decisione comune le variabili di base sono scritte in termini di quelle libere.
Per comodità, la matrice viene prima riscritta in un sistema di equazioni. Quindi nell'ultimo di essi, dove è rimasta esattamente solo una variabile di base, rimane da una parte e tutto il resto viene trasferito dall'altra. Questo viene fatto per ogni equazione con una variabile di base. Quindi, nel resto delle equazioni, ove possibile, al posto della variabile di base, viene sostituita l'espressione ottenuta per essa. Se, come risultato, appare di nuovo un'espressione contenente solo una variabile di base, viene nuovamente espressa da lì, e così via, finché ogni variabile di base non viene scritta come un'espressione con variabili libere. Questa è la soluzione generale di SLAE.
Puoi anche trovare la soluzione di base del sistema: assegna qualsiasi valore alle variabili libere, quindi per questo caso particolare calcola i valori delle variabili di base. Ci sono infinite soluzioni particolari.
Ecco il sistema di equazioni.
Per comodità, è meglio creare immediatamente la sua matrice
È noto che quando si risolve con il metodo di Gauss, l'equazione corrispondente alla prima riga rimarrà invariata alla fine delle trasformazioni. Pertanto, sarà più redditizio se l'elemento in alto a sinistra della matrice è il più piccolo, quindi i primi elementi delle righe rimanenti dopo le operazioni diventeranno zero. Ciò significa che nella matrice compilata sarà vantaggioso mettere la seconda al posto della prima riga.
seconda riga: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0
a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24
terza riga: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57
Ora, per non confondersi, è necessario annotare la matrice con i risultati intermedi delle trasformazioni.
È ovvio che una tale matrice può essere resa più conveniente per la percezione con l'aiuto di alcune operazioni. Ad esempio, puoi rimuovere tutti gli "svantaggi" dalla seconda riga moltiplicando ciascun elemento per "-1".
Vale anche la pena notare che nella terza riga tutti gli elementi sono multipli di tre. Quindi puoi ridurre la stringa di questo numero, moltiplicando ogni elemento per "-1/3" (meno - allo stesso tempo per rimuovere i valori negativi).
Sembra molto più bello. Ora dobbiamo lasciare stare la prima riga e lavorare con la seconda e la terza. Il compito è aggiungere la seconda riga alla terza riga, moltiplicata per un coefficiente tale che l'elemento a 32 diventi uguale a zero.
k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 frazione comune, e solo allora, una volta ricevute le risposte, decidere se arrotondare e tradurre in un'altra forma di registrazione)
a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7
b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7
La matrice viene riscritta con nuovi valori.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Come puoi vedere, la matrice risultante ha già una forma a gradini. Pertanto, non sono necessarie ulteriori trasformazioni del sistema con il metodo di Gauss. Quello che si può fare qui è rimuovere il coefficiente complessivo "-1/7" dalla terza riga.
Adesso è tutto bellissimo. Il punto è piccolo: scrivi di nuovo la matrice sotto forma di un sistema di equazioni e calcola le radici
x + 2y + 4z = 12(1)
7y + 11z = 24 (2)
L'algoritmo con cui verranno ora trovate le radici è chiamato il movimento inverso nel metodo di Gauss. L'equazione (3) contiene il valore di z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
E la prima equazione ti permette di trovare x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3
Abbiamo il diritto di chiamare un tale sistema congiunto, e persino definito, cioè con una soluzione unica. La risposta è scritta nella seguente forma:
x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.
È stata analizzata la variante di risolvere un certo sistema con il metodo di Gauss, ora è necessario considerare il caso se il sistema è indefinito, cioè si possono trovare infinite soluzioni per esso.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
La forma stessa del sistema è già allarmante, perché il numero di incognite è n = 5, e il rango della matrice del sistema è già esattamente inferiore a questo numero, perché il numero di righe è m = 4, cioè, l'ordine più grande del determinante quadrato è 4. Ciò significa che ci sono un numero infinito di soluzioni, ed è necessario cercare la sua forma generale. Il metodo di Gauss per le equazioni lineari lo rende possibile.
Per prima cosa, come al solito, viene compilata la matrice aumentata.
Seconda riga: coefficiente k = (-a 21 / a 11) = -3. Nella terza riga, il primo elemento è prima delle trasformazioni, quindi non è necessario toccare nulla, è necessario lasciarlo così com'è. Quarta riga: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Moltiplicando a turno gli elementi della prima riga per ciascuno dei loro coefficienti e aggiungendoli alle righe desiderate, otteniamo una matrice della seguente forma:
Come puoi vedere, la seconda, la terza e la quarta riga sono costituite da elementi proporzionali tra loro. Il secondo e il quarto sono generalmente gli stessi, quindi uno di essi può essere rimosso immediatamente e il resto moltiplicato per il coefficiente "-1" e ottenere la riga numero 3. E ancora, lascia una delle due righe identiche.
Si è scoperto una tale matrice. Il sistema non è ancora stato scritto, qui è necessario determinare le variabili di base - stando ai coefficienti a 11 \u003d 1 e a 22 \u003d 1, e gratis - tutto il resto.
La seconda equazione ha solo una variabile di base - x 2 . Quindi, può essere espresso da lì, scrivendo attraverso le variabili x 3 , x 4 , x 5 , che sono libere.
Sostituiamo l'espressione risultante nella prima equazione.
