Sarà utile per ogni studente che si prepara all'esame di matematica ripetere l'argomento “Trovare l'angolo tra le linee”. Come mostrano le statistiche, quando si supera un test di certificazione, le attività in questa sezione della stereometria causano difficoltà un largo numero studenti. Allo stesso tempo, le attività che richiedono la ricerca dell'angolo tra le rette si trovano in USE sia a livello di base che di profilo. Ciò significa che tutti dovrebbero essere in grado di risolverli.
Ci sono 4 tipi nello spazio posizione relativa diretto. Possono coincidere, intersecarsi, essere paralleli o intersecanti. L'angolo tra loro può essere acuto o dritto.
Per trovare l'angolo tra le linee nell'esame unificato di stato o, ad esempio, nella soluzione, gli scolari di Mosca e di altre città possono utilizzare diversi metodi per risolvere i problemi in questa sezione della stereometria. Puoi completare l'attività con costruzioni classiche. Per fare ciò, vale la pena imparare gli assiomi e i teoremi di base della stereometria. Lo studente deve essere in grado di costruire logicamente ragionamenti e creare disegni per portare il compito ad un problema planimetrico.
Puoi anche usare il metodo delle coordinate vettoriali applicando formule semplici, regole e algoritmi. La cosa principale in questo caso è eseguire correttamente tutti i calcoli. Affina le tue capacità di problem solving in stereometria e altri argomenti corso scolastico ti aiuterò progetto educativo"Scholkovo".
Definizione. Se vengono date due rette y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , allora l'angolo acuto tra queste rette sarà definito come
Due rette sono parallele se k 1 = k 2 . Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/ k 2 .
Teorema. Le rette Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sono parallele quando i coefficienti A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sono proporzionali. Se anche С 1 = λС, allora le linee coincidono. Le coordinate del punto di intersezione di due rette si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste rette.
Equazione di una retta passante per un dato punto
Perpendicolare a questa linea
Definizione. La retta passante per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla retta y \u003d kx + b è rappresentata dall'equazione:
Distanza da punto a linea
Teorema. Se viene fornito un punto M(x 0, y 0), la distanza dalla linea Ax + Vy + C \u003d 0 è definita come
.
Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base della perpendicolare caduta dal punto M alla retta data. Quindi la distanza tra i punti M e M 1:
(1)
Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate come soluzione del sistema di equazioni:
La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolare ad una data retta. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,
quindi, risolvendo, otteniamo:
Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:
Il teorema è stato dimostrato.
Esempio. Determina l'angolo tra le linee: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Esempio. Mostra che le linee 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 sono perpendicolari.
Soluzione. Troviamo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, quindi le linee sono perpendicolari.
Esempio. Sono dati i vertici del triangolo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trova l'equazione per l'altezza ricavata dal vertice C.
Soluzione. Troviamo l'equazione del lato AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3 anni + 3 = 0;
L'equazione dell'altezza desiderata è: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Allora y = . Perché l'altezza passa per il punto C, quindi le sue coordinate soddisfano questa equazione: 
da cui b = 17. Totale: . 
Risposta: 3x + 2y - 34 = 0.
Equazione di una retta passante per un dato punto in una data direzione. Equazione di una retta passante per due punti dati. Angolo tra due linee. Condizione di parallelismo e perpendicolarità di due rette. Determinazione del punto di intersezione di due rette
1. Equazione di una retta passante per un dato punto UN(X 1 , y 1) in una determinata direzione, determinata dalla pendenza K,
y - y 1 = K(X - X 1). (1)
Questa equazione definisce una matita di linee passanti per un punto UN(X 1 , y 1), che prende il nome di centro della trave.
2. Equazione di una retta passante per due punti: UN(X 1 , y 1) e B(X 2 , y 2) si scrive così:
La pendenza di una retta passante per due punti dati è determinata dalla formula
3. Angolo tra rette UN e Bè l'angolo di cui deve essere ruotata la prima retta UN attorno al punto di intersezione di queste linee in senso antiorario fino a coincidere con la seconda linea B. Se due rette sono date da equazioni di pendenza
y = K 1 X + B 1 ,
y = K 2 X + B 2 , (4)
quindi l'angolo tra loro è determinato dalla formula
Si noti che al numeratore della frazione la pendenza della prima retta viene sottratta dalla pendenza della seconda retta.
Se si danno le equazioni di una retta vista generale
UN 1 X + B 1 y + C 1 = 0,
UN 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)
l'angolo tra loro è determinato dalla formula
4. Condizioni per il parallelismo di due rette:
a) Se le rette sono date dalle equazioni (4) con pendenza, la condizione necessaria e sufficiente per il loro parallelismo è l'uguaglianza delle loro pendenze:
K 1 = K 2 . (8)
b) Nel caso in cui le rette siano date da equazioni nella forma generale (6), la condizione necessaria e sufficiente per il loro parallelismo è che i coefficienti alle corrispondenti coordinate di corrente nelle loro equazioni siano proporzionali, cioè
5. Condizioni per la perpendicolarità di due rette:
a) Nel caso in cui le rette siano date dalle equazioni (4) con pendenza, condizione necessaria e sufficiente per la loro perpendicolarità è che le loro pendenze siano reciproche in grandezza e opposte nel segno, cioè
Questa condizione può anche essere scritta nel modulo
K 1 K 2 = -1. (11)
b) Se le equazioni delle rette sono date nella forma generale (6), allora la condizione della loro perpendicolarità (necessaria e sufficiente) è soddisfare l'uguaglianza
UN 1 UN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Le coordinate del punto di intersezione di due rette si trovano risolvendo il sistema di equazioni (6). Le linee (6) si intersecano se e solo se
1. Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto M, di cui una parallela e l'altra perpendicolare alla retta data l.
