Le equazioni trigonometriche più semplici sono solitamente risolte da formule. Lascia che ti ricordi che le seguenti equazioni trigonometriche sono chiamate le più semplici:
sinx = a
cosx = a
tx = a
ctgx = a
x è l'angolo da trovare,
a è un numero qualsiasi.
Ed ecco le formule con le quali puoi scrivere immediatamente le soluzioni di queste equazioni più semplici.
Per seno:
Per il coseno:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Per tangente:
x = arctg a + π n, n ∈ Z
Per cotangente:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
In realtà, questa è la parte teorica della risoluzione delle equazioni trigonometriche più semplici. E, il tutto!) Niente di niente. Tuttavia, il numero di errori su questo argomento si sposta appena. Soprattutto, con una leggera deviazione dell'esempio dal modello. Come mai?
Sì, perché molte persone scrivono queste lettere, senza capirne affatto il significato! Con apprensione scrive, non importa come succede qualcosa ...) Questo deve essere affrontato. Trigonometria per le persone, o persone per la trigonometria, dopo tutto!?)
Scopriamolo?
Un angolo sarà uguale a archi a, secondo: -arcos a.
Ed è così che funzionerà sempre. Per ogni un.
Se non mi credi, passa il mouse sopra l'immagine o tocca l'immagine sul tablet.) Ho cambiato il numero un a qualche negativo. Comunque, abbiamo un angolo archi a, secondo: -arcos a.
Pertanto, la risposta può sempre essere scritta come due serie di radici:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Combiniamo queste due serie in una:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
E tutte le cose. Abbiamo ottenuto una formula generale per risolvere la più semplice equazione trigonometrica con coseno.
Se capisci che questa non è una sorta di saggezza super scientifica, ma solo una registrazione abbreviata di due serie di risposte, tu e i compiti "C" sarete sulla spalla. Con le disuguaglianze, con la selezione delle radici da un dato intervallo ... Lì, la risposta con più / meno non funziona. E se tratti la risposta in modo professionale e la dividi in due risposte separate, tutto è deciso.) In realtà, per questo capiamo. Cosa, come e dove.
Nella più semplice equazione trigonometrica
sinx = a
anche ottenere due serie di radici. È sempre. E queste due serie possono anche essere registrate una linea. Solo questa linea sarà più intelligente:
x = (-1) n archiin a + π n, n ∈ Z
Ma l'essenza rimane la stessa. I matematici hanno semplicemente costruito una formula per creare una invece di due registrazioni di serie di radici. E questo è tutto!
Controlliamo i matematici? E non basta...)
Nella lezione precedente è stata analizzata in dettaglio la soluzione (senza alcuna formula) dell'equazione trigonometrica con un seno:
La risposta si è rivelata essere due serie di radici:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Se risolviamo la stessa equazione usando la formula, otteniamo la risposta:
x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z
In realtà, questa è una risposta a metà.) Lo studente deve saperlo arcsin 0.5 = π /6. La risposta completa sarebbe:
x = (-1)n π/6+ πn, n ∈ Z
Qui sorge una domanda interessante. Rispondi tramite x 1; x 2 (questa è la risposta corretta!) e attraverso i solitari X (e questa è la risposta corretta!) - la stessa cosa, o no? Scopriamolo ora.)
Sostituire in risposta con x 1 i valori n =0; uno; 2; ecc., consideriamo, otteniamo una serie di radici:
x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 e così via.
Con la stessa sostituzione in risposta a x 2 , noi abbiamo:
x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 e così via.
E ora sostituiamo i valori n (0; 1; 2; 3; 4...) nella formula generale per il solitario X . Cioè, eleviamo meno uno alla potenza zero, quindi al primo, al secondo e così via. E, naturalmente, sostituiamo 0 nel secondo termine; uno; 2 3; 4 ecc. E pensiamo. Otteniamo una serie:
x = pi/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 e così via.