Ne è risultata un'equazione in cui l'unica variabile di base è x 1. Facciamo lo stesso con esso come con x 2 .
Tutte le variabili di base, di cui ce ne sono due, sono espresse in termini di tre libere, ora puoi scrivere la risposta in una forma generale.
È inoltre possibile specificare una delle soluzioni particolari del sistema. Per tali casi, di norma, gli zeri vengono scelti come valori per variabili libere. Allora la risposta sarà:
16, 23, 0, 0, 0.
La soluzione di sistemi di equazioni incoerenti con il metodo di Gauss è la più veloce. Termina non appena in una delle fasi si ottiene un'equazione che non ha soluzione. Cioè, il palcoscenico con il calcolo delle radici, che è piuttosto lungo e noioso, scompare. Si considera il seguente sistema:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Come di consueto, la matrice è compilata:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Ed è ridotto a una forma a gradini:
k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Dopo la prima trasformazione, la terza riga contiene equazione della forma
non avendo soluzione. Pertanto, il sistema è incoerente e la risposta è l'insieme vuoto.
Se scegli quale metodo risolvere SLAE su carta con una penna, il metodo considerato in questo articolo sembra il più attraente. Nelle trasformazioni elementari, è molto più difficile confondersi di quanto accada se devi cercare manualmente il determinante o qualche complicata matrice inversa. Tuttavia, se si utilizzano programmi per lavorare con dati di questo tipo, ad esempio fogli di calcolo, si scopre che tali programmi contengono già algoritmi per il calcolo dei parametri principali delle matrici: determinante, minore, inverso e così via. E se sei sicuro che la macchina stessa calcolerà questi valori e non commetterà errori, è più opportuno utilizzare il metodo matriciale o le formule di Cramer, perché la loro applicazione inizia e finisce con il calcolo dei determinanti e matrici inverse.
Poiché la soluzione gaussiana è un algoritmo e la matrice è, in effetti, un array bidimensionale, può essere utilizzata nella programmazione. Ma poiché l'articolo si posiziona come una guida "per i manichini", va detto che il posto più semplice in cui inserire il metodo sono i fogli di calcolo, ad esempio Excel. Ancora una volta, qualsiasi SLAE inserito in una tabella sotto forma di matrice verrà considerato da Excel come un array bidimensionale. E per le operazioni con loro, ci sono molti comandi carini: addizione (puoi aggiungere solo matrici della stessa dimensione!), Moltiplicazione per un numero, moltiplicazione di matrici (anche con alcune restrizioni), trovare le matrici inverse e trasposte e, soprattutto , calcolando il determinante. Se questo compito dispendioso in termini di tempo viene sostituito da un singolo comando, è molto più rapido determinare il rango di una matrice e, quindi, stabilirne la compatibilità o l'incoerenza.
Sia un sistema lineare equazioni algebriche, che deve essere risolto (trova tali valori dell'ignoto хi che trasformano ogni equazione del sistema in un'uguaglianza).
Sappiamo che un sistema di equazioni algebriche lineari può:
1) Non avere soluzioni (be incompatibile).
2) Avere infinite soluzioni.
3) Avere una soluzione unica.
Come ricordiamo, la regola di Cramer e il metodo matriciale non sono adatti nei casi in cui il sistema ha infinite soluzioni o è inconsistente. Metodo di Gauss – lo strumento più potente e versatile per trovare soluzioni a qualsiasi sistema di equazioni lineari, che il in ogni caso guidaci alla risposta! L'algoritmo del metodo in tutti e tre i casi funziona allo stesso modo. Se i metodi di Cramer e delle matrici richiedono la conoscenza dei determinanti, l'applicazione del metodo di Gauss richiede la conoscenza delle sole operazioni aritmetiche, il che lo rende accessibile anche agli studenti delle scuole elementari.
Trasformazioni di matrici estese ( questa è la matrice del sistema - una matrice composta solo dai coefficienti delle incognite, più una colonna di termini liberi) sistemi di equazioni algebriche lineari nel metodo di Gauss:
1) Insieme a troky matrici Potere riorganizzare posti.
2) se la matrice ha (o ha) proporzionale (come caso speciale sono le stesse) stringhe, allora segue Elimina dalla matrice, tutte queste righe tranne una.
3) se una riga zero è apparsa nella matrice durante le trasformazioni, allora segue anche Elimina.
4) la riga della matrice può moltiplicare (dividere) a qualsiasi numero diverso da zero.
5) alla riga della matrice, puoi aggiungi un'altra stringa moltiplicata per un numero, diverso da zero.
Nel metodo di Gauss le trasformazioni elementari non cambiano la soluzione del sistema di equazioni.
Il metodo di Gauss si compone di due fasi:
Per fare ciò, eseguire i seguenti passaggi:
1) Consideriamo la prima equazione di un sistema di equazioni algebriche lineari e il coefficiente in x 1 è uguale a K. La seconda, la terza, ecc. trasformiamo le equazioni come segue: dividiamo ogni equazione (coefficienti per le incognite, compresi i termini liberi) per il coefficiente per l'incognita x 1, che è in ciascuna equazione, e moltiplichiamo per K. Successivamente, sottraiamo la prima dalla seconda equazione ( coefficienti per incognite e termini liberi). Otteniamo in x 1 nella seconda equazione il coefficiente 0. Dalla terza equazione trasformata sottraiamo la prima equazione, così fino a quando tutte le equazioni tranne la prima, con incognita x 1, non avranno coefficiente 0.