Siano due rette l e m su un piano in un sistema di coordinate cartesiane date dalle equazioni generali: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
I vettori delle normali a queste linee: = (A 1 , B 1) - alla linea l,
= (A 2 , B 2) alla linea m.
Sia j l'angolo tra le rette l e m.
Poiché gli angoli con lati tra loro perpendicolari sono uguali o sommati fino a p, allora 
, cioè cos j = .
Quindi, abbiamo dimostrato il seguente teorema.
Teorema. Sia j l'angolo tra due rette nel piano e siano date queste rette nel sistema di coordinate cartesiane dalle equazioni generali A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Allora cos j = 
.
Esercizi.
1) Ricavare una formula per calcolare l'angolo tra le linee se:
(1) entrambe le linee sono date parametricamente; (2) sono fornite entrambe le righe equazioni canoniche; (3) una retta è data parametricamente, l'altra retta – dall'equazione generale; (4) entrambe le rette sono date dall'equazione della pendenza.
2) Sia j l'angolo tra due rette nel piano e siano date queste rette al sistema di coordinate cartesiane dalle equazioni y = k 1 x + b 1 e y =k 2 x + b 2 .
Allora tan j = .
3) Esplora la posizione relativa di due rette data dalle equazioni generali nel sistema di coordinate cartesiane e compila la tabella:
La distanza da un punto a una linea in un piano.
Lascia che la retta l sul piano nel sistema di coordinate cartesiane sia data dall'equazione generale Ax + By + C = 0. Trova la distanza dal punto M(x 0 , y 0) alla retta l.
La distanza dal punto M alla retta l è la lunghezza della perpendicolare HM (H н l, HM ^ l).
Il vettore e il vettore normale alla retta l sono collineari, quindi | | = | | | | e | | = .
Siano (x,y) le coordinate del punto H.
Poiché il punto H appartiene alla retta l, allora Ax + By + C = 0 (*).
Le coordinate dei vettori e: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).
| | = 
= 
= 
(C = -Ax - Per , vedi (*))
Teorema. Sia data la retta l nel sistema di coordinate cartesiane dall'equazione generale Ax + By + C = 0. Quindi la distanza dal punto M(x 0 , y 0) a questa retta si calcola con la formula: r (M; l) = .
Esercizi.
1) Ricavare una formula per calcolare la distanza da un punto ad una retta se: (1) la retta è data parametricamente; (2) la retta è data dalle equazioni canoniche; (3) la retta è data dall'equazione della pendenza.
2) Scrivi l'equazione di una circonferenza tangente alla retta 3x - y = 0 centrata in Q(-2,4).
3) Scrivi le equazioni delle rette che dividono gli angoli formati dall'intersezione delle rette 2x + y - 1 = 0 e x + y + 1 = 0 a metà.
§ 27. Definizione analitica di un piano nello spazio
Definizione. Il vettore normale al piano chiameremo un vettore diverso da zero, il cui rappresentante è perpendicolare al piano dato.
Commento.È chiaro che se almeno un rappresentante del vettore è perpendicolare al piano, tutti gli altri rappresentanti del vettore sono perpendicolari a questo piano.
Sia dato un sistema di coordinate cartesiane nello spazio.
Sia dato il piano a, = (A, B, C) – il vettore normale a questo piano, il punto M (x 0 , y 0 , z 0) appartiene al piano a.
Per ogni punto N(x, y, z) del piano a, i vettori e sono ortogonali, cioè i loro prodotto scalareè uguale a zero: = 0. Scriviamo l'ultima uguaglianza in coordinate: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.
Sia -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, quindi Ax + By + Cz + D = 0.
Prendi un punto K (x, y) tale che Ax + By + Cz + D \u003d 0. Poiché D \u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0, quindi A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Poiché le coordinate del segmento diretto = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), l'ultima uguaglianza significa che ^ e, quindi, K н a.
Abbiamo quindi dimostrato il seguente teorema:
Teorema. Qualsiasi piano nello spazio nel sistema di coordinate cartesiane può essere definito da un'equazione della forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), dove (A, B, C) sono i coordinate del vettore normale a questo piano.
È vero anche il contrario.
Teorema. Qualsiasi equazione della forma Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) nel sistema di coordinate cartesiane definisce un determinato piano, mentre (A, B, C) sono le coordinate del vettore normale a questo piano.
Prova.
Prendi un punto M (x 0 , y 0 , z 0) tale che Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 e vettore = (A, B, C) ( ≠ q).
Un piano (e solo uno) passa per il punto M perpendicolare al vettore. Secondo il teorema precedente, questo piano è dato dall'equazione Ax + By + Cz + D = 0.
Definizione. Si chiama un'equazione della forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) l'equazione generale del piano.
Esempio.
Scriviamo l'equazione del piano passante per i punti M (0.2.4), N (1,-1.0) e K (-1.0.5).
1. Trova le coordinate del vettore normale al piano (MNK). Poiché il prodotto vettoriale ´ è ortogonale ai vettori non collineari e , il vettore è collineare a ´ .
= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);
´ = 
,
´ = (-11, 3, -5).
Quindi, come vettore normale, prendi il vettore = (-11, 3, -5).
2. Usiamo ora i risultati del primo teorema:
l'equazione di questo piano A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, dove (A, B, C) sono le coordinate del vettore normale, (x 0 , y 0 , z 0) – coordinate di un punto che giace nel piano (ad esempio, punto M).
11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0
11x + 3 anni - 5z + 14 = 0
Risposta: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.
Esercizi.
1) Scrivi l'equazione del piano se
(1) il piano passa per il punto M (-2,3,0) parallelo al piano 3x + y + z = 0;
(2) il piano contiene l'asse (Ox) ed è perpendicolare al piano x + 2y – 5z + 7 = 0.
2) Scrivi l'equazione per un piano passante per tre punti dati.
§ 28. Specificazione analitica di un semispazio*
Commento*. Che qualche aereo sia riparato. Sotto semispazio capiremo l'insieme dei punti giacenti su un lato di un dato piano, cioè due punti giacciono nello stesso semispazio se il segmento che li collega non interseca il piano dato. Questo aereo si chiama confine di questo semispazio. Si chiamerà l'unione di un dato piano e di un semispazio semispazio chiuso.
Sia fissato nello spazio un sistema di coordinate cartesiane.
Teorema. Sia il piano a dato dall'equazione generale Ax + By + Cz + D = 0. Allora uno dei due semispazi in cui il piano a divide lo spazio è dato dalla disuguaglianza Ax + By + Cz + D > 0 , e il secondo semispazio è dato dalla disuguaglianza Ax + By + Cz + D< 0.
Prova.
Tracciamo il vettore normale = (A, B, С) sul piano a dal punto M (x 0 , y 0 , z 0) giacente su questo piano: = , M н a, MN ^ a. Il piano divide lo spazio in due semispazi: b 1 e b 2 . È chiaro che il punto N appartiene a uno di questi semispazi. Senza perdita di generalità, assumiamo che N н b 1 .
Dimostriamo che il semispazio b 1 è definito dalla disuguaglianza Ax + By + Cz + D > 0.
1) Prendi un punto K(x,y,z) nel semispazio b 1 . L'angolo Ð NMK è l'angolo tra i vettori ed è acuto, quindi il prodotto scalare di questi vettori è positivo: > 0. Scriviamo questa disuguaglianza in coordinate: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, ovvero Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.
Poiché M н b 1 , allora Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, quindi -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Pertanto, l'ultima disuguaglianza può essere scritta come segue: Ax + By + Cz + D > 0.
2) Prendi un punto L(x,y) tale che Ax + By + Cz + D > 0.
Riscriviamo la disuguaglianza, sostituendo D con (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (poiché M н b 1, quindi Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.
Il vettore con coordinate (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) è un vettore, quindi l'espressione A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) può essere inteso, come il prodotto scalare dei vettori e . Poiché il prodotto scalare dei vettori e è positivo, l'angolo tra loro è acuto e il punto L н b 1 .
Allo stesso modo si può dimostrare che il semispazio b 2 è dato dalla disuguaglianza Ax + By + Cz + D< 0.
Osservazioni.
1) È chiaro che la dimostrazione di cui sopra non dipende dalla scelta del punto M del piano a.
2) È chiaro che lo stesso semispazio può essere definito da diverse disuguaglianze.
È vero anche il contrario.
Teorema. Qualsiasi disuguaglianza lineare della forma Ax + By + Cz + D > 0 (o Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.
Prova.
L'equazione Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) nello spazio definisce un piano a (vedi § ...). Come dimostrato nel teorema precedente, uno dei due semispazi in cui il piano divide lo spazio è dato dalla disuguaglianza Ax Ax + By + Cz + D > 0.
Osservazioni.
1) È chiaro che un semispazio chiuso può essere definito da una disuguaglianza lineare non rigorosa e qualsiasi disuguaglianza lineare non rigorosa nel sistema di coordinate cartesiane definisce un semispazio chiuso.
2) Qualsiasi poliedro convesso può essere definito come l'intersezione di semispazi chiusi (i cui confini sono piani contenenti le facce del poliedro), cioè analiticamente da un sistema di disuguaglianze lineari non rigorose.
Esercizi.
1) Dimostrare i due teoremi presentati per un sistema di coordinate affine arbitrario.
2) È vero il contrario che qualsiasi sistema di non ristretto disuguaglianze lineari definisce un poligono convesso?
Un esercizio.1) Esplora la posizione relativa di due piani data dalle equazioni generali nel sistema di coordinate cartesiane e compila la tabella.
Oh-oh-oh-oh-oh ... beh, è metallico, come se leggessi la frase a te stesso =) Tuttavia, il relax aiuterà, soprattutto perché oggi ho comprato accessori adatti. Pertanto, procediamo alla prima sezione, spero, entro la fine dell'articolo manterrò un buon umore.
Il caso in cui la sala canta in coro. Due linee possono:
1) partita;
2) essere paralleli: ;
3) o si intersecano in un unico punto: .
Aiuto per i manichini : ricordate il segno matematico dell'intersezione, si verificherà molto spesso. La voce indica che la linea si interseca con la linea nel punto.
Partiamo dal primo caso:
Due rette coincidono se e solo se i rispettivi coefficienti sono proporzionali, cioè esiste un tale numero "lambda" che le uguaglianze
Consideriamo le rette e componiamo tre equazioni dai coefficienti corrispondenti: . Da ciascuna equazione segue che, quindi, queste rette coincidono.