Questo è tutto ciò che puoi vedere.) La formula generale ci dà esattamente gli stessi risultati che sono le due risposte separatamente. Tutto in una volta, in ordine. I matematici non hanno ingannato.)
È inoltre possibile controllare le formule per risolvere equazioni trigonometriche con tangente e cotangente. Ma non facciamolo.) Sono così senza pretese.
Ho dipinto apposta tutta questa sostituzione e verifica. Qui è importante capirne uno cosa semplice: ci sono formule per risolvere equazioni trigonometriche elementari, solo un riassunto delle risposte. Per questa brevità, ho dovuto inserire più/meno nella soluzione del coseno e (-1) n nella soluzione del seno.
Questi inserti non interferiscono in alcun modo nei compiti in cui devi solo scrivere la risposta a un'equazione elementare. Ma se devi risolvere una disuguaglianza, o devi fare qualcosa con la risposta: selezionare radici su un intervallo, controllare ODZ, ecc., questi inserti possono facilmente turbare una persona.
E cosa fare? Sì, dipingi la risposta in due serie o risolvi l'equazione / disuguaglianza in un cerchio trigonometrico. Quindi questi inserti scompaiono e la vita diventa più facile.)
Puoi riassumere.
Per risolvere le equazioni trigonometriche più semplici, esistono formule di risposta già pronte. Quattro pezzi. Sono utili per scrivere istantaneamente la soluzione di un'equazione. Ad esempio, devi risolvere le equazioni:
sinx = 0,3
Facilmente: x = (-1) n arcsin 0.3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Nessun problema: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1.2
Facilmente: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Uno rimasto: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z
cosx = 1,8
Se tu, splendente di conoscenza, scrivi immediatamente la risposta:
x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z
allora risplendi già, questo ... quello ... da una pozzanghera.) La risposta corretta è: non ci sono soluzioni. Non capisci perché? Leggi cos'è un arcoseno. Inoltre, se sul lato destro dell'equazione originale ci sono valori tabulari di seno, coseno, tangente, cotangente, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 eccetera. - la risposta attraverso gli archi sarà incompiuta. Gli archi devono essere convertiti in radianti.
E se ti imbatti già in una disuguaglianza, come
allora la risposta è:
xπn, n ∈ Z
c'è una rara assurdità, sì ...) Qui è necessario decidere su un cerchio trigonometrico. Cosa faremo nell'argomento corrispondente.
Per chi legge eroicamente fino a queste righe. Non posso fare a meno di apprezzare i tuoi sforzi titanici. tu un bonus.)
Bonus:
Quando si scrivono formule in una situazione di combattimento ansiosa, anche i nerd incalliti spesso si confondono dove pn, E dove 2πn. Ecco un semplice trucco per te. In tutto formule pp. Ad eccezione dell'unica formula con arco coseno. Sta lì 2πn. Due pien. Parola chiave - Due. Nella stessa singola formula sono Due segno all'inizio. Più e meno. Qui e li - Due.
Quindi se hai scritto Due segno davanti all'arco coseno, è più facile ricordare cosa accadrà alla fine Due pien. E succede il viceversa. Salta il segno dell'uomo ± , arriva alla fine, scrivi correttamente Due pien, sì, e prendilo. Prima di qualcosa Due cartello! La persona tornerà all'inizio, ma correggerà l'errore! Come questo.)
A proposito, ho un paio di siti più interessanti per te.)
Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)
puoi familiarizzare con funzioni e derivate.
Lezione di applicazione complessa della conoscenza.
Obiettivi della lezione.
Attrezzatura: schermo, proiettore, materiale di riferimento.
Durante le lezioni
Conversazione introduttiva.