2) Passare all'equazione successiva. Sia questa la seconda equazione e il coefficiente in x 2 sia uguale a M. Con tutte le equazioni "subordinate", si procede come descritto sopra. Pertanto, "sotto" l'incognita x 2 in tutte le equazioni saranno zeri.
3) Si passa all'equazione successiva e così via finché rimane un ultimo termine libero incognito e trasformato.
Esempio.
Risolviamo il sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss, come consigliano alcuni autori:
Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo in una forma a gradini:
Guardiamo il "gradino" in alto a sinistra. Lì dovremmo avere un'unità. Il problema è che non ce ne sono affatto nella prima colonna, quindi nulla può essere risolto riorganizzando le righe. In tali casi, l'unità deve essere organizzata utilizzando una trasformazione elementare. Questo di solito può essere fatto in diversi modi. Facciamo così:
1 passo
. Alla prima riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -1. Cioè, abbiamo moltiplicato mentalmente la seconda riga per -1 ed eseguito l'addizione della prima e della seconda riga, mentre la seconda riga non è cambiata.
Ora in alto a sinistra "meno uno", che ci sta perfettamente. Chi vuole ottenere +1 può compiere un'azione aggiuntiva: moltiplicare la prima riga per -1 (cambiarne il segno).
2 passo . Alla seconda riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 5. Alla terza riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 3.
3 passo . La prima riga è stata moltiplicata per -1, in linea di principio, questo è per la bellezza. Anche il segno della terza riga è stato cambiato e spostato al secondo posto, così, al secondo “gradino, abbiamo avuto l'unità desiderata.
4 passo . Alla terza riga, aggiungi la seconda riga, moltiplicata per 2.
5 passo . La terza riga è divisa per 3.
Un segno che indica un errore nei calcoli (meno spesso un errore di battitura) è una linea di fondo "cattiva". Cioè, se abbiamo qualcosa come (0 0 11 | 23) sotto e, di conseguenza, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, allora con un alto grado di probabilità possiamo dire che è stato commesso un errore durante le elementari trasformazioni.
Eseguiamo una mossa inversa, nella progettazione degli esempi, il sistema stesso spesso non viene riscritto e le equazioni vengono "prese direttamente dalla matrice data". La mossa inversa, ti ricordo, funziona "dal basso verso l'alto". A questo esempio ricevuto un regalo:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, quindi x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1
Risposta:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
Risolviamo lo stesso sistema usando l'algoritmo proposto. Noi abbiamo
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Dividi la seconda equazione per 5 e la terza per 3. Otteniamo:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Moltiplicando la seconda e la terza equazione per 4, otteniamo:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Sottrai la prima equazione dalla seconda e dalla terza equazione, abbiamo:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Dividi la terza equazione per 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Moltiplica la terza equazione per 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Sottrai la seconda equazione dalla terza equazione, otteniamo la matrice aumentata "a gradini":
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Pertanto, poiché un errore si è accumulato nel processo di calcolo, otteniamo x 3 \u003d 0,96, o circa 1.
x 2 \u003d 3 e x 1 \u003d -1.
Risolvendo in questo modo non ti confonderai mai nei calcoli e, nonostante gli errori di calcolo, otterrai il risultato.
Questo metodo per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari è facile da programmare e non tiene conto caratteristiche specifiche coefficienti per incognite, perché in pratica (nei calcoli economici e tecnici) si ha a che fare con coefficienti non interi.
Ti auguro successo! Ci vediamo in classe! Tutor Dmitry Aistrakhanov.
site, con copia integrale o parziale del materiale, è richiesto il link alla fonte.
Oggi ci occupiamo del metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari. Puoi leggere quali sono questi sistemi nel precedente articolo dedicato alla risoluzione dello stesso SLAE con il metodo Cramer. Il metodo Gauss non richiede alcuna conoscenza specifica, servono solo cura e costanza. Nonostante dal punto di vista della matematica, la preparazione scolastica sia sufficiente per la sua applicazione, la padronanza di questo metodo spesso causa difficoltà agli studenti. In questo articolo cercheremo di ridurli a nulla!
M Metodo di Gaussè il metodo più universale per risolvere SLAE (con l'eccezione di sistemi molto grandi). A differenza di quello discusso in precedenza, è adatto non solo per sistemi che hanno un'unica soluzione, ma anche per sistemi che hanno un numero infinito di soluzioni. Ci sono tre opzioni qui.
Quindi, abbiamo un sistema (lascia che abbia una soluzione) e lo risolveremo usando il metodo gaussiano. Come funziona?
Il metodo gaussiano consiste in due fasi: diretta e inversa.
Per prima cosa scriviamo la matrice aumentata del sistema. Per fare ciò, aggiungiamo una colonna di membri liberi alla matrice principale.
L'intera essenza del metodo gaussiano è ridurre questa matrice a una forma a gradini (o, come si dice, triangolare) mediante trasformazioni elementari. In questa forma, dovrebbero esserci solo zeri sotto (o sopra) la diagonale principale della matrice.
Cosa si può fare:
Dopo aver trasformato il sistema in questo modo, uno sconosciuto xn diventa noto, e ordine inverso trovare tutte le rimanenti incognite sostituendo le x già note nelle equazioni del sistema, fino alla prima.