Infatti, se tutti i coefficienti dell'equazione 
moltiplicare per -1 (cambiare segno) e tutti i coefficienti dell'equazione 
riduci di 2, ottieni la stessa equazione: .
Il secondo caso in cui le rette sono parallele:
Due rette sono parallele se e solo se i loro coefficienti alle variabili sono proporzionali: 
, ma.
Ad esempio, considera due rette. Verifichiamo la proporzionalità dei coefficienti corrispondenti per le variabili: 
Tuttavia, è chiaro che .
E il terzo caso, quando le linee si intersecano:
Due rette si intersecano se e solo se i loro coefficienti delle variabili NON sono proporzionali, ovvero NON esiste un tale valore di "lambda" che le uguaglianze siano soddisfatte 
Quindi, per le rette comporremo un sistema: 
Dalla prima equazione segue che , e dalla seconda equazione: , quindi, il sistema è incoerente(nessuna soluzione). Pertanto, i coefficienti alle variabili non sono proporzionali.
Conclusione: le linee si intersecano
Nei problemi pratici si può utilizzare lo schema risolutivo appena considerato. A proposito, è molto simile all'algoritmo per il controllo della collinearità dei vettori, che abbiamo considerato nella lezione. Il concetto di (non) dipendenza lineare dei vettori. Base vettoriale. Ma c'è un pacchetto più civile:
Esempio 1
Scopri la posizione relativa delle linee: 
Soluzione basato sullo studio dei vettori direttivi di rette:
a) Dalle equazioni troviamo i vettori di direzione delle rette: 
.
, quindi i vettori non sono collineari e le linee si intersecano.
Per ogni evenienza, metterò una pietra con le indicazioni all'incrocio:
Gli altri saltano oltre la pietra e proseguono, dritti verso Kashchei l'Immortale =)
b) Trova i vettori di direzione delle rette: 
Le linee hanno lo stesso vettore di direzione, il che significa che sono parallele o uguali. Qui il determinante non è necessario.
Ovviamente i coefficienti delle incognite sono proporzionali, mentre .
Scopriamo se l'uguaglianza è vera: 
In questo modo,
c) Trova i vettori di direzione delle rette: 
Calcoliamo il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori: 
, quindi, i vettori di direzione sono collineari. Le rette sono parallele o coincidono.
Il fattore di proporzionalità "lambda" è facilmente rilevabile direttamente dal rapporto dei vettori di direzione collineari. Tuttavia, può essere trovato anche attraverso i coefficienti delle equazioni stesse: 
.
Ora scopriamo se l'uguaglianza è vera. Entrambi i termini gratuiti sono zero, quindi:
Il valore risultante soddisfa questa equazione (qualsiasi numero generalmente la soddisfa).
Quindi, le linee coincidono.
Risposta:
Molto presto imparerai (o addirittura avrai già imparato) a risolvere verbalmente il problema considerato letteralmente in pochi secondi. A questo proposito, non vedo alcun motivo per offrire qualcosa per una soluzione indipendente, è meglio posare un mattone più importante nella fondazione geometrica:
Per ignoranza di questo il compito più semplice punisce severamente l'Usignolo il Ladro.
Esempio 2
La retta è data dall'equazione. Scrivi un'equazione per una retta parallela che passa per il punto.
Soluzione: Indica la riga sconosciuta con la lettera. Cosa dice la condizione a riguardo? La linea passa per il punto. E se le rette sono parallele, allora è ovvio che il vettore direttivo della retta "ce" è adatto anche per costruire la retta "te".
Estraiamo il vettore di direzione dall'equazione:
Risposta:
La geometria dell'esempio sembra semplice: 
La verifica analitica consiste nei seguenti passaggi:
1) Verifichiamo che le rette abbiano lo stesso vettore di direzione (se l'equazione della retta non è adeguatamente semplificata, i vettori saranno collineari).
2) Verificare se il punto soddisfa l'equazione risultante.
La verifica analitica nella maggior parte dei casi è facile da eseguire verbalmente. Osserva le due equazioni e molti di voi capiranno rapidamente come le rette sono parallele senza alcun disegno.
Gli esempi di auto-risolvere oggi saranno creativi. Perché devi ancora competere con Baba Yaga, e lei, sai, è un'amante di tutti i tipi di enigmi.
Esempio 3
Scrivi un'equazione per una retta passante per un punto parallelo alla retta se
C'è un modo razionale e non molto razionale per risolvere. La via più breve è alla fine della lezione.
Abbiamo fatto un piccolo lavoro con le rette parallele e torneremo su di esse in seguito. Il caso delle linee coincidenti è di scarso interesse, quindi prendiamo in considerazione un problema che ti è ben noto dal curriculum scolastico:
Se dritto 
intersecano nel punto , allora le sue coordinate sono la soluzione sistemi di equazioni lineari 
Come trovare il punto di intersezione delle rette? Risolvi il sistema.
Ecco a voi significato geometrico del sistema dei due equazioni lineari con due incognite sono due linee rette che si intersecano (il più delle volte) su un piano.
Esempio 4
Trova il punto di intersezione delle rette
Soluzione: Ci sono due modi per risolvere: grafico e analitico.