Il metodo principale per risolvere le equazioni trigonometriche è la loro riduzione più semplice. In tal modo, applicare modi convenzionali, ad esempio, fattorizzazioni, nonché tecniche utilizzate solo per risolvere equazioni trigonometriche. Esistono molti di questi trucchi, ad esempio varie sostituzioni trigonometriche, trasformazioni angolari, trasformazioni di funzioni trigonometriche. L'applicazione indiscriminata di qualsiasi trasformazione trigonometrica di solito non semplifica l'equazione, ma la complica in modo disastroso. Per allenarsi in termini generali piano per risolvere l'equazione, delineare un modo per ridurre l'equazione al più semplice, devi prima analizzare gli angoli - gli argomenti delle funzioni trigonometriche incluse nell'equazione.
Oggi parleremo di metodi per risolvere equazioni trigonometriche. Un metodo scelto correttamente consente spesso una notevole semplificazione della soluzione, quindi tutti i metodi che abbiamo studiato dovrebbero essere sempre tenuti nella nostra area di attenzione per poter risolvere le equazioni trigonometriche nel modo più appropriato.
II. (Utilizzando un proiettore, ripetiamo i metodi per risolvere le equazioni.)
1. Un metodo per ridurre un'equazione trigonometrica ad una algebrica.
È necessario esprimere tutte le funzioni trigonometriche attraverso una, con lo stesso argomento. Questo può essere fatto usando l'identità trigonometrica di base e i suoi corollari. Otteniamo un'equazione con una funzione trigonometrica. Prendendola come una nuova incognita, otteniamo un'equazione algebrica. Troviamo le sue radici e torniamo al vecchio sconosciuto, risolvendo le più semplici equazioni trigonometriche.
2. Metodo di fattorizzazione.
Per modificare gli angoli, sono spesso utili le formule per la riduzione, la somma e la differenza degli argomenti, nonché le formule per convertire la somma (differenza) delle funzioni trigonometriche in un prodotto e viceversa.
sinx + sin3x = sin2x + sin4x
3. Metodo per introdurre un angolo aggiuntivo.
4. Metodo di utilizzo della sostituzione universale.
Le equazioni della forma F(sinx, cosx, tgx) = 0 sono ridotte a equazioni algebriche usando la sostituzione trigonometrica universale
Esprimere seno, coseno e tangente in termini di tangente di un mezzo angolo. Questo trucco può portare a un'equazione di ordine superiore. La cui decisione è difficile.
Il concetto di risoluzione di equazioni trigonometriche.
Soluzione di equazioni trigonometriche di base.
Trasformazioni utilizzate nella risoluzione di equazioni trigonometriche.
Trovare angoli da valori noti di funzioni.
Mettere da parte la soluzione sulla circonferenza unitaria.
Metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche.
Quando si risolvono molti problemi di matematica, in particolare quelli che si verificano prima del grado 10, l'ordine delle azioni eseguite che porteranno all'obiettivo è chiaramente definito. Tali compiti includono, ad esempio, lineare e equazioni quadratiche, lineare e disuguaglianze quadrate, equazioni frazionarie ed equazioni che si riducono a equazioni quadratiche. Il principio della soluzione di successo di ciascuno dei compiti menzionati è il seguente: è necessario stabilire a quale tipo appartiene il problema da risolvere, ricordare la sequenza necessaria di azioni che porterà al risultato desiderato, ad es. rispondi e segui questi passaggi.
Ovviamente, il successo o il fallimento nella risoluzione di un particolare problema dipende principalmente da quanto correttamente viene determinato il tipo di equazione da risolvere, da quanto correttamente viene riprodotta la sequenza di tutte le fasi della sua soluzione. Naturalmente, in questo caso, è necessario avere le capacità per eseguire trasformazioni e calcoli identici.
Si verifica una situazione diversa con equazioni trigonometriche. Non è difficile stabilire il fatto che l'equazione è trigonometrica. Le difficoltà sorgono nel determinare la sequenza di azioni che porterebbero alla risposta corretta.
Di aspetto esteriore equazioni a volte è difficile determinarne il tipo. E senza conoscere il tipo di equazione, è quasi impossibile scegliere quella giusta tra diverse dozzine di formule trigonometriche.