Quando Internet è sempre a portata di mano, puoi risolvere il sistema di equazioni usando il metodo di Gauss in linea . Tutto quello che devi fare è inserire le quote nel calcolatore online. Ma devi ammettere che è molto più piacevole rendersi conto che l'esempio non è stato risolto programma per computer ma con il tuo cervello.
E ora - un esempio, in modo che tutto diventi chiaro e comprensibile. Sia dato un sistema di equazioni lineari, ed è necessario risolverlo con il metodo di Gauss:
Per prima cosa, scriviamo la matrice aumentata:
Ora diamo un'occhiata alle trasformazioni. Ricorda che dobbiamo ottenere una forma triangolare della matrice. Moltiplica la prima riga per (3). Moltiplica la seconda riga per (-1). Aggiungiamo la seconda riga alla prima e otteniamo:
Quindi moltiplica la terza riga per (-1). Aggiungiamo la terza riga alla seconda:
Moltiplica la prima riga per (6). Moltiplica la seconda riga per (13). Aggiungiamo la seconda riga alla prima:
Voilà: il sistema viene portato nella forma appropriata. Resta da trovare le incognite:
Il sistema in questo esempio ha una soluzione univoca. Considereremo la soluzione di sistemi con un insieme infinito di soluzioni in un articolo separato. Forse all'inizio non saprai da dove iniziare con le trasformazioni di matrici, ma dopo un'adeguata pratica ci metterai le mani sopra e farai clic sullo SLAE gaussiano come matti. E se all'improvviso ti imbatti in uno SLAU, che risulta essere un osso troppo duro da spezzare, contatta i nostri autori! è possibile lasciando una domanda nella corrispondenza. Insieme risolveremo qualsiasi problema!
Continuiamo a considerare i sistemi di equazioni lineari. Questa lezione è la terza sull'argomento. Se hai una vaga idea di cosa sia in generale un sistema di equazioni lineari, ti senti come una teiera, allora ti consiglio di iniziare dalle basi nella pagina successiva, è utile studiare la lezione.
Il metodo di Gauss è facile! Come mai? Il famoso matematico tedesco Johann Carl Friedrich Gauss ha ricevuto riconoscimenti durante la sua vita il più grande matematico di tutti i tempi, un genio e persino il soprannome di "Re della matematica". E tutto ciò che è geniale, come sai, è semplice! A proposito, non solo i fessi, ma anche i geni cadono nei soldi: il ritratto di Gauss era sfoggiato su una banconota da 10 marchi tedeschi (prima dell'introduzione dell'euro), e Gauss sorride ancora misteriosamente ai tedeschi dai normali francobolli.
Il metodo Gauss è semplice in quanto BASTA LA CONOSCENZA DI UNO STUDENTE DI QUINTA per padroneggiarlo. Deve essere in grado di aggiungere e moltiplicare! Non è un caso che il metodo dell'eliminazione successiva delle incognite sia spesso considerato dagli insegnanti delle scuole matematiche elettive. È un paradosso, ma il metodo Gauss causa le maggiori difficoltà agli studenti. Niente di sorprendente: è tutta una questione di metodologia e cercherò di raccontare in una forma accessibile l'algoritmo del metodo.
Innanzitutto, sistemiamo un po 'la conoscenza dei sistemi di equazioni lineari. Un sistema di equazioni lineari può:
1) Avere una soluzione unica. 2) Avere infinite soluzioni. 3) Non avere soluzioni (be incompatibile).
Il metodo di Gauss è lo strumento più potente e versatile per trovare una soluzione qualunque sistemi di equazioni lineari. Come ricordiamo Regola di Cramer e metodo delle matrici non sono adatti nei casi in cui il sistema ha infinite soluzioni o è inconsistente. Un metodo di eliminazione successiva di incognite comunque guidaci alla risposta! In questa lezione riprenderemo il metodo di Gauss per il caso n. 1 (unica soluzione del sistema), un articolo è riservato alle situazioni dei punti n. 2-3. Prendo atto che l'algoritmo del metodo stesso funziona allo stesso modo in tutti e tre i casi.
Torna a il sistema più semplice dalla lezione Come risolvere un sistema di equazioni lineari? e risolverlo con il metodo gaussiano.
Il primo passo è scrivere sistema a matrice estesa: . In base a quale principio vengono registrati i coefficienti, penso che tutti possano vederlo. La linea verticale all'interno della matrice non ha alcun significato matematico: è solo un barrato per facilitare il design.
Riferimento : Consiglio di ricordare termini algebra lineare. Matrice di sistema è una matrice composta solo da coefficienti per incognite, in questo esempio, la matrice del sistema: . Matrice di sistema estesa è la stessa matrice del sistema più una colonna di membri liberi, in questo caso: . Qualsiasi delle matrici può essere chiamata semplicemente una matrice per brevità.
Dopo aver scritto la matrice estesa del sistema, è necessario eseguire alcune azioni con essa, che vengono anche chiamate trasformazioni elementari.
Ci sono le seguenti trasformazioni elementari:
1) stringhe matrici Potere riorganizzare posti. Ad esempio, nella matrice in esame, puoi tranquillamente riorganizzare la prima e la seconda riga: 
2) Se ci sono (o sono apparse) righe proporzionali (come caso speciale - identiche) nella matrice, ne segue Elimina dalla matrice, tutte queste righe tranne una. Consideriamo, ad esempio, la matrice 
. In questa matrice le ultime tre righe sono proporzionali, quindi è sufficiente lasciarne solo una: 
.