Il modo grafico è semplicemente disegnare le linee date e scoprire il punto di intersezione direttamente dal disegno: 
Ecco il nostro punto: . Per verificare, dovresti sostituire le sue coordinate in ciascuna equazione di una retta, dovrebbero adattarsi sia lì che lì. In altre parole, le coordinate di un punto sono la soluzione del sistema. In effetti, abbiamo considerato un modo grafico per risolvere sistemi di equazioni lineari con due equazioni, due incognite.
Il metodo grafico, ovviamente, non è male, ma ci sono notevoli svantaggi. No, il punto non è che gli studenti di seconda media decidano in questo modo, il punto è che ci vorrà del tempo per fare un disegno corretto ed ESATTO. Inoltre, alcune linee non sono così facili da costruire e il punto di intersezione stesso può trovarsi da qualche parte nel trentesimo regno al di fuori del foglio del taccuino.
Pertanto, è più opportuno cercare il punto di intersezione metodo analitico. Risolviamo il sistema: 
Per risolvere il sistema è stato utilizzato il metodo dell'addizione per termini di equazioni. Per sviluppare le competenze pertinenti, visita la lezione Come risolvere un sistema di equazioni?
Risposta:
La verifica è banale: le coordinate del punto di intersezione devono soddisfare ogni equazione del sistema.
Esempio 5
Trova il punto di intersezione delle rette se si intersecano.
Questo è un esempio fai da te. L'attività può essere convenientemente suddivisa in più fasi. L'analisi della condizione suggerisce che è necessario:
1) Scrivi l'equazione di una retta.
2) Scrivi l'equazione di una retta.
3) Scopri la posizione relativa delle linee.
4) Se le linee si intersecano, trova il punto di intersezione.
Lo sviluppo di un algoritmo di azione è tipico per molti problemi geometrici e su questo mi concentrerò ripetutamente.
Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial:
Un paio di scarpe non si sono ancora consumate, poiché siamo arrivati alla seconda parte della lezione:
Iniziamo con un compito tipico e molto importante. Nella prima parte, abbiamo imparato come costruire una linea retta parallela a quella data, e ora la capanna sulle cosce di pollo girerà di 90 gradi:
Esempio 6
La retta è data dall'equazione. Scrivi un'equazione per una retta perpendicolare passante per un punto.
Soluzione: È noto per ipotesi che . Sarebbe bello trovare il vettore di direzione della retta. Poiché le linee sono perpendicolari, il trucco è semplice:
Dall'equazione “togliamo” il vettore normale: , che sarà il vettore diretto della retta.
Componiamo l'equazione di una retta con un punto e un vettore direzionale:
Risposta: 
Apriamo lo schizzo geometrico:
Hmmm... Cielo arancione, mare arancione, cammello arancione.
Verifica analitica della soluzione:
1) Estrarre i vettori di direzione dalle equazioni 
e con l'aiuto prodotto scalare dei vettori concludiamo che le linee sono effettivamente perpendicolari: .
A proposito, puoi usare vettori normali, è ancora più semplice.
2) Verificare se il punto soddisfa l'equazione risultante 
.
La verifica, ancora una volta, è facile da eseguire verbalmente.
Esempio 7
Trova il punto di intersezione delle rette perpendicolari, se l'equazione è nota 
e punto.
Questo è un esempio fai da te. Ci sono diverse azioni nell'attività, quindi è conveniente organizzare la soluzione punto per punto.
Nostro un viaggio divertente continua:
Davanti a noi c'è una striscia rettilinea del fiume e il nostro compito è raggiungerla nel modo più breve. Non ci sono ostacoli e il percorso più ottimale sarà il movimento lungo la perpendicolare. Cioè, la distanza da un punto a una linea è la lunghezza del segmento perpendicolare.
La distanza in geometria è tradizionalmente indicata dalla lettera greca "ro", ad esempio: - la distanza dal punto "em" alla retta "de".
Distanza da punto a linea 
è espresso dalla formula
Esempio 8
Trova la distanza da un punto a una linea 
Soluzione: tutto ciò che serve è sostituire accuratamente i numeri nella formula ed eseguire i calcoli:
Risposta: 
Eseguiamo il disegno: 
La distanza trovata dal punto alla linea è esattamente la lunghezza del segmento rosso. Se fai un disegno su carta a scacchi su una scala di 1 unità. \u003d 1 cm (2 celle), quindi la distanza può essere misurata con un normale righello.
Considera un altro compito secondo lo stesso disegno:
Il compito è trovare le coordinate del punto, che è simmetrico al punto rispetto alla linea 
. Propongo di eseguire le azioni da solo, tuttavia, delineerò l'algoritmo della soluzione con risultati intermedi:
1) Trova una retta perpendicolare a una retta.
2) Trova il punto di intersezione delle rette: 
.
Entrambe le azioni sono discusse in dettaglio in questa lezione.
3) Il punto è il punto medio del segmento. Conosciamo le coordinate del centro e di una delle estremità. Di formule per le coordinate del centro del segmento trova .
Non sarà superfluo verificare che anche la distanza sia pari a 2,2 unità.
Qui possono sorgere difficoltà nei calcoli, ma nella torre un microcalcolatore aiuta molto, permettendoti di contare frazioni comuni. Ho consigliato molte volte e lo consiglierò di nuovo.
Esempio 9
Trova la distanza tra due rette parallele
Questo è un altro esempio di soluzione indipendente. Un piccolo suggerimento: ci sono infiniti modi per risolvere. Debriefing alla fine della lezione, ma meglio provare a indovinare da soli, penso che tu sia riuscito a disperdere bene il tuo ingegno.