Per risolvere l'equazione trigonometrica, dobbiamo provare:
1. portare tutte le funzioni incluse nell'equazione agli "stessi angoli";
2. portare l'equazione alle "stesse funzioni";
3. fattorizzare il lato sinistro dell'equazione, ecc.
Ritenere metodi di base per la risoluzione di equazioni trigonometriche.
I. Riduzione alle equazioni trigonometriche più semplici
Schema risolutivo
Passo 1. Esprimi la funzione trigonometrica in termini di componenti note.
Passo 2 Trova l'argomento della funzione usando le formule:
cosx = un; x = ±archi a + 2πn, n ЄZ.
peccato x = a; x \u003d (-1) n archiin a + πn, n Є Z.
abbronzatura x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
Passaggio 3 Trova una variabile sconosciuta.
Esempio.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Soluzione.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ä Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ä Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ä Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ä Z.
Risposta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Sostituzione variabile
Schema risolutivo
Passo 1. Porta l'equazione in una forma algebrica rispetto a una delle funzioni trigonometriche.
Passo 2 Indichiamo la funzione risultante con la variabile t (se necessario, introduciamo restrizioni su t).
Passaggio 3 Annota e risolvi l'equazione algebrica risultante.
Passaggio 4 Fai una sostituzione inversa.
Passaggio 5 Risolvi l'equazione trigonometrica più semplice.
Esempio.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Soluzione.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sen 2(x/2) + 5sen(x/2) + 3 = 0.
2) Sia sin (x/2) = t, dove |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 o e = -3/2 non soddisfa la condizione |t| ≤ 1.
4) peccato (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Risposta: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metodo di riduzione dell'ordine delle equazioni
Schema risolutivo
Passo 1. Sostituisci questa equazione con una lineare usando le formule di riduzione della potenza:
peccato 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
abbronzatura 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Passo 2 Risolvi l'equazione risultante usando i metodi I e II.
Esempio.
cos2x + cos2x = 5/4.
Soluzione.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos2x + 1/2 + 1/2 cos2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Ä Z;
x = ±π/6 + πn, n Ä Z.
Risposta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Equazioni omogenee
Schema risolutivo
Passo 1. Porta questa equazione alla forma
a) a sin x + b cos x = 0 ( equazione omogenea primo grado)
o alla vista
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (equazione omogenea di secondo grado).
Passo 2 Dividi entrambi i lati dell'equazione per
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
e ottieni l'equazione per tg x:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Passaggio 3 Risolvere l'equazione utilizzando metodi noti.
Esempio.
5sen 2 x + 3sen x cos x - 4 = 0.
Soluzione.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.
3) Sia tg x = t, allora
t2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 o t = -4, quindi
tg x = 1 o tg x = -4.
Dalla prima equazione x = π/4 + πn, n Є Z; dalla seconda equazione x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Risposta: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metodo per trasformare un'equazione utilizzando formule trigonometriche
Schema risolutivo
Passo 1. Usando tutti i tipi di formule trigonometriche, porta questa equazione a un'equazione che può essere risolta con i metodi I, II, III, IV.
Passo 2 Risolvere l'equazione risultante utilizzando metodi noti.
Esempio.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Soluzione.
1) (sen x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;
Dalla prima equazione 2x = π/2 + πn, n Є Z; dalla seconda equazione cos x = -1/2.
Abbiamo x = π/4 + πn/2, n Є Z; dalla seconda equazione x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Di conseguenza, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ä Z.
Risposta: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ä Z.
La capacità e le abilità per risolvere equazioni trigonometriche sono molto 
importante, il loro sviluppo richiede uno sforzo considerevole, sia da parte dello studente che dell'insegnante.
Molti problemi di stereometria, fisica, ecc .. sono associati alla soluzione di equazioni trigonometriche.Il processo di risoluzione di tali problemi, per così dire, contiene molte delle conoscenze e delle abilità acquisite durante lo studio degli elementi della trigonometria.
Le equazioni trigonometriche occupano un posto importante nel processo di insegnamento della matematica e dello sviluppo della personalità in generale.
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