3) Se una riga zero è apparsa nella matrice durante le trasformazioni, allora segue anche Elimina. Non disegnerò, ovviamente, la linea zero è la linea in cui tutti zeri.
4) La riga della matrice può essere moltiplicare (dividere) per qualsiasi numero diverso da zero. Si consideri, ad esempio, la matrice . Qui è consigliabile dividere la prima riga per -3 e moltiplicare la seconda riga per 2: 
. Questa azione è molto utile, in quanto semplifica ulteriori trasformazioni della matrice.
5) Questa trasformazione causa le maggiori difficoltà, ma in realtà non c'è nemmeno nulla di complicato. Alla riga della matrice, puoi aggiungi un'altra stringa moltiplicata per un numero, diverso da zero. Considera la nostra matrice da argomento di studio: . Per prima cosa, descriverò la trasformazione in grande dettaglio. Moltiplica la prima riga per -2: 
, e alla seconda riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -2: 
. Ora la prima riga può essere divisa "indietro" per -2: . Come puoi vedere, la linea che è AGGIUNTA LI – non è cambiato. È sempre la linea è cambiata, A QUALE AGGIUNTA UT.
In pratica, ovviamente, non dipingono in modo così dettagliato, ma scrivono più brevemente: 
Ancora una volta: alla seconda riga aggiunta la prima riga moltiplicata per -2. La linea viene solitamente moltiplicata oralmente o su una bozza, mentre il corso mentale dei calcoli è qualcosa del genere:
“Riscrivo la matrice e riscrivo la prima riga: 
»
Prima colonna prima. Di seguito ho bisogno di ottenere zero. Pertanto, moltiplico l'unità sopra per -2:, e aggiungo la prima alla seconda riga: 2 + (-2) = 0. Scrivo il risultato nella seconda riga: 
»
«Ora la seconda colonna. Sopra -1 volte -2: . Aggiungo il primo alla seconda riga: 1 + 2 = 3. Scrivo il risultato nella seconda riga: 
»
«E la terza colonna. Sopra -5 volte -2: . Aggiungo la prima riga alla seconda riga: -7 + 10 = 3. Scrivo il risultato nella seconda riga: 
»
Per favore, pensa attentamente a questo esempio e comprendi l'algoritmo di calcolo sequenziale, se lo capisci, allora il metodo Gauss è praticamente "nella tua tasca". Ma, ovviamente, stiamo ancora lavorando a questa trasformazione.
Le trasformazioni elementari non cambiano la soluzione del sistema di equazioni
! ATTENZIONE: considerate manipolazioni non posso usare, se ti viene offerto un compito in cui le matrici sono date "da sole". Ad esempio, con "classico" matrici in nessun caso dovresti riorganizzare qualcosa all'interno delle matrici! Torniamo al nostro sistema. È praticamente fatta a pezzi.
Scriviamo la matrice aumentata del sistema e, mediante trasformazioni elementari, riduciamola a vista a gradini:
(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. E ancora: perché moltiplichiamo la prima riga per -2? Per ottenere zero in fondo, il che significa eliminare una variabile nella seconda riga.
(2) Dividi la seconda riga per 3.
Lo scopo delle trasformazioni elementari
–
convertire la matrice in forma passo: 
. Nella progettazione dell'attività, disegnano direttamente la "scala" con una matita semplice e cerchiano anche i numeri che si trovano sui "gradini". Il termine stesso "vista a gradini" non è del tutto teorico, viene spesso chiamato nella letteratura scientifica ed educativa vista trapezoidale o vista triangolare.
Come risultato di trasformazioni elementari, abbiamo ottenuto equivalente sistema originale di equazioni:
Ora il sistema deve essere "srotolato" nella direzione opposta: questo processo viene chiamato dal basso verso l'alto metodo di Gauss inverso.
Nell'equazione inferiore, abbiamo già il risultato finale: .
Considera la prima equazione del sistema e sostituiscila con il valore già noto di "y":
Consideriamo la situazione più comune, quando è richiesto il metodo gaussiano per risolvere un sistema di tre equazioni lineari con tre incognite.
Esempio 1
Risolvi il sistema di equazioni usando il metodo di Gauss: 
Scriviamo la matrice aumentata del sistema: 
Ora disegnerò immediatamente il risultato a cui arriveremo nel corso della soluzione: 
E ripeto, il nostro obiettivo è portare la matrice a una forma a gradini usando trasformazioni elementari. Da dove iniziare ad agire?
Innanzitutto, guarda il numero in alto a sinistra: 
Dovrebbe essere quasi sempre qui unità. In generale, anche -1 (e talvolta altri numeri) andrà bene, ma in qualche modo è tradizionalmente accaduto che un'unità fosse solitamente posizionata lì. Come organizzare un'unità? Guardiamo la prima colonna: abbiamo un'unità finita! Trasformazione uno: scambia la prima e la terza riga: 
Ora la prima riga rimarrà invariata fino alla fine della soluzione. Ora bene.