Qualunque sia l'angolo, poi lo stipite: 
In geometria, l'angolo tra due rette è preso come l'angolo PICCOLO, da cui segue automaticamente che non può essere ottuso. Nella figura, l'angolo indicato dall'arco rosso non è considerato l'angolo tra le linee che si intersecano. E il suo vicino "verde" o orientato in modo opposto angolo cremisi.
Se le linee sono perpendicolari, allora uno qualsiasi dei 4 angoli può essere preso come angolo tra di loro.
In che modo gli angoli sono diversi? Orientamento. In primo luogo, la direzione di "scorrere" l'angolo è di fondamentale importanza. In secondo luogo, un angolo orientato negativamente viene scritto con un segno meno, ad esempio se .
Perché ho detto questo? Sembra che tu possa cavartela con il solito concetto di angolo. Il fatto è che nelle formule con cui troveremo gli angoli si può facilmente ottenere un risultato negativo, e questo non dovrebbe sorprendervi. Un angolo con il segno meno non è peggio e ha un significato geometrico molto specifico. Nel disegno per un angolo negativo, è imperativo indicarne l'orientamento (in senso orario) con una freccia.
Come trovare l'angolo tra due rette? Esistono due formule di lavoro:
Esempio 10
Trova l'angolo tra le linee
Soluzione e Metodo uno
Considera due rette date da equazioni in forma generale: 
Se dritto non perpendicolare, poi orientati l'angolo tra di loro può essere calcolato usando la formula: 
Prestiamo molta attenzione al denominatore: questo è esattamente prodotto scalare vettori di direzione delle rette:
Se , allora il denominatore della formula svanisce e i vettori saranno ortogonali e le rette saranno perpendicolari. Ecco perché è stata fatta una riserva sulla non perpendicolarità delle linee nella formulazione.
Sulla base di quanto sopra, la soluzione viene convenientemente formalizzata in due passaggi:
1) Calcolare il prodotto scalare dei vettori direttivi di rette:
quindi le linee non sono perpendicolari.
2) Troviamo l'angolo tra le rette con la formula:
Usando funzione inversa facile trovare l'angolo stesso. In questo caso, utilizziamo la disparità dell'arcotangente (vedi Fig. Grafici e proprietà delle funzioni elementari):
Risposta: 
Nella risposta, indica valore esatto, nonché un valore approssimativo (preferibilmente sia in gradi che in radianti) calcolato utilizzando una calcolatrice.
Bene, meno, quindi meno, va bene. Ecco un'illustrazione geometrica: 
Non sorprende che l'angolo sia risultato di orientamento negativo, perché nella condizione del problema il primo numero è una retta e proprio da essa è iniziata la "torsione" dell'angolo.
Se vuoi davvero ottenere un angolo positivo, devi scambiare le rette, cioè prendere i coefficienti dalla seconda equazione 
e prendi i coefficienti dalla prima equazione. In breve, devi iniziare con una diretta 
.
Questo materiale è dedicato a un concetto come l'angolo tra due rette che si intersecano. Nel primo paragrafo spiegheremo di cosa si tratta e lo mostreremo nelle illustrazioni. Quindi analizzeremo come trovare il seno, il coseno di questo angolo e l'angolo stesso (considereremo separatamente i casi con un piano e uno spazio tridimensionale), forniremo le formule necessarie e mostreremo con esempi come vengono applicati esattamente in pratica.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Per capire cos'è un angolo formato all'intersezione di due rette, dobbiamo ricordare la definizione stessa di angolo, perpendicolarità e punto di intersezione.
Definizione 1
Chiamiamo due linee che si intersecano se ne hanno una punto comune. Questo punto è detto punto di intersezione delle due rette.
Ogni linea è divisa in raggi per il punto di intersezione. In questo caso, entrambe le linee formano 4 angoli, di cui due verticali e due adiacenti. Se conosciamo la misura di uno di essi, possiamo determinare gli altri rimanenti.
Diciamo di sapere che uno degli angoli è uguale ad α. In tal caso, anche l'angolo che è verticale ad esso sarà uguale a α. Per trovare gli angoli rimanenti, dobbiamo calcolare la differenza 180 ° - α . Se α è uguale a 90 gradi, tutti gli angoli saranno retti. Le linee che si intersecano ad angolo retto sono dette perpendicolari (un articolo separato è dedicato al concetto di perpendicolarità).
Dai un'occhiata alla foto:
Procediamo alla formulazione della definizione principale.
Definizione 2
L'angolo formato da due rette che si intersecano è la misura del più piccolo dei 4 angoli che formano queste due rette.
Dalla definizione bisogna trarre un'importante conclusione: la dimensione dell'angolo in questo caso sarà espressa da qualsiasi numero reale nell'intervallo (0 , 90 ] . Se le rette sono perpendicolari, l'angolo tra di esse sarà comunque pari a 90 gradi.
La capacità di trovare la misura dell'angolo tra due rette intersecanti è utile per risolvere molti problemi pratici. Il metodo di soluzione può essere selezionato tra diverse opzioni.
Per cominciare, possiamo prendere metodi geometrici. Se sappiamo qualcosa sugli angoli aggiuntivi, possiamo collegarli all'angolo di cui abbiamo bisogno usando le proprietà di forme uguali o simili. Ad esempio, se conosciamo i lati di un triangolo e dobbiamo calcolare l'angolo tra le linee su cui si trovano questi lati, allora il teorema del coseno è adatto per la risoluzione. Se abbiamo un triangolo rettangolo nella condizione, per i calcoli dovremo anche conoscere il seno, il coseno e la tangente dell'angolo.
Il metodo delle coordinate è anche molto conveniente per risolvere problemi di questo tipo. Spieghiamo come usarlo correttamente.
Abbiamo un sistema di coordinate rettangolare (cartesiano) O x y con due rette. Indichiamoli con le lettere a e b. In questo caso, le rette possono essere descritte utilizzando qualsiasi equazione. Le linee originali hanno un punto di intersezione M . Come determinare l'angolo desiderato (indichiamolo α) tra queste linee?
Iniziamo con la formulazione del principio di base di trovare un angolo in determinate condizioni.
Sappiamo che concetti come direzione e vettore normale sono strettamente correlati al concetto di linea retta. Se abbiamo l'equazione di una retta, possiamo ricavarne le coordinate di questi vettori. Possiamo farlo per due linee che si intersecano contemporaneamente.
L'angolo formato da due rette che si intersecano può essere trovato usando:
Ora diamo un'occhiata a ciascun metodo separatamente.
1. Supponiamo di avere una retta a con vettore di direzione a → = (a x , a y) e una retta b con vettore di direzione b → (b x , b y) . Ora mettiamo da parte due vettori a → e b → dal punto di intersezione. Successivamente, vedremo che ciascuno si troverà sulla propria linea. Quindi abbiamo quattro opzioni per la loro posizione relativa. Vedi illustrazione:
Se l'angolo tra due vettori non è ottuso, allora sarà l'angolo di cui abbiamo bisogno tra le linee aeb che si intersecano. Se è ottuso, l'angolo desiderato sarà uguale all'angolo adiacente all'angolo a → , b → ^ . Pertanto, α = a → , b → ^ se a → , b → ^ ≤ 90 ° e α = 180 ° - a → , b → ^ se a → , b → ^ > 90 ° .
In base al fatto che i coseni di angoli uguali sono uguali, possiamo riscrivere le uguaglianze risultanti come segue: cos α = cos a → , b → ^ se a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ se a → , b → ^ > 90 ° .
Nel secondo caso sono state utilizzate formule di riduzione. In questo modo,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Scriviamo l'ultima formula in parole:
Definizione 3
Il coseno dell'angolo formato da due rette che si intersecano sarà uguale al modulo del coseno dell'angolo tra i suoi vettori di direzione.
La forma generale della formula per il coseno dell'angolo tra due vettori a → = (a x, a y) e b → = (b x, b y) si presenta così:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Da esso possiamo ricavare la formula per il coseno dell'angolo tra due rette date:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Quindi l'angolo stesso può essere trovato usando la seguente formula:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Qui a → = (a x , a y) e b → = (b x , b y) sono i vettori di direzione delle rette date.
Facciamo un esempio per risolvere il problema.
Esempio 1
In un sistema di coordinate rettangolare, sul piano vengono fornite due rette aeb che si intersecano. Possono essere descritti da equazioni parametriche x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R e x 5 = y - 6 - 3 . Calcola l'angolo tra queste linee.
Soluzione
Abbiamo un'equazione parametrica nella condizione, il che significa che per questa retta possiamo scrivere immediatamente le coordinate del suo vettore di direzione. Per fare ciò, dobbiamo prendere i valori dei coefficienti al parametro, ad es. la retta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R avrà un vettore di direzione a → = (4 , 1) .
La seconda retta è descritta usando l'equazione canonica x 5 = y-6-3. Qui possiamo prendere le coordinate dai denominatori. Pertanto, questa retta ha un vettore di direzione b → = (5 , - 3) .
Successivamente, procediamo direttamente alla ricerca dell'angolo. Per fare ciò, sostituisci semplicemente le coordinate disponibili dei due vettori nella formula sopra α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Otteniamo quanto segue:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Risposta: Queste linee formano un angolo di 45 gradi.
Possiamo risolvere un problema simile trovando l'angolo tra i vettori normali. Se abbiamo una retta a con un vettore normale n a → = (n a x , n a y) e una retta b con un vettore normale n b → = (n b x , n b y) , allora l'angolo tra loro sarà uguale all'angolo tra n a → e n b → o l'angolo che sarà adiacente a n a → , n b → ^ . Questo metodo è mostrato nell'immagine:
Le formule per calcolare il coseno dell'angolo tra le linee che si intersecano e questo angolo stesso usando le coordinate dei vettori normali si presentano così:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Qui n a → e n b → denotano i vettori normali di due rette date.
Esempio 2
Due rette sono fornite in un sistema di coordinate rettangolare usando le equazioni 3 x + 5 y - 30 = 0 e x + 4 y - 17 = 0 . Trova il seno, il coseno dell'angolo tra di loro e l'ampiezza di quell'angolo stesso.
Soluzione
Le rette originali sono date usando normali equazioni di rette della forma A x + B y + C = 0 . Indichiamo il vettore normale n → = (A , B) . Troviamo le coordinate del primo vettore normale per una retta e scriviamole: n a → = (3 , 5) . Per la seconda riga x + 4 y - 17 = 0 il vettore normale avrà coordinate n b → = (1 , 4) . Ora aggiungi i valori ottenuti alla formula e calcola il totale:
cos α = cos n un → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Se conosciamo il coseno di un angolo, possiamo calcolarne il seno usando la base identità trigonometrica. Poiché l'angolo α formato da rette non è ottuso, sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
In questo caso, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Risposta: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Analizziamo l'ultimo caso: trovare l'angolo tra le linee, se conosciamo le coordinate del vettore diretto di una linea e il vettore normale dell'altra.