L'unità in alto a sinistra è organizzata. Ora devi ottenere zeri in questi punti: 
Gli zeri si ottengono solo con l'aiuto di una trasformazione "difficile". Innanzitutto, ci occupiamo della seconda riga (2, -1, 3, 13). Cosa bisogna fare per ottenere zero nella prima posizione? Bisogno alla seconda riga aggiungi la prima riga moltiplicata per -2. Mentalmente o su una bozza, moltiplichiamo la prima riga per -2: (-2, -4, 2, -18). E eseguiamo costantemente (di nuovo mentalmente o su una bozza) aggiunta, alla seconda riga aggiungiamo la prima riga, già moltiplicata per -2:
Il risultato è scritto nella seconda riga: 
Allo stesso modo, ci occupiamo della terza riga (3, 2, -5, -1). Per ottenere zero nella prima posizione, è necessario alla terza riga aggiungi la prima riga moltiplicata per -3. Mentalmente o su una bozza, moltiplichiamo la prima riga per -3: (-3, -6, 3, -27). E alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -3:
Il risultato è scritto nella terza riga:
In pratica, queste azioni vengono solitamente eseguite verbalmente e scritte in un unico passaggio: 
Non c'è bisogno di contare tutto in una volta e allo stesso tempo. L'ordine dei calcoli e l'"inserimento" dei risultati coerente e di solito così: prima riscriviamo la prima riga e ci sbuffiamo piano - COERENTEMENTE e CON ATTENZIONE:
E ho già considerato il corso mentale dei calcoli stessi sopra.
In questo esempio, è facile da fare, dividiamo la seconda riga per -5 (poiché tutti i numeri sono divisibili per 5 senza resto). Allo stesso tempo, dividiamo la terza riga per -2, perché più piccolo è il numero, più semplice è la soluzione:
Nella fase finale delle trasformazioni elementari, qui deve essere ottenuto un altro zero: 
Per questo alla terza riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -2:
Prova ad analizzare tu stesso questa azione: moltiplica mentalmente la seconda riga per -2 ed esegui l'addizione.
L'ultima azione eseguita è l'acconciatura del risultato, dividi la terza riga per 3.
Come risultato di trasformazioni elementari, è stato ottenuto un sistema iniziale equivalente di equazioni lineari: 
Freddo.
Ora entra in gioco il corso inverso del metodo gaussiano. Le equazioni "si svolgono" dal basso verso l'alto.
Nella terza equazione, abbiamo già il risultato finale:
Diamo un'occhiata alla seconda equazione: . Il significato di "z" è già noto, quindi:
E infine, la prima equazione: . "Y" e "Z" sono noti, la questione è piccola:
Risposta: 
Come è stato più volte notato, per qualsiasi sistema di equazioni è possibile e necessario verificare la soluzione trovata, fortunatamente non è difficile e veloce.
Esempio 2
Questo è un esempio di auto-risoluzione, un esempio di completamento e una risposta alla fine della lezione.
Va notato che il tuo corso di azione potrebbe non coincidere con la mia linea d'azione, e questa è una caratteristica del metodo di Gauss. Ma le risposte devono essere le stesse!
Esempio 3
Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss 
Guardiamo il "gradino" in alto a sinistra. Lì dovremmo avere un'unità. Il problema è che non ce ne sono affatto nella prima colonna, quindi nulla può essere risolto riorganizzando le righe. In tali casi, l'unità deve essere organizzata utilizzando una trasformazione elementare. Questo di solito può essere fatto in diversi modi. Ho fatto questo: (1) Alla prima riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -1. Cioè, abbiamo moltiplicato mentalmente la seconda riga per -1 ed eseguito l'addizione della prima e della seconda riga, mentre la seconda riga non è cambiata.
Ora in alto a sinistra "meno uno", che ci sta perfettamente. Chi vuole ottenere +1 può compiere un gesto in più: moltiplicare la prima riga per -1 (cambiarne il segno).
(2) Alla seconda riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 5. Alla terza riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 3.
(3) La prima riga è stata moltiplicata per -1, in linea di principio, questo è per la bellezza. Anche il segno della terza riga è stato cambiato e spostato al secondo posto, così, al secondo “gradino, abbiamo avuto l'unità desiderata.
(4) La seconda riga moltiplicata per 2 è stata aggiunta alla terza riga.
(5) La terza riga è stata divisa per 3.
Un brutto segno che indica un errore di calcolo (meno spesso un errore di battitura) è una linea di fondo "cattiva". Cioè, se abbiamo qualcosa come sotto e, di conseguenza, 
, quindi con un alto grado di probabilità si può sostenere che è stato commesso un errore nel corso delle trasformazioni elementari.
Addebitiamo la mossa inversa, nella progettazione degli esempi, il sistema stesso spesso non viene riscritto e le equazioni vengono "prese direttamente dalla matrice data". La mossa inversa, ti ricordo, funziona dal basso verso l'alto. Sì, ecco un regalo:
Risposta: 
.
Esempio 4
Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss 
Questo è un esempio per una soluzione indipendente, è un po' più complicato. Va bene se qualcuno si confonde. Soluzione completa ed esempio di progetto alla fine della lezione. La tua soluzione potrebbe differire dalla mia.