Supponiamo che la retta a abbia un vettore di direzione a → = (a x , a y) e la retta b abbia un vettore normale n b → = (n b x , n b y) . Abbiamo bisogno di posticipare questi vettori dal punto di intersezione e considerare tutte le opzioni per la loro posizione relativa. Guarda l'immagine:
Se l'angolo tra i vettori dati non è superiore a 90 gradi, risulta che completerà l'angolo tra aeb ad angolo retto.
a → , n b → ^ = 90° - α se a → , n b → ^ ≤ 90°.
Se è inferiore a 90 gradi, otteniamo quanto segue:
a → , n b → ^ > 90 ° , quindi a → , n b → ^ = 90 ° + α
Usando la regola di uguaglianza dei coseni di angoli uguali, scriviamo:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α per a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α a → , n b → ^ > 90 ° .
In questo modo,
sin α = cos a → , n b → ^ , un → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Formuliamo una conclusione.
Definizione 4
Per trovare il seno dell'angolo tra due rette che si intersecano in un piano, è necessario calcolare il modulo del coseno dell'angolo tra il vettore di direzione della prima linea e il vettore normale della seconda.
Scriviamo le formule necessarie. Trovare il seno di un angolo:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n per y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n per y 2
Trovare l'angolo stesso:
α = a r c sin = a x n b x + a y n per y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n per y 2
Qui a → è il vettore di direzione della prima linea, e n b → è il vettore normale della seconda.
Esempio 3
Due rette intersecanti sono date dalle equazioni x - 5 = y - 6 3 e x + 4 y - 17 = 0 . Trova l'angolo di intersezione.
Soluzione
Prendiamo le coordinate del vettore diretto e normale dalle equazioni date. Risulta a → = (- 5, 3) e n → b = (1, 4) . Prendiamo la formula α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 e consideriamo:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Si noti che abbiamo preso le equazioni dal problema precedente e ottenuto esattamente lo stesso risultato, ma in un modo diverso.
Risposta:α = a rc sin 7 2 34
Ecco un altro modo per trovare l'angolo desiderato usando i coefficienti di pendenza di determinate linee.
Abbiamo una retta a , definita in un sistema di coordinate rettangolare usando l' equazione y = k 1 · x + b 1 , e una retta b , definita come y = k 2 · x + b 2 . Queste sono equazioni di rette con pendenza. Per trovare l'angolo di intersezione, utilizzare la formula:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , dove k 1 e k 2 sono fattori di pendenza linee date. Per ottenere questo record sono state utilizzate formule per determinare l'angolo attraverso le coordinate dei vettori normali.
Esempio 4
Ci sono due rette che si intersecano nel piano, date dalle equazioni y = - 3 5 x + 6 e y = - 1 4 x + 17 4 . Calcola l'angolo di intersezione.
Soluzione
Le pendenze delle nostre linee sono pari a k 1 = - 3 5 e k 2 = - 1 4 . Sommiamoli alla formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 e calcoliamo:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Risposta:α = a r c cos 23 2 34
Nelle conclusioni di questo paragrafo, va notato che le formule per trovare l'angolo qui fornite non devono essere imparate a memoria. Per fare ciò è sufficiente conoscere le coordinate delle guide e/o vettori normali delle rette date ed essere in grado di determinarle da tipi diversi equazioni. Ma è meglio ricordare o annotare le formule per calcolare il coseno di un angolo.
Il calcolo di un tale angolo può essere ridotto al calcolo delle coordinate dei vettori di direzione e alla determinazione dell'ampiezza dell'angolo formato da questi vettori. Per tali esempi, utilizziamo lo stesso ragionamento che abbiamo fornito prima.
Diciamo che abbiamo sistema rettangolare coordinate che si trovano in spazio tridimensionale. Contiene due rette aeb con il punto di intersezione M . Per calcolare le coordinate dei vettori di direzione, dobbiamo conoscere le equazioni di queste rette. Indichiamo i vettori di direzione a → = (a x , a y , a z) e b → = (b x , b y , b z) . Per calcolare il coseno dell'angolo tra di loro, utilizziamo la formula:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Per trovare l'angolo stesso, abbiamo bisogno di questa formula:
α = a r c cos a x b x + a y di y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Esempio 5
Abbiamo una retta definita nello spazio 3D usando l'equazione x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . È noto che si interseca con l'asse O z. Calcola l'angolo di intersezione e il coseno di quell'angolo.
Soluzione
Indichiamo l'angolo da calcolare con la lettera α. Scriviamo le coordinate del vettore di direzione per la prima retta -a → = (1 , - 3 , - 2) . Per l'asse applicato, possiamo prendere come guida il vettore di coordinate k → = (0 , 0 , 1). Abbiamo ricevuto i dati necessari e possiamo aggiungerli alla formula desiderata:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Di conseguenza, abbiamo ottenuto che l'angolo di cui abbiamo bisogno sarà uguale a r c cos 1 2 = 45 °.
Risposta: cosα = 1 2 , α = 45°.
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