Nell'ultima parte consideriamo alcune caratteristiche dell'algoritmo di Gauss. La prima caratteristica è che a volte mancano alcune variabili nelle equazioni del sistema, ad esempio: 
Come scrivere correttamente la matrice aumentata del sistema? Ho già parlato di questo momento nella lezione. Regola di Cramer. Metodo matriciale. Nella matrice espansa del sistema, mettiamo zeri al posto delle variabili mancanti: 
A proposito, è abbastanza esempio facile, poiché c'è già uno zero nella prima colonna, e ci sono meno trasformazioni elementari da eseguire.
La seconda caratteristica è questa. In tutti gli esempi considerati, abbiamo posizionato –1 o +1 sui “gradini”. Potrebbero esserci altri numeri? In alcuni casi possono. Considera il sistema: 
.
Qui sul "gradino" in alto a sinistra abbiamo un diavolo. Ma notiamo il fatto che tutti i numeri nella prima colonna sono divisibili per 2 senza resto - e altri due e sei. E il diavolo in alto a sinistra ci andrà bene! Al primo passaggio, è necessario eseguire le seguenti trasformazioni: aggiungere la prima riga moltiplicata per -1 alla seconda riga; alla terza riga aggiungi la prima riga moltiplicata per -3. Pertanto, otterremo gli zeri desiderati nella prima colonna.
Oppure un altro esempio ipotetico: 
. Qui ci va bene anche la tripla sul secondo “piolo”, poiché 12 (il punto in cui dobbiamo ottenere zero) è divisibile per 3 senza resto. È necessario eseguire la seguente trasformazione: alla terza riga aggiungere la seconda riga, moltiplicata per -4, a seguito della quale si otterrà lo zero di cui abbiamo bisogno.
Il metodo Gauss è universale, ma c'è una particolarità. Impara con sicurezza a risolvere i sistemi con altri metodi (metodo di Cramer, metodo matriciale) può essere letteralmente la prima volta: esiste un algoritmo molto rigoroso. Ma per sentirti sicuro del metodo Gauss, dovresti "riempirti la mano" e risolvere almeno 5-10 dieci sistemi. Pertanto, all'inizio potrebbero esserci confusione, errori nei calcoli e non c'è nulla di insolito o tragico in questo.
Tempo piovoso autunnale fuori dalla finestra .... Pertanto, per tutti, un esempio più complesso per una soluzione indipendente:
Esempio 5
Risolvi un sistema di 4 equazioni lineari in quattro incognite usando il metodo di Gauss. 
Un tale compito in pratica non è così raro. Penso che anche una teiera che ha studiato in dettaglio questa pagina comprenda intuitivamente l'algoritmo per risolvere un tale sistema. Fondamentalmente lo stesso: solo più azione.
Nella lezione vengono considerati i casi in cui il sistema non ha soluzioni (inconsistente) o ha infinite soluzioni. Sistemi incompatibili e sistemi con una soluzione comune. Lì puoi correggere l'algoritmo considerato del metodo Gauss.
Ti auguro successo!
Soluzioni e risposte:
Esempio 2:
Soluzione
:
Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, portiamola in una forma a gradini.
Trasformazioni elementari eseguite:
(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -1.
Attenzione!
Qui potrebbe essere allettante sottrarre la prima dalla terza riga, sconsiglio vivamente di sottrarre: il rischio di errore aumenta notevolmente. Pieghiamo e basta!
(2) Il segno della seconda riga è stato modificato (moltiplicato per -1). La seconda e la terza riga sono state scambiate.
Nota
che sui “gradini” ci accontentiamo non solo di uno, ma anche di -1, che è ancora più conveniente.
(3) Alla terza riga, aggiungi la seconda riga, moltiplicata per 5.
(4) Il segno della seconda riga è stato modificato (moltiplicato per -1). La terza riga è stata divisa per 14.
Movimento inverso:
Risposta
:
.
Esempio 4:
Soluzione
:
Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo in una forma a gradini:
Conversioni eseguite: (1) La seconda riga è stata aggiunta alla prima riga. Pertanto, l'unità desiderata è organizzata sul "gradino" in alto a sinistra. (2) Alla seconda riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 7. Alla terza riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 6.
Con il secondo "passo" tutto è peggio , i "candidati" per esso sono i numeri 17 e 23, e abbiamo bisogno di uno o -1. Le trasformazioni (3) e (4) saranno finalizzate all'ottenimento dell'unità desiderata (3) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -1. (4) La terza riga, moltiplicata per -3, è stata aggiunta alla seconda riga. La cosa necessaria sul secondo gradino è ricevuta . (5) Alla terza riga aggiunta la seconda, moltiplicata per 6. (6) La seconda riga è stata moltiplicata per -1, la terza riga è stata divisa per -83.
Movimento inverso:
Risposta :
Esempio 5:
Soluzione
:
Scriviamo la matrice del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, portiamola in una forma graduale:
Conversioni eseguite: (1) La prima e la seconda riga sono state scambiate. (2) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla quarta riga, moltiplicata per -3. (3) Alla terza riga è stata aggiunta la seconda riga moltiplicata per 4. Alla quarta riga è stata aggiunta la seconda riga moltiplicata per -1. (4) Il segno della seconda riga è stato modificato. La quarta riga è stata divisa per 3 e posta al posto della terza riga. (5) La terza riga è stata aggiunta alla quarta riga, moltiplicata per -5.
Movimento inverso:
Risposta :
Uno dei metodi universali ed efficaci per risolvere i sistemi algebrici lineari è Metodo di Gauss , consistente nella successiva eliminazione delle incognite.
Ricordiamo che i due sistemi sono chiamati equivalente (equivalente) se gli insiemi delle loro soluzioni sono gli stessi. In altre parole, i sistemi sono equivalenti se ogni soluzione di uno di essi è soluzione dell'altro, e viceversa. I sistemi equivalenti si ottengono con trasformazioni elementari equazioni di sistema:
moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per un numero diverso da zero;
aggiungendo a qualche equazione le parti corrispondenti di un'altra equazione, moltiplicate per un numero diverso da zero;
permutazione di due equazioni.
Facciamo il sistema di equazioni
Il processo di risoluzione di questo sistema con il metodo di Gauss consiste in due fasi. Nella prima fase (forward run), il sistema viene ridotto mediante trasformazioni elementari a calpestato , o triangolare mente, e nella seconda fase (movimento inverso) c'è una sequenziale, a partire dall'ultima variabile, la definizione di incognite dal sistema di passaggi risultante.
Supponiamo che il coefficiente di questo sistema 
, altrimenti nel sistema la prima riga può essere scambiata con qualsiasi altra riga in modo che il coefficiente at 
era diverso da zero.
Trasformiamo il sistema, eliminando l'ignoto 
in tutte le equazioni tranne la prima. Per fare ciò, moltiplica entrambi i lati della prima equazione per 
e aggiungi termine per termine con la seconda equazione del sistema. Quindi moltiplica entrambi i membri della prima equazione per 
e aggiungilo alla terza equazione del sistema. Continuando questo processo, otteniamo un sistema equivalente
Qui 
sono i nuovi valori dei coefficienti e dei termini liberi, che si ottengono dopo il primo passo.
Allo stesso modo, considerando l'elemento principale 
, escludere l'ignoto 
da tutte le equazioni del sistema, ad eccezione della prima e della seconda. Continuiamo questo processo il più a lungo possibile, di conseguenza otteniamo un sistema a gradini
,
dove 
,
,…,
- gli elementi principali del sistema 
.
Se nel processo di portare il sistema a una forma a gradini, compaiono equazioni, cioè uguaglianze della forma 
, vengono scartati, poiché qualsiasi insieme di numeri li soddisfa 
. Se alle 
appare un'equazione della forma che non ha soluzioni, questo indica l'incoerenza del sistema.
Nel corso inverso, la prima incognita è espressa dall'ultima equazione del sistema a gradini trasformato 
attraverso tutte le altre incognite 
che sono chiamati gratuito
.
Quindi l'espressione variabile 
dall'ultima equazione del sistema viene sostituita nella penultima equazione e la variabile viene espressa da essa 
. Le variabili sono definite in modo simile 
. Variabili 
, espresse in termini di variabili libere di base
(dipendente). Di conseguenza, si ottiene la soluzione generale del sistema di equazioni lineari.
Trovare soluzione privata
sistemi, gratuito sconosciuto 
nella soluzione generale si assegnano valori arbitrari e si calcolano i valori delle variabili 
.
È tecnicamente più conveniente sottoporre le trasformazioni elementari non alle equazioni del sistema, ma alla matrice estesa del sistema
.
Il metodo Gauss è un metodo universale che consente di risolvere non solo sistemi quadrati, ma anche rettangolari in cui il numero di incognite 
non uguale al numero di equazioni 
.
Il vantaggio di questo metodo risiede anche nel fatto che nel processo di risoluzione esaminiamo contemporaneamente il sistema per verificarne la compatibilità, poiché, avendo ridotto la matrice aumentata 
alla forma a gradini, è facile determinare i ranghi della matrice 
e matrice estesa 
e applicare il teorema di Kronecker-Capelli
.
Esempio 2.1 Risolvi il sistema usando il metodo di Gauss
Soluzione. Numero di equazioni 
e il numero di incognite 
.
Componiamo la matrice estesa del sistema assegnando a destra della matrice dei coefficienti 
colonna membri gratuiti 
.
Portiamo la matrice 
ad una forma triangolare; per fare ciò, otterremo "0" sotto gli elementi sulla diagonale principale utilizzando trasformazioni elementari.
Per ottenere "0" nella seconda posizione della prima colonna, moltiplica la prima riga per (-1) e aggiungi alla seconda riga.
Scriviamo questa trasformazione come numero (-1) sulla prima riga e la indichiamo con una freccia che va dalla prima alla seconda riga.
Per ottenere "0" nella terza posizione della prima colonna, moltiplica la prima riga per (-3) e aggiungi alla terza riga; Mostriamo questa azione con una freccia che va dalla prima riga alla terza.
.
Nella matrice risultante, scritta per seconda nella catena di matrici, otteniamo "0" nella seconda colonna in terza posizione. Per fare ciò, moltiplica la seconda riga per (-4) e aggiungi alla terza. Nella matrice risultante, moltiplichiamo la seconda riga per (-1) e dividiamo la terza riga per (-8). Tutti gli elementi di questa matrice che si trovano sotto gli elementi diagonali sono zeri.
Perché , il sistema è collaborativo e specifico.
Il sistema di equazioni corrispondente all'ultima matrice ha una forma triangolare:
Dall'ultima (terza) equazione 
. Sostituisci nella seconda equazione e ottieni 
.
Sostituto 
e 
nella prima equazione, troviamo 
.
